Online-laskin voit nopeasti löytää kahden tai minkä tahansa muun luvun suurimman yhteisen jakajan ja pienimmän yhteisen kerrannaisen.

Laskin GCD:n ja NOC:n löytämiseksi

Etsi GCD ja NOC

GCD ja NOC löydetty: 5806

Kuinka käyttää laskinta

• Syötä numerot syöttökenttään
• Jos syötät vääriä merkkejä, syöttökenttä korostetaan punaisella
• paina painiketta "Etsi GCD ja NOC"

Kuinka syöttää numeroita

• Numerot syötetään välilyönnillä, pisteillä tai pilkuilla erotettuina
• Syötettyjen numeroiden pituutta ei ole rajoitettu, joten pitkien lukujen gcd:n ja lcm:n löytäminen ei ole vaikeaa

Mikä on NOD ja NOK?

Suurin yhteinen jakaja useista luvuista on suurin luonnollinen kokonaisluku, jolla kaikki alkuperäiset luvut ovat jaollisia ilman jäännöstä. Suurin yhteinen jakaja on lyhennetty GCD.
Vähiten yhteinen monikerta useita numeroita on pienin numero, joka on jaollinen jokaisella alkuperäisellä luvulla ilman jäännöstä. Pienin yhteinen kerrannainen on lyhennetty NOC.

Kuinka tarkistaa, onko luku jaollinen toisella luvulla ilman jäännöstä?

Jos haluat selvittää, onko yksi luku jaollinen toisella ilman jäännöstä, voit käyttää joitain numeroiden jaollisuuden ominaisuuksia. Sitten niitä yhdistämällä voidaan tarkistaa joidenkin niistä ja niiden yhdistelmistä jaollisuus.

Joitakin numeroiden jaollisuuden merkkejä

1. Luvun jaollisuusmerkki kahdella
Sen määrittämiseksi, onko luku jaollinen kahdella (onko se parillinen), riittää, kun katsot tämän luvun viimeistä numeroa: jos se on 0, 2, 4, 6 tai 8, niin luku on parillinen, eli se on jaollinen kahdella.
Esimerkki: selvitä, onko luku 34938 jaollinen kahdella.
Ratkaisu: katso viimeistä numeroa: 8 tarkoittaa, että luku on jaollinen kahdella.

2. Luvun jaollisuuden merkki kolmella
Luku on jaollinen kolmella, kun sen numeroiden summa on jaollinen kolmella. Jotta voit määrittää, onko luku jaollinen kolmella, sinun on laskettava numeroiden summa ja tarkistettava, onko se jaollinen kolmella. Vaikka numeroiden summa osoittautuisi erittäin suureksi, voit toistaa saman prosessin uudelleen.
Esimerkki: selvitä, onko luku 34938 jaollinen kolmella.
Ratkaisu: lasketaan numeroiden summa: 3+4+9+3+8 = 27. 27 on jaollinen kolmella, mikä tarkoittaa, että luku on jaollinen kolmella.

3. Luvun jaollisuuden merkki 5:llä
Luku on jaollinen viidellä, kun sen viimeinen numero on nolla tai viisi.
Esimerkki: selvitä, onko luku 34938 jaollinen viidellä.
Ratkaisu: katso viimeistä numeroa: 8 tarkoittaa, että luku EI ole jaollinen viidellä.

4. Luvun jaollinen merkki 9:llä
Tämä merkki on hyvin samanlainen kuin kolmella jaollinen merkki: luku on jaollinen 9:llä, kun sen numeroiden summa on jaollinen 9:llä.
Esimerkki: määrittää, onko luku 34938 jaollinen 9:llä.
Ratkaisu: laskemme numeroiden summan: 3+4+9+3+8 = 27. 27 on jaollinen 9:llä, mikä tarkoittaa, että luku on jaollinen yhdeksällä.

Kuinka löytää kahden luvun GCD ja LCM

Kuinka löytää kahden luvun GCD

Suurin osa yksinkertaisella tavalla kahden luvun suurimman yhteisen jakajan laskeminen on löytää näiden lukujen kaikki mahdolliset jakajat ja valita niistä suurin.

Harkitse tätä menetelmää käyttämällä esimerkkiä GCD(28, 36) etsimisestä:

1. Jaamme molemmat luvut tekijöihin: 28 = 1 2 2 7, 36 = 1 2 2 3 3
2. Löydämme yhteiset tekijät, eli ne, jotka molemmilla luvuilla ovat: 1, 2 ja 2.
3. Laskemme näiden tekijöiden tulon: 1 2 2 \u003d 4 - tämä on lukujen 28 ja 36 suurin yhteinen jakaja.

Kuinka löytää kahden luvun LCM

On kaksi yleisintä tapaa löytää kahden luvun pienin kerrannainen. Ensimmäinen tapa on kirjoittaa kahden luvun ensimmäiset kerrannaiset ja sitten valita niistä sellainen luku, joka on yhteinen molemmille luvuille ja samalla pienin. Ja toinen on löytää näiden numeroiden GCD. Mietitäänpä sitä.

LCM:n laskemiseksi sinun on laskettava alkuperäisten lukujen tulo ja jaettava se sitten aiemmin löydetyllä GCD:llä. Etsitään LCM samoille numeroille 28 ja 36:

1. Etsi lukujen 28 ja 36 tulo: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) tiedetään jo olevan 4
3. LCM(28, 36) = 1008/4 = 252 .

GCD:n ja LCM:n etsiminen useille numeroille

Suurin yhteinen jakaja löytyy useille luvuille, ei vain kahdelle. Tätä varten suurimmalle yhteiselle jakajalle löydettävät luvut jaetaan alkutekijöiksi, jolloin saadaan näiden lukujen yhteisten alkutekijöiden tulo. Voit myös löytää useiden numeroiden GCD:n käyttämällä seuraavaa suhdetta: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Samanlainen suhde pätee myös lukujen pienimpään yhteiseen kerrannaiseen: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Esimerkki: etsi GCD ja LCM numeroille 12, 32 ja 36.

1. Ensin kerrotaan luvut: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Etsitään yhteiset tekijät: 1, 2 ja 2 .
3. Heidän tuotteensa antaa gcd:n: 1 2 2 = 4
4. Etsitään nyt LCM: tätä varten löydämme ensin LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Löytääksesi kaikkien kolmen luvun LCM:n, sinun on löydettävä GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, GCD = 1 2. 2 3 = 12.
6. LCM(12; 32; 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Määritelmä. Suurin luonnollinen luku, joilla luvut a ja b jaetaan ilman jäännöstä, kutsutaan suurin yhteinen jakaja (gcd) nämä numerot.

Etsitään lukujen 24 ja 35 suurin yhteinen jakaja.
24:n jakajat ovat luvut 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, ja luvun 35 jakajat ovat luvut 1, 5, 7, 35.
Näemme, että luvuilla 24 ja 35 on vain yksi yhteinen jakaja - numero 1. Tällaisia ​​​​lukuja kutsutaan koprime.

Määritelmä. Luonnollisia lukuja kutsutaan koprime jos niiden suurin yhteinen jakaja (gcd) on 1.

Suurin yhteinen jakaja (GCD) löytyy kirjoittamatta kaikkia annettujen lukujen jakajia.

Laskemalla luvut 48 ja 36 saamme:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Näistä ensimmäisen luvun laajennukseen sisältyvistä tekijöistä poistetaan ne, jotka eivät sisälly toisen luvun laajennukseen (eli kaksi kakkosta).
Jäljelle jää kertoimet 2 * 2 * 3. Niiden tulo on 12. Tämä luku on lukujen 48 ja 36 suurin yhteinen jakaja. Myös kolmen tai useamman luvun suurin yhteinen jakaja löytyy.

Löytää suurin yhteinen jakaja

2) yliviivaa yhden näistä luvuista laajennukseen sisältyvistä tekijöistä ne, jotka eivät sisälly muiden lukujen laajennukseen;
3) etsi jäljellä olevien tekijöiden tulo.

Jos kaikki annetut luvut ovat jaollisia yhdellä niistä, tämä luku on suurin yhteinen jakaja annettuja numeroita.
Esimerkiksi lukujen 15, 45, 75 ja 180 suurin yhteinen jakaja on 15, koska se jakaa kaikki muut luvut: 45, 75 ja 180.

Vähiten yhteinen kerrannainen (LCM)

Määritelmä. Vähiten yhteinen kerrannainen (LCM) luonnolliset luvut a ja b ovat pienin luonnollinen luku, joka on sekä a:n että b:n kerrannainen. Lukujen 75 ja 60 pienin yhteinen kerrannainen (LCM) löytyy kirjoittamatta näiden lukujen kerrannaisia ​​peräkkäin. Tätä varten jaamme 75 ja 60 yksinkertaisiksi tekijöiksi: 75 \u003d 3 * 5 * 5 ja 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Kirjoitamme näistä ensimmäisen luvun laajennukseen sisältyvät tekijät ja lisäämme niihin puuttuvat tekijät 2 ja 2 toisen luvun laajennuksesta (eli yhdistämme tekijät).
Saadaan viisi tekijää 2 * 2 * 3 * 5 * 5, joiden tulo on 300. Tämä luku on lukujen 75 ja 60 pienin yhteinen kerrannainen.

Etsi myös kolmen tai useamman luvun pienin yhteinen kerrannainen.

Vastaanottaja löytää pienin yhteinen kerrannainen useita luonnollisia lukuja, tarvitset:
1) hajottaa ne alkutekijöiksi;
2) kirjoita yhden luvun laajennukseen sisältyvät tekijät;
3) lisää niihin puuttuvat tekijät jäljellä olevien lukujen laajennuksista;
4) löytää tuloksena olevien tekijöiden tulo.

Huomaa, että jos jokin näistä luvuista on jaollinen kaikilla muilla luvuilla, tämä luku on näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen.
Esimerkiksi lukujen 12, 15, 20 ja 60 pienin yhteinen kerrannainen olisi 60, koska se on jaollinen kaikilla annetuilla luvuilla.

Pythagoras (VI vuosisadalla eKr.) opiskelijoineen tutki lukujen jaollisuutta. Määrä, yhtä suuri kuin summa kaikkia sen jakajia (ilman itse numeroa), he kutsuivat täydellistä lukua. Esimerkiksi luvut 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) ovat täydellisiä. Seuraavat täydelliset luvut ovat 496, 8128, 33 550 336. Pythagoralaiset tiesivät vain kolme ensimmäistä täydellistä lukua. Neljäs - 8128 - tuli tunnetuksi 1. vuosisadalla. n. e. Viides - 33 550 336 - löydettiin 1400-luvulla. Vuoteen 1983 mennessä tiedettiin jo 27 täydellistä numeroa. Mutta toistaiseksi tiedemiehet eivät tiedä, onko olemassa parittomia täydellisiä lukuja, onko olemassa suurinta täydellistä lukua.
Muinaisten matemaatikoiden kiinnostus alkulukuja kohtaan johtuu siitä, että mikä tahansa luku on joko alkuluku tai se voidaan esittää tulona alkuluvut, eli alkuluvut ovat ikään kuin tiiliä, joista loput luonnolliset luvut rakennetaan.
Olet luultavasti huomannut, että alkuluvut luonnollisten lukujen sarjassa esiintyvät epätasaisesti - joissakin osissa sarjaa niitä on enemmän, toisissa - vähemmän. Mutta mitä pidemmälle siirrymme numerosarjassa, sitä harvinaisempia alkuluvut ovat. Herää kysymys: onko viimeinen (suurin) alkuluku olemassa? Muinainen kreikkalainen matemaatikko Euclid (3. vuosisata eKr.) osoitti kirjassaan "Alku", joka oli kaksituhatta vuotta matematiikan pääoppikirja, että alkulukuja on äärettömän monta, eli jokaisen alkuluvun takana on parillinen. suurempi alkuluku.
Alkulukujen löytämiseksi toinen saman ajan kreikkalainen matemaatikko Eratosthenes keksi tällaisen menetelmän. Hän kirjoitti muistiin kaikki luvut yhdestä johonkin numeroon ja ylitti sitten yksikön, joka ei ole alkuluku eikä yhdistetty numero, sitten yliviivataan kaikki luvun 2 jälkeen olevat luvut (luvut, jotka ovat 2:n kerrannaisia, eli 4, 6, 8 jne.). Ensimmäinen jäljellä oleva luku 2:n jälkeen oli 3. Sitten kahden jälkeen kaikki numerot 3:n jälkeen yliviivattiin (luvut, jotka ovat 3:n kerrannaisia, eli 6, 9, 12 jne.). lopulta vain alkuluvut jäivät yliviivaamatta.

Aihetta "Useita numeroita" opiskellaan luokalla 5 yläaste. Sen tavoitteena on parantaa matemaattisten laskelmien kirjallista ja suullista taitoa. Tässä oppitunnissa esitellään uusia käsitteitä - "useita lukuja" ja "jakajia", kehitetään tekniikkaa luonnollisen luvun jakajien ja kerrannaisten löytämiseksi, kyky löytää LCM eri tavoilla.

Tämä aihe on erittäin tärkeä. Tietoa siitä voidaan soveltaa murtolukuja sisältävien esimerkkien ratkaisemisessa. Tätä varten sinun on löydettävä yhteinen nimittäjä laskemalla pienin yhteinen monikerta (LCM).

A:n kerrannainen on kokonaisluku, joka on jaollinen A:lla ilman jäännöstä.

Jokaisella luonnollisella luvulla on ääretön määrä sen kerrannaisia. Sitä pidetään vähiten. Kerrannainen ei voi olla pienempi kuin itse luku.

On tarpeen todistaa, että luku 125 on luvun 5 kerrannainen. Tätä varten sinun on jaettava ensimmäinen luku toisella. Jos 125 on jaollinen 5:llä ilman jäännöstä, vastaus on kyllä.

Tämä menetelmä soveltuu pienille määrille.

LCM:ää laskettaessa on erityistapauksia.

1. Jos sinun on löydettävä yhteinen kerrannainen kahdelle luvulle (esimerkiksi 80 ja 20), joissa yksi niistä (80) on jaollinen ilman jäännöstä toisella (20), tämä luku (80) on pienin moninkertainen näistä kahdesta numerosta.

LCM (80, 20) = 80.

2. Jos kahdella ei ole yhteistä jakajaa, voidaan sanoa, että niiden LCM on näiden kahden luvun tulo.

LCM (6, 7) = 42.

Harkitse viimeistä esimerkkiä. 6 ja 7 suhteessa 42:een ovat jakajia. Ne jakavat kerrannaisluvun ilman jäännöstä.

Tässä esimerkissä 6 ja 7 ovat parin jakajia. Heidän tulonsa on yhtä suuri kuin moninkertaisin luku (42).

Lukua kutsutaan alkuluvuksi, jos se on jaollinen vain itsellään tai luvulla 1 (3:1=3; 3:3=1). Loput kutsutaan komposiiteiksi.

Toisessa esimerkissä sinun on määritettävä, onko 9 jakaja suhteessa 42:een.

42:9=4 (loput 6)

Vastaus: 9 ei ole luvun 42 jakaja, koska vastauksessa on jäännös.

Jakaja eroaa kerrannaisesta siinä, että jakaja on luku, jolla luonnolliset luvut jaetaan, ja jakaja on itse jaollinen tällä luvulla.

Suurin yhteinen numeroiden jakaja a Ja b, kerrottuna niiden pienimmällä kerrannaisuudella, antaa itse lukujen tulon a Ja b.

Nimittäin: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Yhteiset kerrannaiset saadaksesi lisää kompleksiluvut löytyy seuraavalla tavalla.

Etsi esimerkiksi LCM arvoille 168, 180, 3024.

Jaamme nämä luvut alkutekijöiksi, kirjoitamme ne potenssien tulona:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹ = 15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.

Kuinka löytää LCM (pienin yhteinen kerrannainen)

Kahden kokonaisluvun yhteinen kerrannainen on kokonaisluku, joka on tasaisesti jaollinen molemmilla annetuilla luvuilla ilman jäännöstä.

Kahden kokonaisluvun pienin yhteinen kerrannainen on pienin kaikista kokonaisluvuista, joka on jaollinen tasaisesti ja ilman jäännöstä molemmilla annetuilla luvuilla.

Menetelmä 1. Voit löytää LCM:n vuorostaan ​​jokaiselle annetulle luvulle kirjoittamalla nousevaan järjestykseen kaikki luvut, jotka saadaan kertomalla ne luvulla 1, 2, 3, 4 ja niin edelleen.

Esimerkki numeroille 6 ja 9.
Kerromme luvun 6 peräkkäin luvulla 1, 2, 3, 4, 5.
Saamme: 6, 12, 18 , 24, 30
Kerromme luvun 9 peräkkäin luvulla 1, 2, 3, 4, 5.
Saamme: 9, 18 , 27, 36, 45
Kuten näet, numeroiden 6 ja 9 LCM on 18.

Tämä menetelmä on kätevä, kun molemmat luvut ovat pieniä ja ne on helppo kertoa kokonaislukujonolla. Joskus sinun on kuitenkin löydettävä LCM kaksinumeroiselle tai kolminumeroisia lukuja, ja myös silloin, kun alkulukuja on kolme tai jopa enemmän.

Menetelmä 2. Löydät LCM:n jakamalla alkuperäiset luvut alkutekijöiksi.
Hajottamisen jälkeen on välttämätöntä yliviivata samat luvut tuloksena olevasta alkutekijöiden sarjasta. Ensimmäisen luvun jäljellä olevat luvut ovat toisen luvun kertoimia, ja toisen luvun loput luvut ovat ensimmäisen kertoimia.

Esimerkki numeroille 75 ja 60.
Lukujen 75 ja 60 pienin yhteinen kerrannainen löytyy kirjoittamatta näiden lukujen kerrannaisia ​​peräkkäin. Tätä varten jaamme 75 ja 60 alkutekijöiksi:
75 = 3 * 5 * 5 ja
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Kuten näet, tekijät 3 ja 5 esiintyvät molemmilla riveillä. Henkisesti "rajaamme" ne pois.
Kirjataan muistiin loput tekijät, jotka sisältyvät kunkin numeron laajennukseen. Hajottaessamme lukua 75, jätimme luvun 5 ja luvun 60 jaottelemme 2 * 2
Joten määrittääksemme LCM:n numeroille 75 ja 60, meidän on kerrottava loput luvut 75:n laajennuksesta (tämä on 5) 60:llä ja luvut, jotka jäävät luvun 60 laajennuksesta (tämä on 2 * 2 ) kerrotaan 75:llä. Eli ymmärtämisen helpottamiseksi sanomme, että kerromme "ristikkäin".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Näin löysimme LCM:n numeroille 60 ja 75. Tämä on luku 300.

Esimerkki. Määritä LCM numeroille 12, 16, 24
Tässä tapauksessa toimintamme ovat hieman monimutkaisempia. Mutta ensin, kuten aina, hajotamme kaikki luvut alkutekijöiksi
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
LCM:n määrittämiseksi oikein valitsemme kaikista luvuista pienimmän (tämä on luku 12) ja käymme sen kertoimet peräkkäin läpi ja ylitämme ne, jos ainakin yhdellä muista numeroriveistä on sama kerroin, jota ei ole vielä ylitetty. ulos.

Vaihe 1 . Näemme, että 2 * 2 esiintyy kaikissa numerosarjoissa. Ylitämme ne.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Vaihe 2. Numeron 12 alkutekijöissä jää jäljelle vain luku 3. Mutta se on läsnä luvun 24 alkutekijöissä. Yliviivataan numero 3 molemmilta riveiltä, ​​kun taas luvulle 16 ei odoteta toimenpiteitä .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Kuten näette, kun hajotimme numeroa 12, "viivasimme" kaikki luvut yli. Joten NOC:n löytö on valmis. Jää vain laskea sen arvo.
Luvulle 12 otamme loput tekijät luvusta 16 (lähin nousevassa järjestyksessä)
12 * 2 * 2 = 48
Tämä on NOC

Kuten näette, tässä tapauksessa LCM:n löytäminen oli hieman vaikeampaa, mutta kun sinun on löydettävä se kolmelle tai useammalle numerolle, tällä tavalla avulla voit tehdä sen nopeammin. Molemmat tavat löytää LCM ovat kuitenkin oikeita.

Harkitse seuraavan ongelman ratkaisua. Pojan askel on 75 cm ja tytön askel 60 cm. On löydettävä pienin etäisyys, jolla molemmat ottavat kokonaislukumäärän askeleita.

Ratkaisu. Koko polun, jonka kaverit kulkevat, on oltava jaollinen 60:llä ja 70:llä ilman jäännöstä, koska jokaisen on otettava kokonaislukumäärä askeleita. Toisin sanoen vastauksen on oltava sekä 75:n että 60:n kerrannainen.

Ensin kirjoitetaan kaikki kerrannaisuudet luvulle 75. Saamme:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Kirjoitetaan nyt luvut, joista tulee 60:n kerrannainen. Saamme:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Nyt löydämme numerot, jotka ovat molemmilla riveillä.

• Yhteisiä lukujen kerrannaisia ​​ovat numerot, 300, 600 jne.

Pienin niistä on luku 300. Tässä tapauksessa sitä kutsutaan lukujen 75 ja 60 pienimmäksi yhteiseksi kerrannaiseksi.

Palatakseni ongelman tilaan, pienin etäisyys, jolla pojat ottavat kokonaislukumäärän askelia, on 300 cm. Poika kulkee tätä tietä 4 askelta ja tytön tulee ottaa 5 askelta.

Vähiten yhteisen monikerran löytäminen

• Kahden luonnollisen luvun a ja b pienin yhteinen kerrannainen on pienin luonnollinen luku, joka on sekä a:n että b:n kerrannainen.

Kahden luvun pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämiseksi ei tarvitse kirjoittaa kaikkia näiden lukujen kerrannaisia ​​peräkkäin.

Voit käyttää seuraavaa menetelmää.

Kuinka löytää pienin yhteinen kerrannainen

Ensin sinun on hajotettava nämä luvut alkutekijöiksi.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Nyt kirjoitetaan kaikki tekijät, jotka ovat ensimmäisen luvun (2,2,3,5) laajennuksessa, ja lisätään siihen kaikki puuttuvat tekijät toisen luvun (5) laajennuksesta.

Päädymme sarjaan alkulukuja: 2,2,3,5,5. Näiden lukujen tulo on vähiten yhteinen tekijä näille luvuille. 2*2*3*5*5 = 300.

Yleinen kaavio pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämiseksi

• 1. Jaa luvut alkutekijöiksi.
• 2. Kirjoita muistiin tärkeimmät tekijät, jotka ovat osa jotakin niistä.
• 3. Lisää näihin tekijöihin kaikki ne, jotka ovat muun hajotuksessa, mutta eivät valitussa.
• 4. Etsi kaikkien kirjoitettujen tekijöiden tulo.

Tämä menetelmä on universaali. Sitä voidaan käyttää minkä tahansa luonnollisten lukujen pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämiseen.