Esimerkkejä:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Kuinka ratkaista eksponentiaaliyhtälöitä

Kun ratkaisemme mitä tahansa eksponentiaaliyhtälöä, pyrimme saattamaan sen muotoon \(a^(f(x))=a^(g(x))\), ja sitten siirrymme eksponenttiyhtälöön, eli:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Esimerkiksi:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Tärkeä! Samasta logiikasta seuraa kaksi vaatimusta tällaiselle siirtymiselle:
- numero sisään vasemman ja oikean tulee olla samat;
- vasemmalla ja oikealla olevien asteiden on oltava "puhtaita" eli kerto- ja jakolaskua tms ei pitäisi olla.

Esimerkiksi:

Yhtälön pelkistämiseksi muotoon \(a^(f(x))=a^(g(x))\) ja niitä käytetään.

Esimerkki . Ratkaise eksponentiaaliyhtälö \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Ratkaisu:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Tiedämme, että \(27 = 3^3\). Kun tämä otetaan huomioon, muunnamme yhtälön.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Juuren \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) ominaisuudella saadaan, että \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Seuraavaksi saamme asteen \((a^b)^c=a^(bc)\ ominaisuuden avulla \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Tiedämme myös, että \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Kun tätä sovelletaan vasemmalle puolelle, saadaan: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0.5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Muista nyt, että: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Tätä kaavaa voidaan käyttää myös kääntöpuoli: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Sitten \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)		Kun ominaisuus \((a^b)^c=a^(bc)\) käytetään oikealle puolelle, saadaan: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		Ja nyt kantamme ovat samat, eikä ole häiritseviä kertoimia jne. Joten voimme tehdä muutoksen.
		Esimerkki . Ratkaise eksponentiaaliyhtälö \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) Ratkaisu: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Käytämme taas tehoominaisuutta \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) vastakkaiseen suuntaan. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Muista nyt, että \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\) Asteiden ominaisuuksien avulla muunnamme: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) Katsomme yhtälöä huolellisesti ja huomaamme, että korvaus \(t=2^x\) ehdottaa itseään. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Löysimme kuitenkin \(t\) arvot ja tarvitsemme \(x\). Palaamme X:ään ja teemme käänteisen vaihdon. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Muunnamme toisen yhtälön ominaisuuden avulla negatiivinen aste… \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...ja päätämme vastaukseen asti. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Vastaus : \(-1; 1\). Kysymys jää - kuinka ymmärtää, milloin mitä menetelmää käyttää? Tämä tulee kokemuksen myötä. Kunnes saat sen, käytä sitä yleinen suositus ratkaista monimutkaisia ​​ongelmia - "jos et tiedä mitä tehdä, tee mitä voit." Eli etsi kuinka voit muuttaa yhtälön periaatteessa ja yritä tehdä se - entä jos mitä tapahtuu? Tärkeintä on tehdä vain matemaattisesti perustuvia muunnoksia. Eksponentiaaliyhtälöt ilman ratkaisuja Katsotaanpa vielä kahta tilannetta, jotka usein hämmentävät opiskelijoita: - potenssin positiivinen luku on yhtä suuri kuin nolla, esimerkiksi \(2^x=0\); - positiivinen luku potenssille on yhtä suuri kuin negatiivinen numero esimerkiksi \(2^x=-4\). Yritetään ratkaista raa'alla voimalla. Jos x on positiivinen luku, niin x:n kasvaessa koko teho \(2^x\) vain kasvaa: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Myös. Negatiiviset X:t jäljellä. Kun muistamme ominaisuuden \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\, tarkistamme: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Huolimatta siitä, että luku pienenee joka askeleella, se ei koskaan saavuta nollaa. Joten negatiivinen aste ei pelastanut meitä. Tulemme loogiseen johtopäätökseen: Positiivinen luku missä tahansa määrin pysyy positiivisena lukuna. Siten molemmilla yllä olevilla yhtälöillä ei ole ratkaisuja. Eksponentiaaliyhtälöt eri kantajilla Käytännössä joskus kohtaamme eksponentiaaliyhtälöitä eri syistä, joita ei voida pelkistää toisiinsa, ja samaan aikaan samoilla eksponenteilla. Ne näyttävät tältä: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), missä \(a\) ja \(b\) ovat positiivisia lukuja. Esimerkiksi: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Tällaiset yhtälöt voidaan helposti ratkaista jakamalla millä tahansa yhtälön puolella (yleensä jaettuna oikea puoli, eli kohdassa \(b^(f(x))\). Voit jakaa tällä tavalla, koska positiivinen luku on positiivinen mille tahansa potenssille (eli emme jaa nollalla). Saamme: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Esimerkki . Ratkaise eksponentiaaliyhtälö \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Ratkaisu: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Täällä emme voi muuttaa viidestä kolmea, emmekä päinvastoin (mukaan vähintään, ilman käyttöä). Tämä tarkoittaa, että emme voi tulla muotoon \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Indikaattorit ovat kuitenkin samat. Jaetaan yhtälö oikealla puolella, eli \(3^(x+7)\) (voimme tehdä tämän, koska tiedämme, että kolme ei ole nolla missään asteessa). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Muista nyt ominaisuus \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) ja käytä sitä vasemmalta päinvastaiseen suuntaan. Oikealla yksinkertaisesti pienennämme murto-osaa. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Vaikuttaa siltä, ​​että asiat eivät ole parantuneet. Mutta muista vielä yksi tehon ominaisuus: \(a^0=1\), toisin sanoen: "mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin \(1\)." Päinvastoin on myös totta: "yksi voidaan esittää mikä tahansa luku nollapotenssiin asti." Hyödynnetään tätä tekemällä oikeanpuoleisesta pohjasta sama kuin vasemmalla. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Poistetaan pohjat. Kirjoitamme vastausta. Vastaus : \(-7\). Joskus eksponentien "samallisuus" ei ole ilmeistä, mutta eksponentien ominaisuuksien taitava käyttö ratkaisee tämän ongelman. Esimerkki . Ratkaise eksponentiaaliyhtälö \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Ratkaisu: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Yhtälö näyttää erittäin surulliselta... Sen lisäksi, että kantaa ei voida pelkistää samaan määrään (seitsemän ei ole millään tavalla yhtä suuri kuin \(\frac(1)(3)\)), vaan myös eksponentit ovat erilaisia. .. Käytetään kuitenkin vasenta eksponenttia kakkosta. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Kun muistamme ominaisuuden \((a^b)^c=a^(b·c)\) , muunnamme vasemmalta: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Nyt, muistaen negatiivisen asteen ominaisuuden \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\, muunnamme oikealta: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Halleluja! Indikaattorit ovat samat! Toimimalla meille jo tutun kaavan mukaan, ratkaisemme ennen vastausta. Vastaus : \(2\).

Tämä on yhtälöiden nimi muotoa, jossa tuntematon on sekä potenssin eksponentti että kanta.

Voit määrittää täysin selkeän algoritmin muotoyhtälön ratkaisemiseksi. Tätä varten sinun on kiinnitettävä huomiota siihen, että milloin Vai niin) ei ole yhtä suuri kuin nolla, yksi ja miinus yksi potenssien yhtäläisyys kanssa samoilla perusteilla(olipa se positiivinen tai negatiivinen) on mahdollista vain, jos eksponentit ovat yhtä suuret, eli kaikki yhtälön juuret ovat yhtälön juuria f(x) = g(x) Käänteinen väite ei ole totta, milloin Vai niin)< 0 ja murto-osia f(x) Ja g(x) ilmaisuja Vai niin) f(x) Ja

Vai niin) g(x) menettävät merkityksensä. Eli siirryttäessä kohteesta toiseen f(x) = g(x)(for ja vieraita juuria saattaa esiintyä, jotka on suljettava pois tarkistamalla alkuperäistä yhtälöä vastaan. Ja tapaukset a = 0, a = 1, a = -1 on harkittava erikseen.

Joten varten täydellinen ratkaisu yhtälöt tarkastelemme tapauksia:

a(x) = O f(x) Ja g(x) on positiivisia lukuja, tämä on ratkaisu. Muuten ei

a(x) = 1. Tämän yhtälön juuret ovat myös alkuperäisen yhtälön juuret.

a(x) = -1. Jos x:n arvolla, joka täyttää tämän yhtälön, f(x) Ja g(x) ovat saman pariteetin kokonaislukuja (joko molemmat parilliset tai molemmat parittomat), niin tämä on ratkaisu. Muuten ei

Milloin ja ratkaisemme yhtälön f(x)= g(x) ja korvaamalla saadut tulokset alkuperäiseen yhtälöön leikkaamme pois vieraat juuret.

Esimerkkejä eksponentiaali-tehoyhtälöiden ratkaisemisesta.

Esimerkki nro 1.

1) x - 3 = 0, x = 3. koska 3 > 0 ja 3 2 > 0, niin x 1 = 3 on ratkaisu.

2) x - 3 = 1, x 2 = 4.

3) x - 3 = -1, x = 2. Molemmat indikaattorit ovat parillisia. Tämä ratkaisu on x 3 = 1.

4) x - 3? 0 ja x? ± 1. x = x 2, x = 0 tai x = 1. Jos x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 - tämä ratkaisu on oikea: x 4 = 0. Jos x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 - tämä ratkaisu on oikea x 5 = 1.

Vastaus: 0, 1, 2, 3, 4.

Esimerkki nro 2.

Aritmeettisen määritelmän mukaan neliöjuuri: x - 1 ? 0, x? 1.

1) x - 1 = 0 tai x = 1, = 0, 0 0 ei ole ratkaisu.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 = -1 x 2 = 0 ei sovi ODZ:hen.

D = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - ei ole juuria.

1º. Eksponentiaaliyhtälöt kutsutaan yhtälöiksi, jotka sisältävät muuttujan eksponentissa.

Ratkaisu eksponentiaaliyhtälöt perustuen asteen ominaisuuteen: kaksi potenssia, joilla on sama kanta, ovat yhtä suuret silloin ja vain, jos niiden eksponentit ovat yhtä suuret.

2º. Perusmenetelmät eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen:

1) yksinkertaisimmalla yhtälöllä on ratkaisu;

2) yhtälö, jonka muoto on logaritminen kantaan a pienentää muotoon;

3) muodon yhtälö vastaa yhtälöä ;

4) muodon yhtälö vastaa yhtälöä.

5) muotoinen yhtälö pelkistetään korvaamalla yhtälö, ja sitten ratkaistaan ​​joukko yksinkertaisia ​​eksponenttiyhtälöitä;

6) yhtälö käänteisluvun kanssa vastavuoroiset korvaamalla ne pelkistävät yhtälöksi ja ratkaisevat sitten joukon yhtälöjä;

7) yhtälöt homogeeniset suhteessa a g(x) Ja b g(x) olettaen että kiltti korvaamisen kautta ne pelkistetään yhtälöksi, ja sitten yhtälöjoukko ratkaistaan.

Eksponentiaaliyhtälöiden luokitus.

1. Yhtälöt ratkaistaan ​​menemällä yhteen kantaan.

Esimerkki 18. Ratkaise yhtälö .

Ratkaisu: Hyödynnetään sitä, että kaikki potenssien kantaluvut ovat luvun 5 potenssit: .

2. Yhtälöt ratkaistaan ​​siirtymällä yhteen eksponenttiin.

Nämä yhtälöt ratkaistaan ​​muuttamalla alkuperäinen yhtälö muotoon , joka vähennetään yksinkertaisimpaansa käyttämällä suhteellisuusominaisuutta.

Esimerkki 19. Ratkaise yhtälö:

3. Yhtälöt ratkaistaan ​​ottamalla yhteinen tekijä pois suluista.

Jos yhtälön kukin eksponentti eroaa toisesta tietyllä luvulla, yhtälöt ratkaistaan ​​jättämällä pienimmän eksponentin sisältävä eksponentti sulkeiden ulkopuolelle.

Esimerkki 20. Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu: Otetaan aste, jolla on pienin eksponentti, suluista yhtälön vasemmalla puolella:

Esimerkki 21. Ratkaise yhtälö

Ratkaisu: Ryhmitetään erikseen yhtälön vasemmalle puolelle termit, jotka sisältävät potenssit kantaluvulla 4, oikealla puolella - kantalla 3, ja laitetaan pienimmän eksponentin potenssit suluihin:

4. Yhtälöt, jotka pelkistyvät neliöyhtälöiksi (tai kuutioyhtälöiksi)..

TO toisen asteen yhtälö Seuraavat yhtälöt pelkistetään uuden muuttujan y suhteen:

a) tässä tapauksessa korvaamisen tyyppi;

b) korvaamisen tyyppi ja .

Esimerkki 22. Ratkaise yhtälö .

Ratkaisu: Tehdään muuttujan muutos ja ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälö:

.

Vastaus: 0; 1.

5. Yhtälöt, jotka ovat homogeenisiä eksponentiaalisten funktioiden suhteen.

Muodon yhtälö on homogeeninen yhtälö toisen asteen tuntemattomiin verrattuna x Ja b x. Tällaiset yhtälöt pelkistetään jakamalla ensin molemmat puolet ja korvaamalla ne sitten toisen asteen yhtälöiksi.

Esimerkki 23. Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu: Jaa yhtälön molemmat puolet:

Laskemalla saamme toisen asteen yhtälön, jossa on juuret.

Nyt ongelmana on yhtälöjoukon ratkaiseminen . Ensimmäisestä yhtälöstä huomaamme, että . Toisella yhtälöllä ei ole juuria, koska mille tahansa arvolle x.

Vastaus: -1/2.

6. Rationaaliset yhtälöt suhteessa eksponentiaalisiin funktioihin.

Esimerkki 24. Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu: Jaa murtoluvun osoittaja ja nimittäjä 3 x ja kahden sijasta saamme yhden eksponentiaalisen funktion:

7. Muodon yhtälöt .

Sellaiset yhtälöt, joissa on joukko sallittuja arvoja (APV), jotka määritetään ehdolla, ottamalla yhtälön molempien puolten logaritmi, pelkistetään ekvivalentiksi yhtälöksi, joka puolestaan ​​​​vastaa kahden yhtälön joukkoa tai.

Esimerkki 25. Ratkaise yhtälö: .

.

Didaktinen materiaali.

Ratkaise yhtälöt:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Etsi yhtälön juurten tulo .

27. Etsi yhtälön juurien summa .

Etsi ilmaisun merkitys:

28. , missä x 0- yhtälön juuri;

29. , missä x 0– yhtälön koko juuri .

Ratkaise yhtälö:

31. ; 32. .

Vastaukset: 10; 2. -2/9; 3. 1/36; 4,0, 0,5; 50; 6,0; 7. -2; 8,2; 9. 1, 3; 10. 8; 11,5; 12,1; 13. ¼; 14,2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17,0; 18,1; 19,0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23,4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27,3; 28.11; 29,54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .

Aihe nro 8.

Eksponentiaaliset epätasa-arvot.

1º. Epäyhtälöä, jonka eksponentti sisältää muuttujan, kutsutaan eksponentiaalinen epätasa-arvo.

2º. Ratkaisu muodon eksponentiaalisiin epäyhtälöihin perustuu seuraaviin väitteisiin:

jos , niin epätasa-arvo vastaa ;

jos , niin epätasa-arvo vastaa .

Eksponentiaalisten epäyhtälöiden ratkaisemisessa käytetään samoja tekniikoita kuin eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa.

Esimerkki 26. Ratkaise epäyhtälö (tapa siirtyä yhteen tukikohtaan).

Ratkaisu: Koska , niin annettu epäyhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti: . Koska , Tämä epätasa-arvo vastaa epätasa-arvoa .

Ratkaisemalla viimeinen epäyhtälö, saamme .

Esimerkki 27. Ratkaise epäyhtälö: ( ottamalla yhteinen tekijä pois suluista).

Ratkaisu: Otetaan suluista epäyhtälön vasemmalla puolella, epäyhtälön oikealla puolella ja jaetaan epäyhtälön molemmat puolet (-2) muuttamalla epäyhtälön etumerkki päinvastaiseksi:

Koska , sitten siirryttäessä indikaattoreiden epätasa-arvoon, eriarvoisuuden merkki muuttuu jälleen päinvastaiseksi. Saamme. Siten tämän epäyhtälön kaikkien ratkaisujen joukko on intervalli.

Esimerkki 28. Ratkaise epäyhtälö ( ottamalla käyttöön uuden muuttujan).

Ratkaisu: Anna. Sitten tämä epätasa-arvo saa muotonsa: tai , jonka ratkaisu on väli .

Täältä. Koska funktio kasvaa, niin .

Didaktinen materiaali.

Määritä ratkaisujoukko epäyhtälölle:

1. ; 2. ; 3. ;

6. Millä arvoilla x Ovatko funktiokaavion pisteet suoran alapuolella?

7. Millä arvoilla x Ovatko funktion kaavion pisteet vähintään yhtä kaukana kuin suora?

Ratkaise epäyhtälö:

8. ; 9. ; 10. ;

13. Määritä epäyhtälön suurin kokonaislukuratkaisu .

14. Etsi epäyhtälön suurimman kokonaisluvun ja pienimmän kokonaislukuratkaisun tulo .

Ratkaise epäyhtälö:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Etsi funktion toimialue:

27. ; 28. .

29. Etsi joukko argumenttiarvoja, joilla kunkin funktion arvot ovat suurempia kuin 3:

Ja .

Vastaukset: 11,3; 12,3; 13. -3; 14,1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3.5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. )