ההיגיון לעיל הוא פשוט, אך מפשט באופן ניכר את הפתרון של אי-שוויון לוגריתמי.

דוגמה 4

log x (x 2 -3)<0

פִּתָרוֹן:

דוגמה 5

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

פִּתָרוֹן:

תשובה. (0; 0.5) U .

דוגמה 6

כדי לפתור את אי השוויון הזה, נכתוב (x-1-1) (x-1) במקום המכנה, ואת המכפלה (x-1) (x-3-9 + x) במקום המונה.

תשובה : (3;6)

דוגמה 7

דוגמה 8

2.3. החלפה לא סטנדרטית.

דוגמה 1

דוגמה 2

דוגמה 3

דוגמה 4

דוגמה 5

דוגמה 6

דוגמה 7

log 4 (3 x -1) log 0.25

בוא נעשה את ההחלפה y=3 x -1; ואז אי השוויון הזה מקבל את הצורה

log 4 log 0.25
.

כי log 0.25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , ואז נכתוב מחדש את אי השוויון האחרון כ-2log 4 y -log 4 2 y ≤.

בוא נעשה החלפה t =log 4 y ונקבל את אי השוויון t 2 -2t +≥0, שהפתרון שלו הוא המרווחים - .

לפיכך, כדי למצוא את הערכים של y, יש לנו קבוצה של שני אי-שוויון פשוטים ביותר
הפתרון של אוסף זה הוא המרווחים 0<у≤2 и 8≤у<+.

לכן, אי השוויון המקורי שווה ערך לקבוצת שני אי השוויון המעריכיים,
כלומר אגרגטים

הפתרון של אי השוויון הראשון של קבוצה זו הוא המרווח 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. לפיכך, אי השוויון המקורי מתקיים עבור כל הערכים של x מהמרווחים 0<х≤1 и 2≤х<+.

דוגמה 8

פִּתָרוֹן:

אי שוויון הוא בגדר מערכת

הפתרון של אי השוויון השני, הקובע את ה-ODZ, יהיה מכלול אלה איקס,

לאיזה איקס > 0.

כדי לפתור את אי השוויון הראשון, אנחנו עושים את השינוי

ואז נקבל את אי השוויון

אוֹ

מכלול הפתרונות של אי השוויון האחרון נמצא בשיטה

מרווחים: -1< ט < 2. Откуда, возвращаясь к переменной איקס, אנחנו מקבלים

אוֹ

רבים מאלה איקס, שמספקים את אי השוויון האחרון

שייך ל-ODZ ( איקס> 0), לפיכך, הוא פתרון למערכת,

ומכאן אי השוויון המקורי.

תשובה:

2.4. משימות עם מלכודות.

דוגמה 1

.

פִּתָרוֹן.ה-ODZ של אי השוויון הוא כל x המקיים את התנאי 0 . לכן, כל x מהמרווח 0

דוגמה 2

log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.. ? הנקודה היא שהמספר השני ללא ספק גדול מ

סיכום

לא היה קל למצוא שיטות מיוחדות לפתרון בעיות C3 משפע גדול של מקורות חינוכיים שונים. במהלך העבודה הצלחתי ללמוד שיטות לא סטנדרטיות לפתרון אי שוויון לוגריתמי מורכב. אלו הם: מעברים שווים ושיטת המרווחים המוכללת, שיטת הרציונליזציה , החלפה לא סטנדרטית , משימות עם מלכודות ב-ODZ. שיטות אלו נעדרות בתכנית הלימודים בבית הספר.

בעזרת שיטות שונות, פתרתי 27 אי-שוויון שהוצעו ב-USE בחלק ג', כלומר C3. אי שוויון אלו עם פתרונות לפי שיטות היוו את הבסיס לאוסף "Logarithmic C3 Inequalities with Solutions", שהפך לתוצר הפרויקט של פעילותי. ההשערה שהעליתי בתחילת הפרויקט אוששה: ניתן לפתור בעיות C3 ביעילות אם שיטות אלו ידועות.

בנוסף, גיליתי עובדות מעניינות על לוגריתמים. היה לי מעניין לעשות את זה. תוצרי הפרויקט שלי יהיו שימושיים הן לתלמידים והן למורים.

מסקנות:

כך, מטרת הפרויקט מושגת, הבעיה נפתרת. וקיבלתי את הניסיון המלא והרב-תכליתי ביותר בפעילויות הפרויקט בכל שלבי העבודה. במהלך העבודה על הפרויקט, ההשפעה ההתפתחותית העיקרית שלי הייתה על יכולת נפשית, פעילויות הקשורות לפעולות נפשיות לוגיות, פיתוח יכולת יצירתית, יוזמה אישית, אחריות, התמדה ופעילות.

ערובה להצלחה בעת יצירת פרויקט מחקר עבור הפכתי להיות: ניסיון בית ספרי משמעותי, יכולת להוציא מידע ממקורות שונים, לבדוק את מהימנותו, לדרג אותו לפי משמעותו.

בנוסף לידע ישיר בנושאים במתמטיקה, הוא הרחיב את כישוריו המעשיים בתחום מדעי המחשב, צבר ידע וניסיון חדש בתחום הפסיכולוגיה, יצר קשרים עם חברים לכיתה ולמד לשתף פעולה עם מבוגרים. במהלך פעילות הפרויקט פותחו כישורים ויכולות חינוכיות כלליות ארגוניות, אינטלקטואליות ותקשורתיות.

סִפְרוּת

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. מערכות של אי-שוויון עם משתנה אחד (משימות טיפוסיות C3).

2. מלקובה א.ג. הכנה לבחינת המדינה המאוחדת במתמטיקה.

3. S. S. Samarova, פתרון אי-שוויון לוגריתמי.

4. מתמטיקה. אוסף עבודות הדרכה בעריכת א.ל. סמיונוב ואי.וי. יאשצ'נקו. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 עמ'-

הפרטיות שלך חשובה לנו. מסיבה זו, פיתחנו מדיניות פרטיות המתארת ​​כיצד אנו משתמשים ומאחסנים את המידע שלך. אנא קרא את מדיניות הפרטיות שלנו ויידע אותנו אם יש לך שאלות כלשהן.

איסוף ושימוש במידע אישי

מידע אישי מתייחס לנתונים שניתן להשתמש בהם כדי לזהות או ליצור קשר עם אדם ספציפי.

ייתכן שתתבקש לספק את המידע האישי שלך בכל עת בעת יצירת קשר.

להלן מספר דוגמאות לסוגי המידע האישי שאנו עשויים לאסוף וכיצד אנו עשויים להשתמש במידע כזה.

איזה מידע אישי אנחנו אוספים:

• בעת הגשת בקשה לאתר, אנו עשויים לאסוף פרטים שונים, לרבות שמך, מספר הטלפון, כתובת הדואר האלקטרוני שלך וכו'.

כיצד אנו משתמשים במידע האישי שלך:

• המידע האישי שאנו אוספים מאפשר לנו ליצור איתך קשר וליידע אותך לגבי הצעות ייחודיות, מבצעים ואירועים נוספים ואירועים קרובים.
• מעת לעת, אנו עשויים להשתמש במידע האישי שלך כדי לשלוח לך הודעות והודעות חשובות.
• אנו עשויים להשתמש במידע אישי גם למטרות פנימיות, כגון ביצוע ביקורות, ניתוח נתונים ומחקרים שונים על מנת לשפר את השירותים שאנו מספקים ולספק לך המלצות לגבי השירותים שלנו.
• אם תצטרף להגרלת פרס, לתחרות או תמריץ דומה, אנו עשויים להשתמש במידע שאתה מספק כדי לנהל תוכניות כאלה.

חשיפה לצדדים שלישיים

איננו חושפים מידע שהתקבל ממך לצדדים שלישיים.

חריגים:

• במקרה שהדבר נחוץ - בהתאם לחוק, לצו שיפוטי, בהליכים משפטיים ו/או בהתבסס על בקשות או בקשות ציבוריות מגופים ממלכתיים בשטח הפדרציה הרוסית - חשפו את המידע האישי שלכם. אנו עשויים גם לחשוף מידע אודותיך אם נקבע כי חשיפה כזו נחוצה או מתאימה למטרות אבטחה, אכיפת חוק או אינטרס ציבורי אחר.
• במקרה של ארגון מחדש, מיזוג או מכירה, אנו עשויים להעביר את המידע האישי שאנו אוספים ליורש הצד השלישי הרלוונטי.

הגנה על מידע אישי

אנו נוקטים באמצעי זהירות - לרבות מנהליים, טכניים ופיסיים - כדי להגן על המידע האישי שלך מפני אובדן, גניבה ושימוש לרעה, כמו גם מפני גישה לא מורשית, חשיפה, שינוי והרס.

שמירה על פרטיותך ברמת החברה

כדי להבטיח שהמידע האישי שלך מאובטח, אנו מעבירים לעובדים שלנו נוהלי פרטיות ואבטחה ואוכפים בקפדנות את נוהלי הפרטיות.

אי שוויון לוגריתמי

בשיעורים קודמים התוודענו למשוואות לוגריתמיות ועכשיו אנחנו יודעים מהן ואיך לפתור אותן. והשיעור של היום יוקדש לחקר אי השוויון הלוגריתמי. מהם אי-השוויון ומה ההבדל בין פתרון משוואה לוגריתמית לבין אי-שוויון?

אי שוויון לוגריתמי הם אי שוויון שיש להם משתנה מתחת לסימן הלוגריתם או בבסיסו.

לחלופין, אפשר גם לומר שאי שוויון לוגריתמי הוא אי שוויון שבו הערך הלא ידוע שלו, כמו במשוואה הלוגריתמית, יהיה בסימן הלוגריתם.

אי השוויון הלוגריתמי הפשוט ביותר נראים כך:

כאשר f(x) ו-g(x) הם כמה ביטויים התלויים ב-x.

בואו נסתכל על זה באמצעות הדוגמה הבאה: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

פתרון אי שוויון לוגריתמי

לפני פתרון אי-שוויון לוגריתמי, כדאי לשים לב שכאשר הם נפתרים, הם דומים לאי-שוויון מעריכי, כלומר:

ראשית, כאשר עוברים מלוגריתמים לביטויים בסימן הלוגריתם, עלינו להשוות גם את בסיס הלוגריתם לאחד;

שנית, כאשר פותרים אי שוויון לוגריתמי באמצעות שינוי משתנים, עלינו לפתור אי שוויון ביחס לשינוי עד שנקבל את אי השוויון הפשוט ביותר.

אבל אנחנו היינו ששקלנו את הרגעים הדומים של פתרון אי-שוויון לוגריתמי. עכשיו בואו נסתכל על הבדל משמעותי למדי. אתה ואני יודעים שלפונקציה הלוגריתמית יש תחום הגדרה מוגבל, כך שכאשר עוברים מלוגריתמים לביטויים שנמצאים בסימן הלוגריתם, עליך לקחת בחשבון את טווח הערכים המקובלים (ODV).

כלומר, יש לזכור שכאשר פותרים משוואה לוגריתמית, נוכל למצוא תחילה את שורשי המשוואה, ולאחר מכן לבדוק את הפתרון הזה. אבל פתרון אי השוויון הלוגריתמי לא יעבוד כך, שכן מעבר מלוגריתמים לביטויים בסימן הלוגריתם, יהיה צורך לרשום את ה-ODZ של אי השוויון.

בנוסף, כדאי לזכור שתורת אי השוויון מורכבת ממספרים ממשיים שהם מספרים חיוביים ושליליים וכן מספר 0.

לדוגמה, כאשר המספר "a" חיובי, יש להשתמש בסימון הבא: a > 0. במקרה זה, גם הסכום והמכפלה של מספרים כאלה יהיו חיוביים.

העיקרון הבסיסי של פתרון אי שוויון הוא החלפתו באי שוויון פשוט יותר, אבל העיקר שהוא יהיה שווה ערך לזה הנתון. בנוסף, השגנו גם אי שוויון ושוב החלפנו אותו באחד שיש לו צורה פשוטה יותר, וכן הלאה.

פתרון אי שוויון עם משתנה, אתה צריך למצוא את כל הפתרונות שלו. אם לשני אי-שוויון יש את אותו משתנה x, אז אי-שוויון כזה שקול, בתנאי שהפתרונות שלהם זהים.

בעת ביצוע משימות לפתרון אי שוויון לוגריתמי, יש צורך לזכור שכאשר a > 1, אז הפונקציה הלוגריתמית גדלה, וכאשר 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

דרכים לפתור אי שוויון לוגריתמי

כעת נסתכל על כמה מהשיטות המתרחשות בעת פתרון אי שוויון לוגריתמי. להבנה והטמעה טובה יותר, ננסה להבין אותם באמצעות דוגמאות ספציפיות.

אנו יודעים שלאי השוויון הלוגריתמי הפשוט ביותר יש את הצורה הבאה:

באי שוויון זה, V - הוא אחד מסימני אי השוויון כמו:<,>, ≤ או ≥.

כאשר הבסיס של לוגריתם זה גדול מאחד (a>1), ביצוע המעבר מלוגריתמים לביטויים תחת סימן הלוגריתם, אז בגרסה זו סימן אי השוויון נשמר, ואי השוויון ייראה כך:

המקבילה למערכת הבאה:

במקרה שבו הבסיס של הלוגריתם גדול מאפס וקטן מאחד (0

זה שווה ערך למערכת הזו:

בואו נסתכל על דוגמאות נוספות לפתרון אי השוויון הלוגריתמי הפשוט ביותר המוצג בתמונה למטה:

פתרון דוגמאות

תרגיל.בואו ננסה לפתור את אי השוויון הזה:

החלטת תחום הערכים הקבילים.

כעת ננסה להכפיל את הצד הימני שלו ב:

בוא נראה מה אנחנו יכולים לעשות:

כעת, בואו נעבור לטרנספורמציה של ביטויים תת-לוגריתמיים. מכיוון שהבסיס של הלוגריתם הוא 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

ומכאן יוצא שהמרווח שהשגנו שייך כולו לאו"ד ומהווה פתרון לאי שוויון כזה.

הנה התשובה שקיבלנו:

מה דרוש כדי לפתור אי שוויון לוגריתמי?

עכשיו בואו ננסה לנתח מה אנחנו צריכים כדי לפתור בהצלחה אי שוויון לוגריתמי?

ראשית, מקד את כל תשומת הלב שלך ונסו לא לעשות טעויות בעת ביצוע הטרנספורמציות הניתנות באי-שוויון זה. כמו כן, יש לזכור שכאשר פותרים אי שוויון מסוג זה, יש צורך למנוע הרחבות וצמצומים של אי השוויון ה-ODZ העלולים להביא לאובדן או רכישה של פתרונות זרים.

שנית, כאשר פותרים אי שוויון לוגריתמי, עליך ללמוד לחשוב בהיגיון ולהבין את ההבדל בין מושגים כגון מערכת של אי שוויון ומערכת של אי שוויון, כך שתוכל לבחור בקלות פתרונות לאי שוויון, תוך כדי הדרכה על ידי ה-DHS שלו.

שלישית, כדי לפתור בהצלחה אי שוויון כאלה, כל אחד מכם חייב להכיר היטב את כל המאפיינים של פונקציות יסודיות ולהבין בבירור את משמעותן. פונקציות כאלה כוללות לא רק לוגריתמיות, אלא גם רציונליות, כוח, טריגונומטריות וכו', במילה אחת, כל אלה שלמדת במהלך האלגברה בבית הספר.

כפי שאתה יכול לראות, לאחר שלמדת את נושא אי השוויון הלוגריתמי, אין שום דבר קשה בפתרון אי השוויון הללו, בתנאי שאתה קשוב ומתמיד בהשגת המטרות שלך. כדי שלא יהיו בעיות בפתרון אי-שוויון, צריך להתאמן כמה שיותר, לפתור משימות שונות ובמקביל לשנן את הדרכים העיקריות לפתרון אי-שוויון כאלה והמערכות שלהן. עם פתרונות לא מוצלחים לאי-שוויון לוגריתמי, כדאי לנתח היטב את הטעויות שלך כדי שלא תחזור אליהם שוב בעתיד.

שיעורי בית

להטמעה טובה יותר של הנושא וגיבוש החומר המכוסה, פתרו את האי-שוויון הבא:

מטרות השיעור:

דִידַקטִי:

• רמה 1 - ללמד כיצד לפתור את אי השוויון הלוגריתמי הפשוט ביותר, תוך שימוש בהגדרת לוגריתם, תכונות הלוגריתמים;
• רמה 2 - פתרון אי שוויון לוגריתמי, בחירת שיטת פתרון משלך;
• רמה 3 - להיות מסוגל ליישם ידע ומיומנויות במצבים לא סטנדרטיים.

מתפתח:לפתח זיכרון, קשב, חשיבה לוגית, מיומנויות השוואה, להיות מסוגלים להכליל ולהסיק מסקנות

חינוכי:לטפח דיוק, אחריות על המשימה שבוצעה, עזרה הדדית.

שיטות לימוד: מילולי , חָזוּתִי , מַעֲשִׂי , חיפוש חלקי , ממשלה עצמית , לִשְׁלוֹט.

צורות ארגון של פעילות קוגניטיבית של תלמידים: חֲזִיתִי , אִישִׁי , לעבוד בזוגות.

צִיוּד: קבוצה של משימות בדיקה, הערת עזר, גיליונות ריקים לפתרונות.

סוג שיעור:ללמוד חומר חדש.

במהלך השיעורים

1. רגע ארגוני.מוכרזים נושא ומטרות השיעור, סכמת השיעור: לכל תלמיד ניתן דף הערכה, אותו ממלא התלמיד במהלך השיעור; לכל זוג תלמידים - חומרים מודפסים עם משימות, צריך לבצע את המשימות בזוגות; גיליונות ריקים לקבלת החלטות; דפי עזר: הגדרת הלוגריתם; גרף של פונקציה לוגריתמית, תכונותיה; מאפיינים של לוגריתמים; אלגוריתם לפתרון אי שוויון לוגריתמי.

כל ההחלטות לאחר הערכה עצמית מוגשות למורה.

גיליון ציונים של תלמידים

2. מימוש ידע.

הוראות מורה. זכרו את הגדרת הלוגריתם, את גרף הפונקציה הלוגריתמית ואת תכונותיה. לשם כך, קרא את הטקסט בעמ' 88–90, 98–101 של ספר הלימוד "אלגברה ותחילת הניתוח 10–11" בעריכת ש.א אלימוב, יו.מ. קוליאגין ואחרים.

התלמידים מקבלים גיליונות עליהם כתוב: הגדרת הלוגריתם; מציג גרף של פונקציה לוגריתמית, תכונותיה; מאפיינים של לוגריתמים; אלגוריתם לפתרון אי שוויון לוגריתמי, דוגמה לפתרון אי שוויון לוגריתמי שמצטמצם לריבוע.

3. לימוד חומר חדש.

הפתרון של אי-שוויון לוגריתמי מבוסס על המונוטוניות של הפונקציה הלוגריתמית.

אלגוריתם לפתרון אי שוויון לוגריתמי:

א) מצא את תחום ההגדרה של אי השוויון (הביטוי התת-לוגריתמי גדול מאפס).
ב) הצג (אם אפשר) את החלק השמאלי והימני של אי השוויון כלוגריתמים באותו בסיס.
ג) קבע אם הפונקציה הלוגריתמית עולה או יורדת: אם t>1, אז עולה; אם 0 1, ואז יורד.
ד) עבור לאי שוויון פשוט יותר (של ביטויים תת-לוגריתמיים), תוך התחשבות בכך שסימן אי השוויון יישמר אם הפונקציה גדלה, וישתנה אם היא יורדת.

אלמנט למידה מס' 1.

מטרה: לתקן את הפתרון של אי השוויון הלוגריתמי הפשוט ביותר

צורת ארגון הפעילות הקוגניטיבית של התלמידים: עבודה פרטנית.

משימות לעבודה עצמאית למשך 10 דקות. לכל אי שוויון יש כמה תשובות, צריך לבחור נכון ולבדוק לפי מפתח.

מפתח: 13321, מקסימום נקודות - 6 עמ'.

אלמנט למידה מס' 2.

מטרה: לתקן את הפתרון של אי שוויון לוגריתמי על ידי יישום תכונות הלוגריתמים.

הוראות מורה. זכור את התכונות הבסיסיות של לוגריתמים. לשם כך, קרא את הטקסט של ספר הלימוד בעמ' 92, 103–104.

משימות לעבודה עצמאית למשך 10 דקות.

מפתח: 2113, המספר המרבי של נקודות הוא 8 ב.

אלמנט למידה מס' 3.

מטרה: ללמוד את פתרון אי השוויון הלוגריתמי בשיטת ההפחתה לריבוע.

הוראות המורה: השיטה להקטנת אי השוויון לריבוע היא להפוך את אי השוויון לצורה כזו שפונקציה לוגריתמית מסוימת מסומנת במשתנה חדש, תוך קבלת אי שוויון ריבועי ביחס למשתנה זה.

בואו נשתמש בשיטת המרווחים.

עברת את הרמה הראשונה של הטמעת החומר. כעת תצטרכו לבחור באופן עצמאי שיטה לפתרון משוואות לוגריתמיות, תוך שימוש בכל הידע והיכולות שלכם.

אלמנט למידה מספר 4.

מטרה: לגבש את הפתרון של אי שוויון לוגריתמי על ידי בחירת דרך רציונלית לפתור אותו בעצמך.

משימות לעבודה עצמאית למשך 10 דקות

אלמנט למידה מספר 5.

הוראות מורה. כל הכבוד! שליטת בפתרון משוואות ברמת המורכבות השנייה. מטרת העבודה הנוספת שלך היא ליישם את הידע והכישורים שלך במצבים מורכבים יותר ולא סטנדרטיים.

משימות לפתרון עצמאי:

הוראות מורה. זה נהדר אם עשית את כל העבודה. כל הכבוד!

הציון עבור כל השיעור תלוי במספר הנקודות שנצברו עבור כל האלמנטים החינוכיים:

• אם N ≥ 20, אז אתה מקבל ציון של "5",
• עבור 16 ≤ N ≤ 19 - ציון "4",
• עבור 8 ≤ N ≤ 15 - ציון "3",
• ב-N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

שועלים משוערים למסור למורה.

5. שיעורי בית: אם קיבלת ציון לא יותר מ-15 ב' - תעבוד על הטעויות (ניתן לקחת פתרונות מהמורה), אם קיבלת ציון של יותר מ-15 ב' - בצע משימה יצירתית בנושא "אי-שוויון לוגריתמי".

בין כל מגוון האי-שוויון הלוגריתמי, אי-שוויון עם בסיס משתנה נלמד בנפרד. הם נפתרים על פי נוסחה מיוחדת, שמשום מה נלמדת לעתים רחוקות בבית הספר:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

במקום עורב "∨", אתה יכול לשים כל סימן אי שוויון: פחות או יותר. העיקר שבשני אי השוויון הסימנים זהים.

אז אנחנו נפטרים מהלוגריתמים ומצמצמים את הבעיה לאי שוויון רציונלי. את האחרון הרבה יותר קל לפתור, אבל כאשר זורקים לוגריתמים, עשויים להופיע שורשים נוספים. כדי לחתוך אותם, מספיק למצוא את טווח הערכים הקבילים. אם שכחת את ה-ODZ של הלוגריתם, אני ממליץ בחום לחזור עליו - ראה "מהו לוגריתם".

כל מה שקשור לטווח הערכים המקובלים חייב להיכתב ולפתור בנפרד:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

ארבעת אי השוויון הללו מהווים מערכת ויש להגשים אותם בו זמנית. כאשר נמצא טווח הערכים המקובל, נותר לחצות אותו עם הפתרון של אי שוויון רציונלי - והתשובה מוכנה.

מְשִׁימָה. לפתור את אי השוויון:

ראשית, נכתוב את ה-ODZ של הלוגריתם:

שני אי השוויון הראשונים מתבצעים באופן אוטומטי, ואת האחרון יהיה צורך לכתוב. מכיוון שהריבוע של מספר הוא אפס אם ורק אם המספר עצמו הוא אפס, יש לנו:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

מסתבר שה-ODZ של הלוגריתם הוא כל המספרים מלבד אפס: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). כעת אנו פותרים את אי השוויון העיקרי:

אנו מבצעים את המעבר מאי השוויון הלוגריתמי לרציונלי. באי השוויון המקורי יש סימן "פחות מ", ולכן אי השוויון המתקבל צריך להיות גם עם סימן "פחות מ". יש לנו:

(10 - (x 2 + 1)) (x 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x2) x2< 0;
(3 - x) (3 + x) x 2< 0.

אפסים של ביטוי זה: x = 3; x = -3; x = 0. יתרה מכך, x = 0 הוא השורש של הכפל השני, כלומר כאשר עוברים דרכו, סימן הפונקציה אינו משתנה. יש לנו:

נקבל x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). קבוצה זו כלולה לגמרי ב-ODZ של הלוגריתם, מה שאומר שזו התשובה.

טרנספורמציה של אי-שוויון לוגריתמי

לעתים קרובות אי השוויון המקורי שונה מזה שלמעלה. קל לתקן זאת לפי הכללים הסטנדרטיים לעבודה עם לוגריתמים - ראה "מאפיינים בסיסיים של לוגריתמים". כלומר:

1. כל מספר יכול להיות מיוצג כלוגריתם עם בסיס נתון;
2. ניתן להחליף את הסכום וההפרש של לוגריתם עם אותו בסיס בלוגריתם בודד.

בנפרד, אני רוצה להזכיר לך את טווח הערכים המקובלים. מכיוון שעשויים להיות מספר לוגריתמים באי השוויון המקורי, נדרש למצוא את ה-DPV של כל אחד מהם. לפיכך, הסכימה הכללית לפתרון אי שוויון לוגריתמי היא כדלקמן:

1. מצא את ה-ODZ של כל לוגריתם הכלול באי השוויון;
2. הפחת את אי השוויון לסטנדרטי באמצעות הנוסחאות לחיבור והפחתה של לוגריתמים;
3. פתור את אי השוויון שנוצר על פי הסכמה שלמעלה.

מְשִׁימָה. לפתור את אי השוויון:

מצא את תחום ההגדרה (ODZ) של הלוגריתם הראשון:

אנו פותרים בשיטת המרווחים. מציאת האפסים של המונה:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

ואז - האפסים של המכנה:

x − 1 = 0;
x = 1.

אנו מסמנים אפסים וסימנים על חץ הקואורדינטות:

נקבל x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). הלוגריתם השני של ה-ODZ יהיה זהה. אם אתה לא מאמין לי, אתה יכול לבדוק. כעת אנו הופכים את הלוגריתם השני כך שהבסיס הוא שני:

כפי שניתן לראות, השלשות בבסיס ולפני הלוגריתם הצטמצמו. קבל שני לוגריתמים עם אותו בסיס. בואו נחבר אותם יחד:

log 2 (x - 1) 2< 2;
log 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .

השגנו את אי השוויון הלוגריתמי הסטנדרטי. אנו נפטרים מהלוגריתמים על ידי הנוסחה. מכיוון שיש סימן פחות מ באי השוויון המקורי, הביטוי הרציונלי המתקבל חייב להיות גם קטן מאפס. יש לנו:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).

קיבלנו שני סטים:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. מועמד לתשובה: x ∈ (-1; 3).

נותר לחצות את הסטים הללו - אנו מקבלים את התשובה האמיתית:

אנו מעוניינים בהצטלבות של סטים, ולכן אנו בוחרים את המרווחים המוצללים על שני החצים. נקבל x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - כל הנקודות מנוקבות.