Internetinis skaičiuotuvas leidžia greitai rasti dviejų ir bet kurio kito skaičių didžiausią bendrą daliklį ir mažiausią bendrą kartotinį.

Skaičiuoklė GCD ir LCM paieškai

Raskite GCD ir LOC

Rasta GCD ir LOC: 5806

Kaip naudotis skaičiuokle

• Įvesties lauke įveskite skaičius
• Jei įvesite neteisingus simbolius, įvesties laukas bus paryškintas raudonai
• spustelėkite mygtuką „Rasti GCD ir LOC“.

Kaip įvesti skaičius

• Skaičiai įvedami atskirti tarpu, tašku arba kableliu
• Įvestų skaičių ilgis neribojamas, todėl nėra sunku rasti ilgų skaičių GCD ir LCM

Kas yra GCD ir NOC?

Didžiausias bendras daliklis keli skaičiai yra didžiausias natūralusis skaičius, iš kurio visi pradiniai skaičiai dalijasi be liekanos. Didžiausias bendras daliklis yra sutrumpintas kaip GCD.
Mažiausias bendras kartotinis yra keli skaičiai mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno pradinio skaičiaus be liekanos. Mažiausias bendras kartotinis sutrumpintas kaip NOC.

Kaip patikrinti, ar skaičius dalijasi iš kito skaičiaus be liekanos?

Norėdami sužinoti, ar vienas skaičius dalijasi iš kito be liekanos, galite naudoti kai kurias skaičių dalijimosi savybes. Tada juos sujungę galite patikrinti kai kurių iš jų ir jų derinių dalijamumą.

Kai kurie skaičių dalijimosi ženklai

1. Skaičiaus dalijimosi iš 2 testas
Norint nustatyti, ar skaičius dalijasi iš dviejų (ar jis lyginis), pakanka pažvelgti į paskutinį šio skaičiaus skaitmenį: jei jis lygus 0, 2, 4, 6 arba 8, tada skaičius yra lyginis, tai reiškia, kad jis dalijasi iš 2.
Pavyzdys: nustatyti, ar skaičius 34938 dalijasi iš 2.
Sprendimas: Mes žiūrime į paskutinį skaitmenį: 8 - tai reiškia, kad skaičius dalijasi iš dviejų.

2. Skaičiaus dalijimosi iš 3 testas
Skaičius dalijasi iš 3, kai jo skaitmenų suma dalijasi iš trijų. Taigi, norint nustatyti, ar skaičius dalijasi iš 3, reikia apskaičiuoti skaitmenų sumą ir patikrinti, ar ji dalijasi iš 3. Net jei skaitmenų suma yra labai didelė, tą patį procesą galima pakartoti dar kartą.
Pavyzdys: nustatyti, ar skaičius 34938 dalijasi iš 3.
Sprendimas: Skaičiuojame skaičių sumą: 3+4+9+3+8 = 27. 27 dalijasi iš 3, vadinasi, skaičius dalijasi iš trijų.

3. Skaičiaus dalijimosi iš 5 testas
Skaičius dalijasi iš 5, kai paskutinis jo skaitmuo yra nulis arba penki.
Pavyzdys: nustatyti, ar skaičius 34938 dalijasi iš 5.
Sprendimas: pažiūrėkite į paskutinį skaitmenį: 8 reiškia, kad skaičius NĖRA dalijamas iš penkių.

4. Skaičiaus dalijimosi iš 9 testas
Šis ženklas labai panašus į dalijimosi iš trijų ženklą: skaičius dalijasi iš 9, kai jo skaitmenų suma dalijasi iš 9.
Pavyzdys: nustatyti, ar skaičius 34938 dalijasi iš 9.
Sprendimas: Skaičiuojame skaičių sumą: 3+4+9+3+8 = 27. 27 dalijasi iš 9, vadinasi, skaičius dalijasi iš devynių.

Kaip rasti dviejų skaičių GCD ir LCM

Kaip rasti dviejų skaičių gcd

Dauguma paprastu būdu Apskaičiuojant didžiausią bendrą dviejų skaičių daliklį, reikia rasti visus galimus šių skaičių daliklius ir pasirinkti didžiausią iš jų.

Panagrinėkime šį metodą naudodami GCD(28, 36) radimo pavyzdį:

1. Suskaičiuojame abu skaičius: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Randame bendrus veiksnius, tai yra tuos, kuriuos turi abu skaičiai: 1, 2 ir 2.
3. Apskaičiuojame šių veiksnių sandaugą: 1 2 2 = 4 - tai didžiausias bendras skaičių 28 ir 36 daliklis.

Kaip rasti dviejų skaičių LCM

Yra du dažniausiai pasitaikantys būdai, kaip rasti mažiausią dviejų skaičių kartotinį. Pirmasis būdas yra tas, kad galite užrašyti pirmuosius dviejų skaičių kartotinius, o tada pasirinkti iš jų skaičių, kuris bus bendras abiem skaičiams ir tuo pačiu mažiausias. O antrasis – rasti šių skaičių gcd. Apsvarstykime tik tai.

Norėdami apskaičiuoti LCM, turite apskaičiuoti pradinių skaičių sandaugą ir padalyti iš anksčiau rasto GCD. Raskime tų pačių skaičių 28 ir 36 LCM:

1. Raskite skaičių 28 ir 36 sandaugą: 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36), kaip jau žinoma, yra lygus 4
3. LCM(28; 36) = 1008 / 4 = 252 .

Kelių skaičių GCD ir LCM radimas

Didžiausią bendrą daliklį galima rasti keliems skaičiams, o ne tik dviems. Norėdami tai padaryti, didžiausio bendrojo daliklio skaičiai išskaidomi į pirminius veiksnius, tada randama šių skaičių bendrųjų pirminių koeficientų sandauga. Norėdami rasti kelių skaičių gcd, taip pat galite naudoti šį ryšį: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Panašus ryšys taikomas mažiausiam bendram kartotiniui: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Pavyzdys: suraskite GCD ir LCM numeriams 12, 32 ir 36.

1. Pirma, suskaidykime skaičius: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Raskime bendruosius veiksnius: 1, 2 ir 2.
3. Jų sandauga duos GCD: 1·2·2 = 4
4. Dabar suraskime LCM: norėdami tai padaryti, pirmiausia suraskime LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. Norėdami rasti visų trijų skaičių LCM, turite rasti GCD(96, 36): 96 = 1 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 , 36 = 1 · 2 · 2 · 3 · 3 , GCD = 1 · 2 · 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96,36 / 12 = 288.

Apibrėžimas. Didžiausias natūralusis skaičius, kuriuo skaičiai a ir b dalijami be liekanos, vadinamas didžiausias bendras daliklis (GCD)šiuos skaičius.

Raskime didžiausią skaičių 24 ir 35 bendrąjį daliklį.
24 dalikliai yra skaičiai 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, o dalikliai iš 35 yra skaičiai 1, 5, 7, 35.
Matome, kad skaičiai 24 ir 35 turi tik vieną bendrą daliklį – skaičių 1. Tokie skaičiai vadinami abipusiai pirminis.

Apibrėžimas. Natūralūs skaičiai vadinami abipusiai pirminis, jei jų didžiausias bendras daliklis (GCD) yra 1.

Didžiausias bendras daliklis (GCD) galima rasti neišrašant visų pateiktų skaičių daliklių.

Suskaičiuokime skaičius 48 ir 36 ir gaukime:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Iš veiksnių, įtrauktų į pirmojo iš šių skaičių išplėtimą, išbraukiame tuos, kurie neįtraukti į antrojo skaičiaus išplėtimą (t. y. du du).
Likę veiksniai yra 2 * 2 * 3. Jų sandauga lygi 12. Šis skaičius yra didžiausias skaičių 48 ir 36 bendras daliklis. Taip pat randamas didžiausias trijų ar daugiau skaičių bendras daliklis.

Rasti didžiausias bendras daliklis

2) iš veiksnių, įtrauktų į vieno iš šių skaičių išplėtimą, išbraukti tuos, kurie neįtraukti į kitų skaičių išplėtimą;
3) rasti likusių veiksnių sandaugą.

Jei visi pateikti skaičiai dalijasi iš vieno iš jų, tai šis skaičius yra didžiausias bendras daliklis duotus skaičius.
Pavyzdžiui, didžiausias bendras skaičių 15, 45, 75 ir 180 daliklis yra skaičius 15, nes visi kiti skaičiai dalijasi iš jo: 45, 75 ir 180.

Mažiausias kartotinis (LCM)

Apibrėžimas. Mažiausias kartotinis (LCM) Natūralūs skaičiai a ir b yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris yra a ir b kartotinis. Mažiausią skaičių 75 ir 60 kartotinį (LCM) galima rasti neužrašant šių skaičių kartotinių iš eilės. Norėdami tai padaryti, padauginkime 75 ir 60 į pirminius koeficientus: 75 = 3 * 5 * 5 ir 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Išrašykime veiksnius, įtrauktus į pirmojo iš šių skaičių išplėtimą, ir pridėkime prie jų trūkstamus koeficientus 2 ir 2 iš antrojo skaičiaus išplėtimo (t. y. veiksnius sujungiame).
Gauname penkis koeficientus 2 * 2 * 3 * 5 * 5, kurių sandauga yra 300. Šis skaičius yra mažiausias bendras skaičių 75 ir 60 kartotinis.

Jie taip pat randa mažiausią bendrą trijų ar daugiau skaičių kartotinį.

Į rasti mažiausią bendrą kartotinį kelių natūraliųjų skaičių, jums reikia:
1) sudėti juos į pirminius veiksnius;
2) surašykite veiksnius, įtrauktus į vieno iš skaičių išplėtimą;
3) pridėti prie jų trūkstamus veiksnius iš likusių skaičių išplėtimų;
4) rasti gautų veiksnių sandaugą.

Atkreipkite dėmesį, kad jei vienas iš šių skaičių dalijasi iš visų kitų skaičių, tai šis skaičius yra mažiausias bendras šių skaičių kartotinis.
Pavyzdžiui, mažiausias bendras skaičių 12, 15, 20 ir 60 kartotinis yra 60, nes jis dalijasi iš visų tų skaičių.

Pitagoras (VI a. pr. Kr.) ir jo mokiniai nagrinėjo skaičių dalijimosi klausimą. numeris, lygi sumai Visus jo daliklius (be paties skaičiaus) jie vadino tobulu skaičiumi. Pavyzdžiui, skaičiai 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) yra tobuli. Kiti tobuli skaičiai yra 496, 8128, 33 550 336. Pitagoriečiai žinojo tik pirmuosius tris tobulus skaičius. Ketvirtasis – 8128 – tapo žinomas I a. n. e. Penktasis – 33 550 336 – rastas XV a. 1983 metais jau buvo žinomi 27 tobuli skaičiai. Tačiau mokslininkai vis dar nežino, ar yra nelyginių tobulųjų skaičių, ar yra didžiausias tobulas skaičius.
Senovės matematikų susidomėjimas pirminiais skaičiais kyla iš to, kad bet kuris skaičius yra pirminis arba gali būti pateikiamas kaip sandauga pirminiai skaičiai, t.y. pirminiai skaičiai yra tarsi plytos, iš kurių statomi likę natūralieji skaičiai.
Tikriausiai pastebėjote, kad pirminiai skaičiai natūraliųjų skaičių eilutėje atsiranda netolygiai – vienose eilučių dalyse jų daugiau, kitose – mažiau. Tačiau kuo toliau einame skaičių eilėmis, tuo pirminiai skaičiai yra mažiau paplitę. Kyla klausimas: ar yra paskutinis (didžiausias) pirminis skaičius? Senovės graikų matematikas Euklidas (III a. pr. Kr.) savo knygoje „Elementai“, kuri buvo pagrindinis matematikos vadovėlis du tūkstančius metų, įrodė, kad pirminių skaičių yra be galo daug, t. y. už kiekvieno pirminio skaičiaus slypi dar didesnis pirminis skaičius. numerį.
Norėdamas rasti pirminius skaičius, šį metodą sugalvojo kitas to paties laiko graikų matematikas Eratostenas. Jis surašė visus skaičius nuo 1 iki tam tikro skaičiaus, o tada nubraukė vieną, kuris nėra nei pirminis, nei sudėtinis skaičius, tada perbraukti per vieną visi skaičiai, esantys po 2 (skaičiai, kurie yra 2 kartotiniai, t. y. 4, 6, 8 ir kt.). Pirmasis likęs skaičius po 2 buvo 3. Tada po dviejų visi skaičiai, esantys po 3 (skaičiai, kurie buvo 3 kartotiniai, t. y. 6, 9, 12 ir t. t.), buvo perbraukti. pabaigoje liko nesukirsti tik pirminiai skaičiai.

5 klasėje mokomasi tema „Daugeliai“. vidurinė mokykla. Jo tikslas – tobulinti matematinio skaičiavimo raštu ir žodžiu įgūdžius. Šioje pamokoje pristatomos naujos sąvokos - „dauginiai skaičiai“ ir „dalikliai“, praktikuojama natūraliojo skaičiaus daliklių ir kartotinių paieškos technika, galimybė įvairiais būdais rasti LCM.

Ši tema labai svarbi. Jo žinias galima pritaikyti sprendžiant pavyzdžius su trupmenomis. Norėdami tai padaryti, turite rasti bendrą vardiklį, apskaičiuodami mažiausią bendrąjį kartotinį (LCM).

A kartotinis yra sveikasis skaičius, kuris dalijasi iš A be liekanos.

Kiekvienas natūralusis skaičius turi begalinį jo kartotinių skaičių. Ji pati laikoma mažiausia. Daugiakalbis negali būti mažesnis už patį skaičių.

Turite įrodyti, kad skaičius 125 yra 5 kartotinis. Norėdami tai padaryti, turite padalyti pirmąjį skaičių iš antrojo. Jei 125 dalijasi iš 5 be liekanos, atsakymas yra taip.

Šis metodas tinka mažiems skaičiams.

Skaičiuojant LOC yra ypatingų atvejų.

1. Jei reikia rasti bendrą 2 skaičių kartotinį (pavyzdžiui, 80 ir 20), kur vienas iš jų (80) dalijasi iš kito (20), tada šis skaičius (80) yra mažiausias šių skaičių kartotinis du skaičiai.

LCM(80; 20) = 80.

2. Jei du neturi bendro daliklio, tai galime sakyti, kad jų LCM yra šių dviejų skaičių sandauga.

LCM(6; 7) = 42.

Pažvelkime į paskutinį pavyzdį. 6 ir 7, palyginti su 42, yra dalikliai. Jie dalija skaičiaus kartotinį be liekanos.

Šiame pavyzdyje 6 ir 7 yra suporuoti veiksniai. Jų sandauga yra lygus labiausiai kartotiniam skaičiui (42).

Skaičius vadinamas pirminiu, jei jis dalijasi tik iš savęs arba iš 1 (3:1=3; 3:3=1). Likusieji vadinami sudėtiniais.

Kitas pavyzdys apima nustatymą, ar 9 yra 42 daliklis.

42:9 = 4 (likęs 6)

Atsakymas: 9 nėra 42 daliklis, nes atsakymas turi likutį.

Daliklis nuo kartotinio skiriasi tuo, kad daliklis yra skaičius, iš kurio dalijami natūralieji skaičiai, o pats kartotinis dalijasi iš šio skaičiaus.

Didžiausias bendras skaičių daliklis a Ir b, padauginus iš mažiausio jų kartotinio, gausite pačių skaičių sandaugą a Ir b.

Būtent: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Bendrieji kartotiniai, kad gautumėte daugiau kompleksiniai skaičiai rasti tokiu būdu.

Pavyzdžiui, suraskite 168, 180, 3024 LCM.

Šiuos skaičius sudedame į pirminius veiksnius ir užrašome kaip galių sandaugą:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹ = 15120

LCM(168; 180; 3024) = 15120.

Kaip rasti LCM (mažiausias bendras kartotinis)

Bendrasis dviejų sveikųjų skaičių kartotinis yra sveikasis skaičius, kuris tolygiai dalijasi iš abiejų pateiktų skaičių, nepaliekant liekanos.

Mažiausias bendras dviejų sveikųjų skaičių kartotinis yra mažiausias iš visų sveikųjų skaičių, kuris dalijasi iš abiejų pateiktų skaičių nepaliekant liekanos.

1 būdas. Savo ruožtu galite rasti kiekvieno iš pateiktų skaičių LCM, didėjančia tvarka užrašydami visus skaičius, gautus padauginus juos iš 1, 2, 3, 4 ir pan.

Pavyzdys 6 ir 9 numeriams.
Skaičius 6 padauginame iš eilės iš 1, 2, 3, 4, 5.
Mes gauname: 6, 12, 18 , 24, 30
Skaičius 9 padauginame iš eilės iš 1, 2, 3, 4, 5.
Mes gauname: 9, 18 , 27, 36, 45
Kaip matote, 6 ir 9 skaičių LCM bus lygus 18.

Šis metodas yra patogus, kai abu skaičiai yra maži ir juos lengva padauginti iš sveikųjų skaičių sekos. Tačiau kartais reikia rasti dviejų skaitmenų LCM arba triženklius skaičius, taip pat kai yra trys ar net daugiau pradinių skaičių.

2 būdas. LCM galite rasti įtraukę pradinius skaičius į pirminius veiksnius.
Po išskaidymo reikia išbraukti identiškus skaičius iš gautos pirminių faktorių serijos. Likę pirmojo skaičiaus skaičiai bus antrojo daugikliai, o likę antrojo skaičiai bus pirmojo daugikliai.

Pavyzdys 75 ir 60 numeriams.
Mažiausią skaičių 75 ir 60 bendrąjį kartotinį galima rasti neužrašant šių skaičių kartotinių iš eilės. Norėdami tai padaryti, padalykite 75 ir 60 į paprastus veiksnius:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Kaip matote, 3 ir 5 faktoriai rodomi abiejose eilutėse. Protiškai mes juos „perbraukiame“.
Užrašykime likusius veiksnius, įtrauktus į kiekvieno iš šių skaičių išplėtimą. Išskaidžius skaičių 75 liekame su skaičiumi 5, o išskaidžius skaičių 60 – 2 * 2
Tai reiškia, kad norėdami nustatyti skaičių 75 ir 60 LCM, turime padauginti likusius skaičius iš 75 išplėtimo (tai yra 5) iš 60 ir padauginti skaičius, likusius iš 60 išplėtimo (tai yra 2). * 2) iš 75. Tai yra, kad būtų lengviau suprasti, sakome, kad dauginame „skersai“.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Taip radome skaičių 60 ir 75 LCM. Tai skaičius 300.

Pavyzdys. Nustatykite skaičių 12, 16, 24 LCM
Tokiu atveju mūsų veiksmai bus šiek tiek sudėtingesni. Bet pirmiausia, kaip visada, suskaidykime visus skaičius
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Norėdami teisingai nustatyti LCM, pasirenkame mažiausią iš visų skaičių (tai yra skaičius 12) ir nuosekliai peržiūrime jo veiksnius, juos perbraukdami, jei bent vienoje iš kitų skaičių eilučių susiduriame su tuo pačiu veiksniu, kurio dar nėra. buvo perbrauktas.

1 žingsnis . Matome, kad 2 * 2 pasitaiko visose skaičių serijose. Perbraukime juos.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

2 veiksmas. Skaičiaus 12 pirminiuose veiksniuose lieka tik skaičius 3, tačiau jis yra pirminiuose skaičiaus 24 veiksniuose. Išbraukiame skaičių 3 iš abiejų eilučių, o su skaičiumi 16 jokių veiksmų nereikia. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Kaip matote, išskaidydami skaičių 12, mes „nubraukėme“ visus skaičius. Tai reiškia, kad LOC paieška baigta. Belieka tik apskaičiuoti jo vertę.
Jei norite gauti skaičių 12, paimkite likusius skaičiaus 16 veiksnius (toliau didėjančia tvarka)
12 * 2 * 2 = 48
Tai yra NOC

Kaip matote, šiuo atveju rasti LCM buvo šiek tiek sunkiau, bet kai reikia jį rasti trims ar daugiau numerių, šis metodas leidžia tai padaryti greičiau. Tačiau abu LCM paieškos būdai yra teisingi.

Apsvarstykime, kaip išspręsti šią problemą. Berniuko žingsnis – 75 cm, o mergaitės – 60 cm. Reikia surasti mažiausią atstumą, kuriuo jie abu nueina sveiką žingsnių skaičių.

Sprendimas. Visas kelias, kurį nueis vaikai, turi dalytis iš 60 ir 70, nes kiekvienas turi žengti sveiką skaičių žingsnių. Kitaip tariant, atsakymas turi būti 75 ir 60 kartotinis.

Pirmiausia užrašysime visus skaičiaus 75 kartotinius. Gauname:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Dabar užsirašykime skaičius, kurie bus 60 kartotiniai. Gauname:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Dabar randame skaičius, esančius abiejose eilutėse.

• Bendrieji skaičių kartotiniai būtų 300, 600 ir kt.

Mažiausias iš jų yra skaičius 300. Šiuo atveju jis bus vadinamas mažiausiu bendruoju skaičių 75 ir 60 kartotiniu.

Grįžtant prie problemos būklės, mažiausias atstumas, kuriuo vaikinai įveiks sveiką žingsnių skaičių, bus 300 cm. Šį kelią berniukas įveiks 4 žingsniais, o merginai reikės žengti 5 žingsnius.

Mažiausio bendrojo skaičiaus nustatymas

• Mažiausias dviejų natūraliųjų skaičių a ir b kartotinis yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris yra ir a, ir b kartotinis.

Norint rasti mažiausią bendrąjį dviejų skaičių kartotinį, nebūtina užrašyti visų šių skaičių kartotinių iš eilės.

Galite naudoti šį metodą.

Kaip rasti mažiausią bendrą kartotinį

Pirmiausia turite įtraukti šiuos skaičius į pirminius veiksnius.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Dabar surašykime visus veiksnius, kurie yra pirmojo skaičiaus (2,2,3,5) išplėtime, ir pridėkime prie jo visus trūkstamus veiksnius iš antrojo skaičiaus (5) išplėtimo.

Dėl to gauname pirminių skaičių eilę: 2,2,3,5,5. Šių skaičių sandauga bus mažiausiai bendras šių skaičių veiksnys. 2*2*3*5*5 = 300.

Bendra mažiausiojo bendro kartotinio suradimo schema

• 1. Padalinkite skaičius į pirminius veiksnius.
• 2. Užrašykite pirminius veiksnius, kurie yra vieno iš jų dalis.
• 3. Prie šių veiksnių pridėkite visus tuos, kurie yra kitų plėtinyje, bet ne pasirinktame.
• 4. Raskite visų užrašytų veiksnių sandaugą.

Šis metodas yra universalus. Jis gali būti naudojamas norint rasti bet kokio natūraliųjų skaičių mažiausią bendrą kartotinį.