Gavę pradinę informaciją apie nelygybes su kintamaisiais, pereiname prie jų sprendimo klausimo. Išanalizuosime tiesinių nelygybių su vienu kintamuoju sprendimą ir visus jų sprendimo būdus su algoritmais ir pavyzdžiais. Bus svarstomos tik tiesinės lygtys su vienu kintamuoju.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kas yra tiesinė nelygybė?

Pirmiausia turite apibrėžti tiesinę lygtį ir išsiaiškinti jos standartinę formą bei kuo ji skirsis nuo kitų. Iš mokyklinio kurso matome, kad esminio skirtumo tarp nelygybių nėra, todėl būtina naudoti kelis apibrėžimus.

1 apibrėžimas

Tiesinė nelygybė su vienu kintamuoju x yra a · x + b > 0 formos nelygybė, kai vietoj > naudojamas bet koks nelygybės ženklas< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

2 apibrėžimas

Nelygybės a x< c или a · x >c, kai x yra kintamasis, o a ir c yra kai kurie skaičiai, vadinamas tiesinės nelygybės su vienu kintamuoju.

Kadangi nieko nesakoma apie tai, ar koeficientas gali būti lygus 0, tai griežta nelygybė formos 0 x > c ir 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Jų skirtumai yra šie:

• žymėjimo forma a · x + b > 0 pirmoje, o a · x > c – antroje;
• koeficiento a leistinumas yra lygus nuliui, a ≠ 0 - pirmajame, o a = 0 - antrajame.

Manoma, kad nelygybės a · x + b > 0 ir a · x > c yra lygiavertės, nes gaunamos perkeliant terminą iš vienos dalies į kitą. Išsprendus nelygybę 0 x + 5 > 0, ją reikės išspręsti, o atvejis a = 0 neveiks.

3 apibrėžimas

Manoma, kad tiesinės nelygybės viename kintamajame x yra formos nelygybės a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0 Ir a x + b ≥ 0, kur a ir b yra realieji skaičiai. Vietoj x gali būti įprastas skaičius.

Remdamiesi taisykle, turime, kad 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 vadinami redukuojamaisiais į tiesinius.

Kaip išspręsti tiesinę nelygybę

Pagrindinis būdas išspręsti tokias nelygybes yra naudoti ekvivalentines transformacijas, kad būtų galima rasti elementariąsias nelygybes x< p (≤ , >, ≥) , p kuris yra tam tikras skaičius, kai a ≠ 0, ir yra a formos< p (≤ , >, ≥), jei a = 0.

Norėdami išspręsti vieno kintamojo nelygybes, galite naudoti intervalų metodą arba pavaizduoti jį grafiškai. Bet kuris iš jų gali būti naudojamas atskirai.

Naudojant lygiavertes transformacijas

Išspręsti a x + b formos tiesinę nelygybę< 0 (≤ , >, ≥), būtina taikyti ekvivalentines nelygybės transformacijas. Koeficientas gali būti lygus nuliui arba ne. Panagrinėkime abu atvejus. Norėdami tai sužinoti, turite laikytis schemos, kurią sudaro 3 punktai: proceso esmė, algoritmas ir pats sprendimas.

4 apibrėžimas

Tiesinės nelygybės sprendimo algoritmas a x + b< 0 (≤ , >, ≥), jei ≠ 0

• skaičius b bus perkeltas į dešinioji pusė nelygybės su priešingu ženklu, kurios leis gauti ekvivalentą a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• Abi nelygybės pusės bus padalintos iš skaičiaus, kuris nėra lygus 0. Be to, kai a yra teigiamas, ženklas išlieka, kai a yra neigiamas, jis pasikeičia į priešingą.

Apsvarstykime paraišką šio algoritmo sprendžiant pavyzdžius.

1 pavyzdys

Išspręskite formos 3 x + 12 ≤ 0 nelygybę.

Sprendimas

Ši tiesinė nelygybė yra a = 3 ir b = 12. Tai reiškia, kad x koeficientas a nėra lygus nuliui. Taikykime aukščiau pateiktus algoritmus ir išspręskime.

Būtina perkelti 12 terminą į kitą nelygybės dalį ir pakeisti ženklą priešais jį. Tada gauname 3 x ≤ − 12 formos nelygybę. Būtina padalyti abi dalis iš 3. Ženklas nepasikeis, nes 3 yra teigiamas skaičius. Gauname, kad (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3, kas duoda rezultatą x ≤ − 4.

Formos x ≤ − 4 nelygybė yra lygiavertė. Tai reiškia, kad 3 x + 12 ≤ 0 sprendimas yra bet koks realusis skaičius, mažesnis arba lygus 4. Atsakymas rašomas kaip nelygybė x ≤ − 4, arba formos (− ∞, − 4] skaitinis intervalas).

Visas aukščiau aprašytas algoritmas parašytas taip:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ – 12; x ≤ – 4 .

Atsakymas: x ≤ − 4 arba (− ∞ , − 4 ] .

2 pavyzdys

Nurodykite visus galimus nelygybės − 2, 7 · z > 0 sprendinius.

Sprendimas

Iš sąlygos matome, kad z koeficientas a yra lygus - 2,7, o b aiškiai nėra arba lygus nuliui. Negalite naudoti pirmojo algoritmo žingsnio, bet nedelsdami pereikite prie antrojo.

Abi lygties puses padalijame iš skaičiaus - 2, 7. Kadangi skaičius yra neigiamas, reikia apversti nelygybės ženklą. Tai yra, mes gauname, kad (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Surašysime visą algoritmą Trumpa forma:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

Atsakymas: z< 0 или (− ∞ , 0) .

3 pavyzdys

Išspręskite nelygybę - 5 x - 15 22 ≤ 0.

Sprendimas

Pagal sąlygą matome, kad reikia išspręsti nelygybę su koeficientu a kintamajam x, kuris lygus - 5, su koeficientu b, kuris atitinka trupmeną - 15 22. Nelygybę reikia išspręsti vadovaujantis algoritmu, tai yra: perkelti - 15 22 į kitą dalį su priešingu ženklu, padalyti abi dalis iš - 5, pakeisti nelygybės ženklą:

5 x ≤ 15 22; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Paskutinio perėjimo į dešinę pusę metu naudojama skaičiaus padalijimo skirtingais ženklais taisyklė 15 22: - 5 = - 15 22: 5, po kurios atliekame padalijimą bendroji trupmena prie natūraliojo skaičiaus - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

Atsakymas: x ≥ - 3 22 ir [ - 3 22 + ∞) .

Panagrinėkime atvejį, kai a = 0. Formos a x + b tiesinė išraiška< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Viskas grindžiama nelygybės sprendimo nustatymu. Bet kuriai x reikšmei gauname b formos skaitinę nelygybę< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Visus sprendimus nagrinėsime tiesinių nelygybių 0 x + b sprendimo algoritmo forma< 0 (≤ , > , ≥) :

5 apibrėžimas

Skaitinė formos nelygybė b< 0 (≤ , >, ≥) yra teisinga, tada pradinė nelygybė turi bet kurios reikšmės sprendinį, o ji yra klaidinga, kai pradinė nelygybė neturi sprendinių.

4 pavyzdys

Išspręskite nelygybę 0 x + 7 > 0.

Sprendimas

Ši tiesinė nelygybė 0 x + 7 > 0 gali turėti bet kokią reikšmę x. Tada gauname formos 7 > 0 nelygybę. Paskutinė nelygybė laikoma tiesa, o tai reiškia, kad bet koks skaičius gali būti jos sprendimas.

Atsakymas: intervalas (− ∞ , + ∞) .

5 pavyzdys

Raskite nelygybės 0 x − 12, 7 ≥ 0 sprendimą.

Sprendimas

Pakeitus bet kurio skaičiaus kintamąjį x, gauname, kad nelygybė yra − 12, 7 ≥ 0. Tai neteisinga. Tai reiškia, kad 0 x − 12, 7 ≥ 0 neturi sprendinių.

Atsakymas: sprendimų nėra.

Panagrinėkime tiesinių nelygybių sprendimą, kai abu koeficientai lygūs nuliui.

6 pavyzdys

Nustatykite neišsprendžiamą nelygybę iš 0 x + 0 > 0 ir 0 x + 0 ≥ 0.

Sprendimas

Vietoj x pakeisdami bet kurį skaičių, gauname dvi nelygybes, kurių forma yra 0 > 0 ir 0 ≥ 0. Pirmasis yra neteisingas. Tai reiškia, kad 0 x + 0 > 0 neturi sprendinių, o 0 x + 0 ≥ 0 turi begalinį sprendinių skaičių, tai yra bet kokį skaičių.

Atsakymas: nelygybė 0 x + 0 > 0 neturi sprendinių, bet 0 x + 0 ≥ 0 turi sprendinių.

Šis metodas svarstomas mokykliniame matematikos kurse. Intervalų metodas gali išspręsti Skirtingos rūšys nelygybės, taip pat tiesinės.

Intervalų metodas naudojamas tiesinėms nelygybėms, kai koeficiento x reikšmė nėra lygi 0. Priešingu atveju turėsite apskaičiuoti naudodami kitą metodą.

6 apibrėžimas

Intervalų metodas yra toks:

• įvedant funkciją y = a · x + b ;
• nulių paieška, norint padalinti apibrėžimo sritį į intervalus;
• ženklų apibrėžimas jų sąvokoms intervalais.

Sudarykime tiesinių lygčių a x + b sprendimo algoritmą< 0 (≤ , >, ≥), jei ≠ 0, naudojant intervalo metodą:

• funkcijos y = a · x + b nulių radimas a · x + b = 0 formos lygčiai išspręsti. Jei a ≠ 0, tada sprendimas bus viena šaknis, kuri bus žymima x 0;
• koordinačių tiesės su taško, kurio koordinatė x 0, atvaizdu konstravimas, esant griežtajai nelygybei taškas žymimas punktyrąja, su negriežta nelygybe – nuspalvinta;
• funkcijos y = a · x + b ženklų nustatymas intervaluose; tam reikia rasti funkcijos reikšmes intervalo taškuose;
• nelygybės sprendimas su ženklais > arba ≥ koordinačių tiesėje, pridedant šešėlį prie teigiamo intervalo,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Pažvelkime į kelis tiesinių nelygybių sprendimo intervalų metodu pavyzdžius.

6 pavyzdys

Išspręskite nelygybę − 3 x + 12 > 0.

Sprendimas

Iš algoritmo išplaukia, kad pirmiausia reikia rasti lygties šaknį − 3 x + 12 = 0. Gauname, kad − 3 · x = − 12 , x = 4 . Būtina nubrėžti koordinačių liniją, kurioje pažymime tašką 4. Jis bus pradurtas, nes nelygybė griežta. Apsvarstykite žemiau esantį piešinį.

Būtina nustatyti ženklus intervalais. Norint jį nustatyti intervale (− ∞, 4), reikia apskaičiuoti funkciją y = − 3 x + 12, kai x = 3. Iš čia gauname, kad − 3 3 + 12 = 3 > 0. Intervalo ženklas yra teigiamas.

Mes nustatome ženklą iš intervalo (4, + ∞), tada pakeičiame reikšmę x = 5. Turime, kad − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Nelygybę išsprendžiame > ženklu, o šešėliavimas atliekamas per teigiamą intervalą. Apsvarstykite žemiau esantį piešinį.

Iš brėžinio aišku, kad norimas sprendimas turi formą (− ∞ , 4) arba x< 4 .

Atsakymas: (− ∞ , 4) arba x< 4 .

Norėdami suprasti, kaip pavaizduoti grafiškai, turite apsvarstyti 4 pavyzdį tiesinės nelygybės: 0,5 x – 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 ir 0, 5 x − 1 ≥ 0. Jų sprendimai bus x reikšmės< 2 , x ≤ 2 , x >2 ir x ≥ 2. Norėdami tai padaryti, nubraižykime tiesinę funkciją y = 0, 5 x − 1, parodytą žemiau.

Tai aišku

7 apibrėžimas

• sprendžiant nelygybę 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• sprendinys 0, 5 x − 1 ≤ 0 laikomas intervalu, kuriame funkcija y = 0, 5 x − 1 yra mažesnė už O x arba sutampa;
• sprendinys 0, 5 · x − 1 > 0 laikomas intervalu, funkcija yra virš O x;
• sprendinys 0, 5 · x − 1 ≥ 0 laikomas intervalu, kuriame grafikas virš O x arba sutampa.

Grafinio nelygybių sprendimo esmė yra surasti intervalus, kuriuos reikia pavaizduoti grafike. Šiuo atveju mes tai gauname kairė pusė turi y = a · x + b, o dešinysis turi y = 0 ir sutampa su O x.

Nubraižytas funkcijos y = a x + b grafikas:

• sprendžiant nelygybę a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• sprendžiant nelygybę a · x + b ≤ 0, nustatomas intervalas, kur grafikas pavaizduotas žemiau O x ašies arba sutampa;
• sprendžiant nelygybę a · x + b > 0, nustatomas intervalas, kur grafikas pavaizduotas virš O x;
• Sprendžiant nelygybę a · x + b ≥ 0, nustatomas intervalas, kur grafikas yra virš O x arba sutampa.

7 pavyzdys

Grafiku išspręskite nelygybę - 5 · x - 3 > 0.

Sprendimas

Būtina sudaryti tiesinės funkcijos grafiką - 5 · x - 3 > 0. Ši linija mažėja, nes x koeficientas yra neigiamas. Norėdami nustatyti jo susikirtimo su O x - 5 · x - 3 > 0 taško koordinates, gauname reikšmę - 3 5. Pavaizduokime jį grafiškai.

Išsprendus nelygybę su > ženklu, tuomet reikia atkreipti dėmesį į intervalą virš O x. Pažymėkime reikiamą plokštumos dalį raudonai ir gaukime ją

Reikalingas tarpas yra O x raudonos spalvos dalis. Tai reiškia, kad atvirasis skaičių spindulys - ∞ , - 3 5 bus nelygybės sprendimas. Jeigu pagal sąlygą turėtume negriežtą nelygybę, tai taško reikšmė – 3 5 taip pat būtų nelygybės sprendimas. Ir tai sutaptų su O x.

Atsakymas: - ∞ , - 3 5 arba x< - 3 5 .

Grafinis sprendimas naudojamas, kai kairioji pusė atitinka funkciją y = 0 x + b, tai yra, y = b. Tada tiesė bus lygiagreti O x arba sutaps ties b = 0. Šie atvejai rodo, kad nelygybė gali neturėti sprendinių arba sprendimas gali būti bet koks skaičius.

8 pavyzdys

Iš nelygybių 0 x + 7 nustatykite< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Sprendimas

y = 0 x + 7 pavaizdavimas yra y = 7, tada bus pateikta koordinačių plokštuma su tiese, lygiagrečia O x ir esančia virš O x. Taigi 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Funkcijos y = 0 x + 0 grafikas laikomas y = 0, tai yra, tiesė sutampa su O x. Tai reiškia, kad nelygybė 0 x + 0 ≥ 0 turi daug sprendinių.

Atsakymas: Antroji nelygybė turi bet kurios x reikšmės sprendimą.

Nelygybės, kurios redukuojasi į tiesinę

Nelygybių sprendimas gali būti redukuotas į sprendimą tiesinė lygtis, kurios vadinamos nelygybėmis, kurios redukuojasi į tiesines.

Šios nelygybės buvo nagrinėjamos mokyklos kurse, nes tai buvo ypatingas nelygybių sprendimo atvejis, dėl kurio buvo atveriami skliaustai ir sumažinami panašūs terminai. Pavyzdžiui, apsvarstykite, kad 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.

Aukščiau pateiktos nelygybės visada sumažinamos iki tiesinės lygties. Tada atidaromi skliaustai ir pateikiami panašūs terminai, kurie perkeliami iš skirtingos dalys, pakeisdami ženklą į priešingą.

Sumažinę nelygybę 5 − 2 x > 0 iki tiesinės, pavaizduojame ją taip, kad ji būtų formos − 2 x + 5 > 0, o sekundės sumažinimui gauname, kad 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Būtina atidaryti skliaustus, atnešti panašius terminus, perkelti visus terminus į kairę ir atnešti panašius terminus. Tai atrodo taip:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Dėl to sprendimas atsiranda tiesine nelygybe.

Šios nelygybės laikomos tiesinėmis, nes turi tą patį sprendimo principą, po kurio galima jas redukuoti iki elementariųjų nelygybių.

Norint išspręsti tokio tipo nelygybę, būtina ją sumažinti iki tiesinės. Tai turėtų būti padaryta taip:

9 apibrėžimas

• atviri skliaustai;
• rinkti kintamuosius kairėje ir skaičius dešinėje;
• pateikti panašius terminus;
• padalykite abi puses iš koeficiento x.

9 pavyzdys

Išspręskite nelygybę 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1.

Sprendimas

Atplėšiame skliaustus, tada gauname 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1 formos nelygybę. Sumažinus panašius terminus, gauname 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. Perkėlę terminus iš kairės į dešinę, gauname, kad 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Taigi yra nelygybė, kurios forma yra 32 ≤ 0 iš tos, kuri gaunama apskaičiavus 0 x + 32 ≤ 0. Matyti, kad nelygybė yra klaidinga, o tai reiškia, kad sąlyga pateikta nelygybė neturi sprendimų.

Atsakymas: sprendimų nėra.

Verta paminėti, kad yra daug kitų nelygybių tipų, kuriuos galima redukuoti į tiesines arba aukščiau pavaizduoto tipo nelygybes. Pavyzdžiui, 5 2 x − 1 ≥ 1 yra eksponentinė lygtis, kuri redukuojasi iki tiesinės formos 2 x − 1 ≥ 0 sprendinio. Į šiuos atvejus bus atsižvelgta sprendžiant tokio tipo nelygybes.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Viena iš didžiausio mokinių dėmesio ir atkaklumo reikalaujančių temų – nelygybių sprendimas. Toks panašus į lygtis ir tuo pačiu labai skiriasi nuo jų. Nes joms spręsti reikia specialaus požiūrio.

Savybės, kurių prireiks ieškant atsakymo

Visi jie naudojami esamam įrašui pakeisti lygiaverčiu. Dauguma jų yra panašūs į tai, kas buvo lygtyse. Tačiau yra ir skirtumų.

• Funkcija, apibrėžta ODZ, arba bet koks skaičius, gali būti pridėtas prie abiejų pradinės nelygybės pusių.
• Taip pat galima dauginti, bet tik iš teigiamos funkcijos arba skaičiaus.
• Jei šis veiksmas atliekamas su neigiama funkcija arba skaičiumi, tada nelygybės ženklą reikia pakeisti priešingu.
• Funkcijos, kurios nėra neigiamos, gali būti pakeltos į teigiamą galią.

Kartais sprendžiant nelygybes atliekami veiksmai, pateikiantys pašalinius atsakymus. Juos reikia atmesti lyginant ODZ sritis ir daug sprendimų.

Intervalinio metodo naudojimas

Jo esmė yra sumažinti nelygybę iki lygties, kurios dešinėje pusėje yra nulis.

1. Nustatykite sritį, kurioje yra leistinos kintamųjų reikšmės, tai yra ODZ.
2. Naudodami matematinius veiksmus transformuokite nelygybę taip, kad dešinėje pusėje būtų nulis.
3. Pakeiskite nelygybės ženklą „=“ ir išspręskite atitinkamą lygtį.
4. Skaičių ašyje pažymėkite visus atsakymus, kurie buvo gauti sprendimo metu, taip pat OD intervalus. Esant griežtai nelygybei, taškai turi būti brėžiami kaip pradurti. Jei yra lygybės ženklas, jie turėtų būti nudažyti.
5. Nustatykite pradinės funkcijos ženklą kiekviename intervale, gautame iš ODZ taškų ir jį dalijančių atsakymų. Jei funkcijos ženklas einant per tašką nekinta, tai jis įtraukiamas į atsakymą. Priešingu atveju jis neįtraukiamas.
6. ODZ ribinius taškus reikia toliau tikrinti ir tik tada įtraukti arba neįtraukti į atsakymą.
7. Gautas atsakymas turi būti parašytas kombinuotų rinkinių forma.

Šiek tiek apie dvigubą nelygybę

Jie vienu metu naudoja du nelygybės ženklus. Tai reiškia, kad kai kurios funkcijos yra apribotos sąlygomis du kartus iš karto. Tokios nelygybės sprendžiamos kaip dviejų sistema, kai originalas yra padalintas į dalis. O intervalo metodu nurodomi atsakymai iš abiejų lygčių sprendimo.

Norėdami juos išspręsti, taip pat leidžiama naudoti aukščiau nurodytas savybes. Jų pagalba patogu nelygybę sumažinti iki nulio.

O kaip su nelygybėmis, kurios turi modulį?

Šiuo atveju nelygybių sprendimas naudoja šias savybes, ir jos galioja teigiamai „a“ reikšmei.

Jei „x“ užima algebrinė išraiška, tada galioja šie pakeitimai:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > nuo a iki x< -a или х >a.

Jei nelygybės nėra griežtos, tai formulės irgi teisingos, tik jose be didesnio ar mažesnio ženklo atsiranda „=“.

Kaip sprendžiama nelygybių sistema?

Šių žinių prireiks tais atvejais, kai duota tokia užduotis arba fiksuojama dviguba nelygybė arba įraše atsiranda modulis. Esant tokiai situacijai, sprendimas bus kintamųjų reikšmės, kurios patenkintų visas įrašo nelygybes. Jei tokių skaičių nėra, tai sistema neturi sprendimų.

Planas, pagal kurį atliekamas nelygybių sistemos sprendimas:

• išspręsti kiekvieną iš jų atskirai;
• pavaizduoti visus intervalus skaičių ašyje ir nustatyti jų sankirtas;
• užsirašykite sistemos atsakymą, kuris bus derinys to, kas įvyko antroje pastraipoje.

Ką daryti su trupmeninėmis nelygybėmis?

Kadangi sprendžiant jas gali tekti pakeisti nelygybės ženklą, reikia labai atidžiai ir atidžiai sekti visus plano punktus. Priešingu atveju galite gauti priešingą atsakymą.

Sprendžiant trupmenines nelygybes taip pat naudojamas intervalų metodas. O veiksmų planas bus toks:

• Naudodami aprašytas savybes suteikite trupmenai tokią formą, kad ženklo dešinėje liktų tik nulis.
• Pakeiskite nelygybę „=“ ir nustatykite taškus, kuriuose funkcija bus lygi nuliui.
• Pažymėkite juos koordinačių ašyje. Tokiu atveju skaičiai, gauti atlikus skaičiavimus vardiklyje, visada bus išmušti. Visi kiti yra pagrįsti nelygybės sąlyga.
• Nustatykite ženklo pastovumo intervalus.
• Atsakydami užrašykite tų intervalų sąjungą, kurių ženklas atitinka pradinės nelygybės.

Situacijos, kai nelygybėje atsiranda neracionalumas

Kitaip tariant, žymėjime yra matematinė šaknis. Kadangi mokykliniame algebros kurse dauguma užduotys skirtos kvadratinei šaknis, tada tai bus svarstoma.

Iracionalios nelygybės sprendimas yra dviejų ar trijų sistemų, kurios bus lygiavertės pradinei sistemai, gavimas.

Įvairių tipų nelygybių sprendimo pavyzdžiai

Kad teorija apie nelygybių sprendimą būtų aiškesnė, toliau pateikiami pavyzdžiai.

Pirmas pavyzdys. 2x - 4 > 1 + x

Sprendimas: norint nustatyti LPD, tereikia atidžiai pažvelgti į nelygybę. Jis susidaro iš tiesinės funkcijos, todėl apibrėžiamas visoms kintamojo reikšmėms.

Dabar reikia atimti (1 + x) iš abiejų nelygybės pusių. Pasirodo: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Atvertus skliaustus ir suteikus panašius terminus, nelygybė įgaus tokią formą: x - 5 > 0.

Prilyginus jį nuliui, nesunku rasti jo sprendimą: x = 5.

Dabar šis taškas su skaičiumi 5 turi būti pažymėtas koordinačių spindulyje. Tada patikrinkite pradinės funkcijos požymius. Pirmajame intervale nuo minus begalybės iki 5 galite paimti skaičių 0 ir pakeisti jį į nelygybę, gautą po transformacijų. Paskaičiavus paaiškėja -7 >0. po intervalo lanku reikia pasirašyti minuso ženklą.

Kitame intervale nuo 5 iki begalybės galite pasirinkti skaičių 6. Tada paaiškėja, kad 1 > 0. Po lanku yra „+“ ženklas. Šis antrasis intervalas bus atsakas į nelygybę.

Atsakymas: x yra intervale (5; ∞).

Antras pavyzdys. Būtina išspręsti dviejų lygčių sistemą: 3x + 3 ≤ 2x + 1 ir 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Sprendimas. Šių nelygybių VA taip pat yra bet kokių skaičių srityje, nes pateiktos tiesinės funkcijos.

Antroji nelygybė bus tokios lygties forma: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Po transformacijos: -x - 4 =0. Tai sukuria kintamojo reikšmę, lygią -4.

Šiuos du skaičius reikia pažymėti ašyje, vaizduojančiu intervalus. Kadangi nelygybė nėra griežta, visus taškus reikia nuspalvinti. Pirmasis intervalas yra nuo minus begalybės iki -4. Tegul pasirenkamas skaičius -5. Pirmoji nelygybė duos reikšmę -3, o antroji 1. Tai reiškia, kad šis intervalas į atsakymą neįtrauktas.

Antrasis intervalas yra nuo -4 iki -2. Galite pasirinkti skaičių -3 ir pakeisti jį į abi nelygybes. Pirmoje ir antroje vertė yra -1. Tai reiškia, kad po lanku „-“.

Paskutiniame intervale nuo -2 iki begalybės geriausias skaičius yra nulis. Turite jį pakeisti ir rasti nelygybių reikšmes. Pirmasis iš jų sukuria teigiamą skaičių, o antrasis - nulį. Ši spraga taip pat turi būti neįtraukta į atsakymą.

Iš trijų intervalų tik vienas yra nelygybės sprendimas.

Atsakymas: x priklauso [-4; -2].

Trečias pavyzdys. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Sprendimas. Pirmiausia reikia nustatyti taškus, kuriuose funkcijos išnyksta. Kairiajam šis skaičius bus 2, dešiniajam - 1. Juos reikia pažymėti ant sijos ir nustatyti ženklo pastovumo intervalus.

Pirmajame intervale, nuo minus begalybės iki 1, funkcija kairėje nelygybės pusėje įgauna teigiamas reikšmes, o funkcija dešinėje – neigiamas reikšmes. Po lanku reikia parašyti du ženklus „+“ ir „-“ greta.

Kitas intervalas yra nuo 1 iki 2. Jame abi funkcijos turi teigiamas reikšmes. Tai reiškia, kad po lanku yra du pliusai.

Trečiasis intervalas nuo 2 iki begalybės duos tokį rezultatą: kairioji funkcija- neigiamas, teisingas - teigiamas.

Atsižvelgdami į gautus ženklus, turite apskaičiuoti visų intervalų nelygybės reikšmes.

Pirmoji sukuria tokią nelygybę: 2 - x > - 2 (x - 1). Minusas prieš du antroje nelygybėje yra dėl to, kad ši funkcija yra neigiama.

Po transformacijos nelygybė atrodo taip: x > 0. Iš karto pateikia kintamojo reikšmes. Tai yra, iš šio intervalo bus atsakyta tik į intervalą nuo 0 iki 1.

Antroje: 2 – x > 2 (x – 1). Transformacijos duos tokią nelygybę: -3x + 4 yra didesnė už nulį. Jo nulis bus x = 4/3. Atsižvelgiant į nelygybės ženklą, paaiškėja, kad x turi būti mažesnis už šį skaičių. Tai reiškia, kad šis intervalas sumažinamas iki intervalo nuo 1 iki 4/3.

Pastaroji suteikia tokią nelygybę: - (2 - x) > 2 (x - 1). Jo transformacija lemia: -x > 0. Tai yra, lygtis yra teisinga, kai x yra mažesnis už nulį. Tai reiškia, kad reikiamu intervalu nelygybė nepateikia sprendimų.

Pirmaisiais dviem intervalais ribinis skaičius pasirodė esąs 1. Jį reikia patikrinti atskirai. Tai yra, pakeiskite ją pradine nelygybe. Pasirodo: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Skaičiuojant parodoma, kad 1 yra didesnis už 0. Tai teisingas teiginys, todėl į atsakymą įtraukiamas vienas.

Atsakymas: x yra intervale (0; 4/3).

Bet kokia nelygybė, kurios šaknyje yra funkcija, vadinama neracionalus. Yra dviejų tipų tokios nelygybės:

Pirmuoju atveju šaknis mažiau funkcijų g (x), antroje - daugiau. Jei g(x) – pastovus, nelygybė labai supaprastinta. Atkreipkite dėmesį: išoriškai šios nelygybės yra labai panašios, tačiau jų sprendimo schemos iš esmės skiriasi.

Šiandien išmoksime išspręsti neracionalias pirmojo tipo nelygybes – jos yra paprasčiausios ir suprantamiausios. Nelygybės ženklas gali būti griežtas arba negriežtas. Jiems tinka šis teiginys:

Teorema. Bet kokia neracionali formos nelygybė

Atitinka nelygybių sistemą:

Ar ne silpna? Pažiūrėkime, iš kur atsirado ši sistema:

1. f (x) ≤ g 2 (x) – čia viskas aišku. Tai yra pradinė nelygybė kvadratu;
2. f (x) ≥ 0 yra šaknies ODZ. Leiskite jums priminti: aritmetika Kvadratinė šaknis egzistuoja tik nuo neneigiamas skaičiai;
3. g(x) ≥ 0 yra šaknies diapazonas. Padalindami nelygybę kvadratu, sudeginame neigiamus dalykus. Dėl to gali atsirasti papildomų šaknų. Nelygybė g(x) ≥ 0 juos atkerta.

Daugelis studentų „užsikabina“ ant pirmosios sistemos nelygybės: f (x) ≤ g 2 (x) – ir visiškai pamiršta kitas dvi. Rezultatas nuspėjamas: neteisingas sprendimas, prarasti taškai.

Kadangi neracionalios nelygybės yra gana sudėtinga tema, pažvelkime į 4 pavyzdžius iš karto. Nuo pagrindinio iki tikrai sudėtingo. Visos problemos paimtos iš Maskvos valstybinio universiteto stojamųjų egzaminų. M. V. Lomonosovas.

Problemų sprendimo pavyzdžiai

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

Prieš mus yra klasika neracionali nelygybė: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 – konstanta. Mes turime:

Iš trijų nelygybių sprendimo pabaigoje liko tik dvi. Kadangi visada galioja nelygybė 2 ≥ 0. Perbraukime likusias nelygybes:

Taigi, x ∈ [−1,5; 0,5]. Visi taškai užtamsinti, nes nelygybės nėra griežtos.

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

Taikome teoremą:

Išspręskime pirmąją nelygybę. Norėdami tai padaryti, atskleisime skirtumo kvadratą. Mes turime:

2x 2 - 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 - 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 - 10x< 0;
x (x – 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Dabar išspręskime antrąją nelygybę. Ten irgi kvadratinis trinaris:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 – 9x + 8 ≥ 0;
(x - 8) (x - 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)