NAUDOJIMO LOGARITMINIAI NELYGYDŽIAI
Sečinas Michailas Aleksandrovičius
Mažoji mokslų akademija Kazachstano Respublikos studentams „Iskatel“
MBOU "Sovetskaya vidurinė mokykla Nr. 1", 11 klasė, miestas. Sovetsky Sovetsky rajonas
Gunko Liudmila Dmitrievna, savivaldybės biudžetinės švietimo įstaigos „Sovetskajos 1-oji vidurinė mokykla“ mokytoja
Sovetskio rajonas
Darbo tikslas: sprendimo mechanizmo tyrimas logaritmines nelygybes C3 naudojant nestandartinius metodus, identifikuojant Įdomūs faktai logaritmas
Studijų dalykas:
3) Išmokti spręsti specifines logaritmines nelygybes C3 nestandartiniais metodais.
Rezultatai:
Turinys
Įvadas…………………………………………………………………………………….4
1 skyrius. Problemos istorija…………………………………………………………5
2 skyrius. Logaritminių nelygybių rinkinys …………………………… 7
2.1. Lygiaverčiai perėjimai ir apibendrinti intervalo metodas…………… 7
2.2. Racionalizavimo metodas………………………………………………………………… 15
2.3. Nestandartinis pakeitimas………………................................................ .............. 22
2.4. Užduotys su spąstais………………………………………………………27
Išvada………………………………………………………………………………… 30
Literatūra……………………………………………………………………. 31
Įvadas
Esu 11 klasėje ir planuoju stoti į universitetą, kuriame pagrindinis dalykas yra matematika. Štai kodėl daug dirbu su užduotimis C dalyje. C3 užduotyje man reikia išspręsti nestandartinę nelygybę arba nelygybių sistemą, dažniausiai susijusią su logaritmais. Ruošdamasis egzaminui susidūriau su C3 siūlomų egzamino logaritminių nelygybių sprendimo metodų ir technikų trūkumo problema. Metodai, kurie tiriami mokyklos mokymo programašia tema, nesuteikia pagrindo spręsti C3 uždavinius. Matematikos mokytoja man pasiūlė savarankiškai atlikti C3 užduotis, jai vadovaujant. Be to, mane domino klausimas: ar gyvenime susiduriame su logaritmais?
Atsižvelgiant į tai, buvo pasirinkta tema:
„Logaritminės nelygybės vieningame valstybiniame egzamine“
Darbo tikslas: C3 uždavinių sprendimo mechanizmo tyrimas naudojant nestandartinius metodus, identifikuojant įdomius faktus apie logaritmą.
Studijų dalykas:
1) Raskite reikiamą informaciją apie nestandartinius logaritminių nelygybių sprendimo būdus.
2) Raskite papildomos informacijos apie logaritmus.
3) Išmokti spręsti konkrečias C3 problemas nestandartiniais metodais.
Rezultatai:
Praktinė reikšmė susideda iš C3 uždavinių sprendimo aparato išplėtimo. Ši medžiaga gali būti naudojama kai kuriose pamokose, būreliuose ir pasirenkamuose matematikos užsiėmimuose.
Projekto produktas bus kolekcija „C3 logaritminės nelygybės su sprendimais“.
1 skyrius. Fonas
Visą XVI amžių apytikslių skaičiavimų skaičius sparčiai didėjo, visų pirma astronomijoje. Instrumentų tobulinimas, planetų judėjimo tyrinėjimas ir kiti darbai reikalavo kolosalinių, kartais ir daugiamečių skaičiavimų. Astronomijai iškilo realus pavojus paskęsti neįgyvendintuose skaičiavimuose. Sunkumų kilo ir kitose srityse, pavyzdžiui, draudimo versle reikėjo sudėtinių palūkanų lentelių skirtingos reikšmės proc. Pagrindinis sunkumas buvo daugiaženklių skaičių, ypač trigonometrinių dydžių, daugyba ir dalyba.
Logaritmų atradimas buvo pagrįstas progresijų savybėmis, kurios buvo gerai žinomos iki XVI amžiaus pabaigos. Apie narių ryšį geometrinė progresija q, q2, q3, ... ir aritmetinė progresija jų rodikliai yra 1, 2, 3,... Archimedas kalbėjo savo „Psalmityje“. Kita būtina sąlyga buvo laipsnio sąvokos išplėtimas į neigiamus ir trupmeninius rodiklius. Daugelis autorių pažymėjo, kad daugyba, dalyba, eksponencija ir šaknų ištraukimas geometrine progresija atitinka aritmetiką – ta pačia tvarka – sudėti, atimti, dauginti ir dalyti.
Čia kilo logaritmo kaip eksponento idėja.
Logaritmų doktrinos raidos istorijoje praėjo keli etapai.
1 etapas
Logaritmus ne vėliau kaip 1594 m. savarankiškai išrado škotų baronas Napier (1550–1617), o po dešimties metų – šveicarų mechanikas Bürgi (1552–1632). Abu norėjo pateikti naują, patogią aritmetinio skaičiavimo priemonę, nors šią problemą sprendė skirtingai. Napier kinematiškai išreiškė logaritminę funkciją ir taip pateko į naują funkcijų teorijos sritį. Bürgi toliau rėmėsi atskirų progresų svarstymu. Tačiau abiejų logaritmo apibrėžimas nėra panašus į šiuolaikinį. Terminas „logaritmas“ (logaritmas) priklauso Napier. Jis atsirado sujungus graikiškus žodžius: logos - „ryšys“ ir ariqmo - „skaičius“, o tai reiškė „santykių skaičių“. Iš pradžių Napier vartojo kitą terminą: numeri mākslīgi – „dirbtiniai skaičiai“, o ne numeri naturalts – „natūralūs skaičiai“.
1615 m., kalbėdamasis su Henry Briggsu (1561-1631), Gresh koledžo Londone matematikos profesoriumi, Napier pasiūlė nulį laikyti vieneto logaritmu, o 100 - dešimties logaritmu, arba kas yra tas pats. dalykas, tiesiog 1. Taip jie atsirado dešimtainiai logaritmai ir buvo išspausdintos pirmosios logaritminės lentelės. Vėliau Briggso lenteles papildė olandų knygnešys ir matematikos entuziastas Adrianas Flaccusas (1600–1667). Napier ir Briggs, nors prie logaritmų priėjo anksčiau nei visi kiti, savo lenteles paskelbė vėliau nei kitos – 1620 m. Ženklus log ir Log 1624 metais pristatė I. Kepleris. Sąvoką „natūralus logaritmas“ 1659 m. įvedė Mengoli, o 1668 m. pasekė N. Mercator, o Londono mokytojas Johnas Speidelis paskelbė skaičių natūraliųjų logaritmų lenteles nuo 1 iki 1000 pavadinimu „Naujieji logaritmai“.
Pirmosios logaritminės lentelės rusų kalba buvo išleistos 1703 m. Tačiau visose logaritminėse lentelėse buvo skaičiavimo klaidų. Pirmosios be klaidų lentelės buvo paskelbtos 1857 metais Berlyne, jas apdorojo vokiečių matematikas K. Bremikeris (1804-1877).
2 etapas
Tolesnė logaritmų teorijos plėtra siejama su platesniu analitinės geometrijos ir begalinio mažumo skaičiavimo taikymu. Iki to laiko ryšys tarp lygiakraštės hiperbolės kvadrato ir natūralusis logaritmas. Šio laikotarpio logaritmų teorija siejama su daugelio matematikų vardais.
Vokiečių matematikas, astronomas ir inžinierius Nikolaus Mercator savo esė
„Logaritmotechnika“ (1668) pateikia seriją, kurioje ln(x+1) išplėtimas
x laipsniai:
Šis posakis tiksliai atitinka jo minčių eigą, nors, žinoma, jis vartojo ne d, ... ženklus, o gremėzdiškesnę simboliką. Atradus logaritmines eilutes, pasikeitė logaritmų skaičiavimo technika: jie pradėti nustatyti naudojant begalines eilutes. Savo paskaitose „Elementarioji matematika su aukščiausias taškas vizija“, skaitytas 1907-1908 m., F. Kleinas pasiūlė formulę naudoti kaip logaritmų teorijos konstravimo atskaitos tašką.
3 etapas
Logaritminės funkcijos kaip atvirkštinės funkcijos apibrėžimas
eksponentinis, logaritmas kaip duotosios bazės eksponentas
buvo suformuluotas ne iš karto. Leonhardo Eulerio (1707–1783) esė
„Įvadas į begalinių mažų dydžių analizę“ (1748 m.) pasitarnavo toliau.
logaritminių funkcijų teorijos kūrimas. Taigi,
Praėjo 134 metai nuo tada, kai pirmą kartą buvo įvesti logaritmai
(skaičiuojama nuo 1614 m.), kol matematikai priėjo prie apibrėžimo
logaritmo samprata, kuri dabar yra mokyklos kurso pagrindas.
2 skyrius. Logaritminių nelygybių rinkinys
2.1. Ekvivalentiniai perėjimai ir apibendrintas intervalų metodas.
Lygiaverčiai perėjimai
, jei a > 1
, jei 0 <
а <
1
Apibendrintas intervalo metodas
Šis metodas universaliausias sprendžiant beveik bet kokio tipo nelygybes. Sprendimo schema atrodo taip:
1. Įveskite nelygybę į formą, kurioje yra funkcija kairėje pusėje 
, o dešinėje 0.
2. Raskite funkcijos sritį .
3. Raskite funkcijos nulius , tai yra, išspręskite lygtį 
(ir išspręsti lygtį paprastai yra lengviau nei išspręsti nelygybę).
4. Skaičių eilutėje nubrėžkite funkcijos apibrėžimo sritį ir nulius.
5. Nustatykite funkcijos požymius gautais intervalais.
6. Pasirinkite intervalus, kuriuose funkcija paima reikiamas reikšmes ir užrašykite atsakymą.
1 pavyzdys.
Sprendimas:
Taikykime intervalų metodą
kur
Šioms reikšmėms visos išraiškos po logaritminiais ženklais yra teigiamos.
Atsakymas:
2 pavyzdys.
Sprendimas:
1-oji būdu . ADL lemia nelygybė x> 3. Logaritmų ėmimas tokiems x 10 bazėje gauname
Paskutinę nelygybę būtų galima išspręsti taikant išplėtimo taisykles, t.y. koeficientus lyginant su nuliu. Tačiau šiuo atveju nesunku nustatyti funkcijos pastovaus ženklo intervalus
todėl galima taikyti intervalų metodą.
Funkcija f(x) = 2x(x- 3,5) lgǀ x- 3ǀ yra ištisinis ties x> 3 ir išnyksta taškuose x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Taigi nustatome funkcijos pastovaus ženklo intervalus f(x):
Atsakymas:
2-as metodas . Pradinei nelygybei tiesiogiai pritaikykime intervalo metodo idėjas.
Norėdami tai padaryti, prisiminkite, kad išraiškos a b- a c ir ( a - 1)(b- 1) turėti vieną ženklą. Tada mūsų nelygybė ties x> 3 yra tolygus nelygybei
arba
Paskutinė nelygybė išspręsta naudojant intervalų metodą
Atsakymas:
3 pavyzdys.
Sprendimas:
Taikykime intervalų metodą
Atsakymas:
4 pavyzdys.
Sprendimas:
Nuo 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 visiems realiems x, Tai
Norėdami išspręsti antrąją nelygybę, naudojame intervalų metodą
Pirmoje nelygybėje atliekame pakeitimą
tada pasiekiame nelygybę 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, kurios tenkina nelygybę -0,5< y < 1.
Iš kur, nes
gauname nelygybę
kuris atliekamas, kai x, kuriam 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Dabar, atsižvelgdami į antrosios sistemos nelygybės sprendimą, pagaliau gauname
Atsakymas:
5 pavyzdys.
Sprendimas:
Nelygybė prilygsta sistemų rinkiniui
arba
Naudokime intervalo metodą arba
Atsakymas:
6 pavyzdys.
Sprendimas:
Nelygybė lygi sistemai
Leisti
Tada y > 0,
ir pirmoji nelygybė
sistema įgauna formą
arba, atsiskleidžiant
kvadratinis trinaris koeficientas,
Pritaikius intervalo metodą paskutinei nelygybei,
matome, kad jos sprendimai tenkina sąlygą y> 0 bus viskas y > 4.
Taigi pradinė nelygybė yra lygiavertė sistemai:
Taigi, nelygybės sprendimai yra visi
2.2. Racionalizavimo metodas.
Anksčiau metodas nelygybės racionalizavimas nebuvo išspręstas, nebuvo žinomas. Tai yra „naujas modernus“ efektyvus metodas eksponentinių ir logaritminių nelygybių sprendimai“ (citata iš S. I. Kolesnikovos knygos)
Ir net jei mokytojas jį pažinojo, buvo baimė - ar vieningo valstybinio egzamino ekspertas jį pažįsta, o kodėl jo neduoda mokykloje? Būdavo situacijų, kai mokytojas mokiniui sakydavo: „Kur gavai – 2?
Dabar metodas propaguojamas visur. O ekspertams yra su šiuo metodu susijusios gairės, o C3 sprendimo „Patys pilniausi standartinių parinkčių leidimai...“ šis metodas naudojamas.
NUOSTABUS METODAS!
„Stebuklingas stalas“
Kituose šaltiniuose
Jeigu a >1 ir b >1, tada log a b >0 ir (a -1)(b -1)>0;
Jeigu a >1 ir 0 jei 0<a<1 и b
>1, tada įrašykite a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
jei 0<a<1 и 00 ir (a -1) (b -1)>0. Atliktas samprotavimas paprastas, tačiau žymiai supaprastina logaritminių nelygybių sprendimą. 4 pavyzdys.
log x (x 2–3)<0
Sprendimas:
5 pavyzdys.
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Sprendimas: 6 pavyzdys.
Norėdami išspręsti šią nelygybę, vietoj vardiklio rašome (x-1-1)(x-1), o vietoj skaitiklio rašome sandaugą (x-1)(x-3-9 + x). 7 pavyzdys.
8 pavyzdys.
2.3. Nestandartinis pakeitimas. 1 pavyzdys.
2 pavyzdys.
3 pavyzdys.
4 pavyzdys.
5 pavyzdys.
6 pavyzdys.
7 pavyzdys.
log 4 (3 x -1)log 0,25 Padarykim pakaitalą y=3 x -1; tada ši nelygybė įgaus formą Log 4 log 0,25 Nes log 0,25 Padarykime pakeitimą t =log 4 y ir gausime nelygybę t 2 -2t +≥0, kurios sprendimas yra intervalai - Taigi, norėdami rasti y reikšmes, turime dviejų paprastų nelygybių rinkinį Todėl pradinė nelygybė yra lygi dviejų eksponentinių nelygybių rinkiniui, Šios aibės pirmosios nelygybės sprendimas yra intervalas 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ 8 pavyzdys.
Sprendimas:
Nelygybė lygi sistemai Antrosios nelygybės, apibrėžiančios ODZ, sprendimas bus tų rinkinys x,
kuriam x > 0.
Norėdami išspręsti pirmąją nelygybę, atliekame pakeitimą Tada gauname nelygybę arba Metodu randama paskutinės nelygybės sprendinių aibė intervalai: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, mes gauname arba Daug tų x, kurios tenkina paskutinę nelygybę priklauso ODZ ( x> 0), todėl yra sistemos sprendimas, taigi ir pirminė nelygybė. Atsakymas: 2.4. Užduotys su spąstais. 1 pavyzdys.
Sprendimas. Nelygybės ODZ visi x atitinka sąlygą 0 2 pavyzdys.
log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.
Atsakymas. (0; 0,5) U.
Atsakymas :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , tada paskutinę nelygybę perrašome į 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Šios aibės sprendimas yra intervalai 0<у≤2 и 8≤у<+.
tai yra agregatai 
. Taigi pradinė nelygybė tenkinama visoms x reikšmėms iš intervalų 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Todėl visi x yra iš intervalo 0
Išvada
Iš daugybės įvairių mokymo šaltinių nebuvo lengva rasti konkrečius metodus C3 uždaviniams spręsti. Atliekant darbą galėjau išstudijuoti nestandartinius kompleksinių logaritminių nelygybių sprendimo metodus. Tai: ekvivalentiniai perėjimai ir apibendrintas intervalų metodas, racionalizacijos metodas , nestandartinis pakeitimas , užduotys su spąstais ODZ. Šie metodai neįtraukti į mokyklos mokymo programą.
Naudodamas skirtingus metodus išsprendžiau 27 vieningo valstybinio egzamino C dalyje pasiūlytas nelygybes, būtent C3. Šios nelygybės su sprendiniais metodais sudarė pagrindą rinkiniui „C3 Logaritminės nelygybės su sprendimais“, kuris tapo mano veiklos projektiniu produktu. Hipotezė, kurią iškėliau projekto pradžioje, pasitvirtino: C3 problemas galima efektyviai išspręsti, žinant šiuos metodus.
Be to, atradau įdomių faktų apie logaritmus. Man buvo įdomu tai padaryti. Mano projekto produktai bus naudingi tiek mokiniams, tiek mokytojams.
Išvados:
Taigi projekto tikslas pasiektas ir problema išspręsta. Ir gavau pačią pilniausią ir įvairiausią projektinės veiklos patirtį visuose darbo etapuose. Vykdant projektą, mano pagrindinis lavinimo poveikis buvo protinė kompetencija, veikla, susijusi su loginėmis protinėmis operacijomis, kūrybinės kompetencijos, asmeninės iniciatyvos, atsakomybės, atkaklumo, aktyvumo ugdymas.
Sėkmės garantas kuriant tyrimo projektą Įgijau: didelę mokyklinę patirtį, gebėjimą gauti informaciją iš įvairių šaltinių, patikrinti jos patikimumą, reitinguoti pagal svarbą.
Be tiesioginių dalykinių matematikos žinių, praplėčiau savo praktinius įgūdžius informatikos srityje, įgijau naujų žinių ir patirties psichologijos srityje, užmezgiau ryšius su bendramoksliais, išmokau bendradarbiauti su suaugusiaisiais. Projekto veiklų metu buvo ugdomi organizaciniai, intelektualiniai ir komunikaciniai bendrieji ugdymosi įgūdžiai.
Literatūra
1. Korjanovas A. G., Prokofjevas A. A. Nelygybių su vienu kintamuoju sistemos (standartinės užduotys C3).
2. Malkova A. G. Pasirengimas vieningam valstybiniam matematikos egzaminui.
3. Samarova S. S. Logaritminių nelygybių sprendimas.
4. Matematika. Mokomųjų darbų rinkinys redagavo A.L. Semenovas ir I. V. Jaščenka. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-
Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.
Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas
Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.
Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.
Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.
Kokią asmeninę informaciją renkame:
- Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.
Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:
- Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
- Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
- Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
- Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.
Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims
Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.
Išimtys:
- Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminio proceso metu ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
- Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.
Asmeninės informacijos apsauga
Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.
Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu
Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.
Logaritminės nelygybės
Ankstesnėse pamokose susipažinome su logaritminėmis lygtimis ir dabar žinome, kas jos yra ir kaip jas išspręsti. Šios dienos pamoka bus skirta logaritminių nelygybių tyrimui. Kas yra šios nelygybės ir kuo skiriasi logaritminės lygties sprendimas nuo nelygybės?
Logaritminės nelygybės yra nelygybės, kurių kintamasis yra po logaritmo ženklu arba jo pagrindu.
Arba taip pat galime pasakyti, kad logaritminė nelygybė yra nelygybė, kurioje jos nežinoma reikšmė, kaip ir logaritminėje lygtyje, atsiras po logaritmo ženklu.
Paprasčiausios logaritminės nelygybės turi tokią formą:
kur f(x) ir g(x) yra kai kurios išraiškos, kurios priklauso nuo x.
Pažvelkime į tai naudodami šį pavyzdį: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Logaritminių nelygybių sprendimas
Prieš sprendžiant logaritmines nelygybes, verta paminėti, kad išspręstos jos yra panašios į eksponentinę nelygybę, būtent:
Pirma, pereinant nuo logaritmų prie išraiškų po logaritmo ženklu, taip pat turime palyginti logaritmo bazę su vienu;
Antra, sprendžiant logaritminę nelygybę naudojant kintamųjų pokytį, turime spręsti nelygybes pokyčio atžvilgiu, kol gausime paprasčiausią nelygybę.
Bet jūs ir aš svarstėme panašius logaritminių nelygybių sprendimo aspektus. Dabar atkreipkime dėmesį į gana reikšmingą skirtumą. Jūs ir aš žinome, kad logaritminė funkcija turi ribotą apibrėžimo sritį, todėl pereinant nuo logaritmų prie išraiškų po logaritmo ženklu, turime atsižvelgti į leistinų verčių diapazoną (ADV).
Tai reiškia, kad reikia atsižvelgti į tai, kad spręsdami logaritminę lygtį, jūs ir aš pirmiausia galime rasti lygties šaknis, o tada patikrinti šį sprendimą. Tačiau logaritminės nelygybės sprendimas tokiu būdu neveiks, nes pereinant nuo logaritmų prie išraiškų po logaritmo ženklu, reikės užrašyti nelygybės ODZ.
Be to, verta prisiminti, kad nelygybių teorija susideda iš realiųjų skaičių, kurie yra teigiami ir neigiami skaičiai, taip pat skaičius 0.
Pavyzdžiui, kai skaičius „a“ yra teigiamas, reikia naudoti tokį žymėjimą: a >0. Šiuo atveju ir šių skaičių suma, ir sandauga taip pat bus teigiami.
Pagrindinis nelygybės sprendimo principas yra pakeisti ją paprastesne nelygybe, tačiau svarbiausia, kad ji būtų lygiavertė duotajai. Be to, mes taip pat gavome nelygybę ir vėl ją pakeitėme paprastesne forma ir pan.
Sprendžiant nelygybes su kintamuoju, reikia rasti visus jo sprendimus. Jei dvi nelygybės turi tą patį kintamąjį x, tai tokios nelygybės yra lygiavertės, jei jų sprendiniai sutampa.
Atlikdami logaritminių nelygybių sprendimo užduotis, turite atsiminti, kad kai a > 1, tada logaritminė funkcija didėja, o kai 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Logaritminių nelygybių sprendimo metodai
Dabar pažvelkime į kai kuriuos metodus, taikomus sprendžiant logaritmines nelygybes. Kad geriau suprastume ir įsisavintume, bandysime juos suprasti pasitelkdami konkrečius pavyzdžius.
Visi žinome, kad paprasčiausia logaritminė nelygybė turi tokią formą:
Šioje nelygybėje V – yra vienas iš šių nelygybės ženklų:<,>, ≤ arba ≥.
Kai duoto logaritmo bazė yra didesnė už vieną (a>1), pereinant nuo logaritmų prie išraiškų po logaritmo ženklu, tada šioje versijoje nelygybės ženklas išsaugomas, o nelygybė bus tokia:
kuri yra lygiavertė šiai sistemai:
Tuo atveju, kai logaritmo bazė yra didesnė už nulį ir mažesnė už vieną (0 Tai atitinka šią sistemą: Pažvelkime į daugiau paprasčiausių logaritminių nelygybių sprendimo pavyzdžių, parodytų paveikslėlyje žemiau: Pratimas. Pabandykime išspręsti šią nelygybę: Priimtinų verčių diapazono sprendimas. Dabar pabandykime padauginti jo dešinę pusę iš: Pažiūrėkime, ką galime sugalvoti: Dabar pereikime prie sublogaritminių išraiškų konvertavimo. Dėl to, kad logaritmo pagrindas yra 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; Iš to išplaukia, kad gautas intervalas visiškai priklauso ODZ ir yra tokios nelygybės sprendimas. Štai atsakymą gavome: Dabar pabandykime išanalizuoti, ko mums reikia norint sėkmingai išspręsti logaritmines nelygybes? Pirmiausia sutelkite visą savo dėmesį ir stenkitės nesuklysti atlikdami transformacijas, kurios pateikiamos šioje nelygybėje. Taip pat reikia atsiminti, kad sprendžiant tokias nelygybes, būtina vengti nelygybių išsiplėtimų ir susitraukimų, dėl kurių gali būti prarasti ar įgyti pašaliniai sprendimai. Antra, sprendžiant logaritmines nelygybes, reikia išmokti logiškai mąstyti ir suprasti skirtumą tarp sąvokų, tokių kaip nelygybių sistema ir nelygybių rinkinys, kad galėtumėte lengvai pasirinkti nelygybės sprendimus, vadovaudamiesi jos DL. Trečia, norėdami sėkmingai išspręsti tokias nelygybes, kiekvienas iš jūsų turite puikiai žinoti visas elementariųjų funkcijų savybes ir aiškiai suprasti jų reikšmę. Tokios funkcijos apima ne tik logaritmines, bet ir racionaliąsias, galios, trigonometrines ir kt., Žodžiu, visas tas, kurias studijavote mokyklinės algebros metu. Kaip matote, išstudijavus logaritminių nelygybių temą, nėra nieko sudėtingo sprendžiant šias nelygybes, jei esate atsargūs ir atkaklūs siekdami savo tikslų. Norint išvengti problemų sprendžiant nelygybes, reikia kuo daugiau praktikuotis, sprendžiant įvairias užduotis ir tuo pačiu prisiminti pagrindinius tokių nelygybių sprendimo būdus ir jų sistemas. Jei nepavyksta išspręsti logaritminių nelygybių, turėtumėte atidžiai išanalizuoti savo klaidas, kad ateityje prie jų nebegrįžtumėte. Norėdami geriau suprasti temą ir konsoliduoti nagrinėjamą medžiagą, išspręskite šias nelygybes: Pamokos tikslai: Didaktika: Švietimas: lavinti atmintį, dėmesį, loginį mąstymą, lyginimo įgūdžius, mokėti apibendrinti ir daryti išvadas Švietimas: ugdyti tikslumą, atsakomybę už atliekamą užduotį ir savitarpio pagalbą. Mokymo metodai:
žodinis ,
vizualinis ,
praktiška ,
dalinė paieška ,
savivalda ,
kontrolė. Mokinių pažintinės veiklos organizavimo formos:
priekinis ,
individualus ,
dirbti porose. Įranga:
testo užduočių rinkinys, informaciniai užrašai, tušti sprendinių lapai. Pamokos tipas: mokytis naujos medžiagos. Per užsiėmimus 1. Organizacinis momentas. Skelbiama pamokos tema ir tikslai, pamokos planas: kiekvienam mokiniui išduodamas vertinimo lapas, kurį mokinys užpildo pamokos metu; kiekvienai mokinių porai - spausdinta medžiaga su užduotimis turi būti atliekama poromis; Tušti tirpalo lapai; pagalbiniai lapai: logaritmo apibrėžimas; logaritminės funkcijos grafikas, jos savybės; logaritmų savybės; logaritminių nelygybių sprendimo algoritmas. Visi sprendimai po įsivertinimo pateikiami mokytojui. Mokinio balų lapas 2. Žinių atnaujinimas. Mokytojo nurodymai. Prisiminkite logaritmo apibrėžimą, logaritminės funkcijos grafiką ir jos savybes. Norėdami tai padaryti, perskaitykite Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin ir kitų redaguojamo vadovėlio „Algebra ir analizės pradžia 10–11“ tekstą 88–90, 98–101 p. Mokiniams išduodami lapai, ant kurių užrašoma: logaritmo apibrėžimas; parodytas logaritminės funkcijos grafikas ir jos savybės; logaritmų savybės; logaritminių nelygybių sprendimo algoritmas, logaritminės nelygybės, redukuojančios į kvadratinę, sprendimo pavyzdys. 3. Naujos medžiagos studijavimas. Logaritminių nelygybių sprendimas grindžiamas logaritminės funkcijos monotoniškumu. Logaritminių nelygybių sprendimo algoritmas: A) Raskite nelygybės apibrėžimo sritį (sublogaritminė išraiška didesnė už nulį). 1 mokymosi elementas. Tikslas: konsoliduoti sprendinį į paprasčiausias logaritmines nelygybes Mokinių pažintinės veiklos organizavimo forma: individualus darbas. Savarankiško darbo užduotys 10 min. Kiekvienai nelygybei yra keletas galimų atsakymų, kuriuos reikia pasirinkti ir patikrinti naudodami klavišą. 2 mokymosi elementas. Tikslas: įtvirtinti logaritminių nelygybių sprendimą naudojant logaritmų savybes. Mokytojo nurodymai. Prisiminkite pagrindines logaritmų savybes. Norėdami tai padaryti, perskaitykite vadovėlio tekstą 92, 103–104 p. Savarankiško darbo užduotys 10 min. RAKTAS: 2113, maksimalus taškų skaičius – 8 taškai. 3 mokymosi elementas. Tikslas: ištirti logaritminių nelygybių sprendimą redukciniu į kvadratinį metodą. Mokytojo nurodymai: nelygybės redukavimo į kvadratinę būdas yra paversti nelygybę į tokią formą, kad tam tikra logaritminė funkcija būtų žymima nauju kintamuoju, taip šio kintamojo atžvilgiu gaunama kvadratinė nelygybė. Naudokime intervalų metodą. Išlaikėte pirmąjį medžiagos įsisavinimo lygį. Dabar turėsite savarankiškai pasirinkti logaritminių lygčių sprendimo metodą, naudodami visas savo žinias ir galimybes. 4 mokymosi elementas. Tikslas: konsoliduoti logaritminių nelygybių sprendimą savarankiškai pasirenkant racionalų sprendimo būdą. Savarankiško darbo užduotys 10 min 5 mokymosi elementas. Mokytojo nurodymai. Šauniai padirbėta! Įvaldote antrojo sudėtingumo lygčių sprendimą. Jūsų tolesnio darbo tikslas – pritaikyti savo žinias ir įgūdžius sudėtingesnėse ir nestandartinėse situacijose. Užduotys savarankiškam sprendimui: Mokytojo nurodymai. Puiku, jei įvykdėte visą užduotį. Šauniai padirbėta! Visos pamokos įvertinimas priklauso nuo taškų, surinktų už visus ugdymo elementus: Vertinimo dokumentus pateikti mokytojui. 5. Namų darbas: jei surinkote ne daugiau 15 balų, atidirbkite savo klaidas (sprendimus galite gauti iš mokytojo), jei surinkote daugiau nei 15 balų, atlikite kūrybinę užduotį tema „Logaritminės nelygybės“. Iš visos logaritminių nelygybių įvairovės atskirai nagrinėjamos nelygybės su kintamu pagrindu. Jie sprendžiami naudojant specialią formulę, kuri dėl kokių nors priežasčių retai mokoma mokykloje: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0 Vietoj žymės langelio „∨“ galite įdėti bet kokį nelygybės ženklą: daugiau ar mažiau. Svarbiausia, kad abiejose nelygybėse ženklai būtų vienodi. Taip atsikratome logaritmų ir sumažiname problemą iki racionalios nelygybės. Pastarąjį išspręsti daug lengviau, tačiau atmetus logaritmus gali atsirasti papildomų šaknų. Norint juos nupjauti, pakanka rasti priimtinų verčių diapazoną. Jei pamiršote logaritmo ODZ, primygtinai rekomenduoju jį pakartoti – žr. „Kas yra logaritmas“. Viskas, kas susiję su priimtinų verčių diapazonu, turi būti išrašyta ir išspręsta atskirai: f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Šios keturios nelygybės sudaro sistemą ir turi būti tenkinamos vienu metu. Kai randamas priimtinų reikšmių diapazonas, belieka jį susikirsti su racionalios nelygybės sprendimu – ir atsakymas paruoštas. Užduotis. Išspręskite nelygybę: Pirmiausia užrašykite logaritmo ODZ: Pirmosios dvi nelygybės tenkinamos automatiškai, tačiau paskutinė turės būti išrašyta. Kadangi skaičiaus kvadratas yra nulis tada ir tik tada, kai pats skaičius yra nulis, turime: x 2 + 1 ≠ 1; Pasirodo, kad logaritmo ODZ yra visi skaičiai, išskyrus nulį: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Dabar išsprendžiame pagrindinę nelygybę: Mes pereiname nuo logaritminės nelygybės prie racionalios. Pradinė nelygybė turi ženklą „mažiau nei“, o tai reiškia, kad gauta nelygybė taip pat turi turėti „mažiau nei“ ženklą. Mes turime: (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0; Šios išraiškos nuliai yra: x = 3; x = –3; x = 0. Be to, x = 0 yra antrojo dauginio šaknis, vadinasi, einant pro ją funkcijos ženklas nekinta. Mes turime: Gauname x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Šis rinkinys yra visiškai įtrauktas į logaritmo ODZ, o tai reiškia, kad tai yra atsakymas. Dažnai pradinė nelygybė skiriasi nuo aukščiau pateiktos. Tai galima lengvai ištaisyti naudojant standartines darbo su logaritmais taisykles – žr. „Pagrindinės logaritmų savybės“. Būtent: Atskirai norėčiau priminti apie priimtinų verčių diapazoną. Kadangi pradinėje nelygybėje gali būti keli logaritmai, reikia rasti kiekvieno iš jų VA. Taigi bendra logaritminių nelygybių sprendimo schema yra tokia: Užduotis. Išspręskite nelygybę: Raskime pirmojo logaritmo apibrėžimo sritį (DO): Sprendžiame intervalo metodu. Skaitiklio nulių radimas: 3x − 2 = 0; Tada - vardiklio nuliai: x − 1 = 0; Ant koordinačių rodyklės pažymime nulius ir ženklus: Gauname x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Antrasis logaritmas turės tą patį VA. Jei netikite, galite patikrinti. Dabar paverčiame antrąjį logaritmą taip, kad bazė būtų dvi: Kaip matote, trys prie pagrindo ir prieš logaritmą buvo sumažinti. Gavome du logaritmus su ta pačia baze. Sudėkime juos: log 2 (x − 1) 2< 2; Gavome standartinę logaritminę nelygybę. Atsikratome logaritmų naudodami formulę. Kadangi pradinėje nelygybėje yra ženklas „mažiau nei“, gauta racionali išraiška taip pat turi būti mažesnė už nulį. Mes turime: (f (x) – g (x)) (k (x) – 1)< 0; Gavome du komplektus: Belieka susikirsti šias aibes - mes gauname tikrą atsakymą: Mus domina aibių sankirta, todėl pasirenkame intervalus, kurie yra užtamsinti ant abiejų rodyklių. Gauname x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) – visi taškai pradurti.
Sprendimo pavyzdžiai
3x > 24;
x > 8. 
Ko reikia logaritminėms nelygybėms išspręsti?
Namų darbai
B) Pavaizduokite (jei įmanoma) kairę ir dešinę nelygybės puses kaip tos pačios bazės logaritmus.
C) Nustatykite, ar logaritminė funkcija didėja, ar mažėja: jei t>1, tai didėja; jei 0
D) Pereikite prie paprastesnės nelygybės (sublogaritminės išraiškos), atsižvelgiant į tai, kad nelygybės ženklas išliks toks pat, jei funkcija padidės, ir keisis, jei ji mažės.
RAKTAS: 13321, maksimalus taškų skaičius – 6 taškai.
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
(9 – x 2) x 2< 0;
(3–x) · (3 + x) · x 2< 0.
Logaritminių nelygybių konvertavimas
x = 2/3.
x = 1.
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x – 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).
