I. Tiesiogiai proporcingi dydžiai.

Tegul vertė y priklauso nuo dydžio X. Jei didinant X kelis kartus didesnis adresu padidėja tiek pat, tada tokios reikšmės X Ir adresu vadinami tiesiogiai proporcingais.

Pavyzdžiai.

1 . Perkamų prekių kiekis ir pirkimo kaina (su fiksuota vieno prekės vieneto kaina - 1 vnt. arba 1 kg ir pan.) Kiek kartų daugiau buvo nupirkta prekių, tiek kartų daugiau sumokėjo.

2 . Nuvažiuotas atstumas ir jame praleistas laikas (pastoviu greičiu). Kiek kartų ilgesnis kelias, kiek kartų daugiau laiko prireiks jam užbaigti.

3 . Kūno tūris ir masė. ( Jei vienas arbūzas yra 2 kartus didesnis už kitą, tada jo masė bus 2 kartus didesnė)

II. Tiesioginio dydžių proporcingumo savybė.

Jei du dydžiai yra tiesiogiai proporcingi, tada dviejų savavališkai paimtų pirmojo dydžio verčių santykis yra lygus dviejų atitinkamų antrojo dydžio verčių santykiui.

1 užduotis. Aviečių uogienei paėmėme 12 kg aviečių ir 8 kg Sachara. Kiek cukraus jums reikės, jei jį paimsite? 9 kg aviečių?

Sprendimas.

Mes samprotaujame taip: tegul taip reikia x kg cukraus už 9 kg aviečių Aviečių masė ir cukraus masė yra tiesiogiai proporcingi dydžiai: kiek kartų mažiau aviečių, tiek kartų mažiau cukraus reikia. Todėl paimtų aviečių santykis (pagal svorį) ( 12:9 ) bus lygus paimto cukraus santykiui ( 8:x). Gauname proporciją:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Atsakymas:įjungta 9 kg aviečių reikia paimti 6 kg Sachara.

Problemos sprendimas Tai galima padaryti taip:

Leisk toliau 9 kg aviečių reikia paimti x kg Sachara.

(Paveikslėlyje esančios rodyklės nukreiptos viena kryptimi, o aukštyn ar žemyn nesvarbu. Reikšmė: kiek kartų skaičius 12 daugiau numerio 9 , tiek pat kartų 8 daugiau numerio X, t.y. čia yra tiesioginis ryšys).

Atsakymas:įjungta 9 kg Man reikia paimti aviečių 6 kg Sachara.

2 užduotis. Automobilis skirtas 3 valandos nukeliavo atstumą 264 km. Kiek laiko jam prireiks kelionės? 440 km, jei jis važiuoja tokiu pat greičiu?

Sprendimas.

Leisk už x valandos automobilis pravažiuos atstumas 440 km.

Atsakymas: automobilis pravažiuos 440 km per 5 val.

Pavyzdys

1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 ir kt.

Proporcingumo koeficientas

Vadinamas pastovus proporcingų dydžių ryšys proporcingumo koeficientas. Proporcingumo koeficientas parodo, kiek vieno kiekio vienetų tenka kito vienetui.

Tiesioginis proporcingumas

Tiesioginis proporcingumas- funkcinė priklausomybė, kai tam tikras dydis priklauso nuo kito dydžio taip, kad jų santykis išlieka pastovus. Kitaip tariant, šie kintamieji keičiasi proporcingai, lygiomis dalimis, tai yra, jei argumentas pasikeičia du kartus bet kuria kryptimi, tada funkcija taip pat pasikeičia du kartus ta pačia kryptimi.

Matematiškai tiesioginis proporcingumas parašytas kaip formulė:

f(x) = ax,a = const

Atvirkštinis proporcingumas

Atvirkštinis proporcingumas- tai funkcinė priklausomybė, kai nepriklausomos reikšmės padidėjimas (argumentas) sukelia proporcingą priklausomos reikšmės (funkcijos) sumažėjimą.

Matematiškai atvirkštinis proporcingumas parašytas kaip formulė:

Funkcijos savybės:

Šaltiniai

Wikimedia fondas. 2010 m.

§ 129. Preliminarūs paaiškinimai.

Žmogus nuolat susiduria su pačiais įvairiausiais kiekiais. Darbuotojas ir darbuotojas stengiasi atvykti į darbą iki tam tikro laiko, pėsčiasis skuba į tam tikrą vietą trumpiausiu keliu, garo šildymo krosnis nerimauja, kad katile pamažu kyla temperatūra, verslo vadovas kuria planus, kaip sumažinti gamybos kaštus ir kt.

Tokių pavyzdžių būtų galima pateikti daugybę. Laikas, atstumas, temperatūra, kaina – visa tai įvairūs kiekiai. Pirmoje ir antroje šios knygos dalyse susipažinome su keletu ypač paplitusių dydžių: ploto, tūrio, svorio. Su daugybe dydžių susiduriame studijuodami fiziką ir kitus mokslus.

Įsivaizduokite, kad keliaujate traukiniu. Kartkartėmis žiūrite į laikrodį ir pastebite, kiek laiko buvote kelyje. Pavyzdžiui, jūs sakote, kad nuo traukinio išvykimo praėjo 2, 3, 5, 10, 15 valandų ir tt Šie skaičiai reiškia skirtingus laiko tarpus; jos vadinamos šio dydžio (laiko) reikšmėmis. Arba žiūrite pro langą ir sekate kelio stulpus, kad pamatytumėte atstumą, kurį nuvažiuoja jūsų traukinys. Prieš jus mirga skaičiai 110, 111, 112, 113, 114 km. Šie skaičiai rodo skirtingus atstumus, kuriuos traukinys nuvažiavo nuo išvykimo vietos. Jie taip pat vadinami vertėmis, šiuo metu skirtingo dydžio (kelias arba atstumas tarp dviejų taškų). Taigi vienas dydis, pavyzdžiui, laikas, atstumas, temperatūra, gali užimti tiek pat skirtingos reikšmės.

Atkreipkite dėmesį, kad žmogus beveik niekada neatsižvelgia tik į vieną kiekį, bet visada susieja jį su kitais dydžiais. Jis turi susidoroti su dviem, trimis ir didelis skaičius kiekiai Įsivaizduokite, kad į mokyklą turite atvykti iki 9 valandos. Pažiūri į laikrodį ir pamatai, kad turi 20 minučių. Tada greitai supranti, ar važiuoti tramvajumi, ar eiti į mokyklą pėsčiomis. Pagalvojęs nusprendžiate vaikščioti. Pastebėkite, kad mąstydami sprendėte kokią nors problemą. Ši užduotis tapo paprasta ir pažįstama, nes tokias problemas sprendžiate kiekvieną dieną. Jame greitai palyginote kelis kiekius. Jūs žiūrėjote į laikrodį, vadinasi, atsižvelgėte į laiką, tada mintyse įsivaizdavote atstumą nuo namų iki mokyklos; Galiausiai palyginote dvi reikšmes: savo žingsnio greitį ir tramvajaus greitį ir padarėte išvadą, kad per tam tikrą laiką (20 minučių) turėsite laiko nueiti. Iš šito paprastas pavyzdys matote, kad mūsų praktikoje kai kurie dydžiai yra tarpusavyje susiję, tai yra, priklauso vienas nuo kito

Dvyliktame skyriuje buvo kalbama apie vienarūšių dydžių ryšį. Pavyzdžiui, jei vienas segmentas yra 12 m, o kitas yra 4 m, tada šių atkarpų santykis bus 12:4.

Sakėme, kad tai yra dviejų vienarūšių dydžių santykis. Kitas būdas tai pasakyti yra tai, kad tai yra dviejų skaičių santykis vienas vardas.

Dabar, kai esame geriau susipažinę su dydžiais ir įvedėme kiekio vertės sąvoką, santykio apibrėžimą galime išreikšti nauju būdu. Tiesą sakant, kai svarstėme du segmentus 12 m ir 4 m, mes kalbėjome apie vieną reikšmę - ilgį, o 12 m ir 4 m buvo tik du skirtingos reikšmėsšią vertę.

Todėl ateityje, kai pradėsime kalbėti apie santykius, atsižvelgsime į dvi vieno dydžio reikšmes, o vienos kiekio vertės ir kitos to paties dydžio vertės santykis bus vadinamas pirmosios vertės padalijimo koeficientu. antruoju.

§ 130. Vertės yra tiesiogiai proporcingos.

Panagrinėkime problemą, kurios sąlyga apima du dydžius: atstumą ir laiką.

1 užduotis. Tiesiai ir tolygiai judantis kūnas kas sekundę nukeliauja 12 cm. Nustatykite kūno nuvažiuotą atstumą per 2, 3, 4, ..., 10 sekundžių.

Sukurkime lentelę, pagal kurią galima stebėti laiko ir atstumo pokyčius.

Lentelė suteikia mums galimybę palyginti šias dvi verčių eilutes. Iš to matome, kad kai pirmojo dydžio (laiko) reikšmės palaipsniui didėja 2, 3,..., 10 kartų, tada antrojo dydžio (atstumo) reikšmės taip pat padidėja 2, 3, ..., 10 kartų. Taigi, kai vieno dydžio reikšmės padidėja kelis kartus, kito dydžio reikšmės padidėja tiek pat, o kai vieno dydžio reikšmės sumažėja kelis kartus, kito dydžio reikšmės sumažėja tas pats numeris.

Dabar panagrinėkime problemą, kuri apima du tokius dydžius: medžiagos kiekį ir jos kainą.

2 užduotis. 15 m audinio kainuoja 120 rublių. Apskaičiuokite šio audinio kainą keliems kitiems lentelėje nurodytiems skaitiklių kiekiams.

Naudodamiesi šia lentele galime atsekti, kaip palaipsniui didėja prekės savikaina, priklausomai nuo jos kiekio padidėjimo. Nepaisant to, kad ši problema susijusi su visiškai skirtingais dydžiais (pirmoje problemoje - laikas ir atstumas, o čia - prekių kiekis ir jo vertė), vis dėlto šių dydžių elgesyje galima rasti didelių panašumų.

Tiesą sakant, viršutinėje lentelės eilutėje yra skaičiai, nurodantys audinio metrų skaičių, po kiekvienu iš jų yra skaičius, išreiškiantis atitinkamo prekių kiekio kainą. Net greitas žvilgsnis į šią lentelę rodo, kad tiek viršutinėje, tiek apatinėje eilutėse skaičiai didėja; atidžiau išnagrinėjus lentelę ir lyginant atskirus stulpelius, paaiškėja, kad visais atvejais antrojo dydžio reikšmės padidėja tiek pat kartų, kiek ir pirmojo padidėjimo reikšmės, t.y. pirmasis kiekis padidėja, tarkime, 10 kartų, tada antrojo kiekio vertė taip pat padidėjo 10 kartų.

Jei pažvelgsime į lentelę iš dešinės į kairę, pamatysime, kad nurodytos kiekių reikšmės sumažės tiek pat kartų. Šia prasme pirmoji ir antroji užduotis yra besąlygiškai panašios.

Dydžių poros, su kuriomis susidūrėme pirmoje ir antroje uždaviniuose, vadinamos tiesiogiai proporcingas.

Taigi, jei du dydžiai yra susiję vienas su kitu taip, kad vieno iš jų vertei padidėjus (mažėjant) kelis kartus, kito vertei padidėjus (sumažinus) tiek pat, tai tokie dydžiai vadinami tiesiogiai proporcingais. .

Taip pat sakoma, kad tokie dydžiai yra susiję vienas su kitu tiesiogiai proporcingu ryšiu.

Gamtoje ir mus supančiame gyvenime yra daug panašių kiekių. Štai keletas pavyzdžių:

1. Laikas darbas (dieną, dvi dienas, tris dienas ir pan.) ir pajamos, gautas per šį laiką su dieniniu atlyginimu.

2. Apimtis bet koks objektas, pagamintas iš vienalytės medžiagos, ir svoriošį elementą.

§ 131. Tiesiogiai proporcingų dydžių savybė.

Paimkime problemą, kuri apima šiuos du kiekius: darbo laikas ir uždarbis. Jei dienos uždarbis yra 20 rublių, tada uždarbis už 2 dienas bus 40 rublių ir tt Patogiausia sukurti lentelę, kurioje tam tikras skaičius dienų atitiks tam tikras pajamas.

Žvelgdami į šią lentelę matome, kad abu dydžiai gavo 10 skirtingų reikšmių. Kiekviena pirmosios vertės reikšmė atitinka tam tikrą antrosios vertės reikšmę, pavyzdžiui, 2 dienos atitinka 40 rublių; 5 dienos atitinka 100 rublių. Lentelėje šie skaičiai parašyti vienas po kito.

Mes jau žinome, kad jei du dydžiai yra tiesiogiai proporcingi, tai kiekvienas iš jų, besikeičiant, didėja tiek kartų, kiek didėja kitas. Iš to iš karto išplaukia: jei imsime bet kurių dviejų pirmojo dydžio verčių santykį, tada jis bus lygus dviejų atitinkamų antrojo dydžio verčių santykiui. Iš tikrųjų:

Kodėl tai vyksta? Bet kadangi šios vertės yra tiesiogiai proporcingos, t. y. kai viena iš jų (laikas) padidėjo 3 kartus, tada kita (uždarbis) padidėjo 3 kartus.

Todėl padarėme tokią išvadą: jei paimsime dvi pirmojo dydžio reikšmes ir padalinsime jas vieną iš kitos, o paskui iš vienos padalysime atitinkamas antrojo dydžio reikšmes, tada abiem atvejais gausime tas pats skaičius, t. y. tas pats ryšys. Tai reiškia, kad abu santykius, kuriuos rašėme aukščiau, galima susieti lygybės ženklu, t.y.

Neabejotina, kad jei imtume ne šiuos santykius, o kitus, ir ne ta, o priešinga tvarka, gautume ir santykių lygybę. Tiesą sakant, mes apsvarstysime savo kiekių reikšmes iš kairės į dešinę ir paimsime trečiąją ir devintąją vertes:

60:180 = 1 / 3 .

Taigi galime parašyti:

Tai leidžia daryti tokią išvadą: jei du dydžiai yra tiesiogiai proporcingi, tada dviejų savavališkai paimtų pirmojo dydžio verčių santykis yra lygus dviejų atitinkamų antrojo dydžio verčių santykiui.

§ 132. Tiesioginio proporcingumo formulė.

Padarykime įvairių saldumynų kiekių savikainos lentelę, jei 1 kg jų kainuoja 10,4 rublio.

Dabar darykime taip. Paimkite bet kurį skaičių antroje eilutėje ir padalykite jį iš atitinkamo skaičiaus pirmoje eilutėje. Pavyzdžiui:

Matote, kad koeficiente visą laiką gaunamas tas pats skaičius. Vadinasi, duotai tiesiogiai proporcingų dydžių porai koeficientas, padalijus bet kurią vieno dydžio reikšmę iš atitinkamos kito dydžio vertės, yra pastovus skaičius (t.y. nekintantis). Mūsų pavyzdyje šis koeficientas yra 10,4. Šis pastovus skaičius vadinamas proporcingumo koeficientu. Šiuo atveju ji išreiškia matavimo vieneto, t.y. vieno kilogramo prekių, kainą.

Kaip rasti ar apskaičiuoti proporcingumo koeficientą? Norėdami tai padaryti, turite paimti bet kurią vieno kiekio vertę ir padalyti ją iš atitinkamos kitos vertės.

Šią savavališką vieno dydžio reikšmę pažymėkime raide adresu , o atitinkama kito dydžio reikšmė – raidė X , tada proporcingumo koeficientas (žymime jį KAM) randame padaliję:

Šioje lygybėje adresu - dalytis, X - daliklis ir KAM- dalinys, o kadangi pagal dalybos savybę dividendas yra lygus dalikliui, padaugintam iš dalinio, galime parašyti:

y = K x

Gauta lygybė vadinama tiesioginio proporcingumo formulė. Naudodami šią formulę galime apskaičiuoti bet kokį vieno iš tiesiogiai proporcingų dydžių verčių skaičių, jei žinome atitinkamas kito dydžio vertes ir proporcingumo koeficientą.

Pavyzdys. Iš fizikos žinome tą svorį R bet kurio kūno yra lygus jo savitajam sunkiui d , padaugintas iš šio kūno tūrio V, t.y. R = d V.

Paimkime penkis skirtingo tūrio geležinius strypus; Žinodami geležies savitąjį svorį (7.8), galime apskaičiuoti šių luitų svorius pagal formulę:

R = 7,8 V.

Palyginus šią formulę su formule adresu = KAM X , mes tai matome y = R, x = V, ir proporcingumo koeficientą KAM= 7,8. Formulė ta pati, tik raidės skiriasi.

Pagal šią formulę sudarykime lentelę: tegul 1-ojo ruošinio tūris yra lygus 8 kubiniams metrams. cm, tada jo svoris yra 7,8 8 = 62,4 (g). 2-ojo ruošinio tūris yra 27 kubiniai metrai. cm Jo svoris yra 7,8 27 = 210,6 (g). Lentelė atrodys taip:

Apskaičiuokite šioje lentelėje trūkstamus skaičius naudodami formulę R= d V.

§ 133. Kiti uždavinių su tiesiogiai proporcingais dydžiais sprendimo būdai.

Ankstesnėje pastraipoje išsprendėme problemą, kurios sąlyga apėmė tiesiogiai proporcingus dydžius. Šiuo tikslu pirmiausia išvedėme tiesioginio proporcingumo formulę ir tada pritaikėme šią formulę. Dabar parodysime du kitus panašių problemų sprendimo būdus.

Sukurkime problemą naudodami skaitinius duomenis, pateiktus ankstesnėje pastraipoje lentelėje.

Užduotis. 8 kubinių metrų tūrio ruošinys. cm sveria 62,4 g Kiek svers 64 kubinių metrų tūrio ruošinys? cm?

Sprendimas. Geležies svoris, kaip žinoma, yra proporcingas jos tūriui. Jei 8 kub. cm sveria 62,4 g, tada 1 kub. cm svers 8 kartus mažiau, t.y.

62,4:8 = 7,8 (g).

Ruošinys, kurio tūris 64 kubiniai metrai. cm svers 64 kartus daugiau nei 1 kubinio metro ruošinys. cm, t.y.

7,8 64 = 499,2 (g).

Mes išsprendėme savo problemą sumažindami iki vienybės. Šio pavadinimo prasmė pateisinama tuo, kad norėdami jį išspręsti turėjome pirmame klausime rasti tūrio vieneto svorį.

2. Proporcingumo metodas. Išspręskime tą pačią problemą naudodami proporcijų metodą.

Kadangi geležies svoris ir jos tūris yra tiesiogiai proporcingi dydžiai, dviejų vieno kiekio (tūrio) reikšmių santykis yra lygus dviejų atitinkamų kito kiekio (masės) dydžių santykiui, t.y.

(laiškas R mes nurodėme nežinomą ruošinio svorį). Iš čia:

(G).

Problema buvo išspręsta naudojant proporcijų metodą. Tai reiškia, kad norint ją išspręsti, iš į sąlygą įtrauktų skaičių buvo sudaryta proporcija.

§ 134. Vertės yra atvirkščiai proporcingos.

Apsvarstykite šią problemą: „Penki mūrininkai gali pakloti mūrines namo sienas per 168 dienas. Nustatykite, per kiek dienų 10, 8, 6 ir tt mūrininkai galėtų atlikti tą patį darbą.

Jei 5 mūrininkai namo sienas išklotų per 168 dienas, tai (esant tokiam pačiam darbo našumui) 10 mūrininkų galėtų tai padaryti per pusę laiko, nes vidutiniškai 10 žmonių atlieka dvigubai daugiau darbų nei 5 žmonės.

Sudarykite lentelę, pagal kurią galėtume stebėti darbuotojų skaičiaus ir darbo valandų pokyčius.

Pavyzdžiui, norėdami sužinoti, kiek dienų užtrunka 6 darbuotojai, pirmiausia turite apskaičiuoti, kiek dienų užtrunka vienas darbuotojas (168 5 = 840), o tada – kiek dienų užtrunka šeši darbuotojai (840: 6 = 140). Žvelgdami į šią lentelę matome, kad abu dydžiai įgavo šešias skirtingas reikšmes. Kiekviena pirmojo dydžio reikšmė atitinka konkretų; antrosios reikšmės reikšmė, pavyzdžiui, 10 atitinka 84, skaičius 8 – skaičių 105 ir t.t.

Jei apsvarstysime abiejų dydžių reikšmes iš kairės į dešinę, pamatysime, kad viršutinio kiekio reikšmės didėja, o apatinio – mažėja. Didėjimui ir mažėjimui galioja toks įstatymas: darbuotojų skaičiaus reikšmės didėja tiek pat kartų, kiek mažėja sugaišto darbo laiko reikšmės. Šią mintį dar paprasčiau galima išreikšti taip: kuo daugiau darbuotojų užsiima bet kokia užduotimi, tuo mažiau laiko jiems reikia tam tikram darbui atlikti. Du dydžiai, su kuriais susidūrėme šioje problemoje, vadinami atvirkščiai proporcingas.

Taigi, jei du dydžiai yra susieti vienas su kitu taip, kad vieno iš jų vertei padidėjus (mažėjant) kelis kartus, kito vertė mažėja (padidėja) tiek pat, tai tokie dydžiai vadinami atvirkščiai proporcingais. .

Gyvenime yra daug panašių kiekių. Pateikime pavyzdžių.

1. Jei už 150 rublių. Jei prireiks kelių kilogramų saldainių, saldainių skaičius priklausys nuo vieno kilogramo kainos. Kuo didesnė kaina, tuo mažiau prekių galite nusipirkti už šiuos pinigus; tai matyti iš lentelės:

Kelis kartus pabrangus saldainiams, tiek pat mažėja kilogramų saldainių, kuriuos galima nusipirkti už 150 rublių. Šiuo atveju du dydžiai (prekės svoris ir kaina) yra atvirkščiai proporcingi.

2. Jei atstumas tarp dviejų miestų yra 1200 km, tuomet jį galima įveikti skirtingi laikai priklausomai nuo judėjimo greičio. Egzistuoti Skirtingi keliai gabenimas: pėsčiomis, arkliu, dviračiu, laivu, automobiliu, traukiniu, lėktuvu. Kuo mažesnis greitis, tuo daugiau laiko reikia judėti. Tai matyti iš lentelės:

Kelis kartus padidinus greitį, kelionės laikas sutrumpėja tiek pat. Tai reiškia, kad tokiomis sąlygomis greitis ir laikas yra atvirkščiai proporcingi dydžiai.

§ 135. Atvirkščiai proporcingų dydžių savybė.

Paimkime antrąjį pavyzdį, kurį nagrinėjome ankstesnėje pastraipoje. Ten susidorojome su dviem dydžiais – greičiu ir laiku. Jei pažvelgsime į šių dydžių verčių lentelę iš kairės į dešinę, pamatysime, kad pirmojo dydžio (greičio) reikšmės didėja, o antrojo (laiko) reikšmės mažėja, ir greitis didėja tiek pat, kiek laikas mažėja. Nesunku suprasti, kad jei parašysite kai kurių vieno kiekio verčių santykį, jis nebus lygus kito kiekio atitinkamų verčių santykiui. Tiesą sakant, jei imsime ketvirtosios viršutinės vertės ir septintosios vertės santykį (40: 80), tada jis nebus lygus apatinės vertės ketvirtos ir septintos reikšmių santykiui (30: 15). Tai galima parašyti taip:

40:80 nėra lygus 30:15 arba 40:80 =/=30:15.

Bet jei vietoj vieno iš šių santykių imsime priešingai, tada gausime lygybę, t.y. iš šių santykių bus galima sukurti proporciją. Pavyzdžiui:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

Remdamiesi tuo, kas išdėstyta, galime padaryti tokią išvadą: jei du dydžiai yra atvirkščiai proporcingi, tada dviejų savavališkai paimtų vieno dydžio verčių santykis yra lygus kito dydžio atitinkamų verčių atvirkštiniam santykiui.

§ 136. Atvirkštinio proporcingumo formulė.

Apsvarstykite problemą: „Yra 6 skirtingų dydžių ir skirtingų rūšių šilko audinio gabalai. Visos dalys kainuoja tiek pat. Viename gabale yra 100 m audinio, kaina 20 rublių. vienam metrui Kiek metrų yra kiekvienoje iš kitų penkių dalių, jei šiose dalyse audinio metras kainuoja atitinkamai 25, 40, 50, 80, 100 rublių? Norėdami išspręsti šią problemą, sukurkime lentelę:

Turime užpildyti tuščius langelius viršutinėje šios lentelės eilutėje. Pirmiausia pabandykime nustatyti, kiek metrų yra antrajame gabale. Tai galima padaryti taip. Iš problemos sąlygų žinoma, kad visų dalių kaina yra vienoda. Pirmojo gabalo kainą nustatyti nesunku: jame yra 100 metrų, o kiekvienas metras kainuoja 20 rublių, tai reiškia, kad pirmasis šilko gabalas vertas 2000 rublių. Kadangi antrame šilko gabale yra tiek pat rublių, tada, padalijus 2000 rublių. už vieno metro kainą, t.y 25, randame antrojo gabalo dydį: 2000: 25 = 80 (m). Lygiai taip pat surasime visų kitų gabalėlių dydį. Lentelė atrodys taip:

Nesunku pastebėti, kad tarp skaitiklių skaičiaus ir kainos yra atvirkščiai proporcingas ryšys.

Jei patys atliksite reikiamus skaičiavimus, pastebėsite, kad kiekvieną kartą skaičių 2000 teks padalyti iš 1 m kainos. Priešingai, jei dabar pradėsite gabalo dydį metrais dauginti iš 1 m kainos. , visada gausite skaičių 2000. Tai ir reikėjo palaukti, nes kiekvienas gabalas kainuoja 2000 rublių.

Iš čia galime padaryti tokią išvadą: tam tikrai atvirkščiai proporcingų dydžių porai bet kurios vieno kiekio vertės sandauga su atitinkama kito dydžio verte yra pastovus skaičius (t.y. nekintantis).

Mūsų uždavinyje šis produktas lygus 2000. Patikrinkite, ar ankstesniame uždavinyje, kuriame buvo kalbama apie judėjimo greitį ir laiką, reikalingą persikelti iš vieno miesto į kitą, taip pat buvo pastovus tos problemos skaičius (1 200).

Atsižvelgiant į viską, lengva išvesti atvirkštinio proporcingumo formulę. Tam tikrą vieno dydžio reikšmę pažymėkime raide X , o kito dydžio atitinkama reikšmė pavaizduota raide adresu . Tada, remiantis tuo, kas išdėstyta aukščiau, darbas X įjungta adresu turi būti lygus kokiai nors pastoviai vertei, kurią žymime raide KAM, t.y.

x y = KAM.

Šioje lygybėje X - daugiklis adresu - daugiklis ir K- darbas. Pagal daugybos savybę daugiklis lygus sandaugai, padalytai iš daugiklio. Reiškia,

Tai atvirkštinio proporcingumo formulė. Naudodamiesi juo, galime apskaičiuoti bet kokį vieno iš atvirkščiai proporcingų dydžių verčių skaičių, žinodami kito vertes ir pastovų skaičių KAM.

Panagrinėkime kitą problemą: „Vieno rašinio autorius paskaičiavo, kad jei jo knyga yra įprasto formato, tai ji bus 96 puslapių, o jei kišeninio – 300 puslapių. Jis bandė skirtingi variantai, pradėjo nuo 96 puslapių, o paskui turėjo 2500 laiškų puslapyje. Tada jis paėmė žemiau esančioje lentelėje nurodytus puslapių numerius ir vėl apskaičiavo, kiek raidžių bus puslapyje.

Pabandykime suskaičiuoti, kiek raidžių bus puslapyje, jei knyga turi 100 puslapių.

Visoje knygoje yra 240 000 raidžių, nes 2 500 96 = 240 000.

Atsižvelgdami į tai, naudojame atvirkštinio proporcingumo formulę ( adresu - raidžių skaičius puslapyje, X - puslapių skaičius):

Mūsų pavyzdyje KAM= 240 000 todėl

Taigi puslapyje yra 2400 raidžių.

Panašiai sužinome, kad jei knyga turi 120 puslapių, raidžių skaičius puslapyje bus:

Mūsų lentelė atrodys taip:

Likusias ląsteles užpildykite patys.

§ 137. Kiti uždavinių su atvirkščiai proporcingais dydžiais sprendimo būdai.

Ankstesnėje pastraipoje išsprendėme uždavinius, kurių sąlygos apėmė atvirkščiai proporcingus dydžius. Pirmiausia išvedėme atvirkštinio proporcingumo formulę ir tada pritaikėme šią formulę. Dabar parodysime du kitus tokių problemų sprendimus.

1. Sumažinimo iki vienybės metodas.

Užduotis. 5 tekintojai gali atlikti kai kuriuos darbus per 16 dienų. Per kiek dienų 8 tekintojai gali atlikti šį darbą?

Sprendimas. Tarp vartytojų skaičiaus ir darbo valandų yra atvirkštinis ryšys. Jei per 16 dienų darbą atliks 5 tekintotojai, tai vienam žmogui tam prireiks 5 kartus daugiau laiko, t.y.

5 tekintotojai atlieka darbą per 16 dienų,

1 tekintotojas jį atliks per 16 5 = 80 dienų.

Problema klausia, kiek dienų užtruks 8 tekintotojai, kad atliktų darbą. Akivaizdu, kad jie su darbu susidoros 8 kartus greičiau nei 1 suktuvas, t.y

80: 8 = 10 (dienos).

Tai yra problemos sprendimas, sumažinant ją iki vienybės. Čia pirmiausia reikėjo nustatyti, kiek laiko reikia vienam darbuotojui atlikti darbus.

2. Proporcingumo metodas. Išspręskime tą pačią problemą antruoju būdu.

Kadangi tarp darbininkų skaičiaus ir darbo laiko yra atvirkščiai proporcingas ryšys, galime rašyti: 5 tekintojų darbo trukmė naujas tekintojų skaičius (8) 8 tekintojų darbo trukmė ankstesnis vartytojų skaičius (5) Pažymime reikiamą darbo trukmę laišku X ir pakeiskite reikiamus skaičius į proporcijas, išreikštas žodžiais:

Ta pati problema išspręsta proporcijų metodu. Norėdami ją išspręsti, turėjome sukurti proporciją iš skaičių, įtrauktų į problemos teiginį.

Pastaba. Ankstesnėse dalyse nagrinėjome tiesioginio ir atvirkštinio proporcingumo klausimą. Gamta ir gyvenimas pateikia daug tiesioginės ir atvirkščiai proporcingos kiekių priklausomybės pavyzdžių. Tačiau reikia pažymėti, kad šios dvi priklausomybės rūšys yra tik paprasčiausios. Kartu su jais yra ir kitų, sudėtingesnių dydžių priklausomybių. Be to, nereikėtų manyti, kad jei bet kurie du dydžiai didėja vienu metu, tai būtinai tarp jų yra tiesioginis proporcingumas. Tai toli gražu nėra tiesa. Pavyzdžiui, rinkliavos už geležinkelis didėja priklausomai nuo atstumo: kuo toliau keliaujame, tuo daugiau mokame, tačiau tai nereiškia, kad mokėjimas proporcingas atstumui.

Pavyzdys

1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 ir kt.

Proporcingumo koeficientas

Vadinamas pastovus proporcingų dydžių ryšys proporcingumo koeficientas. Proporcingumo koeficientas parodo, kiek vieno kiekio vienetų tenka kito vienetui.

Tiesioginis proporcingumas

Tiesioginis proporcingumas- funkcinė priklausomybė, kai tam tikras dydis priklauso nuo kito dydžio taip, kad jų santykis išlieka pastovus. Kitaip tariant, šie kintamieji keičiasi proporcingai, lygiomis dalimis, tai yra, jei argumentas pasikeičia du kartus bet kuria kryptimi, tada funkcija taip pat pasikeičia du kartus ta pačia kryptimi.

Matematiškai tiesioginis proporcingumas parašytas kaip formulė:

f(x) = ax,a = const

Atvirkštinis proporcingumas

Atvirkštinis proporcingumas- tai funkcinė priklausomybė, kai nepriklausomos reikšmės padidėjimas (argumentas) sukelia proporcingą priklausomos reikšmės (funkcijos) sumažėjimą.

Matematiškai atvirkštinis proporcingumas parašytas kaip formulė:

Funkcijos savybės:

Šaltiniai

Wikimedia fondas. 2010 m.

Pagrindiniai tikslai:

• supažindinti su tiesioginės ir atvirkščiai proporcingos dydžių priklausomybės samprata;
• mokyti spręsti problemas naudojant šias priklausomybes;
• skatinti problemų sprendimo įgūdžių ugdymą;
• įtvirtinti įgūdžius spręsti lygtis naudojant proporcijas;
• pakartokite veiksmus su įprastais ir po kablelio;
• vystytis loginis mąstymas studentai.

UŽSIĖMIMŲ LAIKOTARPIU

aš. Apsisprendimas veiklai(tvarkingas laikas)

- Vaikinai! Šiandien pamokoje susipažinsime su problemomis, sprendžiamomis naudojant proporcijas.

II. Žinių atnaujinimas ir veiklos sunkumų fiksavimas

2.1. Darbas žodžiu (3 min.)

– Raskite posakių reikšmę ir sužinokite atsakymuose užšifruotą žodį.

14 – s; 0,1 – ir; 7 – l; 0,2 – a; 17 – į; 25 – iki

– Gautas žodis yra jėga. Šauniai padirbėta!
– Mūsų šiandieninės pamokos šūkis: Galia yra žiniose! Aš ieškau – vadinasi, mokausi!
– Sudarykite proporciją iš gautų skaičių. (14:7 = 0,2:0,1 ir tt)

2.2. Panagrinėkime ryšį tarp mums žinomų kiekių (7 min.)

– atstumas, kurį automobilis nuvažiuoja pastoviu greičiu, ir jo judėjimo laikas: S = v t ( didėjant greičiui (laikui), atstumas didėja);
– transporto priemonės greitis ir kelionėje praleistas laikas: v=S:t(ilgėjant kelio važiavimo laikui, greitis mažėja);
– viena kaina įsigytų prekių savikaina ir kiekis: C = a · n (didėjant (mažėjant) kainai pirkimo savikaina didėja (mažėja));
– prekės kaina ir jos kiekis: a = C: n (padidėjus kiekiui, kaina mažėja)
– stačiakampio plotas ir jo ilgis (plotis): S = a · b (didėjant ilgiui (pločiui), plotas didėja);
– stačiakampio ilgis ir plotis: a = S: b (ilgiui didėjant plotis mažėja;
– darbuotojų, atliekančių tam tikrus darbus, kurių darbo našumas yra toks pat, skaičius ir laikas, per kurį šis darbas atliekamas: t = A: n (didėjant darbuotojų skaičiui, laikas, praleistas darbui atlikti, mažėja) ir kt. .

Gavome priklausomybes, kuriose, padidėjus vienam kiekiui kelis kartus, kitas iš karto padidėja tiek pat (pavyzdžiai rodomi rodyklėmis), ir priklausomybes, kuriose, padidėjus vienam kiekiui kelis kartus, antrasis dydis sumažėja tiek pat kartų.
Tokios priklausomybės vadinamos tiesiogine ir atvirkštine proporcingumu.
Tiesiogiai proporcinga priklausomybė– santykis, kai vienai reikšmei padidėjus (mažėjant) kelis kartus, antroji reikšmė didėja (sumažėja) tiek pat.
Atvirkščiai proporcingas ryšys– santykis, kai vienai reikšmei padidėjus (mažėjant) kelis kartus, antroji reikšmė mažėja (padidėja) tiek pat.

III. Mokymosi užduoties nustatymas

– Su kokia problema susiduriame? (Išmokite atskirti tiesiogines ir atvirkštines priklausomybes)
- Tai - taikinys mūsų pamoka. Dabar suformuluokite tema pamoka. (Tiesioginis ir atvirkštinis proporcingas ryšys).
- Šauniai padirbėta! Užsirašykite pamokos temą į sąsiuvinius. (Mokytojas užrašo temą lentoje.)

IV. Naujų žinių „atradimas“.(10 min.)

Pažvelkime į problemą Nr. 199.

1. Spausdintuvas atspausdina 27 puslapius per 4,5 minutės. Kiek laiko užtruks atspausdinti 300 puslapių?

27 puslapiai – 4,5 min.
300 puslapių – x?

2. Dėžutėje yra 48 pakeliai arbatos, po 250 g. Kiek 150 g pakelių šios arbatos gausite?

48 pakuotės – 250 g.
X? – 150 g.

3. Automobilis nuvažiavo 310 km, naudodamas 25 litrus benzino. Kiek toli automobilis gali nuvažiuoti pilnu 40 l baku?

310 km – 25 l
X? – 40 l

4. Viena iš sankabos pavarų turi 32, o kita – 40. Kiek apsisukimų padarys antra pavara, o pirmoji – 215?

32 dantys – 315 aps.
40 dantų – x?

Norint sudaryti proporciją, reikia vienos rodyklių krypties; tam atvirkštinio proporcingumo atveju vienas santykis pakeičiamas atvirkštine.

Prie lentos mokiniai randa dydžių reikšmę, vietoje mokiniai sprendžia vieną pasirinktą uždavinį.

– Suformuluokite taisyklę, kaip spręsti uždavinius su tiesiogine ir atvirkščiai proporcinga priklausomybe.

Lentoje pasirodo lentelė:

V. Pirminė konsolidacija išorinėje kalboje(10 min.)

Darbo lapo užduotys:

1. Iš 21 kg medvilnės sėklų buvo gauta 5,1 kg aliejaus. Kiek aliejaus gausite iš 7 kg medvilnės sėklų?
2. Stadiono statybai 5 buldozeriai išvalė aikštelę per 210 minučių. Kiek laiko prireiktų 7 buldozeriams išvalyti šią svetainę?

VI. Savarankiškas darbas su savitikra pagal standartą(5 minutės)

Du mokiniai savarankiškai atlieka užduotį Nr. 225 ant paslėptų lentelių, o likusieji – sąsiuviniuose. Tada jie patikrina algoritmo darbą ir palygina jį su sprendimu lentoje. Klaidos ištaisomos ir nustatomos jų priežastys. Jei užduotis atlikta teisingai, mokiniai šalia jų pasideda „+“ ženklą.
Savarankiško darbo klaidų padarę studentai gali pasitelkti konsultantus.

VII. Įtraukimas į žinių sistemą ir kartojimas№ 271, № 270.

Valdyboje dirba šeši žmonės. Po 3-4 minučių prie lentos dirbantys mokiniai pristato savo sprendimus, o likusieji tikrina užduotis ir dalyvauja jų diskusijoje.

VIII. Apmąstymas apie veiklą (pamokos santrauka)

– Ką naujo sužinojote per pamoką?
-Ką jie kartojo?
– Koks yra proporcijų uždavinių sprendimo algoritmas?
– Ar pasiekėme savo tikslą?
– Kaip vertinate savo darbą?