Prezentácia a lekcia na tému: "Racionálne rovnice. Algoritmus a príklady riešenia racionálnych rovníc"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, spätnú väzbu, návrhy! Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.

Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre ročník 8
Manuál k učebnici Makarychev Yu.N. Manuál k učebnici Mordkovich A.G.

Úvod do iracionálnych rovníc

Chlapci, naučili sme sa riešiť kvadratické rovnice. Ale matematika sa neobmedzuje len na nich. Dnes sa naučíme riešiť racionálne rovnice. Pojem racionálnych rovníc je v mnohom podobný pojmu racionálne čísla. Len okrem čísel sme teraz zaviedli aj nejakú premennú $x$. A tak dostaneme výraz, v ktorom sú operácie sčítania, odčítania, násobenia, delenia a umocňovania na celé číslo.

Nech je $r(x)$ racionálne vyjadrenie. Takýmto výrazom môže byť jednoduchý polynóm v premennej $x$ alebo pomer polynómov (zavádza sa operácia delenia, ako pri racionálnych číslach).
Zavolá sa rovnica $r(x)=0$ racionálna rovnica.
Akákoľvek rovnica v tvare $p(x)=q(x)$, kde $p(x)$ a $q(x)$ sú racionálne výrazy, bude tiež racionálna rovnica.

Zvážte príklady riešenia racionálnych rovníc.

Príklad 1
Vyriešte rovnicu: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Riešenie.
Prenesme všetky výrazy do ľavá strana: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Ak by na ľavej strane rovnice boli zastúpené obyčajné čísla, potom by sme priviedli dva zlomky k spoločnému menovateľovi.
Urobme toto: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Dostali sme rovnicu: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Zlomok je nula práve vtedy, ak je čitateľ zlomku nulový a menovateľ nenulový. Potom samostatne prirovnajte čitateľa k nule a nájdite korene čitateľa.
$3(x^2+2x-3)=0$ alebo $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Teraz skontrolujme menovateľ zlomku: $(x-3)*x≠0$.
Súčin dvoch čísel sa rovná nule, keď sa aspoň jedno z týchto čísel rovná nule. Potom: $x≠0$ alebo $x-3≠0$.
$x≠0$ alebo $x≠3$.
Korene získané v čitateli a menovateli sa nezhodujú. Takže ako odpoveď zapíšeme oba korene čitateľa.
Odpoveď: $x=1$ alebo $x=-3$.

Ak sa náhle jeden z koreňov čitateľa zhoduje s koreňom menovateľa, mal by sa vylúčiť. Takéto korene sa nazývajú cudzie!

Algoritmus na riešenie racionálnych rovníc:

1. Presuňte všetky výrazy obsiahnuté v rovnici naľavo od znamienka rovnosti.
2. Preveďte túto časť rovnice na algebraický zlomok: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Výsledný čitateľ prirovnajte k nule, čiže vyriešte rovnicu $p(x)=0$.
4. Priraďte menovateľa k nule a vyriešte výslednú rovnicu. Ak sa korene menovateľa zhodujú s koreňmi čitateľa, mali by byť z odpovede vylúčené.

Príklad 2
Vyriešte rovnicu: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Riešenie.
Budeme riešiť podľa bodov algoritmu.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Prirovnajte čitateľa k nule: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Prirovnajte menovateľa k nule:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ a $x=-1$.
Jeden z koreňov $x=1$ sa zhodoval s koreňom čitateľa, potom ho v odpovedi nezapisujeme.
Odpoveď: $x=-1$.

Racionálne rovnice je vhodné riešiť metódou zmeny premenných. Poďme si to ukázať.

Príklad 3
Vyriešte rovnicu: $x^4+12x^2-64=0$.

Riešenie.
Zavádzame náhradu: $t=x^2$.
Potom bude mať naša rovnica tvar:
$t^2+12t-64=0$ - normálne kvadratická rovnica.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 doláre.
Zavedme inverznú náhradu: $x^2=4$ alebo $x^2=-16$.
Korene prvej rovnice sú dvojice čísel $x=±2$. Druhý nemá korene.
Odpoveď: $x=±2$.

Príklad 4
Vyriešte rovnicu: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Riešenie.
Predstavme si novú premennú: $t=x^2+x+1$.
Potom bude mať rovnica tvar: $t=\frac(15)(t+2)$.
Ďalej budeme konať podľa algoritmu.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 doláre.
4. $t≠-2$ - korene sa nezhodujú.
Zavádzame spätnú substitúciu.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Poďme riešiť každú rovnicu samostatne:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - nie korene.
A druhá rovnica: $x^2+x-2=0$.
Korene tejto rovnice budú čísla $x=-2$ a $x=1$.
Odpoveď: $x=-2$ a $x=1$.

Príklad 5
Vyriešte rovnicu: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Riešenie.
Zavádzame náhradu: $t=x+\frac(1)(x)$.
potom:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ alebo $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Dostali sme rovnicu: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Korene tejto rovnice sú dvojice:
$t=-3$ a $t=2$.
Predstavme si spätnú substitúciu:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Rozhodneme sa samostatne.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Poďme vyriešiť druhú rovnicu:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Koreňom tejto rovnice je číslo $x=1$.
Odpoveď: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Úlohy na samostatné riešenie

Riešiť rovnice:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

§ 1 Celé a zlomkové racionálne rovnice

V tejto lekcii budeme skúmať pojmy ako napr racionálna rovnica, racionálne vyjadrenie, celočíselné vyjadrenie, zlomkové vyjadrenie. Zvážte riešenie racionálnych rovníc.

Racionálna rovnica je rovnica, v ktorej ľavá a pravá strana sú racionálne vyjadrenia.

Racionálne výrazy sú:

Zlomkový.

Celočíselný výraz sa skladá z čísel, premenných, celočíselných mocnín pomocou operácií sčítania, odčítania, násobenia a delenia číslom iným ako nula.

Napríklad:

V zlomkových výrazoch je delenie premennou alebo výraz s premennou. Napríklad:

Zlomkový výraz nedáva zmysel pre všetky hodnoty premenných, ktoré obsahuje. Napríklad výraz

pri x = -9 to nedáva zmysel, pretože pri x = -9 ide menovateľ na nulu.

To znamená, že racionálna rovnica môže byť celočíselná a zlomková.

Celočíselná racionálna rovnica je racionálna rovnica, v ktorej sú ľavá a pravá strana celočíselnými výrazmi.

Napríklad:

Zlomková racionálna rovnica je racionálna rovnica, v ktorej ľavá alebo pravá strana sú zlomkové výrazy.

Napríklad:

§ 2 Riešenie celej racionálnej rovnice

Zvážte riešenie celej racionálnej rovnice.

Napríklad:

Vynásobte obe strany rovnice najmenším spoločným menovateľom z menovateľov zlomkov, ktoré sú v nej zahrnuté.

Pre to:

1. nájdite spoločného menovateľa pre menovateľov 2, 3, 6. Rovná sa 6;

2. nájdite pre každý zlomok ďalší faktor. Za týmto účelom vydeľte spoločného menovateľa 6 každým menovateľom

dodatočný multiplikátor pre zlomok

dodatočný multiplikátor pre zlomok

3. vynásobte čitateľov zlomkov príslušnými dodatočnými faktormi. Tak dostaneme rovnicu

čo je ekvivalentné tejto rovnici

Otvorte zátvorky na ľavej strane pravá strana prenesieme doľava, pričom znamienko termínu pri prevode zmeníme na opačné.

Dáme podobné členy polynómu a získame

Vidíme, že rovnica je lineárna.

Keď to vyriešime, zistíme, že x = 0,5.

§ 3 Riešenie zlomkovej racionálnej rovnice

Zvážte riešenie zlomkovej racionálnej rovnice.

Napríklad:

1. Vynásobte obe strany rovnice najmenším spoločným menovateľom menovateľov racionálnych zlomkov, ktoré sú v nej zahrnuté.

Nájdite spoločného menovateľa pre menovateľov x + 7 a x - 1.

Rovná sa ich súčinu (x + 7) (x - 1).

2. Nájdime ďalší faktor pre každý racionálny zlomok.

Aby sme to dosiahli, vydelíme spoločný menovateľ (x + 7) (x - 1) každým menovateľom. Dodatočný násobiteľ zlomkov

rovná sa x - 1,

dodatočný multiplikátor pre zlomok

rovná sa x+7.

3. Vynásobte čitateľov zlomkov ich zodpovedajúcimi dodatočnými faktormi.

Dostaneme rovnicu (2x - 1) (x - 1) \u003d (3x + 4) (x + 7), ktorá je ekvivalentná tejto rovnici

4.Doľava a doprava vynásobte dvojčlen binomom a získajte nasledujúcu rovnicu

5. Pravú časť prenesieme doľava, pričom pri prevode zmeníme znamienko každého termínu na opačný:

6. Uvádzame podobné členy polynómu:

7. Obe časti môžete vydeliť -1. Dostaneme kvadratickú rovnicu:

8. Po vyriešení nájdeme korene

Keďže v rovnici

ľavá a pravá časť sú zlomkové výrazy a v zlomkových výrazoch pre niektoré hodnoty premenných môže menovateľ zmiznúť, potom je potrebné skontrolovať, či pri nájdení x1 a x2 nezmizne spoločný menovateľ.

Pri x = -27 spoločný menovateľ (x + 7)(x - 1) nezaniká, pri x = -1 je spoločný menovateľ tiež nenulový.

Preto oba korene -27 a -1 sú koreňmi rovnice.

Pri riešení zlomkovej racionálnej rovnice je lepšie okamžite uviesť oblasť povolené hodnoty. Odstráňte tie hodnoty, pri ktorých je spoločný menovateľ nulový.

Zvážte ďalší príklad riešenia zlomkovej racionálnej rovnice.

Napríklad vyriešme rovnicu

Menovateľ zlomku na pravej strane rovnice rozložíme na faktory

Dostaneme rovnicu

Nájdite spoločného menovateľa pre menovateľov (x - 5), x, x (x - 5).

Bude to výraz x (x - 5).

teraz nájdime rozsah prípustných hodnôt rovnice

Aby sme to dosiahli, prirovnáme spoločného menovateľa k nule x (x - 5) \u003d 0.

Dostaneme rovnicu, ktorej riešením zistíme, že pri x \u003d 0 alebo pri x \u003d 5 spoločný menovateľ zmizne.

Takže x = 0 alebo x = 5 nemôžu byť koreňmi našej rovnice.

Teraz môžete nájsť ďalšie multiplikátory.

Dodatočný multiplikátor pre racionálne zlomky

dodatočný multiplikátor pre zlomky

bude (x - 5),

a dodatočný faktor zlomku

Čitateľov vynásobíme zodpovedajúcimi dodatočnými faktormi.

Dostaneme rovnicu x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Otvorme zátvorky vľavo a vpravo, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Presuňme výrazy sprava doľava zmenou znamienka výrazov, ktoré sa majú presunúť:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

A po privedení podobných členov dostaneme kvadratickú rovnicu x2 - 3x - 10 = 0. Po jej vyriešení nájdeme korene x1 = -2; x2 = 5.

Ale už sme zistili, že pri x = 5 spoločný menovateľ x(x - 5) zaniká. Preto koreň našej rovnice

bude x = -2.

§ 4 Zhrnutie vyučovacej hodiny

Dôležité mať na pamäti:

Pri riešení zlomkových racionálnych rovníc musíte urobiť nasledovné:

1. Nájdite spoločného menovateľa zlomkov zahrnutých v rovnici. Navyše, ak je možné menovateľov zlomkov rozložiť na faktory, potom ich rozložte na faktory a potom nájdite spoločného menovateľa.

2. Vynásobte obe strany rovnice spoločným menovateľom: nájdite ďalšie faktory, vynásobte čitateľov ďalšími faktormi.

3. Vyriešte výslednú celú rovnicu.

4. Vylúčte z koreňov tie, ktoré otáčajú spoločného menovateľa na nulu.

Zoznam použitej literatúry:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Pod redakciou Telyakovsky S.A. Algebra: učebnica. pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcií. - M.: Vzdelávanie, 2013.
2. Mordkovich A.G. Algebra. 8. ročník: V dvoch častiach. Časť 1: Proc. pre všeobecné vzdelanie inštitúcií. - M.: Mnemosyne.
3. Rurukin A.N. Vývoj lekcií z algebry: 8. ročník - M .: VAKO, 2010.
4. Algebra ročník 8: plány hodín podľa učebnice Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorová / Auth.-comp. T.L. Afanasiev, L.A. Tapilina. - Volgograd: Učiteľ, 2005.

Ciele lekcie:

Návod:

• tvorba konceptu zlomkových racionálnych rovníc;
• zvážiť rôzne spôsoby riešenia zlomkových racionálnych rovníc;
• zvážiť algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc vrátane podmienky, že zlomok sa rovná nule;
• naučiť riešenie zlomkových racionálnych rovníc podľa algoritmu;
• kontrola úrovne asimilácie témy vykonaním testovacej práce.

vyvíja sa:

• rozvoj schopnosti správne pracovať so získanými vedomosťami, logicky myslieť;
• rozvoj intelektuálnych schopností a mentálnych operácií - analýza, syntéza, porovnávanie a zovšeobecňovanie;
• rozvoj iniciatívy, schopnosť robiť rozhodnutia, nezastaviť sa tam;
• rozvoj kritického myslenia;
• rozvoj výskumných zručností.

Pestovanie:

• vzdelávanie kognitívneho záujmu o predmet;
• výchova k samostatnosti pri riešení výchovných problémov;
• výchova vôle a vytrvalosti k dosiahnutiu konečných výsledkov.

Typ lekcie: lekcia - vysvetlenie novej látky.

Počas vyučovania

1. Organizačný moment.

Ahojte chalani! Rovnice sú napísané na tabuli, pozorne si ich prezrite. Dokážete vyriešiť všetky tieto rovnice? Ktoré nie sú a prečo?

Rovnice, v ktorých ľavá a pravá strana sú zlomkové racionálne vyjadrenia, sa nazývajú zlomkové racionálne rovnice. Čo si myslíte, že sa dnes na lekcii naučíme? Formulujte tému lekcie. Takže otvárame notebooky a zapisujeme si tému lekcie „Riešenie zlomkových racionálnych rovníc“.

2. Aktualizácia poznatkov. Frontálny prieskum, ústna práca s triedou.

A teraz si zopakujeme hlavný teoretický materiál, ktorý si musíme naštudovať Nová téma. Odpovedzte prosím na nasledujúce otázky:

1. čo je rovnica? ( Rovnosť s premennou alebo premennými.)
2. Ako sa volá rovnica #1? ( Lineárne.) Spôsob riešenia lineárne rovnice. (Presuňte všetko s neznámou na ľavú stranu rovnice, všetky čísla doprava. Prineste podobné podmienky. Nájdite neznámy multiplikátor).
3. Ako sa volá rovnica 3? ( Námestie.) Metódy riešenia kvadratických rovníc. ( Výber úplného štvorca pomocou vzorcov pomocou Vietovej vety a jej dôsledkov.)
4. Čo je to pomer? ( Rovnosť dvoch vzťahov.) Hlavná vlastnosť proporcie. ( Ak je pomer pravdivý, potom sa súčin jeho extrémnych členov rovná súčinu stredných členov.)
5. Aké vlastnosti sa používajú na riešenie rovníc? ( 1. Ak v rovnici prenesieme člen z jednej časti do druhej, pričom zmeníme jeho znamienko, dostaneme rovnicu ekvivalentnú danej. 2. Ak sa obe časti rovnice vynásobia alebo vydelia rovnakým nenulovým číslom, získa sa rovnica, ktorá je ekvivalentná danému.)
6. Kedy sa zlomok rovná nule? ( Zlomok je nula, keď je čitateľ nula a menovateľ je nenulový.)

3. Vysvetlenie nového materiálu.

Riešte rovnicu č.2 v zošitoch a na tabuli.

Odpoveď: 10.

Ktoré zlomková racionálna rovnica môžete skúsiť vyriešiť pomocou vlastnosti základnej proporcie? (č. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Riešte rovnicu č.4 v zošitoch a na tabuli.

Odpoveď: 1,5.

Akú zlomkovú racionálnu rovnicu sa môžete pokúsiť vyriešiť vynásobením oboch strán rovnice menovateľom? (č. 6).

x 2 - 7 x + 12 = 0

D = 1 > 0, x 1 = 3, x 2 = 4.

Odpoveď: 3;4.

Teraz skúste vyriešiť rovnicu #7 jedným zo spôsobov.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x 2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2-3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Odpoveď: 0;5;-2.			Odpoveď: 5;-2.

Vysvetlite, prečo sa to stalo? Prečo sú v jednom prípade tri korene a v druhom dva? Aké čísla sú koreňmi tejto zlomkovej racionálnej rovnice?

Žiaci sa doteraz s pojmom cudzieho koreňa nestretli, je pre nich naozaj veľmi ťažké pochopiť, prečo sa tak stalo. Ak nikto v triede nevie dať jasné vysvetlenie tejto situácie, potom učiteľ položí navádzacie otázky.

• Čím sa líšia rovnice č. 2 a 4 od rovníc č. 5,6,7? ( V rovniciach č.2 a 4 v menovateli čísla, č.5-7 - výrazy s premennou.)
• Čo je koreňom rovnice? ( Hodnota premennej, pri ktorej sa rovnica stáva skutočnou rovnosťou.)
• Ako zistiť, či je číslo koreňom rovnice? ( Vykonajte kontrolu.)

Pri testovaní si niektorí študenti všimnú, že musia deliť nulou. Dospeli k záveru, že čísla 0 a 5 nie sú koreňmi tejto rovnice. Vynára sa otázka: existuje spôsob riešenia zlomkových racionálnych rovníc, ktorý túto chybu eliminuje? Áno, táto metóda je založená na podmienke, že zlomok sa rovná nule.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Ak x=5, potom x(x-5)=0, takže 5 je cudzí koreň.

Ak x=-2, potom x(x-5)≠0.

Odpoveď: -2.

Skúsme týmto spôsobom sformulovať algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc. Deti samy formulujú algoritmus.

Algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc:

1. Presuňte všetko doľava.
2. Priveďte zlomky k spoločnému menovateľovi.
3. Vytvorte systém: zlomok je nula, keď čitateľ je nula a menovateľ nie je nula.
4. Vyriešte rovnicu.
5. Skontrolujte nerovnosť, aby ste vylúčili cudzie korene.
6. Zapíšte si odpoveď.

Diskusia: ako formalizovať riešenie, ak sa použije základná vlastnosť proporcie a násobenie oboch strán rovnice spoločným menovateľom. (Doplňte riešenie: vylúčte z jeho koreňov tie, ktoré otáčajú spoločného menovateľa na nulu).

4. Primárne pochopenie nového materiálu.

Pracovať v pároch. Študenti si sami vyberú spôsob riešenia rovnice v závislosti od typu rovnice. Úlohy z učebnice "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: č. 600 (b, c, i); č. 601 (a, e, g). Učiteľ kontroluje plnenie úlohy, odpovedá na vzniknuté otázky a poskytuje pomoc slabo prospievajúcim žiakom. Autotest: Odpovede sú napísané na tabuli.

b) 2 je cudzí koreň. Odpoveď: 3.

c) 2 je cudzí koreň. Odpoveď: 1.5.

a) Odpoveď: -12.5.

g) Odpoveď: 1; 1.5.

5. Vyhlásenie domácej úlohy.

1. Prečítajte si bod 25 z učebnice, analyzujte príklady 1-3.
2. Naučte sa algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc.
3. Riešte v zošitoch č. 600 (a, d, e); Č. 601 (g, h).
4. Skúste vyriešiť #696(a) (voliteľné).

6. Splnenie kontrolnej úlohy na preberanú tému.

Práca sa vykonáva na listoch.

Príklad práce:

A) Ktoré z rovníc sú zlomkové racionálne?

B) Zlomok je nula, keď je čitateľ _______________________ a menovateľ je _______________________.

Q) Je číslo -3 koreňom rovnice #6?

D) Riešte rovnicu č.7.

Kritériá hodnotenia úloh:

• „5“ sa udeľuje, ak žiak správne splnil viac ako 90 % úlohy.
• "4" – 75 % – 89 %
• "3" – 50 % – 74 %
• „2“ dostane žiak, ktorý splnil menej ako 50 % úlohy.
• Známka 2 sa do denníka neuvádza, 3 je voliteľná.

7. Reflexia.

Na letáky s nezávislou prácou uveďte:

• 1 - ak bola lekcia pre vás zaujímavá a zrozumiteľná;
• 2 - zaujímavé, ale nejasné;
• 3 - nie zaujímavé, ale zrozumiteľné;
• 4 - nie je zaujímavé, nie je jasné.

8. Zhrnutie lekcie.

Takže dnes sme sa v lekcii zoznámili s frakčnými racionálnymi rovnicami a naučili sme sa, ako tieto rovnice riešiť rôzne cesty, otestovali svoje vedomosti pomocou školenia samostatná práca. Výsledky samostatnej práce sa dozviete na ďalšej lekcii, doma budete mať možnosť upevniť si získané vedomosti.

Aký spôsob riešenia zlomkových racionálnych rovníc je podľa vás jednoduchší, dostupnejší, racionálnejší? Bez ohľadu na spôsob riešenia zlomkových racionálnych rovníc, na čo netreba zabúdať? V čom spočíva „prefíkanosť“ zlomkových racionálnych rovníc?

Ďakujem vám všetkým, lekcia sa skončila.

Už sme sa naučili riešiť kvadratické rovnice. Rozšírme teraz študované metódy na racionálne rovnice.

Čo je to racionálne vyjadrenie? S týmto konceptom sme sa už stretli. Racionálne výrazy nazývané výrazy zložené z čísel, premenných, ich stupňov a znakov matematických operácií.

Podľa toho sú racionálne rovnice rovnicami tvaru: , kde - racionálne prejavy.

Predtým sme zvažovali iba tie racionálne rovnice, ktoré sa redukujú na lineárne. Teraz sa pozrime na tie racionálne rovnice, ktoré možno zredukovať na kvadratické.

Príklad 1

Vyriešte rovnicu: .

Riešenie:

Zlomok je 0 práve vtedy, ak jeho čitateľ je 0 a jeho menovateľ nie je 0.

Získame nasledujúci systém:

Prvá rovnica systému je kvadratická rovnica. Pred riešením vydelíme všetky jeho koeficienty 3. Dostaneme:

Získame dva korene: ; .

Keďže 2 sa nikdy nerovná 0, musia byť splnené dve podmienky: . Pretože žiadny z koreňov rovnice získanej vyššie nezodpovedá neplatným hodnotám premennej, ktoré boli získané pri riešení druhej nerovnosti, sú obe riešeniami tejto rovnice.

odpoveď:.

Poďme teda sformulovať algoritmus na riešenie racionálnych rovníc:

1. Presuňte všetky výrazy na ľavú stranu tak, aby na pravej strane bola 0.

2. Transformujte a zjednodušte ľavú stranu, priveďte všetky zlomky k spoločnému menovateľovi.

3. Výsledný zlomok prirovnajte k 0 podľa nasledujúceho algoritmu: .

4. Napíšte tie korene, ktoré sú získané v prvej rovnici a ako odpoveď spĺňajú druhú nerovnosť.

Pozrime sa na ďalší príklad.

Príklad 2

Vyriešte rovnicu: .

Riešenie

Na úplnom začiatku prenesieme všetky členy na ľavú stranu tak, aby na pravej strane zostala 0. Dostaneme:

Teraz privedieme ľavú stranu rovnice k spoločnému menovateľovi:

Táto rovnica je ekvivalentná systému:

Prvá rovnica systému je kvadratická rovnica.

Koeficienty tejto rovnice: . Vypočítame diskriminant:

Získame dva korene: ; .

Teraz riešime druhú nerovnosť: súčin faktorov sa nerovná 0 práve vtedy, ak žiadny z faktorov nie je rovný 0.

Musia byť splnené dve podmienky: . Dostaneme, že z dvoch koreňov prvej rovnice je vhodný iba jeden - 3.

odpoveď:.

V tejto lekcii sme si pripomenuli, čo je racionálne vyjadrenie, a tiež sme sa naučili riešiť racionálne rovnice, ktoré sú redukované na kvadratické rovnice.

V ďalšej lekcii budeme uvažovať o racionálnych rovniciach ako o modeloch reálnych situácií a tiež o pohybových problémoch.

Bibliografia

1. Bašmakov M.I. Algebra, 8. ročník. - M.: Osveta, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. a kol., Algebra, 8. 5. vydanie. - M.: Vzdelávanie, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. ročník. Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie. - M.: Vzdelávanie, 2006.

1. Festival pedagogické myšlienky "Verejná lekcia" ().
2. School.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com().

Domáca úloha

Samotné rovnice so zlomkami nie sú ťažké a veľmi zaujímavé. Zvážte typy zlomkové rovnice a spôsoby ich riešenia.

Ako riešiť rovnice so zlomkami - x v čitateli

Ak je daná zlomková rovnica, kde je neznáma v čitateli, riešenie nevyžaduje ďalšie podmienky a je vyriešené bez zbytočných problémov. Všeobecná forma taká rovnica je x/a + b = c, kde x je neznáma, a, b a c sú obyčajné čísla.

Nájdite x: x/5 + 10 = 70.

Ak chcete vyriešiť rovnicu, musíte sa zbaviť zlomkov. Vynásobte každý člen rovnice 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x a 5 sa zmenší, 10 a 70 vynásobíme 5 a dostaneme: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Nájdite x: x/5 + x/10 = 90.

Tento príklad je o niečo komplikovanejšou verziou prvého. Tu sú dve riešenia.

• Možnosť 1: Zbavte sa zlomkov vynásobením všetkých členov rovnice väčším menovateľom, teda číslom 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
• Možnosť 2: Pridajte ľavú stranu rovnice. x/5 + x/10 = 90. Spoločný menovateľ je 10. Vydeľte 10 5, vynásobte x, dostaneme 2x. 10 delené 10, vynásobené x, dostaneme x: 2x+x/10 = 90. Preto 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Často existujú zlomkové rovnice, v ktorých sú x na opačných stranách znamienka rovnosti. V takejto situácii je potrebné preniesť všetky zlomky s x jedným smerom a čísla iným smerom.

• Nájsť x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Presuňte sa 2x/5 doprava s opačným znamienkom: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Zmenšíme 5x/5 a dostaneme: x = 130.

Ako vyriešiť rovnicu so zlomkami - x v menovateli

Tento typ zlomkových rovníc vyžaduje písanie ďalších podmienok. Uvedenie týchto podmienok je povinnou a neoddeliteľnou súčasťou správneho rozhodnutia. Ak ich nepriradíte, riskujete, pretože odpoveď (aj keď je správna) sa jednoducho nemusí započítať.

Všeobecný tvar zlomkových rovníc, kde x je v menovateli, je: a/x + b = c, kde x je neznáma, a, b, c sú obyčajné čísla. Upozorňujeme, že x nemusí byť žiadne číslo. Napríklad x nemôže byť nula, pretože nemôžete deliť 0. Toto je práve dodatočná podmienka, ktorú musíme špecifikovať. Toto sa nazýva rozsah prijateľných hodnôt, skrátene - ODZ.

Nájdite x: 15/x + 18 = 21.

Okamžite zapíšeme ODZ pre x: x ≠ 0. Teraz, keď je naznačená ODZ, riešime rovnicu podľa štandardnej schémy, pričom sa zbavíme zlomkov. Všetky členy rovnice vynásobíme x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Často existujú rovnice, kde menovateľ obsahuje nielen x, ale aj nejakú inú operáciu s ním, napríklad sčítanie alebo odčítanie.

Nájdite x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Už vieme, že menovateľ sa nemôže rovnať nule, čo znamená x-3 ≠ 0. -3 prenesieme na pravú stranu, pričom znamienko „-“ zmeníme na „+“ a dostaneme, že x ≠ 3. ODZ je uvedené.

Vyriešte rovnicu, všetko vynásobte x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Posuňte x doprava, čísla doľava: 24 = 3x => x = 8.