Spletni kalkulator omogoča hitro iskanje največjega skupnega delitelja in najmanjšega skupnega večkratnika dveh ali katerega koli drugega števila števil.

Kalkulator za iskanje GCD in NOC

Poiščite GCD in NOC

Najdeno GCD in NOC: 5806

Kako uporabljati kalkulator

• V vnosno polje vnesite številke
• V primeru vnosa napačnih znakov bo vnosno polje označeno rdeče
• pritisnite gumb "Najdi GCD in NOC"

Kako vnašati številke

• Številke vnašamo ločene s presledki, pikami ali vejicami
• Dolžina vnesenih številk ni omejena, zato iskanje gcd in lcm dolgih števil ne bo težko

Kaj je NOD in NOK?

Največji skupni delitelj več števil je največje naravno celo število, s katerim so vsa prvotna števila deljiva brez ostanka. Največji skupni delitelj je skrajšano označen kot GCD.
Najmanjši skupni večkratnik več številk je najmanjše število, ki je deljivo z vsakim od prvotnih števil brez ostanka. Najmanjši skupni večkratnik je skrajšan kot NOC.

Kako preveriti, ali je število deljivo z drugim številom brez ostanka?

Če želite izvedeti, ali je eno število deljivo z drugim brez ostanka, lahko uporabite nekatere lastnosti deljivosti števil. Nato lahko z njihovim združevanjem preverimo deljivost po nekaterih izmed njih in njihovih kombinacijah.

Nekateri znaki deljivosti števil

1. Znak deljivosti števila z 2
Če želite ugotoviti, ali je število deljivo z dvema (ali je sodo), je dovolj, da pogledate zadnjo številko tega števila: če je enako 0, 2, 4, 6 ali 8, potem je število sodo, kar pomeni, da je deljivo z 2.
primer: ugotovi, ali je število 34938 deljivo z 2.
rešitev: poglej zadnjo števko: 8 pomeni, da je število deljivo z dve.

2. Znak deljivosti števila s 3
Število je deljivo s 3, če je vsota njegovih števk deljiva s 3. Če želite torej ugotoviti, ali je število deljivo s 3, morate izračunati vsoto števk in preveriti, ali je deljivo s 3. Tudi če se je izkazalo, da je vsota števk zelo velika, lahko ponovite isti postopek ponovno.
primer: ugotovi, ali je število 34938 deljivo s 3.
rešitev: preštejemo vsoto števk: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je deljivo s 3, kar pomeni, da je število deljivo s tri.

3. Znak deljivosti števila s 5
Število je deljivo s 5, če je njegova zadnja številka nič ali pet.
primer: ugotovi, ali je število 34938 deljivo s 5.
rešitev: poglejte zadnjo števko: 8 pomeni, da število NI deljivo s pet.

4. Znak deljivosti števila z 9
Ta znak je zelo podoben znaku deljivosti s tri: število je deljivo z 9, če je vsota njegovih števk deljiva z 9.
primer: ugotovi, ali je število 34938 deljivo z 9.
rešitev: izračunamo vsoto števk: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je deljivo z 9, kar pomeni, da je število deljivo z devet.

Kako najti GCD in LCM dveh števil

Kako najti GCD dveh števil

večina na preprost način izračun največjega skupnega delitelja dveh števil pomeni iskanje vseh možnih deliteljev teh števil in izbiro največjega izmed njih.

Razmislite o tej metodi z uporabo primera iskanja GCD(28, 36):

1. Obe števili razložimo na faktorje: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Najdemo skupne faktorje, torej tiste, ki jih imata obe števili: 1, 2 in 2.
3. Izračunamo produkt teh faktorjev: 1 2 2 \u003d 4 - to je največji skupni delitelj števil 28 in 36.

Kako najti LCM dveh števil

Obstajata dva najpogostejša načina za iskanje najmanjšega večkratnika dveh števil. Prvi način je, da lahko izpišete prva večkratnika dveh števil, nato pa med njimi izberete takšno število, ki bo skupno obema številoma in hkrati najmanjše. In drugo je najti GCD teh števil. Samo razmislimo o tem.

Če želite izračunati LCM, morate izračunati produkt prvotnih števil in ga nato deliti s predhodno najdenim GCD. Poiščimo LCM za isti števili 28 in 36:

1. Poiščite zmnožek števil 28 in 36: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) je že znano, da je 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252.

Iskanje GCD in LCM za več števil

Največji skupni delitelj najdemo za več števil in ne le za dve. Za to se števila, ki jih je treba najti za največji skupni delitelj, razčlenijo na prafaktorje, nato se najde produkt skupnih prafaktorjev teh števil. Če želite najti GCD več števil, lahko uporabite tudi naslednjo relacijo: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Podobno razmerje velja tudi za najmanjši skupni večkratnik števil: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

primer: poiščite GCD in LCM za številke 12, 32 in 36.

1. Najprej razložimo števila na faktorje: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Poiščimo skupne faktorje: 1, 2 in 2 .
3. Njihov produkt bo dal gcd: 1 2 2 = 4
4. Zdaj pa poiščimo LCM: za to najprej poiščemo LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Če želite najti LCM vseh treh števil, morate poiskati GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2 . 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288.

Opredelitev. Največji naravno število, s katerima sta števili a in b deljeni brez ostanka, imenujemo največji skupni delitelj (gcd) te številke.

Poiščimo največji skupni delitelj števil 24 in 35.
Delitelji števila 24 bodo števila 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, delitelji števila 35 pa bodo števila 1, 5, 7, 35.
Vidimo, da imata števili 24 in 35 le en skupni delitelj - število 1. Takšni števili imenujemo coprime.

Opredelitev. Naravna števila imenujemo coprimeče je njihov največji skupni delitelj (gcd) 1.

Največji skupni delitelj (GCD) lahko najdete, ne da bi izpisali vse delitelje danih števil.

Če števili 48 in 36 faktoriziramo, dobimo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Iz faktorjev, vključenih v razširitev prvega od teh števil, izbrišemo tiste, ki niso vključeni v razširitev drugega števila (tj. dve dvojki).
Ostanejo faktorji 2 * 2 * 3. Njihov produkt je 12. To število je največji skupni delitelj števil 48 in 36. Najden je tudi največji skupni delitelj treh ali več števil.

Najti največji skupni delitelj

2) izmed dejavnikov, vključenih v razširitev enega od teh števil, prečrtajte tiste, ki niso vključeni v razširitev drugih številk;
3) poiščite produkt preostalih faktorjev.

Če so vsa dana števila deljiva z enim od njih, potem je to število deljivo največji skupni delitelj podane številke.
Na primer, največji skupni delitelj 15, 45, 75 in 180 je 15, saj deli vsa druga števila: 45, 75 in 180.

Najmanjši skupni večkratnik (LCM)

Opredelitev. Najmanjši skupni večkratnik (LCM) naravni števili a in b sta najmanjše naravno število, ki je večkratnik obeh a in b. Najmanjši skupni večkratnik (LCM) števil 75 in 60 je mogoče najti, ne da bi zaporedoma izpisali večkratnike teh števil. Da bi to naredili, razgradimo 75 in 60 na preproste faktorje: 75 \u003d 3 * 5 * 5 in 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Izpišemo faktorje, vključene v razširitev prvega od teh števil, in jim dodamo manjkajoča faktorja 2 in 2 iz razširitve drugega števila (to pomeni, da faktorje združimo).
Dobimo pet faktorjev 2 * 2 * 3 * 5 * 5, katerih produkt je 300. To število je najmanjši skupni večkratnik števil 75 in 60.

Poiščite tudi najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil.

Za poiščite najmanjši skupni večkratnik več naravnih števil, potrebujete:
1) jih razstavite na prafaktorje;
2) izpišite faktorje, vključene v razširitev enega od števil;
3) dodajte jim manjkajoče faktorje iz razširitev preostalih števil;
4) poiščite produkt nastalih faktorjev.

Upoštevajte, da če je eno od teh števil deljivo z vsemi drugimi števili, potem je to število najmanjši skupni večkratnik teh števil.
Na primer, najmanjši skupni večkratnik 12, 15, 20 in 60 bi bil 60, ker je deljiv z vsemi danimi števili.

Pitagora (VI. stol. pr. n. št.) in njegovi učenci so preučevali vprašanje deljivosti števil. številka, enaka vsoti vse njegove delitelje (brez samega števila) so imenovali popolno število. Na primer, številke 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) so ​​popolne. Naslednja popolna števila so 496, 8128, 33 550 336. Pitagorejci so poznali le prva tri popolna števila. Četrti - 8128 - je postal znan v 1. stoletju. n. e. Petega - 33 550 336 - so našli v 15. stoletju. Do leta 1983 je bilo znanih že 27 popolnih števil. Toda do zdaj znanstveniki ne vedo, ali obstajajo liha popolna števila, ali obstaja največje popolno število.
Zanimanje starodavnih matematikov za praštevila je posledica dejstva, da je vsako število praštevilo ali pa ga je mogoče predstaviti kot produkt praštevila, tj. praštevila so tako rekoč zidaki, iz katerih so zgrajena ostala naravna števila.
Verjetno ste opazili, da se praštevila v nizu naravnih števil pojavljajo neenakomerno - v nekaterih delih niza jih je več, v drugih - manj. Toda dlje kot se premikamo po številski vrsti, redkejša so praštevila. Postavlja se vprašanje: ali obstaja zadnje (največje) praštevilo? Starogrški matematik Evklid (3. stoletje pr. n. št.) je v svoji knjigi Začetki, ki je bila dva tisoč let glavni učbenik matematike, dokazal, da je praštevil neskončno veliko, to je, da za vsakim praštevilom stoji sodo večje praštevilo.
Za iskanje praštevil si je tako metodo omislil drug grški matematik iz istega časa, Eratosten. Zapisal je vsa števila od 1 do nekega števila, nato pa prečrtal enoto, ki ni niti pra, niti sestavljeno število, nato prečrtal vse številke za 2 (števila, ki so večkratniki 2, tj. 4, 6, 8 itd.). Prva preostala številka po 2 je bila 3. Nato so bile po dve prečrtane vse številke po 3 (števila, ki so večkratniki 3, tj. 6, 9, 12 itd.). na koncu so ostala neprečrtana samo praštevila.

Tema "Več števil" se preučuje v 5. razredu Srednja šola. Njegov cilj je izboljšati pisne in ustne veščine matematičnih izračunov. V tej lekciji so uvedeni novi pojmi - "več števil" in "delitelji", razvija se tehnika iskanja deliteljev in večkratnikov naravnega števila, sposobnost iskanja LCM na različne načine.

Ta tema je zelo pomembna. Znanje o njem lahko uporabimo pri reševanju primerov z ulomki. Če želite to narediti, morate najti skupni imenovalec z izračunom najmanjšega skupnega večkratnika (LCM).

Večkratnik A je celo število, ki je deljivo z A brez ostanka.

Vsako naravno število ima neskončno število večkratnikov. Šteje se, da je najmanj. Večkratnik ne more biti manjši od števila samega.

Treba je dokazati, da je število 125 večkratnik števila 5. Če želite to narediti, morate prvo številko deliti z drugo. Če je 125 deljivo s 5 brez ostanka, potem je odgovor pritrdilen.

Ta metoda je uporabna za majhne številke.

Pri izračunu LCM obstajajo posebni primeri.

1. Če morate najti skupni večkratnik za 2 števili (na primer 80 in 20), pri čemer je eno od njiju (80) brez ostanka deljivo z drugim (20), potem je to število (80) najmanjše večkratnik teh dveh števil.

LCM (80, 20) = 80.

2. Če dve nimata skupnega delitelja, potem lahko rečemo, da je njun LCM produkt teh dveh števil.

LCM (6, 7) = 42.

Razmislite o zadnjem primeru. 6 in 7 glede na 42 sta delitelja. Večkratnik delijo brez ostanka.

V tem primeru sta 6 in 7 delitelja parov. Njihov produkt je enak največkratnemu številu (42).

Število imenujemo praštevilo, če je deljivo samo s seboj ali z 1 (3:1=3; 3:3=1). Ostali se imenujejo sestavljeni.

V drugem primeru morate ugotoviti, ali je 9 delitelj glede na 42.

42:9=4 (ostanek 6)

Odgovor: 9 ni delitelj 42, ker ima odgovor ostanek.

Delitelj se od večkratnika razlikuje po tem, da je delitelj število, s katerim delimo naravna števila, večkratnik pa je sam po sebi deljiv s tem številom.

Največji skupni delitelj števil a in b, pomnožen z njihovim najmanjšim večkratnikom, bo dal produkt samih števil a in b.

In sicer: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Skupni večkratniki za več kompleksna števila našli na naslednji način.

Na primer, poiščite LCM za 168, 180, 3024.

Ta števila razstavimo na prafaktorje, jih zapišemo kot produkt potenc:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.

Kako najti LCM (najmanjši skupni večkratnik)

Skupni večkratnik dveh celih števil je celo število, ki je enakomerno deljivo z obema danima številoma brez ostanka.

Najmanjši skupni večkratnik dveh celih števil je najmanjše od vseh celih števil, ki je enakomerno in brez ostanka deljivo z obema danima številoma.

1. metoda. LCM lahko najdete po vrsti za vsako od danih števil, tako da v naraščajočem vrstnem redu zapišete vsa števila, ki jih dobite, če jih pomnožite z 1, 2, 3, 4 itd.

Primer za številki 6 in 9.
Število 6 pomnožimo zaporedno z 1, 2, 3, 4, 5.
Dobimo: 6, 12, 18 , 24, 30
Število 9 pomnožimo zaporedno z 1, 2, 3, 4, 5.
Dobimo: 9, 18 , 27, 36, 45
Kot lahko vidite, bo LCM za številki 6 in 9 18.

Ta metoda je priročna, kadar sta obe števili majhni in ju je enostavno pomnožiti z zaporedjem celih števil. So pa trenutki, ko morate najti LCM za dvomestno oz trimestna števila, pa tudi kadar so tri ali celo več začetnih številk.

Metoda 2. LCM lahko najdete tako, da prvotna števila razstavite na prafaktorje.
Po razčlenjevanju je treba iz dobljenega niza prafaktorjev prečrtati enaka števila. Preostala števila prvega števila bodo faktor za drugo, preostala števila drugega števila pa bodo faktor za prvo.

Primer za številko 75 in 60.
Najmanjši skupni večkratnik števil 75 in 60 lahko poiščemo, ne da bi zaporedoma izpisali večkratnike teh števil. Da bi to naredili, razgradimo 75 in 60 na prafaktorje:
75 = 3 * 5 * 5 in
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Kot vidite, se faktorja 3 in 5 pojavljata v obeh vrsticah. Miselno jih »prečrtamo«.
Zapišimo preostale faktorje, vključene v razširitev vsakega od teh števil. Pri razčlenjevanju števila 75 smo pustili število 5, pri razčlenjevanju števila 60 pa 2 * 2.
Torej, da bi določili LCM za števili 75 in 60, moramo preostala števila iz razširitve 75 (to je 5) pomnožiti s 60 in števila, ki ostanejo iz razširitve števila 60 (to je 2 * 2) ) pomnožimo s 75. To pomeni, da zaradi lažjega razumevanja rečemo, da množimo "navzkrižno".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Tako smo našli LCM za števili 60 in 75. To je število 300.

Primer. Določite LCM za števila 12, 16, 24
V tem primeru bodo naša dejanja nekoliko bolj zapletena. Toda najprej, kot vedno, vsa števila razgradimo na prafaktorje
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Za pravilno določitev LCM izberemo najmanjše izmed vseh števil (to je število 12) in gremo zaporedoma skozi njegove faktorje ter jih prečrtamo, če ima vsaj ena od drugih vrstic števil isti faktor, ki še ni prekrižan. ven.

Korak 1 . Vidimo, da se 2 * 2 pojavlja v vseh serijah števil. Prečrtamo jih.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Korak 2. V prafaktorjih števila 12 ostane samo število 3. Prisotno pa je v prafaktorjih števila 24. Število 3 prečrtamo iz obeh vrstic, medtem ko za število 16 ni pričakovati nobenega dejanja. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Kot lahko vidite, smo pri razgradnji števila 12 »prečrtali« vsa števila. Tako je ugotovitev NOC zaključena. Ostaja samo izračunati njegovo vrednost.
Za število 12 vzamemo preostale faktorje iz števila 16 (najbližje v naraščajočem vrstnem redu)
12 * 2 * 2 = 48
To je NOC

Kot lahko vidite, je bilo v tem primeru iskanje LCM nekoliko težje, ko pa ga morate najti za tri ali več številk, Na ta način vam omogoča, da to storite hitreje. Vendar sta oba načina iskanja LCM pravilna.

Razmislite o rešitvi naslednjega problema. Korak fantka je 75 cm, korak deklice pa 60 cm Najti je treba najmanjšo razdaljo, na kateri bosta oba naredila celo število korakov.

rešitev. Celotna pot, ki jo bodo fantje prehodili, mora biti brez ostanka deljiva s 60 in 70, saj mora vsak narediti celo število korakov. Z drugimi besedami, odgovor mora biti večkratnik 75 in 60.

Najprej bomo izpisali vse večkratnike, za število 75. Dobimo:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Zdaj pa izpišimo številke, ki bodo večkratnik 60. Dobimo:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Zdaj poiščemo številke, ki so v obeh vrsticah.

• Navadni večkratniki števil bodo števila, 300, 600 itd.

Najmanjše med njimi je število 300. V tem primeru se bo imenovalo najmanjši skupni večkratnik števil 75 in 60.

Če se vrnemo k pogoju problema, bo najmanjša razdalja, na kateri fantje naredijo celo število korakov, 300 cm.Fant bo šel po tej poti v 4 korakih, dekle pa bo moralo narediti 5 korakov.

Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika

• Najmanjši skupni večkratnik dveh naravnih števil a in b je najmanjše naravno število, ki je večkratnik obeh a in b.

Da bi našli najmanjši skupni večkratnik dveh števil, ni treba zapisati vseh večkratnikov teh števil po vrsti.

Uporabite lahko naslednjo metodo.

Kako najti najmanjši skupni večkratnik

Najprej morate te številke razstaviti na prafaktorje.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Sedaj pa zapišimo vse faktorje, ki so v razširitvi prvega števila (2,2,3,5) in mu prištejmo vse manjkajoče faktorje iz razširitve drugega števila (5).

Na koncu dobimo niz praštevil: 2,2,3,5,5. Zmnožek teh števil bo najmanjši skupni faktor za ta števila. 2*2*3*5*5 = 300.

Splošna shema za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika

• 1. Razstavite števila na prafaktorje.
• 2. Zapišite prafaktorje, ki so del enega od njih.
• 3. Tem faktorjem prištej vse tiste, ki so v razgradnji ostalih, ne pa v izbranem.
• 4. Poiščite zmnožek vseh izpisanih faktorjev.

Ta metoda je univerzalna. Uporablja se lahko za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika poljubnega števila naravnih števil.