Primeri:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Kako rešiti eksponentne enačbe

Ko rešujemo katero koli eksponentno enačbo, si jo prizadevamo pripeljati v obliko \(a^(f(x))=a^(g(x))\, nato pa naredimo prehod na enakost eksponentov, to je:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Na primer:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Pomembno! Iz iste logike sledita dve zahtevi za tak prehod:
- številka v levo in desno morata biti enaka;
- stopinji na levi in ​​desni morata biti "čisti", torej ne sme biti množenja, deljenja itd.

Na primer:

Za zmanjševanje enačbe na obliko \(a^(f(x))=a^(g(x))\) se uporabljata in .

Primer . Rešite eksponentno enačbo \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
rešitev:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Vemo, da \(27 = 3^3\). Ob upoštevanju tega transformiramo enačbo.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Z lastnostjo korena \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) dobimo, da \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Nato z uporabo lastnosti stopnje \((a^b)^c=a^(bc)\ dobimo \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Vemo tudi, da \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Če to uporabimo na levi strani, dobimo: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Zapomnite si, da: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Ta formula se lahko uporablja tudi v hrbtna stran: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Potem \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Če uporabimo lastnost \((a^b)^c=a^(bc)\) na desni strani, dobimo: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		In zdaj sta naši bazi enaki in ni motečih koeficientov itd. Tako lahko naredimo prehod.
		Primer . Rešite eksponentno enačbo \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) rešitev: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Ponovno uporabimo lastnost moči \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) v nasprotni smeri. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Zdaj si zapomnite \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\) Z uporabo lastnosti stopinj transformiramo: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) Pozorno pogledamo enačbo in vidimo, da se zamenjava \(t=2^x\) kaže sama od sebe. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Vendar smo našli vrednosti \(t\) in potrebujemo \(x\). Vrnemo se k X-jem in naredimo obratno zamenjavo. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Drugo enačbo transformiramo z uporabo lastnosti negativna stopnja… \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...in se odločamo do odgovora. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Odgovori : \(-1; 1\). Ostaja vprašanje - kako razumeti, kdaj uporabiti katero metodo? To pride z izkušnjami. Dokler ga ne dobite, ga uporabljajte splošno priporočilo za reševanje zapletenih problemov - "če ne veste, kaj storiti, naredite, kar lahko." Se pravi, poiščite, kako lahko načeloma transformirate enačbo, in poskusite to storiti - kaj če se zgodi kaj? Glavna stvar je, da naredite samo matematično zasnovane transformacije. Eksponentne enačbe brez rešitev Poglejmo si še dve situaciji, ki učence pogosto zmedeta: - pozitivno število na potenco je enako nič, na primer \(2^x=0\); - pozitivno število na potenco je enako negativno število, na primer \(2^x=-4\). Poskusimo rešiti s surovo silo. Če je x pozitivno število, potem ko x raste, bo celotna potenca \(2^x\) samo naraščala: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Tudi po. Negativni X ostanejo. Ob upoštevanju lastnosti \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\ preverimo: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Kljub temu, da se število z vsakim korakom manjša, ne bo nikoli doseglo ničle. Negativna stopinja nas torej ni rešila. Pridemo do logičnega zaključka: Pozitivno število do katere koli stopnje bo ostalo pozitivno število. Tako zgornji enačbi nimata rešitev. Eksponentne enačbe z različnimi bazami V praksi se včasih srečamo z eksponentnimi enačbami iz različnih razlogov, ki jih ni mogoče reducirati drug na drugega, in hkrati z istimi eksponenti. Videti so takole: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), kjer sta \(a\) in \(b\) pozitivni števili. Na primer: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Takšne enačbe je mogoče zlahka rešiti z deljenjem s katero koli stranjo enačbe (običajno deljeno s desna stran, to je na \(b^(f(x))\). Tako lahko delite, ker je pozitivno število pozitivno na katero koli potenco (to pomeni, da ne delimo z nič). Dobimo: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Primer . Rešite eksponentno enačbo \(5^(x+7)=3^(x+7)\) rešitev: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Tukaj petice ne bomo mogli spremeniti v trojko, niti obratno (po vsaj, brez uporabe). To pomeni, da ne moremo priti do oblike \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Vendar so kazalniki enaki. Enačbo delimo z desno stranjo, to je z \(3^(x+7)\) (to lahko naredimo, ker vemo, da tri ne bo nič na nobeni stopnji). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Zdaj si zapomnite lastnost \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) in jo uporabite z leve v nasprotni smeri. Na desni strani preprosto zmanjšamo ulomek. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Zdi se, da stvari niso šle na bolje. Toda zapomnite si še eno lastnost potence: \(a^0=1\), z drugimi besedami: »vsako število na ničelno potenco je enako \(1\).« Velja tudi obratno: "ena je lahko predstavljena kot poljubno število na ničelno potenco." To izkoristimo tako, da bo osnova na desni strani enaka levi. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Znebimo se podstavkov. Pišemo odgovor. Odgovori : \(-7\). Včasih "enakost" eksponentov ni očitna, vendar spretna uporaba lastnosti eksponentov reši to težavo. Primer . Rešite eksponentno enačbo \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) rešitev: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Enačba je videti zelo žalostna ... Ne samo, da osnov ni mogoče reducirati na isto število (sedem nikakor ne bo enako \(\frac(1)(3)\)), ampak tudi eksponenti so različni. .. Vendar pa uporabimo levo eksponentno dvojko. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Ob upoštevanju lastnosti \((a^b)^c=a^(b·c)\) transformiramo z leve: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Zdaj, ko se spomnimo lastnosti negativne stopnje \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), transformiramo z desne: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Aleluja! Indikatorji so enaki! Delujemo po shemi, ki nam je že znana, rešimo pred odgovorom. Odgovori : \(2\).

To je ime za enačbe oblike, kjer je neznanka tako v eksponentu kot v osnovi potence.

Določite lahko povsem jasen algoritem za reševanje enačbe oblike. Za to morate biti pozorni dejstvo, da kdaj Oh) ni enako nič, ena in minus ena enakost potenc z iz istih razlogov(naj bo pozitiven ali negativen) je mogoč le, če sta eksponenta enaka. To pomeni, da bodo vsi koreni enačbe koreni enačbe f(x) = g(x) Nasprotna trditev ne drži, ko Oh)< 0 in delne vrednosti f(x) in g(x) izrazi Oh) f(x) in

Oh) g(x) izgubijo svoj pomen. Se pravi pri prehodu iz v f(x) = g(x)(za in se lahko pojavijo tuji koreni, ki jih je treba izključiti s preverjanjem glede na izvirno enačbo. In primeri a = 0, a = 1, a = -1 je treba obravnavati ločeno.

Torej za popolna rešitev enačbe obravnavamo primere:

a(x) = O f(x) in g(x) bodo pozitivna števila, potem je to rešitev. Sicer pa ne

a(x) = 1. Koreni te enačbe so tudi koreni izvirne enačbe.

a(x) = -1. Če za vrednost x, ki ustreza tej enačbi, f(x) in g(x) sta cela števila iste paritete (obe sodi ali obe lihi), potem je to rešitev. Sicer pa ne

Kdaj in rešimo enačbo f(x)= g(x) in s substitucijo dobljenih rezultatov v prvotno enačbo odrežemo tuje korenine.

Primeri reševanja eksponentno-potenčnih enačb.

Primer št. 1.

1) x - 3 = 0, x = 3. ker 3 > 0 in 3 2 > 0, potem je x 1 = 3 rešitev.

2) x - 3 = 1, x 2 = 4.

3) x - 3 = -1, x = 2. Oba indikatorja sta soda. Ta rešitev je x 3 = 1.

4) x - 3? 0 in x? ± 1. x = x 2, x = 0 ali x = 1. Za x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 - ta rešitev je pravilna: x 4 = 0. Za x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 - ta rešitev je pravilna x 5 = 1.

Odgovor: 0, 1, 2, 3, 4.

Primer št. 2.

Po definiciji aritmetike kvadratni koren: x - 1 ? 0, x ? 1.

1) x - 1 = 0 ali x = 1, = 0, 0 0 ni rešitev.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 = -1 x 2 = 0 ne sodi v ODZ.

D = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - ni korenin.

1º. Eksponentne enačbe imenujemo enačbe, ki vsebujejo spremenljivko v eksponentu.

rešitev eksponentne enačbe temelji na lastnosti stopnje: dve potenci z isto bazo sta enaki, če in samo če sta njuna eksponenta enaka.

2º. Osnovne metode reševanja eksponentnih enačb:

1) najpreprostejša enačba ima rešitev;

2) enačba oblike, logaritemske z osnovo a zmanjšati v obliko;

3) enačba oblike je enakovredna enačbi ;

4) enačba oblike je enakovredna enačbi.

5) enačba oblike se reducira s substitucijo na enačbo, nato pa se reši niz preprostih eksponentnih enačb;

6) enačba z recipročnim vzajemnosti s substitucijo reducirajo na enačbo, nato pa rešijo niz enačb;

7) enačbe, homogene glede na a g(x) in b g(x) glede na to prijazen z zamenjavo se reducirajo na enačbo, nato pa se reši niz enačb.

Klasifikacija eksponentnih enačb.

1. Enačbe, rešene z eno osnovo.

Primer 18. Reši enačbo .

Rešitev: Izkoristimo dejstvo, da so vse baze potenc potence števila 5: .

2. Enačbe, rešene s prehodom na en eksponent.

Te enačbe se rešijo s transformacijo izvirne enačbe v obliko , ki je zmanjšan na najpreprostejši z uporabo lastnosti sorazmerja.

Primer 19. Reši enačbo:

3. Enačbe, rešene tako, da skupni faktor vzamemo iz oklepajev.

Če se vsak eksponent v enačbi razlikuje od drugega za določeno število, se enačbe rešijo tako, da se eksponent z najmanjšim eksponentom postavi iz oklepaja.

Primer 20. Reši enačbo.

Rešitev: Vzemimo stopnjo z najmanjšim eksponentom iz oklepaja na levi strani enačbe:

Primer 21. Reši enačbo

Rešitev: Združimo posebej na levi strani enačbe člene, ki vsebujejo potence z osnovo 4, na desni strani - z osnovo 3, nato pa iz oklepaja izpišimo potence z najmanjšim eksponentom:

4. Enačbe, ki se reducirajo na kvadratne (ali kubične) enačbe.

TO kvadratna enačba glede na novo spremenljivko y so naslednje enačbe reducirane:

a) vrsta zamenjave v tem primeru;

b) vrsto zamenjave in .

Primer 22. Reši enačbo .

Rešitev: Spremenimo spremenljivko in rešimo kvadratno enačbo:

.

Odgovor: 0; 1.

5. Enačbe, ki so homogene glede na eksponentne funkcije.

Enačba oblike je homogena enačba druge stopnje glede na neznanke a x in b x. Takšne enačbe se zmanjšajo tako, da se obe strani najprej deli z in ju nato zamenja v kvadratne enačbe.

Primer 23. Reši enačbo.

Rešitev: obe strani enačbe delite z:

Če postavimo, dobimo kvadratno enačbo s koreninami.

Zdaj se problem spusti k reševanju niza enačb . Iz prve enačbe ugotovimo, da. Druga enačba nima korenin, saj za katero koli vrednost x.

Odgovor: -1/2.

6. Racionalne enačbe glede na eksponentne funkcije.

Primer 24. Reši enačbo.

Rešitev: števec in imenovalec ulomka delite z 3 x in namesto dveh dobimo eno eksponentno funkcijo:

7. Enačbe oblike .

Takšne enačbe z množico dopustnih vrednosti (APV), ki jih določa pogoj, se z logaritmiranjem obeh strani enačbe reducirajo na ekvivalentno enačbo, te pa so enakovredne nizu dveh enačb oz.

Primer 25. Reši enačbo: .

.

Didaktično gradivo.

Reši enačbe:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Poiščite produkt korenov enačbe .

27. Poiščite vsoto korenov enačbe .

Poiščite pomen izraza:

28. , kjer x 0- koren enačbe ;

29. , kjer x 0– cel koren enačbe .

Reši enačbo:

31. ; 32. .

odgovori: 10; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0,5; 50; 6,0; 7. -2; 8,2; 9. 1, 3; 10. 8; 11,5; 12.1; 13. ¼; 14,2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17,0; 18.1; 19,0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23,4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27,3; 28.11; 29,54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .

Tema št. 8.

Eksponentne neenakosti.

1º. Neenakost, ki vsebuje spremenljivko v eksponentu, se imenuje eksponentna neenakost.

2º. Rešitev eksponentnih neenakosti oblike temelji na naslednjih izjavah:

če , potem je neenakost enakovredna ;

če , potem je neenakost enakovredna .

Pri reševanju eksponentnih neenačb se uporabljajo enake tehnike kot pri reševanju eksponentnih enačb.

Primer 26. Rešite neenačbo (metoda prehoda na eno bazo).

Rešitev: Ker , potem lahko dano neenakost zapišemo kot: . Ker , potem je ta neenakost enakovredna neenakosti .

Reševanje zadnje neenakosti, dobimo .

Primer 27. Rešite neenačbo: ( tako da vzamemo skupni faktor iz oklepaja).

Rešitev: Vzemimo iz oklepajev na levi strani neenakosti , na desni strani neenakbe in delimo obe strani neenakosti z (-2), pri čemer spremenimo predznak neenakosti v nasprotno:

Ker , potem se pri prehodu na neenakost indikatorjev predznak neenakosti spet spremeni v nasprotno. Dobimo. Tako je množica vseh rešitev te neenačbe interval.

Primer 28. Rešite neenačbo ( z uvedbo nove spremenljivke).

Rešitev: Naj . Potem bo ta neenakost v obliki: oz , katerega rešitev je interval .

Od tod. Ker funkcija narašča, potem .

Didaktično gradivo.

Določite množico rešitev neenačbe:

1. ; 2. ; 3. ;

6. Pri katerih vrednostih x Ali ležijo točke na funkcijskem grafu pod premico?

7. Pri katerih vrednostih x Ali točke na grafu funkcije ležijo vsaj toliko kot premica?

Reši neenačbo:

8. ; 9. ; 10. ;

13. Določite največjo celoštevilsko rešitev neenačbe .

14. Poiščite zmnožek največjega celega števila in najmanjšega celega števila rešitev neenačbe .

Reši neenačbo:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Poiščite domeno funkcije:

27. ; 28. .

29. Poiščite niz vrednosti argumentov, za katere so vrednosti vsake funkcije večje od 3:

in .

odgovori: 11,3; 12,3; 13. -3; 14.1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3,5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. )