Trikotnik najdemo v simboliki vseh verskih, ezoteričnih in filozofskih gibanj. Ta znak koncentrira veliko svetih pomenov, ki skrivajo globoke skrivnosti božanskega načela, makro- in mikrokozmosa.
Trikotnik je simbol, katerega pomen razkriva načelo hierarhije sveta. Njegov vrh je Veliki Nemanifestirani, Bog Absolut, vir vseh stvari.
Trikotnik z očesom v zgornjem delu je znak dominance duhovni izvor nad gostimi materialnimi svetovi nižje stopnje resničnost.
Simbol trikotnika v najširšem pomenu je sveta trojica vesolja. Tri oglišča trikotnika so znak nedeljive strukture holografskega vesolja in vsake enote, ki se manifestira v njem.
Tri je nujno število, ki tvori ravnino kot primarno manifestacijo nečesa v prostoru. Prostornina materialnega sveta je mogoča le v trikomponentnem koordinatnem sistemu, kjer je model katerega koli predmeta mogoče razdeliti na številne trikotnike, ki ležijo v različnih ravninah relativno drug proti drugemu.
IN krščanska tradicija trikotnik- simbol Trojice: duh, duša in telo; oče, sin in sveti duh. V krščanskem slikarstvu je Bog Oče simbolično upodobljen s trikotno avreolo nad glavo ali s sijem v obliki dveh trikotnikov, ki se sekata in tvorita znamenje šesterokrake zvezde.
Dva trikotnika z večsmernimi vrhovi se imenuje tudi Salomonova zvezda. Ta simbol označuje božansko združitev dveh nasprotnih principov: moškega in ženskega, aktivnega in pasivnega, subtilnega in gostega, neba in zemlje. Ta simbol nosi tudi pomen harmonične kombinacije štirih elementov narave v eni sami zavesti posameznika.
V slovanstvu trikotnik nosi pomen svete enotnosti treh svetov: Reveal - materialni svet, Rule - svet bogov in Navi - svet duhov.
Trije trikotniki prepleteni simbolizirajo popolnost in popolnost vesolja, trojnost na treh ravneh obstoja. Z numerološkega vidika imajo trije trikotniki pomen devetke, ki je celovitost in univerzalnost vesolja. Za tem številom sledi le še desetica - enota na novem krogu evolucije. Zato so trije trikotniki tudi znak transformacijskih procesov, bistvo uničenja, ki je potrebno za nadaljnje ustvarjanje novega.
V ezoteričnem smislu simbol trikotnika uteleša univerzalne zakone kozmične strukture. Ta znak skriva tako hermetični zakon polarnosti kot filozofsko načelo enotnosti in boja nasprotij. Tri je dva plus ena, kar je po pomenu primerljivo s filozofsko kategorijo Tao iz kitajske tradicije, kjer sta Yin in Yang, žensko in moško združena v popolni harmoniji interakcije.
Po Pravičnikih - starodavnem znanju severnih magov - je trikotnik simbol nedeljivosti treh vidikov katere koli manifestacije: Gospoda, Boga in Hudiča; vesolje, čas in prostor; zavest, gibanje in oblika. Ta znak odraža metafizično bistvo sistema, znotraj katerega sta mogoča ustvarjalni akt in sama dinamična eksistenca. Zavestni posameznik ustvarja svet okoli sebe s pomočjo dvojnega para instrumentov: energije in materije. Izguba enega od treh elementov sistema pahne obstoj v brezno neobstoja.
Trikotnik v krogu- simbol urejenosti manifestiranega sveta v neurejenem kaosu večnega in neskončnega prostora vesolja. Podoba trikotnika, zaprtega v krog, je pojav Boga Stvarnika v treh oblikah obstoja. To znamenje je univerzalna celica, hologram in projekcija, po predlogi katere se odvija konstrukcija celotne večnivojske hierarhije sveta.
Trikotnik - definicija in splošni pojmi
Trikotnik je preprost mnogokotnik, sestavljen iz treh stranic z enakim številom kotov. Njegove ravnine so omejene s 3 točkami in 3 segmenti, ki te točke povezujejo v parih.
Vsa oglišča katerega koli trikotnika, ne glede na njegovo vrsto, so označena z velikimi črkami z latinskimi črkami, njegove stranice pa so upodobljene z ustreznimi oznakami nasprotnih oglišč, le ne z velikimi črkami, ampak z majhnimi. Tako ima na primer trikotnik z oglišči A, B in C stranice a, b, c.
Če upoštevamo trikotnik v evklidskem prostoru, potem je to geometrijska figura, ki je sestavljena iz treh segmentov, ki povezujejo tri točke, ki ne ležijo na isti ravni črti.
Pozorno si oglejte zgornjo sliko. Na njem so točke A, B in C oglišča tega trikotnika, njegovi segmenti pa se imenujejo stranice trikotnika. Vsako oglišče tega mnogokotnika tvori kote znotraj njega.
Vrste trikotnikov
Glede na velikost kotov trikotnikov so razdeljeni na sorte, kot so: Pravokotni;
Oster kotni;
Topo.
Med pravokotne trikotnike spadajo tisti, ki imajo en pravi kot, druga dva pa ostra kota.
Ostrokotni trikotniki so tisti, pri katerih so vsi koti ostri.
In če ima trikotnik en tup kot in druga dva ostra kota, potem je tak trikotnik razvrščen kot tup.
Vsak od vas dobro razume, da nimajo vsi trikotniki enake stranice. Glede na dolžino stranic lahko trikotnike razdelimo na:
Enakokraki;
Enakostranični;
Vsestranski.
Naloga: Nariši različni tipi trikotniki. Opredelite jih. Kakšno razliko vidite med njima?
Osnovne lastnosti trikotnikov
Čeprav se lahko ti preprosti mnogokotniki med seboj razlikujejo po velikosti svojih kotov ali stranic, ima vsak trikotnik osnovne lastnosti, ki so značilne za ta lik.
V poljubnem trikotniku:
Skupna vsota vseh njegovih kotov je 180º.
Če pripada enakostraničnicam, je vsak njen kot 60º.
Enakostranični trikotnik ima enake in enake kote.
Manjša kot je stranica mnogokotnika, manjši je kot nasproti nje, in obratno, večji kot je nasproti večje stranice.
Če sta stranici enaki, sta nasproti njima enaka kota in obratno.
Če vzamemo trikotnik in mu podaljšamo stranico, dobimo zunanji kot. On enaka vsoti notranji koti.
V katerem koli trikotniku bo njegova stranica, ne glede na to, katero izberete, še vedno manjša od vsote drugih dveh strani, vendar večja od njune razlike:
1. a< b + c, a >b–c;
2. b< a + c, b >a–c;
3.c< a + b, c >a–b.
telovadba
Tabela prikazuje že znana dva kota trikotnika. Če poznate skupno vsoto vseh kotov, ugotovite, čemu je enak tretji kot trikotnika in ga vnesite v tabelo:
1. Koliko stopinj ima tretji kot?
2. V katero vrsto trikotnika spada?
Preizkusi enakovrednosti trikotnikov
podpišem
II znak
III znak
Višina, simetrala in mediana trikotnika
Nadmorska višina trikotnika - navpičnica, ki poteka iz vrha figure na njegovo nasprotno stran, se imenuje nadmorska višina trikotnika. Vse višine trikotnika se sekajo v eni točki. Točka presečišča vseh treh višin trikotnika je njegov ortocenter.
Odsek, narisan iz danega oglišča in ga povezuje na sredini nasprotne strani, je mediana. Mediane, kot tudi višine trikotnika, imajo eno skupna točka presečišče, tako imenovano težišče trikotnika ali centroida.
Simetrala trikotnika je segment, ki povezuje oglišče kota in točko na nasprotni strani ter ta kot deli tudi na pol. Vse simetrale trikotnika se sekajo v eni točki, ki jo imenujemo središče kroga, včrtanega v trikotnik.
Odsek, ki povezuje razpoloviščni točki dveh stranic trikotnika, se imenuje srednja črta.
Zgodovinska referenca
Figura, kot je trikotnik, je bila znana že v antiki. Ta številka in njene lastnosti so bile omenjene na egiptovskih papirusih pred štiri tisoč leti. Nekoliko kasneje, zahvaljujoč Pitagorejskemu izreku in Heronovi formuli, se je preučevanje lastnosti trikotnika preselilo bolj visoka stopnja, a vseeno se je to zgodilo pred več kot dva tisoč leti.
V XV – 16. stoletja Začeli so izvajati veliko raziskav o lastnostih trikotnika in posledično je nastala takšna znanost, kot je planimetrija, ki se je imenovala "Geometrija novega trikotnika".
Ruski znanstvenik N. I. Lobačevski je veliko prispeval k poznavanju lastnosti trikotnikov. Njegova dela so kasneje našla uporabo v matematiki, fiziki in kibernetiki.
Zahvaljujoč poznavanju lastnosti trikotnikov je nastala takšna znanost, kot je trigonometrija. Izkazalo se je, da je človeku potreben v njegovih praktičnih potrebah, saj je njegova uporaba preprosto potrebna pri izdelavi zemljevidov, merjenju območij in celo pri načrtovanju različnih mehanizmov.
Kateri je najbolj znan trikotnik, ki ga poznate? To je seveda Bermudski trikotnik! To ime je dobil v 50. letih prejšnjega stoletja zaradi geografske lege točk (oglišč trikotnika), znotraj katerih po obstoječa teorija so se pojavile povezane anomalije. Oglišča Bermudskega trikotnika so Bermudi, Florida in Portoriko.
Naloga: Kakšne teorije o Bermudski trikotnik si slišal?
Ali ste vedeli, da je v teoriji Lobačevskega pri seštevanju kotov trikotnika njihova vsota vedno manjša od 180º. V Riemannovi geometriji je vsota vseh kotov trikotnika večja od 180º, v Evklidovih delih pa je enaka 180 stopinjam.
Domača naloga
Rešite križanko na dano temo
Vprašanja za križanko:
1. Kako se imenuje navpičnica, ki je potegnjena iz vrha trikotnika na ravno črto, ki se nahaja na nasprotni strani?
2. Kako lahko z eno besedo poimenujete vsoto dolžin stranic trikotnika?
3. Poimenuj trikotnik, katerega strani sta enaki?
4. Poimenuj trikotnik, ki ima kot 90°?
5. Kako se imenuje največja stranica trikotnika?
6. Kako se imenuje stranica enakokrakega trikotnika?
7. V katerem koli trikotniku so vedno trije.
8. Kako se imenuje trikotnik, v katerem je eden od kotov večji od 90°?
9. Ime segmenta, ki povezuje vrh naše figure s sredino nasprotne strani?
10. V enostavnem mnogokotniku ABC je velika črka A...?
11. Kako se imenuje odsek, ki deli kot trikotnika na pol?
Vprašanja na temo trikotnikov:
1. Določite.
2. Koliko višin ima?
3. Koliko simetral ima trikotnik?
4. Kakšna je vsota njegovih kotov?
5. Katere vrste tega preprostega mnogokotnika poznate?
6. Poimenujte točke trikotnikov, ki se imenujejo izjemne.
7. S katero napravo lahko izmeriš kot?
8. Če urni kazalci kažejo 21. uro. Kakšen kot tvorijo urni kazalci?
9. Pod kakšnim kotom se oseba obrne, če dobi ukaz "levo", "krog"?
10. Katere druge definicije, ki so povezane s figuro, ki ima tri kote in tri stranice, poznate?
Trikotnik je najpreprostejši mnogokotnik s 3 oglišči in 3 stranicami; del ravnine, ki ga omejujejo tri točke, ki ne ležijo na isti premici, in trije odseki, ki te točke povezujejo v parih.
Oglišča trikotnika so običajno označena z velikimi latiničnimi črkami (A, B, C), vrednosti kotov na ustreznih ogliščih - z grškimi črkami (,), in dolžine nasprotnih strani - z velikimi latiničnimi črkami. (a, b, c).
Neenakost trikotnika
Stranic trikotnika ne moremo poljubno določiti; povezujejo jih neenačbe a b + c
b a + c
c a + b
Če enakost velja v enem od njih, se trikotnik imenuje degeneriran; v nadaljevanju se povsod predpostavlja nedegeneriran primer.
Znaki enakosti trikotnikov
Trikotnik lahko enolično določimo (do skladnosti) z naslednjimi trojčki osnovnih elementov: a, b, c (enakost na treh stranicah);
a, b, (enakost na dveh stranicah in kot med njima);
a, (enakost na strani in dveh sosednjih kotih).
Segmenti in krogi, povezani s trikotnikom
Krog, ki se dotika vseh treh strani trikotnika, se imenuje včrtani krog. Ona je edina. Krog, ki poteka skozi vsa tri oglišča trikotnika, se imenuje njegov opisan krog. Edinstven je tudi opisan krog.
Srednja točka trikotnika, narisana iz danega oglišča, je odsek, ki to oglišče povezuje z razpoloviščem nasprotne stranice. Vse tri mediane trikotnika se sekajo v eni točki. To presečišče imenujemo težišče ali težišče trikotnika. Zadnje ime je posledica dejstva, da se za trikotnik iz homogenega materiala težišče nahaja na presečišču median. Težišče deli vsako mediano v razmerju 1:2, šteto od baze mediane.
Navpičnico, spuščeno iz oglišča trikotnika na nasprotno stran oziroma njen podaljšek, imenujemo višina trikotnika. Tri višine trikotnika se sekajo v eni točki, imenovani ortocenter trikotnika.
Simetrala trikotnika, narisana iz danega oglišča, je odsek, ki povezuje to oglišče s točko na nasprotni strani in deli kot pri danem oglišču na pol. Simetrali trikotnika se sekata v eni točki in ta točka sovpada s središčem včrtanega kroga.
Kot rečeno, v enakokrakem trikotniku simetrala, mediana in osnovnici narisana višina sovpadajo. Velja tudi obratno: če simetrala, mediana in višina, narisana iz enega oglišča, sovpadajo, potem je trikotnik enakokrak. Če je trikotnik skalen, potem za katero koli njegovo oglišče simetrala, narisana iz njega, leži med mediano in višino, narisano iz istega oglišča.
Prav tako se sekata pravokotni simetrali na stranice trikotnika v eni točki, ki sovpada s središčem opisanega kroga.
Excircle je krog, ki se dotika ene stranice trikotnika in podaljšuje drugi dve stranici.
Razpolovišča treh strani trikotnika, osnove njegovih treh višin in razpolovišča treh segmentov, ki povezujejo njegova oglišča z ortocentrom, ležijo na enem krogu, imenovanem krog devetih točk.
V katerem koli trikotniku ležijo težišče, ortocenter, središče kroga in središče kroga z devetimi točkami na eni ravni črti, imenovani Eulerjeva premica.
Razmerja v trikotniku
Če so znane tri zgoraj navedene količine, je ostalo mogoče najti z uporabo naslednjih formul:
Sinusni izrek
(Iz izreka sledi, da če a< b < c, то < <)
Kosinusni izrek
(Je posplošitev Pitagorovega izreka)
Več razmerij
Metrična razmerja v trikotniku so podana za trikotnik:
Tukaj
Območje trikotnika
Kje:
- višina potegnjena vstran,
- polobod,
- polmer včrtanega kroga,
- polmer opisanega kroga,
- koordinate oglišč trikotnika.
Vrste trikotnikov
Po velikosti kotov
Ker je vsota kotov trikotnika 180°, morata biti vsaj dva kota v trikotniku ostra (manjša od 90°). Ločimo naslednje vrste trikotnikov: Če so vsi koti trikotnika ostri, se trikotnik imenuje ostrokoten;
Če je eden od kotov trikotnika topi (več kot 90 °), potem se trikotnik imenuje topi;
Če je eden od kotov trikotnika pravi (enak 90°), se trikotnik imenuje pravokoten. Stranici, ki tvorita pravi kot, se imenujeta kraka, stran nasproti pravega kota pa hipotenuza.
Glede na število enakih stranic
Razmerjen trikotnik je tisti, v katerem so dolžine treh strani po parih različne.
Enakokraki trikotnik je tisti, v katerem sta stranici enaki. Te stranice se imenujejo stranske, tretja stran se imenuje osnova. V enakokrakem trikotniku so osnovni koti enaki. Višina, mediana in simetrala enakokrakega trikotnika, spuščenega na osnovo, so enake.
Enakostranični trikotnik je tisti, v katerem so vse tri stranice enake. V enakostraničnem trikotniku so vsi koti enaki 60°, središči včrtane in opisane krožnice pa sovpadata.
Poglej tudi
Izrek o vsoti kotov trikotnika
Sinusni izrek
Kosinusni izrek
Heronova formula
Znanost o geometriji nam pove, kaj so trikotnik, kvadrat in kocka. V sodobnem svetu ga vsi brez izjeme študirajo v šolah. Tudi znanost, ki neposredno preučuje, kaj je trikotnik in kakšne lastnosti ima, je trigonometrija. Podrobno raziskuje vse pojave, povezane s podatki.O tem, kaj je trikotnik, bomo danes govorili v našem članku. Spodaj bodo opisane njihove vrste, pa tudi nekateri izreki, povezani z njimi.
Kaj je trikotnik? Opredelitev
To je raven mnogokotnik. Ima tri vogale, kot je razvidno iz imena. Ima tudi tri stranice in tri oglišča, od katerih so prvi segmenti, drugi pa točke. Če veste, čemu sta dva kota enaka, lahko tretjega najdete tako, da od števila 180 odštejete vsoto prvih dveh.
Katere vrste trikotnikov obstajajo?
Lahko jih razvrstimo po različnih merilih.
Najprej jih delimo na ostrokotne, tupokotne in pravokotne. Prvi imajo ostre kote, to je tiste, ki so enaki manj kot 90 stopinj. Pri topih kotih je eden od kotov top, to je tisti, ki je enak več kot 90 stopinj, druga dva pa sta ostra. Med ostre trikotnike spadajo tudi enakostranični trikotniki. Takšni trikotniki imajo vse stranice in kote enake. Vsi so enaki 60 stopinjam, to lahko enostavno izračunamo tako, da vsoto vseh kotov (180) delimo s tri.
Pravokotni trikotnik
Nemogoče je ne govoriti o tem, kaj je pravi trikotnik.
Takšna figura ima en kot enak 90 stopinj (ravna), to pomeni, da sta dve strani pravokotni. Preostala dva kota sta ostra. Lahko sta enaka, potem bo enakokraka. Pitagorov izrek je povezan s pravokotnim trikotnikom. Z njim lahko najdete tretjo stran, če poznate prvi dve. V skladu s tem izrekom, če dodate kvadrat ene noge kvadratu druge, lahko dobite kvadrat hipotenuze. Kvadrat kraka lahko izračunamo tako, da od kvadrata hipotenuze odštejemo kvadrat znanega kraka. Ko govorimo o tem, kaj je trikotnik, se lahko spomnimo tudi enakokrakega trikotnika. To je tisto, pri katerem sta dve stranici enaki in dva kota sta enaka.
Kaj sta noga in hipotenuza?
Krak je ena od stranic trikotnika, ki tvori kot 90 stopinj. Hipotenuza je preostala stran, ki je nasproti pravemu kotu. Z njega lahko na nogo spustite pravokotno. Razmerje med sosednjo stranico in hipotenuzo se imenuje kosinus, nasprotno stran pa sinus.
- kakšne so njegove značilnosti?
Pravokoten je. Njegovi kateti so tri in štiri, hipotenuza pa pet. Če vidite, da sta kraka danega trikotnika enaka tri in štiri, ste lahko prepričani, da bo hipotenuza enaka pet. Tudi s tem načelom lahko enostavno ugotovite, da bo noga enaka tri, če je druga enaka štirim, hipotenuza pa pet. Za dokaz te izjave lahko uporabite Pitagorov izrek. Če sta dva kraka enaka 3 in 4, potem je 9 + 16 = 25, koren iz 25 je 5, kar pomeni, da je hipotenuza enaka 5. Egiptovski trikotnik je tudi pravokoten trikotnik, katerega stranice so enake 6, 8. in 10; 9, 12 in 15 ter druga števila v razmerju 3:4:5.
Kaj drugega bi lahko bil trikotnik?
Trikotnike lahko tudi včrtamo ali obrobimo. Lik, okoli katerega je opisan krog, se imenuje včrtan; vsa njegova oglišča so točke, ki ležijo na krogu. Okrožen trikotnik je tisti, v katerega je vpisan krog. Vse njegove strani se na določenih mestih dotikajo nje.
Kako se nahaja?
Površina katere koli figure se meri v kvadratnih enotah (kvadratni metri, kvadratni milimetri, kvadratni centimetri, kvadratni decimetri itd.) To vrednost je mogoče izračunati na različne načine, odvisno od vrste trikotnika. Območje katere koli figure s koti je mogoče najti tako, da njeno stran pomnožimo s pravokotnico, ki je nanjo padla iz nasprotnega kota, in to sliko delimo z dvema. To vrednost lahko najdete tudi tako, da pomnožite obe strani. Nato to število pomnožite s sinusom kota, ki se nahaja med tema stranicama, in rezultat delite z dva. Če poznate vse strani trikotnika, vendar ne poznate njegovih kotov, lahko območje najdete na drug način. Če želite to narediti, morate najti polovico oboda. Nato od tega števila izmenično odštejte različne strani in pomnožite dobljene štiri vrednosti. Nato poiščite iz številke, ki je prišla. Območje včrtanega trikotnika je mogoče najti tako, da pomnožite vse stranice in dobljeno število delite s tistim, ki je okoli njega opisano, pomnoženo s štiri.
Območje obkroženega trikotnika najdemo na ta način: polovico oboda pomnožimo s polmerom kroga, ki je vanj vpisan. Če je potem njegovo območje mogoče najti na naslednji način: kvadrirajte stran, dobljeno številko pomnožite s korenom iz tri, nato pa to številko delite s štiri. Na podoben način lahko izračunate višino trikotnika, v katerem so vse strani enake; za to morate eno od njih pomnožiti s korenom treh in nato to število deliti z dvema.
Izreki, povezani s trikotnikom
Glavni izreki, povezani s to sliko, so zgoraj opisani Pitagorov izrek in kosinusi. Drugi (sinusov) je, da če katero koli stran delite s sinusom nasprotnega kota, lahko dobite polmer kroga, ki je opisan okoli nje, pomnožen z dva. Tretji (kosinus) je, da če od vsote kvadratov obeh strani odštejemo njihov produkt, pomnožen z dvema in kosinus kota med njima, dobimo kvadrat tretje strani.
Trikotnik Dali - kaj je to?
Mnogi, ko se soočijo s tem konceptom, najprej pomislijo, da je to nekakšna definicija v geometriji, vendar to sploh ni tako. Dalijev trikotnik je skupno ime za tri kraje, ki so tesno povezani z življenjem slavnega umetnika. Njegovi "vrhunci" so hiša, v kateri je živel Salvador Dali, grad, ki ga je podaril svoji ženi, pa tudi muzej nadrealističnih slik. Med ogledom teh krajev lahko izveste veliko zanimivih dejstev o tem edinstvenem ustvarjalnem umetniku, znanem po vsem svetu.
Standardne oznake
Trikotnik z oglišči A, B in C je označen kot (glej sliko). Trikotnik ima tri stranice:
Dolžine stranic trikotnika so označene z malimi latiničnimi črkami (a, b, c):
Trikotnik ima naslednje kote:
Vrednosti kotov na ustreznih vozliščih so tradicionalno označene z grškimi črkami (α, β, γ).
Znaki enakosti trikotnikov
Trikotnik na evklidski ravnini lahko enolično določimo (do skladnosti) z naslednjimi trojčki osnovnih elementov:
- a, b, γ (enakost na dveh straneh in kot med njima);
- a, β, γ (enakost strani in dveh sosednjih kotov);
- a, b, c (enakost na treh straneh).
Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov:
- vzdolž noge in hipotenuze;
- na dveh nogah;
- vzdolž noge in ostrega kota;
- vzdolž hipotenuze in ostrega kota.
Nekatere točke v trikotniku so "seznanjene". Na primer, obstajata dve točki, iz katerih so vse strani vidne bodisi pod kotom 60° bodisi pod kotom 120°. Imenujejo se Torricellijeve pike. Obstajata tudi dve točki, katerih projekciji na stranice ležita na ogliščih pravilnega trikotnika. to - Apolonijeve točke. Točke in podobno se imenujejo Brocardove točke.
Neposredno
V vsakem trikotniku ležijo težišče, ortocenter in središče opisanega kroga na isti premici, imenovani Eulerjeva črta.
Premica, ki poteka skozi središče opisanega kroga in Lemoineovo točko, se imenuje Brocardova os. Na njej ležijo Apolonijeve točke. Na isti premici ležita tudi Torricellijeva in Lemoinova točka. Osnovice zunanjih simetral kotov trikotnika ležijo na isti premici, imenovani os zunanjih simetral. Na isti premici ležijo tudi presečišča premic, ki vsebujejo stranice ortotrikotnika, s premicami, ki vsebujejo stranice trikotnika. Ta vrstica se imenuje ortocentrična os, je pravokotna na Eulerjevo premico.
Če vzamemo točko na krogu trikotnika, bodo njene projekcije na stranice trikotnika ležale na isti ravni črti, imenovani Simson je čist to točko. Simsonove premice diametralno nasprotnih točk so pravokotne.
Trikotniki
- Trikotnik z oglišči na osnovah, narisanih skozi dano točko, se imenuje cevian trikotnik to točko.
- Trikotnik z oglišči v projekcijah dane točke na stranice se imenuje sod oz trikotnik pedala to točko.
- Trikotnik z oglišči v drugih točkah presečišča premic, narisanih skozi oglišča, in dano točko z opisanim krogom imenujemo obodni trikotnik. Obodni trikotnik je podoben tračnemu trikotniku.
Krogi
- Včrtana krožnica- krog, ki se dotika vseh treh strani trikotnika. Ona je edina. Središče včrtane krožnice imenujemo incenter.
- Circumcircle- krog, ki poteka skozi vsa tri oglišča trikotnika. Edinstven je tudi opisan krog.
- Excircle- krog, ki se dotika ene stranice trikotnika in nadaljevanja drugih dveh stranic. V trikotniku so trije takšni krogi. Njihov radikalni center je središče včrtanega kroga medialnega trikotnika, imenovanega Spikerjeva točka.
Razpolovišča treh strani trikotnika, osnove njegovih treh višin in razpolovišča treh segmentov, ki povezujejo njegova oglišča z ortocentrom, ležijo na enem krogu, imenovanem krog devetih točk oz Eulerjev krog. Središče kroga z devetimi točkami leži na Eulerjevi premici. Krožnica z devetimi točkami se dotika včrtane krožnice in treh zunanjih krožnic. Dotična točka med včrtanim krogom in krogom devetih točk se imenuje Feuerbachova točka. Če od vsakega vrha navzven trikotnika položimo ravne črte, ki vsebujejo stranice, ortoze, ki so enake dolžine nasprotnim stranem, potem nastalih šest točk leži na istem krogu - Conwayev krog. V kateri koli trikotnik lahko vpišemo tri kroge tako, da se vsak od njih dotika dveh strani trikotnika in dveh drugih krogov. Takšni krogi se imenujejo Malfattijevi krogi. Središča opisanih krogov šestih trikotnikov, na katere je trikotnik razdeljen z medianami, ležijo na enem krogu, ki se imenuje obseg Lamuna.
Trikotnik ima tri kroge, ki se dotikajo dveh strani trikotnika in opisanega kroga. Takšni krogi se imenujejo polvpisana oz Verrierjevi krogi. Odseki, ki povezujejo dotične točke Verrierjevih krogov z opisanim krogom, se sekajo v eni točki, imenovani Verrierjeva točka. Služi kot središče homotetije, ki spremeni opisano krožnico v včrtano krožnico. Stične točke Verrierjevih krogov s stranicami ležijo na premici, ki poteka skozi središče včrtanega kroga.
Odseki, ki povezujejo dotične točke včrtanega kroga z oglišči, se sekajo v eni točki, imenovani točka Gergonne, in odseki, ki povezujejo oglišča s točkami dotikov zunanjih krogov, so v Nagelova točka.
Elipse, parabole in hiperbole
Včrtana stožnica (elipsa) in njen perspektivnik
V trikotnik lahko vpišemo neskončno število stožnic (elips, parabol ali hiperbol). Če v trikotnik vpišemo poljubno stožnico in tangentni točki povežemo z nasprotnimi oglišči, se bodo nastale premice sekale v eni točki, imenovani možnost pogradi. Za vsako točko ravnine, ki ne leži na strani ali na njenem podaljšku, obstaja na tej točki včrtana stožnica s perspektivnikom.
Opisana Steinerjeva elipsa in ceviani, ki potekajo skozi njena žarišča
V trikotnik lahko vpišemo elipso, ki se na sredini dotika stranic. Takšna elipsa se imenuje včrtana Steinerjeva elipsa(njegova perspektiva bo središče trikotnika). Okrožena elipsa, ki se dotika premic, ki potekajo skozi oglišča vzporedno s stranicami, se imenuje opisuje Steinerjeva elipsa. Če trikotnik pretvorimo v pravilen trikotnik z afino transformacijo (»skew«), se bo njegova včrtana in opisana Steinerjeva elipsa preoblikovala v včrtano in opisano krožnico. Chevianove premice, narisane skozi žarišča opisane Steinerjeve elipse (Scutinove točke), so enake (Scutinov izrek). Od vseh opisanih elips ima opisana Steinerjeva elipsa najmanjšo ploščino, izmed vseh včrtanih elips pa ima včrtana Steinerjeva elipsa največjo ploščino.
Brocardova elipsa in njen perspektivnik - Lemoinova točka
Imenuje se elipsa z žarišči v Brocardovih točkah Brocardova elipsa. Njena perspektiva je Lemoinova točka.
Lastnosti včrtane parabole
Kiepertova parabola
Obeti včrtanih parabol ležijo na opisani Steinerjevi elipsi. Žarišče včrtane parabole leži na opisani krožnici, direktrisa pa poteka skozi ortocenter. V trikotnik včrtana parabola, ki ima za direktriso Eulerjevo direktriso, se imenuje Kiepertova parabola. Njegov perspektivnik je četrta točka presečišča opisanega kroga in opisane Steinerjeve elipse, imenovana Steinerjeva točka.
Kiepertova hiperbola
Če opisana hiperbola poteka skozi presečišče višin, potem je enakostranična (to pomeni, da so njene asimptote pravokotne). Presečišče asimptot enakostranične hiperbole leži na krogu devetih točk.
Preobrazbe
Če se premice, ki potekajo skozi oglišča in neko točko, ki ne leži na straneh, in njihovi podaljški odbijejo glede na ustrezne simetrale, se bodo njihove slike tudi sekale v eni točki, kar imenujemo izogonalno konjugiran prvotni (če je točka ležala na opisanem krogu, bodo nastale črte vzporedne). Veliko parov izjemnih točk je izogonalno konjugiranih: središče kroga in ortocenter, centroid in Lemoinova točka, Brocardove točke. Apolonijevi točki sta izogonalno konjugirani s Torricellijevimi točkami, središče včrtanega kroga pa je izogonalno konjugirano samemu sebi. Pod delovanjem izogonalne konjugacije se premice spremenijo v obrobljene konike, obrobljene konike pa v premice. Tako so Kiepertova hiperbola in Brocardova os, Jenzabekova hiperbola in Eulerjeva premica, Feuerbachova hiperbola in premica središč včrtanega in opisanega kroga izogonalno konjugirane. Krožnice trikotnikov izogonalno konjugiranih točk sovpadajo. Žarišča včrtanih elips so izogonalno konjugirana.
Če namesto simetričnega ceviana vzamemo cevian, katerega osnova je od sredine stranice oddaljena toliko kot osnova prvotnega, potem se bodo tudi taki ceviani sekali v eni točki. Nastala transformacija se imenuje izotomska konjugacija. Prav tako pretvarja ravne črte v opisane konike. Gergonnova in Naglova točka sta izotomsko konjugirani. Pri afinih transformacijah se izotomsko konjugirane točke pretvorijo v izotomsko konjugirane točke. Z izotomsko konjugacijo bo opisana Steinerjeva elipsa prešla v neskončno oddaljeno premico.
Če v segmente, odrezane s stranicami trikotnika od opisanega kroga, vpišemo kroge, ki se dotikajo stranic na osnovah cevianov, narisanih skozi določeno točko, in nato povežemo tangentne točke teh krogov z opisanim krogom z nasprotnimi oglišči, potem se bodo takšne ravne črte sekale v eni točki. Imenuje se ravninska transformacija, ki izvirno točko ujema z nastalo izokrožna transformacija. Sestava izogonalnih in izotomskih konjugatov je sestava izocikularne transformacije sama s seboj. Ta kompozicija je projektivna transformacija, ki pusti stranice trikotnika na mestu in preoblikuje os zunanjih simetral v premico v neskončnosti.
Če nadaljujemo stranice Chevianovega trikotnika določene točke in vzamemo njihove presečišča z ustreznimi stranicami, potem bodo nastale presečišča ležale na eni ravni črti, imenovani trilinearni polarni Izhodišče. Ortocentrična os je trilinearna polara ortocentra; tričrtna polara središča včrtane krožnice je os zunanjih simetral. Trilinearni polari točk, ki ležijo na opisani stožnici, se sekajo v eni točki (za opisano krožnico je to Lemoinova točka, za opisano Steinerjevo elipso pa težišče). Sestava izogonalne (ali izotomske) konjugate in trilinearne polare je transformacija dvojnosti (če točka, ki je izogonalno (izotomsko) konjugirana s točko, leži na trilinearni polari točke, potem trilinearna polara točke izogonalno (izotomsko) konjugirana s točko leži na trilinearni polari točke).
Kocke
Razmerja v trikotniku
Opomba: v tem delu so dolžine treh strani trikotnika in koti, ki ležijo nasproti teh treh strani (nasprotni koti).
Neenakost trikotnika
V nedegeneriranem trikotniku je vsota dolžin njegovih dveh stranic večja od dolžine tretje stranice, v degeneriranem trikotniku je enaka. Z drugimi besedami, dolžine strani trikotnika so povezane z naslednjimi neenakostmi:
Neenakost trikotnika je eden od aksiomov metrike.
Izrek o vsoti kotov trikotnika
Sinusni izrek
,kjer je R polmer kroga, ki je opisan okoli trikotnika. Iz izreka sledi, da če a< b < c, то α < β < γ.
Kosinusni izrek
Tangentni izrek
Druga razmerja
Metrična razmerja v trikotniku so podana za:
Reševanje trikotnikov
Izračunavanje neznanih stranic in kotov trikotnika na podlagi znanih se je v zgodovini imenovalo "reševanje trikotnikov". Uporabljeni so zgornji splošni trigonometrični izreki.
Območje trikotnika
Posebni primeri NotacijaZa ploščino veljajo naslednje neenakosti:
Izračun površine trikotnika v prostoru z vektorji
Naj bodo oglišča trikotnika v točkah , , .
Predstavimo površinski vektor. Dolžina tega vektorja je enaka površini trikotnika in je usmerjena normalno na ravnino trikotnika:
Postavimo , kjer so , , projekcije trikotnika na koordinatne ravnine. pri čemer
in podobno
Območje trikotnika je.
Druga možnost je izračun dolžin stranic (z uporabo Pitagorovega izreka) in nato z uporabo Heronove formule.
Izreki o trikotniku
Desarguesov izrek: če sta dva trikotnika perspektivna (premici, ki potekata skozi ustrezni oglišči trikotnikov, se sekata v eni točki), potem se njuni pripadajoči stranici sekata na isti premici.
Sondin izrek: če sta dva trikotnika perspektivna in ortološka (navpičnici, potegnjeni iz oglišč enega trikotnika na stranice, ki so nasprotne ustreznim ogliščem trikotnika, in obratno), potem sta središči ortologije (točki presečišča teh navpičnic) in središče perspektive ležijo na isti premici, pravokotni na perspektivno os (premica iz Desarguesovega izreka).
