Които вече са доста скучни. И чувствам, че е настъпил моментът, когато е време да извлечем нови консерви от стратегическите резерви на теорията. Възможно ли е функцията да се разшири в серия по някакъв друг начин? Например, изразете сегмент от права линия чрез синуси и косинуси? Изглежда невероятно, но такива привидно далечни функции могат да бъдат
"обединение". В допълнение към познатите степени в теорията и практиката, има и други подходи за разширяване на функция в серия.

В този урок ще се запознаем с тригонометричния ред на Фурие, ще се докоснем до въпроса за неговата конвергенция и сумата и, разбира се, ще анализираме множество примери за разширяване на функции в ред на Фурие. Искрено исках да нарека статията „Редове на Фурие за манекени“, но това би било неискрено, тъй като решаването на проблемите ще изисква познания в други клонове на математическия анализ и известен практически опит. Следователно преамбюлът ще прилича на обучение на астронавти =)

Първо, трябва да подходите към изучаването на материалите на страницата в отлична форма. Сън, отпочинал и трезвен. Без силни емоции за счупена лапа на хамстер и натрапчиви мислиза трудностите на живота аквариумни рибки. Серията на Фурие не е трудна за разбиране, но практическите задачи просто изискват повишена концентрациявнимание - в идеалния случай трябва напълно да се откъснете от външни стимули. Ситуацията се утежнява от факта, че няма лесен начин за проверка на решението и отговор. Така че, ако здравето ви е под средното, тогава е по-добре да направите нещо по-просто. Вярно ли е.

Второ, преди да полетите в космоса, е необходимо да се проучи табло космически кораб. Нека започнем със стойностите на функциите, върху които трябва да щракнете върху машината:

За всяка природна стойност:

1) . Наистина, синусоидата "зашива" оста x през всяко "pi":
. В случай на отрицателни стойности на аргумента, резултатът, разбира се, ще бъде същият: .

2) . Но не всички знаеха това. Косинусът "пи" е еквивалентът на "мигач":

Отрицателният аргумент не променя нещата: .

Може би това е достатъчно.

И трето, скъпи отряд космонавти, трябва да можете да... интегрирам.
По-специално, уверено подведете функцията под диференциалния знак, интегрирайте на парчеи бъди в мир с Формула на Нютон-Лайбниц. Да започнем важните упражнения преди полета. Категорично не препоръчвам да го пропуснете, за да не се смачкате в безтегловност по-късно:

Пример 1

Изчисляване на определени интеграли

където приема природни ценности.

Решение: интегрирането се извършва върху променливата “x” и на този етап дискретната променлива “en” се счита за константа. Във всички интеграли поставете функцията под диференциалния знак:

Кратка версия на решението, към която би било добре да се насочите, изглежда така:

Нека свикнем:

Четирите оставащи точки са за вас. Опитайте се да подходите съвестно към задачата и да напишете интегралите по кратък начин. Примерни решения в края на урока.

След КАЧЕСТВЕНО изпълнение на упражненията обличаме скафандри
и се готви да започнем!

Развиване на функция в ред на Фурие на интервала

Помислете за някаква функция, която определенпоне за определен период от време (и евентуално за по-дълъг период). Ако тази функция е интегрируема на интервала, тогава тя може да бъде разширена в тригонометрична Редица на Фурие:
, където са т.нар Коефициенти на Фурие.

В този случай номерът се обажда период на разлагане, а числото е полуживот на разлагане.

Очевидно е, че в общия случай редът на Фурие се състои от синуси и косинуси:

Наистина, нека го напишем подробно:

Нулевият член на серията обикновено се записва във формата .

Коефициентите на Фурие се изчисляват по следните формули:

Отлично разбирам, че тези, които започват да изучават темата, все още не са наясно с новите термини: период на разлагане, полу-цикъл, Коефициенти на Фуриеи т.н. Не се паникьосвайте, това не е сравнимо с вълнението преди излизане отворено пространство. Нека разберем всичко в следния пример, преди да изпълним, което е логично да зададем някои жизненоважни въпроси: практически въпроси:

Какво трябва да направите в следващите задачи?

Разгънете функцията в ред на Фурие. Освен това често се налага да се изобрази графика на функция, графика на сбор от редица, частична сума, а в случай на сложни професорски фантазии, да се направи нещо друго.

Как да разширим функция в ред на Фурие?

По същество трябва да намерите Коефициенти на Фурие, тоест съставете и изчислете три определен интеграл.

Моля, копирайте общата форма на реда на Фурие и трите работещи формули в тетрадката си. Много се радвам, че някои посетители на сайта сбъдват детската си мечта да станат астронавт точно пред очите ми =)

Пример 2

Разгънете функцията в ред на Фурие на интервала. Построете графика, графика на сумата от редицата и частичната сума.

Решение: Първата част от задачата е да разширим функцията в ред на Фурие.

Началото е стандартно, не забравяйте да запишете, че:

В тази задача периодът на разширение е половин период.

Нека разширим функцията в ред на Фурие на интервала:

Използвайки подходящите формули, намираме Коефициенти на Фурие. Сега трябва да съставим и изчислим три определен интеграл. За удобство ще номерирам точките:

1) Първият интеграл е най-простият, но той също изисква очи:

2) Използвайте втората формула:

Този интеграл е добре известен и той го взема парче по парче:

Използва се при намиране метод за поставяне на функция под диференциалния знак.

В разглежданата задача е по-удобно да се използва незабавно формула за интегриране по части в определен интеграл :

Няколко технически бележки. Първо, след прилагане на формулата целият израз трябва да бъде ограден в големи скоби, тъй като има константа преди първоначалния интеграл. Нека не я губим! Скобите могат да бъдат разширени на всяка следваща стъпка; направих това в краен случай. В първото "парче" Проявяваме изключителна грижа при заместването; както виждате, константата не се използва, а границите на интеграция се заместват в продукта. Това действие е маркирано в квадратни скоби. Е, запознат си с интеграла на второто „парче“ от формулата от тренировъчната задача;-)

И най-важното – максимална концентрация!

3) Търсим третия коефициент на Фурие:

Получава се относителен на предходния интеграл, който също е интегрира на парче:

Този случай е малко по-сложен, ще коментирам следващите стъпки стъпка по стъпка:

(1) Изразът е изцяло ограден в големи скоби. Не исках да изглеждам скучен, те губят константата твърде често.

(2) В този случай веднага отворих тези големи скоби. Специално внимание Ние се посвещаваме на първото „парче“: постоянното пуши отстрани и не участва в подмяната на границите на интеграция (и) в продукта. Поради претрупаността на записа, отново е препоръчително да подчертаете това действие с квадратни скоби. С второто "парче" всичко е по-просто: тук фракцията се появи след отваряне на големи скоби, а константата - в резултат на интегриране на познатия интеграл;-)

(3) Извършваме трансформации в квадратни скоби, а в десния интеграл заместваме границите на интегриране.

(4) Извадете „мигащата светлина“ от квадратни скоби: , след което отваряме вътрешните скоби: .

(5) Отменяме 1 и –1 в скоби и правим последни опростявания.

Накрая се намират и трите коефициента на Фурие:

Нека ги заместим във формулата :

В същото време не забравяйте да разделите наполовина. На последна стъпкаконстанта („минус две“), която не зависи от „en“, се премества извън сумата.

Така получихме разлагането на функцията в ред на Фурие на интервала:

Нека проучим въпроса за сходимостта на реда на Фурие. Ще обясня по-специално теорията Теорема на Дирихле, буквално "на пръсти", така че ако имате нужда от строги формулировки, моля, вижте учебника по математически анализ (например 2-ри том на Бохан; или 3-ти том на Фихтенхолц, но е по-трудно).

Втората част на задачата изисква да се начертае графика, графика на сумата от редица и графика на частична сума.

Графиката на функцията е обичайната права линия в равнина, който е начертан с черна пунктирана линия:

Нека намерим сбора на серията. Както знаете, функционалните серии се събират във функции. В нашия случай конструираният ред на Фурие за всяка стойност на "x"ще се сближи с функцията, която е показана в червено. Тази функция толерира разкъсвания от 1-ви видв точки, но също така е дефиниран в тях (червени точки на чертежа)

По този начин: . Лесно се вижда, че тя е забележимо различна от оригиналната функция, поради което в записа Използва се тилда вместо знак за равенство.

Нека да изучим алгоритъм, който е удобен за конструиране на сумата от редица.

В централния интервал редът на Фурие се сближава към самата функция (централният червен сегмент съвпада с черната пунктирана линия на линейната функция).

Сега нека поговорим малко за природата на разглежданото тригонометрично разширение. Редица на Фурие включва само периодични функции (константа, синуси и косинуси), така че сумата от серията също е периодична функция.

Какво означава това в нашия конкретен пример? А това означава, че сумата от серията –задължително периодичнои червеният сегмент от интервала трябва да се повтаря безкрайно отляво и отдясно.

Мисля, че значението на фразата „период на разлагане“ сега най-накрая стана ясно. Казано по-просто, всеки път ситуацията се повтаря отново и отново.

На практика обикновено е достатъчно да се изобразят три периода на разлагане, както е направено на чертежа. Е, и също „пънове“ на съседни периоди - така че да е ясно, че графиката продължава.

Особен интерес представляват точки на прекъсване от 1-ви род. В такива точки редът на Фурие се сближава до изолирани стойности, които се намират точно в средата на „скока“ на прекъсването (червени точки на чертежа). Как да намерим ординатата на тези точки? Първо, нека намерим ординатата на „горния етаж“: за да направим това, изчисляваме стойността на функцията в най-дясната точка на централния период на разширението: . За да изчислите ординатата на „долния етаж“, най-лесният начин е да вземете най-лявата стойност за същия период: . Ординатата на средната е средната аритметична сума"отгоре и отдолу": . Приятен факт е, че при конструирането на чертеж веднага ще видите дали средата е изчислена правилно или неправилно.

Нека да изградим частична сума от серията и в същото време да повторим значението на термина "конвергенция". Мотивът е известен и от урока за сбор от числова серия. Нека опишем подробно нашето богатство:

За да съставите частична сума, трябва да напишете нула + още два члена от редицата. Това е,

На чертежа е показана графиката на функцията зелено, и както виждате доста плътно „увива“ цялата сума. Ако разгледаме частична сума от пет члена на серията, тогава графиката на тази функция ще апроксимира червените линии още по-точно, ако има сто термина, тогава „зелената змия“ всъщност ще се слее напълно с червените сегменти, и т.н. Така редът на Фурие се сближава към сбора си.

Интересно е да се отбележи, че всяка частична сума е непрекъсната функция, обаче, общата сума на серията все още е прекъсната.

На практика не е толкова рядко да се построи графика на частична сума. Как да го направим? В нашия случай е необходимо да се разгледа функцията на сегмента, да се изчислят нейните стойности в краищата на сегмента и в междинните точки (колкото повече точки смятате, толкова по-точна ще бъде графиката). След това трябва да маркирате тези точки на чертежа и внимателно да начертаете графика върху периода и след това да го „копирате“ в съседни интервали. Как иначе? В края на краищата, приближението също е периодична функция... ...по някакъв начин нейната графика ми напомня за равномерен сърдечен ритъм на дисплея на медицинско устройство.

Извършването на конструкцията, разбира се, не е много удобно, тъй като трябва да бъдете изключително внимателни, като поддържате точност не по-малка от половин милиметър. Въпреки това ще зарадвам читателите, които не се чувстват комфортно с чертането - в "истински" проблем не винаги е необходимо да се извърши чертеж, в около 50% от случаите е необходимо функцията да се разшири в ред на Фурие и това е всичко .

След като завършим чертежа, изпълняваме задачата:

Отговор:

При много задачи функцията страда разкъсване от 1-ви видточно по време на периода на разлагане:

Пример 3

Разгънете функцията, дадена на интервала, в ред на Фурие. Начертайте графика на функцията и общата сума на редицата.

Предложената функция е специфицирана на части (и, забележете, само на сегмента)и издържа разкъсване от 1-ви видв точка . Възможно ли е да се изчислят коефициентите на Фурие? Няма проблем. Както лявата, така и дясната страна на функцията са интегрируеми на своите интервали, следователно интегралите във всяка от трите формули трябва да бъдат представени като сбор от два интеграла. Да видим например как се прави това за нулев коефициент:

Вторият интеграл се оказа равен на нула, което намали работата, но това не винаги е така.

Другите два коефициента на Фурие са описани по подобен начин.

Как да покажа сумата на серия? На левия интервал начертаваме прав сегмент, а на интервала - прав сегмент (маркираме участъка на оста с удебелен и удебелен шрифт). Тоест, в интервала на разширение сумата от серията съвпада с функцията навсякъде, с изключение на три „лоши“ точки. В точката на прекъсване на функцията редът на Фурие ще се сближи до изолирана стойност, която се намира точно в средата на „скока“ на прекъсването. Не е трудно да го видите устно: лява граница: , дясна граница: и, очевидно, ординатата на средната точка е 0,5.

Поради периодичността на сумата, картината трябва да бъде „умножена“ в съседни периоди, по-специално, едно и също нещо трябва да бъде изобразено на интервалите и . В същото време в точки редовете на Фурие ще се сближат със средните стойности.

Всъщност тук няма нищо ново.

Опитайте се сами да се справите с тази задача. Приблизителна пробафинален дизайн и чертеж в края на урока.

Развиване на функция в ред на Фурие за произволен период

За произволен период на разширение, където "el" е всяко положително число, формулите за редовете на Фурие и коефициентите на Фурие се отличават с малко по-сложен аргумент за синус и косинус:

Ако , тогава получаваме интервалните формули, с които започнахме.

Алгоритъмът и принципите за решаване на проблема са напълно запазени, но техническата сложност на изчисленията се увеличава:

Пример 4

Разгънете функцията в ред на Фурие и начертайте сумата.

Решение: всъщност аналог на Пример № 3 с разкъсване от 1-ви видв точка . В тази задача периодът на разширение е половин период. Функцията е дефинирана само на полуинтервала, но това не променя нещата - важно е и двете части на функцията да са интегрируеми.

Нека разширим функцията в ред на Фурие:

Тъй като функцията е прекъсната в началото, всеки коефициент на Фурие очевидно трябва да бъде записан като сбор от два интеграла:

1) Ще напиша първия интеграл възможно най-подробно:

2) Внимателно разглеждаме повърхността на Луната:

Втори интеграл вземете го парче по парче:

На какво трябва да обърнем специално внимание, след като отворим продължението на решението със звездичка?

Първо, ние не губим първия интеграл , където незабавно изпълняваме подписване на диференциалния знак. Второ, не забравяйте злополучната константа преди големите скоби и не се обърквайте от знацитепри използване на формула . Големите скоби са все още по-удобни за отваряне веднага в следващата стъпка.

Останалото е въпрос на техника, трудности могат да бъдат причинени само от недостатъчен опит в решаването на интеграли.

Да, не напразно видните колеги на френския математик Фурие се възмущаваха - как се е осмелил да подрежда функции в тригонометрични редове?! =) Между другото сигурно всеки се интересува от практическия смисъл на въпросната задача. Самият Фурие работи върху математически моделтоплопроводимост, а впоследствие наречената на него серия започва да се използва за изследване на много периодични процеси, които са видими и невидими в околния свят. Сега, между другото, се хванах на мисълта, че не случайно сравних графиката на втория пример с периодичния ритъм на сърцето. Желаещите могат да се запознаят с практическо приложение Преобразуване на Фуриев източници на трети страни. ...Въпреки че е по-добре да не го правите - ще бъде запомнено като първа любов =)

3) Като вземем предвид многократно споменаваните слаби връзки, нека разгледаме третия коефициент:

Нека интегрираме по части:

Нека заместим намерените коефициенти на Фурие във формулата , като не забравяме да разделим нулевия коефициент наполовина:

Нека да начертаем сбора на серията. Нека накратко повторим процедурата: построяваме права линия върху интервал и права линия върху интервал. Ако стойността на „x“ е нула, поставяме точка в средата на „скока“ на празнината и „репликираме“ графиката за съседни периоди:


В „кръстовищата“ на периодите сумата също ще бъде равна на средните точки на „скока“ на празнината.

Готов. Нека ви напомня, че самата функция е по условие дефинирана само на полуинтервал и, очевидно, съвпада със сумата на реда на интервалите

Отговор:

Понякога дадена на части функция е непрекъсната през периода на разширение. Най-простият пример: . Решение (вижте том 2 на Бохан)същото като в предишните два примера: въпреки непрекъснатост на функциятав точка , всеки коефициент на Фурие се изразява като сбор от два интеграла.

На интервала на разлагане точки на прекъсване от 1-ви роди/или може да има повече „свързващи“ точки на графиката (две, три и обикновено всякакви финалколичество). Ако една функция е интегрируема на всяка част, тогава тя също е разширима в ред на Фурие. Но от практически опит не помня такова жестоко нещо. Има обаче по-трудни задачи от току-що разгледаните, а в края на статията има връзки към редове на Фурие с повишена сложност за всеки.

Междувременно нека се отпуснем, облегнем се на столовете си и съзерцаваме безкрайните простори от звезди:

Пример 5

Разгънете функцията в ред на Фурие на интервала и начертайте сумата на реда.

В този проблем функцията непрекъснатовърху полуинтервала на разширение, което опростява решението. Всичко е много подобно на Пример №2. Няма бягство от космическия кораб - ще трябва да решите =) Приблизителна проба на дизайн в края на урока, приложен е график.

Разгъване в ред на Фурие на четни и нечетни функции

С дори и странни функциипроцесът на решаване на проблема е значително опростен. И ето защо. Нека се върнем към разширяването на функция в ред на Фурие с период от "две пи" и произволна точка „две ел“ .

Да приемем, че нашата функция е четна. Общият член на серията, както можете да видите, съдържа четни косинуси и нечетни синуси. И ако разширяваме функция EVEN, тогава защо имаме нужда от нечетни синуси?! Нека нулираме ненужния коефициент: .

По този начин, четна функция може да се разложи в ред на Фурие само по косинуси:

Тъй като интеграли на четни функциипо протежение на интеграционен сегмент, който е симетричен по отношение на нулата, може да се удвои, тогава останалите коефициенти на Фурие се опростяват.

За празнината:

За произволен интервал:

Примерите от учебници, които могат да бъдат намерени в почти всеки учебник по математически анализ, включват разширения дори функции . В допълнение, те са били срещани няколко пъти в моята лична практика:

Пример 6

Функцията е дадена. Задължително:

1) разгънете функцията в ред на Фурие с период , където е произволно положително число;

2) запишете разширението на интервала, конструирайте функция и начертайте общата сума на серията.

Решение: в първия параграф се предлага да се реши проблемът в общ изглед, и е много удобно! Ако възникне необходимост, просто заменете вашата стойност.

1) В тази задача периодът на разширение е половин период. По време на по-нататъшни действия, по-специално по време на интегриране, "el" се счита за константа

Функцията е четна, което означава, че може да бъде разширена в ред на Фурие само по косинуси: .

Търсим коефициенти на Фурие с помощта на формулите . Обърнете внимание на техните безусловни предимства. Първо, интеграцията се извършва върху положителния сегмент на разширението, което означава, че безопасно се отърваваме от модула , като се има предвид само „X“ на двете части. И второ, интеграцията е значително опростена.

две:

Нека интегрираме по части:

По този начин:
, докато константата , която не зависи от „en“, се взема извън сумата.

Отговор:

2) Нека запишем разширението на интервала, заместваме необходимата стойност на полупериода в общата формула:

В много случаи задачата за получаване (изчисляване) на спектъра на сигнала изглежда така. Има ADC, който с честота на дискретизация Fd преобразува непрекъснат сигнал, пристигащ на входа му през време T, в цифрови проби - N части. След това масивът от проби се подава в определена програма, която произвежда N/2 от някои числови стойности (програмистът, който откраднат от интернетнаписа програма, уверява, че прави трансформацията на Фурие).

За да проверим дали програмата работи правилно, ще формираме масив от проби като сумата от две синусоиди sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) и ще го плъзнем в програмата . Програмата привлече следното:

Фиг.1 Графика на функцията време на сигнала

Фиг.2 Графика на спектъра на сигнала

На графиката на спектъра има две пръчици (хармоници) 5 Hz с амплитуда 0,5 V и 10 Hz с амплитуда 1 V, всичко е същото като във формулата на оригиналния сигнал. Всичко е наред, браво програмист! Програмата работи коректно.

Това означава, че ако приложим реален сигнал от смес от две синусоиди към входа на ADC, ще получим подобен спектър, състоящ се от два хармоника.

Общо, нашите истинскиизмерен сигнал, с продължителност 5 секунди, дигитализиран от ADC, тоест представен отделенброи, има дискретни непериодичнидиапазон.

От математическа гледна точка, колко грешки има в тази фраза, сега властите решиха, че 5 секунди са твърде дълги, нека измерим сигнала за 0,5 секунди?
Фиг.3 Графика на функцията sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) за период на измерване от 0.5 сек.

Фиг.4 Функционален спектър

Нещо не изглежда както трябва! 10 Hz хармоник се рисува нормално, но вместо 5 Hz стик се появяват няколко странни хармоника. Гледаме в интернет, за да видим какво става...

Е, казват, че трябва да добавите нули в края на извадката и спектърът ще бъде изчертан както обикновено.

Фиг.5 Добавени нули до 5 секунди

Фиг.6 Получен спектър

Все още не е същото, както беше на 5 секунди. Ще трябва да се справим с теорията. Хайде да отидем до Уикипедия- източник на знания.

2. Непрекъсната функция и нейното представяне в ред на Фурие

Математически, нашият сигнал с продължителност T секунди е определена функция f(x), определена на интервала (0, T) (X в този случай е време). Такава функция винаги може да бъде представена като сума от хармонични функции (синус или косинус) от формата:

(1), където:

k - номер на тригонометричната функция (номер на хармоничния компонент, хармоничен номер) T - сегмент, където е дефинирана функцията (продължителност на сигнала) Ak - амплитуда на k-тия хармоничен компонент, θk - начална фаза на k-тия хармоник компонент

Какво означава „представяне на функция като сбор от редица“? Това означава, че като добавим стойностите на хармоничните компоненти на реда на Фурие във всяка точка, получаваме стойността на нашата функция в тази точка.

(По-стриктно, средноквадратичното отклонение на реда от функцията f(x) ще клони към нула, но въпреки средноквадратичното сближаване, редът на Фурие на функция, най-общо казано, не се изисква да се сближават по точка с него. Вижте https://ru.wikipedia.org/wiki/Fourier_Series.)

Тази серия може да бъде написана и като:

(2), където , k-ти комплексамплитуда.

Връзката между коефициенти (1) и (3) се изразява със следните формули:

Имайте предвид, че всички тези три представяния на реда на Фурие са напълно еквивалентни. Понякога, когато работите с редове на Фурие, е по-удобно да използвате експоненти на въображаемия аргумент вместо синуси и косинуси, тоест да използвате преобразуването на Фурие в сложна форма. Но за нас е удобно да използваме формула (1), където редът на Фурие е представен като сума от косинуси със съответните амплитуди и фази. Във всеки случай е неправилно да се каже, че трансформацията на Фурие на реален сигнал ще доведе до сложни хармонични амплитуди. Както Wiki правилно заявява, „Преобразуването на Фурие (ℱ) е операция, която свързва една функция на реална променлива с друга функция, също реална променлива.“

Обща сума:Математическа основа спектрален анализсигнали е преобразуването на Фурие.

Преобразуването на Фурие ни позволява да представим непрекъсната функция f(x) (сигнал), определен на интервала (0, T) като сума безкрайно число(безкрайни серии) тригонометрични функции(синус и/или косинус) с определени амплитуди и фази, също разглеждани на сегмента (0, T). Такъв ред се нарича ред на Фурие.

Нека отбележим още няколко точки, разбирането на които е необходимо правилно приложениеТрансформации на Фурие за анализ на сигнала. Ако разгледаме реда на Фурие (сумата от синусоидите) по цялата X-ос, можем да видим, че извън сегмента (0, T) функцията, представена от реда на Фурие, периодично ще повтаря нашата функция.

Например в графиката на Фиг. 7 оригиналната функция е дефинирана върху сегмента (-T\2, +T\2), а редът на Фурие представлява периодична функция, дефинирана върху цялата ос x.

Това се случва, защото самите синусоиди са периодични функции и съответно тяхната сума ще бъде периодична функция.

Фиг.7 Представяне на непериодична оригинална функция чрез ред на Фурие

По този начин:

Нашата начална функция е непрекъсната, непериодична, определена на определен сегмент с дължина T. Спектърът на тази функция е дискретен, т.е. представен под формата на безкрайна поредица от хармонични компоненти - редът на Фурие. Всъщност редът на Фурие определя определена периодична функция, която съвпада с нашата на отсечката (0, T), но за нас тази периодичност не е значима.

Периодите на хармоничните компоненти са кратни на стойността на сегмента (0, T), върху който е дефинирана оригиналната функция f(x). С други думи, хармоничните периоди са кратни на продължителността на измерването на сигнала. Например, периодът на първия хармоник от реда на Фурие е равен на интервала T, на който е дефинирана функцията f(x). Периодът на втория хармоник от реда на Фурие е равен на интервала T/2. И така нататък (виж фиг. 8).

Фиг.8 Периоди (честоти) на хармоничните компоненти на реда на Фурие (тук T = 2π)

Съответно, честотите на хармоничните компоненти са кратни на 1/T. Тоест, честотите на хармоничните компоненти Fk са равни на Fk= k\T, където k варира от 0 до ∞, например k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (при нулева честота - постоянен компонент).

Нека оригиналната ни функция е сигнал, записан по време на T=1 сек. Тогава периодът на първия хармоник ще бъде равен на продължителността на нашия сигнал T1=T=1 сек и честотата на хармоника ще бъде 1 Hz. Периодът на втория хармоник ще бъде равен на продължителността на сигнала, разделена на 2 (T2=T/2=0,5 сек), а честотата ще бъде 2 Hz. За третия хармоник T3=T/3 sec и честотата е 3 Hz. И така нататък.

Стъпката между хармониците в този случай е 1 Hz.

Така сигнал с продължителност 1 секунда може да бъде разложен на хармонични компоненти (получаване на спектър) с честотна разделителна способност 1 Hz. За да увеличите разделителната способност 2 пъти до 0,5 Hz, трябва да увеличите продължителността на измерването 2 пъти - до 2 секунди. Сигнал с продължителност 10 секунди може да бъде разложен на хармонични компоненти (за получаване на спектър) с честотна разделителна способност 0,1 Hz. Няма други начини за увеличаване на честотната разделителна способност.

Има начин за изкуствено увеличаване на продължителността на сигнала чрез добавяне на нули към масива от проби. Но това не увеличава действителната честотна разделителна способност.

3. Дискретни сигнали и дискретно преобразуване на Фурие

С развитието на цифровите технологии се промениха и методите за съхраняване на измервателни данни (сигнали). Ако по-рано сигнал можеше да бъде записан на магнетофон и съхранен на лента в аналогова форма, сега сигналите се дигитализират и се съхраняват във файлове в паметта на компютъра като набор от числа (проби).

Обичайната схема за измерване и цифровизиране на сигнал е следната.

Фиг.9 Схема на измервателния канал

Сигналът от измервателния преобразувател пристига в ADC за период от време T. Извадките от сигнала (проби), получени за времето T, се предават на компютъра и се съхраняват в паметта.

Фиг. 10 Цифров сигнал - N проби, получени през време T

Какви са изискванията за параметрите за цифровизация на сигнала? Устройство, което преобразува входен аналогов сигнал в дискретен код (цифров сигнал), се нарича аналогово-цифров преобразувател (ADC) (Wiki).

Един от основните параметри на ADC е максимална честотачестота на дискретизация (или честота на дискретизация, английска честота на дискретизация) - честотата на дискретизация на непрекъснат сигнал по време на нейното дискретизиране. Измерва се в херци. ((Wiki))

Според теоремата на Котелников, ако непрекъснатият сигнал има спектър, ограничен от честотата Fmax, тогава той може да бъде напълно и недвусмислено реконструиран от неговите дискретни проби, взети на интервали от време , т.е. с честота Fd ≥ 2*Fmax, където Fd е честотата на дискретизация; Fmax - максимална честота на спектъра на сигнала. С други думи, честотата на цифровизация на сигнала (честотата на дискретизация на ADC) трябва да бъде поне 2 пъти по-висока от максималната честота на сигнала, който искаме да измерим.

Какво ще се случи, ако вземем проби с по-ниска честота от изискваната от теоремата на Котелников?

В този случай възниква ефектът на „алиасинг“ (известен още като стробоскопичен ефект, ефект на моаре), при който високочестотен сигнал след дигитализиране се превръща в нискочестотен сигнал, който всъщност не съществува. На фиг. 11 червената високочестотна синусоида е реален сигнал. Син синусоид с по-ниска честота е фиктивен сигнал, който възниква поради факта, че по време на времето за вземане на проби има време да премине повече от половината период от високочестотния сигнал.

Ориз. 11. Появата на фалшив нискочестотен сигнал при недостатъчно висока честота на дискретизация

За да се избегне ефектът на алиасинг, пред ADC се поставя специален филтър против алиасинг - нискочестотен филтър (LPF), който пропуска честоти под половината от честотата на дискретизация на ADC и отрязва по-високите честоти.

За да се изчисли спектърът на сигнал от неговите дискретни проби, се използва дискретното преобразуване на Фурие (DFT). Нека отбележим още веднъж, че спектърът на дискретния сигнал "по дефиниция" е ограничен от честотата Fmax, която е по-малка от половината от честотата на дискретизация Fd. Следователно спектърът на дискретния сигнал може да бъде представен чрез сумата от краен брой хармоници, за разлика от безкрайна сумаза реда на Фурие на непрекъснат сигнал, чийто спектър може да бъде неограничен. Според теоремата на Котелников максималната честота на хармоника трябва да бъде такава, че да отговаря на поне две проби, следователно броят на хармониците е равен на половината от броя на проби на дискретен сигнал. Тоест, ако има N проби в пробата, тогава броят на хармониците в спектъра ще бъде равен на N/2.

Нека сега разгледаме дискретното преобразуване на Фурие (DFT).

Сравнение с редове на Фурие

виждаме, че те съвпадат, с изключение на това, че времето в DFT е дискретно по природа и броят на хармониците е ограничен от N/2 - половината от броя на пробите.

DFT формулите се записват в безразмерни цели променливи k, s, където k са броят на сигналните проби, s е броят на спектралните компоненти. Стойността s показва броя на пълните хармонични трептения за период T (продължителност на измерване на сигнала). Дискретното преобразуване на Фурие се използва за намиране на амплитудите и фазите на хармониците с помощта на числен метод, т.е. "на компютъра"

Връщайки се към резултатите, получени в началото. Както бе споменато по-горе, при разширяване на непериодична функция (нашият сигнал) в ред на Фурие, полученият ред на Фурие всъщност съответства на периодична функция с период T (фиг. 12).

Фиг. 12 Периодична функция f(x) с период T0, с период на измерване T>T0

Както може да се види на фиг. 12, функцията f(x) е периодична с период T0. Въпреки това, поради факта, че продължителността на измервателната проба T не съвпада с периода на функцията T0, функцията, получена като серия на Фурие, има прекъсване в точка T. В резултат на това спектърът на тази функция ще съдържа голям бройвисокочестотни хармоници. Ако продължителността на измервателната проба T съвпадна с периода на функцията T0, тогава спектърът, получен след преобразуването на Фурие, ще съдържа само първия хармоник (синусоида с период, равен на продължителността на семплирането), тъй като функцията f(x) е синусоида.

С други думи, DFT програмата „не знае“, че нашият сигнал е „част от синусоида“, но се опитва да представи периодична функция под формата на серия, която има прекъсване поради несъответствието на отделни части от синусоида.

В резултат на това в спектъра се появяват хармоници, които трябва да обобщават формата на функцията, включително тази прекъсваемост.

По този начин, за да се получи "правилният" спектър на сигнал, който е сумата от няколко синусоиди с различни периоди, е необходимо периодът на измерване на сигнала да съдържа цяло число периоди на всяка синусоида. На практика това условие може да бъде изпълнено при достатъчно голяма продължителност на измерване на сигнала.

Фиг. 13 Пример за функция и спектър на сигнала за кинематична грешка на скоростната кутия

При по-кратка продължителност картината ще изглежда „по-лоша“:

Фиг. 14 Пример за функция и спектър на вибрационен сигнал на ротор

На практика може да бъде трудно да се разбере къде са „реалните компоненти“ и къде са „артефактите“, причинени от не-множествените периоди на компонентите и продължителността на семплирането на сигнала или „скокове и прекъсвания“ във формата на сигнала . Разбира се, думите „реални компоненти“ и „артефакти“ са поставени в кавички с причина. Наличието на много хармоници на спектралната графика не означава, че нашият сигнал всъщност се „състои” от тях. Това е същото като да мислите, че числото 7 се „състои” от числата 3 и 4. Числото 7 може да бъде представено като сбор от числата 3 и 4 – това е правилно.

Така че нашият сигнал... или по-скоро дори не „нашият сигнал“, а периодична функция, съставена от повтаряне на нашия сигнал (семплиране), може да бъде представена като сума от хармоници (синусоиди) с определени амплитуди и фази. Но в много случаи, които са важни за практиката (вижте фигурите по-горе), наистина е възможно хармониците, получени в спектъра, да се свържат с реални процеси, които са циклични по природа и имат значителен принос за формата на сигнала.

Някои резултати

1. Реално измерен сигнал с продължителност T секунди, цифровизиран от ADC, т.е. представен от набор от дискретни проби (N части), има дискретен непериодичен спектър, представен от набор от хармоници (N/ 2 части).

2. Сигналът е представен от набор от реални стойности и неговият спектър е представен от набор от реални стойности. Хармоничните честоти са положителни. Фактът, че за математиците е по-удобно да представят спектъра в сложна форма, използвайки отрицателни честоти, не означава, че „това е правилно“ и „това винаги трябва да се прави“.

3. Сигнал, измерен за интервал от време T, се определя само за интервал от време T. Какво се е случило преди да започнем да измерваме сигнала и какво ще се случи след това, е неизвестно на науката. А в нашия случай не е интересно. DFT на ограничен във времето сигнал дава неговия "истински" спектър, в смисъл, че при определени условия позволява да се изчисли амплитудата и честотата на неговите компоненти.

Използвани материали и други полезни материали.

FourierScope е програма за конструиране на радиосигнали и техния спектрален анализ. Graph е програма с отворен код, предназначена за създаване на математически графики. ДИСКРЕТНА ТРАНСФОРМАЦИЯ НА ФУРИЕ - КАК СЕ ПРАВИ Дискретна трансформация на Фурие (DFT)

Глава 10 описва приложението на редовете на Фурие за изследване на еластичните вибрации на струна. В тази глава ще разгледаме някои въпроси на еластичното огъване на греди.

Използване на редове на Фурие за решаване на проблеми със статиката еластични теласе извършва по следната схема.

На първо място, от физически съображения се извежда връзка, която свързва функцията, която описва геометричното състояние на деформираното тяло с натоварванията, приложени към тялото. Това отношение, най-общо казано, съдържа освен самата държавна функция и нейни производни, както и някои интегрални характеристики.

След това въз основа на геометричните очертания на тялото и кинематичните условия, ограничаващи движенията му, се избира ортогонална система от функции, според която зададената функция на състоянието се разгръща в ред на Фурие.

Заместването на този ред на Фурие в получената връзка води до идентичното равенство на двата реда на Фурие, от което, използвайки теорема 2 от раздел 14 на глава 9, можем да продължим към равенството на коефициентите за еднакви функции. От тези последни равенства е възможно да се изчислят стойностите на коефициентите на Фурие и по този начин да се опише състоянието на деформираното тяло.

Този процес на заместване на редовете на Фурие във връзката, характеризираща огъването, трябва да се извърши много внимателно, тъй като по време на него е необходимо да се диференцират редовете на Фурие няколко пъти член по член, чиито коефициенти се изчисляват едва впоследствие. Проверете валидността на това диференциране, т.е. (вижте § 10 от глава 5) равномерната конвергенция на съставената серия

от производните на диференцируемата серия е априори доста трудно. Следователно, когато решаваме всеки конкретен проблем, ще разсъждаваме приблизително по следния начин.

Първо, ще приемем, че редовете на Фурие, записани с все още неизвестни коефициенти, могат (в смисъла на теоремата от § 10 от глава 5) да бъдат диференцирани член по член необходимия брой пъти. Като изпишем производните и решим получените уравнения, ще намерим коефициентите на Фурие, които ни интересуват. Това ще означава, че ако редовете на Фурие могат да бъдат диференцирани член по член (и освен това толкова пъти, колкото е необходимо), тогава това е напълно определен ред, който намерихме. Ако сега от изследването на получените коефициенти стане ясно, че тази конструирана, добре дефинирана серия наистина е диференцируема термин по член, тогава всички операции, действително извършени върху тази серия, са законни и намерените коефициенти на Фурие са търсените. Ако се окаже, че резултатът е недиференцируема серия, това означава, че извършените преди това действия с нея са били математически неправилни и полученият на тяхна база резултат е необоснован, макар и може би правилен. След това ще разгледаме примери и за двата вида резултати.

В много случаи задачата за получаване (изчисляване) на спектъра на сигнала изглежда така. Има ADC, който с честота на дискретизация Fd преобразува непрекъснат сигнал, пристигащ на входа му през време T, в цифрови проби - N части. След това масивът от проби се подава в определена програма, която произвежда N/2 от някои числови стойности (програмистът, който откраднат от интернетнаписа програма, уверява, че прави трансформацията на Фурие).

За да проверим дали програмата работи правилно, ще формираме масив от проби като сумата от две синусоиди sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) и ще го плъзнем в програмата . Програмата привлече следното:

Фиг.1 Графика на функцията време на сигнала

Фиг.2 Графика на спектъра на сигнала

На графиката на спектъра има две пръчици (хармоници) 5 Hz с амплитуда 0,5 V и 10 Hz с амплитуда 1 V, всичко е същото като във формулата на оригиналния сигнал. Всичко е наред, браво програмист! Програмата работи коректно.

Това означава, че ако приложим реален сигнал от смес от две синусоиди към входа на ADC, ще получим подобен спектър, състоящ се от два хармоника.

Общо, нашите истинскиизмерен сигнал, с продължителност 5 секунди, дигитализиран от ADC, тоест представен отделенброи, има дискретни непериодичнидиапазон.

От математическа гледна точка колко грешки има в тази фраза?

Сега властите решиха, решихме, че 5 секунди са много, нека измерим сигнала за 0,5 секунди.



Фиг.3 Графика на функцията sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) за период на измерване от 0.5 сек.

Фиг.4 Функционален спектър

Нещо не изглежда както трябва! 10 Hz хармоник се рисува нормално, но вместо 5 Hz стик се появяват няколко странни хармоника. Гледаме в интернет, за да видим какво става...

Е, казват, че трябва да добавите нули в края на извадката и спектърът ще бъде изчертан както обикновено.

Фиг.5 Добавени нули до 5 секунди

Фиг.6 Получен спектър

Все още не е същото, както беше на 5 секунди. Ще трябва да се справим с теорията. Хайде да отидем до Уикипедия- източник на знания.

2. Непрекъсната функция и нейното представяне в ред на Фурие

Математически, нашият сигнал с продължителност T секунди е определена функция f(x), определена на интервала (0, T) (X в този случай е време). Такава функция винаги може да бъде представена като сума от хармонични функции (синус или косинус) от формата:

(1), където:

K - номер на тригонометрична функция (номер на хармоничен компонент, номер на хармоника)
T - сегмент, където е дефинирана функцията (продължителност на сигнала)
Ak е амплитудата на k-тия хармоничен компонент,
θk- начална фаза на k-та хармонична компонента

Какво означава „представяне на функция като сбор от редица“? Това означава, че като добавим стойностите на хармоничните компоненти на реда на Фурие във всяка точка, получаваме стойността на нашата функция в тази точка.

(По-стриктно, средноквадратичното отклонение на реда от функцията f(x) ще клони към нула, но въпреки средноквадратичното сближаване, редът на Фурие на функция, най-общо казано, не се изисква да се сближават по точка с него. Вижте https://ru.wikipedia.org/wiki/Fourier_Series.)

Тази серия може да бъде написана и като:

(2),
където , k-та комплексна амплитуда.

Връзката между коефициенти (1) и (3) се изразява със следните формули:

Имайте предвид, че всички тези три представяния на реда на Фурие са напълно еквивалентни. Понякога, когато работите с редове на Фурие, е по-удобно да използвате експоненти на въображаемия аргумент вместо синуси и косинуси, тоест да използвате преобразуването на Фурие в сложна форма. Но за нас е удобно да използваме формула (1), където редът на Фурие е представен като сума от косинуси със съответните амплитуди и фази. Във всеки случай е неправилно да се каже, че трансформацията на Фурие на реален сигнал ще доведе до сложни хармонични амплитуди. Както Wiki правилно заявява, „Преобразуването на Фурие (ℱ) е операция, която свързва една функция на реална променлива с друга функция, също реална променлива.“

Обща сума:
Математическата основа за спектралния анализ на сигналите е преобразуването на Фурие.

Преобразуването на Фурие ви позволява да представите непрекъсната функция f(x) (сигнал), дефинирана на сегмента (0, T) като сума от безкраен брой (безкрайни серии) от тригонометрични функции (синус и/или косинус) с определени амплитуди и фази, също разгледани на сегмента (0, T). Такъв ред се нарича ред на Фурие.

Нека да отбележим още няколко точки, чието разбиране е необходимо за правилното прилагане на преобразуването на Фурие за анализ на сигнала. Ако разгледаме реда на Фурие (сумата от синусоидите) по цялата X-ос, можем да видим, че извън сегмента (0, T) функцията, представена от реда на Фурие, периодично ще повтаря нашата функция.

Например в графиката на Фиг. 7 оригиналната функция е дефинирана върху сегмента (-T\2, +T\2), а редът на Фурие представлява периодична функция, дефинирана върху цялата ос x.

Това се случва, защото самите синусоиди са периодични функции и съответно тяхната сума ще бъде периодична функция.

Фиг.7 Представяне на непериодична оригинална функция чрез ред на Фурие

По този начин:

Нашата първоначална функция е непрекъсната, непериодична, дефинирана на определен сегмент с дължина T.
Спектърът на тази функция е дискретен, т.е. представен е под формата на безкрайна серия от хармонични компоненти - редът на Фурие.
Всъщност редът на Фурие определя определена периодична функция, която съвпада с нашата на отсечката (0, T), но за нас тази периодичност не е значима.

Периодите на хармоничните компоненти са кратни на стойността на сегмента (0, T), върху който е дефинирана оригиналната функция f(x). С други думи, хармоничните периоди са кратни на продължителността на измерването на сигнала. Например, периодът на първия хармоник от реда на Фурие е равен на интервала T, на който е дефинирана функцията f(x). Периодът на втория хармоник от реда на Фурие е равен на интервала T/2. И така нататък (виж фиг. 8).

Фиг.8 Периоди (честоти) на хармоничните компоненти на реда на Фурие (тук T = 2π)

Съответно, честотите на хармоничните компоненти са кратни на 1/T. Тоест, честотите на хармоничните компоненти Fk са равни на Fk= k\T, където k варира от 0 до ∞, например k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (при нулева честота - постоянен компонент).

Нека оригиналната ни функция е сигнал, записан по време на T=1 сек. Тогава периодът на първия хармоник ще бъде равен на продължителността на нашия сигнал T1=T=1 сек и честотата на хармоника ще бъде 1 Hz. Периодът на втория хармоник ще бъде равен на продължителността на сигнала, разделена на 2 (T2=T/2=0,5 сек), а честотата ще бъде 2 Hz. За третия хармоник T3=T/3 sec и честотата е 3 Hz. И така нататък.

Стъпката между хармониците в този случай е 1 Hz.

Така сигнал с продължителност 1 секунда може да бъде разложен на хармонични компоненти (получаване на спектър) с честотна разделителна способност 1 Hz.
За да увеличите разделителната способност 2 пъти до 0,5 Hz, трябва да увеличите продължителността на измерването 2 пъти - до 2 секунди. Сигнал с продължителност 10 секунди може да бъде разложен на хармонични компоненти (за получаване на спектър) с честотна разделителна способност 0,1 Hz. Няма други начини за увеличаване на честотната разделителна способност.

Има начин за изкуствено увеличаване на продължителността на сигнала чрез добавяне на нули към масива от проби. Но това не увеличава действителната честотна разделителна способност.

3. Дискретни сигнали и дискретно преобразуване на Фурие

С развитието на цифровите технологии се промениха и методите за съхраняване на измервателни данни (сигнали). Ако по-рано сигнал можеше да бъде записан на магнетофон и съхранен на лента в аналогова форма, сега сигналите се дигитализират и се съхраняват във файлове в паметта на компютъра като набор от числа (проби).

Обичайната схема за измерване и цифровизиране на сигнал е следната.

Фиг.9 Схема на измервателния канал

Сигналът от измервателния преобразувател пристига в ADC за период от време T. Извадките от сигнала (проби), получени за времето T, се предават на компютъра и се съхраняват в паметта.

Фиг. 10 Цифров сигнал - N проби, получени през време T

Какви са изискванията за параметрите за цифровизация на сигнала? Устройство, което преобразува входен аналогов сигнал в дискретен код (цифров сигнал), се нарича аналогово-цифров преобразувател (ADC) (Wiki).

Един от основните параметри на ADC е максималната честота на дискретизация (или честота на дискретизация, английска честота на дискретизация) - честотата на дискретизация на непрекъснат във времето сигнал при вземането му на проби. Измерва се в херци. ((Wiki))

Според теоремата на Котелников, ако непрекъснатият сигнал има спектър, ограничен от честотата Fmax, тогава той може да бъде напълно и недвусмислено реконструиран от неговите дискретни проби, взети на интервали от време , т.е. с честота Fd ≥ 2*Fmax, където Fd е честотата на дискретизация; Fmax - максимална честота на спектъра на сигнала. С други думи, честотата на цифровизация на сигнала (честотата на дискретизация на ADC) трябва да бъде поне 2 пъти по-висока от максималната честота на сигнала, който искаме да измерим.

Какво ще се случи, ако вземем проби с по-ниска честота от изискваната от теоремата на Котелников?

В този случай възниква ефектът на „алиасинг“ (известен още като стробоскопичен ефект, ефект на моаре), при който високочестотен сигнал след дигитализиране се превръща в нискочестотен сигнал, който всъщност не съществува. На фиг. 11 червената високочестотна синусоида е реален сигнал. Син синусоид с по-ниска честота е фиктивен сигнал, който възниква поради факта, че по време на времето за вземане на проби има време да премине повече от половината период от високочестотния сигнал.

Ориз. 11. Появата на фалшив нискочестотен сигнал при недостатъчно висока честота на дискретизация

За да се избегне ефектът на алиасинг, пред ADC се поставя специален филтър против алиасинг - нискочестотен филтър (LPF), който пропуска честоти под половината от честотата на дискретизация на ADC и отрязва по-високите честоти.

За да се изчисли спектърът на сигнал от неговите дискретни проби, се използва дискретното преобразуване на Фурие (DFT). Нека отбележим още веднъж, че спектърът на дискретния сигнал "по дефиниция" е ограничен от честотата Fmax, която е по-малка от половината от честотата на дискретизация Fd. Следователно спектърът на дискретния сигнал може да бъде представен от сумата от краен брой хармоници, за разлика от безкрайната сума за редицата на Фурие на непрекъснат сигнал, чийто спектър може да бъде неограничен. Според теоремата на Котелников максималната честота на хармоника трябва да бъде такава, че да отговаря на поне две проби, следователно броят на хармониците е равен на половината от броя на проби на дискретен сигнал. Тоест, ако има N проби в пробата, тогава броят на хармониците в спектъра ще бъде равен на N/2.

Нека сега разгледаме дискретното преобразуване на Фурие (DFT).

Сравнение с редове на Фурие

Виждаме, че те съвпадат, с изключение на това, че времето в DFT е дискретно по природа и броят на хармониците е ограничен от N/2 - половината от броя на пробите.

DFT формулите се записват в безразмерни цели променливи k, s, където k са броят на сигналните проби, s е броят на спектралните компоненти.
Стойността s показва броя на пълните хармонични трептения за период T (продължителност на измерване на сигнала). Дискретното преобразуване на Фурие се използва за намиране на амплитудите и фазите на хармониците с помощта на числен метод, т.е. "на компютъра"

Връщайки се към резултатите, получени в началото. Както бе споменато по-горе, при разширяване на непериодична функция (нашият сигнал) в ред на Фурие, полученият ред на Фурие всъщност съответства на периодична функция с период T (фиг. 12).

Фиг. 12 Периодична функция f(x) с период T0, с период на измерване T>T0

Както може да се види на фиг. 12, функцията f(x) е периодична с период T0. Въпреки това, поради факта, че продължителността на измервателната проба T не съвпада с периода на функцията T0, функцията, получена като серия на Фурие, има прекъсване в точка T. В резултат на това спектърът на тази функция ще съдържа голям брой високочестотни хармоници. Ако продължителността на измервателната проба T съвпадна с периода на функцията T0, тогава спектърът, получен след преобразуването на Фурие, ще съдържа само първия хармоник (синусоида с период, равен на продължителността на семплирането), тъй като функцията f(x) е синусоида.

С други думи, DFT програмата „не знае“, че нашият сигнал е „част от синусоида“, но се опитва да представи периодична функция под формата на серия, която има прекъсване поради несъответствието на отделни части от синусоида.

В резултат на това в спектъра се появяват хармоници, които трябва да обобщават формата на функцията, включително тази прекъсваемост.

По този начин, за да се получи "правилният" спектър на сигнал, който е сумата от няколко синусоиди с различни периоди, е необходимо цял брой периоди на всяка синусоида да се поберат в периода на измерване на сигнала. На практика това условие може да бъде изпълнено при достатъчно голяма продължителност на измерване на сигнала.

Фиг. 13 Пример за функция и спектър на сигнала за кинематична грешка на скоростната кутия

При по-кратка продължителност картината ще изглежда „по-лоша“:

Фиг. 14 Пример за функция и спектър на вибрационен сигнал на ротор

На практика може да бъде трудно да се разбере къде са „реалните компоненти“ и къде са „артефактите“, причинени от не-множествените периоди на компонентите и продължителността на семплирането на сигнала или „скокове и прекъсвания“ във формата на сигнала . Разбира се, думите „реални компоненти“ и „артефакти“ са поставени в кавички с причина. Наличието на много хармоници на спектралната графика не означава, че нашият сигнал всъщност се „състои” от тях. Това е същото като да мислите, че числото 7 се „състои” от числата 3 и 4. Числото 7 може да бъде представено като сбор от числата 3 и 4 – това е правилно.

Така че нашият сигнал... или по-скоро дори не „нашият сигнал“, а периодична функция, съставена от повтаряне на нашия сигнал (семплиране), може да бъде представена като сума от хармоници (синусоиди) с определени амплитуди и фази. Но в много случаи, които са важни за практиката (вижте фигурите по-горе), наистина е възможно хармониците, получени в спектъра, да се свържат с реални процеси, които са циклични по природа и имат значителен принос за формата на сигнала.

Някои резултати

1. Реално измерен сигнал с продължителност T секунди, цифровизиран от ADC, т.е. представен от набор от дискретни проби (N части), има дискретен непериодичен спектър, представен от набор от хармоници (N/ 2 части).

2. Сигналът е представен от набор от реални стойности и неговият спектър е представен от набор от реални стойности. Хармоничните честоти са положителни. Фактът, че за математиците е по-удобно да представят спектъра в сложна форма, използвайки отрицателни честоти, не означава, че „това е правилно“ и „това винаги трябва да се прави“.

3. Сигнал, измерен за интервал от време T, се определя само за интервал от време T. Какво се е случило преди да започнем да измерваме сигнала и какво ще се случи след това, е неизвестно на науката. А в нашия случай не е интересно. DFT на ограничен във времето сигнал дава неговия "истински" спектър, в смисъл, че при определени условия позволява да се изчисли амплитудата и честотата на неговите компоненти.

Използвани материали и други полезни материали.

Редът на Фурие се записва като:

, където k е хармоничното число.

Коефициентите на Фурие за тази серия се намират по формулите:

Периодичните сигнали се представят от серия на Фурие във формата:

, където е основната честота;

Тук коефициентите се изчисляват по формулите:

Друга форма на писане на реда на Фурие често се използва:

, Където:

- амплитуда кти хармоници; - начална фаза

За удобство на изчисленията серията на Фурие е написана в сложна форма:

Графичен дисплей за време и честота

Спектър на периодичен сигнал

временно изображение

(f)

Честотен образ на ASF

Подобно на PSF, само като се има предвид, че фазите могат да бъдат и отрицателни.

Такъв спектър се нарича дискретен или линеен, той е характерен за периодичен сигнал.

Спектър на поредица от правоъгълни импулси

Помислете за симетричното разположение на импулсите

, където е работният цикъл.

Нека намерим нулевите точки на синуса:

Първата нулева точка е най-важна за спектъра на правоъгълната импулсна последователност.

ASF последователност от правоъгълни импулси:

ω 1 ω 2 2π/t u 4π/t u

Основният дял от енергията се носи от хармоници, разположени от 0 до първата нулева точка (около 90% от енергията). Тази честотна област, където е концентрирана 90% от енергията на сигнала, се нарича спектрална ширина на (честотния) сигнал.

За правоъгълен импулс ширината на спектъра е .

Всяко предаване на цифров сигнал изисква повече спектър от обикновеното аналогово предаване.

PSF последователност от правоъгълни импулси:

ако sun(x)>0, тогава Ψ k =0

ако sin(x)<0, то Ψ k = π

Влиянието на продължителността и периода на импулса върху вида на спектъра

Ако продължителността намалее, основната честота няма да се промени, нулевите точки ще се преместят надясно. Още компоненти достигат до първата нулева точка, където е концентрирана основната енергия. Технически те отбелязват, че спектърът се разширява.

Ако продължителността на импулса се увеличи, тогава спектърът се стеснява.

Ако периодът на повторение се увеличи, основната честота намалява. Ако периодът на повторение намалява, основната честота се увеличава.

Промяна на позицията или произхода на импулса

Това не засяга ASF, променя се само фазовият спектър. Това може да се отрази въз основа на теоремата за забавянето:

Фазов спектър на изместения сигнал при N=4:

Концепцията за изчислителни вериги с периодични сигнали

Метод на изчисление:

1. Определя се комплексният спектър на периодичния сигнал;

2. Спектърът се оценява, като се оставят най-значимите хармоници (първи критерий: всички, които са под 0,1 от максималната хармонична амплитуда, се отрязват);

Токовете и напреженията от всеки компонент се изчисляват отделно. Можете да използвате сложен метод за изчисление.

Аз 0 =0

Нехармоничната функция може да се оцени чрез нейната ефективна стойност, т.е. средноквадратичен корен за периода:

Концепцията за спектъра на непериодичния сигнал

Непериодичните сигнали са най-важни, защото носят информация. Периодичните сигнали са служебни сигнали за предаване на информация и не носят нова информация. Следователно възниква въпросът за спектрите на непериодичните сигнали. Можете да опитате да ги получите, като преминете към границата от периодични сигнали, насочвайки периода към безкрайност (). Остава един сигнал. Нека намерим комплексната амплитуда на спектъра на единичен сигнал: при .

,

Непериодичният сигнал може да бъде разделен на безкрайна сума от хармонични компоненти с безкрайно малки амплитуди и различни по честота с безкрайно малки стойности - Това се нарича непрекъснат спектър на непериодичен сигнал, а не дискретен. За изчисления се използва концепцията за некомплексни амплитуди и комплексна спектрална плътност на амплитудите - стойността на амплитудата на единица честота.

Това е директно преобразуване на Фурие (двупосочно).