תהליך מציאת הערכים הקטנים והגדולים ביותר של פונקציה על קטע מזכיר טיסה מרתקת סביב אובייקט (גרף של פונקציה) במסוק תוך ירי מתותח ארוך טווח בנקודות מסוימות ובחירה מתוך נקודות אלה נקודות מאוד מיוחדות עבור יריות שליטה. הנקודות נבחרות בצורה מסוימת ולפי חוקים מסוימים. לפי אילו כללים? עוד נדבר על זה.
אם הפונקציה y = ו(איקס) רציף על הקטע [ א, ב] , ואז הוא מגיע לקטע הזה הכי פחות ו הערכים הגבוהים ביותר . זה יכול לקרות גם ב נקודות קיצוןאו בסוף הקטע. לכן, למצוא הכי פחות ו הערכים הגדולים ביותר של הפונקציה , מתמשך במרווח [ א, ב] , עליך לחשב את הערכים שלו בסך הכל נקודות קריטיותובקצה הקטע, ולאחר מכן בחר את הקטן והגדול שבהם.
נניח, למשל, נדרש להגדיר הערך הגבוה ביותרפונקציות ו(איקס) על הקטע [ א, ב] . כדי לעשות זאת, מצא את כל הנקודות הקריטיות שלו מונחות על [ א, ב] .
נקודה קריטית נקרא הנקודה שבה פונקציה מוגדרת, והיא נגזרהוא אפס או לא קיים. לאחר מכן עליך לחשב את ערכי הפונקציה בנקודות קריטיות. ולבסוף, יש להשוות את ערכי הפונקציה בנקודות קריטיות ובקצות הקטע ( ו(א) ו ו(ב) ). הגדול מבין המספרים הללו יהיה הערך הגדול ביותר של הפונקציה בקטע [א, ב] .
הבעיה למצוא הערכים הקטנים ביותר של הפונקציה .
אנו מחפשים את הערכים הקטנים והגדולים ביותר של הפונקציה ביחד
דוגמה 1. מצא את הערכים הקטן והגדול ביותר של פונקציה 
על הקטע [-1, 2]
.
פִּתָרוֹן. אנו מוצאים את הנגזרת של פונקציה זו. השוו את הנגזרת לאפס () וקבלו שתי נקודות קריטיות: ו. כדי למצוא את הערכים הקטנים והגדולים ביותר של פונקציה בקטע נתון, מספיק לחשב את ערכיה בקצות הקטע ובנקודה , מכיוון שהנקודה אינה שייכת לקטע [-1, 2] . ערכי פונקציות אלה הם הבאים: , , . מכאן נובע ערך הפונקציה הקטן ביותר(מסומן באדום בגרף למטה), שווה ל-7, מגיעים בקצה הימני של הקטע - בנקודה , ו הגדול ביותר(גם אדום בגרף), שווה ל-9, - בנקודה הקריטית .
אם הפונקציה רציפה במרווח מסוים והמרווח הזה אינו קטע (אלא הוא, למשל, מרווח; ההבדל בין מרווח לקטע: נקודות הגבול של המרווח אינן נכללות במרווח, אלא נקודות הגבול של הקטע כלולות בקטע), אז בין ערכי הפונקציה ייתכן שלא יהיו הקטן והגדול ביותר. כך, למשל, הפונקציה המתוארת באיור למטה היא רציפה על ]-∞, +∞[ ואין לה את הערך הגדול ביותר.
עם זאת, עבור כל מרווח (סגור, פתוח או אינסופי), התכונה הבאה של פונקציות רציפות מתקיימת.
דוגמה 4. מצא את הערכים הקטן והגדול ביותר של פונקציה על הקטע [-1, 3] .
פִּתָרוֹן. אנו מוצאים את הנגזרת של פונקציה זו כנגזרת של המנה:
.
אנחנו משווים את הנגזרת לאפס, מה שנותן לנו אחד נקודה קריטית: . זה שייך למרווח [-1, 3] . כדי למצוא את הערכים הקטנים והגדולים ביותר של פונקציה בקטע נתון, אנו מוצאים את ערכיה בקצות הקטע ובנקודה הקריטית שנמצאה:
בואו נשווה את הערכים הללו. מסקנה: שווה ל-5/13, בנקודה ו הערך הגדול ביותרשווה ל-1 בנקודה.
אנו ממשיכים לחפש את הערכים הקטן והגדול ביותר של הפונקציה ביחד
יש מורים שבנושא מציאת הערכים הקטנים והגדולים ביותר של פונקציה, לא נותנים לתלמידים לפתור דוגמאות מסובכות יותר מאלה שנחשבו כרגע, כלומר כאלו שבהן הפונקציה היא פולינום או שבר, המונה והמכנה שבהם הם פולינומים. אבל לא נגביל את עצמנו לדוגמאות כאלה, שכן בקרב המורים יש אוהבי לגרום לתלמידים לחשוב במלואם (טבלת נגזרות). לכן, הלוגריתם והפונקציה הטריגונומטרית ישמשו.
דוגמה 6. מצא את הערכים הקטן והגדול ביותר של פונקציה על הקטע .
פִּתָרוֹן. אנו מוצאים את הנגזרת של פונקציה זו כ נגזרת של המוצר :
אנו משווים את הנגזרת לאפס, מה שנותן נקודה קריטית אחת: . זה שייך לפלח. כדי למצוא את הערכים הקטנים והגדולים ביותר של פונקציה בקטע נתון, אנו מוצאים את ערכיה בקצות הקטע ובנקודה הקריטית שנמצאה:
התוצאה של כל הפעולות: הפונקציה מגיעה הערך הקטן ביותר , שווה ל-0, בנקודה ובנקודה ו הערך הגדול ביותרשווה ל ה², בנקודה.
דוגמה 7. מצא את הערכים הקטן והגדול ביותר של פונקציה 
על הקטע .
פִּתָרוֹן. אנו מוצאים את הנגזרת של פונקציה זו:
השווה את הנגזרת לאפס:
הנקודה הקריטית היחידה שייכת לקטע. כדי למצוא את הערכים הקטנים והגדולים ביותר של פונקציה בקטע נתון, אנו מוצאים את ערכיה בקצות הקטע ובנקודה הקריטית שנמצאה:
סיכום: הפונקציה מגיעה לערך המינימלי שלה, שווה ל , בנקודה ו הערך הגדול ביותר, שווה ל , בנקודה .
בבעיות קיצוניות יישומיות, מציאת הערכים הקטנים (הגדולים ביותר) של פונקציה, ככלל, מסתכמת במציאת המינימום (המקסימום). אבל לא המינימום או המקסימום עצמם הם בעלי עניין מעשי גדול יותר, אלא ערכי הטיעון שבו הם מושגים. בעת פתרון בעיות יישומיות, מתעורר קושי נוסף - הידור של פונקציות המתארות את התופעה או התהליך הנבדקים.
דוגמה 8מיכל בנפח 4, בעל צורת מקבילית עם בסיס מרובע ופתוח בחלקו העליון, חייב להיות מפח. מה צריך להיות מידות המיכל על מנת לכסות אותו בכמות הכי קטנה של חומר?
פִּתָרוֹן. לתת איקס- צד הבסיס ח- גובה הטנק, ס- שטח הפנים שלו ללא כיסוי, V- הנפח שלו. שטח הפנים של המיכל מבוטא בנוסחה, כלומר. היא פונקציה של שני משתנים. להביע סכפונקציה של משתנה אחד, אנו משתמשים בעובדה שממנו . החלפת הביטוי המצוי חלתוך הנוסחה עבור ס:
הבה נבחן פונקציה זו עבור קיצון. הוא מוגדר וניתן להבדיל בכל מקום ב-]0, +∞[, ו
.
נשווה את הנגזרת לאפס () ונמצא את הנקודה הקריטית. בנוסף, ב-, הנגזרת אינה קיימת, אך ערך זה אינו נכלל בתחום ההגדרה ולכן אינו יכול להיות נקודת קיצון. אז, - הנקודה הקריטית היחידה. בואו נבדוק את נוכחותו של קיצון באמצעות הסימן השני מספיק. בואו נמצא את הנגזרת השנייה. כאשר הנגזרת השנייה גדולה מאפס (). זה אומר שכאשר הפונקציה מגיעה למינימום 
. בגלל זה מינימום - הקצה היחיד של פונקציה זו, זה הערך הקטן ביותר שלה. אז, הצד של בסיס הטנק צריך להיות שווה ל -2 מ', וגובהו.
דוגמה 9מתוך פסקה א, הממוקם על קו הרכבת, לנקודה עם, במרחק ממנו ל, יש להעביר סחורה. עלות הובלת יחידת משקל ליחידת מרחק ברכבת שווה ל , ולפי כביש מהיר היא שווה ל . לאיזה נקודה Mשורות מסילת רכבתצריך לבנות כביש מהיר כך שהובלת סחורות מ א V עםהיה החסכוני ביותר א.במניחים שהרכבת ישרה)?
במאמר זה אדבר על אלגוריתם למציאת הערך הגדול והקטן ביותרפונקציה, נקודות מינימום ומקסימום.
מתיאוריה, בהחלט נצטרך טבלת נגזרותו כללי בידול. הכל בלוח הזה:
אלגוריתם למציאת הערכים הגדולים והקטנים ביותר.
נראה לי יותר קל להסביר דוגמה ספציפית. לשקול:
דוגמא:מצא את הערך הגדול ביותר של הפונקציה y=x^5+20x^3–65x בקטע [–4;0].
שלב 1.אנחנו לוקחים את הנגזרת.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
שלב 2מציאת נקודות קיצון.
נקודת קיצוןאנו שמות נקודות כאלה שבהן הפונקציה מגיעה לערך המקסימלי או המינימלי שלה.
כדי למצוא את נקודות הקיצון, יש צורך להשוות את הנגזרת של הפונקציה לאפס (y "= 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
כעת אנו פותרים את המשוואה הבי-ריבועית הזו והשורשים שנמצאו הם נקודות הקיצון שלנו.
אני פותר משוואות כאלה על ידי החלפת t = x^2, ואז 5t^2 + 60t - 65 = 0.
הקטינו את המשוואה ב-5, נקבל: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
אנו מבצעים את ההחלפה ההפוכה x^2 = t:
X_(1 ו-2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 ו-4) = ±sqrt(-13) (אנחנו לא כוללים, מתחת לשורש לא יכול להיות מספרים שליליים(אלא אם כן, כמובן, אנחנו מדברים על מספרים מרוכבים)
סך הכל: x_(1) = 1 ו-x_(2) = -1 - אלו נקודות הקיצון שלנו.
שלב 3קבע את הערך הגדול והקטן ביותר.
שיטת החלפה.
בתנאי קיבלנו את הקטע [b][–4;0]. הנקודה x=1 אינה כלולה בקטע זה. אז אנחנו לא מתחשבים בזה. אבל בנוסף לנקודה x=-1, עלינו לשקול גם את השמאלי ואת גבול ימיןשל הקטע שלנו, כלומר נקודות -4 ו-0. לשם כך, נחליף את כל שלוש הנקודות הללו בפונקציה המקורית. שימו לב שהמקורי הוא זה שניתן בתנאי (y=x^5+20x^3–65x), חלקם מתחילים להחליף לנגזרת...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
זה אומר שהערך המקסימלי של הפונקציה הוא [b]44 ומגיעים אליו בנקודות [b]-1, הנקראת נקודת המקסימום של הפונקציה על הקטע [-4; 0].
החלטנו וקיבלנו תשובה, אנחנו מעולים, אפשר להירגע. אבל תפסיק! אתה לא חושב שספירת y(-4) היא איכשהו מסובכת מדי? בתנאים של זמן מוגבל, עדיף להשתמש בשיטה אחרת, אני קורא לזה כך:
דרך מרווחים של קביעות.
הפערים הללו נמצאים עבור הנגזרת של הפונקציה, כלומר, עבור המשוואה הבי-ריבועית שלנו.
אני עושה את זה בדרך הבאה. אני משרטט קו כיוון. קבעתי את הנקודות: -4, -1, 0, 1. למרות העובדה ש-1 אינו כלול בקטע הנתון, עדיין יש לציין זאת כדי לקבוע נכון את מרווחי הקביעות. בואו ניקח מספר גדול פי כמה מ-1, נניח 100, נחליף אותו נפשית במשוואה הבי-ריבועית שלנו 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. אפילו בלי לספור כלום, ברור שבנקודה 100 לפונקציה יש סימן פלוס. זה אומר שבמרווחים מ-1 עד 100 יש לו סימן פלוס. במעבר דרך 1 (נעבור מימין לשמאל), הפונקציה תשנה סימן למינוס. במעבר דרך הנקודה 0, הפונקציה תשמור על הסימן שלה, שכן זהו רק גבול הקטע, ולא שורש המשוואה. כאשר עוברים דרך -1, הפונקציה תשנה שוב את הסימן לפלוס.
מתוך תיאוריה, אנו יודעים שהיכן נמצאת הנגזרת של הפונקציה (וציירנו זאת עבורה) משנה סימן מפלוס למינוס (נקודה -1 במקרה שלנו)הפונקציה מגיעה המקסימום המקומי שלו (y(-1)=44 כפי שחושב קודם לכן)על קטע זה (זה ברור מאוד מבחינה לוגית, הפונקציה הפסיקה לגדול, מאז שהיא הגיעה למקסימום והחלה לרדת).
בהתאם לכך, היכן הנגזרת של הפונקציה משנה סימן ממינוס לפלוס, הושג מינימום מקומי של פונקציה. כן, כן, מצאנו גם את נקודת המינימום המקומית, שהיא 1, ו-y(1) הוא הערך המינימלי של הפונקציה במרווח, נניח מ-1 עד +∞. שימו לב שזהו רק MINIMUM LOCAL, כלומר מינימום על קטע מסוים. מכיוון שפונקציית המינימום בפועל (גלובלית) תגיע למקום כלשהו שם, ב-∞.
לדעתי השיטה הראשונה פשוטה יותר מבחינה תיאורטית, והשנייה פשוטה יותר מבחינת פעולות אריתמטיות, אבל הרבה יותר קשה מבחינה תיאורטית. אכן, לפעמים יש מקרים שבהם הפונקציה לא משנה סימן במעבר דרך שורש המשוואה, ואכן אתה יכול להתבלבל עם המקסימום והמינימות המקומיות והגלובליות הללו, אם כי בכל מקרה תצטרך לשלוט בה היטב אם אתה מתכנן להיכנס לאוניברסיטה טכנית (ולמה עוד לגשת לבחינת הפרופיל ולפתור את המשימה הזו). אבל תרגול ורק תרגול ילמד אותך איך לפתור בעיות כאלה אחת ולתמיד. ואתה יכול להתאמן באתר שלנו. כאן .
אם יש לך שאלות, או שמשהו לא ברור, הקפד לשאול. אשמח לענות לכם, ולערוך שינויים, תוספות בכתבה. זכרו שאנחנו יוצרים את האתר הזה ביחד!
הערך הגדול (הקטן) של הפונקציה הוא הערך המקובל הגדול ביותר (הקטן ביותר) של הסמטה במרווח הנחשב.
כדי למצוא את הערך הגדול או הקטן ביותר של פונקציה, עליך:
- בדוק אילו נקודות נייחות כלולות בקטע הנתון.
- חשב את ערך הפונקציה בקצות הקטע ובנקודות נייחות משלב 3
- בחר מבין התוצאות שהתקבלו את הערך הגדול ביותר או הקטן ביותר.
כדי למצוא את נקודות המקסימום או המינימום, עליך:
- מצא את הנגזרת של הפונקציה $f"(x)$
- מצא נקודות נייחות על ידי פתרון המשוואה $f"(x)=0$
- הפקטור את הנגזרת של פונקציה.
- צייר קו קואורדינטות, הצב עליו נקודות נייחות וקבע את הסימנים של הנגזרת במרווחים המתקבלים, תוך שימוש בסימון של סעיף 3.
- מצא את נקודות המקסימום או המינימום לפי הכלל: אם בנקודה הנגזרת משנה סימן מפלוס למינוס, אז זו תהיה נקודת המקסימום (אם מינוס לפלוס, אז זו תהיה נקודת המינימום). בפועל, נוח להשתמש בתמונת החצים על המרווחים: במרווח שבו הנגזרת חיובית, החץ נמשך כלפי מעלה ולהיפך.
טבלת נגזרות של כמה פונקציות אלמנטריות:
| פוּנקצִיָה | נגזר |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n, n∈N$ | $nx^(n-1), n∈N$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $(1)/x(^n), n∈N$ | $-(n)/(x^(n+1)), n∈N$ |
| $√^n(x), n∈N$ | $(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(sin^2x)$ |
| $cos^2x$ | $-sin2x$ |
| $sin^2x$ | $sin2x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^xlna$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $log_(a)x$ | $(1)/(xlna)$ |
כללים בסיסיים של בידול
1. הנגזרת של הסכום וההפרש שווה לנגזרת של כל איבר
$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$
מצא את הנגזרת של הפונקציה $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$
הנגזרת של הסכום וההפרש שווה לנגזרת של כל איבר
$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$
2. נגזרת של מוצר.
$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$
מצא את הנגזרת $f(x)=4x∙cosx$
$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$
3. נגזרת של המנה
$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$
מצא את הנגזרת $f(x)=(5x^5)/(e^x)$
$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$
4. נגזרת פונקציה מורכבתשווה למכפלת הנגזרת פונקציה חיצוניתלנגזרת של הפונקציה הפנימית
$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$
$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$
מצא את נקודת המינימום של הפונקציה $y=2x-ln(x+11)+4$
1. מצא את ה-ODZ של הפונקציה: $x+11>0; x>-11$
2. מצא את הנגזרת של הפונקציה $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$
3. מצא נקודות נייחות על ידי השוואת הנגזרת לאפס
$(2x+21)/(x+11)=0$
שבר הוא אפס אם המונה הוא אפס והמכנה אינו אפס
$2x+21=0; x≠-11$
4. צייר קו קואורדינטות, הצב עליו נקודות נייחות וקבע את סימני הנגזרת במרווחים המתקבלים. לשם כך, נחליף לנגזרת כל מספר מהאזור הימני הקיצוני, למשל, אפס.
$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$
5. בנקודת המינימום, הנגזרת משנה סימן ממינוס לפלוס, לכן, נקודת ה-$-10.5$ היא נקודת המינימום.
תשובה: $-10.5$
מצא את הערך המקסימלי של הפונקציה $y=6x^5-90x^3-5$ בקטע $[-5;1]$
1. מצא את הנגזרת של הפונקציה $y′=30x^4-270x^2$
2. השוו את הנגזרת לאפס ומצאו נקודות נייחות
$30x^4-270x^2=0$
בוא ניקח את הגורם המשותף $30x^2$ מתוך סוגריים
$30x^2(x^2-9)=0$
$30x^2(x-3)(x+3)=0$
הגדר כל גורם שווה לאפס
$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$
$x=0;x=3;x=-3$
3. בחר נקודות נייחות השייכות לקטע הנתון $[-5;1]$
נקודות נייחות $x=0$ ו-$x=-3$ מתאימות לנו
4. חשב את ערך הפונקציה בקצות הקטע ובנקודות נייחות מפריט 3
