Trapecijos vidurio linija yra lygi pusei sumos pagrindu. Jis jungia trapecijos kraštinių vidurio taškus ir visada yra lygiagretus pagrindams.

Jeigu trapecijos pagrindai lygūs a ir b, tai vidurinė linija m lygi m=(a+b)/2.

Jei žinomas trapecijos plotas, tada galima rasti vidurinę liniją ir kitu būdu padalijus trapecijos plotą S iš trapecijos aukščio h:



Tai yra, trapecijos vidurio linija m=S/h

Yra daug būdų, kaip rasti trapecijos vidurio linijos ilgį. Metodo pasirinkimas priklauso nuo pradinių duomenų.

Čia trapecijos vidurio linijos ilgio formules:

Norėdami rasti trapecijos vidurinę liniją, galite naudoti vieną iš penkių formulių (jų nerašysiu, nes jos jau yra kituose atsakymuose), tačiau tai tik tais atvejais, kai mums reikia pradinių duomenų reikšmės. yra žinomi.

Praktiškai turime išspręsti daugybę problemų, kai nepakanka duomenų ir tinkamas dydis dar reikia susirasti.

Čia yra tokių variantų

žingsnis po žingsnio sprendimas, kad viskas būtų pateikta pagal formulę;

naudojant kitas formules, sudaryti ir išspręsti reikiamas lygtis.

rasti trapecijos vidurio ilgį pagal mums reikalingą formulę pasitelkiant kitas žinias apie geometriją ir naudojimą algebrines lygtis:

Turime lygiašonę trapeciją, jos įstrižainės susikerta stačiu kampu, aukštis 9 cm.

Padarome brėžinį ir matome, kad šios problemos negalima išspręsti tiesiai (nepakanka duomenų)



Todėl šiek tiek supaprastinsime ir aukštį nubrėžsime per įstrižainių susikirtimo tašką.

Tai pirmas svarbus žingsnis, vedantis prie greito sprendimo.

pažymėkime aukštį dviem nežinomaisiais, pamatysime mums reikalingus lygiašonius trikampius su kraštinėmis X Ir adresu



ir mes galime lengvai jį rasti pagrindų suma trapecijos

tai lygu 2х+2у

Ir tik dabar galime pritaikyti formulę kur

ir jis lygus x+y o pagal uždavinio sąlygas tai aukščio ilgis lygus 9 cm.

Ir dabar mes išvedėme keletą momentų lygiašonei trapecijai, kurios įstrižainės susikerta stačiu kampu

tokiose trapecijose

vidurinė linija visada lygi aukščiui

plotas visada lygus aukščio kvadratui.

Trapecijos vidurio linija yra atkarpa, jungianti trapecijos kraštinių vidurio taškus.

Bet kurios trapecijos vidurio liniją lengva rasti, jei naudojate formulę:

m = (a + b)/2

m – trapecijos vidurio linijos ilgis;

a, b trapecijos pagrindų ilgiai.

Taigi, trapecijos vidurio linijos ilgis lygus pusei pagrindo ilgiu sumos.

Pagrindinė trapecijos vidurio linijos formulės formulė: trapecijos vidurio linijos ilgis lygus pusei bazių a ir b sumos: MN=(a+b)2. Šios formulės įrodymas yra trikampio vidurio linijos formulė. Bet kurią trapeciją galima pavaizduoti iš galų nubrėžus mažesnį aukščio pagrindą į didesnį pagrindą. Atsižvelgiama į gautus 2 trikampius ir stačiakampį. Po to trapecijos vidurio linijos formulė yra lengvai įrodyta.

Norėdami rasti trapecijos vidurio liniją, turime žinoti bazių reikšmes.

Radę šias reikšmes, o gal jos mums buvo žinomos, šiuos skaičius sumuojame ir tiesiog padalijame per pusę.

Taip ir bus trapecijos vidurio linija.

Kiek pamenu savo mokyklos geometrijos pamokas, norint rasti trapecijos vidurio linijos ilgį, reikia sudėti pagrindų ilgius ir padalyti iš dviejų. Taigi, trapecijos vidurio linijos ilgis yra lygus pusei bazių sumos.

Šiame straipsnyje mes stengsimės kuo išsamiau atspindėti trapecijos savybes. Visų pirma, mes kalbėsime apie bendrieji ženklai ir trapecijos savybes, taip pat apie įbrėžtos trapecijos savybes ir apie į trapeciją įbrėžto apskritimo savybes. Taip pat paliesime lygiašonės ir stačiakampės trapecijos savybes.

Problemos sprendimo pavyzdys naudojant aptartas savybes padės suskirstyti ją į vietas galvoje ir geriau prisiminti medžiagą.

Trapecija ir viskas-viskas

Pirmiausia trumpai prisiminkime, kas yra trapecija ir kokios kitos sąvokos yra su ja susijusios.

Taigi, trapecija yra keturkampė figūra, kurios dvi kraštinės yra lygiagrečios viena kitai (tai yra pagrindai). Ir jie nėra lygiagrečiai – tai pusės.

Trapecijoje aukštį galima nuleisti – statmenai pagrindams. Nubrėžta vidurio linija ir įstrižainės. Taip pat galima nubrėžti pusiausvyrą iš bet kurio trapecijos kampo.

Dabar kalbėsime apie įvairias savybes, susijusias su visais šiais elementais ir jų derinius.

Trapecijos įstrižainių savybės

Kad būtų aiškiau, skaitydami ant popieriaus lapo nubrėžkite trapecijos formą ACME ir nubrėžkite įstrižaines.

1. Jei rasite kiekvienos įstrižainės vidurio taškus (vadinkime šiuos taškus X ir T) ir juos sujungsite, gausite atkarpą. Viena iš trapecijos įstrižainių savybių yra ta, kad atkarpa HT yra vidurinėje linijoje. Ir jo ilgį galima gauti padalijus bazių skirtumą iš dviejų: ХТ = (a – b)/2.
2. Prieš mus yra ta pati trapecija ACME. Įstrižainės susikerta taške O. Pažiūrėkime į trikampius AOE ir MOK, sudarytus iš įstrižainių atkarpų kartu su trapecijos pagrindais. Šie trikampiai yra panašūs. Trikampių panašumo koeficientas k išreiškiamas trapecijos pagrindų santykiu: k = AE/KM.
   Trikampių AOE ir MOK plotų santykis apibūdinamas koeficientu k 2 .
3. Ta pati trapecija, tos pačios įstrižainės, susikertančios taške O. Tik šį kartą nagrinėsime trikampius, kuriuos įstrižainių atkarpos susidarė kartu su trapecijos kraštinėmis. Trikampių AKO ir EMO plotai yra vienodo dydžio – jų plotai vienodi.
4. Kita trapecijos savybė yra įstrižainių konstrukcija. Taigi, jei tęsite AK ir ME puses mažesnio pagrindo kryptimi, tada anksčiau ar vėliau jie susikirs tam tikrame taške. Tada nubrėžkite tiesią liniją per trapecijos pagrindo vidurį. Jis kerta pagrindus taškuose X ir T.
   Jei dabar pratęsime tiesę XT, tai ji sujungs trapecijos O įstrižainių susikirtimo tašką, tašką, kuriame susikerta X ir T pagrindų kraštinių ir vidurio plėtiniai.
5. Per įstrižainių susikirtimo tašką nubrėžsime atkarpą, kuri sujungs trapecijos pagrindus (T guli ant mažesnio pagrindo KM, X ant didesnio AE). Įstrižainių susikirtimo taškas padalija šį segmentą tokiu santykiu: TO/OX = KM/AE.
6. Dabar per įstrižainių susikirtimo tašką nubrėžsime atkarpą, lygiagrečią trapecijos pagrindams (a ir b). Sankirtos taškas padalins jį į dvi lygias dalis. Atkarpos ilgį galite rasti naudodami formulę 2ab/(a + b).

Trapecijos vidurio linijos savybės

Nubrėžkite vidurinę trapecijos liniją lygiagrečiai jos pagrindams.

1. Trapecijos vidurio linijos ilgį galima apskaičiuoti sudėjus pagrindų ilgius ir padalijus juos per pusę: m = (a + b)/2.
2. Jei nubrėžiate bet kurį atkarpą (pvz., aukštį) per abu trapecijos pagrindus, vidurinė linija padalys jį į dvi lygias dalis.

Trapecijos bisektoriaus savybė

Pasirinkite bet kurį trapecijos kampą ir nubrėžkite pusiausvyrą. Paimkime, pavyzdžiui, mūsų trapecijos ACME kampą KAE. Patys baigę konstrukciją, galite nesunkiai patikrinti, ar bisektorius nuo pagrindo (arba jo tęsinio tiesioje už pačios figūros ribų) nupjauna tokio pat ilgio atkarpą kaip ir šonas.

Trapecijos kampų savybės

1. Kad ir kurią iš dviejų kampų porų, esančių šalia kraštinės, pasirinktumėte, poros kampų suma visada yra 180 0: α + β = 180 0 ir γ + δ = 180 0.
2. Trapecijos pagrindų vidurio taškus sujungkime su atkarpa TX. Dabar pažiūrėkime į kampus prie trapecijos pagrindų. Jei kurio nors iš jų kampų suma yra 90 0, atkarpos TX ilgį galima nesunkiai apskaičiuoti pagal pagrindų ilgių skirtumą, padalintą per pusę: TX = (AE – KM)/2.
3. Jei lygiagrečios linijos brėžiamos per trapecijos kampo kraštines, jos padalins kampo kraštines į proporcingas atkarpas.

Lygiašonės (lygiašonės) trapecijos savybės

1. Lygiašonės trapecijos kampai bet kuriame pagrinde yra lygūs.
2. Dabar dar kartą sukurkite trapeciją, kad būtų lengviau įsivaizduoti, apie ką mes kalbame. Atidžiai pažiūrėkite į pagrindinį AE – priešingos bazės M viršūnė projektuojama į tam tikrą linijos, kurioje yra AE, tašką. Atstumas nuo viršūnės A iki viršūnės M projekcijos taško ir lygiašonės trapecijos vidurinės linijos yra lygus.
3. Keletas žodžių apie lygiašonės trapecijos įstrižainių savybę – jų ilgiai lygūs. Ir taip pat šių įstrižainių pasvirimo kampai į trapecijos pagrindą yra vienodi.
4. Apskritimas gali būti aprašytas tik aplink lygiašonę trapeciją, nes keturkampio priešingų kampų suma yra 180 0 - būtina sąlyga.
5. Lygiašonės trapecijos savybė išplaukia iš ankstesnės pastraipos – jei šalia trapecijos galima apibūdinti apskritimą, jis yra lygiašonis.
6. Iš lygiašonės trapecijos ypatybių išplaukia trapecijos aukščio savybė: jei jos įstrižainės susikerta stačiu kampu, tai aukščio ilgis lygus pusei bazių sumos: h = (a + b)/2.
7. Vėlgi, atkarpą TX nubrėžkite per trapecijos pagrindų vidurio taškus – lygiašonėje trapecijoje ji statmena pagrindams. Ir tuo pačiu TX yra lygiašonės trapecijos simetrijos ašis.
8. Šį kartą nuleiskite aukštį nuo priešingos trapecijos viršūnės ant didesnio pagrindo (pavadinkime jį a). Gausite du segmentus. Vieno ilgį galima rasti sudėjus pagrindų ilgius ir padalinus juos per pusę: (a + b)/2. Antrąjį gauname, kai iš didesnės bazės atimame mažesnįjį ir gautą skirtumą padalijame iš dviejų: (a – b)/2.

Į apskritimą įbrėžtos trapecijos savybės

Kadangi mes jau kalbame apie trapeciją, įrašytą į apskritimą, pakalbėkime šiuo klausimu išsamiau. Visų pirma, kur apskritimo centras yra trapecijos atžvilgiu. Čia taip pat rekomenduojama skirti laiko pasiimti pieštuką ir nupiešti tai, kas bus aptarta toliau. Taip greičiau suprasite ir geriau atsiminsite.

1. Apskritimo centro vieta nustatoma pagal trapecijos įstrižainės pasvirimo į šoną kampą. Pavyzdžiui, įstrižainė gali tęstis nuo trapecijos viršaus stačiu kampu į šoną. Šiuo atveju didesnis pagrindas kerta apskritimo centrą tiksliai per vidurį (R = ½AE).
2. Įstrižainė ir kraštinė gali susidurti ir smailiu kampu – tada apskritimo centras yra trapecijos viduje.
3. Apriboto apskritimo centras gali būti už trapecijos ribų, už jos didesnio pagrindo, jei tarp trapecijos įstrižainės ir kraštinės yra bukas kampas.
4. Trapecijos ACME įstrižainės ir didesnio pagrindo sudarytas kampas (įrašytas kampas) yra perpus mažesnis centrinis kampas, kuris jį atitinka: MAE = ½ MOE.
5. Trumpai apie du būdus, kaip rasti apibrėžto apskritimo spindulį. Pirmas būdas: atidžiai pažiūrėkite į savo piešinį – ką matote? Galite nesunkiai pastebėti, kad įstrižainė padalija trapeciją į du trikampius. Spindulį galima rasti pagal trikampio kraštinės ir priešingo kampo sinuso santykį, padaugintą iš dviejų. Pavyzdžiui, R = AE/2*sinAME. Panašiai formulę galima parašyti bet kuriai iš abiejų trikampių kraštinių.
6. Antras būdas: suraskite apibrėžto apskritimo spindulį per trikampio plotą, sudarytą iš trapecijos įstrižainės, kraštinės ir pagrindo: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Trapecijos, apibrėžtos apie apskritimą, savybės

Jei įvykdoma viena sąlyga, į trapeciją galite pritaikyti apskritimą. Daugiau apie tai skaitykite žemiau. Ir kartu šis figūrų derinys turi daug įdomių savybių.

1. Jei apskritimas įrašytas į trapeciją, jo vidurio linijos ilgį galima nesunkiai rasti sudėjus kraštinių ilgius ir gautą sumą padalijus per pusę: m = (c + d)/2.
2. Trapecijos ACME, aprašytos apie apskritimą, pagrindų ilgių suma yra lygi kraštinių ilgių sumai: AK + ME = KM + AE.
3. Iš šios trapecijos pagrindų savybės išplaukia atvirkštinis teiginys: į trapeciją galima įrašyti apskritimą, kurios bazių suma lygi jos kraštinių sumai.
4. Į trapeciją įbrėžtas apskritimo, kurio spindulys r, liestinės taškas padalija kraštinę į dvi atkarpas, pavadinkime jas a ir b. Apskritimo spindulį galima apskaičiuoti pagal formulę: r = √ab.
5. Ir dar vienas turtas. Kad nesusipainiotumėte, nupieškite šį pavyzdį ir patys. Turime seną gerą trapeciją ACME, aprašytą aplink apskritimą. Jame yra įstrižainės, kurios susikerta taške O. Trikampiai AOK ir EOM, sudaryti iš įstrižainių atkarpų ir šoninių kraštinių, yra stačiakampiai.
   Šių trikampių aukščiai, nuleisti iki hipotenusų (t. y. šoninių trapecijos kraštinių), sutampa su įbrėžto apskritimo spinduliais. O trapecijos aukštis sutampa su įbrėžto apskritimo skersmeniu.

Stačiakampės trapecijos savybės

Trapecija vadinama stačiakampe, jei vienas iš jos kampų yra teisingas. Ir jo savybės kyla iš šios aplinkybės.

1. Stačiakampės trapecijos viena iš kraštinių yra statmena jos pagrindui.
2. Trapecijos aukštis ir šoninė pusė greta stačiu kampu, yra lygūs. Tai leidžia apskaičiuoti stačiakampės trapecijos plotą (bendra formulė S = (a + b) * h/2) ne tik per aukštį, bet ir per šoną, besiribojantį su stačiu kampu.
3. Stačiakampei trapecijai svarbios jau aukščiau aprašytos bendrosios trapecijos įstrižainių savybės.

Kai kurių trapecijos savybių įrodymas

Lygiašonės trapecijos pagrindo kampų lygybė:

• Tikriausiai jau atspėjote, kad čia mums vėl prireiks AKME trapecijos – nubrėžkite lygiašonę trapeciją. Iš viršūnės M nubrėžkite tiesę MT, lygiagrečią AK kraštinei (MT || AK).

Gautas keturkampis AKMT yra lygiagretainis (AK || MT, KM || AT). Kadangi ME = KA = MT, ∆ MTE yra lygiašonis, o MET = MTE.

AK || MT, todėl MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Kur AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Dabar, remdamiesi lygiašonės trapecijos savybe (įstrižainių lygybe), įrodome, kad trapecija ACME yra lygiašonė:

• Pirmiausia nubrėžkime tiesią liniją MX – MX || KE. Gauname lygiagretainį KMHE (pagrindas – MX || KE ir KM || EX).

∆AMX yra lygiašonis, nes AM = KE = MX, o MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, todėl MAE = MXE.

Paaiškėjo, kad trikampiai AKE ir EMA yra lygūs vienas kitam, nes AM = KE ir AE – bendra pusė du trikampiai. Taip pat MAE = MXE. Galime daryti išvadą, kad AK = ME, ir iš to išplaukia, kad trapecija AKME yra lygiašonė.

Peržiūrėkite užduotį

Trapecijos ACME pagrindai yra 9 cm ir 21 cm, šoninė kraštinė KA, lygi 8 cm, sudaro 150 0 kampą su mažesniu pagrindu. Turite rasti trapecijos plotą.

Sprendimas: Nuo viršūnės K nuleidžiame aukštį į didesnį trapecijos pagrindą. Ir pradėkime žiūrėti į trapecijos kampus.

Kampai AEM ir KAN yra vienpusiai. Tai reiškia, kad iš viso jie duoda 180 0. Todėl KAN = 30 0 (remiantis trapecijos kampų savybe).

Dabar panagrinėkime stačiakampį ∆ANC (manau, kad šis taškas skaitytojams akivaizdus be papildomų įrodymų). Iš jo rasime trapecijos aukštį KH - trikampyje tai yra kojelė, esanti priešais 30 0 kampą. Todėl KH = ½AB = 4 cm.

Trapecijos plotą randame pagal formulę: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Pokalbis

Jei atidžiai ir apgalvotai išstudijavote šį straipsnį, netingėjote pieštuku rankose nupiešti visų nurodytų savybių trapecijas ir jas išanalizavote praktiškai, turėtumėte gerai įsisavinti medžiagą.

Žinoma, čia daug informacijos, įvairios ir kartais net gluminančios: aprašytos trapecijos savybes nėra taip sunku supainioti su užrašytosios savybėmis. Bet jūs patys matėte, kad skirtumas yra didžiulis.

Dabar jūs turite išsamų visų bendrųjų trapecijos savybių apibūdinimą. Taip pat lygiašonių ir stačiakampių trapecijų specifinės savybės ir charakteristikos. Labai patogu naudoti ruošiantis įskaitoms ir egzaminams. Išbandykite patys ir pasidalinkite nuoroda su draugais!

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

Tiesios linijos atkarpa, jungianti šoninių trapecijos kraštinių vidurio taškus, vadinama trapecijos vidurio linija. Žemiau papasakosime, kaip rasti trapecijos vidurio liniją ir kaip ji susijusi su kitais šios figūros elementais.

Centrinės linijos teorema

Nubrėžkime trapeciją, kurioje AD yra didesnė bazė, BC yra mažesnė bazė, EF yra vidurinė linija. Išplėskime pagrindą AD už taško D. Nubrėžkime tiesę BF ir tęskime ją tol, kol ji susikirs su pagrindo AD tęsiniu taške O. Apsvarstykite trikampius ∆BCF ir ∆DFO. Kampai ∟BCF = ∟DFO kaip vertikalūs. CF = DF, ∟BCF = ∟FDО, nes VS // UAB. Todėl trikampiai ∆BCF = ∆DFO. Taigi kraštinės BF = FO.

Dabar apsvarstykite ∆ABO ir ∆EBF. ∟ABO yra bendras abiem trikampiams. BE/AB = ½ pagal sąlygą, BF/BO = ½, nes ∆BCF = ∆DFO. Todėl trikampiai ABO ir EFB yra panašūs. Taigi šalių santykis EF/AO = ½, taip pat ir kitų partijų santykis.

Randame EF = ½ AO. Brėžinyje matyti, kad AO = AD + DO. DO = BC kaip šonai vienodi trikampiai, o tai reiškia AO = AD + BC. Taigi EF = ½ AO = ½ (AD + BC). Tie. trapecijos vidurio linijos ilgis lygus pusei bazių sumos.

Ar trapecijos vidurio linija visada lygi pusei bazių sumos?

Tarkime, yra toks ypatinga byla, kai EF ≠ ½ (AD + BC). Tada BC ≠ DO, todėl ∆BCF ≠ ∆DCF. Bet tai neįmanoma, nes tarp jų yra du vienodi kampai ir kraštinės. Todėl teorema yra teisinga visomis sąlygomis.

Vidurinės linijos problema

Tarkime, mūsų trapecijos ABCD AD // BC, ∟A = 90°, ∟C = 135°, AB = 2 cm, įstrižainė AC yra statmena kraštinei. Raskite trapecijos EF vidurio liniją.

Jei ∟A = 90°, tai ∟B = 90°, tai reiškia, kad ∆ABC yra stačiakampis.

∟BCA = ∟BCD – ∟ACD. ∟ACD = 90° pagal susitarimą, todėl ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135° - 90° = 45°.

Jei stačiakampiame trikampyje ∆ABC vienas kampas lygus 45°, tai kojos jame lygios: AB = BC = 2 cm.

Hipotenūza AC = √(AB² + BC²) = √8 cm.

Panagrinėkime ∆ACD. ∟ACD = 90° pagal būklę. ∟CAD = ∟BCA = 45° kaip kampai, sudaryti iš lygiagrečių trapecijos pagrindų skersinio. Todėl kojos AC = CD = √8.

Hipotenūza AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 cm.

Trapecijos vidurio linija EF = ½ (AD + BC) = ½ (2 + 4) = 3 cm.

Pamokos tikslai:

1) supažindinti studentus su trapecijos vidurio linijos samprata, apsvarstyti jos savybes ir jas įrodyti;

2) išmokyti statyti trapecijos vidurio liniją;

3) ugdyti mokinių gebėjimą naudotis trapecijos vidurio linijos apibrėžimu ir trapecijos vidurio linijos savybėmis sprendžiant uždavinius;

4) toliau ugdyti mokinių gebėjimą kompetentingai kalbėti, vartojant reikiamus matematinius terminus; įrodyti savo požiūrį;

5) vystytis loginis mąstymas, atmintis, dėmesys.

Per užsiėmimus

1. Namų darbai tikrinami pamokos metu. Namų darbai buvo žodiniai, atsiminkite:

a) trapecijos apibrėžimas; trapecijos tipai;

b) trikampio vidurio linijos nustatymas;

c) trikampio vidurio linijos savybė;

d) trikampio vidurio linijos ženklas.

2. Naujos medžiagos studijavimas.

a) Lentoje pavaizduota trapecija ABCD.

b) Mokytojas prašo prisiminti trapecijos apibrėžimą. Kiekvienas stalas turi užuominų diagramą, kuri padės atsiminti pagrindines temos „Trapecija“ sąvokas (žr. 1 priedą). Prie kiekvieno stalo išduodamas 1 priedas.

Mokiniai savo sąsiuviniuose nupiešia trapeciją ABCD.

c) Mokytojas prašo prisiminti, kurioje temoje buvo susidurta su vidurio linijos sąvoka („Trikampio vidurio linija“). Mokiniai prisimena trikampio vidurio linijos apibrėžimą ir jos savybes.

e) Užsirašykite trapecijos vidurio linijos apibrėžimą, nubraižydami ją į sąsiuvinį.

Vidurinė linija Trapecija yra atkarpa, jungianti jos kraštinių vidurio taškus.

Šiame etape trapecijos vidurio linijos savybė lieka neįrodyta, todėl kitame pamokos etape reikia įrodyti trapecijos vidurio linijos savybę.

Teorema. Trapecijos vidurio linija lygiagreti jos pagrindams ir lygi jų pusinei sumai.

Duota: ABCD – trapecija,

MN – vidurio linija ABCD

Įrodyk, Ką:

1. BC || MN || REKLAMA.

2. MN = (AD + BC).

Galime užrašyti keletą išvadų, išplaukiančių iš teoremos sąlygų:

AM = MB, CN = ND, BC || REKLAMA.

Vien remiantis išvardintomis savybėmis neįmanoma įrodyti, ko reikia. Klausimų ir pratimų sistema turėtų paskatinti mokinius susieti trapecijos vidurio liniją su kokio nors trikampio, kurio savybes jie jau žino, vidurio linija. Jei pasiūlymų nėra, galite užduoti klausimą: kaip sukurti trikampį, kurio atkarpa MN būtų vidurio linija?

Užrašykime papildomą konstrukciją vienam iš atvejų.

Nubrėžkime tiesę BN, kertančią kraštinės AD tęsinį taške K.

Atsiranda papildomi elementai – trikampiai: ABD, BNM, DNK, BCN. Jei įrodysime, kad BN = NK, tai reikš, kad MN yra ABD vidurio linija, o tada galime panaudoti trikampio vidurio linijos savybę ir įrodyti, kad tai būtina.

Įrodymas:

1. Apsvarstykite BNC ir DNK, juose yra:

a) CNB =DNK (nuosavybė vertikalūs kampai);

b) BCN = NDK (vidinių kryžminių kampų savybė);

c) CN = ND (pagal teoremos sąlygas).

Tai reiškia BNC =DNK (iš šono ir dviejų gretimų kampų).

Q.E.D.

Įrodinėjimas gali būti atliekamas žodžiu klasėje, o namuose jį galima atkurti ir užrašyti į sąsiuvinį (mokytojo nuožiūra).

Būtina pasakyti apie kitus galimus šios teoremos įrodymo būdus:

1. Nubrėžkite vieną iš trapecijos įstrižainių ir naudokite trikampio vidurio linijos ženklą ir savybę.

2. Atlikti CF || BA ir apsvarstykite lygiagretainį ABCF ir DCF.

3. Atlikti EF || BA ir apsvarstykite FND ir ENC lygybę.

g) Šiame etape skiriami namų darbai: 84 pastraipa, vadovėlio leid. Atanasyanas L.S. (trapecijos vidurio linijos savybės įrodymas vektoriniu metodu), užsirašykite į savo sąsiuvinį.

h) Sprendžiame uždavinius naudodami trapecijos vidurio linijos apibrėžimą ir savybes, naudodami paruoštus brėžinius (žr. 2 priedą). Kiekvienam mokiniui įteikiamas 2 priedas, o uždavinių sprendimas surašomas tame pačiame lape trumpa forma.

Trapecija yra ypatingas keturkampio atvejis, kai viena kraštinių pora yra lygiagreti. Terminas „trapecija“ kilęs iš graikų kalbos žodžio τράπεζα, reiškiančio „stalas“, „stalas“. Šiame straipsnyje apžvelgsime trapecijos tipus ir jų savybes. Be to, išsiaiškinsime, kaip apskaičiuoti atskirus elementus, pavyzdžiui, lygiašonės trapecijos įstrižainę, vidurio liniją, plotą ir tt Medžiaga pateikiama elementarios populiariosios geometrijos stiliumi, t.y. lengvai prieinama forma. .

Bendra informacija

Pirmiausia išsiaiškinkime, kas yra keturkampis. Ši figūra yra ypatingas daugiakampio, turinčio keturias kraštines ir keturias viršūnes, atvejis. Dvi keturkampio viršūnės, kurios nėra gretimos, vadinamos priešingomis. Tą patį galima pasakyti apie dvi negretimas puses. Pagrindiniai keturkampių tipai yra lygiagretainis, stačiakampis, rombas, kvadratas, trapecija ir deltinis.

Taigi grįžkime prie trapecijos. Kaip jau minėjome, ši figūra turi dvi lygiagrečias puses. Jie vadinami bazėmis. Kitos dvi (nelygiagrečios) yra šoninės pusės. Egzamino medžiagoje ir įvairiose bandymai labai dažnai galima rasti problemų, susijusių su trapecijomis, kurių sprendimas dažnai reikalauja, kad mokinys turėtų programoje nenumatytų žinių. Mokyklos geometrijos kursas supažindina mokinius su kampų ir įstrižainių savybėmis, taip pat lygiašonės trapecijos vidurio linija. Tačiau, be to, minėta geometrinė figūra turi ir kitų savybių. Bet apie juos kiek vėliau...

Trapecijos tipai

Yra daug šios figūros tipų. Tačiau dažniausiai įprasta laikyti du iš jų - lygiašonius ir stačiakampius.

1. Stačiakampė trapecija yra figūra, kurios viena iš kraštinių yra statmena pagrindams. Jos du kampai visada lygūs devyniasdešimt laipsnių.

2. Lygiašonė trapecija yra geometrinė figūra, kurios kraštinės yra lygios viena kitai. Tai reiškia, kad kampai prie pagrindų taip pat yra lygūs poromis.

Pagrindiniai trapecijos savybių tyrimo metodikos principai

Pagrindinis principas apima vadinamojo užduočių metodo naudojimą. Tiesą sakant, nereikia įvesti naujų šios figūros savybių į teorinį geometrijos kursą. Jas galima atrasti ir suformuluoti sprendžiant įvairias problemas (geriausia sistemines). Tuo pačiu labai svarbu, kad mokytojas žinotų, kokias užduotis vienu ar kitu metu reikia skirti mokiniams ugdymo procesas. Be to, kiekviena trapecijos savybė gali būti pavaizduota kaip pagrindinė užduotis užduočių sistemoje.

Antrasis principas yra vadinamasis spiralinis trapecijos „nepaprastų“ savybių tyrimo organizavimas. Tai reiškia, kad mokymosi procese grįžtama prie individualių tam tikros geometrinės figūros ypatybių. Taip mokiniams lengviau juos atsiminti. Pavyzdžiui, keturių taškų savybė. Tai galima įrodyti tiek tiriant panašumą, tiek vėliau naudojant vektorius. O trikampių, esančių šalia figūros šoninių kraštinių, lygiavertiškumą galima įrodyti taikant ne tik vienodo aukščio trikampių, nubrėžtų toje pačioje tiesėje esančiose kraštinėse, savybes, bet ir naudojant formulę S = 1/2( ab*sinα). Be to, galite dirbti su įbrėžta trapecija arba stačiu trikampiu ant įbrėžtos trapecijos ir pan.

„Nepamokinių“ geometrinės figūros ypatybių naudojimas mokyklinio kurso turinyje yra užduotimis pagrįsta jų mokymo technologija. Nuolatinis remtis tiriamomis savybėmis, nagrinėjant kitas temas, leidžia studentams giliau pažinti trapeciją ir užtikrina sėkmę sprendžiant priskirtas problemas. Taigi, pradėkime tyrinėti šią nuostabią figūrą.

Lygiašonės trapecijos elementai ir savybės

Kaip jau minėjome, ši geometrinė figūra turi lygias puses. Ji taip pat žinoma kaip teisinga trapecija. Kodėl jis toks nuostabus ir kodėl gavo tokį pavadinimą? Šios figūros ypatumas yra tas, kad ne tik kraštinės ir kampai prie pagrindų yra vienodi, bet ir įstrižainės. Be to, lygiašonės trapecijos kampų suma yra 360 laipsnių. Bet tai dar ne viskas! Iš visų žinomų trapecijų tik lygiašonis gali būti apibūdintas kaip apskritimas. Taip yra dėl to, kad šios figūros priešingų kampų suma yra lygi 180 laipsnių, ir tik esant tokiai sąlygai galima apibūdinti apskritimą aplink keturkampį. Kita nagrinėjamos geometrinės figūros savybė yra ta, kad atstumas nuo pagrindo viršūnės iki priešingos viršūnės projekcijos į tiesę, kurioje yra šis pagrindas, bus lygus vidurio linijai.

Dabar išsiaiškinkime, kaip rasti lygiašonės trapecijos kampus. Panagrinėkime šios problemos sprendimą, jei žinomi figūros kraštinių matmenys.

Sprendimas

Paprastai keturkampis paprastai žymimas raidėmis A, B, C, D, kur BS ir AD yra bazės. Lygiašonės trapecijos kraštinės yra lygios. Darysime prielaidą, kad jų dydis lygus X, o pagrindų dydžiai lygūs Y ir Z (atitinkamai mažesni ir didesni). Norint atlikti skaičiavimą, reikia nubrėžti aukštį H nuo kampo B. Gaunamas stačiakampis trikampis ABN, kur AB yra hipotenuzė, o BN ir AN yra kojos. Apskaičiuojame kojos dydį AN: iš didesnio pagrindo atimame mažesnę, o rezultatą padalijame iš 2. Rašome formulės forma: (Z-Y)/2 = F. Dabar apskaičiuokite ūminį trikampio kampą, naudojame cos funkciją. Gauname tokį įrašą: cos(β) = X/F. Dabar apskaičiuojame kampą: β=arcos (X/F). Be to, žinodami vieną kampą, galime nustatyti antrąjį, tam atliekame elementarią aritmetinę operaciją: 180 - β. Visi kampai yra apibrėžti.

Yra ir antras šios problemos sprendimas. Pirmiausia nuleidžiame nuo kampo iki aukščio H. Apskaičiuojame kojos BN reikšmę. Žinome, kad hipotenuzės kvadratas taisyklingas trikampis lygi sumai kojų kvadratai. Gauname: BN = √(X2-F2). Toliau naudojame trigonometrinė funkcija tg. Dėl to gauname: β = arctan (BN/F). Aštrus kampas rasta. Toliau mes jį apibrėžiame panašiai kaip pirmasis metodas.

Lygiašonės trapecijos įstrižainių savybė

Pirmiausia užsirašykime keturias taisykles. Jei lygiašonės trapecijos įstrižainės yra statmenos, tada:

Figūros aukštis bus lygus bazių sumai, padalytai iš dviejų;

Jo aukštis ir vidurio linija yra vienodi;

Apskritimo centras yra taškas, kuriame ;

Jei šoninė pusė yra padalinta pagal liesties tašką į atkarpas H ir M, tada ji yra lygi kvadratinė šaknisšių segmentų produktai;

Keturkampis, kurį sudaro lietimo taškai, trapecijos viršūnė ir įbrėžto apskritimo centras, yra kvadratas, kurio kraštinė lygi spinduliui;

Figūros plotas lygus pagrindų sandaugai ir pusės pagrindų sumos bei jos aukščio sandaugai.

Panašios trapecijos

Ši tema labai patogi tiriant šio savybes Pavyzdžiui, įstrižainės dalija trapeciją į keturis trikampius, o esantys greta pagrindų yra panašūs, o esantys prie šonų yra vienodo dydžio. Šį teiginį galima pavadinti trikampių savybe, į kuriuos trapecija padalinta jos įstrižainėmis. Pirmoji šio teiginio dalis įrodoma per panašumo ženklą dviem kampais. Norint įrodyti antrąją dalį, geriau naudoti toliau pateiktą metodą.

Teoremos įrodymas

Pripažįstame, kad figūra ABSD (AD ir BS yra trapecijos pagrindai) yra padalinta iš įstrižainių VD ir AC. Jų susikirtimo taškas yra O. Gauname keturis trikampius: AOS - apatiniame pagrinde, BOS - viršutiniame pagrinde, ABO ir SOD šonuose. Trikampiai SOD ir BOS turi bendrą aukštį, jei atkarpos BO ir OD yra jų pagrindai. Pastebime, kad skirtumas tarp jų plotų (P) yra lygus skirtumui tarp šių segmentų: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Todėl PSOD = PBOS/K. Panašiai trikampiai BOS ir AOB turi bendrą aukštį. Jų pagrindu imame CO ir OA segmentus. Gauname PBOS/PAOB = CO/OA = K ir PAOB = PBOS/K. Iš to išplaukia, kad PSOD = PAOB.

Medžiagai įtvirtinti, mokiniams rekomenduojama rasti ryšį tarp gautų trikampių, į kuriuos trapecija padalinta įstrižainėmis, plotų, sprendžiant šį uždavinį. Yra žinoma, kad trikampių BOS ir AOD plotai yra vienodi, todėl reikia rasti trapecijos plotą. Kadangi PSOD = PAOB, tai reiškia PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. Iš trikampių BOS ir AOD panašumo išplaukia, kad BO/OD = √(PBOS/PAOD). Todėl PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Gauname PSOD = √ (PBOS*PAOD). Tada PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Panašumo savybės

Toliau plėtojant šią temą, galima įrodyti ir kitą įdomių savybių trapecijos formos. Taigi, naudodami panašumą, galite įrodyti atkarpos, einančios per tašką, savybę, susiformavo sankryžašios geometrinės figūros įstrižainės, lygiagrečios pagrindams. Norėdami tai padaryti, išspręskime šią užduotį: reikia rasti atkarpos RK, kuri eina per tašką O, ilgį. Iš trikampių AOD ir BOS panašumo išplaukia, kad AO/OS = AD/BS. Iš trikampių AOP ir ASB panašumo išplaukia, kad AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Iš čia gauname, kad RO=BS*BP/(BS+BP). Panašiai iš trikampių DOC ir DBS panašumo išplaukia, kad OK = BS*AD/(BS+AD). Iš čia gauname, kad RO=OK ir RK=2*BS*AD/(BS+AD). Atkarpa, einanti per įstrižainių susikirtimo tašką, lygiagreti pagrindams ir jungianti dvi šonines puses, yra padalinta per pusę iš susikirtimo taško. Jo ilgis yra harmoninis figūros pagrindų vidurkis.

Apsvarstykite šią trapecijos savybę, kuri vadinama keturių taškų savybe. Įstrižainių susikirtimo taškai (O), kraštinių tęsinio susikirtimo taškai (E), taip pat pagrindų vidurio taškai (T ir F) visada yra toje pačioje tiesėje. Tai galima lengvai įrodyti panašumo metodu. Gauti trikampiai BES ir AED yra panašūs, o kiekviename iš jų medianos ET ir EJ padalija viršūnės kampą E į lygias dalis. Todėl taškai E, T ir F yra toje pačioje tiesėje. Lygiai taip pat taškai T, O ir Zh yra išsidėstę toje pačioje tiesėje.Visa tai išplaukia iš trikampių BOS ir AOD panašumo. Iš čia daroma išvada, kad visi keturi taškai – E, T, O ir F – bus toje pačioje tiesėje.

Naudodami panašias trapecijas, galite paprašyti mokinių surasti atkarpos (LS), kuri padalija figūrą į dvi panašias, ilgį. Šis segmentas turi būti lygiagretus pagrindams. Kadangi gautos trapecijos ALFD ir LBSF yra panašios, tai BS/LF = LF/AD. Iš to išplaukia, kad LF=√(BS*AD). Pastebime, kad atkarpos, dalijančios trapeciją į dvi panašias, ilgis lygus figūros pagrindų ilgių geometriniam vidurkiui.

Apsvarstykite šią panašumo savybę. Jis pagrįstas atkarpa, padalijančia trapeciją į dvi lygias figūras. Darome prielaidą, kad trapecija ABSD yra padalinta iš atkarpos EH į dvi panašias. Iš viršūnės B praleidžiamas aukštis, kuris segmentu EN yra padalintas į dvi dalis - B1 ir B2. Gauname: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 ir PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Toliau sudarome sistemą, kurios pirmoji lygtis yra (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2, o antroji (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Iš to išplaukia, kad B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) ir BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Pastebime, kad atkarpos, dalijančios trapeciją į dvi lygias, ilgis yra lygus bazių ilgių kvadratiniam vidurkiui: √((BS2+AD2)/2).

Panašumo išvados

Taigi mes įrodėme, kad:

1. Atkarpa, jungianti trapecijos šoninių kraštinių vidurio taškus, yra lygiagreti AD ir BS ir yra lygi BS ir AD aritmetiniam vidurkiui (trapecijos pagrindo ilgiui).

2. Tiesė, einanti per AD ir BS lygiagrečių įstrižainių susikirtimo tašką O, bus lygi skaičių AD ir BS harmoniniam vidurkiui (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Atkarpa, dalijanti trapeciją į panašias, turi bazių BS ir AD geometrinio vidurkio ilgį.

4. Elementas, dalijantis figūrą į dvi lygias dalis, turi skaičių AD ir BS vidurkio kvadrato ilgį.

Norint įtvirtinti medžiagą ir suprasti ryšį tarp nagrinėjamų segmentų, studentas turi juos sukonstruoti konkrečiai trapecijai. Jis gali lengvai parodyti vidurinę liniją ir atkarpą, kuri eina per tašką O – figūros įstrižainių sankirtą – lygiagrečiai pagrindams. Bet kur bus trečiasis ir ketvirtasis? Šis atsakymas paskatins mokinį atrasti norimą ryšį tarp vidutinių verčių.

Atkarpa, jungianti trapecijos įstrižainių vidurio taškus

Apsvarstykite šią šios figūros savybę. Darome prielaidą, kad atkarpa MH yra lygiagreti pagrindams ir dalija įstrižaines. Pavadinkime susikirtimo taškus Ш ir Ш. Ši atkarpa bus lygi pusei bazių skirtumo. Pažvelkime į tai išsamiau. MS yra vidurinė ABS trikampio linija, ji lygi BS/2. MSH yra trikampio ABD vidurinė linija, ji lygi AD/2. Tada gauname, kad ShShch = MSh-MSh, todėl ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Gravitacijos centras

Pažiūrėkime, kaip šis elementas nustatomas tam tikrai geometrinei figūrai. Norėdami tai padaryti, būtina išplėsti pagrindą priešingos pusės. Ką tai reiškia? Turite pridėti apatinį pagrindą prie viršutinio pagrindo - bet kuria kryptimi, pavyzdžiui, į dešinę. O apatinį pratęsiame viršutinio ilgiu į kairę. Toliau juos sujungiame įstrižai. Šios atkarpos susikirtimo su figūros vidurio linija taškas yra trapecijos svorio centras.

Įbrėžtos ir apribotos trapecijos

Išvardinkime tokių figūrų ypatybes:

1. Trapeciją galima įbrėžti į apskritimą tik tada, kai ji lygiašonė.

2. Aplink apskritimą galima aprašyti trapeciją, jei jų pagrindų ilgių suma lygi kraštinių ilgių sumai.

Apskritimo išvados:

1. Aprašytos trapecijos aukštis visada lygus dviem spinduliams.

2. Aprašytos trapecijos kraštinė stebima nuo apskritimo centro stačiu kampu.

Pirmoji pasekmė yra akivaizdi, tačiau norint įrodyti antrąjį, būtina nustatyti, kad kampas SOD yra teisingas, o tai, tiesą sakant, taip pat nėra sunku. Tačiau žinios apie šią savybę leis naudoti stačiakampį trikampį sprendžiant problemas.

Dabar nurodykime šias pasekmes lygiašonei trapecijai, įbrėžtai apskritime. Nustatome, kad aukštis yra figūros pagrindų geometrinis vidurkis: H=2R=√(BS*AD). Praktikuodamas pagrindinę trapecijos uždavinių sprendimo techniką (dviejų aukščių brėžimo principą), studentas turi išspręsti šią užduotį. Darome prielaidą, kad BT yra lygiašonės figūros ABSD aukštis. Būtina rasti segmentus AT ir TD. Naudojant aukščiau aprašytą formulę, tai padaryti nebus sunku.

Dabar išsiaiškinkime, kaip nustatyti apskritimo spindulį, naudojant apibrėžtos trapecijos plotą. Nuleidžiame aukštį nuo viršūnės B iki pagrindo AD. Kadangi apskritimas įrašytas į trapeciją, tai BS+AD = 2AB arba AB = (BS+AD)/2. Iš trikampio ABN randame sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Gauname PABSD = (BS+BP)*R, tai reiškia, kad R = PABSD/(BS+BP).

Visos trapecijos vidurio linijos formulės

Dabar atėjo laikas pereiti prie paskutinio šios geometrinės figūros elemento. Išsiaiškinkime, kam lygi trapecijos vidurinė linija (M):

1. Per pagrindus: M = (A+B)/2.

2. Per aukštį, pagrindą ir kampus:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Per aukštį, įstrižaines ir kampą tarp jų. Pavyzdžiui, D1 ir D2 yra trapecijos įstrižainės; α, β - kampai tarp jų:

M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.

4. Praėjimo plotas ir aukštis: M = P/N.