2.3. Skaitļu pārvēršana no vienas skaitļu sistēmas citā
2.3.1. Veselu skaitļu pārvēršana no vienas skaitļu sistēmas citā
Ir iespējams formulēt veselu skaitļu konvertēšanas algoritmu no radix sistēmas lpp sistēmā ar bāzi q :
1. Pamatne jauna sistēma izteikt skaitļus, izmantojot skaitļus no sākotnējās skaitļu sistēmas, un veikt visas turpmākās darbības sākotnējā skaitļu sistēmā.
2. Konsekventi sadaliet doto skaitli un iegūtos veselo skaitļu koeficientus ar jaunās skaitļu sistēmas bāzi, līdz iegūstam koeficientu, kas ir mazāks par dalītāju.
3. Iegūtie atlikumi, kas ir skaitļa cipari jaunajā skaitļu sistēmā, tiek saskaņoti ar jaunās skaitļu sistēmas alfabētu.
4. Sastādiet skaitli jaunajā skaitļu sistēmā, pierakstot to, sākot no pēdējās atlikuma.
Piemērs 2.12. Pārvērtiet decimālskaitli 173 10 par oktālo skaitļu sistēmu:
Mēs iegūstam: 173 10 = 255 8
Piemērs 2.13. Pārvērtiet decimālo skaitli 173 10 par heksadecimālo skaitļu sistēmu:
Mēs iegūstam: 173 10 = AD 16.
Piemērs 2.14. Pārvērtiet decimālo skaitli 11 10 uz bināro skaitļu sistēmu. Iepriekš apspriesto darbību secību (tulkošanas algoritmu) ir ērtāk attēlot šādi:
Mēs iegūstam: 11 10 = 1011 2.
Piemērs 2.15. Dažreiz ir ērtāk pierakstīt tulkošanas algoritmu tabulas veidā. Pārvērsīsim decimālo skaitli 363 10 par bināru skaitli.
|
Dalītājs |
|||||||||
Mēs iegūstam: 363 10 =101101011 2
2.3.2. Daļskaitļu pārvēršana no vienas skaitļu sistēmas citā
Ir iespējams noformulēt algoritmu pareizas daļdaļas konvertēšanai ar bāzi lpp daļā ar bāzi q:
1. Izsakiet jaunās skaitļu sistēmas bāzi ar skaitļiem no sākotnējās skaitļu sistēmas un veiciet visas turpmākās darbības sākotnējā skaitļu sistēmā.
2. Konsekventi reiziniet dotos skaitļus un iegūtās reizinājumu daļdaļas ar jaunās sistēmas bāzi, līdz reizinājuma daļdaļa kļūst vienāda ar nulli vai tiek sasniegta nepieciešamā skaitļu attēlojuma precizitāte.
3. Rezultātā iegūtās produktu veselās daļas, kas ir skaitļa cipari jaunajā skaitļu sistēmā, jāsaskaņo ar jaunās skaitļu sistēmas alfabētu.
4. Sastādiet skaitļa daļējo daļu jaunajā skaitļu sistēmā, sākot no pirmā reizinājuma veselā skaitļa daļas.
Piemērs 2.17. Pārvērtiet skaitli 0,65625 10 uz oktālo skaitļu sistēmu.
Mēs iegūstam: 0,65625 10 =0,52 8
Piemērs 2.17. Pārvērtiet skaitli 0,65625 10 par heksadecimālo skaitļu sistēmu.
|
x 16 |
|
Mēs iegūstam: 0.65625 10 =0.A8 1
Piemērs 2.18. Pārvērtiet decimālo daļu 0,5625 10 uz bināro skaitļu sistēmu.
|
x 2 |
|
|
x 2 |
|
|
x 2 |
|
|
x 2 |
|
Mēs iegūstam: 0,5625 10 =0,1001 2
Piemērs 2.19. Pārvērtiet decimālo daļu 0,7 10 binārajā skaitļu sistēmā.
Acīmredzot šis process var turpināties bezgalīgi, dodot arvien jaunas zīmes skaitļa 0,7 10 binārā ekvivalenta attēlā. Tātad četros soļos mēs iegūstam skaitli 0.1011 2 un septiņos soļos skaitli 0.1011001 2, kas ir precīzāks skaitļa 0.7 10 attēlojums binārā formā. numuru sistēma un tml. Šāds bezgalīgs process tiek pārtraukts noteiktā solī, kad tiek uzskatīts, ka ir iegūta nepieciešamā skaitļu attēlojuma precizitāte.
2.3.3. Patvaļīgu skaitļu tulkošana
Patvaļīgu skaitļu tulkošana, t.i. skaitļi, kas satur veselu skaitli un daļēju daļu, tiek veikti divos posmos: veselā skaitļa daļa tiek tulkota atsevišķi, bet daļēja daļa atsevišķi. Iegūtā skaitļa galīgajā ierakstā veselā skaitļa daļa tiek atdalīta no daļdaļas ar komatu (punktu).
Piemērs 2.20. Pārvērtiet skaitli 17,25 10 uz bināro skaitļu sistēmu.
Mēs iegūstam: 17,25 10 = 1001,01 2
Piemērs 2.21. Pārvērtiet skaitli 124,25 10 uz oktālu sistēmu.
Mēs iegūstam: 124,25 10 = 174,2 8
2.3.4. Skaitļu pārvēršana no 2. bāzes uz 2. bāzi n un otrādi
Veselu skaitļu tulkošana. Ja q-āru skaitļu sistēmas bāze ir 2 pakāpums, tad skaitļu pārvēršanu no q-āru skaitļu sistēmas uz 2-skaitļu sistēmu un atpakaļ var veikt, izmantojot vairāk vienkārši noteikumi. Lai skaitļu sistēmā ierakstītu veselu bināru skaitli ar bāzi q=2 n, nepieciešams:
1. Sadaliet bināro skaitli no labās puses uz kreiso n ciparu grupās katrā.
2. Ja pēdējā kreisajā grupā ir mazāk par n cipariem, tad tā kreisajā pusē jāpapildina ar nullēm līdz vajadzīgajam ciparu skaitam.
Piemērs 2.22. Skaitlis 101100001000110010 2 tiks pārveidots par oktālo skaitļu sistēmu.
Mēs sadalām skaitli no labās puses uz kreiso triādēs un zem katra no tām ierakstām atbilstošo oktālo ciparu:
Mēs iegūstam oriģinālā skaitļa oktālu: 541062 8 .
Piemērs 2.23. Skaitlis 1000000000111110000111 2 tiks pārveidots par heksadecimālo skaitļu sistēmu.
Mēs sadalām skaitli no labās puses uz kreiso tetrados un zem katra no tiem ierakstām atbilstošo heksadecimālo ciparu:
Mēs iegūstam sākotnējā skaitļa heksadecimālo attēlojumu: 200F87 16.
Tulkošana daļskaitļi. Lai ierakstītu daļēju bināru skaitli skaitļu sistēmā ar bāzi q=2 n, nepieciešams:
1. Sadaliet bināro skaitli no kreisās puses uz labo n ciparu grupās katrā.
2. Ja pēdējā labajā grupā ir mazāk par n cipariem, tad tā labajā pusē jāpapildina ar nullēm līdz vajadzīgajam ciparu skaitam.
3. Aplūkosim katru grupu par n-bitu bināru skaitli un ierakstiet to ar atbilstošo ciparu skaitļu sistēmā ar bāzi q=2 n.
Piemērs 2.24. Skaitlis 0,10110001 2 tiks pārveidots par oktālo skaitļu sistēmu.
Mēs sadalām skaitli no kreisās puses uz labo triādēs un zem katra no tām ierakstām atbilstošo oktālo ciparu:
Mēs iegūstam oriģinālā skaitļa oktālo attēlojumu: 0,542 8 .
Piemērs 2.25. Skaitlis 0,100000000011 2 tiks pārveidots par heksadecimālo skaitļu sistēmu. Skaitli no kreisās puses uz labo sadalām tetrādos un zem katra no tiem ierakstām atbilstošo heksadecimālo ciparu:
Mēs iegūstam sākotnējā skaitļa heksadecimālo attēlojumu: 0,803 16
Patvaļīgu skaitļu tulkošana. Lai skaitļu sistēmā ierakstītu patvaļīgu bināru skaitli ar bāzi q=2 n, nepieciešams:
1. Sadaliet dotā binārā skaitļa veselo skaitļu daļu no labās puses uz kreiso un daļējo daļu no kreisās puses uz labo n ciparu grupās katrā.
2. Ja pēdējās kreisās un/vai labās grupas ir mazāk par n cipariem, tad tās kreisajā un/vai labajā pusē jāpapildina ar nullēm līdz vajadzīgajam ciparu skaitam;
3. Uzskatiet katru grupu par n-bitu bināru skaitli un ierakstiet to ar atbilstošo ciparu skaitļu sistēmā ar bāzi q = 2 n
Piemērs 2.26. Pārveidosim skaitli 111100101.0111 2 uz oktālo skaitļu sistēmu.
Mēs sadalām skaitļa veselās un daļējās daļas triādēs un zem katras no tām ierakstām atbilstošo oktālo ciparu:
Mēs iegūstam oriģinālā skaitļa oktālo attēlojumu: 745.34 8 .
Piemērs 2.27. Skaitlis 11101001000,11010010 2 tiks pārveidots par heksadecimālo skaitļu sistēmu.
Mēs sadalām skaitļa veselās un daļējās daļas piezīmju grāmatiņās un zem katra no tām ierakstām atbilstošo heksadecimālo ciparu:
Mēs iegūstam sākotnējā skaitļa heksadecimālo attēlojumu: 748,D2 16.
Skaitļu pārvēršana no skaitļu sistēmām ar bāzi q=2n uz bināro. Lai patvaļīgu skaitli, kas ierakstīts skaitļu sistēmā ar bāzi q=2 n, pārvērstu binārajā skaitļu sistēmā, katrs šī skaitļa cipars ir jāaizstāj ar tā n-ciparu ekvivalentu binārajā skaitļu sistēmā.
Piemērs 2.28.Pārvērsīsim heksadecimālo skaitli 4AC35 16 uz bināro skaitļu sistēmu.
Saskaņā ar algoritmu:
Mēs saņemam: 1001010110000110101 2 .
Uzdevumi patstāvīgai izpildei (Atbildes)
2.38. Aizpildiet tabulu, kuras katrā rindā dažādās skaitļu sistēmās jāieraksta viens un tas pats vesels skaitlis.
|
Binārs |
Octal |
Decimālzīme |
Heksadecimāls |
2.39. Aizpildiet tabulu, kuras katrā rindā dažādās skaitļu sistēmās jāieraksta viens un tas pats daļskaitlis.
|
Binārs |
Octal |
Decimālzīme |
Heksadecimāls |
2.40. Aizpildiet tabulu, kuras katrā rindā dažādās skaitļu sistēmās jāieraksta viens un tas pats patvaļīgs skaitlis (skaitlis var saturēt gan veselu, gan daļēju daļu).
|
Binārs |
Octal |
Decimālzīme |
Heksadecimāls |
|
59.B |
1. Kārtu skaitīšana dažādās skaitļu sistēmās.
IN mūsdienu dzīve mēs izmantojam pozicionālo skaitļu sistēmas, tas ir, sistēmas, kurās ar ciparu apzīmētais skaitlis ir atkarīgs no cipara atrašanās vietas skaitļa apzīmējumā. Tāpēc turpmāk runāsim tikai par tiem, izlaižot terminu “pozicionāls”.
Lai uzzinātu, kā pārvērst skaitļus no vienas sistēmas citā, mēs sapratīsim, kā notiek skaitļu secīga ierakstīšana, izmantojot decimālās sistēmas piemēru.
Tā kā mums ir decimālo skaitļu sistēma, mums ir 10 simboli (cipari), lai izveidotu skaitļus. Sākam skaitīt: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Skaitļi ir beigušies. Mēs palielinām skaitļa bitu dziļumu un atiestatām zemās kārtas ciparu: 10. Pēc tam mēs atkal palielinām zemās kārtas ciparu, līdz visi cipari ir pazuduši: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Mēs palielinām augstākās kārtas ciparu par 1 un atiestatām zemās kārtas ciparu: 20. Kad mēs izmantojam visus ciparus abiem cipariem (iegūstam skaitli 99), mēs atkal palielinām skaitļa ciparu ietilpību un atiestatām esošie cipari: 100. Un tā tālāk.
Mēģināsim darīt to pašu 2., 3. un 5. sistēmā (ieviešam apzīmējumu 2. sistēmai, 3. sistēmai utt.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Ja skaitļu sistēmas bāze ir lielāka par 10, tad mums būs jāievada papildu rakstzīmes; ir ierasts ievadīt burtus Latīņu alfabēts. Piemēram, 12 ciparu sistēmai papildus desmit cipariem mums ir nepieciešami divi burti ( un ):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Pārvēršana no decimālskaitļu sistēmas uz jebkuru citu.
Lai pārvērstu pozitīvu veselu decimālo skaitli skaitļu sistēmā ar citu bāzi, šis skaitlis ir jādala ar bāzi. Iegūto koeficientu vēlreiz dala ar bāzi un tālāk, līdz koeficients ir mazāks par bāzi. Rezultātā vienā rindā pierakstiet pēdējo koeficientu un visus atlikumus, sākot no pēdējās.
1. piemērs. Pārveidosim decimālo skaitli 46 par bināro skaitļu sistēmu.
2. piemērs. Pārveidosim decimālo skaitli 672 uz oktālo skaitļu sistēmu.
3. piemērs. Pārveidosim decimālo skaitli 934 uz heksadecimālo skaitļu sistēmu.
3. Pārvēršana no jebkuras skaitļu sistēmas uz decimāldaļu.
Lai uzzinātu, kā pārvērst skaitļus no jebkuras citas sistēmas decimāldaļās, analizēsim parasto decimālskaitļa apzīmējumu.
Piemēram, decimālskaitlis 325 ir 5 vienības, 2 desmiti un 3 simti, t.i.
Tieši tāda pati situācija ir arī citās skaitļu sistēmās, tikai mēs reizinām nevis ar 10, 100 utt., bet gan ar skaitļu sistēmas bāzes pakāpēm. Piemēram, ņemsim skaitli 1201 trīskāršā skaitļu sistēmā. Numurēsim ciparus no labās puses uz kreiso, sākot no nulles, un iedomāsimies mūsu skaitli kā skaitļa un trīs reizinājumu summu līdz skaitļa cipara pakāpei:
Tā tas ir decimālzīme mūsu numurs, t.i.
4. piemērs. Pārveidosim oktālo skaitli 511 par decimālo skaitļu sistēmu.
5. piemērs. Pārveidosim heksadecimālo skaitli 1151 par decimālo skaitļu sistēmu.
4. Pārskaitījums no binārā sistēma sistēmā ar bāzes “jaudu divi” (4, 8, 16 utt.).
Lai bināro skaitli pārvērstu skaitļā ar divu bāzu pakāpju, binārā secība ir jāsadala grupās atbilstoši ciparu skaitam, kas vienāds ar jaudu no labās uz kreiso pusi, un jāaizstāj katra grupa ar atbilstošo jaunās kārtas ciparu. numuru sistēma.
Piemēram, pārveidosim bināro skaitli 1100001111010110 par oktālo sistēmu. Lai to izdarītu, mēs to sadalīsim grupās pa 3 rakstzīmēm, sākot no labās puses (no ), un pēc tam izmantosim atbilstības tabulu un aizstājam katru grupu ar jaunu numuru:
Mēs uzzinājām, kā izveidot atbilstības tabulu 1. darbībā.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Tie.
6. piemērs. Pārveidosim bināro skaitli 1100001111010110 par heksadecimālu.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5. Konvertēšana no sistēmas ar bāzes “jaudu no diviem” (4, 8, 16 utt.) uz bināru.
Šis tulkojums ir līdzīgs iepriekšējam tulkojumam, kas veikts otrā puse: mēs aizvietojam katru ciparu ar bināro ciparu grupu no uzmeklēšanas tabulas.
7. piemērs. Pārveidosim heksadecimālo skaitli C3A6 par bināro skaitļu sistēmu.
Lai to izdarītu, nomainiet katru skaitļa ciparu ar 4 ciparu grupu (kopš ) no atbilstības tabulas, vajadzības gadījumā papildinot grupu ar nullēm sākumā:
Skaitļu pārvēršana no vienas skaitļu sistēmas citā ir svarīga mašīnas aritmētikas daļa. Apskatīsim tulkošanas pamatnoteikumus.
1. Lai bināro skaitli pārvērstu par decimāldaļu, tas jāuzraksta polinoma formā, kas sastāv no skaitļa ciparu un atbilstošās pakāpes 2 reizinājuma, un jāaprēķina saskaņā ar noteikumiem decimālā aritmētika:
Tulkojot, ir ērti izmantot divu pakāpju tabulu:
4. tabula. Skaitļa 2 pakāpes
|
n (grāds) |
|||||||||||
Piemērs.
2. Lai oktālo skaitli pārvērstu par decimālskaitli, tas ir jāpieraksta kā polinoms, kas sastāv no skaitļa ciparu un atbilstošās skaitļa 8 pakāpības reizinājumiem, un jāaprēķina pēc decimālskaitļa noteikumiem. aritmētika:
Tulkojot, ir ērti izmantot astoņu pakāpju tabulu:
5. tabula. Skaitļa 8 pakāpes
|
n (grāds) |
|||||||
Piemērs. Konvertējiet skaitli decimālskaitļu sistēmā.
3. Lai heksadecimālo skaitli pārvērstu par decimāldaļu, tas jāuzraksta polinoma formā, kas sastāv no skaitļa ciparu un atbilstošā skaitļa 16 jaudas reizinājuma, un jāaprēķina saskaņā ar decimālās aritmētikas noteikumi:
Tulkojot, tas ir ērti lietojams skaitļa 16 spēku zibens:
6. tabula. Skaitļa 16 pilnvaras
|
n (grāds) |
|||||||
Piemērs. Konvertējiet skaitli decimālskaitļu sistēmā.
4. Lai decimālo skaitli pārvērstu binārajā sistēmā, tas ir secīgi jādala ar 2, līdz paliek atlikums, kas ir mazāks vai vienāds ar 1. Skaitlis binārajā sistēmā tiek uzrakstīts kā pēdējā dalīšanas rezultāta secība un atlikumi no sadalīšana apgrieztā secībā.
Piemērs. Konvertējiet skaitli binārajā skaitļu sistēmā.
5. Lai decimālo skaitli pārvērstu oktālajā sistēmā, tas ir secīgi jādala ar 8, līdz paliek atlikums, kas ir mazāks vai vienāds ar 7. Skaitli oktālajā sistēmā raksta kā pēdējās dalīšanas rezultāta ciparu secību un sadalījuma atlikums apgrieztā secībā.
Piemērs. Pārvērtiet skaitli oktālo skaitļu sistēmā.
6. Lai decimālo skaitli pārvērstu heksadecimālajā sistēmā, tas ir secīgi jādala ar 16, līdz paliek atlikums, kas ir mazāks vai vienāds ar 15. Skaitli heksadecimālajā sistēmā raksta kā pēdējā dalīšanas rezultāta ciparu secību un atlikumus no dalīšanas apgrieztā secībā.
Piemērs. Konvertējiet skaitli heksadecimālā skaitļu sistēmā.
Rezultāts jau saņemts!
Skaitļu sistēmas
Ir pozicionālās un nepozicionālās skaitļu sistēmas. Arābu skaitļu sistēma, kurā mēs izmantojam Ikdiena, ir pozicionāls, bet Romāns nav. Pozicionālo skaitļu sistēmās skaitļa pozīcija unikāli nosaka skaitļa lielumu. Apsvērsim to, izmantojot skaitļa 6372 piemēru decimālo skaitļu sistēmā. Numurēsim šo skaitli no labās puses uz kreiso, sākot no nulles:
Tad numuru 6372 var attēlot šādi:
6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .
Skaitlis 10 nosaka skaitļu sistēmu (šajā gadījumā tas ir 10). Dotā skaitļa pozīcijas vērtības tiek ņemtas par pakāpēm.
Apsveriet reālo decimālskaitli 1287,923. Numurēsim to, sākot no skaitļa nulles pozīcijas no decimāldaļas uz kreiso un labo pusi:
Tad skaitli 1287.923 var attēlot kā:
1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10-1 +2·10-2 +3· 10 -3.
Kopumā formulu var attēlot šādi:
C n s n +C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k
kur C n ir vesels skaitlis pozīcijā n, D -k — daļskaitlis pozīcijā (-k), s- skaitļu sistēma.
Daži vārdi par skaitļu sistēmām Skaitlis decimālo skaitļu sistēmā sastāv no daudziem cipariem (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), oktālo skaitļu sistēmā tas sastāv no daudziem cipariem (0,1, 2,3,4,5,6,7), binārajā skaitļu sistēmā - no ciparu kopas (0,1), heksadecimālajā skaitļu sistēmā - no ciparu kopas (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), kur A,B,C,D,E,F atbilst skaitļiem 10,11, 12,13,14,15.Tabulā Tab.1 skaitļi uzrādīti in dažādas sistēmas Izrēķināšanās.
| 1. tabula | |||
|---|---|---|---|
| Apzīmējums | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Skaitļu pārvēršana no vienas skaitļu sistēmas citā
Lai pārvērstu skaitļus no vienas skaitļu sistēmas citā, vienkāršākais veids ir vispirms pārvērst skaitļus decimālo skaitļu sistēmā un pēc tam konvertēt no decimālo skaitļu sistēmas uz vajadzīgo skaitļu sistēmu.
Skaitļu pārvēršana no jebkuras skaitļu sistēmas uz decimālo skaitļu sistēmu
Izmantojot formulu (1), jūs varat pārvērst skaitļus no jebkuras skaitļu sistēmas uz decimālo skaitļu sistēmu.
Piemērs 1. Pārvērtiet skaitli 1011101.001 no binārās skaitļu sistēmas (SS) uz decimālo SS. Risinājums:
1 ·2 6 +0 · 2 5 + 1 · 2 4+ 1 · 2 3+ 1 · 2 2+ 0 ·2 1+ 1 ·2 0+ 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125
Piemērs2. Pārvērtiet skaitli 1011101.001 no oktālo skaitļu sistēmas (SS) uz decimālo SS. Risinājums:
Piemērs 3 . Konvertējiet skaitli AB572.CDF no heksadecimālās skaitļu sistēmas uz decimālo SS. Risinājums:
Šeit A- aizstāts ar 10, B- pulksten 11, C- pulksten 12, F- līdz 15.
Skaitļu pārvēršana no decimālskaitļu sistēmas uz citu skaitļu sistēmu
Lai pārvērstu skaitļus no decimālskaitļu sistēmas uz citu skaitļu sistēmu, skaitļa veselā daļa un skaitļa daļdaļa ir jāpārvērš atsevišķi.
Skaitļa veselā skaitļa daļa tiek pārveidota no decimāldaļas SS uz citu skaitļu sistēmu, secīgi dalot skaitļa veselo skaitļa daļu ar skaitļu sistēmas bāzi (binārajai SS - ar 2, 8-ārajai SS - ar 8, 16 -ary SS - par 16 utt.), līdz tiek iegūts viss atlikums, mazāks par bāzes CC.
Piemērs 4 . Pārveidosim skaitli 159 no decimālā SS uz bināro SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Kā redzams no att. 1, skaitlis 159, dalot ar 2, dod koeficientu 79 un atlikumu 1. Turklāt skaitlis 79, dalīts ar 2, dod koeficientu 39 un atlikumu 1 utt. Rezultātā, konstruējot skaitli no dalīšanas atlikumiem (no labās uz kreiso), mēs iegūstam skaitli binārā SS: 10011111 . Tāpēc mēs varam rakstīt:
159 10 =10011111 2 .
Piemērs 5 . Pārveidosim skaitli 615 no decimāldaļas SS uz oktālo SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Pārvēršot skaitli no decimāldaļas SS uz oktālu SS, skaitlis ir jādala secīgi ar 8, līdz iegūstat veselu skaitļa atlikumu, kas mazāks par 8. Rezultātā, konstruējot skaitli no dalīšanas atlikumiem (no labās uz kreiso pusi), mēs iegūstam skaitlis oktālā SS: 1147 (skat. 2. att.). Tāpēc mēs varam rakstīt:
615 10 =1147 8 .
Piemērs 6 . Pārveidosim skaitli 19673 no decimālo skaitļu sistēmas uz heksadecimālo SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Kā redzams 3. attēlā, secīgi dalot skaitli 19673 ar 16, atlikumi ir 4, 12, 13, 9. Heksadecimālajā skaitļu sistēmā skaitlis 12 atbilst C, skaitlis 13 atbilst D. Tāpēc mūsu heksadecimālais skaitlis ir 4CD9.
Lai parastās decimāldaļdaļas (reālu skaitli ar veselu nulles daļu) pārvērstu skaitļu sistēmā ar bāzi s, šis skaitlis pēc kārtas jāreizina ar s, līdz daļdaļā ir tīra nulle vai mēs iegūstam vajadzīgo ciparu skaitu. . Ja reizināšanas laikā tiek iegūts skaitlis ar veselu skaitļa daļu, kas atšķiras no nulles, tad šī veselā skaitļa daļa netiek ņemta vērā (tie tiek secīgi iekļauti rezultātā).
Apskatīsim iepriekš minēto ar piemēriem.
Piemērs 7 . Pārveidosim skaitli 0,214 no decimālskaitļu sistēmas uz bināro SS.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Kā redzams no 4. att., skaitlis 0,214 tiek secīgi reizināts ar 2. Ja reizināšanas rezultāts ir skaitlis ar veselu skaitļa daļu, kas nav nulle, tad veselā skaitļa daļa tiek rakstīta atsevišķi (pa kreisi no skaitļa), un, kā redzams 4. att. un skaitlis ir rakstīts ar nulles vesela skaitļa daļu. Ja reizināšanas rezultātā tiek iegūts skaitlis ar nulles vesela skaitļa daļu, tad pa kreisi no tā tiek rakstīta nulle. Reizināšanas process turpinās, līdz daļējā daļa sasniedz tīru nulli vai iegūstam vajadzīgo ciparu skaitu. Rakstot treknrakstā skaitļus (4. att.) no augšas uz leju, iegūstam vajadzīgo skaitli binārajā skaitļu sistēmā: 0. 0011011 .
Tāpēc mēs varam rakstīt:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Piemērs 8 . Pārveidosim skaitli 0,125 no decimālskaitļu sistēmas uz bināro SS.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Lai pārvērstu skaitli 0,125 no decimālā SS uz bināro, šo skaitli secīgi reizina ar 2. Trešajā posmā rezultāts ir 0. Līdz ar to tiek iegūts šāds rezultāts:
0.125 10 =0.001 2 .
Piemērs 9 . Pārveidosim skaitli 0,214 no decimālo skaitļu sistēmas uz heksadecimālo SS.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Pēc 4. un 5. piemēra mēs iegūstam skaitļus 3, 6, 12, 8, 11, 4. Bet heksadecimālajā SS skaitļi 12 un 11 atbilst skaitļiem C un B. Tāpēc mums ir:
0,214 10 =0,36C8B4 16 .
Piemērs 10 . Pārveidosim skaitli 0,512 no decimālskaitļu sistēmas uz oktālo SS.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Ieguva:
0.512 10 =0.406111 8 .
Piemērs 11 . Pārveidosim skaitli 159.125 no decimālskaitļu sistēmas uz bināro SS. Lai to izdarītu, mēs atsevišķi tulkojam skaitļa veselo skaitļu daļu (4. piemērs) un skaitļa daļu (8. piemērs). Tālāk apvienojot šos rezultātus, mēs iegūstam:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Piemērs 12 . Pārveidosim skaitli 19673.214 no decimālo skaitļu sistēmas uz heksadecimālo SS. Lai to izdarītu, mēs atsevišķi tulkojam skaitļa veselo skaitļu daļu (6. piemērs) un skaitļa daļējo daļu (9. piemērs). Turklāt, apvienojot šos rezultātus, mēs iegūstam.
Kalkulators ļauj pārvērst veselus un daļskaitļus no vienas skaitļu sistēmas citā. Ciparu sistēmas bāze nedrīkst būt mazāka par 2 un lielāka par 36 (10 cipari un 26 Latīņu burti galu galā). Ciparu garums nedrīkst pārsniegt 30 rakstzīmes. Lai ievadītu daļskaitļus, izmantojiet simbolu. vai,. Lai konvertētu skaitļus no vienas sistēmas uz citu, pirmajā laukā ievadiet sākotnējo skaitli, otrajā laukā - sākotnējās skaitļu sistēmas bāzi un trešajā laukā tās skaitļu sistēmas bāzi, kurā vēlaties konvertēt skaitli, pēc tam noklikšķiniet uz pogas "Saņemt ierakstu".
Oriģinālais numurs rakstīts 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 36 35 - skaitļu sistēma.
Es gribu ierakstīt numuru 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 - skaitļu sistēma.
Saņemiet ierakstu
Tulkojumi pabeigti: 1237200
Skaitļu sistēmas
Skaitļu sistēmas ir sadalītas divos veidos: pozicionāls Un nav pozicionāls. Mēs izmantojam arābu sistēmu, tā ir pozicionāla, bet ir arī romiešu sistēma - tā nav pozicionāla. Pozicionālās sistēmās cipara pozīcija skaitļā unikāli nosaka šī skaitļa vērtību. To ir viegli saprast, aplūkojot kādu skaitli kā piemēru.
1. piemērs. Ņemsim skaitli 5921 decimālo skaitļu sistēmā. Numurēsim skaitli no labās puses uz kreiso, sākot no nulles:
Skaitli 5921 var uzrakstīt šādā formā: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Skaitlis 10 ir pazīme, kas nosaka skaitļu sistēmu. Dotā skaitļa pozīcijas vērtības tiek ņemtas par pakāpēm.
2. piemērs. Apsveriet reālo decimālskaitli 1234,567. Numurēsim to, sākot no skaitļa nulles pozīcijas no decimālpunkta uz kreiso un labo pusi:
Skaitli 1234,567 var uzrakstīt šādā formā: 1234,567 = 1000+200+30+4+0,5+0,06+0,007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6 · 10 -2 +7 · 10 -3 .
Skaitļu pārvēršana no vienas skaitļu sistēmas citā
Lielākā daļa vienkāršā veidā skaitļa pārvēršana no vienas skaitļu sistēmas citā nozīmē vispirms skaitli pārvērst decimālo skaitļu sistēmā un pēc tam iegūto rezultātu vajadzīgajā skaitļu sistēmā.
Skaitļu pārvēršana no jebkuras skaitļu sistēmas uz decimālo skaitļu sistēmu
Lai pārvērstu skaitli no jebkuras skaitļu sistēmas decimāldaļās, pietiek ar tā ciparu numurēšanu, sākot ar nulli (cipars pa kreisi no komata), līdzīgi kā 1. vai 2. piemērā. Atradīsim ciparu reizinājumu summu. no skaitļa pēc skaitļu sistēmas bāzes līdz šī cipara pozīcijas pakāpei:
1.
Konvertējiet skaitli 1001101.1101 2 uz decimālo skaitļu sistēmu.
Risinājums: 10011.1101 2 = 1,2 4 +0,2 3 +0,2 2 +1,2 1 +1,2 0 +1,2 -1 +1,2 -2 +0,2 -3 +1,2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Atbilde: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Pārvērtiet skaitli E8F.2D 16 uz decimālo skaitļu sistēmu.
Risinājums: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Atbilde: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10
Skaitļu pārvēršana no decimālskaitļu sistēmas uz citu skaitļu sistēmu
Lai pārvērstu skaitļus no decimālskaitļu sistēmas uz citu skaitļu sistēmu, skaitļa veselās un daļskaitļu daļas ir jāpārvērš atsevišķi.
Skaitļa veselas daļas pārvēršana no decimālskaitļu sistēmas uz citu skaitļu sistēmu
Vesela skaitļa daļa tiek pārveidota no decimālās skaitļu sistēmas uz citu skaitļu sistēmu, secīgi dalot skaitļa veselo skaitļu daļu ar skaitļu sistēmas bāzi, līdz tiek iegūta vesela atlikuma, kas ir mazāka par skaitļu sistēmas bāzi. Tulkošanas rezultāts būs atlikuma ieraksts, sākot ar pēdējo.
3.
Pārvērtiet skaitli 273 10 uz oktālo skaitļu sistēmu.
Risinājums: 273 / 8 = 34 un atlikums 1. 34 / 8 = 4 un atlikums 2. 4 ir mazāks par 8, tāpēc aprēķins ir pabeigts. Ieraksts no atlikumiem izskatīsies šādi: 421
Pārbaude: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, rezultāts ir vienāds. Tas nozīmē, ka tulkojums tika veikts pareizi.
Atbilde: 273 10 = 421 8
Apsveriet pareizo decimāldaļu tulkošanu uz dažādas sistēmas Izrēķināšanās.
Skaitļa daļējās daļas pārvēršana no decimālskaitļu sistēmas uz citu skaitļu sistēmu
Atgādināsim, ka pareizi decimālzīme sauca reāls skaitlis ar nulles vesela skaitļa daļu. Lai šādu skaitli pārvērstu skaitļu sistēmā ar bāzi N, skaitlis secīgi jāreizina ar N, līdz daļēja daļa nonāk līdz nullei vai tiek iegūts nepieciešamais ciparu skaits. Ja reizināšanas laikā tiek iegūts skaitlis ar veselu skaitļa daļu, kas nav nulle, tad veselā skaitļa daļa netiek ņemta vērā, jo tā tiek secīgi ievadīta rezultātā.
4.
Pārvērtiet skaitli 0,125 10 uz bināro skaitļu sistēmu.
Risinājums: 0,125·2 = 0,25 (0 ir vesela skaitļa daļa, kas kļūs par rezultāta pirmo ciparu), 0,25·2 = 0,5 (0 ir rezultāta otrais cipars), 0,5·2 = 1,0 (1 ir trešais cipars no rezultāta, un tā kā daļējā daļa ir nulle , tad tulkojums ir pabeigts).
Atbilde: 0.125 10 = 0.001 2
