Online kalkulačka umožňuje rýchlo nájsť najväčšieho spoločného deliteľa a najmenšieho spoločného násobku dvoch a akéhokoľvek iného počtu čísel.

Kalkulačka na nájdenie GCD a LCM

Nájdite GCD a LOC

Nájdené GCD a LOC: 5806

Ako používať kalkulačku

• Do vstupného poľa zadajte čísla
• Ak zadáte nesprávne znaky, vstupné pole sa zvýrazní červenou farbou
• kliknite na tlačidlo "Nájsť GCD a LOC".

Ako zadávať čísla

• Čísla sa zadávajú oddelené medzerou, bodkou alebo čiarkou
• Dĺžka zadávaných čísel nie je obmedzená, takže nájsť GCD a LCM dlhých čísel nie je ťažké

Čo sú GCD a NOC?

Najväčší spoločný deliteľ niekoľko čísel je najväčšie prirodzené celé číslo, ktorým sú všetky pôvodné čísla bezo zvyšku deliteľné. Najväčší spoločný deliteľ je skrátený ako GCD.
Najmenší spoločný násobok je niekoľko čísel najmenšie číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné každým z pôvodných čísel. Najmenší spoločný násobok sa označuje skratkou NOC.

Ako skontrolovať, či je číslo deliteľné iným číslom bez zvyšku?

Ak chcete zistiť, či je jedno číslo bezo zvyšku deliteľné druhým, môžete použiť niektoré vlastnosti deliteľnosti čísel. Potom ich spojením môžete skontrolovať deliteľnosť niektorých z nich a ich kombinácií.

Niektoré znaky deliteľnosti čísel

1. Test deliteľnosti čísla 2
Ak chcete zistiť, či je číslo deliteľné dvoma (či je párne), stačí sa pozrieť na poslednú číslicu tohto čísla: ak sa rovná 0, 2, 4, 6 alebo 8, potom je číslo párne, čo znamená, že je deliteľné 2.
Príklad: určiť, či je číslo 34938 deliteľné 2.
Riešenie: Pozeráme sa na poslednú číslicu: 8 - to znamená, že číslo je deliteľné dvoma.

2. Test deliteľnosti čísla 3
Číslo je deliteľné tromi, ak súčet jeho číslic je deliteľný tromi. Ak teda chcete zistiť, či je číslo deliteľné 3, musíte vypočítať súčet číslic a skontrolovať, či je deliteľné 3. Aj keď je súčet číslic veľmi veľký, môžete zopakovať rovnaký postup.
Príklad: určiť, či je číslo 34938 deliteľné 3.
Riešenie: Spočítame súčet čísel: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je deliteľné 3, čo znamená, že číslo je deliteľné tromi.

3. Test deliteľnosti čísla 5
Číslo je deliteľné 5, ak je jeho posledná číslica nula alebo päť.
Príklad: určite, či je číslo 34938 deliteľné 5.
Riešenie: pozrite sa na poslednú číslicu: 8 znamená, že číslo NIE JE deliteľné piatimi.

4. Test deliteľnosti čísla 9
Toto znamienko je veľmi podobné znamienku deliteľnosti tromi: číslo je deliteľné 9, ak súčet jeho číslic je deliteľný 9.
Príklad: určite, či je číslo 34938 deliteľné 9.
Riešenie: Spočítame súčet čísel: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je deliteľné 9, čo znamená, že číslo je deliteľné deviatimi.

Ako nájsť GCD a LCM dvoch čísel

ako nájsť gcd dvoch čísel

Väčšina jednoduchým spôsobom Výpočet najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel znamená nájsť všetkých možných deliteľov týchto čísel a vybrať najväčšieho z nich.

Zoberme si túto metódu pomocou príkladu hľadania GCD(28, 36):

1. Vynásobíme obe čísla: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Nájdeme spoločné faktory, teda tie, ktoré majú obe čísla: 1, 2 a 2.
3. Vypočítame súčin týchto faktorov: 1 2 2 = 4 - to je najväčší spoločný deliteľ čísel 28 a 36.

Ako nájsť LCM dvoch čísel

Existujú dva najbežnejšie spôsoby, ako nájsť najmenší násobok dvoch čísel. Prvý spôsob je taký, že si môžete zapísať prvé násobky dvoch čísel a potom si z nich vybrať číslo, ktoré bude spoločné pre obe čísla a zároveň najmenšie. A druhým je nájsť gcd týchto čísel. Uvažujme len o tom.

Ak chcete vypočítať LCM, musíte vypočítať súčin pôvodných čísel a potom ho rozdeliť na predtým nájdené GCD. Nájdite LCM pre rovnaké čísla 28 a 36:

1. Nájdite súčin čísel 28 a 36: 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36), ako je už známe, sa rovná 4
3. LCM(28,36) = 1008/4 = 252.

Nájdenie GCD a LCM pre niekoľko čísel

Najväčší spoločný deliteľ možno nájsť pre niekoľko čísel, nielen pre dve. Na tento účel sa čísla, ktoré sa majú nájsť pre najväčšieho spoločného deliteľa, rozložia na prvočísla a potom sa nájde súčin spoločných prvočísel týchto čísel. Na nájdenie gcd niekoľkých čísel môžete použiť aj nasledujúci vzťah: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Podobný vzťah platí pre najmenší spoločný násobok: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Príklad: nájdite GCD a LCM pre čísla 12, 32 a 36.

1. Najprv rozložme čísla na faktor: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Poďme nájsť spoločné faktory: 1, 2 a 2.
3. Ich súčin poskytne GCD: 1·2·2 = 4
4. Teraz nájdime LCM: aby sme to urobili, najprv nájdime LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. Ak chcete nájsť LCM všetkých troch čísel, musíte nájsť GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1 · 2 · 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96,36/12 = 288.

Definícia. Najväčší prirodzené číslo, ktorým sa čísla a a b bezo zvyšku delia, sa nazýva najväčší spoločný deliteľ (GCD) tieto čísla.

Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa čísel 24 a 35.
Deliteľmi 24 sú čísla 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 a deliteľmi 35 sú čísla 1, 5, 7, 35.
Vidíme, že čísla 24 a 35 majú len jedného spoločného deliteľa – číslo 1. Takéto čísla sa nazývajú vzájomne prvotriedne.

Definícia. Prirodzené čísla sa nazývajú vzájomne prvotriedne, ak ich najväčší spoločný deliteľ (GCD) je 1.

Najväčší spoločný deliteľ (GCD) možno nájsť bez vypisovania všetkých deliteľov daných čísel.

Rozložením čísel 48 a 36 dostaneme:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Z faktorov zahrnutých do rozšírenia prvého z týchto čísel vyčiarkneme tie, ktoré sa do rozšírenia druhého čísla nezarátajú (t. j. dve dvojky).
Zostávajúce faktory sú 2 * 2 * 3. Ich súčin sa rovná 12. Toto číslo je najväčším spoločným deliteľom čísel 48 a 36. Nájdeme aj najväčšieho spoločného deliteľa troch alebo viacerých čísel.

Nájsť najväčší spoločný deliteľ

2) z faktorov zahrnutých do rozšírenia jedného z týchto čísel prečiarknite tie, ktoré nie sú zahrnuté do rozšírenia iných čísel;
3) nájdite súčin zostávajúcich faktorov.

Ak sú všetky dané čísla deliteľné jedným z nich, potom toto číslo je najväčší spoločný deliteľ dané čísla.
Napríklad najväčším spoločným deliteľom čísel 15, 45, 75 a 180 je číslo 15, pretože ním sú deliteľné všetky ostatné čísla: 45, 75 a 180.

Najmenší spoločný násobok (LCM)

Definícia. Najmenší spoločný násobok (LCM) prirodzené čísla a a b je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je násobkom oboch a aj b. Najmenší spoločný násobok (LCM) čísel 75 a 60 možno nájsť bez zapísania násobkov týchto čísel za sebou. Aby sme to urobili, rozpočítajme 75 a 60 na hlavné faktory: 75 = 3 * 5 * 5 a 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Zapíšme si faktory zahrnuté do rozšírenia prvého z týchto čísel a pripočítajme k nim chýbajúce faktory 2 a 2 z rozšírenia druhého čísla (t. j. faktory skombinujeme).
Dostaneme päť faktorov 2 * 2 * 3 * 5 * 5, ktorých súčin je 300. Toto číslo je najmenší spoločný násobok čísel 75 a 60.

Tiež nájdu najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel.

Komu nájsť najmenší spoločný násobok niekoľko prirodzených čísel, potrebujete:
1) zahrnúť ich do hlavných faktorov;
2) zapíšte faktory zahrnuté do rozšírenia jedného z čísel;
3) pridajte k nim chýbajúce faktory z expanzií zostávajúcich čísel;
4) nájdite súčin výsledných faktorov.

Všimnite si, že ak je jedno z týchto čísel deliteľné všetkými ostatnými číslami, potom je toto číslo najmenším spoločným násobkom týchto čísel.
Napríklad najmenší spoločný násobok čísel 12, 15, 20 a 60 je 60, pretože je deliteľný všetkými týmito číslami.

Pytagoras (VI. storočie pred Kristom) a jeho študenti študovali otázku deliteľnosti čísel. číslo, rovná súčtu Nazvali všetkých jeho deliteľov (bez samotného čísla) dokonalým číslom. Napríklad čísla 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sú dokonalé. Ďalšie dokonalé čísla sú 496, 8128, 33 550 336. Pytagorejci poznali iba prvé tri dokonalé čísla. Štvrtý - 8128 - sa stal známym v 1. storočí. n. e. Piata - 33 550 336 - bola nájdená v 15. storočí. Do roku 1983 už bolo známych 27 dokonalých čísel. Vedci však stále nevedia, či existujú nepárne dokonalé čísla, alebo či existuje najväčšie dokonalé číslo.
Záujem starovekých matematikov o prvočísla pramení zo skutočnosti, že každé číslo je buď prvočíslo, alebo môže byť reprezentované ako súčin. základné čísla, teda prvočísla sú ako tehly, z ktorých sa skladá zvyšok prirodzených čísel.
Pravdepodobne ste si všimli, že prvočísla v rade prirodzených čísel sa vyskytujú nerovnomerne – v niektorých častiach radu je ich viac, v iných menej. Ale čím ďalej sa v číselnom rade pohybujeme, tým menej časté sú prvočísla. Vynára sa otázka: existuje posledné (najväčšie) prvočíslo? Staroveký grécky matematik Euklides (3. storočie pred Kristom) vo svojej knihe „Prvky“, ktorá bola dvetisíc rokov hlavnou učebnicou matematiky, dokázal, že prvočísel je nekonečne veľa, t.j. za každým prvočíslom je ešte väčšie prvočíslo. číslo.
Na nájdenie prvočísel prišiel s touto metódou iný grécky matematik tej istej doby, Eratosthenes. Zapísal si všetky čísla od 1 po nejaké číslo a potom preškrtol jedno, ktoré nie je ani prvočíslo, ani zložené číslo, potom cez jednu prečiarknite všetky čísla po 2 (čísla, ktoré sú násobkom 2, t.j. 4, 6, 8 atď.). Prvé zostávajúce číslo po 2 bolo 3. Potom, po dvojke, sa prečiarkli všetky čísla, ktoré nasledovali po 3 (čísla, ktoré boli násobkom 3, teda 6, 9, 12 atď.). nakoniec zostali neprečiarknuté len prvočísla.

Téma „Multiples“ sa študuje v 5. ročníku stredná škola. Jeho cieľom je zlepšiť písomné a ústne matematické výpočtové schopnosti. V tejto lekcii sú predstavené nové pojmy - „viacnásobné čísla“ a „delitelia“, precvičuje sa technika hľadania deliteľov a násobkov prirodzeného čísla a schopnosť nájsť LCM rôznymi spôsobmi.

Táto téma je veľmi dôležitá. Jeho znalosť sa dá uplatniť pri riešení príkladov so zlomkami. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť spoločného menovateľa výpočtom najmenšieho spoločného násobku (LCM).

Násobok A je celé číslo, ktoré je deliteľné A bezo zvyšku.

Každé prirodzené číslo má nekonečný počet jeho násobkov. Sám sa považuje za najmenší. Násobok nemôže byť menší ako samotné číslo.

Musíte dokázať, že číslo 125 je násobkom 5. Aby ste to dosiahli, musíte prvé číslo vydeliť druhým. Ak je 125 deliteľné 5 bez zvyšku, odpoveď je áno.

Táto metóda je použiteľná pre malé čísla.

Pri výpočte LOC existujú špeciálne prípady.

1. Ak potrebujete nájsť spoločný násobok 2 čísel (napríklad 80 a 20), pričom jedno z nich (80) je deliteľné druhým (20), potom je toto číslo (80) najmenším násobkom týchto dve čísla.

LCM(80,20) = 80.

2. Ak dve nemajú spoločného deliteľa, potom môžeme povedať, že ich LCM je súčinom týchto dvoch čísel.

LCM(6,7) = 42.

Pozrime sa na posledný príklad. 6 a 7 vo vzťahu k 42 sú deliče. Delia násobok čísla bezo zvyšku.

V tomto príklade sú 6 a 7 párové faktory. Ich súčin sa rovná najväčšiemu násobku (42).

Číslo sa nazýva prvočíslo, ak je deliteľné iba samo sebou alebo 1 (3:1=3; 3:3=1). Ostatné sa nazývajú kompozitné.

Ďalší príklad zahŕňa určenie, či 9 je deliteľom 42.

42:9=4 (zvyšok 6)

Odpoveď: 9 nie je deliteľom 42, pretože odpoveď má zvyšok.

Deliteľ sa líši od násobku tým, že deliteľ je číslo, ktorým sa delia prirodzené čísla a samotný násobok je deliteľný týmto číslom.

Najväčší spoločný deliteľ čísel a A b, vynásobený ich najmenším násobkom, dá súčin samotných čísel a A b.

Konkrétne: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Spoločné násobky pre viac komplexné čísla nájsť nasledujúcim spôsobom.

Nájdite napríklad LCM pre 168, 180, 3024.

Tieto čísla započítame do prvočiniteľov a zapíšeme ich ako súčin mocnin:

168 = 2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.

Ako nájsť LCM (najmenší spoločný násobok)

Spoločný násobok dvoch celých čísel je celé číslo, ktoré je rovnomerne deliteľné oboma danými číslami bez zanechania zvyšku.

Najmenší spoločný násobok dvoch celých čísel je najmenší zo všetkých celých čísel, ktorý je deliteľný oboma danými číslami bez zanechania zvyšku.

Metóda 1. LCM môžete nájsť pre každé z daných čísel tak, že zapíšete vo vzostupnom poradí všetky čísla, ktoré získate vynásobením 1, 2, 3, 4 atď.

Príklad pre čísla 6 a 9.
Číslo 6 vynásobíme postupne 1, 2, 3, 4, 5.
Získame: 6, 12, 18 , 24, 30
Číslo 9 vynásobíme postupne 1, 2, 3, 4, 5.
Získame: 9, 18 , 27, 36, 45
Ako vidíte, LCM pre čísla 6 a 9 sa bude rovnať 18.

Táto metóda je vhodná, keď sú obe čísla malé a je ľahké ich vynásobiť postupnosťou celých čísel. Sú však chvíle, keď potrebujete nájsť LCM pre dvojciferné resp trojciferné čísla, a tiež vtedy, keď existujú tri alebo dokonca viac počiatočných čísel.

Metóda 2. LCM môžete nájsť tak, že pôvodné čísla rozložíte na prvočísla.
Po rozklade je potrebné z výsledného radu prvočiniteľov vyčiarknuť zhodné čísla. Zvyšné čísla prvého čísla budú násobiteľom druhého a zvyšné čísla druhého budú násobiteľom prvého.

Príklad pre čísla 75 a 60.
Najmenší spoločný násobok čísel 75 a 60 možno nájsť bez zapísania násobkov týchto čísel za sebou. Aby sme to dosiahli, rozpočítajme 75 a 60 na jednoduché faktory:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Ako vidíte, faktory 3 a 5 sa zobrazujú v oboch riadkoch. V duchu ich „prečiarkneme“.
Zapíšme si zostávajúce faktory zahrnuté v expanzii každého z týchto čísel. Pri rozklade čísla 75 nám ostane číslo 5 a pri rozklade čísla 60 nám ostane 2 * 2.
To znamená, že na určenie LCM pre čísla 75 a 60 musíme vynásobiť zostávajúce čísla z rozšírenia 75 (to je 5) číslom 60 a zvyšné čísla z rozšírenia 60 (toto sú 2) * 2) číslom 75. To znamená, že pre ľahšie pochopenie hovoríme, že násobíme „naprieč“.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Takto sme našli LCM pre čísla 60 a 75. Toto je číslo 300.

Príklad. Určte LCM pre čísla 12, 16, 24
V tomto prípade budú naše akcie o niečo komplikovanejšie. Najprv však, ako vždy, rozložme všetky čísla na faktor
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Aby sme správne určili LCM, vyberieme najmenšie zo všetkých čísel (toto je číslo 12) a postupne prechádzame jeho faktormi, pričom ich prečiarkneme, ak aspoň v jednom z ďalších radov čísel narazíme na rovnaký faktor, ktorý ešte nebol bola prečiarknutá.

Krok 1 . Vidíme, že 2 * 2 sa vyskytuje vo všetkých radoch čísel. Preškrtnime ich.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Krok 2. V prvočiniteľoch čísla 12 zostáva iba číslo 3. Je však prítomné v prvočísloch čísla 24. Z oboch riadkov prečiarkneme číslo 3, pričom pri čísle 16 sa neočakávajú žiadne akcie. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Ako vidíte, pri rozklade čísla 12 sme „preškrtali“ všetky čísla. To znamená, že nájdenie LOC je ukončené. Zostáva len vypočítať jeho hodnotu.
Pre číslo 12 vezmite zostávajúce faktory čísla 16 (ďalšie vo vzostupnom poradí)
12 * 2 * 2 = 48
Toto je NOC

Ako vidíte, v tomto prípade bolo nájdenie LCM o niečo ťažšie, ale keď ho potrebujete nájsť pre tri alebo viac čísel, túto metódu vám to umožní rýchlejšie. Obidva spôsoby nájdenia LCM sú však správne.

Uvažujme o riešení nasledujúceho problému. Krok chlapca má 75 cm, krok dievčaťa 60 cm.Je potrebné nájsť najmenšiu vzdialenosť, na ktorú obaja urobia celočíselný počet krokov.

Riešenie. Celá cesta, ktorou deti prejdú, musí byť deliteľná 60 a 70, pretože každé musí urobiť celočíselný počet krokov. Inými slovami, odpoveď musí byť násobkom 75 aj 60.

Najprv si zapíšeme všetky násobky čísla 75. Dostaneme:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Teraz si zapíšme čísla, ktoré budú násobkami 60. Dostaneme:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Teraz nájdeme čísla, ktoré sú v oboch riadkoch.

• Spoločné násobky čísel by boli 300, 600 atď.

Najmenším z nich je číslo 300. V tomto prípade sa bude volať najmenší spoločný násobok čísel 75 a 60.

Ak sa vrátime k problému, najmenšia vzdialenosť, na ktorú chlapci urobia celý počet krokov, bude 300 cm. Chlapec prejde túto cestu v 4 krokoch a dievča bude musieť urobiť 5 krokov.

Určenie najmenšieho spoločného násobku

• Najmenší spoločný násobok dvoch prirodzených čísel aab je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je násobkom oboch prirodzených čísel a a b.

Aby sme našli najmenší spoločný násobok dvoch čísel, nie je potrebné zapisovať všetky násobky týchto čísel za sebou.

Môžete použiť nasledujúcu metódu.

Ako nájsť najmenší spoločný násobok

Najprv musíte zahrnúť tieto čísla do hlavných faktorov.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Teraz si zapíšme všetky faktory, ktoré sú v expanzii prvého čísla (2,2,3,5) a doplňte k tomu všetky chýbajúce faktory z rozšírenia druhého čísla (5).

Výsledkom je séria prvočísel: 2,2,3,5,5. Súčin týchto čísel bude pre tieto čísla najmenej spoločným faktorom. 2*2*3*5*5 = 300.

Všeobecná schéma na nájdenie najmenšieho spoločného násobku

• 1. Rozdeľte čísla na prvočiniteľa.
• 2. Napíšte hlavné faktory, ktoré sú súčasťou jedného z nich.
• 3. Pridajte k týmto faktorom všetky, ktoré sú v expanzii ostatných, ale nie vo vybranom.
• 4. Nájdite súčin všetkých napísaných faktorov.

Táto metóda je univerzálna. Dá sa použiť na nájdenie najmenšieho spoločného násobku ľubovoľného počtu prirodzených čísel.