Nech je daný pravouhlý súradnicový systém.

Veta 1.1. Pre ľubovoľné dva body M 1 (x 1; y 1) a M 2 (x 2; y 2) roviny je vzdialenosť d medzi nimi vyjadrená vzorcom

Dôkaz. Vypustíme z bodov M 1 a M 2 kolmice M 1 B a M 2 A, resp.

na osiach Oy a Ox a označíme K priesečník priamok M 1 B a M 2 A (obr. 1.4). Možné sú tieto prípady:

1) Body M 1, M 2 a K sú rôzne. Je zrejmé, že bod K má súradnice (x 2; y 1). Je ľahké vidieť, že M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôy 2 – y 1 ô. Pretože ∆M 1 KM 2 je pravouhlý, potom podľa Pytagorovej vety d = M 1 M 2 = = .

2) Bod K sa zhoduje s bodom M 2, ale je odlišný od bodu M 1 (obr. 1.5). V tomto prípade y2 = y1

a d \u003d M 1 M 2 \u003d M 1 K \u003d ôx 2 - x 1 ô \u003d =

3) Bod K sa zhoduje s bodom M 1, ale je odlišný od bodu M 2. V tomto prípade x 2 = x 1 a d =

M 1 M 2 \u003d KM 2 \u003d ôy 2 - r 1 ô \u003d = .

4) Bod M 2 sa zhoduje s bodom M 1. Potom x 1 \u003d x 2, y 1 \u003d y 2 a

d \u003d M 1 M 2 \u003d O \u003d.

Rozdelenie segmentu v tomto smere.

Nech je na rovine daná ľubovoľná úsečka M 1 M 2 a nech M je ľubovoľný jej bod

segment iný ako bod M 2 (obr. 1.6). Číslo l definované rovnosťou l = , sa volá postoj, v ktorom bod M rozdeľuje úsečku M 1 M 2.

Veta 1.2. Ak bod M (x; y) rozdeľuje segment M 1 M 2 vo vzťahu k l, potom sú jeho súradnice určené vzorcami

x = , y = , (4)

kde (x 1; y 1) sú súradnice bodu M 1, (x 2; y 2) sú súradnice bodu M 2.

Dôkaz. Dokážme prvý zo vzorcov (4). Druhý vzorec je dokázaný podobne. Možné sú dva prípady.

x = x 1 = = = .

2) Priamka M 1 M 2 nie je kolmá na os Ox (obr. 1.6). Zhodíme kolmice z bodov M 1 , M, M 2 na os Ox a označme ich priesečníky s osou Ox, respektíve P 1 , P, P 2 . Podľa vety o proporcionálnych segmentoch =l.

Pretože P 1 P \u003d ôx - x 1 ô, PP 2 \u003d ôx 2 - xô a čísla (x - x 1) a (x 2 - x) majú rovnaké znamienko (pre x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 sú záporné), potom

l == ,

x - x 1 \u003d l (x 2 - x), x + lx \u003d x 1 + lx 2,

x = .

Dôsledok 1.2.1. Ak M 1 (x 1; y 1) a M 2 (x 2; y 2) sú dva ľubovoľné body a bod M (x; y) je stredom úsečky M 1 M 2, potom

x = , y = (5)

Dôkaz. Keďže M 1 M = M 2 M, potom l = 1 a pomocou vzorcov (4) získame vzorce (5).

Oblasť trojuholníka.

Veta 1.3. Pre všetky body A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) a C (x 3; y 3), ktoré neležia na tom istom

priamka, obsah S trojuholníka ABC je vyjadrený vzorcom

S \u003d ô (x 2 - x 1) (y 3 - y 1) - (x 3 - x 1) (y 2 - y 1) ô (6)

Dôkaz. Oblasť ∆ ABC znázornená na obr. 1.7 vypočítame nasledovne

S ABC \u003d S ADEC + S BCEF - S ABFD.

Vypočítajte plochu lichobežníka:

S-ADEC=
,

SBCEF=

S ABFD =

Teraz máme

S ABC \u003d ((x 3 - x 1) (y 3 + y 1) + (x 3 - x 2) (y 3 + y 2) - (x 2 - -x 1) (y 1 + y 2)) \u003d (x 3 y 3 - x 1 + y 3 x 1 - y 1 x 3 - x 1 + y 3 x 1 - y 1 x 3 3 y 3 + x 2 y 2 - x 3 y 2 - x 2 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 2 + x 1 y 2) \u003d (x 3 y 1 - x 3 y 2 + x 1 y 2 - x 2 y 1 + 3 - 2

X 1 y 3) \u003d (x 3 (y 1 - y 2) + x 1 y 2 - x 1 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 1 + y 3 (x 2 - x 1)) \u003d (x 1 (y 2 - 3 y 1) - y 1 x 1 - y 1 - y 2) - y 3 (x 1 - x 2)) \u003d ((x 1 - x 3) (y 2 - y 1) + (x 1 - x 2) (y 1 - y 3)) \u003d ((x 2 - x 1) (y 3 - y 1) -

- (x 3 - x 1) (y 2 - y 1)).

Pre iné miesto ∆ ABC je vzorec (6) dokázaný podobne, ale možno ho získať so znamienkom „-“. Preto do vzorca (6) uveďte znamienko modulu.

Prednáška 2

Rovnica priamky v rovine: rovnica priamky s vodiacim koeficientom, všeobecná rovnica priamka, rovnica priamky v segmentoch, rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi. Uhol medzi priamkami, podmienky rovnobežnosti a kolmosti priamok na rovine.

2.1. Nech je v rovine daný pravouhlý súradnicový systém a nejaká priamka L.

Definícia 2.1. Nazýva sa rovnica tvaru F(x;y) = 0 týkajúca sa premenných x a y priamková rovnica L(v danom súradnicovom systéme), ak tejto rovnici vyhovujú súradnice ľubovoľného bodu ležiaceho na priamke L, a nie súradnice žiadneho bodu, ktorý na tejto priamke neleží.

Príklady rovníc priamok v rovine.

1) Uvažujme priamku rovnobežnú s osou Oy pravouhlého súradnicového systému (obr. 2.1). Označme písmenom A priesečník tejto priamky s osou Ox, (a; o) ─ jej or-

dinats. Rovnica x = a je rovnica danej priamky. Táto rovnica je skutočne splnená súradnicami ľubovoľného bodu M(a; y) tejto priamky a nie súradnicami žiadneho bodu, ktorý na priamke neleží. Ak a = 0, potom sa čiara zhoduje s osou Oy, ktorá má rovnicu x = 0.

2) Rovnica x - y \u003d 0 definuje množinu bodov v rovine, ktoré tvoria osy súradnicových uhlov I a III.

3) Rovnica x 2 - y 2 \u003d 0 je rovnica dvoch osi súradnicových uhlov.

4) Rovnica x 2 + y 2 = 0 definuje jediný bod O(0;0) v rovine.

5) Rovnica x 2 + y 2 \u003d 25 je rovnica kruhu s polomerom 5 so stredom v počiatku.

V tomto článku zvážime spôsoby, ako určiť vzdialenosť od bodu k bodu teoreticky a na príklade konkrétnych úloh. Začnime niekoľkými definíciami.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definícia 1

Vzdialenosť medzi bodmi- toto je dĺžka segmentu, ktorý ich spája, v existujúcej mierke. Je potrebné nastaviť mierku, aby ste mali jednotku dĺžky na meranie. Preto sa v podstate problém zisťovania vzdialenosti medzi bodmi rieši pomocou ich súradníc na súradnicovej čiare, v súradnicovej rovine alebo v trojrozmernom priestore.

Počiatočné údaje: súradnicová priamka O x a na nej ležiaci ľubovoľný bod A. Každému bodu priamky je vlastné jedno reálne číslo: nech je to isté číslo pre bod A xA, je to súradnica bodu A.

Vo všeobecnosti môžeme povedať, že k odhadu dĺžky určitého segmentu dochádza v porovnaní s segmentom braným ako jednotka dĺžky v danej mierke.

Ak bod A zodpovedá celému číslu reálnemu číslu, pričom sa postupne z bodu O do bodu pozdĺž priamky vyčleňujú segmenty O A – jednotky dĺžky, dĺžku segmentu O A môžeme určiť podľa celkového počtu čakajúcich segmentov jednotiek.

Napríklad bod A zodpovedá číslu 3 - aby ste sa k nemu dostali z bodu O, bude potrebné vyčleniť tri jednotkové segmenty. Ak má bod A súradnicu -4, jednotlivé segmenty sa vykreslia podobným spôsobom, ale v inom negatívnom smere. V prvom prípade je teda vzdialenosť O A 3; v druhom prípade O A \u003d 4.

Ak má bod A súradnicu racionálne číslo, potom z počiatku (bod O) vyčleníme celočíselný počet jednotkových segmentov a potom jeho nevyhnutnú časť. Ale geometricky nie je vždy možné vykonať meranie. Napríklad sa zdá ťažké odložiť súradnicový priamy zlomok 4 111 .

Vyššie uvedeným spôsobom je úplne nemožné odložiť iracionálne číslo na priamke. Napríklad, keď súradnica bodu A je 11 . V tomto prípade je možné prejsť na abstrakciu: ak je daná súradnica bodu A väčšia ako nula, potom O A \u003d x A (číslo sa berie ako vzdialenosť); ak súradnica menej ako nula, potom O A = - x A . Vo všeobecnosti tieto tvrdenia platia pre akékoľvek reálne číslo x A .

Zhrnutie: vzdialenosť od začiatku k bodu, ktorá zodpovedá skutočnému číslu na súradnicovej čiare, sa rovná:

• 0, ak je bod rovnaký ako počiatok;

• x A ak x A > 0;

• - x A, ak x A< 0 .

Zároveň je zrejmé, že dĺžka samotného segmentu nemôže byť záporná, preto pomocou znamienka modulu zapíšeme vzdialenosť od bodu O do bodu A so súradnicou x A: O A = x A

Správne tvrdenie by bolo: vzdialenosť od jedného bodu k druhému sa bude rovnať modulu rozdielu súradníc. Tie. pre body A a B ležiace na rovnakej súradnicovej čiare v ľubovoľnom mieste a majúce súradnice x A A x B: A B = x B - x A.

Počiatočné údaje: body A a B ležiace v rovine v pravouhlom súradnicovom systéme O x y s danými súradnicami: A (x A , y A) a B (x B , y B) .

Nakreslime kolmice na súradnicové osi O x a O y cez body A a B a získajme body premietania ako výsledok: A x , A y , B x , B y . Na základe polohy bodov A a B sú možné ďalšie možnosti:

Ak sa body A a B zhodujú, potom je vzdialenosť medzi nimi nulová;

Ak body A a B ležia na priamke kolmej na os O x (os x), potom sa body a zhodujú a | A B | = | A y B y | . Pretože vzdialenosť medzi bodmi sa rovná modulu rozdielu medzi ich súradnicami, potom A y B y = y B - y A , a teda A B = A y B y = y B - y A .

Ak body A a B ležia na priamke kolmej na os y (os y) - analogicky s predchádzajúcim odsekom: A B = A x B x = x B - x A

Ak body A a B neležia na priamke kolmej na jednu zo súradnicových osí, zistíme vzdialenosť medzi nimi odvodením výpočtového vzorca:

Vidíme, že trojuholník A B C je konštrukciou pravouhlý. V tomto prípade AC = A x B x a B C = A y By. Pomocou pythagorovej vety zostavujeme rovnosť: a b2 = ac 2 + b c 2 ⇔ a b2 = a x b x 2 + a y b y2, a potom ju transformujeme: a b = a x b x 2 + a y b y2 = x b - x a 2 + y b - y a 2 = (x b - x a) 2 + (y b - y a) 2

Zo získaného výsledku urobme záver: vzdialenosť z bodu A do bodu B v rovine je určená výpočtom pomocou vzorca pomocou súradníc týchto bodov

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Výsledný vzorec tiež potvrdzuje skôr vytvorené tvrdenia pre prípady zhody bodov alebo situácie, keď body ležia na priamkach kolmých na osi. Takže pre prípad zhody bodov A a B bude platiť rovnosť: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Pre situáciu, keď body A a B ležia na priamke kolmej na os x:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Pre prípad, keď body A a B ležia na priamke kolmej na os y:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Východiskové údaje: pravouhlý súradnicový systém O x y z s ľubovoľnými bodmi ležiacimi na ňom s danými súradnicami A (x A , y A , z A) a B (x B , y B , z B) . Je potrebné určiť vzdialenosť medzi týmito bodmi.

Zoberme si všeobecný prípad, keď body A a B neležia v rovine rovnobežnej s jednou zo súradnicových rovín. Nakreslite body A a B roviny kolmé na súradnicové osi a získajte zodpovedajúce projekčné body: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Vzdialenosť medzi bodmi A a B je uhlopriečka výsledného boxu. Podľa konštrukcie merania tohto boxu: A x B x , A y B y a A z B z

Z priebehu geometrie je známe, že štvorec uhlopriečky rovnobežnostena sa rovná súčtuštvorce jeho meraní. Na základe tohto tvrdenia získame rovnosť: A B 2 \u003d A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Na základe vyššie získaných záverov píšeme nasledovné:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Transformujme výraz:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Finálny vzorec na určenie vzdialenosti medzi bodmi v priestore bude vyzerať takto:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Výsledný vzorec platí aj pre prípady, keď:

Bodky sa zhodujú;

Ležia na rovnakej súradnicovej osi alebo na priamke rovnobežnej s jednou zo súradnicových osí.

Príklady riešenia úloh na zistenie vzdialenosti medzi bodmi

Príklad 1

Počiatočné údaje: je uvedená súradnicová čiara a body na nej ležiace s danými súradnicami A (1 - 2) a B (11 + 2). Je potrebné nájsť vzdialenosť od referenčného bodu O k bodu A a medzi bodmi A a B.

Riešenie

1. Vzdialenosť od referenčného bodu k bodu sa rovná modulu súradnice tohto bodu, respektíve O A \u003d 1 - 2 \u003d 2 - 1
2. Vzdialenosť medzi bodmi A a B je definovaná ako modul rozdielu medzi súradnicami týchto bodov: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Odpoveď: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Príklad 2

Počiatočné údaje: daný pravouhlý súradnicový systém a dva body na ňom ležiace A (1, - 1) a B (λ + 1, 3) ​​. λ je nejaké reálne číslo. Je potrebné nájsť všetky hodnoty tohto čísla, pre ktoré bude vzdialenosť A B rovná 5.

Riešenie

Ak chcete nájsť vzdialenosť medzi bodmi A a B, musíte použiť vzorec A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Nahradením skutočných hodnôt súradníc dostaneme: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

A tiež použijeme existujúcu podmienku, že A B = 5 a potom bude platiť rovnosť:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Odpoveď: A B \u003d 5, ak λ \u003d ± 3.

Príklad 3

Počiatočné údaje: sú uvedené trojrozmerný priestor v pravouhlom súradnicovom systéme O x y z a v ňom ležiace body A (1, 2, 3) a B - 7, - 2, 4.

Riešenie

Na vyriešenie úlohy použijeme vzorec A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Dosadením reálnych hodnôt dostaneme: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Odpoveď: | A B | = 9

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Súradnice určujú polohu objektu glóbus. Súradnice sú označené zemepisnou šírkou a dĺžkou. Zemepisné šírky sa merajú od rovníka na oboch stranách. Na severnej pologuli sú zemepisné šírky kladné, na južnej pologuli záporné. Zemepisná dĺžka sa meria od počiatočného poludníka buď na východ alebo na západ, pričom sa získa východná alebo západná zemepisná dĺžka.

Podľa všeobecne uznávaného stanoviska sa za počiatočný berie poludník, ktorý prechádza starým Greenwichským observatóriom v Greenwichi. Geografické súradnice miesta je možné získať pomocou GPS navigátora. Toto zariadenie prijíma signály zo satelitného polohovacieho systému v súradnicovom systéme WGS-84, rovnakom pre celý svet.

Modely navigátorov sa líšia výrobcami, funkčnosťou a rozhraním. V súčasnosti sú v niektorých modeloch mobilných telefónov k dispozícii vstavané navigátory GPS. Ale každý model môže zaznamenať a uložiť súradnice bodov.

Vzdialenosť medzi súradnicami GPS

Na riešenie praktických a teoretických problémov v niektorých odvetviach je potrebné vedieť určiť vzdialenosti medzi bodmi podľa ich súradníc. Ak to chcete urobiť, môžete použiť niekoľko metód. Kanonická forma reprezentácie zemepisné súradnice: stupne, minúty, sekundy.

Môžete napríklad určiť vzdialenosť medzi týmito súradnicami: bod č. 1 - zemepisná šírka 55°45′07″ N, zemepisná dĺžka 37°36′56″ V; bod č. 2 - zemepisná šírka 58°00′02″ N, zemepisná dĺžka 102°39′42″ V

Najjednoduchší spôsob je použiť na výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi kalkulačku. Vo vyhľadávači prehliadača musíte nastaviť nasledujúce parametre vyhľadávania: online - na výpočet vzdialenosti medzi dvoma súradnicami. V online kalkulačke sa hodnoty zemepisnej šírky a dĺžky zadávajú do polí dopytu pre prvú a druhú súradnicu. Pri výpočte online kalkulačka dala výsledok - 3 800 619 m.

Ďalší spôsob je časovo náročnejší, ale aj vizuálnejší. Je potrebné použiť akýkoľvek dostupný mapovací alebo navigačný program. Medzi programy, v ktorých môžete vytvárať body podľa súradníc a merať vzdialenosti medzi nimi, patria tieto aplikácie: BaseCamp (moderná obdoba programu MapSource), Google Earth, SAS.Planet.

Všetky vyššie uvedené programy sú dostupné pre každého používateľa siete. Ak chcete napríklad vypočítať vzdialenosť medzi dvoma súradnicami v aplikácii Google Earth, musíte vytvoriť dva štítky označujúce súradnice prvého a druhého bodu. Potom pomocou nástroja „Pravítko“ musíte spojiť prvú a druhú značku čiarou, program automaticky poskytne výsledok merania a ukáže cestu k satelitný obraz Zem.

V prípade vyššie uvedeného príkladu program Google Earth vrátil výsledok – dĺžka vzdialenosti medzi bodom #1 a bodom #2 je 3 817 353 m.

Prečo je chyba pri určovaní vzdialenosti

Všetky výpočty vzdialenosti medzi súradnicami sú založené na výpočtoch dĺžky oblúka. Polomer Zeme sa podieľa na výpočte dĺžky oblúka. Ale keďže tvar Zeme je blízky sploštenému elipsoidu, polomer Zeme v určitých bodoch je odlišný. Na výpočet vzdialenosti medzi súradnicami sa berie priemerná hodnota polomeru Zeme, ktorá dáva chybu v meraní. Čím väčšia je nameraná vzdialenosť, tým väčšia je chyba.

Ahoj,

Použité PHP:

S pozdravom Alexander.

Ahoj,

Už dlhšiu dobu sa borím s problémom: Snažím sa vypočítať vzdialenosť medzi dvoma ľubovoľnými bodmi, ktoré sú od seba vzdialené 30 až 1500 metrov.

Použité PHP:

$cx=31,319738; //x súradnica prvého bodu
$cy=60,901638; //y súradnica prvého bodu

$ x = 31,333312; //x-ová súradnica druhého bodu
$ y = 60,933981; //súradnica y druhého bodu

$mx=abs($cx-$x); //vypočítajte rozdiel x (prvý úsek správny trojuholník), funkcia abs(x) - vráti modul čísla x x
$my=abs($cy-$y); //vypočítajte rozdiel medzi hráčmi (druhá vetva pravouhlého trojuholníka)

$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Získajte vzdialenosť k metru (dĺžka prepony, podľa pravidla sa prepona rovná odmocnine súčtu druhých mocnín nôh)

Ak to nie je jasné, vysvetlím: Predstavujem si, že vzdialenosť medzi dvoma bodmi je prepona pravouhlého trojuholníka. Potom rozdiel medzi x každého z dvoch bodov bude jedna z vetví a druhá vetva bude rozdiel medzi y tých istých dvoch bodov. Potom, keď vypočítate rozdiel medzi x a y, môžete použiť vzorec na výpočet dĺžky prepony (t. j. vzdialenosti medzi dvoma bodmi).

Viem, že toto pravidlo funguje dobre pre karteziánske súradnice, ale viac-menej by malo fungovať aj s longlatovými súradnicami. nameraná vzdialenosť medzi dvoma bodmi je zanedbateľná (od 30 do 1500 metrov).

Avšak vzdialenosť tento algoritmus vypočítané nesprávne (napríklad vzdialenosť1 vypočítaná pomocou tohto algoritmu presahuje vzdialenosť2 len o 13 %, zatiaľ čo v skutočnosti je vzdialenosť1 1450 metrov, vzdialenosť2 je 970 metrov, čiže rozdiel v skutočnosti dosahuje takmer 50 %).

Ak by niekto vedel pomôcť, bol by som veľmi vďačný.

S pozdravom Alexander.

","contentType":"text/html"),"proposedBody":("zdroj":"

Ahoj,

Už dlhšiu dobu sa borím s problémom: Snažím sa vypočítať vzdialenosť medzi dvoma ľubovoľnými bodmi, ktoré sú od seba vzdialené 30 až 1500 metrov.

Použité PHP:

$cx=31,319738; //x súradnica prvého bodu
$cy=60,901638; //y súradnica prvého bodu

$ x = 31,333312; //x-ová súradnica druhého bodu
$ y = 60,933981; //súradnica y druhého bodu

$mx=abs($cx-$x); //vypočítajte rozdiel x (prvá vetva pravouhlého trojuholníka), funkcia abs(x) - vráti modul x x
$my=abs($cy-$y); //vypočítajte rozdiel medzi hráčmi (druhá vetva pravouhlého trojuholníka)

$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Získajte vzdialenosť k metru (dĺžka prepony, podľa pravidla sa prepona rovná odmocnine súčtu druhých mocnín nôh)

Ak to nie je jasné, vysvetlím: Predstavujem si, že vzdialenosť medzi dvoma bodmi je prepona pravouhlého trojuholníka. Potom rozdiel medzi x každého z dvoch bodov bude jedna z vetví a druhá vetva bude rozdiel medzi y tých istých dvoch bodov. Potom, keď vypočítate rozdiel medzi x a y, môžete použiť vzorec na výpočet dĺžky prepony (t. j. vzdialenosti medzi dvoma bodmi).

Viem, že toto pravidlo funguje dobre pre karteziánske súradnice, ale viac-menej by malo fungovať aj s longlatovými súradnicami. nameraná vzdialenosť medzi dvoma bodmi je zanedbateľná (od 30 do 1500 metrov).

Vzdialenosť podľa tohto algoritmu je však vypočítaná nesprávne (napríklad vzdialenosť1 vypočítaná pomocou tohto algoritmu presahuje vzdialenosť2 len o 13 %, zatiaľ čo v skutočnosti je vzdialenosť1 1450 metrov, vzdialenosť2 je 970 metrov, teda v skutočnosti rozdiel dosahuje takmer 50 %).

Ak by niekto vedel pomôcť, bol by som veľmi vďačný.

S pozdravom Alexander.

Ahoj,

Už dlhšiu dobu sa borím s problémom: Snažím sa vypočítať vzdialenosť medzi dvoma ľubovoľnými bodmi, ktoré sú od seba vzdialené 30 až 1500 metrov.

Použité PHP:

$cx=31,319738; //x súradnica prvého bodu
$cy=60,901638; //y súradnica prvého bodu

$ x = 31,333312; //x-ová súradnica druhého bodu
$ y = 60,933981; //súradnica y druhého bodu

$mx=abs($cx-$x); //vypočítajte rozdiel x (prvá vetva pravouhlého trojuholníka), funkcia abs(x) - vráti modul x x
$my=abs($cy-$y); //vypočítajte rozdiel medzi hráčmi (druhá vetva pravouhlého trojuholníka)

$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Získajte vzdialenosť k metru (dĺžka prepony, podľa pravidla sa prepona rovná odmocnine súčtu druhých mocnín nôh)

Ak to nie je jasné, vysvetlím: Predstavujem si, že vzdialenosť medzi dvoma bodmi je prepona pravouhlého trojuholníka. Potom rozdiel medzi x každého z dvoch bodov bude jedna z vetví a druhá vetva bude rozdiel medzi y tých istých dvoch bodov. Potom, keď vypočítate rozdiel medzi x a y, môžete použiť vzorec na výpočet dĺžky prepony (t. j. vzdialenosti medzi dvoma bodmi).

Viem, že toto pravidlo funguje dobre pre karteziánske súradnice, ale viac-menej by malo fungovať aj s longlatovými súradnicami. nameraná vzdialenosť medzi dvoma bodmi je zanedbateľná (od 30 do 1500 metrov).

Vzdialenosť podľa tohto algoritmu je však vypočítaná nesprávne (napríklad vzdialenosť1 vypočítaná pomocou tohto algoritmu presahuje vzdialenosť2 len o 13 %, zatiaľ čo v skutočnosti je vzdialenosť1 1450 metrov, vzdialenosť2 je 970 metrov, teda v skutočnosti rozdiel dosahuje takmer 50 %).

Ak by niekto vedel pomôcť, bol by som veľmi vďačný.

S pozdravom Alexander.

","contentType":"text/html"),"authorId":"108613929","slug":"15001","canEdit":false,"canComment":false,"isBanned":false,"canPublish":false,"viewType":"old","isDraft":false"sescriber,""comments":Coffalse"sescriber,""Comments:Coffalse","is14,""Comments" ModificationDate":"Str 27. júna 2012 20:07:00 GMT+0000 (UTC)","showPreview":true,"approvedPreview":("zdroj":"

Ahoj,

Už dlhšiu dobu sa borím s problémom: Snažím sa vypočítať vzdialenosť medzi dvoma ľubovoľnými bodmi, ktoré sú od seba vzdialené 30 až 1500 metrov.

Použité PHP:

$cx=31,319738; //x súradnica prvého bodu
$cy=60,901638; //y súradnica prvého bodu

$ x = 31,333312; //x-ová súradnica druhého bodu
$ y = 60,933981; //súradnica y druhého bodu

$mx=abs($cx-$x); //vypočítajte rozdiel x (prvá vetva pravouhlého trojuholníka), funkcia abs(x) - vráti modul x x
$my=abs($cy-$y); //vypočítajte rozdiel medzi hráčmi (druhá vetva pravouhlého trojuholníka)

$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Získajte vzdialenosť k metru (dĺžka prepony, podľa pravidla sa prepona rovná odmocnine súčtu druhých mocnín nôh)

Ak to nie je jasné, vysvetlím: Predstavujem si, že vzdialenosť medzi dvoma bodmi je prepona pravouhlého trojuholníka. Potom rozdiel medzi x každého z dvoch bodov bude jedna z vetví a druhá vetva bude rozdiel medzi y tých istých dvoch bodov. Potom, keď vypočítate rozdiel medzi x a y, môžete použiť vzorec na výpočet dĺžky prepony (t. j. vzdialenosti medzi dvoma bodmi).

Viem, že toto pravidlo funguje dobre pre karteziánske súradnice, ale viac-menej by malo fungovať aj s longlatovými súradnicami. nameraná vzdialenosť medzi dvoma bodmi je zanedbateľná (od 30 do 1500 metrov).

Vzdialenosť podľa tohto algoritmu je však vypočítaná nesprávne (napríklad vzdialenosť1 vypočítaná pomocou tohto algoritmu presahuje vzdialenosť2 len o 13 %, zatiaľ čo v skutočnosti je vzdialenosť1 1450 metrov, vzdialenosť2 je 970 metrov, teda v skutočnosti rozdiel dosahuje takmer 50 %).

Ak by niekto vedel pomôcť, bol by som veľmi vďačný.

S pozdravom Alexander.

","html":"Dobrý deň","contentType":"text/html"),"proposedPreview":("source":"

Ahoj,

Už dlhšiu dobu sa borím s problémom: Snažím sa vypočítať vzdialenosť medzi dvoma ľubovoľnými bodmi, ktoré sú od seba vzdialené 30 až 1500 metrov.

Použité PHP:

$cx=31,319738; //x súradnica prvého bodu
$cy=60,901638; //y súradnica prvého bodu

$ x = 31,333312; //x-ová súradnica druhého bodu
$ y = 60,933981; //súradnica y druhého bodu

$mx=abs($cx-$x); //vypočítajte rozdiel x (prvá vetva pravouhlého trojuholníka), funkcia abs(x) - vráti modul x x
$my=abs($cy-$y); //vypočítajte rozdiel medzi hráčmi (druhá vetva pravouhlého trojuholníka)

$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Získajte vzdialenosť k metru (dĺžka prepony, podľa pravidla sa prepona rovná odmocnine súčtu druhých mocnín nôh)

Ak to nie je jasné, vysvetlím: Predstavujem si, že vzdialenosť medzi dvoma bodmi je prepona pravouhlého trojuholníka. Potom rozdiel medzi x každého z dvoch bodov bude jedna z vetví a druhá vetva bude rozdiel medzi y tých istých dvoch bodov. Potom, keď vypočítate rozdiel medzi x a y, môžete použiť vzorec na výpočet dĺžky prepony (t. j. vzdialenosti medzi dvoma bodmi).

Viem, že toto pravidlo funguje dobre pre karteziánske súradnice, ale viac-menej by malo fungovať aj s longlatovými súradnicami. nameraná vzdialenosť medzi dvoma bodmi je zanedbateľná (od 30 do 1500 metrov).

Vzdialenosť podľa tohto algoritmu je však vypočítaná nesprávne (napríklad vzdialenosť1 vypočítaná pomocou tohto algoritmu presahuje vzdialenosť2 len o 13 %, zatiaľ čo v skutočnosti je vzdialenosť1 1450 metrov, vzdialenosť2 je 970 metrov, teda v skutočnosti rozdiel dosahuje takmer 50 %).

Ak by niekto vedel pomôcť, bol by som veľmi vďačný.

S pozdravom Alexander.

","html":"Dobrý deň","contentType":"text/html"),"titleImage":null,"tags":[("displayName":"meranie vzdialenosti","slug":"izmerenie-rasstoyaniy","categoryId":"10615601","url":"/blog",izrastoyaniy":"/blog"izrastoyapi?? I 1.x","slug":"api-1-x","categoryId":"150000131","url":"/blog/mapsapi??tag=api-1-x")],"isModerator":false,"commentsEnabled":true,"url":"/blog/mapsapi%/logemap/150piembembloge/150piemblogur %","fullBlogUrl":"https://yandex.ru/blog/mapsapi","addCommentUrl":"/blog/createComment/mapsapi/15001","updateCommentUrl":"/blog/updateComment/mapsapi/15001","addCaslog":ptCach/Wmapate 00 1","changeCaptchaUrl":"/blog/api/captcha/new","putImageUrl":"/blog/image/put","urlBlog":"/blog/mapsapi","urlEditPost":"/blog/56a98d48b15b795e31"/iturede Slug","ur lPublishPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/publish","urlUnpublishPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/unpublishPosturl:91b61 e0d54c8/ removePost","urlDraft":"/blog/mapsapi/15001/draft","urlDraftTemplate":"/blog/mapsapi/%slug%/draft","urlRemoveDraft":"/blog/56a98d48b15ebd"/59 "/blog/ api/suggest/mapsapi","urlAfterDelete":"/blog/mapsapi","isAuthor":false,"subscribeUrl":"/blog/api/subscribe/56a98d48b15b79e31e0d54c8"""/56unscribeUrl/7dscribe7" e31e 0d54c8","urlEditPostPage":"/blog/mapsapi/56a98d48b15b79e31e0d54c8/edit","urlForTranslate":"/blog/post/translate","urlRelateIsssuldate"Update"/Tbranbloge"update":"/ranslate log/post/updateTranslate","urlLoadTrans late":"/blog/post/loadTranslate","urlTranslationStatus":"/blog/mapsapi/15001/translationInfo","urlRelatedArticles":"/blog/api/relatedArticles/mapsapi""8"autid"6001"0150121 :("value":"108613929","lite":fal se,"hosted":false),,"aliases":(),,"login":"mrdds","display_name":("name":"mrdds","avatar":("default":"0/0-0","emptyaddress":true:") [chránený e-mailom]","defaultAvatar":"0/0-0","imageSrc":"https://avatars.mds.yandex.net/get-yapic/0/0-0/islands-middle","isYandexStaff":false),"originalModificationDate":"2012-06-27"(full"social":07:07" Cesta":"https://avatars.mds.yandex.net/get-yablogs/47421/file_1456488726678/orig")))))))">

Určenie vzdialenosti medzi dvoma bodmi LEN podľa longlatových súradníc.

$my=abs($cy-$y); //vypočítajte rozdiel medzi hráčmi (druhá vetva pravouhlého trojuholníka)

$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Získajte vzdialenosť k metru (dĺžka prepony, podľa pravidla sa prepona rovná odmocnine súčtu druhých mocnín nôh)

Ak to nie je jasné, vysvetlím: Predstavujem si, že vzdialenosť medzi dvoma bodmi je prepona pravouhlého trojuholníka. Potom rozdiel medzi x každého z dvoch bodov bude jedna z vetví a druhá vetva bude rozdiel medzi y tých istých dvoch bodov. Potom, keď vypočítate rozdiel medzi x a y, môžete použiť vzorec na výpočet dĺžky prepony (t. j. vzdialenosti medzi dvoma bodmi).

Viem, že toto pravidlo funguje dobre pre karteziánske súradnice, ale viac-menej by malo fungovať aj s longlatovými súradnicami. nameraná vzdialenosť medzi dvoma bodmi je zanedbateľná (od 30 do 1500 metrov).

Vzdialenosť podľa tohto algoritmu je však vypočítaná nesprávne (napríklad vzdialenosť1 vypočítaná pomocou tohto algoritmu presahuje vzdialenosť2 len o 13 %, zatiaľ čo v skutočnosti je vzdialenosť1 1450 metrov, vzdialenosť2 je 970 metrov, teda v skutočnosti rozdiel dosahuje takmer 50 %).

Ak by niekto vedel pomôcť, bol by som veľmi vďačný.

S pozdravom Alexander.

Riešenie úloh z matematiky pre žiakov často sprevádzajú mnohé ťažkosti. Pomôcť študentovi vyrovnať sa s týmito ťažkosťami, ako aj naučiť ho aplikovať svoje teoretické vedomosti pri riešení konkrétnych problémov vo všetkých častiach kurzu predmetu „Matematika“ je hlavným zámerom našej stránky.

Po začatí riešenia úloh na danú tému by študenti mali byť schopní postaviť bod na rovine podľa jeho súradníc, ako aj nájsť súradnice daného bodu.

Výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi v rovine A (x A; y A) a B (x B; y B) sa vykonáva podľa vzorca d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), kde d je dĺžka úsečky, ktorá spája tieto body v rovine.

Ak sa jeden z koncov segmentu zhoduje s počiatkom a druhý má súradnice M (x M; y M), potom vzorec na výpočet d bude mať tvar OM = √ (x M 2 + y M 2).

1. Výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi na základe súradníc týchto bodov

Príklad 1.

Nájdite dĺžku úsečky, ktorá spája body A(2; -5) a B(-4; 3) v rovine súradníc (obr. 1).

Riešenie.

Podmienka úlohy je daná: x A = 2; x B \u003d -4; y A = -5 a y B = 3. Nájdite d.

Použitím vzorca d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) dostaneme:

d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10.

2. Výpočet súradníc bodu, ktorý je rovnako vzdialený od troch daných bodov

Príklad 2

Nájdite súradnice bodu O 1, ktorý je rovnako vzdialený od troch bodov A(7; -1) a B(-2; 2) a C(-1; -5).

Riešenie.

Z formulácie podmienky úlohy vyplýva, že O 1 A \u003d O 1 B \u003d O 1 C. Nech požadovaný bod O 1 má súradnice (a; b). Podľa vzorca d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) nájdeme:

O1A \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Zostavíme sústavu dvoch rovníc:

(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Po kvadratúre vľavo a pravé časti rovnice píšeme:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5)2.

Zjednodušenie, píšeme

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

Po vyriešení systému dostaneme: a = 2; b = -1.

Bod O 1 (2; -1) je rovnako vzdialený od troch bodov uvedených v podmienke, ktoré neležia na jednej priamke. Tento bod je stredom kruhu prechádzajúceho cez tri dané body (obr. 2).

3. Výpočet súradnice bodu, ktorý leží na osi súradnice a je v danej vzdialenosti od tohto bodu

Príklad 3

Vzdialenosť od bodu B(-5; 6) k bodu A ležiacemu na osi x je 10. Nájdite bod A.

Riešenie.

Z formulácie podmienky úlohy vyplýva, že ordináta bodu A je nula a AB = 10.

Ak označíme úsečku bodu A až a, napíšeme A(a; 0).

AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36).

Dostaneme rovnicu √((a + 5) 2 + 36) = 10. Keď to zjednodušíme, máme

a 2 + 10a - 39 = 0.

Korene tejto rovnice a 1 = -13; a 2 = 3.

Získame dva body A 1 (-13; 0) a A 2 (3; 0).

Vyšetrenie:

A 1 B \u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

A 2 B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

Obidva získané body zodpovedajú stavu problému (obr. 3).

4. Výpočet súradnice bodu, ktorý leží na osi súradnice a je v rovnakej vzdialenosti od dvoch daných bodov

Príklad 4

Nájdite bod na osi Oy, ktorý je v rovnakej vzdialenosti od bodov A (6; 12) a B (-8; 10).

Riešenie.

Súradnice bodu, ktorý vyžaduje podmienka úlohy, ležiaceho na osi Oy, sú O 1 (0; b) (v bode ležiacom na osi Oy sa úsečka rovná nule). Vyplýva to z podmienky, že O 1 A \u003d O 1 V.

Podľa vzorca d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) nájdeme:

O 1 A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2).

Máme rovnicu √(36 + (b - 12) 2) = √(64 + (b - 10) 2) alebo 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2 .

Po zjednodušení dostaneme: b - 4 = 0, b = 4.

Vyžaduje sa podmienkou problémového bodu O 1 (0; 4) (obr. 4).

5. Výpočet súradníc bodu, ktorý je v rovnakej vzdialenosti od súradnicových osí a niektorého daného bodu

Príklad 5

Nájdite bod M ležiaci na súradnicovej rovine v rovnakej vzdialenosti od súradnicových osí a od bodu A (-2; 1).

Riešenie.

Požadovaný bod M, podobne ako bod A (-2; 1), sa nachádza v druhom súradnicovom rohu, pretože je rovnako vzdialený od bodov A, P 1 a P 2 (obr. 5). Vzdialenosti bodu M od súradnicových osí sú rovnaké, preto jeho súradnice budú (-a; a), kde a > 0.

Z podmienok úlohy vyplýva, že MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = |-a|,

tie. |-a| = a.

Podľa vzorca d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) nájdeme:

MA \u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

Urobme rovnicu:

√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

Po kvadratúre a zjednodušení máme: a 2 - 6a + 5 = 0. Riešime rovnicu, nájdeme a 1 = 1; a 2 = 5.

Získame dva body M 1 (-1; 1) a M 2 (-5; 5), ktoré spĺňajú podmienku úlohy.

6. Výpočet súradníc bodu, ktorý je v rovnakej zadanej vzdialenosti od osi x (ordináta) a od tohto bodu

Príklad 6

Nájdite bod M taký, že jeho vzdialenosť od osi y a od bodu A (8; 6) bude rovná 5.

Riešenie.

Z podmienky úlohy vyplýva, že MA = 5 a úsečka bodu M sa rovná 5. Poradnica bodu M nech je rovná b, potom M(5; b) (obr. 6).

Podľa vzorca d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) máme:

MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

Urobme rovnicu:

√((5 - 8) 2 + (b - 6) 2) = 5. Keď to zjednodušíme, dostaneme: b 2 - 12b + 20 = 0. Korene tejto rovnice sú b 1 = 2; b 2 \u003d 10. Preto existujú dva body, ktoré spĺňajú podmienku úlohy: M 1 (5; 2) a M 2 (5; 10).

Je známe, že mnohí študenti pri riešení problémov samostatne potrebujú neustále konzultácie o technikách a metódach ich riešenia. Študent často nevie nájsť spôsob, ako vyriešiť problém bez pomoci učiteľa. Potrebné rady pri riešení problémov môže študent získať na našej webovej stránke.

Máte nejaké otázky? Nie ste si istí, ako nájsť vzdialenosť medzi dvoma bodmi v rovine?
Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.