V článku zvážime riešenie nerovností. Povieme vám jasne o ako zostaviť riešenie nerovností s jasnými príkladmi!

Predtým, ako sa pozrieme na riešenie nerovností pomocou príkladov, pochopme základné pojmy.

Všeobecné informácie o nerovnostiach

Nerovnosť je výraz, v ktorom sú funkcie spojené vzťahovými znakmi >, . Nerovnosti môžu byť číselné aj doslovné.
Nerovnosti s dvoma znakmi pomeru sa nazývajú dvojité, s tromi - trojité atď. Napríklad:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Nerovnosti obsahujúce znamienko > alebo alebo - nie sú striktné.
Riešenie nerovnosti je akákoľvek hodnota premennej, pre ktorú bude táto nerovnosť platiť.
"Vyriešte nerovnosť“ znamená, že musíme nájsť súbor všetkých jeho riešení. Sú rôzne metódy riešenia nerovností. Pre riešenia nerovností Používajú číselný rad, ktorý je nekonečný. Napríklad, riešenie nerovnosti x > 3 je interval od 3 do + a číslo 3 nie je zahrnuté v tomto intervale, preto je bod na priamke označený prázdnym kruhom, pretože nerovnosť je prísna.
+
Odpoveď bude: x (3; +).
Hodnota x=3 nie je zahrnutá v množine riešení, takže zátvorky sú okrúhle. Znak nekonečna je vždy zvýraznený zátvorkou. Znak znamená „patriaci“.
Pozrime sa, ako vyriešiť nerovnosti pomocou iného príkladu so znamienkom:
x 2
-+
Hodnota x=2 je zahrnutá v množine riešení, takže zátvorka je štvorcová a bod na čiare je označený vyplneným kruhom.
Odpoveď bude: x. Nasledujúci príklad používa takúto zátvorku.

Zapíšme si odpoveď: x ≥ -0,5 v intervaloch:

x ∈ [-0,5; +∞)

Číta: x patrí do intervalu od mínus 0,5, počítajúc do toho, do plus nekonečna.

Nekonečno sa nikdy nedá zapnúť. Nie je to číslo, je to symbol. Preto v takýchto zápisoch nekonečno vždy susedí so zátvorkou.

Táto forma záznamu je vhodná pre komplexné odpovede pozostávajúce z niekoľkých medzier. Ale - len pre konečné odpovede. V medzivýsledkoch, kde sa očakáva ďalšie riešenie, je lepšie použiť obvyklú formu vo forme jednoduchej nerovnosti. Budeme sa tomu venovať v príslušných témach.

Populárne úlohy s nerovnosťami.

Samotné lineárne nerovnosti sú jednoduché. Preto sú úlohy často ťažšie. Bolo teda potrebné premýšľať. Toto, ak na to nie ste zvyknutý, nie je veľmi príjemné.) Ale je to užitočné. Ukážem príklady takýchto úloh. Nie aby ste sa ich učili, je to zbytočné. A aby sa pri stretnutí s takýmito príkladmi nebáli. Len trochu premýšľajte - a je to jednoduché!)

1. Nájdite ľubovoľné dve riešenia nerovnosti 3x - 3< 0

Ak nie je jasné, čo robiť, nezabudnite na hlavné pravidlo matematiky:

Ak neviete, čo potrebujete, urobte, čo môžete!)

X < 1

A čo? Nič zvláštne. Čo sa nás pýtajú? Sme požiadaní, aby sme našli dve konkrétne čísla, ktoré sú riešením nerovnosti. Tie. zodpovedať odpovedi. Dva akýkoľvekčísla. V skutočnosti je to mätúce.) Pár 0 a 0,5 je vhodných. Pár -3 a -8. Tých párov je nekonečne veľa! Ktorá odpoveď je správna?!

Odpovedám: všetko! Akýkoľvek pár čísel, z ktorých každé je menšie ako jedna, bude správna odpoveď. Napíšte, ktorý chcete. Poďme ďalej.

2. Vyriešte nerovnosť:

4x - 3 ≠ 0

Úlohy v tejto forme sú zriedkavé. Ale ako pomocné nerovnosti, napríklad pri hľadaní ODZ alebo pri hľadaní definičného oboru funkcie, sa vyskytujú stále. Takáto lineárna nerovnosť môže byť vyriešená ako obyčajná lineárna rovnica. Iba všade okrem znaku "=" ( rovná sa) dať znamenie" ≠ " (nerovná sa). Takto pristupujete k odpovedi so znamienkom nerovnosti:

X ≠ 0,75

Vo viac komplexné príklady, je lepšie robiť veci inak. Urobte z rovnosti nerovnosť. Páči sa ti to:

4x - 3 = 0

Pokojne to vyriešte, ako ste sa naučili, a získajte odpoveď:

x = 0,75

Hlavná vec je, že na samom konci pri zapisovaní konečnej odpovede nezabudnite, že sme našli x, čo dáva rovnosť. A potrebujeme - nerovnosť. Preto toto X naozaj nepotrebujeme.) A musíme si ho zapísať so správnym symbolom:

X ≠ 0,75

Tento prístup vedie k menšiemu počtu chýb. Tí, ktorí riešia rovnice automaticky. A pre tých, ktorí neriešia rovnice, sú nerovnice v skutočnosti zbytočné...) Ďalší príklad obľúbenej úlohy:

3. Nájdite najmenšie celočíselné riešenie nerovnosti:

3 (x - 1) < 5x + 9

Najprv jednoducho vyriešime nerovnosť. Otvárame zátvorky, presúvame ich, prinášame podobné... Získame:

X > - 6

Nevyšlo to tak!? Sledovali ste znamenia!? A za znakmi členov a za znakom nerovnosti...

Zamyslime sa ešte raz. Musíme nájsť konkrétne číslo, ktoré zodpovedá odpovedi aj podmienke „najmenšie celé číslo“. Ak vám to nesvitne hneď, môžete si vziať ľubovoľné číslo a prísť na to. Dva cez mínus šesť? Určite! Existuje vhodné menšie číslo? Samozrejme. Napríklad nula je väčšia ako -6. A ešte menej? Potrebujeme najmenšiu možnú vec! Mínus tri je viac ako mínus šesť! Už môžete zachytiť vzorec a prestať hlúpo prechádzať číslami, však?)

Zoberme si číslo bližšie k -6. Napríklad -5. Odpoveď je splnená, -5 > - 6. Je možné nájsť iné číslo menšie ako -5, ale väčšie ako -6? Môžete napríklad -5,5... Stop! Je nám povedané celý Riešenie! Neroluje sa -5,5! A čo mínus šesť? Uh-uh! Nerovnosť je prísna, mínus 6 nie je v žiadnom prípade menej ako mínus 6!

Správna odpoveď je teda -5.

Dúfajme, že s výberom hodnôt z všeobecné riešenie všetko jasné. Ďalší príklad:

4. Vyriešte nerovnosť:

7 < 3x+1 < 13

Wow! Tento výraz sa nazýva trojitá nerovnosť. Presne povedané, ide o skrátenú formu systému nerovností. Ale takéto trojité nerovnosti sa predsa musia v niektorých úlohách riešiť... Dá sa to vyriešiť bez akýchkoľvek systémov. Podľa rovnakých identických premien.

Musíme to zjednodušiť, priniesť túto nerovnosť do čistého X. Ale... Čo by sa malo kam presunúť?! Tu je čas si uvedomiť, že pohyb doľava a doprava je krátka forma prvá transformácia identity.

A plná forma znie takto: Akékoľvek číslo alebo výraz možno pripočítať/odčítať na obe strany rovnice (nerovnosť).

Sú tu tri časti. Na všetky tri časti teda použijeme identické transformácie!

Zbavme sa teda tej strednej časti nerovnosti. Odčítajme jednu od celej strednej časti. Aby sa nerovnosť nezmenila, odpočítame jednu od zvyšných dvoch častí. Páči sa ti to:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

To je lepšie, však?) Zostáva len rozdeliť všetky tri časti na tri:

2 < X < 4

To je všetko. Toto je odpoveď. X môže byť ľubovoľné číslo od dvoch (bez) do štyroch (bez). Táto odpoveď je tiež písaná v intervaloch, takéto záznamy budú v kvadratických nerovnostiach. Tam sú to najbežnejšie.

Na konci lekcie zopakujem to najdôležitejšie. Úspech v riešení lineárne nerovnosti závisí od schopnosti transformovať a zjednodušiť lineárne rovnice. Ak v rovnakom čase pozor na znak nerovnosti, nebudú žiadne problémy. To ti prajem. Žiadne problémy.)

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Čo sa stalo "kvadratická nerovnosť"? Bez otázky!) Ak vezmete akýkoľvek kvadratickú rovnicu a nahraďte v nej znamienko "=" (rovná sa) ľubovoľnému znamienku nerovnosti ( > ≥ < ≤ ≠ ), dostaneme kvadratickú nerovnosť. Napríklad:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2+3x > 0

3. x 2 ≤ 4

no chápeš...)

Nie nadarmo som tu spojil rovnice a nerovnice. Ide o to, že prvý krok pri riešení akýkoľvek kvadratická nerovnosť - vyriešiť rovnicu, z ktorej je vytvorená táto nerovnosť. Z tohto dôvodu - neschopnosť rozhodnúť sa kvadratické rovnice automaticky vedie k úplnému zlyhaniu v nerovnostiach. Je náznak jasný?) Ak niečo, pozrite sa, ako vyriešiť akékoľvek kvadratické rovnice. Všetko je tam podrobne popísané. A v tejto lekcii sa budeme zaoberať nerovnosťami.

Nerovnosť pripravená na riešenie má tvar: vľavo je kvadratická trojčlenka sekera 2 + bx + c, vpravo - nula. Znakom nerovnosti môže byť úplne čokoľvek. Prvé dva príklady sú tu sú už pripravení urobiť rozhodnutie. Tretí príklad treba ešte pripraviť.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

teória:

Pri riešení nerovností sa používajú tieto pravidlá:

1. Akýkoľvek člen nerovnosti je možné preniesť z jednej časti
nerovnosť do inej s opačným znamienkom, ale znamienko nerovnosti sa nemení.

2. Obe strany nerovnosti možno vynásobiť alebo vydeliť jednou
a rovnaké kladné číslo bez zmeny znamienka nerovnosti.

3. Obe strany nerovnosti je možné vynásobiť alebo vydeliť jednou
a tiež záporné číslo, zmenou znamienka nerovnosti na
opak.

Vyriešte nerovnosť − 8 x + 11< − 3 x − 4
Riešenie.

1. Pohneme penisom − 3 x V ľavá strana nerovnosti a pojem 11 - V pravá strana nerovnosti, zároveň meníme znamienka na opačné − 3 x a pri 11 .
Potom dostaneme

− 8 x + 3 x< − 4 − 11

− 5 x< − 15

2. Rozdeľme obe strany nerovnosti − 5 x< − 15 na záporné číslo − 5 a znak nerovnosti < , sa zmení na > , t.j. prejdeme k nerovnosti opačného významu.
Dostaneme:

− 5 x< − 15 | : (− 5 )

x > − 15 : (− 5 )

x > 3

x > 3— riešenie danej nerovnosti.

Dávaj pozor!

Existujú dve možnosti na napísanie riešenia: x > 3 alebo ako číselný interval.

Množinu riešení nerovnice označme na číselnej osi a odpoveď napíšme v tvare číselného intervalu.

x ∈ (3 ; + ∞ )

odpoveď: x > 3 alebo x ∈ (3 ; + ∞ )

Algebraické nerovnosti.

Kvadratické nerovnosti. Racionálne nerovnosti vyšších stupňov.

Metódy riešenia nerovností závisia najmä od toho, do akej triedy patria funkcie tvoriace nerovnosť.

1. ja. Kvadratické nerovnosti, teda nerovnosti formy

ax 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

Ak chcete vyriešiť nerovnosť, môžete:

1. Vynásobte štvorcovú trojčlenku, teda zapíšte nerovnosť do tvaru

a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).

1. Nakreslite korene polynómu na číselnú os. Korene rozdeľujú množinu reálnych čísel na intervaly, v každom z nich je zodpovedajúci kvadratickej funkcie bude mať trvalé znamenie.
2. Určte znamienko a (x - x 1) (x - x 2) v každom intervale a zapíšte odpoveď.

Ak štvorcová trojčlenka nemá korene, potom pre D<0 и a>0 štvorcový trojčlen je kladný pre ľubovoľné x.

• Vyriešte nerovnosť. x 2 + x - 6 > 0.

Faktor kvadratického trinomu (x + 3) (x - 2) > 0

Odpoveď: x (-∞; -3) (2; +∞).

2) (x - 6) 2 > 0

Táto nerovnosť platí pre ľubovoľné x okrem x = 6.

Odpoveď: (-∞; 6) (6; +∞).

3) x² + 4x + 15< 0.

Tu D< 0, a = 1 >0. Štvorcová trojčlenka je kladná pre všetky x.

Odpoveď: x Î Ø.

Vyriešte nerovnosti:

1. 1 + x - 2 x ²< 0. Ответ:
2. 3x² - 12x + 12 ≤ 0. Odpoveď:
3. 3x² - 7x + 5 ≤ 0. Odpoveď:
4. 2x² - 12x + 18 > 0. Odpoveď:
5. Pre aké hodnoty a robí nerovnosť

x² - ax > platí pre ľubovoľné x? odpoveď:

1. II. Racionálne nerovnosti vyšších stupňov, teda nerovnosti formy

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.

Polynóm najvyšší stupeň by mala byť faktorizovaná, to znamená, že nerovnosť by mala byť zapísaná vo forme

a n (x - x 1) (x - x 2) ·…· (x - x n) > 0 (<0).

Označte body na číselnej osi, kde polynóm zaniká.

Určte znamienka polynómu na každom intervale.

1) Vyriešte nerovnosť x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.

x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1) (x 2-5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Takže x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

Odpoveď: (0; 1) (2; 3).

2) Vyriešte nerovnosť (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.

Označme body na číselnej osi, v ktorých polynóm zaniká. Sú to x = 1, x = -2, x = ½, x = - ½.

V bode x = - ½ nenastáva žiadna zmena znamienka, pretože dvojčlen (2x + 1) je umocnený na párnu mocninu, to znamená, že výraz (2x + 1) 4 nemení znamienko pri prechode bodom x = - ½.

Odpoveď: (-∞; -2) (½; 1).

3) Vyriešte nerovnosť: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.

Táto nerovnosť je ekvivalentná nasledujúcej množine

Riešenie (1) je x (-∞; -2) (3; +∞). Riešenie (2) je x = 0, x = -2, x = 3. Spojením získaných riešení dostaneme x О (-∞; -2] (0) (0) )