Srednja linija trapeza. Kako pronaći središnju liniju trapeza

Središnja crta trapeza jednaka je polovici zbroja osnove. Spaja središta stranica trapeza i uvijek je paralelna s osnovicama.

Ako su osnovice trapeza jednake a i b, tada srednja linija m jednaka je m=(a+b)/2.

Ako je područje trapeza poznato, tada može se pronaći srednja linija i na drugi način, dijeleći površinu trapeza S visinom trapeza h:

To je, središnja linija trapeza m=S/h

Postoji mnogo načina da se pronađe duljina središnje crte trapeza. Izbor metode ovisi o početnim podacima.

Ovdje formule za duljinu srednje crte trapeza:

Da biste pronašli središnju liniju trapeza, možete koristiti jednu od pet formula (neću ih napisati, jer su već u drugim odgovorima), ali to je samo u slučajevima kada su vrijednosti početnih podataka koje trebamo su poznati.

U praksi moramo rješavati mnoge probleme kada nema dovoljno podataka i odgovarajuća veličina još treba pronaći.

Ovdje postoje takve opcije

korak po korak rješenje kako bi se sve podvelo pod formulu;

pomoću drugih formula sastaviti i riješiti potrebne jednadžbe.

pronalaženje duljine sredine trapeza pomoću formule koja nam je potrebna uz pomoć drugih znanja o geometriji i korištenju algebarske jednadžbe:

Imamo jednakokračni trapez, dijagonale mu se sijeku pod pravim kutom, visina mu je 9 cm.

Napravimo crtež i vidimo da se ovaj problem ne može direktno riješiti (nema dovoljno podataka)

Stoga ćemo malo pojednostaviti i povući visinu kroz sjecište dijagonala.

Ovo je prvi važan korak koji vodi do brzog rješenja.

označimo visinu s dvije nepoznanice, vidjet ćemo jednakokračne trokute koji nam trebaju sa stranicama x I na

i lako ga možemo pronaći zbroj osnova trapezi

jednako je 2h+2u

I tek sada možemo primijeniti formulu gdje

a jednako je x+y a prema uvjetima zadatka to je duljina visine jednaka 9 cm.

A sada smo izveli nekoliko momenata za jednakokračni trapez, čije se dijagonale sijeku pod pravim kutom

u takvim trapezima

srednja linija uvijek je jednaka visini

površina je uvijek jednaka kvadratu visine.

Sredina trapeza je isječak koji spaja središta stranica trapeza.

Srednju liniju bilo kojeg trapeza lako je pronaći ako koristite formulu:

m = (a + b)/2

m je duljina srednje linije trapeza;

a, b duljine osnovica trapeza.

Tako, duljina središnje crte trapeza jednaka je polovici zbroja duljina osnovica.

Osnovna formula za formulu za srednju crtu trapeza: duljina srednje crte trapeza jednaka je polovici zbroja osnovica a i b: MN=(a+b)2. Dokaz ove formule je formula za središnju crtu trokuta. Bilo koji trapez može se predstaviti nakon povlačenja od krajeva manje baze visine do veće osnovice. Razmatraju se 2 rezultirajuća trokuta i pravokutnik. Nakon toga, formula za središnju crtu trapeza je lako dokazati.

Da bismo pronašli središnju crtu trapeza, moramo znati vrijednosti baza.

Nakon što smo pronašli te vrijednosti, ili su nam možda bile poznate, te brojeve zbrojimo i jednostavno podijelimo na pola.

Evo što će se dogoditi središnja linija trapeza.

Koliko se sjećam svojih školskih lekcija geometrije, da biste pronašli duljinu središnje linije trapeza, morate zbrojiti duljine baza i podijeliti s dva. Dakle, duljina središnje crte trapeza jednaka je polovici zbroja baza.

U ovom ćemo članku pokušati prikazati svojstva trapeza što je moguće potpunije. Posebno ćemo govoriti o opći znakovi i svojstvima trapeza, kao i o svojstvima upisanog trapeza i o trapezu upisanoj kružnici. Dotaknut ćemo se i svojstava jednakokračnog i pravokutnog trapeza.

Primjer rješavanja problema pomoću razmatranih svojstava pomoći će vam da ga razvrstate po mjestima u glavi i bolje zapamtite gradivo.

Trapez i sve-sve-sve

Za početak, ukratko se prisjetimo što je trapez i koji su drugi koncepti povezani s njim.

Dakle, trapez je četverokutna figura, čije su dvije stranice paralelne jedna s drugom (to su baze). A to dvoje nije paralelno - ovo su strane.

U trapezu se visina može spustiti – okomito na osnovice. Nacrtane su središnja linija i dijagonale. Također je moguće povući simetralu iz bilo kojeg kuta trapeza.

Sada ćemo govoriti o različitim svojstvima povezanim sa svim tim elementima i njihovim kombinacijama.

Svojstva dijagonala trapeza

Da bi vam bilo jasnije, dok čitate, skicirajte trapez ACME na komad papira i nacrtajte dijagonale u njemu.

Ako pronađete središta svake od dijagonala (nazovimo te točke X i T) i spojite ih, dobit ćete segment. Jedno od svojstava dijagonala trapeza je da isječak HT leži na središnjoj crti. A njezina se duljina može dobiti dijeljenjem razlike baza s dva: HT = (a – b)/2.
Pred nama je isti trapezoid ACME. Dijagonale se sijeku u točki O. Pogledajmo trokute AOE i MOK koje čine odsječci dijagonala zajedno s osnovicama trapeza. Ovi su trokuti slični. Koeficijent sličnosti k trokuta izražava se omjerom osnovica trapeza: k = AE/KM.
Omjer površina trokuta AOE i MOK opisuje se koeficijentom k 2 .
Isti trapez, iste dijagonale koje se sijeku u točki O. Samo ćemo ovaj put razmotriti trokute koje su segmenti dijagonala činili zajedno sa stranicama trapeza. Površine trokuta AKO i EMO jednake su veličine – površine su im jednake.
Drugo svojstvo trapeza uključuje konstrukciju dijagonala. Dakle, ako stranice AK i ME nastavite u smjeru manje baze, tada će se prije ili kasnije presjeći u određenoj točki. Zatim povucite ravnu liniju kroz sredinu baza trapeza. Ona siječe baze u točkama X i T.
Ako sada produžimo pravac XT, tada će on zajedno spajati sjecište dijagonala trapeza O, točku u kojoj se sijeku produžeci stranice i središta osnovica X i T.
Kroz sjecište dijagonala povući ćemo isječak koji će spajati osnovice trapeza (T leži na manjoj osnovici KM, X na većoj AE). Sjecište dijagonala dijeli ovaj segment u sljedećem omjeru: TO/OX = KM/AE.
Sada ćemo kroz točku sjecišta dijagonala povući segment paralelan s bazama trapeza (a i b). Točka sjecišta će ga podijeliti na dva jednaka dijela. Pomoću formule možete pronaći duljinu segmenta 2ab/(a + b).

Svojstva srednje crte trapeza

Nacrtajte srednju liniju u trapezu paralelno s njegovim bazama.

Duljina središnje crte trapeza može se izračunati zbrajanjem duljina baza i njihovim dijeljenjem na pola: m = (a + b)/2.
Ako nacrtate bilo koji segment (na primjer visinu) kroz obje baze trapeza, srednja linija će ga podijeliti na dva jednaka dijela.

Svojstvo simetrale trapeza

Odaberite bilo koji kut trapeza i nacrtajte simetralu. Uzmimo, na primjer, kut KAE našeg trapeza ACME. Nakon što ste sami dovršili konstrukciju, lako možete provjeriti da simetrala odrezuje od baze (ili njenog nastavka na ravnoj liniji izvan same figure) segment iste duljine kao i stranica.

Svojstva kutova trapeza

Koji god od dva para kutova uz stranicu odaberete, zbroj kutova u tom paru uvijek je 180 0: α + β = 180 0 i γ + δ = 180 0.
Spojimo polovišta osnovica trapeza segmentom TX. Sada pogledajmo kutove na osnovicama trapeza. Ako je zbroj kutova za bilo koji od njih 90 0, duljina segmenta TX može se lako izračunati na temelju razlike u duljinama baza, podijeljenih na pola: TX = (AE – KM)/2.
Ako se kroz stranice kuta trapeza povuku paralelne crte, one će stranice kuta dijeliti na proporcionalne segmente.

Svojstva jednakokračnog (jednakostraničnog) trapeza

U jednakokračnom trapezu kutovi na svakoj osnovici su jednaki.
Sada ponovno izgradite trapez kako biste lakše zamislili o čemu govorimo. Pažljivo pogledajte bazu AE - vrh suprotne baze M projicira se na određenu točku na pravcu koji sadrži AE. Udaljenost od vrha A do točke projekcije vrha M i središnje crte jednakokračnog trapeza jednake su.
Nekoliko riječi o svojstvu dijagonala jednakokračnog trapeza - njihove su duljine jednake. A također su i kutovi nagiba ovih dijagonala prema osnovici trapeza isti.
Samo oko jednakokračnog trapeza može se opisati kružnica, jer je zbroj nasuprotnih kutova četverokuta 180 0 - preduvjet za to.
Svojstvo jednakokračnog trapeza slijedi iz prethodnog odlomka - ako se u blizini trapeza može opisati kružnica, ona je jednakokračna.
Iz obilježja jednakokračnog trapeza slijedi svojstvo visine trapeza: ako se njegove dijagonale sijeku pod pravim kutom, tada je duljina visine jednaka polovici zbroja osnovica: h = (a + b)/2.
Ponovno povucite segment TX kroz središta baza trapeza - u jednakokračnom trapezu on je okomit na baze. I ujedno je TX os simetrije jednakokračnog trapeza.
Ovaj put spustite visinu sa suprotnog vrha trapeza na veću osnovicu (nazovimo je a). Dobit ćete dva segmenta. Duljina jednog može se pronaći ako se duljine baza zbroje i podijele na pola: (a + b)/2. Drugi dobijemo kada od veće baze oduzmemo manju i dobivenu razliku podijelimo s dva: (a – b)/2.

Svojstva trapeza upisanog u krug

Budući da već govorimo o trapezu upisanom u krug, zadržimo se na ovom pitanju detaljnije. Konkretno, gdje je središte kruga u odnosu na trapez. I ovdje se preporučuje da odvojite vrijeme da uzmete olovku i nacrtate ono o čemu će biti riječi u nastavku. Tako ćete brže razumjeti i bolje zapamtiti.

Položaj središta kruga određen je kutom nagiba dijagonale trapeza na njegovu stranu. Na primjer, dijagonala se može protezati od vrha trapeza pod pravim kutom na stranu. U tom slučaju veća baza siječe središte opisane kružnice točno po sredini (R = ½AE).
Dijagonala i stranica mogu se sastajati i pod oštrim kutom - tada je središte kružnice unutar trapeza.
Središte opisane kružnice može biti izvan trapeza, iza njegove veće osnovice, ako postoji tupi kut između dijagonale trapeza i stranice.
Kut koji čine dijagonala i veća osnovica trapeza ACME (upisani kut) upola je manji središnji kut, što mu odgovara: MAE = ½ MOE.
Ukratko o dva načina određivanja polumjera opisane kružnice. Prva metoda: pažljivo pogledajte svoj crtež - što vidite? Lako možete primijetiti da dijagonala dijeli trapez na dva trokuta. Polumjer se može pronaći omjerom stranice trokuta i sinusa suprotnog kuta, pomnoženog s dva. Na primjer, R = AE/2*sinAME. Na sličan način, formula se može napisati za bilo koju stranicu obaju trokuta.
Druga metoda: pronađite polumjer opisane kružnice kroz područje trokuta kojeg tvore dijagonala, stranica i baza trapeza: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Svojstva trapeza opisanog krugu

Možete uklopiti krug u trapez ako je ispunjen jedan uvjet. Više o tome pročitajte u nastavku. A zajedno ova kombinacija figura ima niz zanimljivih svojstava.

Ako je krug upisan u trapez, duljina njegove središnje linije može se lako pronaći zbrajanjem duljina stranica i dijeljenjem rezultirajućeg zbroja na pola: m = (c + d)/2.
Za trapez ACME, opisan oko kruga, zbroj duljina baza jednak je zbroju duljina stranica: AK + ME = KM + AE.
Iz ovog svojstva osnovica trapeza slijedi obrnuta tvrdnja: u trapez se može upisati kružnica čiji je zbroj osnovica jednak zbroju njegovih stranica.
Diralište kružnice polumjera r upisane u trapez dijeli stranicu na dva segmenta, nazovimo ih a i b. Polumjer kruga može se izračunati pomoću formule: r = √ab.
I još jedna nekretnina. Da ne bude zabune, nacrtajte i sami ovaj primjer. Imamo dobri stari trapez ACME, opisan oko kruga. Sadrži dijagonale koje se sijeku u točki O. Trokuti AOK i EOM koje čine odsječci dijagonala i bočnih stranica su pravokutni.
Visine ovih trokuta, spuštene na hipotenuze (tj. bočne stranice trapeza), podudaraju se s polumjerima upisane kružnice. A visina trapeza podudara se s promjerom upisane kružnice.

Svojstva pravokutnog trapeza

Trapez se naziva pravokutnim ako mu je jedan kut prav. I njegova svojstva proizlaze iz ove okolnosti.

Pravokutni trapez ima jednu stranicu okomitu na osnovicu.
Visina i bočna stranica trapeza uz pravi kut, su jednaki. To vam omogućuje izračunavanje površine pravokutnog trapeza (opća formula S = (a + b) * h/2) ne samo kroz visinu, već i kroz stranu koja je uz pravi kut.
Za pravokutni trapez relevantna su opća svojstva dijagonala trapeza koja su već opisana.

Dokazi nekih svojstava trapeza

Jednakost kutova na osnovici jednakokračnog trapeza:

Vjerojatno ste već pogodili da će nam ovdje opet trebati AKME trapez - nacrtajte jednakokračni trapez. Iz vrha M povuci ravnu liniju MT, paralelnu sa stranicom AK (MT || AK).

Dobiveni četverokut AKMT je paralelogram (AK || MT, KM || AT). Kako je ME = KA = MT, ∆ MTE je jednakokračan i MET = MTE.

AK || MT, dakle MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Gdje je AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Sada to dokazujemo na temelju svojstva jednakokračnog trapeza (jednakost dijagonala). trapez ACME je jednakokračan:

Prvo, nacrtajmo ravnu liniju MX – MX || KE. Dobivamo paralelogram KMHE (baza – MX || KE i KM || EX).

∆AMX je jednakokračan jer je AM = KE = MX, a MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, dakle MAE = MXE.

Pokazalo se da su trokuti AKE i EMA međusobno jednaki, jer je AM = KE i AE – zajednička strana dva trokuta. I također MAE = MXE. Možemo zaključiti da je AK = ME, a iz toga slijedi da je trapez AKME jednakokračan.

Pregledajte zadatak

Osnovice trapeza ACME su 9 cm i 21 cm, bočna stranica KA, jednaka 8 cm, s manjom osnovicom zaklapa kut od 150 0 . Morate pronaći područje trapeza.

Rješenje: Iz vrha K spustimo visinu na veću osnovicu trapeza. I počnimo promatrati kutove trapeza.

Kutovi AEM i KAN su jednostrani. To znači da ukupno daju 180 0. Stoga je KAN = 30 0 (na temelju svojstva trapeznih kutova).

Razmotrimo sada pravokutni ∆ANC (vjerujem da je ova točka očigledna čitateljima bez dodatnih dokaza). Iz njega ćemo pronaći visinu trapeza KH - u trokutu je to krak koji leži nasuprot kutu od 30 0. Stoga je KH = ½AB = 4 cm.

Područje trapeza nalazimo pomoću formule: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Pogovor

Ako ste pažljivo i zamišljeno proučavali ovaj članak, niste bili previše lijeni da olovkom u rukama nacrtate trapezoide za sva zadana svojstva i analizirate ih u praksi, trebali ste dobro savladati materijal.

Naravno, ovdje ima mnogo informacija, raznolikih i ponekad čak i zbunjujućih: nije tako teško pomiješati svojstva opisanog trapeza sa svojstvima upisanog. Ali i sami ste vidjeli da je razlika ogromna.

Sada imate detaljan prikaz svih općih svojstava trapeza. Kao i specifična svojstva i karakteristike jednakokračnog i pravokutnog trapeza. Vrlo je praktičan za pripremu za testove i ispite. Isprobajte sami i podijelite link sa svojim prijateljima!

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvorni izvor je obavezna.

Isječak ravne crte koji spaja središnje točke bočnih stranica trapeza naziva se središnjicom trapeza. U nastavku ćemo vam reći kako pronaći srednju liniju trapeza i kako se ona odnosi na druge elemente ove figure.

Teorem središnje linije

Nacrtajmo trapez u kojem je AD veća osnovica, BC manja osnovica, EF srednja linija. Produžimo osnovicu AD preko točke D. Povucimo pravac BF i nastavimo ga dok ne siječe nastavak baze AD u točki O. Promotrimo trokute ∆BCF i ∆DFO. Kutovi ∟BCF = ∟DFO kao vertikalni. CF = DF, ∟BCF = ∟FDO, jer VS // dd. Dakle, trokuti ∆BCF = ∆DFO. Stoga su stranice BF = FO.

Sada razmotrite ∆ABO i ∆EBF. ∟ABO je zajednički za oba trokuta. BE/AB = ½ prema uvjetu, BF/BO = ½, jer je ∆BCF = ∆DFO. Dakle, trokuti ABO i EFB su slični. Otuda omjer stranaka EF/AO = ½, kao i omjer ostalih stranaka.

Nalazimo EF = ½ AO. Crtež pokazuje da je AO = AD + DO. DO = BC kao stranice jednaki trokuti, što znači AO = AD + BC. Stoga je EF = ½ AO = ½ (AD + BC). Oni. duljina srednje crte trapeza jednaka je polovici zbroja osnovica.

Je li srednja linija trapeza uvijek jednaka polovici zbroja osnovica?

Pretpostavimo da takav postoji poseban slučaj, kada je EF ≠ ½ (AD + BC). Tada je BC ≠ DO, dakle, ∆BCF ≠ ∆DCF. Ali to je nemoguće, budući da između sebe imaju dva jednaka kuta i stranice. Prema tome, teorem je istinit pod svim uvjetima.

Problem srednje linije

Pretpostavimo da je u našem trapezu ABCD AD // BC, ∟A = 90°, ∟C = 135°, AB = 2 cm, dijagonala AC okomita na stranicu. Odredite središnju liniju trapeza EF.

Ako je ∟A = 90°, tada je ∟B = 90°, što znači da je ∆ABC pravokutan.

∟BCA = ∟BCD - ∟ACD. ∟ACD = 90° prema dogovoru, dakle, ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135° - 90° = 45°.

Ako je u pravokutnom trokutu ∆ABC jedan kut jednak 45°, tada su mu katete jednake: AB = BC = 2 cm.

Hipotenuza AC = √(AB² + BC²) = √8 cm.

Razmotrimo ∆ACD. ∟ACD = 90° prema stanju. ∟CAD = ∟BCA = 45° kao kutovi koje tvore transverzale paralelnih osnovica trapeza. Dakle, kraci AC = CD = √8.

Hipotenuza AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 cm.

Srednja crta trapeza EF = ½(AD + BC) = ½(2 + 4) = 3 cm.

Ciljevi lekcije:

1) upoznati učenike s pojmom središnje crte trapeza, razmotriti njegova svojstva i dokazati ih;

2) naučiti kako izgraditi središnju liniju trapeza;

3) razvijati sposobnost učenika za korištenje definicije srednje crte trapeza i svojstava srednje crte trapeza pri rješavanju zadataka;

4) nastaviti razvijati sposobnost učenika da kompetentno govori, koristeći potrebne matematičke pojmove; dokazati svoje stajalište;

5) razvijati logično mišljenje, pamćenje, pažnja.

Tijekom nastave

1. Domaća zadaća se provjerava tijekom sata. Zadaća je bila usmena, zapamtite:

a) definicija trapeza; vrste trapeza;

b) određivanje srednje crte trokuta;

c) svojstvo srednje crte trokuta;

d) znak srednje crte trokuta.

2. Učenje novog gradiva.

a) Na ploči je prikazan trapez ABCD.

b) Nastavnik traži da se prisjetite definicije trapeza. Svaki stol ima dijagram koji će vam pomoći da zapamtite osnovne pojmove u temi "Trapez" (vidi Dodatak 1). Dodatak 1 izdaje se uz svaki stol.

Učenici u svoje bilježnice crtaju trapez ABCD.

c) Nastavnik traži da se prisjetite u kojoj se temi susreli s pojmom srednje crte („Srednja crta trokuta“). Učenici se prisjećaju definicije srednje crte trokuta i njezinih svojstava.

e) Zapišite definiciju srednje crte trapeza, nacrtavši je u bilježnicu.

Srednja linija Trapez je isječak koji spaja sredine njegovih stranica.

Svojstvo srednje crte trapeza u ovoj fazi ostaje nedokazano, pa sljedeća faza sata uključuje rad na dokazivanju svojstva srednje crte trapeza.

Teorema. Srednjica trapeza paralelna je s njegovim osnovicama i jednaka je njihovom poluzbroju.

dano: ABCD – trapez,

MN – srednja linija ABCD

Dokazati, Što:

1. prije Krista || MN || OGLAS.

2. MN = (AD + BC).

Možemo napisati neke posljedice koje slijede iz uvjeta teorema:

AM = MB, CN = ND, BC || OGLAS.

Samo na temelju navedenih svojstava nemoguće je dokazati ono što se traži. Sustavom pitanja i vježbi učenike treba dovesti do želje da spoje središnju trapeza sa središnjom crtom nekog trokuta čija svojstva već poznaju. Ako nema prijedloga, tada možete postaviti pitanje: kako konstruirati trokut za koji bi segment MN bio srednja linija?

Zapišimo dodatnu konstrukciju za jedan od slučajeva.

Povucimo ravnu liniju BN koja siječe nastavak stranice AD u točki K.

Pojavljuju se dodatni elementi - trokuti: ABD, BNM, DNK, BCN. Ako dokažemo da je BN = NK, tada će to značiti da je MN srednja linija ABD, a zatim možemo koristiti svojstvo srednje crte trokuta i dokazati potrebno.

Dokaz:

1. Razmotrite BNC i DNK, oni sadrže:

a) CNB =DNK (vlasništvo okomiti kutovi);

b) BCN = NDK (svojstvo unutarnjih unakrsnih kutova);

c) CN = ND (prema korolariji uvjeta teorema).

To znači BNC =DNK (po strani i dva susjedna kuta).

Q.E.D.

Dokaz se može obaviti usmeno na satu, a može se kod kuće rekonstruirati i zapisati u bilježnicu (po izboru nastavnika).

Potrebno je reći o drugim mogućim načinima dokazivanja ove teoreme:

1. Nacrtajte jednu od dijagonala trapeza i upotrijebite predznak i svojstvo srednje crte trokuta.

2. Provesti CF || BA i razmotrite paralelogram ABCF i DCF.

3. Provesti EF || BA i razmotrite jednakost FND i ENC.

g) U ovoj fazi zadaje se domaća zadaća: paragraf 84, udžbenik ur. Atanasyan L.S. (dokaz svojstva središnje crte trapeza vektorskom metodom), zapišite u bilježnicu.

h) Rješavamo zadatke pomoću definicije i svojstava središnje crte trapeza pomoću gotovih crteža (vidi Prilog 2). Prilog 2 dobiva svaki učenik, a rješenja zadataka ispisuju na istom listu u kratkom obliku.

Trapez je poseban slučaj četverokuta kojemu je jedan par stranica paralelan. Izraz "trapez" dolazi od grčke riječi τράπεζα, što znači "stol", "stol". U ovom ćemo članku pogledati vrste trapeza i njegova svojstva. Osim toga, otkrit ćemo kako izračunati pojedine elemente ovoga Na primjer, dijagonalu jednakokračnog trapeza, središnju liniju, površinu itd. Materijal je prikazan u stilu elementarne popularne geometrije, tj. u lako dostupnom obliku. .

Opće informacije

Prvo, shvatimo što je četverokut. Ova figura je poseban slučaj poligona koji sadrži četiri stranice i četiri vrha. Dva vrha četverokuta koji nisu susjedni nazivaju se suprotnim. Isto se može reći i za dvije nesusjedne strane. Glavne vrste četverokuta su paralelogram, pravokutnik, romb, kvadrat, trapez i deltoid.

Dakle, vratimo se na trapeze. Kao što smo već rekli, ova figura ima dvije paralelne strane. Nazivaju se bazama. Druge dvije (neparalelne) su bočne strane. U ispitnim materijalima i raznim testovi vrlo često se mogu naći zadaci vezani uz trapeze čije rješavanje često od učenika zahtijeva znanja koja nisu predviđena programom. Školski predmet geometrije upoznaje učenike sa svojstvima kutova i dijagonala, kao i sa središnjicom jednakokračnog trapeza. No, osim ovoga, spomenuti geometrijski lik ima i druga obilježja. Ali o njima malo kasnije...

Vrste trapeza

Postoji mnogo vrsta ove figure. Međutim, najčešće je uobičajeno uzeti u obzir dva od njih - jednakokračan i pravokutan.

1. Pravokutni trapez je lik kojemu je jedna stranica okomita na osnovice. Njezina dva kuta uvijek su jednaka devedeset stupnjeva.

2. Jednakokračni trapez je geometrijski lik čije su stranice međusobno jednake. To znači da su i kutovi na bazama jednaki u parovima.

Glavna načela metodologije proučavanja svojstava trapeza

Glavno načelo uključuje korištenje tzv. pristupa zadatku. Zapravo, nema potrebe uvoditi nova svojstva ove figure u teorijski tijek geometrije. Oni se mogu otkriti i formulirati u procesu rješavanja različitih problema (po mogućnosti sistemskih). U isto vrijeme, vrlo je važno da nastavnik zna koje zadatke treba dodijeliti učenicima u jednom ili drugom trenutku. obrazovni proces. Štoviše, svako svojstvo trapeza može se prikazati kao ključni zadatak u sustavu zadataka.

Drugi princip je takozvana spiralna organizacija proučavanja "izvanrednih" svojstava trapeza. To podrazumijeva vraćanje u procesu učenja na pojedinačna obilježja danog geometrijskog lika. Tako ih učenici lakše pamte. Na primjer, svojstvo četiri točke. Može se dokazati i proučavanjem sličnosti i naknadnom uporabom vektora. A istovrijednost trokuta koji graniče s bočnim stranicama figure može se dokazati primjenom ne samo svojstava trokuta s jednakim visinama nacrtanih na stranice koje leže na istoj ravnoj liniji, već i korištenjem formule S = 1/2( ab*sinα). Osim toga, možete raditi na upisanom trapezu ili pravokutnom trokutu na upisanom trapezu itd.

Korištenje "izvannastavnih" značajki geometrijskog lika u sadržaju školskog tečaja je tehnologija koja se temelji na zadatku za njihovo podučavanje. Konstantno pozivanje na svojstva koja se proučavaju dok se prolazi kroz druge teme omogućuje učenicima da steknu dublje znanje o trapezu i osigurava uspjeh u rješavanju zadanih problema. Dakle, počnimo proučavati ovu prekrasnu figuru.

Elementi i svojstva jednakokračnog trapeza

Kao što smo već primijetili, ova geometrijska figura ima jednake strane. Također je poznat kao pravilan trapez. Zašto je tako značajan i zašto je dobio takvo ime? Posebnost ove figure je da nisu samo strane i kutovi na bazama jednaki, već i dijagonale. Osim toga, zbroj kutova jednakokračnog trapeza je 360 stupnjeva. Ali to nije sve! Od svih poznatih trapeza samo se jednakokračan može opisati kao kružnica. To je zbog činjenice da je zbroj suprotnih kutova ove figure jednak 180 stupnjeva i samo pod tim uvjetom može se opisati krug oko četverokuta. Sljedeće svojstvo geometrijske figure koja se razmatra je da će udaljenost od vrha baze do projekcije suprotnog vrha na ravnu liniju koja sadrži ovu bazu biti jednaka srednjoj liniji.

Sada shvatimo kako pronaći kutove jednakokračnog trapeza. Razmotrimo rješenje ovog problema, pod uvjetom da su poznate dimenzije stranica figure.

Riješenje

Tipično, četverokut se obično označava slovima A, B, C, D, gdje su BS i AD baze. U jednakokračnom trapezu stranice su jednake. Pretpostavit ćemo da je njihova veličina jednaka X, a veličina baza jednaka je Y i Z (manja odnosno veća). Za izračun je potrebno povući visinu H iz kuta B. Rezultat je pravokutni trokut ABN, gdje je AB hipotenuza, a BN i AN katete. Izračunavamo veličinu kraka AN: oduzimamo manji od veće baze i rezultat dijelimo s 2. Zapisujemo ga u obliku formule: (Z-Y)/2 = F. Sada, da izračunamo akutni kut trokuta, koristimo funkciju cos. Dobivamo sljedeći unos: cos(β) = X/F. Sada izračunavamo kut: β=arcos (X/F). Nadalje, znajući jedan kut, možemo odrediti drugi, za to izvodimo elementarnu aritmetičku operaciju: 180 - β. Svi kutovi su definirani.

Postoji drugo rješenje za ovaj problem. Prvo ga spustimo od kuta do visine H. Izračunamo vrijednost kraka BN. Znamo da je kvadrat hipotenuze pravokutni trokut jednak zbroju kvadrati nogu. Dobivamo: BN = √(X2-F2). Dalje koristimo trigonometrijska funkcija tg. Kao rezultat imamo: β = arctan (BN/F). Oštar kut pronađeno. Zatim ga definiramo slično prvoj metodi.

Svojstvo dijagonala jednakokračnog trapeza

Prvo, zapišimo četiri pravila. Ako su dijagonale jednakokračnog trapeza okomite, tada je:

Visina figure bit će jednaka zbroju baza podijeljenom s dva;

Njegova visina i srednja linija su jednake;

Središte kruga je točka u kojoj ;

Ako je bočna strana podijeljena točkom dodirivanja na segmente H i M, tada je jednaka korijen proizvodi ovih segmenata;

Četverokut kojeg čine dodirne točke, vrh trapeza i središte upisane kružnice je kvadrat čija je stranica jednaka polumjeru;

Površina figure jednaka je umnošku baza i umnošku polovine zbroja baza i njegove visine.

Slični trapezi

Ova je tema vrlo prikladna za proučavanje svojstava ovog. Na primjer, dijagonale dijele trapez na četiri trokuta, a oni koji graniče s bazama su slični, a oni koji graniče sa stranicama jednake su veličine. Ovu tvrdnju možemo nazvati svojstvom trokuta na koje je trapez podijeljen svojim dijagonalama. Prvi dio ove tvrdnje dokazuje se znakom sličnosti dvaju kutova. Za dokazivanje drugog dijela bolje je koristiti dolje navedenu metodu.

Dokaz teorema

Prihvaćamo da je lik ABSD (AD i BS osnovice trapeza) podijeljen dijagonalama VD i AC. Točka njihovog sjecišta je O. Dobivamo četiri trokuta: AOS - na donjoj bazi, BOS - na gornjoj bazi, ABO i SOD na stranama. Trokuti SOD i BOS imaju zajedničku visinu ako su im dužice BO i OD osnovice. Nalazimo da je razlika između njihovih površina (P) jednaka razlici između ovih segmenata: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Dakle, PSOD = PBOS/K. Slično, trokuti BOS i AOB imaju zajedničku visinu. Uzimamo segmente CO i OA kao njihove baze. Dobivamo PBOS/PAOB = CO/OA = K i PAOB = PBOS/K. Iz ovoga slijedi da je PSOD = PAOB.

Za učvršćivanje gradiva učenicima se preporučuje da pronađu vezu između površina dobivenih trokuta na koje je trapez podijeljen svojim dijagonalama rješavanjem sljedećeg zadatka. Poznato je da trokuti BOS i AOD imaju jednake površine, potrebno je pronaći površinu trapeza. Pošto je PSOD = PAOB, to znači PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. Iz sličnosti trokuta BOS i AOD slijedi da je BO/OD = √(PBOS/PAOD). Stoga je PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Dobivamo PSOD = √(PBOS*PAOD). Tada je PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Svojstva sličnosti

Nastavljajući razvijati ovu temu, može se dokazati drugo zanimljive karakteristike trapez. Dakle, koristeći sličnost, možete dokazati svojstvo segmenta koji prolazi kroz točku, formirana raskrižjem dijagonale ovog geometrijskog lika, paralelne s bazama. Da bismo to učinili, riješimo sljedeći zadatak: trebamo pronaći duljinu dužine RK koja prolazi točkom O. Iz sličnosti trokuta AOD i BOS slijedi da je AO/OS = AD/BS. Iz sličnosti trokuta AOP i ASB slijedi da je AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Odavde dobivamo da je RO=BS*BP/(BS+BP). Slično, iz sličnosti trokuta DOC i DBS slijedi OK = BS*AD/(BS+AD). Odavde dobivamo da je RO=OK i RK=2*BS*AD/(BS+AD). Segment koji prolazi kroz točku sjecišta dijagonala, paralelan s bazama i povezuje dvije bočne strane, podijeljen je na pola točkom sjecišta. Njegova duljina je harmonijska sredina baza figure.

Razmotrimo sljedeće svojstvo trapeza, koje se naziva svojstvo četiri točke. Sjecišta dijagonala (O), sjecište nastavaka stranica (E), kao i polovišta osnovica (T i F) uvijek leže na istoj liniji. To se lako dokazuje metodom sličnosti. Dobiveni trokuti BES i AED slični su, au svakom od njih središnje ET i EJ dijele vršni kut E na jednake dijelove. Dakle, točke E, T i F leže na istoj pravoj liniji. Isto tako, točke T, O i Zh nalaze se na istoj pravoj liniji.Sve to proizlazi iz sličnosti trokuta BOS i AOD. Odavde zaključujemo da će sve četiri točke - E, T, O i F - ležati na istoj ravnoj liniji.

Koristeći slične trapeze, možete tražiti od učenika da pronađu duljinu segmenta (LS) koji dijeli lik na dva slična. Ovaj segment mora biti paralelan s bazama. Budući da su rezultirajući trapezi ALFD i LBSF slični, tada je BS/LF = LF/AD. Slijedi da je LF=√(BS*AD). Utvrdili smo da isječak koji trapez dijeli na dva slična ima duljinu jednaku geometrijskoj sredini duljina osnovica lika.

Razmotrite sljedeće svojstvo sličnosti. Temelji se na segmentu koji dijeli trapez na dvije jednake figure. Pretpostavljamo da je trapez ABSD isječak EH podijeljen na dva slična. Iz vrha B izostavljena je visina koja je segmentom EN podijeljena na dva dijela - B1 i B2. Dobivamo: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 i PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Zatim sastavljamo sustav čija je prva jednadžba (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2, a druga (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Slijedi da je B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) i BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Nalazimo da je duljina isječka koji trapez dijeli na dva jednaka jednaka srednjem kvadratu duljina baza: √((BS2+AD2)/2).

Nalazi sličnosti

Dakle, dokazali smo da:

1. Dužina koja spaja polovišta bočnih stranica trapeza paralelna je s AD i BS i jednaka je aritmetičkoj sredini BS i AD (duljina osnovice trapeza).

2. Pravac koji prolazi točkom O sjecišta dijagonala paralelnih s AD i BS bit će jednak harmonijskoj sredini brojeva AD i BS (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Isječak koji trapez dijeli na slične ima duljinu geometrijske sredine osnovica BS i AD.

4. Element koji dijeli lik na dva jednaka ima duljinu korijena srednjeg kvadrata brojeva AD i BS.

Da bi učvrstio gradivo i razumio vezu između razmatranih segmenata, učenik ih treba konstruirati za određeni trapez. On može lako prikazati srednju liniju i segment koji prolazi kroz točku O - sjecište dijagonala figure - paralelno s bazama. Ali gdje će se smjestiti treći i četvrti? Ovaj odgovor dovest će učenika do otkrića željenog odnosa između prosječnih vrijednosti.

Isječak koji povezuje središta dijagonala trapeza

Razmotrimo sljedeće svojstvo ove figure. Pretpostavljamo da je isječak MH paralelan s bazama i da raspolavlja dijagonale. Nazovimo točke sjecišta Š i Š. Ovaj segment će biti jednak polovici razlike baza. Pogledajmo ovo detaljnije. MS je središnja linija trokuta ABS, jednaka je BS/2. MSH je središnja linija trokuta ABD, jednaka je AD/2. Tada dobivamo da je ShShch = MSh-MSh, dakle, ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Centar gravitacije

Pogledajmo kako je ovaj element određen za danu geometrijsku figuru. Da biste to učinili, potrebno je proširiti teren suprotne strane. Što to znači? Morate dodati donju bazu gornjoj bazi - u bilo kojem smjeru, na primjer, udesno. A donju produžimo za duljinu gornje ulijevo. Zatim ih povezujemo dijagonalno. Točka sjecišta ovog segmenta sa središnjom linijom figure je težište trapeza.

Upisani i opisani trapezi

Nabrojimo značajke takvih figura:

1. Trapez se može upisati u kružnicu samo ako je jednakokračan.

2. Trapez se može opisati oko kružnice pod uvjetom da je zbroj duljina njihovih osnovica jednak zbroju duljina stranica.

Posljedice upisanog kruga:

1. Visina opisanog trapeza uvijek je jednaka dvama polumjerima.

2. Boku opisanog trapeza promatramo iz središta kružnice pod pravim kutom.

Prvi korolar je očigledan, ali za dokaz drugog potrebno je utvrditi da je kut SOD pravi, što, zapravo, također nije teško. Ali poznavanje ovog svojstva omogućit će vam korištenje pravokutnog trokuta pri rješavanju problema.

Navedimo sada ove posljedice za jednakokračni trapez upisan u krug. Nalazimo da je visina geometrijska sredina baza lika: H=2R=√(BS*AD). Uvježbavajući osnovnu tehniku rješavanja zadataka za trapez (princip crtanja dviju visina), učenik mora riješiti sljedeći zadatak. Pretpostavljamo da je BT visina jednakokračnog lika ABSD. Potrebno je pronaći segmente AT i TD. Koristeći gore opisanu formulu, to neće biti teško učiniti.

Sada shvatimo kako odrediti polumjer kruga pomoću područja opisanog trapeza. Spuštamo visinu iz vrha B na osnovicu AD. Kako je kružnica upisana u trapez, onda je BS+AD = 2AB ili AB = (BS+AD)/2. Iz trokuta ABN nalazimo sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Dobivamo PABSD = (BS+BP)*R, slijedi da je R = PABSD/(BS+BP).

Sve formule za središnjicu trapeza

Sada je vrijeme da prijeđemo na posljednji element ove geometrijske figure. Odredimo čemu je jednaka srednja linija trapeza (M):

1. Kroz baze: M = (A+B)/2.

2. Kroz visinu, bazu i kutove:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Kroz visinu, dijagonale i kut između njih. Na primjer, D1 i D2 su dijagonale trapeza; α, β - kutovi između njih:

M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.

4. Prolazna površina i visina: M = P/N.