Istruzioni

Trova il dominio della funzione. Ad esempio, la funzione sin(x) è definita sull'intero intervallo da -∞ a +∞ e la funzione 1/x è definita da -∞ a +∞, ad eccezione del punto x = 0.

Individuare aree di continuità e punti di discontinuità. Tipicamente una funzione è continua nella stessa regione in cui è definita. Per rilevare le discontinuità, è necessario calcolare man mano che l'argomento si avvicina a punti isolati all'interno del dominio di definizione. Ad esempio, la funzione 1/x tende all'infinito quando x→0+, e a meno infinito quando x→0-. Ciò significa che nel punto x = 0 si ha una discontinuità del secondo tipo.
Se i limiti nel punto di discontinuità sono finiti, ma non uguali, allora si tratta di una discontinuità del primo tipo. Se sono uguali la funzione è considerata continua, anche se non è definita in un punto isolato.

Trovare asintoti verticali, se sono. In questo caso ti aiuteranno i calcoli del passaggio precedente, poiché l'asintoto verticale si trova quasi sempre nel punto di discontinuità del secondo tipo. Tuttavia, a volte non sono i singoli punti ad essere esclusi dal dominio della definizione, ma interi intervalli di punti, e quindi gli asintoti verticali possono trovarsi ai bordi di questi intervalli.

Controlla se la funzione ha proprietà speciali: pari, dispari e periodiche.
La funzione sarà anche se per ogni x nel dominio f(x) = f(-x). Ad esempio, cos(x) e x^2 - anche funzioni.

La periodicità è una proprietà che dice che esiste un certo numero T, chiamato periodo, che per ogni x f(x) = f(x + T). Ad esempio, tutto il principale funzioni trigonometriche(seno, coseno, tangente) - periodico.

Trova i punti. Per fare ciò, calcola la derivata di data funzione e trova quei valori di x dove diventa zero. Ad esempio, la funzione f(x) = x^3 + 9x^2 -15 ha una derivata g(x) = 3x^2 + 18x, che svanisce in x = 0 e x = -6.

Per determinare quali punti estremi sono massimi e quali minimi, traccia la variazione dei segni della derivata in corrispondenza degli zeri trovati. g(x) cambia segno da più nel punto x = -6, e nel punto x = 0 torna da meno a più. Di conseguenza la funzione f(x) ha minimo nel primo punto e minimo nel secondo.

Hai quindi trovato anche regioni di monotonicità: f(x) aumenta monotonicamente sull'intervallo -∞;-6, diminuisce monotonicamente su -6;0 e aumenta nuovamente su 0;+∞.

Trova la derivata seconda. Le sue radici mostreranno dove il grafico di una determinata funzione sarà convesso e dove sarà concavo. Ad esempio, la derivata seconda della funzione f(x) sarà h(x) = 6x + 18. Va a zero in x = -3, cambiando segno da meno a più. Di conseguenza, il grafico di f(x) prima di questo punto sarà convesso, dopo di esso - concavo, e questo punto stesso sarà un punto di flesso.

Una funzione può avere altri asintoti oltre a quelli verticali, ma solo se il suo dominio di definizione include . Per trovarli, calcola il limite di f(x) quando x→∞ o x→-∞. Se è finito, allora hai trovato asintoto orizzontale.

L'asintoto obliquo è una linea retta della forma kx + b. Per trovare k, calcola il limite di f(x)/x come x→∞. Trovare il limite b (f(x) – kx) per lo stesso x→∞.

Per studiare a fondo la funzione e tracciarne il grafico, si consiglia di utilizzare il seguente schema:

1) trovare il dominio di definizione della funzione;

2) trovare i punti di discontinuità della funzione e gli asintoti verticali (se esistono);

3) indagare il comportamento della funzione all'infinito, trovare asintoti orizzontali e obliqui;

4) esaminare la funzione per parità (stranezza) e periodicità (per funzioni trigonometriche);

5) trovare estremi e intervalli di monotonicità della funzione;

6) determinare gli intervalli di convessità e i punti di flesso;

7) trovare i punti di intersezione con gli assi coordinati e, se possibile, alcuni punti aggiuntivi che chiariscano il grafico.

Lo studio della funzione viene effettuato contemporaneamente alla costruzione del suo grafico.

Esempio 9 Esplora la funzione e costruisci un grafico.

1. Ambito della definizione: ;

2. La funzione soffre di discontinuità in alcuni punti
,
;

Esaminiamo la funzione per la presenza di asintoti verticali.

;
,
─ asintoto verticale.

;
,
─ asintoto verticale.

3. Esaminiamo la funzione per la presenza di asintoti obliqui e orizzontali.

Dritto
─ asintoto obliquo, se
,
.

,
.

Dritto
─ asintoto orizzontale.

4. La funzione è anche perché
. La parità della funzione indica la simmetria del grafico rispetto all'asse delle ordinate.

5. Trova gli intervalli di monotonicità e gli estremi della funzione.

Troviamo i punti critici, ovvero punti in cui la derivata è 0 o non esiste:
;
. Abbiamo tre punti
;

. Questi punti dividono l'intero asse reale in quattro intervalli. Definiamo i segni su ciascuno di essi.

Sugli intervalli (-∞; -1) e (-1; 0) la funzione aumenta, sugli intervalli (0; 1) e (1; +∞) ─ diminuisce. Quando si passa per un punto
la derivata cambia segno da più a meno, quindi a questo punto la funzione ha un massimo
.

6. Trova gli intervalli di convessità e i punti di flesso.

Troviamo i punti in cui è 0 o non esiste.

non ha vere e proprie radici.
,
,

Punti
E
dividere l'asse reale in tre intervalli. Definiamo il segno ad ogni intervallo.

Quindi, la curva sugli intervalli
E
convesso verso il basso, sull'intervallo (-1;1) convesso verso l'alto; non ci sono punti di flesso, poiché la funzione è nei punti
E
non determinato.

7. Trova i punti di intersezione con gli assi.

Con asse
il grafico della funzione si interseca nel punto (0; -1) e con l'asse
il grafico non si interseca, perché il numeratore di questa funzione non ha radici reali.

Il grafico della funzione data è mostrato nella Figura 1.

Figura 1 ─ Grafico della funzione

Applicazione del concetto di derivato in economia. Funzione di elasticità

Per studiare i processi economici e risolvere altri problemi applicativi, viene spesso utilizzato il concetto di elasticità di una funzione.

Definizione. Funzione di elasticità
è chiamato limite del rapporto dell'incremento relativo della funzione all’incremento relativo della variabile A
, . (VII)

L'elasticità di una funzione mostra approssimativamente di quanta percentuale cambierà la funzione
quando la variabile indipendente cambia dell'1%.

La funzione elasticità viene utilizzata nell'analisi della domanda e del consumo. Se l’elasticità della domanda (in valore assoluto)
, allora la domanda è considerata elastica se
─ neutro se
─ anelastico rispetto al prezzo (o al reddito).

Esempio 10 Calcolare l'elasticità della funzione
e trova il valore dell'indice di elasticità per = 3.

Soluzione: secondo la formula (VII), l'elasticità della funzione è:

Sia x=3, allora
.Ciò significa che se la variabile indipendente aumenta dell'1%, allora il valore della variabile dipendente aumenterà dell'1,42%.

Esempio 11 Lasciamo che la domanda funzioni per quanto riguarda il prezzo sembra
, Dove ─ coefficiente costante. Trovare il valore dell'indicatore di elasticità della funzione di domanda al prezzo x = 3 den. unità

Soluzione: calcolare l'elasticità della funzione di domanda utilizzando la formula (VII)

Credere
unità monetarie, otteniamo
. Ciò significa che a un prezzo
unità monetarie un aumento del prezzo dell’1% causerà una diminuzione della domanda del 6%, ovvero la domanda è elastica

Condotta ricerca completa e tracciare la funzione

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) L'ambito della funzione. Poiché la funzione è una frazione, dobbiamo trovare gli zeri del denominatore.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Escludiamo l'unico punto x=1x=1 dal dominio di definizione della funzione e otteniamo:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Studiamo il comportamento della funzione in prossimità del punto di discontinuità. Troviamo i limiti unilaterali:

Poiché i limiti sono uguali all'infinito, il punto x=1x=1 è una discontinuità del secondo tipo, la retta x=1x=1 è un asintoto verticale.

3) Determiniamo i punti di intersezione del grafico della funzione con gli assi delle coordinate.

Troviamo i punti di intersezione con l'asse delle ordinate OyOy, per cui equiparamo x=0x=0:

Pertanto, il punto di intersezione con l'asse OyOy ha coordinate (0;8)(0;8).

Troviamo i punti di intersezione con l'asse delle ascisse OxOx, per cui poniamo y=0y=0:

L'equazione non ha radici, quindi non ci sono punti di intersezione con l'asse OxOx.

Nota che x2+8>0x2+8>0 per qualsiasi xx. Pertanto, per x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), la funzione y>0y>0 (assume valori positivi, il grafico è sopra l'asse x), per x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) funzione y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) La funzione non è né pari né dispari perché:

5) Esaminiamo la funzione per la periodicità. La funzione non è periodica, poiché è una funzione razionale frazionaria.

6) Esaminiamo la funzione per gli estremi e la monotonia. Per fare ciò, troviamo la derivata prima della funzione:

Uguagliamo la derivata prima a zero e troviamo i punti stazionari (in cui y′=0y′=0):

Abbiamo tre punti critici: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Dividiamo l'intero dominio di definizione della funzione in intervalli con questi punti e determiniamo i segni della derivata in ciascun intervallo:

Per x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) la derivata y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Per x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) la derivata y′>0y′>0, la funzione aumenta su questi intervalli.

In questo caso, x=−2x=−2 è un punto di minimo locale (la funzione diminuisce e poi aumenta), x=4x=4 è un punto di massimo locale (la funzione aumenta e poi diminuisce).

Troviamo i valori della funzione in questi punti:

Pertanto, il punto di minimo è (−2;4)(−2;4), il punto di massimo è (4;−8)(4;−8).

7) Esaminiamo la funzione per attorcigliamenti e convessità. Troviamo la derivata seconda della funzione:

Uguagliamo la derivata seconda a zero:

L'equazione risultante non ha radici, quindi non ci sono punti di flesso. Inoltre, quando x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 è soddisfatto, cioè la funzione è concava, quando x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) è soddisfatto da y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Esaminiamo il comportamento della funzione all'infinito, cioè a .

Poiché i limiti sono infiniti, non esistono asintoti orizzontali.

Proviamo a determinare gli asintoti obliqui della forma y=kx+by=kx+b. Calcoliamo i valori di k,bk,b utilizzando formule note:

Abbiamo scoperto che la funzione ha un asintoto obliquo y=−x−1y=−x−1.

9) Punti aggiuntivi. Calcoliamo il valore della funzione in altri punti per costruire il grafico in modo più accurato.

y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.

10) Sulla base dei dati ottenuti, costruiremo un grafico, lo integreremo con gli asintoti x=1x=1 (blu), y=−x−1y=−x−1 (verde) e segneremo i punti caratteristici (intersezione viola con l'ordinata asse, estremi arancioni, punti aggiuntivi neri):

Compito 4: Problemi geometrici ed economici (non ho idea di cosa, ecco una selezione approssimativa di problemi con soluzioni e formule)

Esempio 3.23. UN

Soluzione. X E sì sì
y = a - 2×a/4 =a/2. Poiché x = a/4 è l'unico punto critico, controlliamo se passando per questo punto cambia il segno della derivata. Per xa/4 S " > 0 e per x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Esempio 3.24.

Soluzione.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Esempio 3.22. Trova gli estremi della funzione f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Soluzione. Poiché f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3), i punti critici della funzione x 1 = 2 e x 2 = 3. Gli estremi possono essere solo a questi punti. Così come passando per il punto x 1 = 2 la derivata cambia segno da più a meno, allora in questo punto la funzione ha un massimo. Passando per il punto x 2 = 3 la derivata cambia segno da meno a più, quindi nel punto x 2 = 3 la funzione ha un minimo Avendo calcolato i valori della funzione nei punti
x 1 = 2 e x 2 = 3, troviamo gli estremi della funzione: massimo f(2) = 14 e minimo f(3) = 13.

Esempio 3.23.È necessario costruire un'area rettangolare vicino al muro di pietra in modo che sia recintata su tre lati con rete metallica e il quarto lato sia adiacente al muro. Per questo c'è UN metri lineari di rete. Con quali proporzioni il sito avrà l'area più grande?

Soluzione. Indichiamo i lati della piattaforma con X E sì. L'area del sito è S = xy. Permettere sì- questa è la lunghezza del lato adiacente al muro. Allora, per condizione, deve valere l’uguaglianza 2x + y = a. Pertanto y = a - 2x e S = x(a - 2x), dove
0 ≤ x ≤ a/2 (la lunghezza e la larghezza del pad non possono essere negative). S " = a - 4x, a - 4x = 0 in x = a/4, da cui
y = a - 2×a/4 =a/2. Poiché x = a/4 è l'unico punto critico, controlliamo se passando per questo punto cambia il segno della derivata. Per xa/4 S " > 0 e per x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Esempio 3.24. Si richiede di realizzare un serbatoio cilindrico chiuso con capacità V=16p ≈ 50 m 3 . Quali dovrebbero essere le dimensioni del serbatoio (raggio R e altezza H) affinché venga utilizzata la minima quantità di materiale per la sua fabbricazione?

Soluzione. La superficie totale del cilindro è S = 2pR(R+H). Conosciamo il volume del cilindro V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Ciò significa S(R) = 2p(R 2 +16/R). Troviamo la derivata di questa funzione:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 per R 3 = 8, quindi,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Informazioni correlate.

Da qualche tempo il database dei certificati per SSL integrato in TheBat ha smesso di funzionare correttamente (non è chiaro per quale motivo).

Quando si controlla il post, viene visualizzato un errore:

Certificato CA sconosciuto
Il server non ha presentato un certificato root nella sessione e il certificato root corrispondente non è stato trovato nella rubrica.
Questa connessione non può essere segreta. Per favore
contatta l'amministratore del tuo server.

E ti viene offerta una scelta di risposte: SÌ / NO. E così ogni volta che rimuovi la posta.

Soluzione

In questo caso è necessario sostituire lo standard di implementazione S/MIME e TLS con Microsoft CryptoAPI nelle impostazioni di TheBat!

Poiché avevo bisogno di unire tutti i file in uno solo, ho prima convertito tutti i file doc in un unico file pdf (utilizzando il programma Acrobat), quindi li ho trasferiti su fb2 tramite un convertitore online. Puoi anche convertire i file individualmente. I formati possono essere assolutamente qualsiasi (fonte): doc, jpg e persino un archivio zip!

Il nome del sito corrisponde all'essenza :) Photoshop online.

Aggiornamento maggio 2015

Ho trovato un altro fantastico sito! Ancora più comodo e funzionale per creare un collage completamente personalizzato! Questo è il sito http://www.fotor.com/ru/collage/. Divertitevi per la vostra salute. E lo userò io stesso.

Nella mia vita mi sono imbattuto nel problema della riparazione di una stufa elettrica. Ho già fatto molte cose, ho imparato molto, ma in qualche modo ho avuto poco a che fare con le piastrelle. È stato necessario sostituire i contatti sui regolatori e sui bruciatori. Sorse la domanda: come determinare il diametro del bruciatore su una stufa elettrica?

La risposta si è rivelata semplice. Non è necessario misurare nulla, puoi facilmente determinare a occhio quale taglia ti serve.

Bruciatore più piccolo- questo è 145 millimetri (14,5 centimetri)

Bruciatore centrale- questo è 180 millimetri (18 centimetri).

E infine, il massimo bruciatore di grandi dimensioni- questo è 225 millimetri (22,5 centimetri).

È sufficiente determinare la dimensione a occhio e capire quale diametro è necessario per il bruciatore. Quando non lo sapevo, ero preoccupato per queste dimensioni, non sapevo come misurare, su quale bordo navigare, ecc. Ora sono saggio :) Spero di aver aiutato anche te!

Nella mia vita ho affrontato un problema del genere. Penso di non essere l'unico.

Lo studio di una funzione si svolge secondo uno schema chiaro e richiede che lo studente abbia una solida conoscenza dei concetti matematici di base quali dominio delle definizioni e dei valori, continuità della funzione, asintoto, punti estremi, parità, periodicità, ecc. . Lo studente deve essere in grado di differenziare liberamente le funzioni e di risolvere equazioni, che a volte possono essere molto complesse.

Cioè, questo compito mette alla prova uno strato significativo di conoscenza, qualsiasi lacuna in cui diventerà un ostacolo all'ottenimento della soluzione corretta. Particolarmente spesso sorgono difficoltà nella costruzione di grafici di funzioni. Questo errore viene immediatamente notato dall'insegnante e può danneggiare notevolmente il tuo voto, anche se tutto il resto è stato fatto correttamente. Qui puoi trovare problemi di ricerca di funzioni online: esempi di studio, soluzioni di download, assegnazioni di ordini.

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Effettueremo per te uno studio completo della funzione: troveremo il dominio di definizione e il dominio dei valori, esamineremo la continuità e la discontinuità, stabiliremo la parità, controlleremo la periodicità della tua funzione e troveremo i punti di intersezione con gli assi delle coordinate . E, naturalmente, utilizzando ulteriormente il calcolo differenziale: troveremo gli asintoti, calcoleremo gli estremi, i punti di flesso e costruiremo il grafico stesso.