שלושה ילדים הלכו ליער בשביל פירות יער. הבת הבכורה מצאה 18 פירות יער, הבת האמצעית מצאה 15, ו אח יותר צעיר- 3 פירות יער (ראה איור 1). הם הביאו את הגרגרים לאמא שלי, שהחליטה לחלוק את הגרגרים שווה בשווה. כמה פירות יער קיבל כל ילד?

אורז. 1. איור לבעיה

פִּתָרוֹן

(יאג.) - ילדים אספו הכל

2) לחלק סה"כפירות יער למספר ילדים:

(יאג.) הלך לכל ילד

תשובה: כל ילד יקבל 12 פירות יער.

בבעיה 1, המספר המתקבל בתשובה הוא הממוצע האריתמטי.

ממוצע אריתמטימספר מספרים נקרא המנה של חלוקת סכום המספרים הללו במספרם.

דוגמה 1

יש לנו שני מספרים: 10 ו-12. מצא את הממוצע האריתמטי שלהם.

פִּתָרוֹן

1) בואו נקבע את הסכום של המספרים האלה: .

2) המספר של המספרים הללו הוא 2, לכן, הממוצע האריתמטי של המספרים הללו הוא: .

תשובה: ממוצע מספרים אריתמטיים 10 ו-12 הוא המספר 11.

דוגמה 2

יש לנו חמישה מספרים: 1, 2, 3, 4 ו-5. מצא את הממוצע האריתמטי שלהם.

פִּתָרוֹן

1) סכום המספרים הללו הוא: .

2) בהגדרה, הממוצע האריתמטי הוא המנה של חלוקת סכום המספרים במספרם. יש לנו חמישה מספרים, אז הממוצע האריתמטי הוא:

תשובה: הממוצע האריתמטי של הנתונים בתנאי המספרים הוא 3.

בנוסף לעובדה שהוא כל הזמן מוצע להימצא בשיעורים, מציאת הממוצע האריתמטי מועילה מאוד ב חיי היום - יום. לדוגמה, נניח שאנחנו רוצים לנסוע לחופשה ביוון. כדי לבחור את הבגדים הנכונים, אנו מסתכלים על הטמפרטורה במדינה הזו כרגע. עם זאת, איננו יודעים את התמונה הכללית של מזג האוויר. לכן, יש צורך לברר את טמפרטורת האוויר ביוון, למשל, במשך שבוע, ולמצוא את הממוצע האריתמטי של הטמפרטורות הללו.

דוגמה 3

טמפרטורה ביוון לשבוע: שני - ; יום שלישי - ; יום רביעי -; יום חמישי - ; יום שישי - ; יום שבת - ; יום ראשון - . חשב את הטמפרטורה הממוצעת לשבוע.

פִּתָרוֹן

1) חשב את סכום הטמפרטורות: .

2) חלקו את הסכום שהתקבל במספר הימים: .

תשובה: טמפרטורה ממוצעת שבועית כ.

היכולת למצוא את הממוצע החשבוני יכולה להידרש גם כדי לקבוע את הגיל הממוצע של השחקנים בקבוצת כדורגל, כלומר כדי לקבוע אם הקבוצה מנוסה או לא. יש צורך לסכם את גילם של כל השחקנים ולחלק במספרם.

משימה 2

הסוחר מכר תפוחים. בהתחלה הוא מכר אותם במחיר של 85 רובל לכל ק"ג. אז הוא מכר 12 ק"ג. ואז הוא הוריד את המחיר ל-65 רובל ומכר את 4 ק"ג התפוחים הנותרים. מה היה המחיר הממוצע לתפוחים?

פִּתָרוֹן

1) בואו נחשב כמה כסף הרוויח הסוחר בסך הכל. הוא מכר 12 ק"ג במחיר של 85 רובל לכל ק"ג: (לשפשף.).

הוא מכר 4 קילוגרמים במחיר של 65 רובל ל-1 ק"ג: (לשפשף.).

לכן, הסכום הכולל של כסף שהרוויח הוא: (רובל).

2) המשקל הכולל של התפוחים הנמכרים הוא: .

3) חלקו את סכום הכסף שהתקבל במשקל הכולל של התפוחים הנמכרים וקבלו את המחיר הממוצע ל-1 ק"ג תפוחים: (רובל).

תשובה: המחיר הממוצע של 1 ק"ג של תפוחים שנמכרו הוא 80 רובל.

הממוצע האריתמטי עוזר להעריך את הנתונים כמכלול, מבלי לקחת כל ערך בנפרד.

עם זאת, לא תמיד ניתן להשתמש במושג ממוצע אריתמטי.

דוגמה 4

היורה ירה שתי יריות לעבר המטרה (ראה איור 2): בפעם הראשונה פגע מטר מעל המטרה, והשנייה - מטר מתחת. הממוצע האריתמטי יראה שהוא פגע במרכז בדיוק, למרות שהוא החטיא בשתי הפעמים.

אורז. 2. איור למשל

בשיעור זה התוודענו למושג ממוצע אריתמטי. למדנו את ההגדרה של מושג זה, למדנו כיצד לחשב את הממוצע האריתמטי למספר מספרים. גם למדנו שימוש מעשיהמושג הזה.

1. נ.יא. וילנקין. מתמטיקה: ספר לימוד. עבור 5 תאים. כללי const. - אד. ה-17. - M.: Mnemosyne, 2005.
)
2. לאיגור היו איתו 45 רובל, לאנדריי 28 ולדניס היו 17.
3. עם כל הכסף שלהם, הם קנו 3 כרטיסים לסרט. כמה עלה כרטיס אחד?

נושא הממוצע האריתמטי והגיאומטרי כלול בתכנית המתמטיקה לכיתות ו'-ז'. מכיוון שהפסקה די פשוטה להבנה, היא עוברת במהירות, ועד סוף שנת הלימודים, התלמידים שוכחים אותה. אבל יש צורך בידע בסטטיסטיקה בסיסית עבור עובר את הבחינה, כמו גם עבור בחינות בינלאומיותישב. ולחיי היומיום, חשיבה אנליטית מפותחת אף פעם לא מזיק.

כיצד לחשב את הממוצע האריתמטי והגיאומטרי של מספרים

נניח שיש סדרה של מספרים: 11, 4 ו-3. הממוצע האריתמטי הוא סכום כל המספרים חלקי מספר המספרים הנתונים. כלומר, במקרה של המספרים 11, 4, 3, התשובה תהיה 6. איך מתקבל 6?

פתרון: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

המכנה חייב להכיל מספר השווה למספר המספרים שיש למצוא את הממוצע שלהם. הסכום מתחלק ב-3, מכיוון שיש שלושה איברים.

כעת עלינו להתמודד עם הממוצע הגיאומטרי. נניח שיש סדרה של מספרים: 4, 2 ו-8.

הממוצע הגיאומטרי הוא המכפלה של כל המספרים הנתונים, שנמצא מתחת לשורש עם מעלה השווה למספר המספרים הנתונים. כלומר, במקרה של המספרים 4, 2 ו-8, התשובה היא 4. הנה איך זה קרה :

פתרון: ∛(4 × 2 × 8) = 4

בשתי האפשרויות התקבלו תשובות שלמות, שכן מספרים מיוחדים נלקחו כדוגמה. זה לא תמיד המצב. ברוב המקרים, יש לעגל את התשובה או להשאיר אותה בשורש. לדוגמה, עבור המספרים 11, 7 ו-20, הממוצע האריתמטי הוא ≈ 12.67, והממוצע הגיאומטרי הוא ∛1540. ולמספרים 6 ו-5, התשובות, בהתאמה, יהיו 5.5 ו-√30.

האם יכול לקרות שהממוצע האריתמטי ישתווה לממוצע הגיאומטרי?

כמובן שזה יכול. אבל רק בשני מקרים. אם יש סדרת מספרים המורכבת רק מאחד או מאפסים. ראוי לציין גם שהתשובה אינה תלויה במספרם.

הוכחה עם יחידות: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (ממוצע אריתמטי).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (ממוצע גיאומטרי).

הוכחה עם אפסים: (0 + 0) / 2=0 (ממוצע אריתמטי).

√(0 × 0) = 0 (ממוצע גיאומטרי).

אין אפשרות אחרת ולא יכולה להיות.

יותר מכל ב eq. בפועל, יש להשתמש בממוצע האריתמטי, אותו ניתן לחשב כממוצע האריתמטי הפשוט והמשוקלל.

ממוצע אריתמטי (CA)-נהסוג הנפוץ ביותר של מדיום. הוא משמש במקרים שבהם הנפח של תכונה משתנה עבור כלל האוכלוסייה הוא סכום ערכי התכונות של היחידות הבודדות שלה. תופעות חברתיות מאופיינות בתוספת (סיכום) של הנפחים של התכונה המשתנה, זה קובע את היקף ה-SA ומסביר את שכיחותו כאינדיקטור מכליל, לדוגמא: קרן השכר הכללית היא סכום השכר של כלל העובדים.

כדי לחשב SA, עליך לחלק את הסכום של כל ערכי התכונה במספרם. SA משמש ב-2 צורות.

שקול תחילה את הממוצע האריתמטי הפשוט.

1-CA פשוט (צורה ראשונית, מגדירה) שווה לסכום הפשוט של הערכים הבודדים של התכונה הממוצעת, חלקי המספר הכולל של ערכים אלה (בשימוש כאשר יש ערכי אינדקס לא מקובצים של התכונה):

ניתן לסכם את החישובים שנעשו בנוסחה הבאה:

(1)

איפה - הערך הממוצע של תכונת המשתנה, כלומר הממוצע האריתמטי הפשוט;

פירושו סיכום, כלומר הוספת תכונות בודדות;

איקס- ערכים בודדים של תכונה משתנה, הנקראים גרסאות;

נ - מספר יחידות אוכלוסייה

דוגמה1,נדרש למצוא את התפוקה הממוצעת של עובד אחד (מנעולן), אם ידוע כמה חלקים ייצר כל אחד מ-15 העובדים, כלומר. נתון מספר אינד. ערכי תכונה, יח': 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

SA simple מחושב על ידי הנוסחה (1), יחידות:

דוגמה2. הבה נחשב את SA על סמך נתונים מותנים עבור 20 חנויות שהן חלק מחברת סחר (טבלה 1). שולחן 1

חלוקת חנויות חברת המסחר "וסנה" לפי אזור מסחר, מ"ר. M

מספר חנות		מספר חנות

כדי לחשב את שטח החנות הממוצע ( ) יש צורך לחבר את השטחים של כל החנויות ולחלק את התוצאה במספר החנויות:

לפיכך, שטח החנות הממוצע לקבוצה זו של מפעלי מסחר הוא 71 מ"ר.

לכן, כדי להגדיר את SA כפשוטה, אנחנו צריכים את סכום כל הערכים תכונה זוחלקי מספר היחידות שיש להן תכונה זו.

2

איפה ו 1 , ו 2 , … ,ו נ – משקל (תדירות החזרה על אותן תכונות);

הוא סכום התוצרים של גודל התכונות והתדרים שלהן;

הוא המספר הכולל של יחידות האוכלוסייה.

- SA משוקלל - עםבאמצע האפשרויות, שחוזרות על עצמן מספר שונה של פעמים, או שאומרים שיש להן משקל שונה. המשקולות הן מספר היחידות ב קבוצות שונותאגרגטים (אותן אפשרויות משולבות לקבוצה). SA משוקלל – ממוצע של ערכים מקובצים איקס 1 , איקס 2 , .., איקסנ – מְחוֹשָׁב: (2)

איפה איקס- אפשרויות;

ו- תדירות (משקל).

SA משוקלל היא המנה של חלוקת סכום התוצרים של הווריאציות והתדרים התואמים להן בסכום כל התדרים. תדרים ( ו) המופיעים בנוסחת SA נקראים בדרך כלל מאזניים, כתוצאה מכך הס"א המחושב תוך התחשבות במשקלים נקרא ס"א המשוקלל.

נמחיש את הטכניקה לחישוב SA משוקלל באמצעות דוגמה 1 הנחשבת לעיל. לשם כך, נקבץ את הנתונים הראשוניים ונמקם אותם בטבלה.

הממוצע של הנתונים המקובצים נקבע באופן הבא: תחילה, הווריאציות מוכפלות בתדרים, לאחר מכן מתווספים התוצרים והסכום המתקבל מחולק בסכום התדרים.

לפי נוסחה (2), ה-SA המשוקלל הוא, יחידות:

חלוקת עובדים לפיתוח חלקים

פ

ניתן לשלב את הנתונים בדוגמה 2 הקודמת לקבוצות הומוגניות, המוצגות בטבלה. שולחן

חלוקת חנויות וסנה לפי שטחי מסחר, מ"ר. M

לפיכך, התוצאה זהה. עם זאת, זה כבר יהיה הממוצע המשוקלל האריתמטי.

בדוגמה הקודמת, חישבנו את הממוצע האריתמטי, בתנאי שהתדרים האבסולוטיים (מספר החנויות) ידועים. עם זאת, במקרים מסוימים אין תדרים מוחלטים, אלא ידועים תדרים יחסיים, או כפי שהם נהוג לכנות, תדרים המציגים את הפרופורציה אושיעור התדרים בכל האוכלוסייה.

בעת חישוב SA משוקלל שימוש תדריםמאפשר לך לפשט את החישובים כאשר התדירות מבוטאת במספרים גדולים ורב ספרתיים. החישוב נעשה באותו אופן, עם זאת, מכיוון שהערך הממוצע גדל פי 100, יש לחלק את התוצאה ב-100.

אז הנוסחה עבור הממוצע המשוקלל האריתמטי תיראה כך:

איפה ד- תדירות, כלומר החלק של כל תדר בסכום הכולל של כל התדרים.

(3)

בדוגמה 2 שלנו, אנו קובעים תחילה את חלקן של חנויות לפי קבוצות במספר החנויות הכולל של חברת "אביב". אז, עבור הקבוצה הראשונה, המשקל הסגולי מתאים ל-10%
. אנו מקבלים את הנתונים הבאים שולחן 3

) ו-example mean (דגימות).

יוטיוב אנציקלופדית

• 1 / 5

  סמן את קבוצת הנתונים איקס = (איקס 1 , איקס 2 , …, איקס נ), אז ממוצע המדגם מסומן בדרך כלל על ידי פס אופקי מעל המשתנה (, מבוטא " איקסעם מקף").

  האות היוונית μ משמשת לציון הממוצע האריתמטי של כל האוכלוסייה. עבור כמות אקראית, שעבורה נקבע הערך הממוצע, μ הוא ממוצע הסתברותאו ציפייה מתמטית למשתנה מקרי. אם הסט איקסהוא אוסף של מספרים אקראיים עם ממוצע הסתברות μ, ואז עבור כל מדגם איקס אנימהאוסף הזה μ = E( איקס אני) היא הציפייה המתמטית של מדגם זה.

  בפועל, ההבדל בין μ ל- x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))בכך ש-μ הוא משתנה טיפוסי, כי אתה יכול לראות את המדגם ולא את כל האוכלוסייה. לכן, אם המדגם מוצג באופן אקראי (מבחינת תורת ההסתברות), אז x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))(אך לא μ) ניתן להתייחס כמשתנה אקראי בעל התפלגות הסתברות על המדגם (התפלגות הסתברות של הממוצע).

  שתי הכמויות הללו מחושבות באותו אופן:

  x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

  דוגמאות

  • עבור שלושה מספרים, עליך להוסיף אותם ולחלק ב-3:
  x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)
  • עבור ארבעה מספרים, עליך להוסיף אותם ולחלק ב-4:
  x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

  או קל יותר 5+5=10, 10:2. בגלל שהוספנו 2 מספרים, מה שאומר שכמה מספרים נוסיף, אנחנו מחלקים בהרבה.

  משתנה מקרי מתמשך

  f (x) ¯ [א; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

  כמה בעיות של שימוש בממוצע

  חוסר חוסן

  למרות שהממוצע האריתמטי משמש לעתים קרובות כאמצעי או מגמה מרכזית, מושג זה אינו חל על סטטיסטיקה חזקה, כלומר הממוצע האריתמטי מושפע מאוד מ"סטיות גדולות". ראוי לציין כי עבור התפלגויות עם מקדם הטיה גדול, הממוצע האריתמטי עשוי שלא להתאים למושג "ממוצע", ​​וערכי הממוצע מסטטיסטיקה איתנה (למשל, החציון) עשויים לתאר טוב יותר את המרכז המרכזי. מְגַמָה.

  הדוגמה הקלאסית היא חישוב ההכנסה הממוצעת. הממוצע האריתמטי יכול להתפרש בצורה לא נכונה כחציון, מה שיכול להוביל למסקנה שיש יותר אנשים עם יותר הכנסה ממה שיש באמת. הכנסה "ממוצעת" מתפרשת כך שההכנסה של רוב האנשים קרובה למספר הזה. הכנסה "ממוצעת" זו (במובן הממוצע האריתמטי) גבוהה מההכנסה של רוב האנשים, שכן הכנסה גבוהה עם סטייה גדולה מהממוצע גורמת לממוצע החשבוני להטות חזק (לעומת זאת, ההכנסה החציונית "מתנגדת" הטיה כזו). עם זאת, הכנסה "ממוצעת" זו אינה אומרת דבר על מספר האנשים הקרובים להכנסה החציונית (ולא אומרת דבר על מספר האנשים הקרובים להכנסה המודאלית). עם זאת, אם לוקחים בקלות ראש במושגים של "ממוצע" ו"רוב", אז ניתן להסיק באופן שגוי שלרוב האנשים יש הכנסה גבוהה ממה שהם בפועל. לדוגמה, דוח על ההכנסה נטו ה"ממוצעת" במדינה, וושינגטון, המחושבת כממוצע האריתמטי של כל ההכנסה השנתית נטו של התושבים, ייתן באופן מפתיע מספר גדולבגלל ביל גייטס. שקול את המדגם (1, 2, 2, 2, 3, 9). הממוצע האריתמטי הוא 3.17, אך חמישה מתוך ששת הערכים נמצאים מתחת לממוצע זה.

  רבית דרבית

  אם מספרים לְהַכפִּיל, אבל לא לְקַפֵּל, עליך להשתמש בממוצע הגיאומטרי, לא בממוצע האריתמטי. לרוב, תקרית זו מתרחשת בעת חישוב השקעות ההחזר במימון.

  לדוגמה, אם המניות ירדו ב-10% בשנה הראשונה ועלו ב-30% בשנה השנייה, אז זה לא נכון לחשב את העלייה ה"ממוצעת" בשנתיים אלו כממוצע האריתמטי (-10% + 30%) / 2 = 10%; הממוצע הנכון במקרה זה ניתן על ידי קצב הגידול השנתי המורכב, ממנו הצמיחה השנתית היא רק כ-8.16653826392% ≈ 8.2%.

  הסיבה לכך היא שלאחוזים יש נקודת התחלה חדשה בכל פעם: 30% הם 30% ממספר נמוך מהמחיר בתחילת השנה הראשונה:אם המניה התחילה ב-$30 וירדה ב-10%, היא שווה 27$ בתחילת השנה השנייה. אם המניה עולה ב-30%, היא שווה 35.1 דולר בסוף השנה השנייה. הממוצע האריתמטי של צמיחה זו הוא 10%, אך מכיוון שהמניה גדלה רק ב-5.1 דולר בשנתיים, עלייה ממוצעת של 8.2% נותנת תוצאה סופית של 35.1 דולר:

  [$30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1]. אם נשתמש בממוצע באותו אופן ערך אריתמטי 10%, אנחנו לא מקבלים את הערך האמיתי: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].

  ריבית דריבית בסוף שנה 2: 90% * 130% \u003d 117%, כלומר, עלייה כוללת של 17%, וריבית דריבית שנתית ממוצעת 117 % ≈ 108.2 % (\displaystyle (\sqrt (117\%))\בערך 108.2\%)כלומר גידול שנתי ממוצע של 8.2%. המספר הזה שגוי משתי סיבות.

  הערך הממוצע של משתנה מחזורי, המחושב לפי הנוסחה לעיל, יוסט באופן מלאכותי ביחס לממוצע האמיתי לאמצע הטווח המספרי. בגלל זה, הממוצע מחושב בצורה שונה, כלומר, המספר עם השונות הקטנה ביותר נבחר כערך הממוצע ( נקודה מרכזית). כמו כן, במקום לגרוע, נעשה שימוש במרחק מודולו (כלומר, מרחק היקפי). לדוגמה, המרחק המודולרי בין 1° ל-359° הוא 2°, לא 358° (במעגל בין 359° ל-360°==0° - מעלה אחת, בין 0° ל-1° - גם 1°, בסך הכל - 2 מעלות).