סדרת פורייה של פונקציה מחזורית זוגית f(x) עם תקופה 2p מכילה רק איברים עם קוסינוס (כלומר, אינה מכילה איברים עם סינוס) ועשויה לכלול איבר קבוע. לָכֵן,

איפה המקדמים סדרת פורייה,

הרחבת סדרת פורייה בסינוסים

סדרת פורייה של פונקציה מחזורית אי זוגית f (x) עם תקופה 2p מכילה רק איברים עם סינוסים (כלומר, היא לא מכילה איברים עם קוסינוס).

לָכֵן,

איפה המקדמים של סדרת פורייה,

סדרת פורייה בחצי מחזור

אם פונקציה מוגדרת לטווח, נניח מ-0 ל-p, ולא רק מ-0 ל-2p, ניתן להרחיב אותה לסדרה רק בסינוס או רק בקוסינוס. סדרת פורייה שהתקבלה נקראת ליד פורייה עַל חצי מחזור

אם אתה רוצה לקבל את הפירוק פורייה עַל חצי מחזור על ידי קוסינוסיםפונקציות f (x) בטווח שבין 0 ל-p, אז יש צורך לבנות פונקציה מחזורית זוגית. באיור. להלן הפונקציה f (x) = x, הבנויה על המרווח מ-x = 0 עד x = p. בגלל ה פונקציה אפילוסימטרי ביחס לציר f (x), צייר קו AB, כפי שמוצג באיור. לְהַלָן. אם נניח שמחוץ למרווח הנחשב הצורה המשולשת המתקבלת היא תקופתית עם תקופה של 2p, אז הגרף הסופי נראה כך: באיור. לְהַלָן. מכיוון שאנו צריכים לקבל את הרחבת פורייה בקוסינוסים, כמו קודם, אנו מחשבים את מקדמי פורייה a o ו- n

אם אתה צריך לקבל הִתפָּרְקוּת פורייה עַל חצי מחזור על ידי סינוסיםפונקציות f (x) בטווח שבין 0 ל-p, אז יש צורך לבנות פונקציה מחזורית אי זוגית. באיור. להלן הפונקציה f (x) =x, הבנויה על המרווח מ-x=0 עד x=p. בגלל ה פונקציה אי - זוגיתסימטרי לגבי המקור, אנו בונים תקליטור קו, כפי שמוצג באיור.

אם נניח שמחוץ למרווח הנחשב אות שן המסור המתקבל הוא תקופתי עם תקופה של 2p, אז לגרף הסופי יש את הצורה המוצגת באיור. מכיוון שאנו צריכים לקבל את הרחבת הפורייה של חצי המחזור במונחים של סינוסים, כמו קודם, אנו מחשבים את מקדם הפורייה. ב

תמלול

1 משרד החינוך והמדע של הפקולטה לפיזיקה של אוניברסיטת RF נובוסיבירסק במדינת נובוסיבירסק R. K. Belkheeva FOURIER SERIES בדוגמאות ובעיות ספר לימוד נובוסיבירסק 211

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkheeva R.K. סדרת פורייה בדוגמאות ובעיות: ספר לימוד / נובוסיבירסק. מדינה univ. נובוסיבירסק, ס. ISBN B ספר לימודמידע בסיסי על סדרת פורייה מוצג, דוגמאות ניתנות לכל נושא שנלמד. דוגמה ליישום שיטת פורייה לפתרון הבעיה של רעידות רוחביות של מיתר מנותחת בפירוט. ניתן חומר המחשה. ישנן משימות לפתרון עצמאי. מיועד לסטודנטים ומורים של הפקולטה לפיזיקה של NSU. פורסם על פי החלטת הוועדה המתודולוגית של הפקולטה לפיזיקה של NSU. מבקר: ד"ר פיזי.-מתמטיקה. Sci. V. A. Aleksandrov המדריך הוכן כחלק מיישום תוכנית הפיתוח של NRU-NSU לשנים. ISBN מנובוסיבירסק אוניברסיטת המדינה, 211 c Belkheeva R.K., 211

3 1. הרחבה של פונקציה 2π-מחזורית להגדרת סדרת פורייה. סדרת פורייה של הפונקציה f(x) היא הסדרה הפונקציונלית a 2 + (a n cosnx + b n sin nx), (1) כאשר המקדמים a n, b n מחושבים באמצעות הנוסחאות: a n = 1 π b n = 1 π f (x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) נוסחאות (2) (3) נקראות נוסחאות אוילר פורייה. העובדה שהפונקציה f(x) מתאימה לסדרת פורייה (1) נכתבת בצורה של הנוסחה f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) ואנחנו אומרים שהצד הימני של נוסחה (4) היא רשמית ליד פורייהפונקציות f(x). במילים אחרות, נוסחה (4) אומרת רק שהמקדמים a n, b n נמצאו באמצעות נוסחאות (2), (3). 3

4 הגדרה. פונקציה 2π-מחזורית f(x) נקראת חלקה חלקה אם יש מספר סופי של נקודות = x במרווח [, π]< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 איור. 1. גרף של הפונקציה f(x) בוא נחשב את מקדמי פורייה a = 1 π f(x) dx = 1 π x 2 2 π = π, a n = 1 π f(x) cosnxdx = 2 π = 2 () x sin nx cos nx + π n n 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = b n = 1 π π = 2 π f(x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, עבור n זוגי, עבור n , f(x ) sin nxdx =, כי הפונקציה f(x) היא זוגית. הבה נרשום את סדרת פורייה הרשמית עבור הפונקציה f(x): f(x) π 2 4 π k= 5 cos (2k + 1)x (2k + 1) 2.

6 הבה נגלה אם הפונקציה f(x) חלקה בחלקה. מכיוון שהוא רציף, אנו מחשבים רק את הגבולות (6) בנקודות הסיום של המרווח x = ±π ובנקודת השבירה x = : ו-f(π h) f(π) π h π lim = lim h + h h + h = 1, f(+ h) f(+) + h () lim = lim h + h h + h f(+ h) f(+) + h lim = lim = 1, h + h h + h = 1 , f(h) f () h () lim = lim = 1. h + h h + h הגבולות קיימים והם סופיים, לכן הפונקציה חלקה חלקית. לפי משפט ההתכנסות הנקודתית, סדרת הפורייה שלו מתכנסת למספר f(x) בכל נקודה, כלומר f(x) = π 2 4 π k= cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) באיור. 2, 3 מראים את אופי הקירוב של סכומים חלקיים של סדרת פורייה S n (x), כאשר S n (x) = a n 2 + (a k coskx + b k sin kx), k=1 לפונקציה f(x ) במרווח [, π] . 6

7 איור. 2. גרף של הפונקציה f(x) עם גרפים של סכומים חלקיים S (x) = a 2 ו- S 1(x) = a 2 + a 1 cos x איור. 3. גרף של הפונקציה f(x) עם גרף של הסכום החלקי מעליו S 99 (x) = a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 בהחלפת x = ל-(7) נקבל: = π 2 4 π k= 1 (2k + 1) 2, משם נמצא את הסכום של סדרת המספרים: = π2 8. לדעת את הסכום של סדרה זו, זה קל למצוא את הסכום הבא יש לנו: S = ( ) S = ()= π S, לכן S = π2 6, כלומר, 1 n = π הסכום של הסדרה המפורסמת הזו התגלה לראשונה על ידי לאונרד אוילר. זה נמצא לעתים קרובות בניתוח מתמטי ויישומיו. דוגמה 2. נצייר גרף ונמצא את סדרת פורייה של פונקציה בהינתן הנוסחה f(x) = x עבור x< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 איור. 4. גרף של הפונקציה f(x) הפונקציה f(x) ניתנת להבדלה מתמשכת על המרווח (, π). בנקודות x = ±π, יש לו גבולות סופיים (5): f() =, f(π) = π. בנוסף, ישנם גבולות סופיים (6): f(+ h) f(+) lim = 1 ו-h + h f(π h) f(π +) lim = 1. h + h מכאן, f(x) הוא פונקציה חלקה חלקה. מכיוון שהפונקציה f(x) היא אי זוגית, אז a n =. אנו מוצאים את המקדמים b n על ידי שילוב לפי חלקים: b n = 1 π f(x) sin πnxdx= 1 [ x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1)n π + (1) n π] = 2(1 )n+ 1. n הבה נרכיב סדרת פורייה רשמית של הפונקציה 2(1) n+1 f(x) sin nx. n 9 cosnxdx ] =

10 לפי המשפט על התכנסות נקודתית של פונקציה חלקה 2π-מחזורית חלקה, סדרת פורייה של הפונקציה f(x) מתכנסת לסכום: 2(1) n+1 sin nx = n f(x) = x, אם π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 איור. 6. גרף של הפונקציה f(x) עם גרף של הסכום החלקי S 2 (x) מעליו איור. 7. גרף של הפונקציה f(x) עם גרף של הסכום החלקי S 3 (x) 11 מעליו

12 איור. 8. גרף של הפונקציה f(x) עם גרף של הסכום החלקי S 99 (x) מעליו. אנו משתמשים בסדרת פורייה המתקבלת כדי למצוא את הסכומים של שתי סדרות מספרים. הבה נשים את x = π/2 ב-(8). ואז 2 () +... = π 2, או = n= (1) n 2n + 1 = π 4. מצאנו בקלות את הסכום של סדרת לייבניץ המפורסמת. אם שמים x = π/3 ב-(8), נמצא () +... = π 2 3, או (1+ 1) () (k) 3π +...= 3k

13 דוגמה 3. נצייר גרף, נמצא את סדרת הפורייה של הפונקציה f(x) = sin x, בהנחה שיש לה תקופה של 2π, ו-1 נחשב את הסכום של סדרת המספרים 4n 2 1. פתרון. הגרף של הפונקציה f(x) מוצג באיור. 9. ברור, f(x) = sin x היא פונקציה זוגית רציפה עם נקודה π. אבל 2π היא גם התקופה של הפונקציה f(x). אורז. 9. גרף של הפונקציה f(x) בוא נחשב את מקדמי פורייה. כל b n = כי הפונקציה זוגית. באמצעות נוסחאות טריגונומטריות, אנו מחשבים a n עבור n 1: a n = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin(1 + n)x sin(1 n)x) dx = = 1 () π cos( 1 + n)x cos(1 n)x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 ( 4 1 אם n = 2k, = π n 2 1 אם n = 2k

14 חישוב זה אינו מאפשר לנו למצוא את מקדם a 1, כי ב-n = 1 המכנה הולך לאפס. לכן, אנו מחשבים את מקדם a 1 ישירות: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. מכיוון ש-f(x) ניתן להבדיל באופן רציף ב-(,) ו-(, π) ובנקודות kπ, (k הוא מספר שלם), ישנם גבולות סופיים (5) ו-(6), אז סדרת פורייה של הפונקציה מתכנסת אליו בכל נקודה: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x האיור מציג את אופי הקירוב של הפונקציה f(x) לפי סכומים חלקיים של סדרת פורייה.. (9) איור. 1. גרף של הפונקציה f(x) עם גרף של הסכום החלקי S (x) 14 מעליו

15 איור. 11. גרף של הפונקציה f(x) עם גרף של הסכום החלקי S 1 (x) מעליו איור. 12. גרף של הפונקציה f(x) עם גרף של הסכום החלקי S 2 (x) מעליו. 13. גרף של הפונקציה f(x) עם גרף של הסכום החלקי S 99 (x) 15 מעליו

16 1 חשב את הסכום של סדרת המספרים. לשם כך, שים 4n 2 1 ב-(9) x =. אז cosnx = 1 עבור כל n = 1, 2,... ולכן, 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. דוגמה 4. הבה נוכיח שאם פונקציה רציפה חלקה חלקה f(x) עומדת בתנאי f(x π) = f(x) עבור כל x (כלומר היא π-מחזורית), אז a 2n 1 = b 2n 1 = עבור כל n 1, ולהיפך, אם a 2n 1 = b 2n 1 = עבור כל n 1, אז f(x) הוא π-מחזורי. פִּתָרוֹן. תן לפונקציה f(x) להיות π-מחזורית. בואו נחשב את מקדמי הפורייה שלו a 2n 1 ו-b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f(x) cos(2n 1)xdx + f(x) cos(2n 1)xdx =) f(x) cos (2n 1)xdx. באינטגרל הראשון נעשה שינוי של המשתנה x = t π: f(x) cos(2n 1)xdx = f(t π) cos(2n 1)(t + π) dt. 16

17 בעזרת העובדה ש-cos(2n 1)(t + π) = cos(2n 1)t ו-f(t π) = f(t), נקבל: a 2n 1 = 1 π (f(x) cos( 2n 1)x dx+) f(x) cos(2n 1)x dx =. מוכח באופן דומה כי b 2n 1 =. לעומת זאת, תן a 2n 1 = b 2n 1 =. מכיוון שהפונקציה f(x) היא רציפה, אז לפי המשפט על הייצוג של פונקציה בנקודה לפי סדרת פורייה שלה, יש לנו אז f(x π) = = f(x) = (a 2n cos 2nx + b 2n sin 2nx). (a2n cos 2n(x π) + b 2n sin 2n(x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f(x), כלומר f(x) היא פונקציה π-מחזורית. דוגמה 5. הבה נוכיח שאם פונקציה חלקה חלקית f(x) עומדת בתנאי f(x) = f(x) עבור כל x, אז a = ו- a 2n = b 2n = עבור כל n 1, ולהיפך , אם a = a 2n = b 2n =, אז f(x π) = f(x) עבור כל x. פִּתָרוֹן. תן לפונקציה f(x) לעמוד בתנאי f(x π) = f(x). בוא נחשב את מקדמי הפורייה שלו: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f(x) cos nxdx + f(x) cosnxdx =) f(x) cosnxdx. באינטגרל הראשון נשנה את המשתנה x = t π. ואז f(x) cosnxdx = f(t π) cosn(t π) dt. בעזרת העובדה ש-cos n(t π) = (1) n cosnt ו-f(t π) = f(t), נקבל: a n = 1 π ((1) n) f(t) cosnt dt = if n זוגי, = 2 π f(t) cos nt dt, אם n הוא אי זוגי. π מוכח באופן דומה כי b 2n =. לעומת זאת, תן a = a 2n = b 2n =, עבור כל n 1. מכיוון שהפונקציה f(x) היא רציפה, אז לפי המשפט על ייצוג הפונקציה בנקודה לפי סדרת פורייה שלה, השוויון f( x) = (a 2n 1 cos ( 2n 1)x + b 2n 1 sin (2n 1)x). 18

19 אז = f(x π) = = = f(x). דוגמה 6. הבה נלמד כיצד להרחיב פונקציה f(x) הניתנת לאינטגרציה על המרווח [, π/2] למרווח [, π], כך שלסדרת הפורייה שלה תהיה הצורה: a 2n 1 cos(2n 1) איקס. (1) פתרון. תן לגרף הפונקציה את הצורה המוצגת באיור. 14. מכיוון שבסדרה (1) a = a 2n = b 2n = עבור כל n, אז מדוגמה 5 נובע שהפונקציה f(x) חייבת לקיים את השוויון f(x π) = f(x) עבור כל x . תצפית זו מספקת דרך להרחיב את הפונקציה f(x) למרווח [, /2]: f(x) = f(x+π), איור. 15. מהעובדה שסדרה (1) מכילה רק קוסינוסים, אנו מסיקים שהפונקציה המורחבת f(x) חייבת להיות זוגית (כלומר, הגרף שלה חייב להיות סימטרי על ציר Oy), איור.

20 איור. 14. גרף הפונקציה f(x) איור. 15. גרף של המשך הפונקציה f(x) למרווח [, /2] 2

21 אז, לפונקציה הנדרשת יש את הצורה המוצגת באיור. 16. איור. 16. גרף המשך של הפונקציה f(x) עבור המרווח [, π] לסיכום, אנו מסיקים שיש להמשיך את הפונקציה באופן הבא: f(x) = f(x), f(π x) = f (x), כלומר, שכן במרווח [π/2, π], הגרף של הפונקציה f(x) הוא סימטרי מרכזי ביחס לנקודה (π/2,), ובמרווח [, π ], הגרף שלו סימטרי ביחס לציר Oy. 21

22 הכללה של דוגמאות 3 6 תן לי >. הבה נבחן שני תנאים: א) f(l x) = f(x); ב) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. מנקודת מבט גיאומטרית, תנאי (א) פירושו שהגרף של הפונקציה f(x) הוא סימטרי ביחס לישר האנכי x = l/2, ותנאי (ב) שהגרף של f(x) הוא סימטרית מרכזית ביחס לנקודה (l/2;) על ציר האבסקיסה. אז ההצהרות הבאות נכונות: 1) אם הפונקציה f(x) זוגית והתנאי (a) מתקיים, אז b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... = ; 2) אם הפונקציה f(x) זוגית והתנאי (ב) מתקיים, אז b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) אם הפונקציה f(x) אי-זוגית והתנאי (a) מתקיים, אז a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) אם הפונקציה f(x) אי-זוגית והתנאי (b) מתקיים, אז a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. בעיות בבעיות 1 7, צייר גרפים ומצא סדרות פורייה עבור הפונקציות, (בהנחה שיש להן תקופה של 2π: אם< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 ( 1 אם /2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. הרחבה של פונקציה הנתונה במרווח [, π], רק בסינוס או רק בקוסינוס תנו לפונקציה f להינתן במרווח [, π]. ברצוננו להרחיב אותו במרווח זה לסדרת פורייה, אנו מרחיבים תחילה את f לתוך המרווח [, π] באופן שרירותי, ולאחר מכן משתמשים בנוסחאות פורייה של אוילר. השרירותיות בהמשכה של פונקציה מביאה לכך שעבור אותה פונקציה f: [, π] R נוכל לקבל סדרות פורייה שונות. אבל אתה יכול להשתמש בשרירותיות זו כדי להשיג הרחבה רק בסינוס או רק בקוסינוס: במקרה הראשון מספיק להמשיך f בצורה מוזרה, ובשני בצורה זוגית. אלגוריתם פתרון 1. המשך את הפונקציה בצורה אי זוגית (זוגית) ל-(,), ולאחר מכן מדי פעם עם תקופה של 2π המשך את הפונקציה לאורך כל הציר. 2. חשב את מקדמי פורייה. 3. חבר את סדרת פורייה של הפונקציה f(x). 4. בדוק את התנאים להתכנסות של הסדרה. 5. ציין את הפונקציה שאליה סדרה זו תתכנס. דוגמה 7. הבה נרחיב את הפונקציה f(x) = cosx,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 איור. 17. גרף של הפונקציה המורחבת ברור שהפונקציה f (x) חלקה חלקית. בוא נחשב את מקדמי פורייה: a n = עבור כל n כי הפונקציה f (x) אי-זוגית. אם n 1, אז b n = 2 π f(x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = π n + 1 n 1 = 1 (1) n (1)n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1, אם n = 2 k + 1, (1)n+1 (n 1) + (n + 1) = π ( n + 1)(n 1) 2 2n, אם n = 2k. π n 2 1 כאשר n = 1 בחישובים הקודמים, המכנה הולך לאפס, כך שניתן לחשב ישירות את מקדם b 1 - 25

26 באופן טבעי: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. בואו נרכיב את סדרת פורייה של הפונקציה f (x) : f (x) 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx. מכיוון שהפונקציה f (x) חלקה חלקית, אז לפי משפט ההתכנסות הנקודתית סדרת פורייה של הפונקציה f (x) מתכנסת לסכום: cosx אם π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 איור. 18. גרף של הפונקציה f (x) עם גרף של הסכום החלקי S 1 (x) מעליו. 19. גרף של הפונקציה f(x) עם גרף של הסכום החלקי S 2 (x) 27 מעליו

28 איור. 2. גרף של הפונקציה f (x) עם גרף של הסכום החלקי S 3 (x) מעליו. באיור. איור 21 מציג גרפים של הפונקציה f (x) והסכום החלקי שלה S 99 (x). אורז. 21. גרף של הפונקציה f (x) עם גרף של הסכום החלקי S 99 (x) 28 מעליו

29 דוגמה 8. הבה נרחיב את הפונקציה f(x) = e ax, a >, x [, π], לסדרת פורייה רק ​​בקוסינוסים. פִּתָרוֹן. הבה נרחיב את הפונקציה באופן שווה ל-(,) (כלומר, כך שהשוויון f(x) = f(x) יתקיים עבור כל x (, π)), ולאחר מכן מעת לעת עם תקופה של 2π לאורך כל קו המספרים. נקבל את הפונקציה f (x), שהגרף שלה מוצג באיור. 22. פונקציה f (x) בנקודות איור. 22. הגרף של הפונקציה המורחבת f (x) x = kπ, k הוא מספר שלם, יש קינקים. בוא נחשב את מקדמי פורייה: b n =, שכן f (x) זוגי. שילוב לפי חלקים נקבל 29

30 a n = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f(x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 π cosnx (eπ πa ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2s = a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 a a n. 2 לכן, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 מכיוון ש-f (x) הוא רציף, אז לפי משפט ההתכנסות הנקודתית, סדרת הפורייה שלו מתכנסת ל-f (x). זה אומר שלכל x [, π] יש לנו f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). איורים מדגימים את הגישה ההדרגתית של הסכומים החלקיים של סדרת פורייה לפונקציה בלתי רציפה נתונה. 3

31 איור. 23. גרפים של פונקציות f (x) ו-S (x) איור. 24. גרפים של פונקציות f (x) ו-S 1 (x) איור. 25. גרפים של פונקציות f (x) ו-S 2 (x) איור. 26. גרפים של פונקציות f (x) ו-S 3 (x) 31

32 איור. 27. גרפים של פונקציות f (x) ו-S 4 (x) איור. 28. גרפים של הפונקציות f (x) ו- S 99 (x) בעיות 9. הרחב את הפונקציה f (x) = cos x, x π לסדרת פורייה בקוסינוסים בלבד. 1. הרחב את הפונקציה f(x) = e ax, a >, x π, לסדרת פורייה בסינוס בלבד. 11. הרחב את הפונקציה f(x) = x 2, x π לסדרת פורייה בסינוס בלבד. 12. הרחב את הפונקציה f(x) = sin ax, x π לסדרת פורייה בקוסינוסים בלבד. 13. הרחב את הפונקציה f(x) = x sin x, x π לסדרת פורייה בסינוס בלבד. תשובות 9. cosx = cosx. 1. e ax = 2 [ 1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 (1) n 1 π n + 2 ] n 3 ((1)n 1) sin nx. 32

33 12. אם a אינו מספר שלם, אז sin ax = 1 cosaπ (1 + +2a cos 2nx ) + π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2; אם a = 2m הוא מספר זוגי, אז sin 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; אם a = 2m 1 הוא מספר אי-זוגי חיובי, אז sin(2m 1)x = 2 ( cos 2nx ) 1 + 2(2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. סדרת פורייה של פונקציה עם תקופה שרירותית נניח שהפונקציה f(x) ניתנת במרווח [ l, l], l >. ביצוע ההחלפה x = ly, y π, נקבל את הפונקציה g(y) = f(ly/π), המוגדרת במרווח π [, π]. פונקציה זו g(y) מתאימה לסדרת פורייה (רשמית) () ly f = g(y) a π 2 + (a n cosny + b n sin ny), המקדמים שלה נמצאים באמצעות נוסחאות אוילר פורייה: a n = 1 π g(y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2,..., 33

34 b n = 1 π g(y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2,.... π חוזרים למשתנה הישן, כלומר, בהנחה בנוסחאות הכתובות y = πx/ l, נקבל עבור הפונקציה f(x) סדרה טריגונומטרית בצורה מעט שונה: כאשר f(x) a 2 + a n = 1 l b n = 1 l l l l l (a n cos πnx l f(x) cos πnx l f(x) sin πnx l + b n sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2,..., (12) dx, n = 1, 2,.... (13) נוסחאות (11) (13) אומרים שהם מגדירים הרחבת סדרת פורייה של פונקציה עם תקופה שרירותית. דוגמה 9. הבה נמצא את סדרת פורייה של פונקציה המצוינת במרווח (l, l) על ידי הביטוי ( A, if l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 l l f(x) dx = 1 l A dx + 1 l l B dx = A + B, l l a n = 1 l l l f(x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 l l A cos πnx l = A + B π n l b n = 1 l dx + 1 l l B cos πnx l sin πn =, אם n, l l A sin πnx l f(x) sin πnx l dx + 1 l l dx = B sin πnx l = B A (1 cosπn). πn בואו ניצור סדרת פורייה של הפונקציה f (x) : f(x) A + B π (B A מאז cosπn = (1) n, אז n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l עבור n = 2k נקבל b n = b 2k =, עבור n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2(B A) π(2k 1).

36 מכאן f(x) A + B (B A) π (sin πx + 1 3πx sin + 1 5πx sin +... l 3 l 5 l לפי משפט ההתכנסות הנקודתית, סדרת פורייה של הפונקציה f(x) מתכנס לסכום A, אם l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 איור. 29. גרף של הפונקציה f (x) עם הגרפים ההרמוניים S (x) = a 2 ו-S 1 (x) = b 1 sinx מעליו. למען הבהירות, הגרפים של שלושת ההרמוניות הגבוהות יותר S 3 (x) = b 3 sin 3πx, S l 5 (x) = b 5 sin 5πx l ו-S 7 (x) = b 7 sin 7πx מוזזים אנכית כלפי מעלה l 37

38 איור. 3. גרף של הפונקציה f(x) עם גרף של הסכום החלקי S 99 (x) מעליו איור. 31. שבר של איור. 3 בסולם אחר 38

39 בעיות בבעיות, הרחב את הפונקציות המצוינות במרווחים נתונים לסדרות פורייה. 14. f(x) = x 1, (1, 1). 15. f(x) = cos π x, [ 1, 1] f(x ) = sin π x, (1, 1).( 2 1, if 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18. f(x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f(x) = al 4 2) 1 (4n 2)πx cos, π 2 (2n) l ב) f(x) = 4al (1) n 1 (2n 1)πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23. a) f(x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x... b) f( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π)+ 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x צורה מורכבת של סדרת פורייה הרחבה f(x) = c n e inx, כאשר c n = 1 2π f (x)e inx dx, n = ±1, ±2,..., נקראת הצורה המורכבת של סדרת פורייה. פונקציה מורחבת לסדרת פורייה מורכבת אם מתקיימים אותם תנאים שבהם היא מורחבת לסדרת פורייה אמיתית. 4

41 דוגמה 1. מצא את סדרת פורייה בצורה המורכבת של הפונקציה הניתנת על ידי הנוסחה f(x) = e ax, במרווח [, π), כאשר a הוא מספר ממשי. פִּתָרוֹן. בוא נחשב את המקדמים: = c n = 1 2π f(x)e inx dx = 1 2π e (a in)x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1)n sh aπ. 2π(a in) π(a in) לסדרת פורייה המורכבת של הפונקציה f יש את הצורה f(x) sinh aπ π n= (1) n a ב-einx. הבה נוודא שהפונקציה f(x) חלקה חלקית: במרווח (, π) היא ניתנת להבדלה מתמשכת, ובנקודות x = ±π יש גבולות סופיים (5), (6) lim h + ea (+h) = e aπ, lim h + ea(π h) = e aπ, e a(+h) e a(+) lim h + h = ae aπ e a(π h) e a(π), lim h + h = ae aπ. כתוצאה מכך, הפונקציה f(x) יכולה להיות מיוצגת על ידי סדרת פורייה sh aπ π n= (1) n a ב-einx, שמתכנסת לסכום: ( e S(x) = ax if π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 דוגמה 11. מצא את סדרת פורייה בצורה המורכבת והאמיתית של הפונקציה הניתנת על ידי הנוסחה f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, כאשר a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 זכור שהסכום של התקדמות גיאומטרית אינסופית עם המכנה q (ש< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 עכשיו בואו נמצא את סדרת פורייה בצורה אמיתית. לשם כך, נקבץ את האיברים עם המספרים n ו-n עבור n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx מכיוון ש-c = 1, אז 2 = 2a n cos nx. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 זוהי סדרת פורייה בצורה אמיתית של הפונקציה f(x). כך, מבלי לחשב אינטגרל אחד, מצאנו את סדרת פורייה של הפונקציה. במקביל, חישבנו אינטגרל קשה בהתאם לפרמטר cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a(z z 1) f(x) = 2i (1 a(z z 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1)z 2 2 (z a)(z a 1) = = i 2 + i () a 2 z a + a 1. z a 1 הבה נרחיב כל אחד מהשברים הפשוטים באמצעות נוסחת ההתקדמות הגיאומטרית: + a z a = a 1 z 1 a = a a n z z n, n= z a 1 z a = az = a n z n. n= זה אפשרי כי az = a/z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, או, בקצרה יותר, c n = 1 2i a n sgnn. לפיכך, נמצאה סדרת פורייה בצורה מורכבת. על ידי קיבוץ האיברים עם המספרים n ו-n נקבל את סדרת פורייה של הפונקציה בצורה אמיתית: = f(x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 (1 2i an e inx 1 2i an e inx n = +) = c n e inx = a n sin nx. שוב הצלחנו לחשב את האינטגרל המורכב הבא: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 בעיות 24. באמצעות (15), חשב את האינטגרל cos nxdx 1 2a cosx + a 2 עבור a אמיתי, a > באמצעות (16), חשב את האינטגרל sin x sin nxdx עבור a אמיתי, a > a cosx + a2 ב- בעיות, מצא את סדרת פורייה בצורה מורכבת עבור פונקציות. 26. f(x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. משפט השוויון של ליאפונוב (השוויון של ליאפונוב). תן לפונקציה f: [, π] R להיות כזו ש-f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. לכן, השוויון של ליאפונוב עבור הפונקציה f(x) מקבל את הצורה: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. מהשוויון האחרון עבור π נמצא sin 2 na n 2 = a(π a) 2 הגדרת a = π 2, נקבל sin2 na = 1 עבור n = 2k 1 ואת sin 2 na = עבור n = 2k. לכן, k=1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. דוגמה 14. בוא נכתוב את השוויון של ליאפונוב עבור הפונקציה f(x) = x cosx, x [, π], ונמצא בעזרתה את סכום המספר סדרה (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π פתרון. חישובים ישירים נותנים = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 מכיוון ש-f(x) היא פונקציה זוגית, אז עבור כל n יש לנו b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1 )x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1)(n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2 if n = 2k, 2 if n = 2k + 1. יש לחשב את מקדם a 1 בנפרד, שכן בנוסחה הכללית של n = 1 המכנה של השבר הולך לאפס. = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 לפיכך, לשוויון של ליאפונוב עבור הפונקציה f(x) יש את הצורה: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π, משם נמצא את סכום סדרת המספרים (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) = π π בעיות 32. כתוב את השוויון ליאפונוב עבור הפונקציה ( x f(x) = 2 πx, אם x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 תשובות + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, כאשר c n הוא מקדם פורייה 2π של הפונקציה f(x), ו-d n הוא פונקציות מקדם פורייה g(x). 6. בידול של סדרת פורייה תן f: R R להיות פונקציה 2π-מחזורית הניתנת להבדלה מתמשכת. לסדרת הפורייה שלה יש את הצורה: f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx). הנגזרת f (x) של פונקציה זו תהיה פונקציה רציפה ו-2π-מחזורית, שעבורה נוכל לכתוב סדרת פורייה רשמית: f (x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx), כאשר a, a n , b n, n = 1 , 2,... מקדמי פורייה של הפונקציה f (x). 51

משפט 52 (על בידול מונח אחר טווח של סדרות פורייה). תחת ההנחות הנ"ל, השוויון a =, a n = nb n, b n = na n, n 1 תקפים. דוגמה 15. תן לפונקציה החלקה חלקית f(x) להיות רציפה במרווח [, π]. הבה נוכיח שאם מתקיים התנאי f(x)dx =, אי השוויון 2 dx 2 dx, הנקרא אי השוויון של סטקלוב, מתקיים, ונוודא שהשוויון בו מתקיים רק עבור פונקציות בצורת f(x) = קוקס. במילים אחרות, אי השוויון של סטקלוב נותן תנאים שבהם הקטנות של הנגזרת (בריבוע הממוצע) מרמזת על הקטנות של הפונקציה (בריבוע הממוצע). פִּתָרוֹן. הבה נרחיב את הפונקציה f(x) למרווח [, ] באופן שווה. הבה נסמן את הפונקציה המורחבת באותו סמל f(x). אז הפונקציה המורחבת תהיה רציפה וחלקה בחלקה במרווח [, π]. מכיוון שהפונקציה f(x) היא רציפה, אז f 2 (x) היא רציפה על המרווח ו-2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 מכיוון שהפונקציה המתמשכת זוגית, אז b n =, a = לפי תנאי. כתוצאה מכך, השוויון של ליאפונוב מקבל את הצורה 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) הבה נוודא שעבור f (x) מסתפקת מסקנת המשפט על התמיינות מונח אחר איבר של סדרת פורייה, כלומר, a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. תן לנגזרת f (x) לעבור קינקים בנקודות x 1, x 2,..., x N במרווח [, π]. נסמן x =, x N+1 = π. הבה נחלק את מרווח האינטגרציה [, π] ל-N+1 מרווחים (x, x 1),..., (x N, x N+1), שעל כל אחד מהם ניתן להבדיל באופן רציף f(x). לאחר מכן, באמצעות תכונת החיבור של האינטגרל, ולאחר מכן אינטגרציה לפי חלקים, נקבל: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f (x) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [(f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x)dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= השוויון האחרון מתרחש בשל העובדה שהפונקציה f(x) נמשכה בצורה זוגית, כלומר f(π) = f(). באופן דומה נקבל a n = nb n. הראינו שהמשפט על בידול מונח אחר טווח של סדרת פורייה עבור פונקציה חלקה רציפה של 2π-מחזורית, שהנגזרת שלה במרווח [, π] עוברת אי-רציפות מהסוג הראשון, נכונה. זה אומר f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx, שכן a =, a n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2,.... מאז 2 dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 מכיוון שכל איבר בסדרה ב-(18) גדול או שווה לאיבר המקביל בסדרה ב-(17), אז 2 dx 2 dx. אם נזכור ש-f(x) הוא המשך שווה של הפונקציה המקורית, יש לנו 2 dx 2 dx. מה שמוכיח את השוויון של סטקלוב. כעת אנו בוחנים עבור אילו פונקציות מתקיים שוויון באי השוויון של סטקלוב. אם עבור n 2 אחד לפחות, מקדם a n שונה מאפס, אז a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 בעיות 37. תן לפונקציה החלקה החתיכה f(x) להיות רציפה במרווח [, π]. הוכיחו שכאשר מתקיים התנאי f() = f(π) =, אי השוויון 2 dx 2 dx, הנקרא גם אי השוויון סטקלוב, מתקיים, וודאו שהשוויון בו מתקיים רק עבור פונקציות בצורת f(x) = B sin x. 38. תן לפונקציה f להיות רציפה במרווח [, π] ותהיה בה (למעט אולי מספר סופי של נקודות) נגזרת f (x) הניתנת לשילוב ריבועי. הוכח שאם מתקיימים התנאים f() = f(π) ו-f(x) dx =, אזי אי השוויון 2 dx 2 dx, הנקרא אי-שוויון וירטינגר, מתקיים, והשוויון בו מתקיים רק עבור פונקציות בצורת f (x) = A cosx + B sin x. 56

57 7. יישום סדרת פורייה לפתרון משוואות דיפרנציאליות חלקיות בעת לימוד עצם אמיתי (תופעות טבע, תהליך ייצור, מערכות בקרה וכו') שני גורמים מתגלים כמשמעותיים: רמת הידע המצטבר על האובייקט הנחקר ומידת ההתפתחות של המנגנון המתמטי. עַל במה מודרנית מחקר מדעיפותחה השרשרת הבאה: תופעה פיזיקלית מודל מתמטי. הניסוח הפיזי (מודל) של הבעיה הוא כדלקמן: מזוהים התנאים להתפתחות התהליך והגורמים העיקריים המשפיעים עליו. הניסוח המתמטי (מודל) מורכב מתיאור הגורמים והתנאים שנבחרו בניסוח הפיזיקלי בצורה של מערכת משוואות (אלגברית, דיפרנציאלית, אינטגרלית וכו'). בעיה נקראת well-posed אם במרחב תפקודי מסוים קיים פתרון לבעיה, באופן ייחודי ורציף תלוי בתנאי ההתחלה והגבול. מודל מתמטיאינו זהה לעצם הנדון, אלא מהווה תיאור משוער שלו. גזירת המשוואה לתנודות רוחביות קטנות חופשיות של מיתר. נלך לפי ספר הלימוד. הניחו לקצוות החוט להיות מאובטחים ולמתוח את המיתר עצמו. אם תזיז מיתר ממיקום שיווי המשקל שלו (לדוגמה, מושך אותו אחורה או מכה בו), אז המיתר יתחיל ל-57

58 תהסס. נניח שכל נקודות המיתר נעות בניצב למיקום שיווי המשקל שלו (תנודות רוחביות), ובכל רגע של זמן המיתר שוכב באותו מישור. הבה ניקח מערכת של קואורדינטות מלבניות xou במישור הזה. ואז, אם ברגע הראשוני של הזמן t = המיתר היה ממוקם לאורך ציר השור, אזי u מתכוון לסטייה של המיתר ממיקום שיווי המשקל, כלומר, המיקום של נקודת המיתר עם האבססיס x ב רגע שרירותי של זמן t מתאים לערך הפונקציה u(x, t). עבור כל ערך קבוע של t, הגרף של הפונקציה u(x, t) מייצג את צורת המיתר הרוטט בזמן t (איור 32). בְּ ערך קבועפונקציית x u(x,t) נותנת את חוק התנועה של נקודה בעלת אבשיסה x לאורך ישר מקביל לציר Ou, הנגזרת u t היא מהירות התנועה הזו, והנגזרת השנייה 2 u t 2 היא התאוצה. אורז. 32. כוחות המופעלים על קטע אינפיניטסימלי של מחרוזת בואו ניצור משוואה שהפונקציה u(x, t) חייבת לעמוד בה. לשם כך, נביא עוד כמה הנחות מפשטות. ניקח בחשבון את המחרוזת כגמישה לחלוטין - 58

59 koy, כלומר, נניח שהמיתר אינו מתנגד לכיפוף; משמעות הדבר היא שהלחצים הנוצרים במיתר מופנים תמיד באופן משיק לפרופיל המיידי שלו. ההנחה היא שהמחרוזת אלסטית וכפופה לחוק הוק; המשמעות היא שהשינוי בגודל כוח המתח הוא פרופורציונלי לשינוי באורך המיתר. הבה נניח שהמחרוזת הומוגנית; זה אומר שהצפיפות הליניארית שלו ρ קבועה. אנו מזניחים כוחות חיצוניים. זה אומר שאנחנו שוקלים תנודות חופשיות. נלמד רק תנודות קטנות של המיתר. אם נסמן ב-ϕ(x, t) את הזווית בין ציר האבשיסה לבין המשיק למיתר בנקודה עם האבשיסה x בזמן t, אז התנאי לתנודות קטנות הוא שהערך ϕ 2 (x, t) ניתן להזניח בהשוואה ל-ϕ (x, t), כלומר ϕ 2. מכיוון שהזווית ϕ קטנה, אז cosϕ 1, ϕ sin ϕ tan ϕ u לכן, ניתן להזניח גם את הערך (u x x,) 2. מיד נובע שבמהלך תהליך הרטט אנו יכולים להזניח את השינוי באורך של כל קטע של המיתר. ואכן, אורכה של פיסת מיתר M 1 M 2, המוקרן לתוך המרווח של ציר האבססיס, שבו x 2 = x 1 + x, שווה ל-l = x 2 x () 2 u dx x. x הבה נראה כי תחת ההנחות שלנו, גודל כוח המתח T יהיה קבוע לאורך כל המיתר. לשם כך, ניקח כל קטע של המחרוזת M 1 M 2 (איור 32) בזמן t ונחליף את הפעולה של הקטעים שהושלכו - 59

60 על ידי כוחות המתח T 1 ו-T 2. מאחר שלפי התנאי כל נקודות המיתר נעות במקביל לציר Ou ואין כוחות חיצוניים, סכום ההשלכות של כוחות המתח על ציר השור חייב להיות שווה לאפס: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. מכאן, בשל הקטנות של הזוויות ϕ 1 = ϕ(x 1, t) ו-ϕ 2 = ϕ(x 2, t), אנו מסיקים כי T 1 = T 2. הבה נסמן משמעות כללית T 1 = T 2 עד T. כעת הבה נחשב את סכום ההשלכות F u של אותם כוחות על ציר Ou: F u = T sin ϕ(x 2, t) T sin ϕ(x 1, t). (2) מכיוון שלזוויות קטנות sin ϕ(x, t) tan ϕ(x, t), ו-tan ϕ(x, t) u(x, t)/ x, אז ניתן לשכתב את המשוואה (2) כ-F u T (tg ϕ(x 2, t) tan ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x . מכיוון שהנקודה x 1 נבחרת באופן שרירותי, אז F u T 2 u x2(x, t) x. לאחר שנמצאו כל הכוחות הפועלים על הקטע M 1 M 2, אנו מיישמים עליו את החוק השני של ניוטון, לפיו מכפלת המסה והתאוצה שווה לסכום הכל. כוחות פעילים. המסה של פיסת מיתר M 1 M 2 שווה ל-m = ρ l ρ x, והתאוצה שווה ל-2 u(x, t). משוואת t 2 של ניוטון לובשת את הצורה: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, כאשר α 2 = T ρ הוא מספר חיובי קבוע. 6

61 צמצום ב-x, נקבל 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t). (21) כתוצאה מכך, השגנו משוואה דיפרנציאלית חלקית הומוגנית ליניארית מסדר שני עם מקדמים קבועים. זה נקרא משוואת רטט המיתרים או משוואת גל חד מימדית. משוואה (21) היא בעצם ניסוח מחדש של חוק ניוטון ומתארת ​​את תנועת המיתר. אבל בניסוח הפיזי של הבעיה היו דרישות שקצוות המיתר יהיו קבועים ומיקומו של המיתר בנקודת זמן מסוימת ידוע. נכתוב את התנאים הללו כמשוואות באופן הבא: א) נניח שקצוות המחרוזת קבועים בנקודות x = ו-x = l, כלומר נניח שלכל t היחסים u(, t) =, u (l, t ) = ; (22) ב) נניח שבזמן t = מיקום המחרוזת עולה בקנה אחד עם גרף הפונקציה f(x), כלומר נניח שלכל x [, l] השוויון u(x,) = f(x); (23) ג) נניח שברגע t = לנקודת המיתר עם האבססיס x ניתנת מהירות g(x), כלומר נניח ש-u (x,) = g(x). (24) t יחסים (22) נקראים תנאי גבול, ויחסים (23) ו-(24) נקראים תנאי התחלה. מודל מתמטי של רוחביים קטנים חופשיים 61

62 תנודות מיתר זה שיש צורך לפתור משוואה (21) עם תנאי גבול (22) ותנאים ראשוניים (23) ו- (24) פתרון המשוואה של תנודות מיתרים רוחביים קטנים חופשיים בשיטת פורייה פתרון משוואת (21) ב- אזור x l,< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. החלפה של (25) ב-(21), נקבל: X T = α 2 X T, (26) או T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x). (27) הם אומרים שהתרחשה הפרדה של משתנים. מכיוון ש-x ו-t אינם תלויים זה בזה, אז צד שמאלב-(27) אינו תלוי ב-x, והימין אינו תלוי ב-t והערך הכולל של היחסים הללו הוא 62

63 חייב להיות קבוע, אותו נסמן ב-λ: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. מכאן נקבל שתי משוואות דיפרנציאליות רגילות: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) במקרה זה, תנאי הגבול (22) יהיו בצורת X()T(t) = ו-X(l)T(t) =. מכיוון שהם חייבים להיות מרוצים עבור כל t, t >, אז X() = X(l) =. (3) הבה נמצא פתרונות למשוואה (28) העומדים בתנאי גבול (3). בואו נבחן שלושה מקרים. מקרה 1: λ >. הבה נסמן λ = β 2. משוואה (28) לובשת את הצורה X (x) β 2 X(x) =. למשוואה האופיינית שלו k 2 β 2 = יש שורשים k = ±β. לָכֵן, החלטה משותפתלמשוואה (28) יש את הצורה X(x) = C e βx + De βx. עלינו לבחור בקבועים C ו-D כך שיתקיימו תנאי הגבול (3), כלומר X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. מאז β, למערכת משוואות זו יש פתרון ייחודי C = D =. לכן, X(x) ו-63

64 u(x, t). לפיכך, במקרה 1 השגנו פתרון טריוויאלי, אותו לא נשקול עוד. מקרה 2: λ =. ואז משוואה (28) מקבלת את הצורה X (x) = והפתרון שלה ניתן כמובן על ידי הנוסחה: X(x) = C x+d. בהחלפת פתרון זה בתנאי הגבול (3), נקבל X() = D = ו- X(l) = Cl =, כלומר C = D =. לכן, X(x) ו-u(x, t), ושוב יש לנו פתרון טריוויאלי. מקרה 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 בהמשך ניתן n רק ערכים חיוביים n = 1, 2,..., שכן עבור n שלילי נקבל פתרונות מאותו סוג (nπ) הכמויות λ n = נקראות ערכים עצמיים, והפונקציות X n (x) = C n sin πnx לפי פונקציות עצמיות של משוואת הדיפרנציאל (28) עם תנאי גבול (3). כעת נפתור את המשוואה (29). עבורו, למשוואה האופיינית יש את הצורה k 2 α 2 λ =. (32) l 2 מכיוון שגילינו לעיל שפתרונות לא טריוויאליים X(x) של משוואה (28) קיימים רק עבור λ שלילי השווה ל- λ = n2 π 2, אז בדיוק λ כזה נשקול עוד יותר. שורשי המשוואה (32) הם k = ±iα λ, ולפתרונות למשוואה (29) יש את הצורה: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) l l כאשר A n ו- B n הם קבועים שרירותיים. בהחלפת נוסחאות (31) ו-(33) ב-(25), אנו מוצאים פתרונות חלקיים למשוואה (21) העומדים בתנאי הגבול (22): (u n (x, t) = B n cos πnαt + A n sin πnαt) C n sin πnx. l l l הכנסת הגורם C n לסוגריים והכנסת הסימונים C n A n = b n ו- B n C n = a n, נכתוב u n (X, T) בצורה (u n (x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt) sin πnx. (34) l l l 65

66 רעידות של המיתר המתאימות לפתרונות u n (x, t) נקראות רעידות טבעיות של המיתר. מכיוון שמשוואה (21) ותנאי גבול (22) הם ליניאריים והומוגניים, השילוב הליניארי של פתרונות (34) (u(x, t) = a n cos πnαt + bn sin πnαt) sin πnx (35) l l l יהיה פתרון למשוואה (21), עמידה בתנאי גבול (22) עם בחירה מיוחדת של מקדמים a n ו-b n, מה שמבטיח התכנסות אחידה של הסדרה. כעת נבחר את המקדמים a n ו-b n של פתרון (35) כך שהוא יעמוד לא רק בתנאי הגבול, אלא גם בתנאים ההתחלתיים (23) ו-(24), כאשר f(x), g(x) הן הפונקציות הנתונות (ו-f() = f (l) = g() = g(l) =). אנו מניחים שהפונקציות f(x) ו-g(x) עומדות בתנאי ההתפשטות בסדרת פורייה. החלפת הערך t = לתוך (35), נקבל u(x,) = a n sin πnx l = f(x). מבדיל סדרות (35) ביחס ל-t והחלפת t =, נקבל u t (x,) = πnα b n sin πnx l l = g(x), וזוהי הרחבה של הפונקציות f(x) ו-g(x) לתוך סדרת פורייה. לכן, a n = 2 l l f(x) sin πnx l dx, b n = 2 l g(x) sin πnx dx. πnα l (36) 66

67 בהחלפת הביטויים של המקדמים a n ו-b n לסדרה (35), נקבל פתרון למשוואה (21) המקיים את תנאי הגבול (22) ואת התנאים ההתחלתיים (23) ו- (24). לפיכך, פתרנו את הבעיה של תנודות רוחביות קטנות חופשיות של מיתר. הבה נגלה את המשמעות הפיזית של הפונקציות העצמיות u n (x, t) של בעיית התנודות החופשיות של מיתר, המוגדרת בנוסחה (34). הבה נכתוב אותו מחדש בצורה שבה u n (x, t) = α n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctan b n . l a n מנוסחה (37) ברור שכל נקודות המיתר מבצעות תנודות הרמוניות עם אותו תדר ω n = πnα ופאזה πnα δ n. משרעת הרטט תלויה בנקודת l l abscissa x של המיתר והיא שווה ל-α n sin πnx. עם תנודה כזו, כל נקודות המיתר מגיעות בו-זמנית לסטייה המקסימלית שלהן בכיוון זה או אחר ובמקביל עוברות את מיקום שיווי המשקל. תנודות כאלה נקראות גלים עומדים. לגל עומד יהיו n + 1 נקודות קבועות, הניתנות על ידי שורשי המשוואה sin πnx = במרווח [, l]. נקודות קבועות נקראות צמתים של גל עומד. באמצע בין הצמתים יש נקודות שבהן הסטיות מגיעות למקסימום; נקודות כאלה נקראות אנטי-נודות. לכל מיתר יכולות להיות רעידות משלו של תדרים מוגדרים בקפדנות ω n = πnα, n = 1, 2,.... תדרים אלו נקראים התדרים הטבעיים של המיתר. הטון L הנמוך ביותר שמיתר יכול להפיק נקבע על ידי ה-67

68 תדר טבעי נמוך ω 1 = π T והוא נקרא הטון היסודי של המיתר. שאר הצלילים המקבילים לתדרים l ω ω n, n = 2, 3,..., נקראים צלילים על או הרמוניים. למען הבהירות, הבה נצייר פרופילים טיפוסיים של מיתר המייצר את הטון היסודי (איור 33), את הצליל העליון הראשון (איור 34) ואת הצליל השני (איור 35). אורז. 33. פרופיל המיתר המייצר את הטון הראשי איור. 34. פרופיל המיתר המייצר את הצליל העליון הראשון איור. 35. פרופיל של מיתר שפולט צליל עליון שני אם המיתר מבצע תנודות חופשיות שנקבעות לפי התנאים ההתחלתיים, אזי הפונקציה u(x,t) מיוצגת, כפי שניתן לראות מנוסחה (35), כסכום של הרמוניות בודדות. . לפיכך תנודה שרירותית 68

69 מיתרים הם סופרפוזיציה של גלים עומדים. במקרה זה, אופי צליל המיתר (טון, עוצמת צליל, גוון) יהיה תלוי ביחס בין המשרעות של הרמוניות אינדיבידואליות. חוזק, גובה וצליל של צליל. מיתר רוטט מעורר תנודות אוויר, הנתפסות. על ידי האוזן האנושית כצליל הנפלט על ידי המיתר. עוצמת הצליל מאופיינת באנרגיה או משרעת של רעידות: ככל שהאנרגיה גדולה יותר, כך עוצמת הצליל גדולה יותר. גובה הצליל נקבע על פי התדירות או תקופת הרטט שלו: ככל שהתדר גבוה יותר, כך הצליל גבוה יותר. גוון הצליל נקבע על ידי נוכחותם של צלילי על, התפלגות האנרגיה בין הרמוניות, כלומר, שיטת העירור של רעידות. האמפליטודות של הצלילים העליונים, באופן כללי, פחותות מהמשרעת של הצליל הבסיסי, והשלבים של הצלילים העליונים יכולים להיות שרירותיים. האוזן שלנו אינה רגישה לשלב הרעידות. השווה, למשל, את שתי העקומות באיור. 36, מושאל מ. זוהי הקלטה של ​​צליל עם אותו טון יסוד המופק מקלרינט (א) ופסנתר (ב). אף צליל אינו גל סינוס פשוט. התדר הבסיסי של הצליל בשני המקרים זהה, מה שיוצר את אותו הטון. אבל הדפוסים של הקימורים שונים מכיוון שצלילים שונים מונחים על הטון הראשי. במובן מסוים, רישומים אלה מראים מהו גוון. 69

משרד החינוך והמדע של המוסד החינוכי התקציבי של המדינה הפדרלית הרוסית להשכלה מקצועית גבוהה MATI האוניברסיטה הטכנולוגית הממלכתית הרוסית על שם K. E. Tsiolkovsky

הסוכנות הפדרלית לחינוך המוסד החינוכי של המדינה הפדרלית להשכלה מקצועית גבוהה האוניברסיטה הפדרלית הדרום R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya מתודולוגית

נושא משרד החינוך של הרפובליקה של בלארוס ויטבסק מדינת האוניברסיטה הטכנולוגית. החוג למתמטיקה תיאורטית ויישומית "שורות". פותח על ידי Assoc. E.B. דונינה. בסיסי

הרצאה 4. ניתוח הרמוני. סדרת פורייה פונקציות מחזוריות. ניתוח הרמוני במדע ובטכנולוגיה, לעתים קרובות אנו נאלצים להתמודד עם תופעות תקופתיות, כלומר אלו שחוזרות על עצמן דרך

האוניברסיטה הטכנית של מדינת מוסקבה לתעופה אזרחית V.M. ליובימוב, א.א. ז'וקובה, V.A. אוחובה, יו.א. שורינוב מדריך מתמטיקה ללימוד המקצוע ומטלות המבחן

תוכן סדרת פורייה 4 מושג של פונקציה מחזורית 4 פולינום טריגונומטרי 6 3 מערכות אורתוגונליות של פונקציות 4 סדרת פורייה טריגונומטרית 3 5 סדרת פורייה לפונקציות זוגיות ואי-זוגיות 6 6 הרחבה

אינטגרל מוגדר. סכומים אינטגרליים ואינטגרל מוגדר תינתן פונקציה y = f (), המוגדרת על המרווח [, b], כאשר< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

תורת הסדרות תורת הסדרות היא המרכיב החשוב ביותר בניתוח מתמטי והיא מוצאת גם יישומים תיאורטיים וגם שימושים מעשיים רבים. יש סדרות מספריות ופונקציונליות.

נושא V סדרת פורייה הרצאה 6 הרחבת פונקציה תקופתית לסדרת פורייה לתהליכים רבים המתרחשים בטבע ובטכנולוגיה יש את התכונה לחזור על עצמם במרווחי זמן מסוימים. תהליכים כאלה

סדרת פורייה 6 מערכות אורתוגונליות של פונקציות סדרת פורייה במערכת אורתוגונלית של פונקציות פונקציות ϕ () ו-ψ (), המוגדרות ומשתלבות במרווח [, ], נקראות אורתוגונליות במרווח זה אם

הסוכנות הפדרלית לתחבורה רכבת באוניברסיטת אורל המחלקה למתמטיקה גבוהה ויישומית N. P. Chuev אלמנטים של ניתוח הרמוני מתודולוגי

הפקולטה למתמטיקה יישומית ומדעי המידע של אוניברסיטת בלארוסית המחלקה למתמטיקה גבוהה מדריך חינוכי ומתודולוגי לתלמידי הפקולטה למתמטיקה שימושית ואינפורמטיקה

הסברים לטקסט: הסימן קורא "שווה ערך" ופירושו שלמשוואות מימין לסימן ומשמאל לסימן יש את אותה קבוצת פתרונות, הסימן IR מציין את קבוצת המספרים הממשיים, הסימן IN

משוואות של פיסיקה מתמטית 1. משוואות דיפרנציאליות חלקיות משוואה המתייחסת לפונקציה הלא ידועה u (x 1, x 2,..., x n), משתנים בלתי תלויים x 1, x 2,..., x n וחלקי

1 2 תוכן 1 סדרת פורייה 5 1.1 סדרת פורייה טריגונומטרית............... 5 1.2 Sin & cos בלבד................... .. 7 1.3 סדרת פורייה בצורה מורכבת........... 11 1.4 f(x) = c k?..................... .

82 4. סעיף 4. סדרות פונקציונליות והספק 4.2. שיעור 3 4.2. שיעור 3 4.2.. הרחבה של פונקציה לסדרת טיילור הגדרה 4.2.. תן לפונקציה y = f(x) להיות ניתנת להבדלה אינסופית בשכונה כלשהי

הרצאה 8 4 בעיית Sturm-Liouville שקול את בעיית ערך הגבול הראשוני עבור משוואה דיפרנציאלית חלקית מסדר שני המתארת ​​רעידות רוחביות קטנות של מיתר המיתר נחשב

משרד החינוך והמדע של הפדרציה הרוסית מוסד חינוכי תקציבי של המדינה הפדרלית לחינוך מקצועי גבוה "האוניברסיטה הטכנית של מדינת סמארה" המחלקה למתמטיקה שימושית

אינטגרביליות של פונקציה (לפי רימן) ואינטגרל מוגדר דוגמאות לפתרון בעיות 1. הפונקציה הקבועה f(x) = C ניתנת לשילוב ב , שכן עבור כל מחיצות וכל בחירה של נקודות ξ i האינטגרל

הנחיות מתודולוגיות למשימות חישוב בקורס מתמטיקה גבוהה יותר "סדרת משוואות דיפרנציאליות רגילות אינטגרלים כפולים" חלק נושא סדרת תוכן סדרה סדרת מספרים התכנסות והתבדלות

דרגות. סדרת מספרים. הגדרות בסיסיות ניתן לתת רצף אינסופי של מספרים. הביטוי (סכום אינסופי) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= נקרא סדרת מספרים. מספרים

תוכן מבוא. מושגי יסוד.... 4 1. משוואות האינטגרל של וולטרה... 5 אפשרויות שיעורי בית.... 8 2. רזולוציה של המשוואה האינטגרלית של וולטרה. 10 אפשרויות שיעורי בית.... 11

הרצאה 3 סדרת טיילור ומקלורין יישום של סדרות כוח הרחבת פונקציות לסדרות כוח טיילור ומקלורין סדרות עבור יישומים, חשוב להיות מסוגל להרחיב פונקציה נתונה לסדרת כוח, אותן פונקציות

35 7 סדרת פורייה טריגונומטרית סדרת פורייה לפונקציות מחזוריות עם תקופה T. תן f(x) להיות פונקציה מחזורית רציפה חלקית עם תקופה T. שקול את המערכת הטריגונומטרית הבסיסית

לאכול. ניתוח מתמטי של עפר. סדרה מספרית ופונקציונלית NOVOSIBIRSK 200 2 משרד החינוך והמדע של ה-RUSSIAN GOU VPO "האוניברסיטה הפדגוגית המדינתית של נובוסיבירסק" E.M. רודוי ניתוח מתמטי.

אני שנה, משימה. הוכח שפונקציית רימן, אם 0, m m R(), if, m, m 0, והשבר אינו ניתן לצמצום, 0, אם אי-רציונלי, הוא בלתי רציף בכל נקודה רציונלית ורציף בכל נקודה אי-רציונלית. פִּתָרוֹן.

1. אלקטרוסטטיקה 1 1. אלקטרוסטטיקה שיעור 6 הפרדת משתנים בקואורדינטות קרטזיות 1.1. (בעיה 1.49) המישור z = טעון בצפיפות σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), כאשר σ, α, β הם קבועים.

פרק חזקה סדרה a a a סדרה של הצורה a a a a a () נקראת סדרת חזקה, כאשר, a, הם קבועים הנקראים מקדמים של הסדרה. לפעמים נחשבת סדרת חזקה של צורה כללית יותר: a a(a) a(a) א(א)(), היכן

S A Lavrenchenko wwwwrckoru הרצאה טרנספורמציה פורייה הרעיון של טרנספורמציה אינטגרלית שיטת טרנספורמציות אינטגרליות היא אחת השיטות החזקות של הפיזיקה המתמטית ומהווה פתרון רב עוצמה

חשבון דיפרנציאלי מבוא לניתוח מתמטי מגבלת רצף ותפקוד. גילוי אי ודאויות בגבולות. נגזרת של פונקציה. כללי בידול. יישום של נגזרת

הרצאה N 7. סדרת כוח וסדרת טיילור.. סדרת כוח..... סדרת טיילור.... 4. הרחבה של כמה פונקציות אלמנטריות לסדרות טיילור ומקלורין.... 5 4. יישום של סדרות כוח... 7 .כוח

הפקולטה למטלורגית המחלקה למתמטיקה גבוהה דרגות הוראות מתודולוגיות נובוקוזנצק 5 הסוכנות הפדרלית לחינוך מוסד חינוכי ממלכתי להשכלה מקצועית גבוהה

9. אינטגרל אנטי נגזרת ובלתי מוגדר 9.. תינתן את הפונקציה f() במרווח I R. הפונקציה F () נקראת האנטי-נגזרת של הפונקציה f () במרווח I אם F () = f () עבור כל I, והאנטי-נגזרת

האוניברסיטה הממלכתית של מכון מוסקבה לפיזיקה וטכנולוגיה) O.V. Besov TRIGONOMETRIC FOURIER SERIES מדריך חינוכי ומתודולוגי מוסקבה, 004 חובר על ידי O.V. Besov UDC 517. סדרה טריגונומטרית

8. סדרת חזקה 8.. סדרה פונקציונלית בצורה c n (z) n, (8.) n= כאשר c n הוא רצף מספרי, R הוא מספר קבוע, ו- z R נקראת סדרת חזקה עם מקדמים c n . על ידי ביצוע שינוי של משתנים

המחלקה למתמטיקה ומדעי המחשב אלמנטים של מתמטיקה גבוהה מתחם חינוכי ומתודולוגי לתלמידי חינוך מקצועי תיכוני הלומדים באמצעות טכנולוגיות מרחוק מודול חשבון דיפרנציאלי מורכב על ידי:

1. אינטגרל מובהק 1.1. תן f להיות פונקציה מוגבלת המוגדרת על הקטע [, b] R. מחיצה של הקטע [, b] היא קבוצה של נקודות τ = (x, x 1,..., x n 1, x n) [, b ] כך ש = x< x 1 < < x n 1

שאלות ובעיות מודל למבחן הגמר בדיסציפלינה "ניתוח מתמטי" מתמטיקה שימושית בבחינה בעל פה התלמיד מקבל שתי שאלות תיאורטיות ושתי בעיות בסך הכל 66 שאלות בשנה

נושא מודול רצפים וסדרות פונקציונליות מאפיינים של התכנסות אחידה של רצפים וסדרות סדרת כוח הרצאה הגדרות של רצפים וסדרות פונקציונליות בצורה אחידה

~ ~ אינטגרלים בלתי מוגדרים ומוגדרים המושג של אינטגרל אנטי-נגזר ובלתי מוגדר. הגדרה: פונקציה F נקראת אנטי נגזרת של פונקציה f אם פונקציות אלו קשורות באופן הבא

משרד החינוך והמדע של הפדרציה הרוסית מוסד חינוכי תקציבי של המדינה הפדרלית להשכלה מקצועית גבוהה "האוניברסיטה התעשייתית הממלכתית של סיביר"

משוואות ריבועיות תוכן משוואות ריבועיות... 4. ולימוד משוואות ריבועיות... 4.. משוואה ריבועית עם מקדמים מספריים... 4.. לפתור ולחקור משוואות ריבועיות עבור

הכשרה צבאית ומרכז מדעי של חיל האוויר "האקדמיה הצבאית האווירית ע"ש פרופסור נ. אי. ז'וקובסקי וי. א. גאגרין" נ. ג. אפנדיקובה, י. נ. אומלצ'נקו, ג. ו. ריזאקוב, א. פ.מאטלי סאליסאמפלס.

הסוכנות הפדרלית לחינוך מוסד חינוך מדינתי להשכלה מקצועית גבוהה אוניברסיטת מוסקבה להנדסת מכשירים ואינפורמטיקה המחלקה להשכלה גבוהה

פרק 5. סדרת פורייה 5.. שיעור 5 5... הגדרות בסיסיות סדרה פונקציונלית בצורה a 2 + (a k cos x + b k si x) (5..) נקראת סדרה טריגונומטרית, המספרים a ו-b הם מקדמים טריגונומטריים

סדרת פורייה מערכות אורתוגונליות של פונקציות מנקודת מבט של אלגברה, השוויון שבו - פונקציות של מחלקה נתונה ו- מקדמים מ-R או C פירושו פשוט שהווקטור הוא שילוב ליניארי של וקטורים B

3724 סדרות מרובות ואינטגרלים עקום 1 תוכנית עבודה של סעיפים "סדרות מרובות ואינטגרלים עקום" 11 סדרת מספרים מושג סדרת מספרים מאפייני סדרת מספרים סימן הכרחי להתכנסות

בידול פונקציות של משתנה אחד מושג נגזרת, משמעותה הגיאומטרית והפיזיקלית בעיות המובילות למושג נגזרת קביעת הטנגנט S לישר y f (x) בנקודה A x; ו (

משוואות דיפרנציאליות 1. מושגי יסוד משוואה דיפרנציאלית לפונקציה מסוימת היא משוואה המחברת את הפונקציה הזו עם המשתנים הבלתי תלויים שלה ונגזרותיה.

משוואות דיפרנציאליות רגילות מהסדר הראשון מושגי יסוד משוואת דיפרנציאלית היא משוואה שבה מופיעה פונקציה לא ידועה מתחת לסימן הנגזרת או הדיפרנציאלי.

משוואות דיפרנציאליות מושגים כלליים למשוואות דיפרנציאליות יש יישומים רבים ומגוונים במכניקה, פיזיקה, אסטרונומיה, טכנולוגיה וענפים אחרים של מתמטיקה גבוהה יותר (לדוגמה

סדרה פונקציונלית סדרה פונקציונלית, הסכום והתחום שלה של פונקציונלי o תן רצף של פונקציות k בתחום Δ של מספרים ממשיים או מרוכבים (k 1 סדרה פונקציונלית נקראת

מערכות של פולינומים אורתוגונליים ויישומיהן א. צ'בישב - פולינומים הרמיטיים הערות מבוא כאשר פותרים בעיות רבות וחשובות של פיזיקה מתמטית, מכניקת קוונטים, פיזיקה תיאורטית, יש צורך

הרצאות שהוכנו על ידי פרופסור-משנה מוסינה MV הגדרה ביטוי הצורה סדרה מספרית ופונקציונלית סדרת מספרים: מושגי יסוד (), שבהם נקראים סדרת מספרים (או פשוט סדרה) מספרים, חברי הסדרה (תלויים

תהליכים רבים המתרחשים בטבע ובטכנולוגיה נוטים לחזור על עצמם במרווחי זמן מסוימים. תהליכים כאלה נקראים מחזוריים ומתוארים מתמטית על ידי פונקציות מחזוריות. פונקציות כאלה כוללות חטא(איקס) , חַסַת עָלִים(איקס) , חטא(wx), חַסַת עָלִים(wx) . סכום של שתי פונקציות מחזוריות, למשל, פונקציה של הצורה , באופן כללי, הוא כבר לא תקופתי. אבל ניתן להוכיח שאם היחס w 1 / w 2 הוא מספר רציונלי, אז הסכום הזה הוא פונקציה מחזורית.

התהליכים המחזוריים הפשוטים ביותר - תנודות הרמוניות - מתוארים על ידי פונקציות מחזוריות חטא(wx) ו חַסַת עָלִים(wx). תהליכים תקופתיים מורכבים יותר מתוארים על ידי פונקציות המורכבות ממספר סופי או אינסופי של איברים של הצורה חטא(wx) ו חַסַת עָלִים(wx).

3.2. סדרה טריגונומטרית. מקדמי פורייה

הבה נבחן סדרה פונקציונלית של הצורה:

סדרה זו נקראת טריגונומטרי; מספרים א 0 , ב 0 , א 1 , ב 1 ,א 2 , ב 2 …, א נ , ב נ ,… נקראים מקדמיםסדרה טריגונומטרית. סדרה (1) נכתבת לרוב באופן הבא:

. (2)

מאחר שלחברי הסדרה הטריגונומטרית (2) יש תקופה משותפת
, אז סכום הסדרה, אם הוא מתכנס, הוא גם פונקציה מחזורית עם נקודה
.

בואו נניח שהפונקציה ו(איקס) הוא הסכום של הסדרה הזו:

. (3)

במקרה זה אומרים שהפונקציה ו(איקס) מורחב לסדרה טריגונומטרית. בהנחה שסדרה זו מתכנסת באופן אחיד למרווח
, אתה יכול לקבוע את המקדמים שלו באמצעות הנוסחאות:

,
,
. (4)

המקדמים של הסדרה שנקבעו על ידי נוסחאות אלו נקראים מקדמי פורייה.

סדרה טריגונומטרית (2), המקדמים שלה נקבעים על ידי נוסחאות פורייה (4), נקראות ליד פורייה, המתאים לפונקציה ו(איקס).

לפיכך, אם פונקציה תקופתית ו(איקס) הוא סכום של סדרה טריגונומטרית מתכנסת, אז סדרה זו היא סדרת הפורייה שלה.

3.3. התכנסות של סדרת פורייה

נוסחאות (4) מראות שניתן לחשב את מקדמי פורייה עבור כל אינטגרביל במרווח

-פונקציה מחזורית, כלומר. עבור פונקציה כזו אתה תמיד יכול לבנות סדרת פורייה. אבל האם הסדרה הזו תתכנס לפונקציה ו(איקס) ובאילו תנאים?

נזכיר כי הפונקציה ו(איקס), מוגדר על הקטע [ א; ב] , נקרא חלק חלקי אם יש לו ולנגזרת שלו לא יותר ממספר סופי של נקודות אי-רציפות מהסוג הראשון.

המשפט הבא נותן תנאים מספיקים לאפשרות הפירוק של פונקציה בסדרת פורייה.

משפט דיריכלט. לתת
-פונקציה תקופתית ו(איקס) הוא חלק חלק על
. ואז סדרת הפורייה שלה מתכנסת ל ו(איקס) בכל אחת מנקודות ההמשכיות שלה ולערך 0,5(ו(איקס+0)+ ו(איקס-0)) בנקודת השבירה.

דוגמה 1.

הרחב את הפונקציה לסדרת פורייה ו(איקס)= איקס, שצוין במרווח
.

פִּתָרוֹן.פונקציה זו עומדת בתנאי Dirichlet ולכן ניתן להרחיב אותה בסדרת פורייה. שימוש בנוסחאות (4) ובשיטת האינטגרציה לפי חלקים
, נמצא את מקדמי פורייה:

לפיכך, סדרת פורייה עבור הפונקציה ו(איקס) יש מבט.

משרד החינוך הכללי והמקצועי

אוניברסיטת מדינת סוצ'י לתיירות

ועסקי נופש

מכון פדגוגי

הפקולטה למתמטיקה

המחלקה למתמטיקה כללית

עבודת בוגרים

סדרות פורייה והיישומים שלהן

בפיזיקה מתמטית.

הושלם על ידי: סטודנט שנה ה'

חתימה של חינוך במשרה מלאה

מומחיות 010100

"מָתֵימָטִיקָה"

קספרובה נ.ס.

מספר תעודת סטודנט 95471

מנחה מדעי: פרופסור חבר, מועמד.

חתימה טכנית מדעים

פוזין פ.א.

סוצ'י, 2000

1. הקדמה.

2. הרעיון של סדרת פורייה.

2.1. קביעת מקדמי סדרת פורייה.

2.2. אינטגרלים של פונקציות תקופתיות.

3. סימני התכנסות של סדרות פורייה.

3.1. דוגמאות להרחבת פונקציות בסדרת פורייה.

4. הערה על הרחבת סדרת פורייה של פונקציה מחזורית

5. סדרת פורייה לפונקציות זוגיות ואי-זוגיות.

6. סדרת פורייה לפונקציות עם תקופה 2 ל .

7. הרחבת סדרת פורייה של פונקציה לא מחזורית.

מבוא.

ז'אן בפטיסט ג'וזף פורייה - מתמטיקאי צרפתי, חבר האקדמיה למדעים של פריז (1817).

העבודות הראשונות של פורייה קשורות לאלגברה. כבר בהרצאות משנת 1796, הוא הציג משפט על מספר השורשים האמיתיים של משוואה אלגברית הנמצאת בין גבולות נתונים (שפורסם ב-1820), הנקראת על שמו; פתרון מלא למספר השורשים האמיתיים של משוואה אלגברית הושג בשנת 1829 על ידי J.S.F. בתקיפה. בשנת 1818 חקר פורייה את שאלת התנאים ליישום שיטת הפתרון המספרי של משוואות שפיתח ניוטון, מבלי לדעת על תוצאות דומות שהושגו בשנת 1768 על ידי המתמטיקאי הצרפתי J.R. מוריילם. התוצאה של עבודתו של פורייה על שיטות מספריות לפתרון משוואות היא "ניתוח משוואות מוגדרות", שפורסם לאחר מותו ב-1831.

תחום המחקר העיקרי של פורייה היה פיזיקה מתמטית. בשנים 1807 ו-1811 הוא הציג את תגליותיו הראשונות על תיאוריית התפשטות החום במוצקים בפני האקדמיה למדעים של פריז, ובשנת 1822 פרסם את העבודה המפורסמת "תיאוריה אנליטית של חום", שמילאה תפקיד מרכזי בהיסטוריה שלאחר מכן של מָתֵימָטִיקָה. זוהי התיאוריה המתמטית של מוליכות תרמית. בשל כלליות השיטה, ספר זה הפך למקור של כל השיטות המודרניות של הפיזיקה המתמטית. בעבודה זו, פורייה גזר את המשוואה הדיפרנציאלית של מוליכות תרמית ופיתח את הרעיונות שהותוו קודם לכן על ידי ד' ברנולי; הוא פיתח שיטה להפרדת משתנים (שיטת פורייה) כדי לפתור את משוואת החום בתנאי גבול נתונים מסוימים, אותה יישם על א. מספר מקרים מיוחדים (קוביה, צילינדר וכו'). שיטה זו מבוססת על ייצוג של פונקציות על ידי סדרת פורייה טריגונומטרית.

סדרות פורייה הפכו כעת לכלי מפותח בתיאוריה של משוואות דיפרנציאליות חלקיות לפתרון בעיות ערכי גבול.

1. הרעיון של סדרת פורייה.(עמ' 94, אוורנקוב)

לסדרות פורייה תפקיד חשוב בפיזיקה מתמטית, תורת האלסטיות, הנדסת חשמל, ובעיקר במקרה המיוחד שלהן - סדרות פורייה טריגונומטריות.

סדרה טריגונומטרית היא סדרה של הצורה

או, באופן סמלי:

(1)

כאשר ω, a 0, a 1, …, a n, …, b 0, b 1, …, b n, … הם מספרים קבועים (ω>0).

מבחינה היסטורית, בעיות מסוימות בפיזיקה הובילו לחקר סדרות כאלה, למשל, בעיית תנודות המיתרים (המאה ה-18), בעיית הסדירות בתופעות של הולכת חום וכו'. ביישומים, התחשבות בסדרות טריגונומטריות , קשורה בעיקר למשימה של ייצוג תנועה נתונה, המתוארת על ידי המשוואה y = ƒ(χ), ב

צורה של סכום התנודות ההרמוניות הפשוטות ביותר, לעתים קרובות נלקחות ללא סוף מספר גדול, כלומר, כסכום של סדרה של הצורה (1).

לפיכך, אנו מגיעים לבעיה הבאה: לגלות האם עבור פונקציה נתונה ƒ(x) במרווח נתון קיימת סדרה (1) שתתכנס במרווח זה לפונקציה זו. אם זה אפשרי, אז הם אומרים שבמרווח הזה הפונקציה ƒ(x) מורחבת לסדרה טריגונומטרית.

סדרה (1) מתכנסת בנקודה כלשהי x 0, עקב המחזוריות של הפונקציות

(n=1,2,..), יתברר שהוא מתכנס בכל נקודות הצורה (m הוא כל מספר שלם), וכך יהיה הסכום שלו S(x) (באזור ההתכנסות של הסדרה ) פונקציה מחזורית: אם S n ( x) – חלקי nהסכום של הסדרה הזו, אז יש לנו

ולכן

, כלומר S(x 0 +T)=S(x 0). לכן, אם מדברים על הרחבה של פונקציה כלשהי ƒ(x) לסדרה של הצורה (1), נניח ש-ƒ(x) היא פונקציה מחזורית.

2. קביעת מקדמי סדרות באמצעות נוסחאות פורייה.

תן לפונקציה מחזורית ƒ(x) עם תקופה 2π להיות כזו שהיא מיוצגת על ידי סדרה טריגונומטרית המתכנסת לפונקציה נתונה במרווח (-π, π), כלומר, היא הסכום של סדרה זו:

. (2)

הבה נניח שהאינטגרל של הפונקציה בצד שמאל של שוויון זה שווה לסכום האינטגרלים של האיברים של סדרה זו. זה יהיה נכון אם נניח שסדרת המספרים המורכבת מהמקדמים של סדרה טריגונומטרית נתונה היא מתכנסת לחלוטין, כלומר, סדרת המספרים החיובית מתכנסת

(3)

סדרה (1) ניתנת לגדול וניתן לשלב אותה מונח אחר איבר במרווח (-π, π). בואו נשלב את שני הצדדים של השוויון (2):

.

הבה נעריך בנפרד כל אינטגרל המופיע בצד ימין:

, , .

לכן,

, איפה . (4)

אומדן מקדמי פורייה.(בוגרוב)

משפט 1. תן לפונקציה ƒ(x) של תקופה 2π נגזרת רציפה ƒ ( s) (x) סדר s, מספק את אי השוויון בכל הציר האמיתי:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

ואז מקדמי פורייה של הפונקציה ƒ לספק את אי השוויון

(6)

הוכחה. שילוב לפי חלקים ולקחת בחשבון

ƒ(-π) = ƒ(π), יש לנו

שילוב צד ימין(7) באופן עקבי, תוך התחשבות בכך שהנגזרות ƒ ΄, …, ƒ (s-1) הן רציפות ולוקחות את אותם ערכים בנקודות t = -π ו-t = π, כמו גם אומדן (5), אנו מקבלים את האומדן הראשון (6).

האומדן השני (6) מתקבל באופן דומה.

משפט 2. עבור מקדמי פורייה ƒ(x) מתקיים אי השוויון הבא:

(8)

הוכחה. יש לנו

סדרת פורייה של פונקציות מחזוריות עם תקופה 2π.

סדרת פורייה מאפשרת לנו ללמוד פונקציות תקופתיות על ידי פירוקן לרכיבים. זרמים ומתחים מתחלפים, תזוזות, מהירות ותאוצה של מנגנוני ארכובה וגלים אקוסטיים הם אופייניים דוגמאות מעשיותיישום של פונקציות תקופתיות בחישובים הנדסיים.

הרחבת סדרת פורייה מבוססת על ההנחה שכל הפונקציות בעלות משמעות מעשית במרווח -π ≤x≤ π ניתנות לביטוי בצורה של סדרה טריגונומטרית מתכנסת (סדרה נחשבת מתכנסת אם רצף הסכומים החלקיים המורכב ממונחיה מתכנס):

סימון סטנדרטי (=רגיל) דרך הסכום של sinx ו-cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

כאשר a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. הם קבועים ממשיים, כלומר.

כאשר, עבור הטווח שבין -π ל-π, המקדמים של סדרת פורייה מחושבים באמצעות הנוסחאות:

המקדמים a o , a n ו- b n נקראים מקדמי פורייה, ואם ניתן למצוא אותם, אז סדרה (1) נקראת ליד פורייה,המתאימה לפונקציה f(x). עבור סדרה (1), המונח (a 1 cosx+b 1 sinx) נקרא הראשון או הרמונית בסיסית,

דרך נוספת לכתוב סדרה היא להשתמש ביחס acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

כאשר a o הוא קבוע, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 הם המשרעות של הרכיבים השונים, והוא שווה ל-a n =arctg a n /b n.

עבור סדרה (1), המונח (a 1 cosx+b 1 sinx) או c 1 sin(x+α 1) נקרא הראשון או הרמונית בסיסית,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) או c 2 sin(2x+α 2) נקרא הרמוניה שנייהוכולי.

לייצוג מדויק אות מורכבבדרך כלל נדרש מספר אינסופי של חברים. עם זאת, ברבים בעיות מעשיותדי לשקול רק את המונחים הראשונים.

סדרת פורייה של פונקציות לא מחזוריות עם תקופה 2π.

הרחבה של פונקציות לא מחזוריות.

אם הפונקציה f(x) אינה מחזורית, זה אומר שלא ניתן להרחיב אותה לסדרת פורייה עבור כל הערכים של x. עם זאת, ניתן להגדיר סדרת פורייה המייצגת פונקציה בכל טווח של רוחב 2π.

בהינתן פונקציה לא מחזורית, ניתן לבנות פונקציה חדשה על ידי בחירת ערכים של f(x) בטווח מסוים וחזרה עליהם מחוץ לטווח זה במרווחים של 2π. מכיוון שהפונקציה החדשה היא תקופתית עם תקופה 2π, ניתן להרחיב אותה לסדרת פורייה עבור כל הערכים של x. לדוגמה, הפונקציה f(x)=x אינה מחזורית. עם זאת, אם יש צורך להרחיב אותה לסדרת פורייה במרווח מ-o ל-2π, אז מחוץ למרווח הזה נבנית פונקציה מחזורית עם תקופה של 2π (כמתואר באיור למטה).

עבור פונקציות לא מחזוריות כגון f(x)=x, הסכום של סדרת פורייה שווה לערך f(x) בכל הנקודות בטווח נתון, אך הוא אינו שווה ל-f(x) עבור נקודות מחוץ לטווח. כדי למצוא את סדרת פורייה של פונקציה לא מחזורית בטווח 2π, משתמשים באותה נוסחה של מקדמי פורייה.

פונקציות זוגיות ומשונות.

הם אומרים את הפונקציה y=f(x) אֲפִילוּ, אם f(-x)=f(x) עבור כל הערכים של x. גרפים של פונקציות זוגיות הם תמיד סימטריים על ציר ה-y (כלומר, הם תמונות מראה). שתי דוגמאות לפונקציות זוגיות: y=x2 ו-y=cosx.

אומרים שהפונקציה y=f(x) מוזר,אם f(-x)=-f(x) עבור כל הערכים של x. גרפים של פונקציות אי-זוגיות הם תמיד סימטריים לגבי המקור.

פונקציות רבות אינן זוגיות ואינן מוזרות.

הרחבת סדרת פורייה בקוסינוסים.

סדרת פורייה של פונקציה מחזורית זוגית f(x) עם תקופה 2π מכילה רק איברי קוסינוס (כלומר, ללא איברי סינוס) ועשויה לכלול איבר קבוע. לָכֵן,

איפה המקדמים של סדרת פורייה,

סדרת פורייה של פונקציה מחזורית אי זוגית f(x) עם תקופה 2π מכילה רק איברים עם סינוסים (כלומר, היא לא מכילה איברים עם קוסינוס).

לָכֵן,

איפה המקדמים של סדרת פורייה,

סדרת פורייה בחצי מחזור.

אם פונקציה מוגדרת לטווח, נניח מ-0 עד π, ולא רק מ-0 ל-2π, ניתן להרחיב אותה בסדרה רק בסינוסים או רק בקוסינוס. סדרת פורייה שהתקבלה נקראת ליד פורייה בחצי מחזור.

אם אתה רוצה לקבל את הפירוק חצי מחזור פורייה על ידי קוסינוספונקציות f(x) בטווח שבין 0 ל-π, אז יש צורך לבנות פונקציה מחזורית זוגית. באיור. להלן הפונקציה f(x)=x, הבנויה על המרווח מ-x=0 עד x=π. מכיוון שהפונקציה הזוגית היא סימטרית על ציר f(x), אנו מציירים קו AB, כפי שמוצג באיור. לְהַלָן. אם נניח שמחוץ למרווח הנחשב הצורה המשולשת המתקבלת היא תקופתית עם תקופה של 2π, אז הגרף הסופי נראה כך: באיור. לְהַלָן. מכיוון שאנו צריכים לקבל את הרחבת פורייה בקוסינוסים, כמו קודם, אנו מחשבים את מקדמי פורייה a o ו- n

אם אתה צריך לקבל הרחבת סינוס של חצי מחזור פורייהפונקציות f(x) בטווח שבין 0 ל-π, אז יש צורך לבנות פונקציה מחזורית אי זוגית. באיור. להלן הפונקציה f(x)=x, הבנויה על המרווח מ-x=0 עד x=π. מכיוון שהפונקציה האי זוגית היא סימטרית לגבי המקור, אנו בונים את תקליטור הקו, כפי שמוצג באיור. אם נניח שמחוץ למרווח הנחשב אות שן המסור המתקבל הוא תקופתי עם תקופה של 2π, אזי לגרף הסופי יש את הצורה המוצגת באיור. מכיוון שאנו צריכים לקבל את הרחבת הפורייה של חצי המחזור במונחים של סינוסים, כמו קודם, אנו מחשבים את מקדם הפורייה. ב

סדרת פורייה למרווח שרירותי.

הרחבה של פונקציה מחזורית עם תקופה L.

הפונקציה המחזורית f(x) חוזרת כאשר x גדל ב-L, כלומר. f(x+L)=f(x). המעבר מהפונקציות שנחשבו בעבר עם תקופה של 2π לפונקציות עם תקופה של L הוא די פשוט, מכיוון שניתן לעשות זאת באמצעות שינוי של משתנה.

כדי למצוא את סדרת פורייה של הפונקציה f(x) בטווח -L/2≤x≤L/2, אנו מציגים משתנה חדש u כך שלפונקציה f(x) יש תקופה של 2π ביחס ל-u. אם u=2πx/L, אז x=-L/2 עבור u=-π ו-x=L/2 עבור u=π. תן גם f(x)=f(Lu/2π)=F(u). לסדרת פורייה F(u) יש את הצורה

(ניתן להחליף את גבולות האינטגרציה בכל מרווח באורך L, למשל, מ-0 עד L)

סדרת פורייה על חצי מחזור עבור פונקציות המצוינות במרווח L≠2π.

עבור ההחלפה u=πх/L, המרווח מ-x=0 ל-x=L מתאים למרווח מ-u=0 ל-u=π. כתוצאה מכך, ניתן להרחיב את הפונקציה לסדרה רק בקוסינוס או רק בסינוסים, כלומר. V סדרת פורייה בחצי מחזור.

להתרחבות הקוסינוס בטווח מ-0 ל-L יש את הצורה