Pirmas lygis

Laipsnis ir jo savybės. Išsamus vadovas (2019)

Kam reikalingi laipsniai? Kur tau jų prireiks? Kodėl turėtumėte skirti laiko jų studijoms?

Norėdami sužinoti viską apie laipsnius, kam jie skirti, kaip panaudoti savo žinias Kasdienybė perskaitykite šį straipsnį.

Ir, žinoma, laipsnių žinios priartins sėkmingas užbaigimas OGE arba vieningas valstybinis egzaminas ir priėmimas į savo svajonių universitetą.

Eime... (Eime!)

Svarbi pastaba! Jei vietoj formulių matote gobbledygook, išvalykite talpyklą. Norėdami tai padaryti, paspauskite CTRL+F5 („Windows“) arba Cmd+R („Mac“).

PIRMAS LYGIS

Eksponentiškumas yra matematinė operacija, kaip ir sudėtis, atimtis, daugyba ar padalijimas.

Dabar aš viską labai paaiškinsiu žmonių kalba paprasti pavyzdžiai. Būk atsargus. Pavyzdžiai elementarūs, bet paaiškina svarbius dalykus.

Pradėkime nuo papildymo.

Nėra čia ką aiškinti. Tu jau viską žinai: mūsų yra aštuoni. Kiekvienas turi du butelius kolos. Kiek yra kolos? Teisingai – 16 butelių.

Dabar daugyba.

Tą patį pavyzdį su kola galima parašyti skirtingai: . Matematikai yra gudrūs ir tingūs žmonės. Pirmiausia jie pastebi kai kuriuos modelius, o tada sugalvoja, kaip juos greičiau „suskaičiuoti“. Mūsų atveju jie pastebėjo, kad kiekvienas iš aštuonių žmonių turėjo tiek pat kolos butelių, ir sugalvojo techniką, vadinamą daugyba. Sutikite, manoma, kad tai lengviau ir greičiau nei.

Taigi, norint suskaičiuoti greičiau, lengviau ir be klaidų, tereikia atsiminti daugybos lentelę. Žinoma, viską galima daryti lėčiau, sunkiau ir su klaidomis! Bet…

Čia yra daugybos lentelė. Pakartokite.

Ir dar vienas gražesnis:

Kokių dar protingų skaičiavimo gudrybių sugalvojo tingūs matematikai? Teisingai - skaičiaus pakėlimas į laipsnį.

Skaičiaus pakėlimas į laipsnį

Jei jums reikia skaičių padauginti iš savęs penkis kartus, tada matematikai sako, kad jums reikia pakelti šį skaičių iki penktos laipsnio. Pavyzdžiui, . Matematikai prisimena, kad nuo dviejų iki penktos laipsnio yra... Ir tokias problemas jie išsprendžia savo galvose – greičiau, lengviau ir be klaidų.

Viskas, ką jums reikia padaryti, tai prisiminkite, kas skaičių galių lentelėje paryškinta spalva. Patikėkite, tai labai palengvins jūsų gyvenimą.

Beje, kodėl jis vadinamas antruoju laipsniu? kvadratas skaičiai, o trečias - kubas? Ką tai reiškia? Labai geras klausimas. Dabar turėsite ir kvadratų, ir kubelių.

1 pavyzdys realiame gyvenime

Pradėkime nuo kvadrato arba antrosios skaičiaus laipsnio.

Įsivaizduokite kvadratinį baseiną, kurio matmenys vienas metras ir vienas metras. Baseinas yra jūsų vasarnamyje. Karšta ir aš labai noriu maudytis. Bet... baseinas neturi dugno! Baseino dugną reikia iškloti plytelėmis. Kiek plytelių jums reikia? Norėdami tai nustatyti, turite žinoti baseino dugno plotą.

Rodydami pirštu galite tiesiog apskaičiuoti, kad baseino dugną sudaro metras po metro kubeliai. Jei turite plyteles po vieną metrą, jums reikės vienetų. Tai lengva... Bet kur jūs matėte tokias plyteles? Plytelė greičiausiai bus cm po cm. Ir tada jus kankins „skaičiuojant pirštu“. Tada reikia daugintis. Taigi, vienoje baseino dugno pusėje klijuosime plyteles (gabalėlius), o kitoje – taip pat plyteles. Padauginkite iš ir gausite plyteles ().

Ar pastebėjote, kad norėdami nustatyti baseino dugno plotą, tą patį skaičių padauginome iš savęs? Ką tai reiškia? Kadangi dauginame tą patį skaičių, galime naudoti „eksponentavimo“ techniką. (Žinoma, kai turi tik du skaičius, vis tiek reikia juos padauginti arba pakelti į laipsnį. Bet jei jų turi daug, tai pakelti į laipsnį yra daug lengviau, be to, skaičiavimuose pasitaiko mažiau klaidų . Vieningam valstybiniam egzaminui tai labai svarbu).
Taigi, nuo trisdešimties iki antros galios bus (). Arba galime sakyti, kad bus trisdešimt kvadratų. Kitaip tariant, antrąją skaičiaus laipsnį visada galima pavaizduoti kaip kvadratą. Ir atvirkščiai, jei matote kvadratą, tai VISADA yra antroji kokio nors skaičiaus laipsnė. Kvadratas yra antrosios skaičiaus laipsnio vaizdas.

2 realaus gyvenimo pavyzdys

Štai jums užduotis: suskaičiuokite, kiek langelių yra šachmatų lentoje, naudodami skaičiaus kvadratą... Vienoje langelių pusėje ir kitoje. Norint suskaičiuoti jų skaičių, reikia aštuonis padauginti iš aštuonių arba... jei tai pastebėsite Šachmatų lenta- tai kvadratas su kraštine, tada galite kvadratu aštuoni. Jūs gausite ląstelių. () Taigi?

3 pavyzdys realiame gyvenime

Dabar kubas arba trečioji skaičiaus laipsnis. Tas pats baseinas. Tačiau dabar reikia išsiaiškinti, kiek vandens teks įpilti į šį baseiną. Reikia apskaičiuoti tūrį. (Beje, tūriai ir skysčiai matuojami kubiniai metrai. Netikėta, tiesa?) Nupieškite baseiną: metro dugną ir metro gylį ir pabandykite suskaičiuoti, kiek kubelių, kurių matmenys metras ir metras, tilps į jūsų baseiną.

Tiesiog parodyk pirštu ir skaičiuok! Vienas, du, trys, keturi...dvidešimt du, dvidešimt trys...Kiek gavote? Nepametėte? Ar sunku suskaičiuoti pirštu? Taigi tai! Paimkite pavyzdį iš matematikų. Jie yra tinginiai, todėl pastebėjo, kad norint apskaičiuoti baseino tūrį, reikia padauginti jo ilgį, plotį ir aukštį vieną iš kito. Mūsų atveju baseino tūris bus lygus kubeliams... Lengviau, ar ne?

Dabar įsivaizduokite, kokie tingūs ir gudrūs yra matematikai, jei jie taip pat supaprastintų. Viską sumažinome iki vieno veiksmo. Jie pastebėjo, kad ilgis, plotis ir aukštis yra lygūs ir kad tas pats skaičius dauginamas iš savęs... Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad galite pasinaudoti laipsniu. Taigi, ką kartą suskaičiavote pirštu, jie padaro vienu veiksmu: trys kubeliai yra lygūs. Parašyta taip: .

Viskas, kas lieka, yra prisimink laipsnių lentelę. Nebent, žinoma, esate toks pat tingus ir gudrus kaip matematikai. Jei mėgstate sunkiai dirbti ir klysti, galite ir toliau skaičiuoti pirštu.

Na, o kad pagaliau jus įtikintumėte, jog laipsnius sugalvojo metantys rūmus ir gudrūs žmonės, norėdami išspręsti savo gyvenimo problemas, o ne sukurti problemų jums, pateikiame dar porą pavyzdžių iš gyvenimo.

4 realaus gyvenimo pavyzdys

Jūs turite milijoną rublių. Kiekvienų metų pradžioje už kiekvieną uždirbtą milijoną uždirbate dar vieną milijoną. Tai yra, kiekvienas jūsų turimas milijonas kiekvienų metų pradžioje padvigubėja. Kiek pinigų turėsite po metų? Jei dabar sėdi ir „skaičiuoji pirštu“, vadinasi, esi labai darbštus žmogus ir... kvailas. Bet greičiausiai atsakymą pateiksite per porą sekundžių, nes esate protingas! Taigi, pirmaisiais metais - du padauginti iš dviejų... antraisiais - kas atsitiko, dar iš dviejų, trečiais... Stop! Pastebėjote, kad skaičius padauginamas iš karto. Taigi nuo dviejų iki penktos galios yra milijonas! Dabar įsivaizduokite, kad turite konkursą ir tas, kuris gali skaičiuoti greičiausiai, gaus šiuos milijonus... Verta prisiminti skaičių galias, ar nemanote?

5 pavyzdys realiame gyvenime

Tu turi milijoną. Kiekvienų metų pradžioje už kiekvieną uždirbtą milijoną uždirbate dar du. Puiku, ar ne? Kiekvienas milijonas patrigubinamas. Kiek pinigų turėsi per metus? Suskaičiuokime. Pirmi metai - dauginkite iš, paskui rezultatas iš kitų... Jau nuobodu, nes jau viską supratai: trys padauginami iš savęs kartų. Taigi ketvirtajai laipsniai jis lygus milijonui. Tik reikia atsiminti, kad nuo trijų iki ketvirtos galios yra arba.

Dabar žinote, kad padidinę skaičių iki galios labai palengvinsite savo gyvenimą. Pažvelkime toliau, ką galite padaryti su laipsniais ir ką apie juos reikia žinoti.

Sąvokos ir sąvokos... kad nesusipainiotumėte

Taigi, pirmiausia apibrėžkime sąvokas. Ką tu manai, kas yra eksponentas? Tai labai paprasta – tai skaičius, kuris yra skaičiaus galios „viršuje“. Ne mokslinis, bet aiškus ir lengvai įsimenamas...

Na, tuo pačiu ir ką toks laipsnio pagrindas? Dar paprasčiau - tai numeris, esantis apačioje, prie pagrindo.

Štai geras brėžinys.

Gerai viduje bendras vaizdas, siekiant apibendrinti ir geriau atsiminti... Laipsnis su baze " " ir rodikliu " " yra skaitomas kaip "laipsnis" ir rašomas taip:

Skaičiaus su natūraliuoju rodikliu galia

Tikriausiai jau atspėjote: nes eksponentas yra natūralusis skaičius. Taip, bet kas tai yra natūralusis skaičius? Elementaru! Natūralūs skaičiai – tai tie skaičiai, kurie naudojami skaičiuojant surašant objektus: vienas, du, trys... Skaičiuodami objektus nesakome: „minus penki“, „minus šeši“, „minus septyni“. Taip pat nesakome: „trečdalis“ arba „nulis penkių taškų“. Tai nėra natūralūs skaičiai. Kaip manote, kokie tai skaičiai?

Tokie skaičiai kaip „minus penki“, „minus šeši“, „minus septyni“. Sveiki skaičiai. Apskritai sveikieji skaičiai apima visus natūraliuosius skaičius, skaičius, priešingus natūraliems skaičiams (tai yra, paimtus su minuso ženklu) ir skaičių. Nulį lengva suprasti – tai tada, kai nieko nėra. Ką reiškia neigiami („minuso“) skaičiai? Tačiau jie buvo išrasti pirmiausia norėdami nurodyti skolas: jei telefone turite likutį rubliais, tai reiškia, kad esate skolingas operatoriui rublių.

Visos trupmenos yra racionalūs numeriai. Kaip manote, kaip jie atsirado? Labai paprasta. Prieš kelis tūkstančius metų mūsų protėviai atrado, kad jiems trūksta natūralių skaičių ilgiui, svoriui, plotui ir kt. Ir jie sugalvojo racionalūs numeriai... Įdomu, ar ne?

Yra ir neracionalių skaičių. Kokie tai skaičiai? Trumpai tariant, be galo dešimtainis. Pavyzdžiui, padalijus apskritimo perimetrą iš jo skersmens, gausite neracionalų skaičių.

Santrauka:

Apibrėžkime laipsnio, kurio eksponentas yra natūralusis skaičius (ty sveikasis skaičius ir teigiamas), sąvoką.

Bet kuris skaičius iki pirmosios laipsnio yra lygus sau pačiam:
Skaičiaus kvadratas reiškia jį padauginti iš savęs:
Sudaryti skaičių kubu reiškia jį padauginti iš savęs tris kartus:

Apibrėžimas. Padidinti skaičių iki natūralios laipsnio reiškia skaičių padauginti iš karto:
.

Laipsnių savybės

Iš kur atsirado šios savybės? Aš tau parodysiu dabar.

Pažiūrėkime: kas tai yra Ir ?

A prioritetas:

Kiek daugiklių iš viso yra?

Tai labai paprasta: prie faktorių pridėjome daugiklius, o rezultatas yra daugikliai.

Tačiau pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus su laipsniu laipsnis, tai yra: , ką reikėjo įrodyti.

Pavyzdys: Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas:

Pavyzdys: Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas: Svarbu pažymėti, kad mūsų taisyklėje Būtinai turi būti tos pačios priežastys!
Todėl mes deriname galias su baze, tačiau tai lieka atskiras veiksnys:

tik galių sandaugai!

Jokiu būdu negalite to rašyti.

2. štai ir viskas skaičiaus laipsnis

Kaip ir su ankstesne savybe, pereikime prie laipsnio apibrėžimo:

Pasirodo, išraiška padauginama iš savęs kartų, tai yra, pagal apibrėžimą, tai yra skaičiaus laipsnis:

Iš esmės tai galima pavadinti „indikatoriaus išėmimu iš skliaustų“. Bet jūs niekada negalite to padaryti iš viso:

Prisiminkime sutrumpintas daugybos formules: kiek kartų norėjome parašyti?

Bet tai juk netiesa.

Galia su neigiama baze

Iki šiol mes tik aptarėme, koks turėtų būti eksponentas.

Bet kas turėtų būti pagrindas?

Galiomis natūralus rodiklis pagrindas gali būti bet koks skaičius. Iš tiesų, bet kokius skaičius galime padauginti vienas iš kito, nesvarbu, ar jie teigiami, neigiami ar net.

Pagalvokime, kurie ženklai ("" arba "") turės teigiamų ir neigiamų skaičių laipsnius?

Pavyzdžiui, ar skaičius yra teigiamas ar neigiamas? A? ? Su pirmuoju viskas aišku: kad ir kiek teigiamų skaičių padaugintume vienas iš kito, rezultatas bus teigiamas.

Tačiau neigiami dalykai yra šiek tiek įdomesni. Mes prisimename paprastą taisyklę nuo 6 klasės: „minusas už minusą suteikia pliusą“. Tai yra arba. Bet jei padauginsime iš, tai veikia.

Pats nustatykite, kokį ženklą turės šie posakiai:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Ar susitvarkei?

Štai atsakymai: pirmuose keturiuose pavyzdžiuose, tikiuosi, viskas aišku? Tiesiog žiūrime į bazę ir rodiklį ir taikome atitinkamą taisyklę.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

5 pavyzdyje) viskas taip pat nėra taip baisu, kaip atrodo: juk nesvarbu, kam lygi bazė - laipsnis yra lygus, o tai reiškia, kad rezultatas visada bus teigiamas.

Na, nebent kai bazė lygi nuliui. Bazė nelygi, ar ne? Akivaizdu, kad ne, nes (nes).

6 pavyzdys) nebėra toks paprastas!

6 praktikos pavyzdžiai

Sprendimo analizė 6 pavyzdžiai

Jei nepaisysime aštuntosios galios, ką čia pamatysime? Prisiminkime 7 klasės programą. Taigi, ar prisimeni? Tai yra sutrumpinto daugybos formulė, būtent kvadratų skirtumas! Mes gauname:

Atidžiai pažiūrėkime į vardiklį. Tai labai panašu į vieną iš skaitiklio veiksnių, bet kas negerai? Sąlygų tvarka neteisinga. Jei jie būtų pakeisti, taisyklė galėtų būti taikoma.

Bet kaip tai padaryti? Pasirodo, tai labai paprasta: čia mums padeda lygus vardiklio laipsnis.

Stebuklingai terminai pasikeitė vietomis. Šis „reiškinys“ tolygiai taikomas bet kuriai išraiškai: skliausteliuose esančius ženklus galime lengvai pakeisti.

Tačiau svarbu atsiminti: visi ženklai keičiasi vienu metu!

Grįžkime prie pavyzdžio:

Ir vėl formulė:

Visas vadiname natūraliuosius skaičius, jų priešingybes (tai yra paimtus su " " ženklu) ir skaičiumi.

teigiamas sveikasis skaičius, ir tai niekuo nesiskiria nuo natūralaus, tada viskas atrodo lygiai taip pat, kaip ankstesniame skyriuje.

Dabar pažvelkime į naujus atvejus. Pradėkime nuo rodiklio, lygaus.

Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui:

Kaip visada, paklauskime savęs: kodėl taip yra?

Panagrinėkime tam tikrą laipsnį su pagrindu. Paimkite, pavyzdžiui, ir padauginkite iš:

Taigi, padauginome skaičių iš ir gavome tą patį, kas buvo - . Iš kokio skaičiaus padauginti, kad niekas nepasikeistų? Teisingai, toliau. Reiškia.

Tą patį galime padaryti su savavališku skaičiumi:

Pakartokime taisyklę:

Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui.

Tačiau iš daugelio taisyklių yra išimčių. Ir čia taip pat yra - tai yra skaičius (kaip pagrindas).

Viena vertus, jis turi būti lygus bet kuriam laipsniui – kad ir kiek padaugintumėte nulį iš savęs, vis tiek gausite nulį, aišku. Tačiau, kita vertus, kaip ir bet kuris skaičius nuliniam laipsniui, jis turi būti lygus. Taigi, kiek tame yra tiesa? Matematikai nusprendė nesikišti ir atsisakė kelti nulį iki nulinės galios. Tai yra, dabar negalime ne tik dalyti iš nulio, bet ir pakelti iki nulinės galios.

Eikime toliau. Be natūraliųjų skaičių ir skaičių, sveikieji skaičiai taip pat apima neigiamus skaičius. Kad suprastume, kas yra neigiama galia, darykime taip, kaip praeitą kartą: padauginkite kokį nors normalų skaičių iš to paties skaičiaus iki neigiamo laipsnio:

Iš čia lengva išreikšti tai, ko ieškote:

Dabar išplėskime gautą taisyklę iki savavališko laipsnio:

Taigi, suformuluokime taisyklę:

Skaičius su neigiama galia yra to paties skaičiaus su teigiamu laipsniu atvirkštinė vertė. Bet tuo pačiu Bazė negali būti nulinė:(nes negalima dalyti iš).

Apibendrinkime:

I. Išraiška byloje neapibrėžta. Jei tada.

II. Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui: .

III. Skaičius, nelygus nuliui neigiamam laipsniui, yra atvirkštinis to paties skaičiaus teigiamam laipsniui: .

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Na, kaip įprasta, nepriklausomų sprendimų pavyzdžiai:

Problemų analizė savarankiškam sprendimui:

Žinau, žinau, skaičiai baisūs, bet vieningo valstybinio egzamino metu turi būti pasiruošęs viskam! Išspręskite šiuos pavyzdžius arba išanalizuokite jų sprendimus, jei negalėjote jų išspręsti, ir išmoksite lengvai su jais susidoroti egzamine!

Ir toliau plėskime skaičių diapazoną, „tinkamą“ kaip eksponentą.

Dabar pasvarstykime racionalūs numeriai. Kokie skaičiai vadinami racionaliais?

Atsakymas: viskas, kas gali būti pavaizduota trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai, ir.

Norėdami suprasti, kas tai yra "dalinis laipsnis", apsvarstykite trupmeną:

Pakelkime abi lygties puses į laipsnį:

Dabar prisiminkime taisyklę apie "laipsnis į laipsnį":

Kokį skaičių reikia padidinti iki laipsnio, kad gautume?

Ši formuluotė yra laipsnio šaknies apibrėžimas.

Leiskite jums priminti: skaičiaus () laipsnio šaknis yra skaičius, kuris, pakeltas į laipsnį, yra lygus.

Tai yra, laipsnio šaknis yra atvirkštinė didinimo į laipsnį operacija: .

Paaiškėjo, kad. Akivaizdu, kad tai ypatinga byla galima išplėsti: .

Dabar pridedame skaitiklį: kas tai yra? Atsakymą lengva gauti naudojant galios į galią taisyklę:

Bet ar bazė gali būti bet koks skaičius? Juk negalima išgauti šaknies iš visų skaičių.

Nė vienas!

Prisiminkime taisyklę: bet koks skaičius, padidintas iki lyginės laipsnio, yra teigiamas skaičius. Tai yra, iš neigiamų skaičių neįmanoma išgauti net šaknų!

Tai reiškia, kad tokių skaičių negalima pakelti iki trupmeninės laipsnio su lyginiu vardikliu, tai yra, išraiška neturi prasmės.

O kaip su išraiška?

Bet čia iškyla problema.

Skaičius gali būti pavaizduotas kaip kitos, redukuojamos trupmenos, pavyzdžiui, arba.

Ir pasirodo, kad jis egzistuoja, bet neegzistuoja, bet tai tik du skirtingi to paties numerio įrašai.

Arba kitas pavyzdys: vieną kartą, tada galite užsirašyti. Bet jei rodiklį užrašysime kitaip, vėl pateksime į bėdą: (tai yra, gavome visiškai kitokį rezultatą!).

Kad išvengtume tokių paradoksų, svarstome tik teigiamas bazinis eksponentas su trupmeniniu rodikliu.

Taigi, jei:

- natūralusis skaičius;
- sveikasis skaičius;

Pavyzdžiai:

Racionalieji eksponentai yra labai naudingi transformuojant išraiškas su šaknimis, pavyzdžiui:

5 pavyzdžiai praktikai

5 mokymo pavyzdžių analizė

Na, dabar ateina sunkiausia dalis. Dabar mes tai išsiaiškinsime laipsnis su neracionaliuoju rodikliu.

Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra lygiai tokios pačios kaip ir laipsnio su racionaliuoju rodikliu, su išimtimi

Galų gale, pagal apibrėžimą neracionalieji skaičiai yra skaičiai, kurių negalima pavaizduoti kaip trupmeną, kur ir yra sveikieji skaičiai (tai yra, neracionalieji skaičiai yra visi tikrieji skaičiai, išskyrus racionalius).

Studijuodami laipsnius natūraliais, sveikaisiais ir racionaliais rodikliais, kiekvieną kartą kurdavome tam tikrą „vaizdą“, „analogiją“ ar aprašą labiau pažįstamais terminais.

Pavyzdžiui, laipsnis su natūraliuoju rodikliu yra skaičius, padaugintas iš savęs kelis kartus;

...skaičių iki nulio laipsnio- tai tarsi skaičius, padaugintas iš savęs vieną kartą, tai yra, jie dar nepradėjo jo dauginti, o tai reiškia, kad pats skaičius dar net nepasirodė - todėl rezultatas yra tik tam tikras „tuščias skaičius“ , būtent skaičius;

...neigiamo sveikojo skaičiaus laipsnis- tarsi įvyko kažkoks „atvirkštinis procesas“, tai yra, skaičius buvo ne padaugintas iš savęs, o padalintas.

Beje, moksle dažnai naudojamas laipsnis su sudėtingu rodikliu, tai yra, eksponentas net nėra tikrasis skaičius.

Tačiau mokykloje apie tokius sunkumus negalvojame, jūs turėsite galimybę suprasti šias naujas sąvokas institute.

KUR ESAME TIKRI, KUR JUMS EITI! (jei išmoksi spręsti tokius pavyzdžius :))

Pavyzdžiui:

Spręskite patys:

Sprendimų analizė:

1. Pradėkime nuo įprastos galios pakėlimo į laipsnį taisyklės:

Dabar pažiūrėkite į indikatorių. Ar jis tau nieko neprimena? Prisiminkime sutrumpinto kvadratų skirtumo daugybos formulę:

Tokiu atveju,

Paaiškėjo, kad:

Atsakymas: .

2. Rodiklio trupmenas sumažiname iki vienodos formos: arba abi po kablelio, arba abi paprastosios. Mes gauname, pavyzdžiui:

Atsakymas: 16

3. Nieko ypatingo, naudojame įprastas laipsnių savybes:

PAŽEIDĖJANTIS LYGIS

Laipsnio nustatymas

Laipsnis yra formos išraiška: , kur:

— laipsnio bazė;
- eksponentas.

Laipsnis su natūraliu rodikliu (n = 1, 2, 3,...)

Padidinti skaičių iki natūraliosios laipsnio n reiškia skaičių padauginti iš savęs iš karto:

Laipsnis su sveikuoju rodikliu (0, ±1, ±2,...)

Jei eksponentas yra teigiamas sveikasis skaičius numeris:

Statyba iki nulio laipsnio:

Išraiška yra neapibrėžta, nes, viena vertus, bet kuriuo laipsniu yra tai, o kita vertus, bet koks skaičius iki th laipsnio yra tai.

Jei eksponentas yra neigiamas sveikasis skaičius numeris:

(nes negalima dalyti iš).

Dar kartą apie nulius: atveju išraiška neapibrėžta. Jei tada.

Pavyzdžiai:

Galia su racionaliuoju rodikliu

- natūralusis skaičius;
- sveikasis skaičius;

Pavyzdžiai:

Laipsnių savybės

Kad būtų lengviau spręsti problemas, pabandykime suprasti: iš kur atsirado šios savybės? Įrodykime juos.

Pažiūrėkime: kas yra ir?

A prioritetas:

Taigi, dešinėje šios išraiškos pusėje gauname tokį produktą:

Bet pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus laipsnis su eksponentu, tai yra:

Q.E.D.

Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas : .

Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas : Svarbu pažymėti, kad mūsų taisyklėje Būtinai turi būti tos pačios priežastys. Todėl mes deriname galias su baze, tačiau tai lieka atskiras veiksnys:

Kita svarbi pastaba: ši taisyklė - tik galių sandaugai!

Jokiu būdu negalite to rašyti.

Kaip ir su ankstesne savybe, pereikime prie laipsnio apibrėžimo:

Pergrupuokime šį darbą taip:

Pasirodo, išraiška padauginama iš savęs kartų, tai yra, pagal apibrėžimą, tai yra skaičiaus laipsnis:

Iš esmės tai galima pavadinti „indikatoriaus išėmimu iš skliaustų“. Bet jūs niekada negalite to padaryti iš viso: !

Prisiminkime sutrumpintas daugybos formules: kiek kartų norėjome parašyti? Bet tai juk netiesa.

Galia su neigiama baze.

Iki šiol mes tik aptarėme, koks jis turėtų būti indeksas laipsnių. Bet kas turėtų būti pagrindas? Galiomis natūralus indikatorius pagrindas gali būti bet koks skaičius .

Iš tiesų, bet kokius skaičius galime padauginti vienas iš kito, nesvarbu, ar jie teigiami, neigiami ar net. Pagalvokime, kurie ženklai ("" arba "") turės teigiamų ir neigiamų skaičių laipsnius?

Pavyzdžiui, ar skaičius yra teigiamas ar neigiamas? A? ?

Su pirmuoju viskas aišku: kad ir kiek teigiamų skaičių padaugintume vienas iš kito, rezultatas bus teigiamas.

Tačiau neigiami dalykai yra šiek tiek įdomesni. Mes prisimename paprastą taisyklę nuo 6 klasės: „minusas už minusą suteikia pliusą“. Tai yra arba. Bet jei padauginsime iš (), gausime - .

Ir taip toliau iki begalybės: su kiekvienu tolesniu dauginimu ženklas keisis. Galime suformuluoti taip paprastos taisyklės:

net laipsnis, - skaičius teigiamas.
Neigiamas skaičius, įmontuotas nelyginis laipsnis, - skaičius neigiamas.
Teigiamas skaičius bet kokiu laipsniu yra teigiamas skaičius.
Nulis bet kokiai galiai yra lygus nuliui.

Pats nustatykite, kokį ženklą turės šie posakiai:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Ar susitvarkei? Štai atsakymai:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Pirmuosiuose keturiuose pavyzdžiuose, tikiuosi, viskas aišku? Tiesiog žiūrime į bazę ir rodiklį ir taikome atitinkamą taisyklę.

5 pavyzdyje) viskas taip pat nėra taip baisu, kaip atrodo: juk nesvarbu, kam lygi bazė - laipsnis yra lygus, o tai reiškia, kad rezultatas visada bus teigiamas. Na, nebent kai bazė lygi nuliui. Bazė nelygi, ar ne? Akivaizdu, kad ne, nes (nes).

6 pavyzdys) nebėra toks paprastas. Čia reikia išsiaiškinti, kas mažiau: ar? Jei tai prisimename, tai tampa aišku, taigi ir pagrindas mažiau nei nulis. Tai yra, taikome 2 taisyklę: rezultatas bus neigiamas.

Ir vėl naudojame laipsnio apibrėžimą:

Viskas kaip įprasta - užrašome laipsnių apibrėžimą ir padalijame juos vienas į kitą, suskirstome į poras ir gauname:

Prieš pažvelgdami į paskutinę taisyklę, išspręskime keletą pavyzdžių.

Apskaičiuokite išraiškas:

Sprendimai :

Jei nepaisysime aštuntosios galios, ką čia pamatysime? Prisiminkime 7 klasės programą. Taigi, ar prisimeni? Tai yra sutrumpinto daugybos formulė, būtent kvadratų skirtumas!

Mes gauname:

Atidžiai pažiūrėkime į vardiklį. Tai labai panašu į vieną iš skaitiklio veiksnių, bet kas negerai? Sąlygų tvarka neteisinga. Jei jie būtų pakeisti, galėtų būti taikoma 3 taisyklė. Bet kaip? Pasirodo, tai labai paprasta: čia mums padeda lygus vardiklio laipsnis.

Jei padauginsite iš, niekas nepasikeis, tiesa? Bet dabar viskas pasirodo taip:

Stebuklingai terminai pasikeitė vietomis. Šis „reiškinys“ tolygiai taikomas bet kuriai išraiškai: skliausteliuose esančius ženklus galime lengvai pakeisti. Tačiau svarbu atsiminti: Visi ženklai keičiasi tuo pačiu metu! Jūs negalite jo pakeisti pakeisdami tik vieną mums nepatinkantį trūkumą!

Grįžkime prie pavyzdžio:

Ir vėl formulė:

Taigi dabar paskutinė taisyklė:

Kaip mes tai įrodysime? Žinoma, kaip įprasta: išplėskime laipsnio sąvoką ir supaprastinkime:

Na, dabar atidarykime skliaustus. Kiek iš viso yra raidžių? kartų pagal daugiklius – ką tai jums primena? Tai ne kas kita, kaip operacijos apibrėžimas daugyba: Ten buvo tik daugikliai. Tai yra, pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus su eksponentu laipsnis:

Pavyzdys:

Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu

Be informacijos apie vidutinio lygio laipsnius, mes analizuosime laipsnį su neracionaliu rodikliu. Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra lygiai tokios pačios kaip ir laipsnio su racionaliuoju rodikliu, su išimtimi - juk pagal apibrėžimą neracionalieji skaičiai yra skaičiai, kurių negalima pavaizduoti trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai (tai yra , neracionalieji skaičiai yra visi realieji skaičiai, išskyrus racionalius).

Studijuodami laipsnius natūraliais, sveikaisiais ir racionaliais rodikliais, kiekvieną kartą kurdavome tam tikrą „vaizdą“, „analogiją“ ar aprašą labiau pažįstamais terminais. Pavyzdžiui, laipsnis su natūraliuoju rodikliu yra skaičius, padaugintas iš savęs kelis kartus; skaičius iki nulio laipsnio yra tarsi skaičius, padaugintas iš savęs vieną kartą, tai yra, jie dar nepradėjo jo dauginti, vadinasi, pats skaičius dar net nepasirodė - todėl rezultatas yra tik tam tikras „tuščias numeris“, būtent skaičius; laipsnis su sveikuoju neigiamu eksponentu - tarsi įvyktų koks nors „atvirkštinis procesas“, tai yra, skaičius buvo ne padaugintas iš savęs, o padalintas.

Labai sunku įsivaizduoti laipsnį su neracionaliu eksponentu (kaip sunku įsivaizduoti 4-matę erdvę). Tai veikiau grynai matematinis objektas, kurį matematikai sukūrė siekdami išplėsti laipsnio sąvoką į visą skaičių erdvę.

Beje, moksle dažnai naudojamas laipsnis su sudėtingu rodikliu, tai yra, eksponentas net nėra tikrasis skaičius. Tačiau mokykloje apie tokius sunkumus negalvojame, jūs turėsite galimybę suprasti šias naujas sąvokas institute.

Taigi, ką daryti, jei matome neracionalų eksponentą? Stengiamės jo atsikratyti! :)

Pavyzdžiui:

Spręskite patys:

Atsakymai:

Prisiminkime kvadratų formulės skirtumą. Atsakymas:.
Sumažiname trupmenas į tą pačią formą: arba abu dešimtainius, arba abu paprastus. Pavyzdžiui, gauname: .
Nieko ypatingo, naudojame įprastas laipsnių savybes:

SKYRIUS IR PAGRINDINĖS FORMULĖS SANTRAUKA

Laipsnis vadinama formos išraiška: , kur:

Laipsnis su sveikuoju rodikliu

laipsnis, kurio eksponentas yra natūralusis skaičius (t. y. sveikasis skaičius ir teigiamas).

Galia su racionaliuoju rodikliu

laipsnis, kurio rodiklis yra neigiami ir trupmeniniai skaičiai.

Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu

laipsnis, kurio rodiklis yra begalinė dešimtainė trupmena arba šaknis.

Laipsnių savybės

Laipsnių ypatumai.

Neigiamas skaičius padidintas iki net laipsnis, - skaičius teigiamas.
Neigiamas skaičius padidintas iki nelyginis laipsnis, - skaičius neigiamas.
Teigiamas skaičius bet kokiu laipsniu yra teigiamas skaičius.
Nulis yra lygus bet kokiai galiai.
Bet kuris skaičius iki nulio laipsnio yra lygus.

DABAR TU TURITE ŽODĮ...

Kaip jums patinka straipsnis? Žemiau komentaruose parašykite, ar patiko, ar ne.

Papasakokite apie savo patirtį naudojant laipsnio savybes.

Galbūt turite klausimų. Arba pasiūlymų.

Rašyk komentaruose.

Ir sėkmės egzaminuose!

Laipsnis su neigiamu rodikliu. Valdžių padalijimas ta pačia baze. 4. Sumažinkite 2a4/5a3 ir 2/a4 eksponentus ir suveskite juos į bendrą vardiklį. Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Ši savybė apima trijų ar daugiau veiksnių sandaugos galią. Todėl am−an>0 ir am>an, ką ir reikėjo įrodyti. Belieka įrodyti paskutinę iš išvardytų galių savybių su natūraliais rodikliais.

Atkreipkite dėmesį, kad savybė Nr. 4, kaip ir kitos laipsnių savybės, taip pat taikoma atvirkštine tvarka. Tai yra, norėdami padauginti laipsnius su tais pačiais eksponentais, galite padauginti bazes, bet palikite eksponentą nepakeistą. Laipsnio vertės apskaičiavimas vadinamas eksponencijos veiksmu. Tai yra, apskaičiuodami išraiškos, kurioje nėra skliaustų, vertę, pirmiausia atlikite trečiojo etapo veiksmą, tada antrąjį (daugyba ir padalijimas) ir galiausiai pirmąjį (sudėtis ir atimtis).

Nustačius skaičiaus laipsnį, logiška kalbėti apie laipsnio savybes. Šiame straipsnyje pateiksime pagrindines skaičiaus galios savybes, kartu paliesdami visus galimus rodiklius. Čia pateiksime visų laipsnių savybių įrodymus, taip pat parodysime, kaip šios savybės naudojamos sprendžiant pavyzdžius. Iš karto atkreipkime dėmesį, kad visos parašytos lygybės yra identiškos, jei tenkinamos nurodytos sąlygos, o jų dešinė ir kairė pusės gali būti sukeistos.

Pateiksime pavyzdį, patvirtinantį pagrindinę laipsnio savybę. Prieš pateikdami šios savybės įrodymą, aptarkime papildomų sąlygų formuluotėje reikšmę. Įvedama sąlyga m>n, kad neperžengtume natūraliųjų rodiklių. Pagrindinė trupmenos savybė leidžia parašyti lygybę am−n·an=a(m−n)+n=am.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Tai yra, k faktorių sandaugos natūralaus laipsnio n savybė užrašoma kaip (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn. Aiškumo dėlei šią savybę parodysime pavyzdžiu. Įrodymas gali būti atliktas naudojant ankstesnę nuosavybę. Pavyzdžiui, bet kurių natūraliųjų skaičių p, q, r ir s lygybė yra teisinga. Kad būtų aiškiau, pateiksime pavyzdį su konkrečiais skaičiais: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.

Šis faktas ir daugybos savybės leidžia manyti, kad bet kokio teigiamų skaičių padauginimo rezultatas taip pat bus teigiamas skaičius. Visiškai akivaizdu, kad bet kurio teigiamo sveikojo skaičiaus n, kurio a=0, an laipsnis yra lygus nuliui. Iš tiesų, 0n=0·0·…·0=0. Pavyzdžiui, 03=0 ir 0762=0. Pereikime prie neigiamų laipsnio bazių. Pradėkime nuo atvejo, kai rodiklis yra lyginis skaičius, pažymėkime jį kaip 2·m, kur m yra natūralusis skaičius.

Pereikime prie šios nuosavybės įrodymo. Įrodykime, kad esant m>n ir 0. Taikant tą patį principą, visas kitas laipsnio savybes galime įrodyti sveikuoju rodikliu, užrašytu lygybių forma. Sąlygos p 0 šiuo atveju bus atitinkamai lygiavertės sąlygoms m 0. Šiuo atveju sąlyga p>q atitiks sąlygą m1>m2, kuri išplaukia iš palyginimo taisyklės paprastosios trupmenos su tais pačiais vardikliais.

Operacijos su šaknimis. Laipsnio sampratos išplėtimas. Iki šiol laipsnius vertinome tik su natūraliaisiais rodikliais, tačiau operacijos su laipsniais ir šaknimis taip pat gali sukelti neigiamus, nulinius ir trupmeninius rodiklius. Visi šie rodikliai reikalauja papildomo apibrėžimo. Jei norime, kad formulė a m: a n=a m - n galiotų m = n, mums reikia nulinio laipsnio apibrėžimo. Logaritmus, kaip ir bet kokius skaičius, galima visais būdais sudėti, atimti ir transformuoti.

Rodiklio išskyrimas iš logaritmo

Jei priežastys skiriasi, šios taisyklės neveikia! Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. Iš antrosios formulės išplaukia, kad logaritmo bazę ir argumentą galima sukeisti vietomis, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. vardiklyje atsiranda logaritmas.

Įvertinti, kiek jie patogūs, galima tik apsisprendus logaritmines lygtis ir nelygybės. Kadangi sandauga nesikeičia pertvarkant veiksnius, ramiai padauginome keturis ir du, o tada nagrinėjome logaritmus. Dažnai sprendimo procese skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikram pagrindui.

Laipsnių savybės, formuluotės, įrodymai, pavyzdžiai.

Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė. Štai kaip jis vadinamas: pagrindinis logaritminė tapatybė. Kaip ir formulės, skirtos pereiti prie naujos bazės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas. Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias vargu ar galima pavadinti savybėmis – veikiau tai yra logaritmo apibrėžimo pasekmės.

Pavyzdžiai, kaip išspręsti pavyzdžius su trupmenomis, kuriose yra skaičių su laipsniais

Vieną kartą ir visiems laikams atsiminkite: logaritmas bet kuriam tos bazės pagrindui a yra lygus vienetui. 1 = 0 yra logaritminis nulis. Bazė a gali būti bet kokia, bet jei argumente yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Kadangi a0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė. Tai visos savybės. Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

2.a-4 yra a-2 pirmasis skaitiklis. Tokiu atveju patariame atlikti šiuos veiksmus. Tai yra trečiojo etapo veiksmas. Pavyzdžiui, pagrindinė trupmenos am·an=am+n savybė dažnai naudojama formoje am+n=am·an supaprastinant išraiškas. Sąlyga a≠0 būtina norint išvengti dalybos iš nulio, nes 0n=0, o kai buvome supažindinti su dalyba, sutarėme, kad negalime dalyti iš nulio. Iš gautos lygybės am−n·an=am ir iš ryšio tarp daugybos ir dalybos išplaukia, kad am−n yra laipsnių am ir an koeficientas. Tai įrodo koeficiento galių savybę su tuo pačiu pagrindu.

Panašiai, jei q=0, tada (ap)0=1 ir ap·0=a0=1, iš kur (ap)0=ap·0. Daugiau sudėtingų pavyzdžių Gali būti atvejų, kai daugyba ir dalyba turi būti atliekama per galias su dėl skirtingų priežasčių Ir skirtingi rodikliai. Šios šaknų savybių nelygybės gali būti atitinkamai perrašytos kaip ir. O laipsnio apibrėžimas su racionaliu rodikliu leidžia pereiti prie nelygybių ir atitinkamai.

Jei reikia padidinti konkretų skaičių iki laipsnio, galite naudoti . Dabar pažvelgsime atidžiau laipsnių savybės.

Eksponentiniai skaičiai atveria dideles galimybes, leidžia daugybą paversti sudėjimu, o sudėti daug lengviau nei dauginti.

Pavyzdžiui, turime padauginti 16 iš 64. Šių dviejų skaičių sandauga yra 1024. Tačiau 16 yra 4x4, o 64 - 4x4x4. Tai yra, 16 x 64 = 4x4x4x4x4, kuris taip pat lygus 1024.

Skaičius 16 taip pat gali būti pavaizduotas kaip 2x2x2x2, o 64 - kaip 2x2x2x2x2x2, o jei padauginsime, vėl gausime 1024.

Dabar naudokimės taisykle. 16 = 4 2 arba 2 4, 64 = 4 3 arba 2 6, tuo pačiu metu 1024 = 6 4 = 4 5 arba 2 10.

Todėl mūsų uždavinys gali būti parašytas skirtingai: 4 2 x4 3 =4 5 arba 2 4 x2 6 =2 10, ir kiekvieną kartą gauname 1024.

Galime išspręsti daugybę panašių pavyzdžių ir pamatyti, kad skaičių padauginus iš laipsnių, sumažėja iki pridedant eksponentus, arba eksponentinis, žinoma, su sąlyga, kad veiksnių bazės yra lygios.

Taigi, neatlikdami daugybos, galime iš karto pasakyti, kad 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.

Ši taisyklė galioja ir dalijant skaičius laipsniais, tačiau šiuo atveju daliklio rodiklis atimamas iš dividendo rodiklio. Taigi 2 5:2 3 = 2 2, kuris įprastais skaičiais yra lygus 32:8 = 4, tai yra, 2 2. Apibendrinkime:

a m x a n =a m+n, a m: a n =a m-n, kur m ir n yra sveikieji skaičiai.

Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad taip yra dauginant ir dalijant skaičius su laipsniais nėra labai patogu, nes pirmiausia reikia pavaizduoti skaičių eksponentine forma. Šioje formoje nesunku pavaizduoti skaičius 8 ir 16, tai yra 2 3 ir 2 4, bet kaip tai padaryti su skaičiais 7 ir 17? Arba ką daryti tais atvejais, kai skaičius gali būti pavaizduotas eksponentine forma, tačiau eksponentinių skaičių išraiškų pagrindai labai skiriasi. Pavyzdžiui, 8x9 yra 2 3 x 3 2, tokiu atveju negalime sumuoti eksponentų. Nei 2 5, nei 3 5 nėra atsakymas, taip pat atsakymas nėra intervale tarp šių dviejų skaičių.

Tada ar verta vargti su šiuo metodu? Tikrai verta. Tai suteikia didžiulę naudą, ypač atliekant sudėtingus ir daug laiko reikalaujančius skaičiavimus.

Pirmas lygis

Laipsnis ir jo savybės. Išsamus vadovas (2019 m.)

Kam reikalingi laipsniai? Kur tau jų prireiks? Kodėl turėtumėte skirti laiko jų studijoms?

Norėdami sužinoti viską apie laipsnius, kam jie reikalingi ir kaip panaudoti savo žinias kasdieniame gyvenime, perskaitykite šį straipsnį.

Ir, žinoma, laipsnių žinios priartins prie sėkmingo vieningo valstybinio egzamino arba vieningo valstybinio egzamino išlaikymo ir įstojimo į svajonių universitetą.

Eime... (Eime!)

Svarbi pastaba! Jei vietoj formulių matote gobbledygook, išvalykite talpyklą. Norėdami tai padaryti, paspauskite CTRL+F5 („Windows“) arba Cmd+R („Mac“).

PIRMAS LYGIS

Eksponentiškumas yra matematinė operacija, kaip ir sudėtis, atimtis, daugyba ar padalijimas.

Dabar viską paaiškinsiu žmonių kalba, naudodamas labai paprastus pavyzdžius. Būk atsargus. Pavyzdžiai elementarūs, bet paaiškina svarbius dalykus.

Pradėkime nuo papildymo.

Nėra čia ką aiškinti. Tu jau viską žinai: mūsų yra aštuoni. Kiekvienas turi du butelius kolos. Kiek yra kolos? Teisingai – 16 butelių.

Dabar daugyba.

Taigi, norint suskaičiuoti greičiau, lengviau ir be klaidų, tereikia atsiminti daugybos lentelę. Žinoma, viską galima daryti lėčiau, sunkiau ir su klaidomis! Bet…

Čia yra daugybos lentelė. Pakartokite.

Ir dar vienas gražesnis:

Kokių dar protingų skaičiavimo gudrybių sugalvojo tingūs matematikai? Teisingai - skaičiaus pakėlimas į laipsnį.

Skaičiaus pakėlimas į laipsnį

Viskas, ką jums reikia padaryti, tai prisiminkite, kas skaičių galių lentelėje paryškinta spalva. Patikėkite, tai labai palengvins jūsų gyvenimą.

Beje, kodėl jis vadinamas antruoju laipsniu? kvadratas skaičiai, o trečias - kubas? Ką tai reiškia? Labai geras klausimas. Dabar turėsite ir kvadratų, ir kubelių.

1 pavyzdys realiame gyvenime

Pradėkime nuo kvadrato arba antrosios skaičiaus laipsnio.

2 realaus gyvenimo pavyzdys

Štai jums užduotis: suskaičiuokite, kiek langelių yra šachmatų lentoje, naudodami skaičiaus kvadratą... Vienoje langelių pusėje ir kitoje. Norint apskaičiuoti jų skaičių, reikia aštuonis padauginti iš aštuonių arba... jei pastebite, kad šachmatų lenta yra kvadratas su kraštine, tuomet galite kvadratu aštuonis. Jūs gausite ląstelių. () Taigi?

3 pavyzdys realiame gyvenime

Dabar kubas arba trečioji skaičiaus laipsnis. Tas pats baseinas. Tačiau dabar reikia išsiaiškinti, kiek vandens teks įpilti į šį baseiną. Reikia apskaičiuoti tūrį. (Tūriai ir skysčiai, beje, matuojami kubiniais metrais. Netikėta, tiesa?) Nubraižykite baseiną: dugnas yra metro dydžio ir metro gylio, ir pabandykite suskaičiuoti, kiek kubelių, kurių matmenys yra metras, metras tilptų į savo baseiną.

4 realaus gyvenimo pavyzdys

5 pavyzdys realiame gyvenime

Dabar žinote, kad padidinę skaičių iki galios labai palengvinsite savo gyvenimą. Pažvelkime toliau, ką galite padaryti su laipsniais ir ką apie juos reikia žinoti.

Sąvokos ir sąvokos... kad nesusipainiotumėte

Na, tuo pačiu ir ką toks laipsnio pagrindas? Dar paprasčiau - tai numeris, esantis apačioje, prie pagrindo.

Štai geras brėžinys.

Na, apskritai, norint apibendrinti ir geriau atsiminti... Laipsnis su baze " " ir rodikliu " " yra skaitomas kaip "iki laipsnio" ir rašomas taip:

Skaičiaus su natūraliuoju rodikliu galia

Tikriausiai jau atspėjote: nes rodiklis yra natūralusis skaičius. Taip, bet kas tai yra natūralusis skaičius? Elementaru! Natūralūs skaičiai – tai tie skaičiai, kurie naudojami skaičiuojant surašant objektus: vienas, du, trys... Skaičiuodami objektus nesakome: „minus penki“, „minus šeši“, „minus septyni“. Taip pat nesakome: „trečdalis“ arba „nulis penkių taškų“. Tai nėra natūralūs skaičiai. Kaip manote, kokie tai skaičiai?

Visos trupmenos yra racionalūs skaičiai. Kaip manote, kaip jie atsirado? Labai paprasta. Prieš kelis tūkstančius metų mūsų protėviai atrado, kad jiems trūksta natūralių skaičių ilgiui, svoriui, plotui ir kt. Ir jie sugalvojo racionalūs numeriai... Įdomu, ar ne?

Yra ir neracionalių skaičių. Kokie tai skaičiai? Trumpai tariant, tai yra begalinė dešimtainė trupmena. Pavyzdžiui, padalijus apskritimo perimetrą iš jo skersmens, gausite neracionalų skaičių.

Santrauka:

Apibrėžkime laipsnio, kurio eksponentas yra natūralusis skaičius (ty sveikasis skaičius ir teigiamas), sąvoką.

Bet kuris skaičius iki pirmosios laipsnio yra lygus sau pačiam:
Skaičiaus kvadratas reiškia jį padauginti iš savęs:
Sudaryti skaičių kubu reiškia jį padauginti iš savęs tris kartus:

Apibrėžimas. Padidinti skaičių iki natūralios laipsnio reiškia skaičių padauginti iš karto:
.

Laipsnių savybės

Iš kur atsirado šios savybės? Aš tau parodysiu dabar.

Pažiūrėkime: kas tai yra Ir ?

A prioritetas:

Kiek daugiklių iš viso yra?

Tai labai paprasta: prie faktorių pridėjome daugiklius, o rezultatas yra daugikliai.

Tačiau pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus su laipsniu laipsnis, tai yra: , ką reikėjo įrodyti.

Pavyzdys: Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas:

Pavyzdys: Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas: Svarbu pažymėti, kad mūsų taisyklėje Būtinai turi būti tos pačios priežastys!
Todėl mes deriname galias su baze, tačiau tai lieka atskiras veiksnys:

tik galių sandaugai!

Jokiu būdu negalite to rašyti.

2. štai ir viskas skaičiaus laipsnis

Kaip ir su ankstesne savybe, pereikime prie laipsnio apibrėžimo:

Pasirodo, išraiška padauginama iš savęs kartų, tai yra, pagal apibrėžimą, tai yra skaičiaus laipsnis:

Iš esmės tai galima pavadinti „indikatoriaus išėmimu iš skliaustų“. Bet jūs niekada negalite to padaryti iš viso:

Prisiminkime sutrumpintas daugybos formules: kiek kartų norėjome parašyti?

Bet tai juk netiesa.

Galia su neigiama baze

Iki šiol mes tik aptarėme, koks turėtų būti eksponentas.

Bet kas turėtų būti pagrindas?

Galiomis natūralus rodiklis pagrindas gali būti bet koks skaičius. Iš tiesų, bet kokius skaičius galime padauginti vienas iš kito, nesvarbu, ar jie teigiami, neigiami ar net.

Pagalvokime, kurie ženklai ("" arba "") turės teigiamų ir neigiamų skaičių laipsnius?

Pavyzdžiui, ar skaičius yra teigiamas ar neigiamas? A? ? Su pirmuoju viskas aišku: kad ir kiek teigiamų skaičių padaugintume vienas iš kito, rezultatas bus teigiamas.

Tačiau neigiami dalykai yra šiek tiek įdomesni. Mes prisimename paprastą taisyklę nuo 6 klasės: „minusas už minusą suteikia pliusą“. Tai yra arba. Bet jei padauginsime iš, tai veikia.

Pats nustatykite, kokį ženklą turės šie posakiai:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Ar susitvarkei?

Štai atsakymai: pirmuose keturiuose pavyzdžiuose, tikiuosi, viskas aišku? Tiesiog žiūrime į bazę ir rodiklį ir taikome atitinkamą taisyklę.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

5 pavyzdyje) viskas taip pat nėra taip baisu, kaip atrodo: juk nesvarbu, kam lygi bazė - laipsnis yra lygus, o tai reiškia, kad rezultatas visada bus teigiamas.

Na, nebent kai bazė lygi nuliui. Bazė nelygi, ar ne? Akivaizdu, kad ne, nes (nes).

6 pavyzdys) nebėra toks paprastas!

6 praktikos pavyzdžiai

Sprendimo analizė 6 pavyzdžiai

Jei nepaisysime aštuntosios galios, ką čia pamatysime? Prisiminkime 7 klasės programą. Taigi, ar prisimeni? Tai yra sutrumpinto daugybos formulė, būtent kvadratų skirtumas! Mes gauname:

Atidžiai pažiūrėkime į vardiklį. Tai labai panašu į vieną iš skaitiklio veiksnių, bet kas negerai? Sąlygų tvarka neteisinga. Jei jie būtų pakeisti, taisyklė galėtų būti taikoma.

Bet kaip tai padaryti? Pasirodo, tai labai paprasta: čia mums padeda lygus vardiklio laipsnis.

Stebuklingai terminai pasikeitė vietomis. Šis „reiškinys“ tolygiai taikomas bet kuriai išraiškai: skliausteliuose esančius ženklus galime lengvai pakeisti.

Tačiau svarbu atsiminti: visi ženklai keičiasi vienu metu!

Grįžkime prie pavyzdžio:

Ir vėl formulė:

Visas vadiname natūraliuosius skaičius, jų priešingybes (tai yra paimtus su " " ženklu) ir skaičiumi.

teigiamas sveikasis skaičius, ir tai niekuo nesiskiria nuo natūralaus, tada viskas atrodo lygiai taip pat, kaip ankstesniame skyriuje.

Dabar pažvelkime į naujus atvejus. Pradėkime nuo rodiklio, lygaus.

Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui:

Kaip visada, paklauskime savęs: kodėl taip yra?

Panagrinėkime tam tikrą laipsnį su pagrindu. Paimkite, pavyzdžiui, ir padauginkite iš:

Taigi, padauginome skaičių iš ir gavome tą patį, kas buvo - . Iš kokio skaičiaus padauginti, kad niekas nepasikeistų? Teisingai, toliau. Reiškia.

Tą patį galime padaryti su savavališku skaičiumi:

Pakartokime taisyklę:

Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui.

Tačiau iš daugelio taisyklių yra išimčių. Ir čia taip pat yra - tai yra skaičius (kaip pagrindas).

Iš čia lengva išreikšti tai, ko ieškote:

Dabar išplėskime gautą taisyklę iki savavališko laipsnio:

Taigi, suformuluokime taisyklę:

Skaičius su neigiama galia yra to paties skaičiaus su teigiamu laipsniu atvirkštinė vertė. Bet tuo pačiu Bazė negali būti nulinė:(nes negalima dalyti iš).

Apibendrinkime:

I. Išraiška byloje neapibrėžta. Jei tada.

II. Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui: .

III. Skaičius, nelygus nuliui neigiamam laipsniui, yra atvirkštinis to paties skaičiaus teigiamam laipsniui: .

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Na, kaip įprasta, nepriklausomų sprendimų pavyzdžiai:

Problemų analizė savarankiškam sprendimui:

Ir toliau plėskime skaičių diapazoną, „tinkamą“ kaip eksponentą.

Dabar pasvarstykime racionalūs numeriai. Kokie skaičiai vadinami racionaliais?

Atsakymas: viskas, kas gali būti pavaizduota trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai, ir.

Norėdami suprasti, kas tai yra "dalinis laipsnis", apsvarstykite trupmeną:

Pakelkime abi lygties puses į laipsnį:

Dabar prisiminkime taisyklę apie "laipsnis į laipsnį":

Kokį skaičių reikia padidinti iki laipsnio, kad gautume?

Ši formuluotė yra laipsnio šaknies apibrėžimas.

Leiskite jums priminti: skaičiaus () laipsnio šaknis yra skaičius, kuris, pakeltas į laipsnį, yra lygus.

Tai yra, laipsnio šaknis yra atvirkštinė didinimo į laipsnį operacija: .

Paaiškėjo, kad. Akivaizdu, kad šį specialų atvejį galima išplėsti: .

Dabar pridedame skaitiklį: kas tai yra? Atsakymą lengva gauti naudojant galios į galią taisyklę:

Bet ar bazė gali būti bet koks skaičius? Juk negalima išgauti šaknies iš visų skaičių.

Nė vienas!

Prisiminkime taisyklę: bet koks skaičius, padidintas iki lyginės laipsnio, yra teigiamas skaičius. Tai yra, iš neigiamų skaičių neįmanoma išgauti net šaknų!

Tai reiškia, kad tokių skaičių negalima pakelti iki trupmeninės laipsnio su lyginiu vardikliu, tai yra, išraiška neturi prasmės.

O kaip su išraiška?

Bet čia iškyla problema.

Skaičius gali būti pavaizduotas kaip kitos, redukuojamos trupmenos, pavyzdžiui, arba.

Ir pasirodo, kad jis egzistuoja, bet neegzistuoja, bet tai tik du skirtingi to paties numerio įrašai.

Arba kitas pavyzdys: vieną kartą, tada galite užsirašyti. Bet jei rodiklį užrašysime kitaip, vėl pateksime į bėdą: (tai yra, gavome visiškai kitokį rezultatą!).

Kad išvengtume tokių paradoksų, svarstome tik teigiamas bazinis eksponentas su trupmeniniu rodikliu.

Taigi, jei:

- natūralusis skaičius;
- sveikasis skaičius;