Predstavitev in lekcija na temo: "Racionalne enačbe. Algoritem in primeri za reševanje racionalnih enačb"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, povratnih informacij, predlogov! Vsa gradiva so preverjena s protivirusnim programom.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini "Integral" za 8. razred
Priročnik za učbenik Makarychev Yu.N. Priročnik za učbenik Mordkovich A.G.

Uvod v iracionalne enačbe

Fantje, naučili smo se reševati kvadratne enačbe. A matematika ni omejena le nanje. Danes se bomo naučili reševati racionalne enačbe. Koncept racionalnih enačb je v marsičem podoben konceptu racionalna števila. Le da smo poleg številk zdaj uvedli še spremenljivko $x$. In tako dobimo izraz, v katerem so operacije seštevanja, odštevanja, množenja, deljenja in dvigovanja na celo potenco.

Naj bo $r(x)$ racionalno izražanje. Tak izraz je lahko preprost polinom v spremenljivki $x$ ali razmerje polinomov (uvedena je operacija deljenja, kot pri racionalnih številih).
Enačba $r(x)=0$ se imenuje racionalna enačba.
Vsaka enačba v obliki $p(x)=q(x)$, kjer sta $p(x)$ in $q(x)$ racionalna izraza, bo prav tako racionalna enačba.

Razmislite o primerih reševanja racionalnih enačb.

Primer 1
Rešite enačbo: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

rešitev.
Prenesimo vse izraze v leva stran: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Če bi bila navadna števila predstavljena na levi strani enačbe, bi spravili dva ulomka na skupni imenovalec.
Naredimo tole: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Dobili smo enačbo: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Ulomek je nič, če in samo če je števec ulomka nič in imenovalec različen od nič. Nato ločeno enačite števec z nič in poiščite korenine števca.
$3(x^2+2x-3)=0$ ali $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Zdaj pa preverimo imenovalec ulomka: $(x-3)*x≠0$.
Zmnožek dveh števil je enak nič, če je vsaj eno od teh števil enako nič. Potem: $x≠0$ ali $x-3≠0$.
$x≠0$ ali $x≠3$.
Koreni, dobljeni v števcu in imenovalcu, se ne ujemata. Torej v odgovor zapišemo oba korena števca.
Odgovor: $x=1$ ali $x=-3$.

Če nenadoma ena od korenin števca sovpada s korenino imenovalca, jo je treba izključiti. Takšne korenine se imenujejo tuje!

Algoritem za reševanje racionalnih enačb:

1. Premaknite vse izraze v enačbi levo od enačaja.
2. Pretvorite ta del enačbe v algebrski ulomek: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Dobljeni števec izenačimo z nič, to pomeni, da rešimo enačbo $p(x)=0$.
4. Odštevanec izenači z nič in reši dobljeno enačbo. Če so korenine imenovalca sovpadale s koreninami števca, jih je treba izključiti iz odgovora.

Primer 2
Rešite enačbo: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

rešitev.
Reševali bomo po točkah algoritma.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Števec enačite na nič: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Izenačite imenovalec na nič:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ in $x=-1$.
Eden od korenov $x=1$ je sovpadal s korenom števca, potem ga v odgovor ne zapišemo.
Odgovor: $x=-1$.

Racionalne enačbe je priročno reševati z metodo menjave spremenljivk. Pokažimo to.

Primer 3
Rešite enačbo: $x^4+12x^2-64=0$.

rešitev.
Uvedemo zamenjavo: $t=x^2$.
Potem bo naša enačba dobila obliko:
$t^2+12t-64=0$ - normalno kvadratna enačba.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4$.
Uvedimo obratno zamenjavo: $x^2=4$ ali $x^2=-16$.
Koreni prve enačbe so par števil $x=±2$. Drugi je brez korenin.
Odgovor: $x=±2$.

Primer 4
Rešite enačbo: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
rešitev.
Predstavimo novo spremenljivko: $t=x^2+x+1$.
Potem bo enačba prevzela obliko: $t=\frac(15)(t+2)$.
Nato bomo ravnali po algoritmu.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3$.
4. $t≠-2$ - korena se ne ujemata.
Uvedemo obratno zamenjavo.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Rešimo vsako enačbo posebej:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - ne korenine.
In druga enačba: $x^2+x-2=0$.
Koreni te enačbe bodo števili $x=-2$ in $x=1$.
Odgovor: $x=-2$ in $x=1$.

Primer 5
Rešite enačbo: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

rešitev.
Uvedemo zamenjavo: $t=x+\frac(1)(x)$.
Nato:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ ali $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Dobili smo enačbo: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Koreni te enačbe so par:
$t=-3$ in $t=2$.
Predstavimo obratno zamenjavo:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Odločili se bomo ločeno.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Rešimo drugo enačbo:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Koren te enačbe je število $x=1$.
Odgovor: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Naloge za samostojno reševanje

Reši enačbe:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

§ 1 Cele in delne racionalne enačbe

V tej lekciji bomo raziskali koncepte, kot so racionalna enačba, racionalni izraz, celoštevilski izraz, ulomek. Razmislite o rešitvi racionalnih enačb.

Racionalna enačba je enačba, v kateri sta leva in desna stran racionalni izraz.

Racionalni izrazi so:

Ulomek.

Celoštevilski izraz je sestavljen iz števil, spremenljivk, celih potenc z uporabo operacij seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja s številom, ki ni nič.

Na primer:

V ulomkih je deljenje s spremenljivko ali izraz s spremenljivko. Na primer:

Frakcijski izraz ni smiseln za vse vrednosti spremenljivk, ki so vanj vključene. Na primer, izraz

pri x = -9 nima smisla, ker gre pri x = -9 imenovalec na nič.

To pomeni, da je racionalna enačba lahko celo število in ulomek.

Celoštevilska racionalna enačba je racionalna enačba, v kateri sta leva in desna stran celoštevilski izraz.

Na primer:

Ulomka racionalna enačba je racionalna enačba, v kateri sta leva ali desna stran ulomka.

Na primer:

§ 2 Rešitev celotne racionalne enačbe

Razmislite o rešitvi celotne racionalne enačbe.

Na primer:

Obe strani enačbe pomnožite z najmanjšim skupnim imenovalcem imenovalcev ulomkov, ki so vanjo vključeni.

Za to:

1. poišči skupni imenovalec imenovalcem 2, 3, 6. Enak je 6;

2. za vsak ulomek poišči dodatni faktor. Če želite to narediti, delite skupni imenovalec 6 z vsakim imenovalcem

dodatni množitelj za ulomek

dodatni množitelj za ulomek

3. pomnožite števce ulomkov z dodatnimi faktorji, ki jim ustrezajo. Tako dobimo enačbo

kar je enakovredno tej enačbi

Odprite oklepaje na levi desna stran prenesemo v levo, pri čemer spremenimo predznak člena v nasprotnem.

Podamo podobne člene polinoma in dobimo

Vidimo, da je enačba linearna.

Ko ga rešimo, ugotovimo, da je x = 0,5.

§ 3 Rešitev ulomljene racionalne enačbe

Razmislite o rešitvi ulomljene racionalne enačbe.

Na primer:

1. Obe strani enačbe pomnožite z najmanjšim skupnim imenovalcem imenovalcev racionalnih ulomkov, ki so vanjo vključeni.

Poiščite skupni imenovalec imenovalcev x + 7 in x - 1.

Enak je njihovemu produktu (x + 7)(x - 1).

2. Za vsak racionalni ulomek poiščimo dodatni faktor.

Da bi to naredili, delimo skupni imenovalec (x + 7) (x - 1) z vsakim imenovalcem. Dodatni množitelj za ulomke

je enako x - 1,

dodatni množitelj za ulomek

je enako x+7.

3. Pomnožite števce ulomkov z ustreznimi dodatnimi faktorji.

Dobimo enačbo (2x - 1) (x - 1) \u003d (3x + 4) (x + 7), ki je enakovredna tej enačbi

4. Levo in desno pomnožite binom z binomom in dobite naslednjo enačbo

5. Desni del prenesemo na levo, pri čemer spremenimo znak vsakega izraza pri prenosu v nasprotno:

6. Predstavimo podobne člene polinoma:

7. Oba dela lahko delite z -1. Dobimo kvadratno enačbo:

8. Ko jo rešimo, bomo našli korenine

Ker v enačbi

levi in ​​desni del sta ulomka, v ulomkih pa lahko pri nekaterih vrednostih spremenljivk imenovalec izniči, potem je treba preveriti, ali skupni imenovalec ne izgine, ko sta najdena x1 in x2.

Pri x = -27 skupni imenovalec (x + 7)(x - 1) ne izgine, pri x = -1 je tudi skupni imenovalec različen od nič.

Zato sta oba korena -27 in -1 korena enačbe.

Pri reševanju delne racionalne enačbe je bolje takoj navesti območje dovoljene vrednosti. Odstranite tiste vrednosti, pri katerih gre skupni imenovalec na nič.

Razmislite o drugem primeru reševanja ulomljene racionalne enačbe.

Na primer, rešimo enačbo

Imenovalec ulomka na desni strani enačbe razstavimo na faktorje

Dobimo enačbo

Poišči skupni imenovalec imenovalcem (x - 5), x, x (x - 5).

To bo izraz x (x - 5).

zdaj pa poiščimo obseg dopustnih vrednosti enačbe

Da bi to naredili, izenačimo skupni imenovalec z nič x (x - 5) \u003d 0.

Dobimo enačbo, z reševanjem katere ugotovimo, da pri x \u003d 0 ali pri x \u003d 5 skupni imenovalec izgine.

Torej x = 0 ali x = 5 ne moreta biti korena naše enačbe.

Zdaj lahko najdete dodatne množitelje.

Dodatni množitelj za racionalne ulomke

dodatni množitelj za ulomke

bo (x - 5),

in dodatni faktor ulomka

Števce pomnožimo z ustreznimi dodatnimi faktorji.

Dobimo enačbo x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Odprimo oklepaje na levi in ​​desni, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Premaknimo izraze od desne proti levi tako, da spremenimo predznak izrazov, ki jih želimo premakniti:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

In po vnosu podobnih členov dobimo kvadratno enačbo x2 - 3x - 10 = 0. Ko jo rešimo, najdemo korenine x1 = -2; x2 = 5.

Vendar smo že ugotovili, da pri x = 5 skupni imenovalec x(x - 5) izgine. Torej, koren naše enačbe

bo x = -2.

§ 4 Povzetek lekcije

Pomembno si je zapomniti:

Pri reševanju ulomkov racionalnih enačb morate narediti naslednje:

1. Poiščite skupni imenovalec ulomkov, vključenih v enačbo. Poleg tega, če je imenovalce ulomkov mogoče razstaviti na faktorje, potem jih razstavite na faktorje in nato poiščite skupni imenovalec.

2. Pomnožite obe strani enačbe s skupnim imenovalcem: poiščite dodatne faktorje, pomnožite števce z dodatnimi faktorji.

3. Reši nastalo celotno enačbo.

4. Iz njegovih korenin izključite tiste, ki spremenijo skupni imenovalec na nič.

Seznam uporabljene literature:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Pod urednikom Telyakovsky S.A. Algebra: učbenik. za 8 celic. Splošna izobrazba institucije. - M.: Izobraževanje, 2013.
2. Mordkovich A.G. Algebra. 8. razred: V dveh delih. 1. del: Proc. za splošno izobraževanje institucije. - M.: Mnemozina.
3. Rurukin A.N. Razvoj lekcij v algebri: 8. razred. - M .: VAKO, 2010.
4. Algebra 8. razred: učni načrti po učbeniku Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neškova, S.B. Suvorova / Avtor.-komp. T.L. Afanasiev, L.A. Tapilina. - Volgograd: Učitelj, 2005.

Cilji lekcije:

Vadnica:

• oblikovanje koncepta ulomkov racionalnih enačb;
• obravnavati različne načine reševanja ulomkov racionalnih enačb;
• obravnavajo algoritem za reševanje ulomkov racionalnih enačb, vključno s pogojem, da je ulomek enak nič;
• učiti reševanje ulomljenih racionalnih enačb po algoritmu;
• preverjanje stopnje asimilacije teme z izvajanjem testnega dela.

V razvoju:

• razvoj sposobnosti pravilnega delovanja s pridobljenim znanjem, logičnega razmišljanja;
• razvoj intelektualnih sposobnosti in miselnih operacij - analiza, sinteza, primerjava in posploševanje;
• razvoj pobude, sposobnost sprejemanja odločitev, ne ustaviti se tam;
• razvoj kritičnega mišljenja;
• razvoj raziskovalnih sposobnosti.

Negovanje:

• vzgoja kognitivnega interesa za predmet;
• vzgoja samostojnosti pri reševanju vzgojnih problemov;
• vzgoja volje in vztrajnosti za doseganje končnih rezultatov.

Vrsta lekcije: lekcija - razlaga nove snovi.

Med poukom

1. Organizacijski trenutek.

Zdravo družba! Na tabli so zapisane enačbe, pozorno si jih oglejte. Ali lahko rešite vse te enačbe? Kateri niso in zakaj?

Enačbe, v katerih sta leva in desna stran ulomki racionalnega izraza, imenujemo ulomke racionalne enačbe. Kaj mislite, kaj bomo danes preučevali v lekciji? Oblikujte temo lekcije. Torej odpremo zvezke in zapišemo temo lekcije "Rešitev ulomkov racionalnih enačb".

2. Aktualizacija znanja. Frontalna anketa, ustno delo z razredom.

In zdaj bomo ponovili glavno teoretično gradivo, ki ga moramo preučiti nova tema. Prosim odgovorite na naslednja vprašanja:

1. Kaj je enačba? ( Enakost s spremenljivko ali spremenljivkami.)
2. Kako se imenuje enačba #1? ( Linearno.) Metoda rešitve linearne enačbe. (Premakni vse z neznanko na levo stran enačbe, vsa števila na desno. Prinesite podobne pogoje. Poiščite neznani množitelj).
3. Kako se imenuje enačba 3? ( kvadrat.) Metode reševanja kvadratnih enačb. ( Izbira polnega kvadrata po formulah z uporabo Vieta izreka in njegovih posledic.)
4. Kaj je razmerje? ( Enakost dveh odnosov.) Glavna lastnost razmerja. ( Če je delež resničen, potem je produkt njegovih skrajnih členov enak produktu srednjih členov.)
5. Katere lastnosti se uporabljajo za reševanje enačb? ( 1. Če v enačbi izraz prenesemo iz enega dela v drugega in mu spremenimo predznak, dobimo enačbo, ki je enakovredna dani. 2. Če oba dela enačbe pomnožimo ali delimo z istim številom, ki ni nič, dobimo enačbo, ki je enakovredna dani.)
6. Kdaj je ulomek enak nič? ( Ulomek je nič, če je števec enak nič in imenovalec ni nič.)

3. Razlaga nove snovi.

Reši enačbo št. 2 v zvezkih in na tabli.

Odgovori: 10.

Katera ulomljena racionalna enačba ali lahko poskusite rešiti z uporabo osnovne lastnosti razmerja? (št. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Rešite enačbo št. 4 v zvezkih in na tabli.

Odgovori: 1,5.

Katero ulomljeno racionalno enačbo lahko poskusite rešiti tako, da pomnožite obe strani enačbe z imenovalcem? (št. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Odgovori: 3;4.

Zdaj poskusite rešiti enačbo št. 7 na enega od načinov.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Odgovori: 0;5;-2.			Odgovori: 5;-2.

Pojasnite, zakaj se je to zgodilo? Zakaj so v enem primeru trije koreni, v drugem pa dva? Katera števila so koreni te ulomljene racionalne enačbe?

Študenti se do sedaj še niso srečali s konceptom tujega korena, res jim je zelo težko razumeti, zakaj se je to zgodilo. Če nihče v razredu ne more dati jasne razlage te situacije, potem učitelj postavlja vodilna vprašanja.

• Kako se enačbi št. 2 in 4 razlikujeta od enačb št. 5,6,7? ( V enačbah št. 2 in 4 v imenovalcu števila, št. 5-7 - izrazi s spremenljivko.)
• Kaj je koren enačbe? ( Vrednost spremenljivke, pri kateri enačba postane prava enakost.)
• Kako ugotoviti, ali je število koren enačbe? ( Naredite ček.)

Ko delajo test, nekateri učenci opazijo, da morajo deliti z nič. Ugotovijo, da števili 0 in 5 nista korena te enačbe. Postavlja se vprašanje: ali obstaja način za rešitev ulomkov racionalnih enačb, ki odpravi to napako? Da, ta metoda temelji na pogoju, da je ulomek enak nič.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

Če je x=5, potem je x(x-5)=0, torej je 5 tuj koren.

Če je x=-2, potem je x(x-5)≠0.

Odgovori: -2.

Poskusimo na ta način oblikovati algoritem za reševanje ulomljenih racionalnih enačb. Otroci sami oblikujejo algoritem.

Algoritem za reševanje ulomljenih racionalnih enačb:

1. Premakni vse v levo.
2. Spravi ulomke na skupni imenovalec.
3. Sestavite sistem: ulomek je nič, če je števec enak nič in imenovalec ni nič.
4. Reši enačbo.
5. Preverite neenakost, da izključite tuje korenine.
6. Zapiši odgovor.

Razprava: kako formalizirati rešitev, če uporabimo osnovno lastnost sorazmerja in množenje obeh strani enačbe s skupnim imenovalcem. (Dopolni rešitev: iz njenih korenin izloči tiste, ki obračajo skupni imenovalec na nič).

4. Primarno razumevanje nove snovi.

Delo v parih. Učenci sami izberejo način reševanja enačbe, odvisno od vrste enačbe. Naloge iz učbenika "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: št. 600 (b, c, i); št. 601(a, e, g). Učitelj nadzoruje izvedbo naloge, odgovarja na zastavljena vprašanja in nudi pomoč slabšim učencem. Samopreizkus: Odgovori so zapisani na tabli.

b) 2 je tuj koren. Odgovor:3.

c) 2 je tuj koren. Odgovor: 1,5.

a) Odgovor: -12,5.

g) Odgovor: 1; 1,5.

5. Izjava o domači nalogi.

1. Preberi 25. točko iz učbenika, analiziraj primere 1-3.
2. Naučite se algoritma za reševanje ulomljenih racionalnih enačb.
3. Rešite v zvezkih št. 600 (a, d, e); št. 601 (g, h).
4. Poskusite rešiti #696(a) (izbirno).

6. Izpolnjevanje kontrolne naloge na preučevani temi.

Delo poteka na listih.

Primer zaposlitve:

A) Katere enačbe so ulomno racionalne?

B) Ulomek je nič, če je števec ______________________ in imenovalec _______________________.

V) Ali je število -3 koren enačbe #6?

D) Reši enačbo št. 7.

Merila za ocenjevanje nalog:

• »5« dobi, če je učenec pravilno opravil več kot 90 % naloge.
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• »2« prejme učenec, ki je opravil manj kot 50 % naloge.
• Ocena 2 se ne vpiše v dnevnik, 3 je neobvezna.

7. Razmislek.

Na zloženke s samostojnim delom napišite:

• 1 - če vam je bila lekcija zanimiva in razumljiva;
• 2 - zanimivo, a ne jasno;
• 3 - ni zanimivo, a razumljivo;
• 4 - ni zanimivo, ni jasno.

8. Povzetek lekcije.

Torej, danes smo se v lekciji seznanili z frakcijskimi racionalnimi enačbami, se naučili reševati te enačbe različne poti, svoje znanje preizkusili s pomočjo treninga samostojno delo. Rezultate samostojnega dela boste izvedeli v naslednji učni uri, doma boste imeli možnost pridobljeno znanje utrjevati.

Kateri način reševanja ulomkov racionalnih enačb je po vašem mnenju lažji, dostopnejši, racionalnejši? Ne glede na način reševanja ulomljenih racionalnih enačb, česa ne smemo pozabiti? Kakšna je "zvitost" ulomkov racionalnih enačb?

Hvala vsem, lekcije je konec.

Naučili smo se že reševati kvadratne enačbe. Razširimo zdaj preučene metode na racionalne enačbe.

Kaj je racionalno izražanje? S tem konceptom smo se že srečali. Racionalni izrazi imenovani izrazi, sestavljeni iz števil, spremenljivk, njihovih stopenj in znakov matematičnih operacij.

V skladu s tem so racionalne enačbe enačbe oblike: , kjer je - racionalni izrazi.

Prej smo upoštevali le tiste racionalne enačbe, ki se reducirajo na linearne. Zdaj pa razmislimo o tistih racionalnih enačbah, ki jih je mogoče zmanjšati na kvadratne.

Primer 1

Reši enačbo: .

rešitev:

Ulomek je 0, če in samo če je njegov števec 0 in imenovalec ni 0.

Dobimo naslednji sistem:

Prva enačba sistema je kvadratna enačba. Preden ga rešimo, vse njegove koeficiente delimo s 3. Dobimo:

Dobimo dva korena: ; .

Ker 2 nikoli ni enako 0, morata biti izpolnjena dva pogoja: . Ker se nobeden od korenov zgoraj dobljene enačbe ne ujema z neveljavno vrednostjo spremenljivke, ki je bila pridobljena pri reševanju druge neenačbe, sta obe rešitvi te enačbe.

odgovor:.

Torej, oblikujmo algoritem za reševanje racionalnih enačb:

1. Vse izraze premaknemo na levo stran, tako da dobimo 0 na desni strani.

2. Preoblikuj in poenostavi levo stran, vse ulomke spravi na skupni imenovalec.

3. Dobljeni ulomek enačite z 0 po naslednjem algoritmu: .

4. Zapišite tiste korene, ki jih dobite v prvi enačbi in kot odgovor izpolnjujejo drugo neenakost.

Poglejmo še en primer.

Primer 2

Reši enačbo: .

rešitev

Na samem začetku vse člene prenesemo na levo stran, tako da na desni ostane 0. Dobimo:

Zdaj pripeljemo levo stran enačbe na skupni imenovalec:

Ta enačba je enakovredna sistemu:

Prva enačba sistema je kvadratna enačba.

Koeficienti te enačbe: . Izračunamo diskriminanco:

Dobimo dva korena: ; .

Zdaj rešimo drugo neenačbo: zmnožek faktorjev ni enak 0, če in samo če nobeden od faktorjev ni enak 0.

Izpolnjena morata biti dva pogoja: . Dobimo, da je od dveh korenov prve enačbe primeren le eden - 3.

odgovor:.

V tej lekciji smo se spomnili, kaj je racionalni izraz, in se tudi naučili reševati racionalne enačbe, ki so reducirane na kvadratne enačbe.

V naslednji lekciji bomo obravnavali racionalne enačbe kot modele realnih situacij in obravnavali tudi probleme gibanja.

Bibliografija

1. Bashmakov M.I. Algebra, 8. razred. - M.: Razsvetljenje, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. Algebra, 8. 5. izd. - M.: Izobraževanje, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. razred. Učbenik za izobraževalne ustanove. - M.: Izobraževanje, 2006.

1. Festival pedagoške ideje "Javna lekcija" ().
2. School.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com().

Domača naloga

Enačbe z ulomki same po sebi niso težke in zelo zanimive. Razmislite o vrstah ulomljene enačbe in načine za njihovo rešitev.

Kako rešiti enačbe z ulomki - x v števcu

Če je podana enačba v ulomku, kjer je neznanka v števcu, rešitev ne zahteva dodatnih pogojev in se reši brez nepotrebnih težav. Splošni obrazec taka enačba je x/a + b = c, kjer je x neznanka, a, b in c so navadna števila.

Poiščite x: x/5 + 10 = 70.

Če želite rešiti enačbo, se morate znebiti ulomkov. Vsak člen enačbe pomnožite s 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x in 5 zmanjšamo, 10 in 70 pomnožimo s 5 in dobimo: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Poiščite x: x/5 + x/10 = 90.

Ta primer je nekoliko bolj zapletena različica prvega. Tukaj sta dve rešitvi.

• 1. možnost: Znebite se ulomkov tako, da pomnožite vse člene enačbe z večjim imenovalcem, to je z 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
• 2. možnost: dodajte levo stran enačbe. x/5 + x/10 = 90. Skupni imenovalec je 10. 10 delimo s 5, pomnožimo z x, dobimo 2x. 10 deljeno z 10, pomnoženo z x, dobimo x: 2x+x/10 = 90. Zato je 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Pogosto obstajajo ulomljene enačbe, v katerih so x-ji na nasprotnih straneh enačaja. V takšni situaciji je treba vse ulomke z x prenesti v eno smer, številke pa v drugo.

• Poiščite x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Premaknite se 2x/5 v desno z nasprotnim predznakom: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Zmanjšamo 5x/5 in dobimo: x = 130.

Kako rešiti enačbo z ulomki - x v imenovalcu

Ta vrsta ulomkov enačb zahteva pisanje dodatnih pogojev. Navedba teh pogojev je obvezen in sestavni del pravilne odločitve. Če jih ne pripišete, tvegate, saj odgovor (četudi je pravilen) morda preprosto ne bo upoštevan.

Splošna oblika ulomkov enačb, kjer je x v imenovalcu, je: a/x + b = c, kjer je x neznanka, a, b, c so navadna števila. Upoštevajte, da x morda ni poljubno število. Na primer, x ne more biti nič, ker ne morete deliti z 0. Ravno to je dodatni pogoj, ki ga moramo navesti. To se imenuje območje sprejemljivih vrednosti, skrajšano - ODZ.

Poiščite x: 15/x + 18 = 21.

Takoj zapišemo ODZ za x: x ≠ 0. Zdaj, ko je ODZ naveden, rešimo enačbo po standardni shemi in se znebimo ulomkov. Vse člene enačbe pomnožimo z x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Pogosto obstajajo enačbe, kjer imenovalec ne vsebuje samo x, ampak tudi kakšno drugo operacijo z njim, na primer seštevanje ali odštevanje.

Poiščite x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Vemo že, da imenovalec ne more biti enak nič, kar pomeni x-3 ≠ 0. Prenesemo -3 na desno stran, medtem ko znak »-« spremenimo v »+« in dobimo, da je x ≠ 3. ODZ je navedeno.

Rešite enačbo, vse pomnožite z x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Premaknite x v desno, številke v levo: 24 = 3x => x = 8.