مثال 1.5.1.

اسمح لمنطقة اقتصادية معينة بإنتاج عدة (ن) أنواع من المنتجات حصريًا بمفردها ولسكان هذه المنطقة فقط. ومن المفترض أن العملية التكنولوجية قد تم إنجازها، وتمت دراسة طلب السكان على هذه السلع. من الضروري تحديد الحجم السنوي لإنتاج المنتج، مع الأخذ في الاعتبار أن هذا الحجم يجب أن يوفر الاستهلاك النهائي والصناعي.

دعونا ننشئ نموذجًا رياضيًا لهذه المشكلة. وبحسب شروطها يتم إعطاء ما يلي: أنواع المنتجات والطلب عليها والعملية التكنولوجية؛ تحتاج إلى العثور على حجم الإخراج لكل نوع من المنتجات.

دعونا نشير إلى الكميات المعروفة:

ج أنا- الطلب السكاني على أناالمنتج ( أنا=1,...,ن); أ اي جاي- كمية أناالمنتج المطلوب لإنتاج وحدة من المنتج باستخدام تقنية معينة ( أنا=1,...,ن ; ي=1,...,ن);

X أنا – حجم الإخراج أنا- المنتج ( أنا=1,...,ن); مجمل مع =(ج 1 ,..., ج ن ) يسمى ناقل الطلب، الأرقام أ اي جاي- المعاملات التكنولوجية، والإجمالي X =(X 1 ,..., X ن ) - الافراج عن ناقلات.

وفقا لظروف المشكلة، ناقلات X موزعة على قسمين: للاستهلاك النهائي (vector مع ) وللتكاثر (ناقلات س-س ). دعونا نحسب هذا الجزء من المتجه X الذي يدخل في التكاثر. وفقا لتسمياتنا للإنتاج X يكمية المنتج Jth الموردة أ اي جاي · X يكميات أنا-المنتج.

ثم المبلغ أ i1 · X 1 +...+ أ في · X نيظهر تلك القيمة أنا-المنتج المطلوب للإصدار بأكمله X =(X 1 ,..., X ن ).

ولذلك يجب تحقيق المساواة:

وبتوسيع هذا المنطق ليشمل جميع أنواع المنتجات، نصل إلى النموذج المطلوب:

حل هذا النظام من المعادلات الخطية n لـ X 1 ،...،X نوابحث عن ناقل الإصدار المطلوب.

من أجل كتابة هذا النموذج في شكل أكثر إحكاما (ناقل)، نقدم الترميز التالي:

مربع (
) -مصفوفة أتسمى مصفوفة التكنولوجيا. من السهل التحقق من أن نموذجنا سيتم كتابته الآن على النحو التالي: س-س=آهأو

(1.6)

وصلنا النموذج الكلاسيكي " الإدخال - الإخراج "، مؤلفه الاقتصادي الأمريكي الشهير ف. ليونتييف.

مثال 1.5.2.

تحتوي مصفاة النفط على درجتين من النفط: الدرجة أبمبلغ 10 وحدات، الصف في- 15 وحدة. عند تكرير الزيت يتم الحصول على مادتين: البنزين (نشير إليه ب) وزيت الوقود ( م). هناك ثلاثة خيارات لعملية تكنولوجيا المعالجة:

أنا: وحدة 1 أ+ 2 وحدة فييعطي 3 وحدات ب+ 2 وحدة م

الثاني: وحدتان. أ+ 1 وحدة فييعطي 1 وحدة. ب+ 5 وحدات م

ثالثا: 2 وحدة أ+ 2 وحدة فييعطي 1 وحدة. ب+ 2 وحدة م

سعر البنزين 10 دولارات للوحدة، وزيت الوقود 1 دولار للوحدة.

من الضروري تحديد المجموعة الأكثر فائدة من العمليات التكنولوجية لمعالجة الكمية المتاحة من النفط.

قبل النمذجة، دعونا نوضح النقاط التالية. ويترتب على ظروف المشكلة أن "ربحية" العملية التكنولوجية للمصنع يجب أن تُفهم بمعنى الحصول على أقصى دخل من بيع منتجاتها النهائية (البنزين وزيت الوقود). وفي هذا الصدد، من الواضح أن "قرار الاختيار (اتخاذ)" الذي يتخذه المصنع يتكون من تحديد التكنولوجيا التي سيتم تطبيقها وعدد المرات. من الواضح أن هناك الكثير من هذه الخيارات الممكنة.

دعونا نشير إلى الكميات المجهولة:

X أنا– كمية الاستخدام أناالعملية التكنولوجية (ط = 1،2،3). معلمات النموذج الأخرى (احتياطيات النفط وأسعار البنزين وزيت الوقود) معروف.

الآن يتلخص أحد القرارات المحددة للنبات في اختيار ناقل واحد X =(س 1 ،X 2 ،X 3 ) ، والتي تساوي إيرادات المصنع (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) دولار هنا، 32 دولارًا هو الدخل المستلم من تطبيق واحد للعملية التكنولوجية الأولى (10 3 وحدات. ب+ 1 دولار · 2 وحدة. م= 32 دولارًا). إن المعاملات 15 و 12 للعمليتين التكنولوجيتين الثانية والثالثة، على التوالي، لهما معنى مماثل. إن محاسبة احتياطيات النفط تؤدي إلى الشروط التالية:

للتنوع أ:

للتنوع في:,

حيث في معاملات عدم المساواة الأولى 1، 2، 2 هي معدلات استهلاك النفط من الدرجة A للاستخدام لمرة واحدة للعمليات التكنولوجية أنا,ثانيا,ثالثاعلى التوالى. إن معاملات التباين الثاني لها معنى مماثل بالنسبة لنفط الدرجة ب.

النموذج الرياضي ككل له الشكل:

ابحث عن مثل هذا المتجه س = (س 1 ،X 2 ،X 3 ) لتكبير

و(س) = 32س 1 +15x 2 +12x 3

مع مراعاة الشروط التالية:

الشكل المختصر لهذا الإدخال هو:

تحت القيود

(1.7)

لقد حصلنا على ما يسمى بمشكلة البرمجة الخطية.

النموذج (1.7.) هو مثال لنموذج التحسين من النوع الحتمي (مع عناصر محددة جيدًا).

مثال 1.5.3.

يحتاج المستثمر إلى تحديد أفضل مزيج من الأسهم والسندات والأوراق المالية الأخرى للشراء بمبلغ معين من أجل الحصول على ربح معين بأقل قدر من المخاطرة على نفسه. الربح لكل دولار مستثمر في الأوراق المالية ي- النوع، ويتميز بمؤشرين: الربح المتوقع والربح الفعلي. بالنسبة للمستثمر، من المرغوب فيه ألا يقل الربح المتوقع لكل دولار من الاستثمار عن قيمة معينة لمجموعة الأوراق المالية بأكملها ب.

لاحظ أنه لصياغة هذه المشكلة بشكل صحيح، يجب أن يكون لدى عالم الرياضيات معرفة أساسية معينة في مجال نظرية محفظة الأوراق المالية.

دعونا نشير إلى المعلمات المعروفة للمشكلة:

ن- عدد أنواع الأوراق المالية؛ أ ي- الربح الفعلي (رقم عشوائي) من النوع j من الورقة المالية؛ - الربح المتوقع من ي-النوع من الأمن.

دعونا نشير إلى الكميات غير المعروفة :

ذ ي - الأموال المخصصة لشراء الأوراق المالية من هذا النوع ي.

باستخدام تدويننا، يتم التعبير عن المبلغ المستثمر بالكامل كـ . لتبسيط النموذج، قمنا بإدخال كميات جديدة

.

هكذا، X أنا- هذه هي حصة جميع الأموال المخصصة لشراء الأوراق المالية من هذا النوع ي.

انه واضح

ومن ظروف المشكلة يتضح أن هدف المستثمر هو تحقيق مستوى معين من الربح بأقل قدر من المخاطرة. في جوهرها، المخاطر هي مقياس لانحراف الربح الفعلي عن الربح المتوقع. ولذلك، يمكن تحديده مع التباين في أرباح الأوراق المالية من النوع i والنوع j. هنا M هو تعيين التوقع الرياضي.

النموذج الرياضي للمشكلة الأصلية له الشكل:

تحت القيود

,
,
,
. (1.8)

لقد حصلنا على نموذج ماركويتز الشهير لتحسين هيكل محفظة الأوراق المالية.

النموذج (1.8.) هو مثال لنموذج التحسين من النوع العشوائي (مع عناصر العشوائية).

مثال 1.5.4.

على أساس منظمة تجارية، هناك أنواع من أحد المنتجات ذات الحد الأدنى من التشكيلة. يجب إحضار نوع واحد فقط من المنتج المحدد إلى المتجر. يجب عليك اختيار نوع المنتج المناسب لإحضاره إلى المتجر. إذا كان نوع المنتج يسيكون مطلوبًا، وسيحقق المتجر ربحًا من بيعه ر يإذا لم يكن في الطلب - خسارة س ي .

قبل النمذجة، سنناقش بعض النقاط الأساسية. في هذه المشكلة، يكون صانع القرار (DM) هو المتجر. ومع ذلك، فإن النتيجة (الحد الأقصى للربح) لا تعتمد فقط على قراره، ولكن أيضًا على ما إذا كان المنتج المستورد سيكون مطلوبًا، أي ما إذا كان سيتم شراؤه من قبل السكان (من المفترض أنه لسبب ما لا يقوم المتجر بذلك) لدينا الفرصة لدراسة الطلب من السكان). ولذلك يمكن اعتبار السكان بمثابة صانع القرار الثاني، حيث يختارون نوع المنتج حسب تفضيلاتهم. أسوأ "قرار" يتخذه السكان بشأن المتجر هو: "البضائع المستوردة ليست مطلوبة". لذلك، لمراعاة جميع المواقف المحتملة، يحتاج المتجر إلى اعتبار السكان "عدو" (مشروط)، والسعي لتحقيق الهدف المعاكس - لتقليل ربح المتجر.

لذا، لدينا مشكلة في اتخاذ القرار حيث يسعى اثنان من المشاركين إلى تحقيق أهداف متعارضة. دعونا نوضح أن المتجر يختار أحد أنواع البضائع المعروضة للبيع (لا يوجد خيارات قرار)، ويختار السكان أحد أنواع السلع الأكثر طلبًا ( نخيارات الحل).

تجميع نموذج رياضيدعونا نرسم طاولة مع نخطوط و نالأعمدة (الإجمالي ن 2 الخلايا) وتوافق على أن الصفوف تتوافق مع اختيار المتجر، والأعمدة تتوافق مع اختيار السكان. ثم الخلية (اي جاي)يتوافق مع الوضع عندما يختار المتجر أنانوع المنتج ( أنا- السطر)، ويختار السكان ينوع المنتج ( ي-العمود الرابع). نكتب في كل خلية تقييمًا رقميًا (الربح أو الخسارة) للوضع المقابل من وجهة نظر المتجر:

أعداد س أنامكتوبة بعلامة ناقص لتعكس خسارة المتجر؛ وفي كل حالة، فإن "مكسب" السكان (بشكل مشروط) يساوي "مكسب" المتجر، مأخوذًا بالعلامة المعاكسة.

والشكل المختصر لهذا النموذج هو:

(1.9)

لقد حصلنا على ما يسمى بلعبة المصفوفة. النموذج (1.9.) هو مثال لنماذج اتخاذ القرار في اللعبة.

لبناء نموذج رياضي تحتاج إلى:

1. تحليل كائن أو عملية حقيقية بعناية؛
2. وتسليط الضوء على أهم مميزاته وخصائصه؛
3. تحديد المتغيرات، أي. المعلمات التي تؤثر قيمها على السمات والخصائص الرئيسية للكائن؛
4. وصف اعتماد الخصائص الأساسية لكائن أو عملية أو نظام على قيم المتغيرات باستخدام العلاقات المنطقية الرياضية (المعادلات والمساواة وعدم المساواة والإنشاءات المنطقية الرياضية)؛
5. تسليط الضوء على الروابط الداخلية لكائن أو عملية أو نظام باستخدام القيود والمعادلات والمساواة وعدم المساواة والإنشاءات المنطقية والرياضية؛
6. يُعرِّف علاقات خارجيةووصفها باستخدام القيود والمعادلات والمساواة والمتباينات والإنشاءات المنطقية والرياضية.

النمذجة الرياضية، بالإضافة إلى دراسة كائن أو عملية أو نظام ووضع وصف رياضي له، تشمل أيضًا:

1. بناء خوارزمية تمثل سلوك كائن أو عملية أو نظام؛
2. التحقق من مدى كفاية النموذج والكائن أو العملية أو النظام بناءً على تجارب حسابية وواسعة النطاق؛
3. تعديل النموذج
4. باستخدام النموذج.

يعتمد الوصف الرياضي للعمليات والأنظمة قيد الدراسة على:

1. طبيعة العملية أو النظام الحقيقي ويتم تجميعها على أساس قوانين الفيزياء والكيمياء والميكانيكا والديناميكا الحرارية والديناميكا المائية والهندسة الكهربائية ونظرية اللدونة ونظرية المرونة وما إلى ذلك.
2. الموثوقية والدقة المطلوبة لدراسة وبحث العمليات والأنظمة الحقيقية.

يبدأ بناء النموذج الرياضي عادة ببناء وتحليل النموذج الرياضي الأبسط والأكثر بدائية للكائن أو العملية أو النظام قيد النظر. في المستقبل، إذا لزم الأمر، يتم تحسين النموذج وجعل مراسلاته مع الكائن أكثر اكتمالا.

لنأخذ مثالا بسيطا. من الضروري تحديد مساحة سطح المكتب. عادةً ما يتم ذلك عن طريق قياس طوله وعرضه، ثم ضرب الأرقام الناتجة. يعني هذا الإجراء الأولي في الواقع ما يلي: يتم استبدال كائن حقيقي (سطح الطاولة) بنموذج رياضي مجرد - مستطيل. يتم تعيين الأبعاد التي يتم الحصول عليها عن طريق قياس طول وعرض سطح الطاولة للمستطيل، وتُعتبر مساحة هذا المستطيل تقريبًا هي المساحة المطلوبة للجدول. ومع ذلك، فإن النموذج المستطيل للمكتب هو النموذج الأبسط والأكثر بدائية. إذا اتبعت نهجًا أكثر جدية تجاه المشكلة، قبل استخدام نموذج مستطيل لتحديد مساحة الجدول، فيجب التحقق من هذا النموذج. يمكن إجراء الفحوصات على النحو التالي: قياس الأطوال الأطراف المقابلةالجدول وكذلك أطوال أقطاره ومقارنتها مع بعضها البعض. إذا كانت أطوال الجوانب المتقابلة وأطوال الأقطار، بالدرجة المطلوبة من الدقة، متساوية في أزواج، فيمكن اعتبار سطح الطاولة مستطيلًا حقًا. وبخلاف ذلك، يجب رفض النموذج المستطيل واستبداله بالنموذج الرباعي منظر عام. مع زيادة متطلبات الدقة، قد يكون من الضروري تحسين النموذج بشكل أكبر، على سبيل المثال، لمراعاة تقريب زوايا الجدول.

بمساعدة هذا مثال بسيطلقد تبين أن النموذج الرياضي لا يتم تحديده بشكل فريد من خلال الكائن أو العملية أو نظام.

أو (سيتم التوضيح غدًا)

طرق حل الرياضيات. عارضات ازياء:

1, بناء نموذج مبني على قوانين الطبيعة (الطريقة التحليلية)

2. الطريقة الرسمية باستخدام الأساليب الإحصائية. معالجة وقياس النتائج (المنهج الإحصائي)

3. بناء نموذج يعتمد على نموذج العناصر (الأنظمة المعقدة)

1، تحليلي - استخدم مع دراسة كافية. النمط العام معروف. عارضات ازياء.

2. التجربة. في غياب المعلومات.

3. التقليد م - يستكشف خصائص الكائن. عمومًا.

مثال على بناء نموذج رياضي.

نموذج رياضيهو تمثيل رياضي للواقع.

نمذجة الرياضياتهي عملية بناء ودراسة النماذج الرياضية.

جميع العلوم الطبيعية والاجتماعية التي تستخدم الرياضيات منخرطة بشكل أساسي في النمذجة الرياضية: فهي تستبدل الكائن بنموذجه الرياضي ثم تدرس الأخير. يتم الربط بين النموذج الرياضي والواقع باستخدام سلسلة من الفرضيات والمثاليات والتبسيطات. باستخدام الأساليب الرياضية، كقاعدة عامة، يتم وصف الكائن المثالي الذي تم إنشاؤه في مرحلة النمذجة ذات المغزى.

لماذا هناك حاجة للنماذج؟

في كثير من الأحيان، عند دراسة أي كائن، تنشأ الصعوبات. في بعض الأحيان يكون الأصل نفسه غير متوفر، أو لا ينصح باستخدامه، أو يكون جذب الأصل مكلفًا. كل هذه المشاكل يمكن حلها باستخدام المحاكاة. بمعنى ما، يمكن للنموذج أن يحل محل الكائن قيد الدراسة.

أبسط الأمثلة على النماذج

§ يمكن أن تسمى الصورة نموذجا للشخص. لكي تتعرف على شخص ما، يكفي أن ترى صورته.

§ قام المهندس المعماري بإنشاء نموذج لمنطقة سكنية جديدة. يمكنه نقل مبنى شاهق من جزء إلى آخر بحركة يده. في الواقع لن يكون هذا ممكنا.

أنواع النماذج

يمكن تقسيم النماذج إلى مادة"و ممتاز. الأمثلة المذكورة أعلاه هي نماذج مادية. غالبًا ما تحتوي النماذج المثالية على أشكال مميزة. يتم استبدال المفاهيم الحقيقية ببعض العلامات التي يمكن تسجيلها بسهولة على الورق أو في ذاكرة الكمبيوتر وما إلى ذلك.

نمذجة الرياضيات

تنتمي النمذجة الرياضية إلى فئة النمذجة الرمزية. علاوة على ذلك، يمكن إنشاء النماذج من أي كائنات رياضية: الأرقام، والوظائف، والمعادلات، وما إلى ذلك.

بناء نموذج رياضي

§ يمكن ملاحظة عدة مراحل لبناء النموذج الرياضي:

1. فهم المشكلة وتحديد أهم الصفات والخصائص والكميات والمعلمات بالنسبة لنا.

2. مقدمة التدوين.

3. وضع نظام للقيود التي يجب أن تستوفيها القيم المدخلة.

4. صياغة وتسجيل الشروط التي يجب توافرها للحل الأمثل المطلوب.

لا تنتهي عملية النمذجة بإنشاء النموذج، بل تبدأ به فقط. بعد تجميع النموذج، يختارون طريقة للعثور على الإجابة وحل المشكلة. وبعد العثور على الجواب يتم مقارنته بالواقع. ومن الممكن أن تكون الإجابة غير مرضية، وفي هذه الحالة يتم تعديل النموذج أو حتى اختيار نموذج مختلف تماما.

مثال لنموذج رياضي

مهمة

تحتاج جمعية الإنتاج، التي تضم مصنعين للأثاث، إلى تحديث مجموعة الآلات الخاصة بها. علاوة على ذلك، يحتاج مصنع الأثاث الأول إلى استبدال ثلاث آلات، والثاني - سبعة. يمكن تقديم الطلبات في مصنعين للأدوات الآلية. المصنع الأول لا يمكنه إنتاج أكثر من 6 آلات، والمصنع الثاني سيقبل الطلب إذا كان هناك ثلاث آلات على الأقل. تحتاج إلى تحديد كيفية تقديم الطلبات.

النموذج الرياضي - تمثيل لظاهرة أو عملية تمت دراستها بمعرفة علمية ملموسة بلغة المفاهيم الرياضية. وفي هذه الحالة من المتوقع الحصول على عدد من خصائص الظاهرة قيد الدراسة من خلال دراسة الخصائص الرياضية الفعلية للنموذج. بناء م. غالبًا ما تمليه الحاجة إلى وجود تحليل كمي للظواهر والعمليات التي تتم دراستها، والتي بدونها، بدوره، من المستحيل تقديم تنبؤات يمكن التحقق منها تجريبيًا حول مسارها.

تمر عملية النمذجة الرياضية، كقاعدة عامة، بالمراحل التالية. في المرحلة الأولى، يتم تحديد الروابط بين المعالم الرئيسية للمستقبل M. M.. إنه على وشكأولا وقبل كل شيء عن التحليل النوعيالظواهر قيد الدراسة وصياغة أنماط تربط بين الأهداف الرئيسية للبحث. وعلى هذا الأساس يتم تحديد الأشياء التي يمكن وصفها كمياً. تنتهي المرحلة ببناء نموذج افتراضي، أي تسجيل بلغة المفاهيم الرياضية أفكارًا نوعية حول العلاقات بين الأشياء الرئيسية للنموذج، والتي يمكن وصفها كميًا.

وفي المرحلة الثانية يتم دراسة المشكلات الرياضية الفعلية التي يؤدي إليها النموذج الافتراضي المبني. الشيء الرئيسي في هذه المرحلة هو الحصول على نتائج نظرية يمكن التحقق منها تجريبيا (حل المشكلة المباشرة) نتيجة للتحليل الرياضي للنموذج. في الوقت نفسه، غالبا ما تكون هناك حالات عندما يكون من أجل بناء ودراسة M. M. في مجالات مختلفة على وجه التحديد معرفة علميةيتم استخدام نفس الجهاز الرياضي (على سبيل المثال، المعادلات التفاضلية) وتظهر مشاكل رياضية من نفس النوع، على الرغم من أنها ليست تافهة للغاية في كل حالة محددة. بالإضافة إلى ذلك، في هذه المرحلة، يصبح استخدام أجهزة الكمبيوتر (الكمبيوتر) عالية السرعة ذا أهمية كبيرة، مما يجعل من الممكن الحصول على حلول تقريبية للمسائل، التي غالبًا ما تكون مستحيلة في إطار الرياضيات البحتة، بدرجة من الدقة لم يكن من الممكن الوصول إليها سابقًا ( بدون استخدام الكمبيوتر).

تتميز المرحلة الثالثة بأنشطة لتحديد درجة كفاية M.M الافتراضية المبنية. تلك الظواهر والعمليات التي كان من المفترض دراستها. على وجه التحديد، إذا تم تحديد جميع معلمات النموذج، يحاول الباحثون معرفة إلى أي مدى، ضمن حدود دقة المراقبة، تتوافق نتائجهم مع النتائج النظرية للنموذج. تشير الانحرافات خارج حدود دقة الرصد إلى عدم كفاية النموذج. ومع ذلك، غالبا ما تكون هناك حالات عندما يتم الحفاظ على عدد من المعلمات عند بناء النموذج

غير مؤكد. تسمى المشكلات التي يتم فيها تحديد الخصائص البارامترية للنموذج بطريقة تجعل النتائج النظرية قابلة للمقارنة، في حدود دقة الملاحظة، مع نتائج الاختبارات التجريبية، المشكلات العكسية.

وفي المرحلة الرابعة ومع الأخذ في الاعتبار تحديد درجة كفاية النموذج الافتراضي المبني وظهور بيانات تجريبية جديدة عن الظواهر محل الدراسة، يتم لاحقاً تحليل النموذج وتعديله. هنا يختلف القرار المتخذ من الرفض غير المشروط للأدوات الرياضية التطبيقية إلى قبول النموذج المبني كأساس لبناء نظرية علمية جديدة بشكل أساسي.

أول م. ظهرت في العلوم القديمة . وهكذا، لنمذجة النظام الشمسي، أعطى عالم الرياضيات والفلكي اليوناني إيودكسوس لكل كوكب أربعة مجالات، أدى مزيج حركاتها إلى إنشاء فرس النهر - وهو منحنى رياضي مشابه للحركة المرصودة للكوكب. ومع ذلك، نظرًا لأن هذا النموذج لم يتمكن من تفسير جميع الحالات الشاذة المرصودة في حركة الكواكب، فقد تم استبداله لاحقًا بالنموذج الملحمي لأبولونيوس من برجا. وقد استخدم النموذج الأخير في دراساته هيبارخوس، ثم بعد أن أخضعه لبعض التعديلات، استخدمه بطليموس. وكان هذا النموذج، مثل سابقيه، يعتمد على الاعتقاد بأن الكواكب تتحرك بشكل منتظم حركات دائريةوالذي أوضح تداخله المخالفات الظاهرة. تجدر الإشارة إلى أن النموذج الكوبرنيكي كان جديدًا بشكل أساسي فقط بالمعنى النوعي (ولكن ليس بالمعنى الدقيق للكلمة). وفقط كيبلر، بناءً على ملاحظات تايكو براهي، هو الذي بنى M.M. النظام الشمسي، مما يثبت أن الكواكب لا تتحرك في مدارات دائرية، بل في مدارات بيضاوية.

حاليًا، تعتبر أكثرها ملائمة هي تلك المصممة لوصف الميكانيكية و الظواهر الفيزيائية. على كفاية م. خارج نطاق الفيزياء، يمكن للمرء، مع بعض الاستثناءات، التحدث بقدر لا بأس به من الحذر. ومع ذلك، فإن تحديد الطبيعة الافتراضية، وفي كثير من الأحيان ببساطة عدم كفاية م. في مختلف مجالات المعرفة، ولا ينبغي الاستهانة بدورها في تطور العلوم. في كثير من الأحيان تكون هناك حالات حيث حتى النماذج غير الكافية قد نظمت بشكل كبير وحفزت المزيد من البحث، جنبا إلى جنب مع الاستنتاجات الخاطئة التي تحتوي أيضا على جزء من الحقيقة التي تبرر بشكل كامل الجهود المبذولة لتطوير هذه النماذج.

الأدب:

نمذجة الرياضيات. م.، 1979؛

روزافين جي. رياضيات المعرفة العلمية. م.، 1984؛

Tutubalin V.N.، Barabasheva Yu.M.، Grigoryan AA، Devyatkova G.N.، Uger E. G. المعادلات التفاضلية في علم البيئة: الانعكاس التاريخي والمنهجي // أسئلة حول تاريخ العلوم الطبيعية والتكنولوجيا. 1997. رقم 3.

قاموس المصطلحات الفلسفية. الطبعة العلمية للأستاذ ف. كوزنتسوفا. م.، إنفرا-م، 2007، ص. 310-311.

النماذج الرياضية

نموذج رياضي - الأفي التقريبيمعنى كائن النمذجة، معبرا عنه باستخداممن الرمزية الرياضية.

ظهرت النماذج الرياضية جنبًا إلى جنب مع الرياضيات منذ عدة قرون. أعطى ظهور أجهزة الكمبيوتر زخما كبيرا لتطوير النمذجة الرياضية. لقد أتاح استخدام أجهزة الكمبيوتر تحليل وتطبيق العديد من النماذج الرياضية التي لم يكن من الممكن الوصول إليها في السابق البحث التحليلي. نفذت على جهاز كمبيوتر رياضيانموذج السماءمُسَمًّى النموذج الرياضي الحاسوبي, أ إجراء الحسابات المستهدفة باستخدام نموذج الكمبيوترمُسَمًّى تجربة حسابية.

مراحل علوم الرياضيات الحاسوبيةقسمتظهر في الشكل. أولاًمنصة - تحديد أهداف النمذجة.يمكن أن تكون هذه الأهداف مختلفة:

1. هناك حاجة إلى نموذج لفهم كيفية عمل كائن معين، وما هو هيكله، وخصائصه الأساسية، وقوانين التطور والتفاعل
   مع العالم الخارجي (التفاهم)؛
2. هناك حاجة إلى نموذج لمعرفة كيفية إدارة كائن (أو عملية) وتحديده أفضل الطرقالإدارة بأهداف ومعايير معينة (الإدارة) ؛
3. النموذج ضروري للتنبؤ بالعواقب المباشرة وغير المباشرة للتنفيذ طرق معينةوأشكال التأثير على الكائن (التنبؤ).

دعونا نشرح مع الأمثلة. دع موضوع الدراسة هو تفاعل تدفق السائل أو الغاز مع جسم يشكل عائقًا أمام هذا التدفق. تظهر التجربة أن قوة مقاومة التدفق من جانب الجسم تزداد مع زيادة سرعة التدفق، ولكن عند بعض السرعات العالية بما فيه الكفاية، تتناقص هذه القوة فجأة لتزداد مرة أخرى مع زيادة أخرى في السرعة. ما سبب انخفاض قوة المقاومة؟ تتيح لنا النمذجة الرياضية الحصول على إجابة واضحة: في لحظة الانخفاض الحاد في المقاومة، تبدأ الدوامات المتكونة في تدفق السائل أو الغاز خلف الجسم الانسيابي في الانفصال عنه ويتم حملها بعيدًا عن طريق التدفق.

مثال من منطقة مختلفة تمامًا: مجموعات من نوعين من الأفراد الذين تعايشوا بسلام مع أعداد مستقرة وكان لديهم إمدادات غذائية مشتركة، بدأوا "فجأة" في تغيير أعدادهم بشكل حاد. وهنا تسمح النمذجة الرياضية (بدرجة معينة من الموثوقية) بتحديد السبب (أو على الأقلدحض فرضية معينة).

يعد تطوير مفهوم لإدارة كائن ما هدفًا محتملاً آخر للنمذجة. ما هو وضع الطيران الذي يجب أن أختاره للتأكد من أن الرحلة آمنة وأكثر ربحية من الناحية الاقتصادية؟ كيفية جدولة مئات أنواع العمل لبناء منشأة كبيرة بحيث يتم الانتهاء منها في أسرع وقت ممكن المدى القصير؟ تنشأ العديد من هذه المشاكل بشكل منهجي أمام الاقتصاديين والمصممين والعلماء.

وأخيرًا، فإن التنبؤ بعواقب بعض التأثيرات على جسم ما يمكن أن يكون أمرًا بسيطًا نسبيًا في الأنظمة الفيزيائية البسيطة، ومعقدًا للغاية - على وشك الجدوى - في الأنظمة البيولوجية والاقتصادية والاجتماعية. إذا كان من السهل نسبيًا الإجابة على سؤال حول التغيرات في وضع توزيع الحرارة في قضيب رفيع نتيجة للتغيرات في السبيكة المكونة له، فمن السهل نسبيًا تتبع (التنبؤ) بالعواقب البيئية والمناخية لبناء مجمع كبير. محطة الطاقة الكهرومائية أو العواقب الاجتماعيةإن التغييرات في التشريعات الضريبية أكثر صعوبة بما لا يقاس. وربما هنا أيضًا ستوفر أساليب النمذجة الرياضية مساعدة أكبر في المستقبل.

المرحلة الثانية:تحديد معلمات الإدخال والإخراج للنموذج؛ تقسيم معلمات المدخلات حسب درجة أهمية تأثير تغيراتها على المخرجات. وتسمى هذه العملية الترتيب، أو الفصل حسب الرتبة (انظر. "إضفاء الطابع الرسميالنمذجة والنمذجة").

المرحلة الثالثة:بناء نموذج رياضي. في هذه المرحلة، يتم الانتقال من صياغة مجردة للنموذج إلى صياغة لها تمثيل رياضي محدد. النموذج الرياضي هو المعادلات، وأنظمة المعادلات، وأنظمة عدم المساواة، والمعادلات التفاضلية أو أنظمة هذه المعادلات، وما إلى ذلك.

المرحلة الرابعة:اختيار طريقة لدراسة النموذج الرياضي. في أغلب الأحيان، يتم استخدام الأساليب العددية هنا، والتي تناسب البرمجة بشكل جيد. كقاعدة عامة، هناك عدة طرق مناسبة لحل نفس المشكلة، وتختلف في الدقة والاستقرار، وما إلى ذلك. غالبًا ما يعتمد نجاح عملية النمذجة بأكملها على الاختيار الصحيح للطريقة.

المرحلة الخامسة:يعد تطوير خوارزمية وتجميع وتصحيح برنامج كمبيوتر عملية صعبة لإضفاء الطابع الرسمي عليها. من بين لغات البرمجة، يفضل العديد من المحترفين لغة FORTRAN للنمذجة الرياضية: سواء بسبب التقاليد أو بسبب الكفاءة غير المسبوقة للمترجمين (لأعمال الحساب) وتوافر مكتبات ضخمة ومصححة بعناية ومُحسّنة من البرامج القياسية للأساليب الرياضية المكتوبة بها . كما يتم استخدام لغات مثل PASCAL، BASIC، C، وذلك حسب طبيعة المهمة وميول المبرمج.

المرحلة السادسة:اختبار البرنامج. يتم اختبار تشغيل البرنامج على مشكلة اختبارية ذات إجابة معروفة مسبقًا. وهذه مجرد بداية لإجراء اختبار يصعب وصفه بطريقة رسمية شاملة. ينتهي الاختبار عادةً عندما يقوم المستخدم، بطريقته الخاصة، الخصائص المهنيةيجد البرنامج الصحيح.

المرحلة السابعة:التجربة الحسابية الفعلية، والتي يتم خلالها تحديد ما إذا كان النموذج يتوافق مع كائن حقيقي (عملية). يكون النموذج مناسبًا بدرجة كافية للعملية الحقيقية إذا كانت بعض خصائص العملية التي تم الحصول عليها على الكمبيوتر تتطابق مع الخصائص التي تم الحصول عليها تجريبيًا بدرجة معينة من الدقة. إذا كان النموذج لا يتوافق مع العملية الحقيقية نعود إلى إحدى المراحل السابقة.

تصنيف النماذج الرياضية

يمكن أن يعتمد تصنيف النماذج الرياضية على مبادئ مختلفة. يمكنك تصنيف النماذج حسب فروع العلوم (النماذج الرياضية في الفيزياء والأحياء وعلم الاجتماع وغيرها). يمكن تصنيفها حسب الأجهزة الرياضية المستخدمة (نماذج تعتمد على استخدام المعادلات التفاضلية العادية، المعادلات التفاضلية الجزئية، الطرق العشوائية، التحويلات الجبرية المنفصلة، ​​إلخ). وأخيرا، على أساس المهام المشتركةالنمذجة في العلوم المختلفة بغض النظر عن الجهاز الرياضي فإن التصنيف الأكثر طبيعية هو:

• نماذج وصفية (وصفية) ؛
• نماذج التحسين؛
• نماذج متعددة المعايير؛
• نماذج اللعبة.

دعونا نوضح ذلك بالأمثلة.

النماذج الوصفية (الوصفية).. على سبيل المثال، نمذجة حركة غزو المذنب النظام الشمسي، بغرض التنبؤ بمسار طيرانه، والمسافة التي سيمر بها من الأرض، وما إلى ذلك. وفي هذه الحالة تكون أهداف النمذجة ذات طبيعة وصفية، حيث لا توجد طريقة للتأثير على حركة المذنب أو تغيير أي شيء فيه.

نماذج التحسينتستخدم لوصف العمليات التي يمكن أن تتأثر في محاولة لتحقيق هدف معين. في هذه الحالة، يتضمن النموذج واحدًا أو أكثر من المعلمات التي يمكن التأثير عليها. على سبيل المثال، عند تغيير النظام الحراري في مخزن الحبوب، يمكنك تحديد هدف اختيار النظام الذي يحقق أقصى قدر من سلامة الحبوب، أي. تحسين عملية التخزين.

نماذج متعددة المعايير. غالبًا ما يكون من الضروري تحسين العملية وفقًا لعدة معايير في وقت واحد، ويمكن أن تكون الأهداف متناقضة تمامًا. فمثلاً، معرفة أسعار المواد الغذائية وحاجة الشخص للطعام، تحتاج إلى تنظيم الوجبات مجموعات كبيرةالناس (في الجيش، معسكر صيفي للأطفال، وما إلى ذلك) صحيح من الناحية الفسيولوجية، وفي الوقت نفسه، رخيصة قدر الإمكان. ومن الواضح أن هذه الأهداف لا تتطابق على الإطلاق، أي. عند النمذجة، سيتم استخدام عدة معايير، والتي يجب البحث عن التوازن بينها.

نماذج اللعبةقد تتعلق ليس فقط ل العاب كمبيوترولكن أيضًا لأشياء خطيرة جدًا. على سبيل المثال، قبل المعركة، يجب على القائد، إذا كانت هناك معلومات غير كاملة عن الجيش المنافس، أن يضع خطة: في أي ترتيب يتم إدخال وحدات معينة في المعركة، وما إلى ذلك، مع الأخذ في الاعتبار و رد فعل محتملالعدو. هناك فرع خاص من الرياضيات الحديثة - نظرية الألعاب - يدرس طرق اتخاذ القرار في ظل ظروف عدم اكتمال المعلومات.

في دورة علوم الكمبيوتر المدرسية، يتلقى الطلاب فهمًا أوليًا للنمذجة الرياضية للكمبيوتر كجزء من الدورة الأساسية. في المدرسة الثانوية، يمكن دراسة النمذجة الرياضية بعمق في دورة التعليم العام لفصول الفيزياء والرياضيات، وكذلك كجزء من دورة اختيارية متخصصة.

الأشكال الرئيسية لتدريس النمذجة الرياضية للكمبيوتر في المدرسة الثانوية هي المحاضرات وفصول المختبر والاختبار. عادةً ما يستغرق العمل على إنشاء كل نموذج جديد والتحضير له 3-4 دروس. أثناء عرض المادة، يتم تحديد المهام التي يجب على الطلاب حلها بشكل مستقل في المستقبل. المخطط العامتم توضيح طرق حلها. يتم صياغة الأسئلة، والتي يجب الحصول على الإجابات عند إكمال المهام. مبين الأدب الإضافي، والذي يسمح لك بالحصول على معلومات مساعدة لإنجاز المهام بنجاح أكبر.

عادة ما يكون شكل تنظيم الفصول الدراسية عند دراسة مواد جديدة عبارة عن محاضرة. بعد الانتهاء من مناقشة النموذج التالي طلابلديهم المعلومات النظرية اللازمة ومجموعة من المهام لمزيد من العمل. استعدادًا لإكمال مهمة ما، يختار الطلاب طريقة الحل المناسبة ويختبرون البرنامج المطور باستخدام بعض الحلول الخاصة المعروفة. في حالة وجود صعوبات محتملة تماما عند تنفيذ المهام، يتم تقديم التشاور، ويتم تقديم اقتراح لدراسة هذه الأقسام بمزيد من التفصيل في المصادر الأدبية.

الطريقة الأكثر ملائمة للجزء العملي من تدريس النمذجة الحاسوبية هي طريقة المشروع. يتم صياغة المهمة للطالب على شكل مشروع تعليمي ويتم تنفيذها على عدة دروس، والشكل التنظيمي الرئيسي هو الكمبيوتر أعمال المختبر. يمكن تنفيذ نمذجة التدريس باستخدام طريقة المشروع التعليمي على مستويات مختلفة. الأول هو عرض تقديمي إشكالي لعملية إكمال المشروع، والذي يقوده المعلم. والثاني هو تنفيذ المشروع من قبل الطلاب تحت إشراف المعلم. والثالث هو أن يقوم الطلاب بإكمال مشروع بحث تعليمي بشكل مستقل.

يجب تقديم نتائج العمل بشكل رقمي، في شكل رسوم بيانية ومخططات. إذا كان ذلك ممكنا، يتم عرض العملية على شاشة الكمبيوتر في ديناميات. عند الانتهاء من الحسابات واستلام النتائج يتم تحليلها ومقارنتها حقائق معروفةومن الناحية النظرية، يتم تأكيد الموثوقية وإجراء تفسير ذي معنى، وهو ما ينعكس لاحقًا في تقرير مكتوب.

إذا كانت النتائج ترضي الطالب والمعلم فالعمل العداكتملت، والمرحلة النهائية هي إعداد التقرير. ويتضمن التقرير معلومات نظرية مختصرة عن الموضوع قيد الدراسة، وصياغة رياضية للمشكلة، وخوارزمية الحل ومبرراته، وبرنامج حاسوبي، ونتائج البرنامج، وتحليل النتائج والاستنتاجات، وقائمة المراجع.

عندما يتم تجميع جميع التقارير، يقدم الطلاب تقاريرهم رسائل قصيرةحول العمل المنجز، والدفاع عن مشروعهم. يعد هذا نموذجًا فعالاً للتقرير من المجموعة التي تنفذ المشروع إلى الفصل، بما في ذلك تحديد المشكلة، وبناء نموذج رسمي، واختيار طرق العمل مع النموذج، وتنفيذ النموذج على الكمبيوتر، والعمل مع النموذج النهائي، والتفسير النتائج، ووضع التوقعات. نتيجة لذلك، يمكن للطلاب الحصول على درجتين: الأولى - لتطوير المشروع ونجاح الدفاع عنه، والثانية - للبرنامج، وتحسين خوارزميته، وواجهته، وما إلى ذلك. يحصل الطلاب أيضًا على درجات أثناء الاختبارات النظرية.

السؤال الجوهري- ما الأدوات التي ينبغي استخدامها في دورة علوم الكمبيوتر المدرسية للنمذجة الرياضية؟ يمكن تنفيذ النماذج بالكمبيوتر:

• باستخدام معالج جداول البيانات (عادةً MS Excel)؛
• وذلك بإنشاء برامج بلغات البرمجة التقليدية (باسكال، بيسك وغيرها)، وكذلك بإصداراتها الحديثة (دلفي، فيجوال).
  أساسيات التطبيق، وما إلى ذلك)؛
• استخدام حزم التطبيقات الخاصة لحل المشكلات الرياضية (MathCAD، وما إلى ذلك).

وعلى مستوى المدرسة الأساسية، يبدو أن الطريقة الأولى هي الأفضل. ومع ذلك، في المدرسة الثانوية، عندما تكون البرمجة، إلى جانب النمذجة، موضوعًا رئيسيًا في علوم الكمبيوتر، فمن المستحسن استخدامها كأداة للنمذجة. أثناء عملية البرمجة، تصبح تفاصيل الإجراءات الرياضية متاحة للطلاب؛ علاوة على ذلك، فإنهم ببساطة مجبرون على إتقانهم، وهذا يساهم أيضا في التعليم الرياضي. أما بالنسبة لاستخدام حزم البرامج الخاصة، فهذا مناسب في دورة متخصصة في علوم الكمبيوتر كملحق للأدوات الأخرى.

يمارس :

• قم بعمل رسم تخطيطي للمفاهيم الأساسية.

محاضرة 1.

الأساسيات المنهجية للنمذجة

الوضع الحالي لمشكلة نمذجة النظام

مفاهيم النمذجة والمحاكاة

النمذجةيمكن اعتباره استبدال الكائن قيد الدراسة (الأصلي) بصورته التقليدية أو وصفه أو كائن آخر يسمى نموذجوتقديم سلوك قريب من الأصل في إطار افتراضات معينة وأخطاء مقبولة. يتم إجراء النمذجة عادة بهدف فهم خصائص الأصل من خلال دراسة نموذجه، وليس الكائن نفسه. بالطبع، النمذجة لها ما يبررها عندما أسهل في الإنشاءالأصل نفسه أو عندما يكون من الأفضل لسبب ما عدم إنشاء الأخير على الإطلاق.

تحت نموذجيُفهم على أنه كائن مادي أو مجرد، تكون خصائصه مشابهة إلى حد ما لخصائص الكائن قيد الدراسة، وفي هذه الحالة يتم تحديد متطلبات النموذج من خلال المشكلة التي يتم حلها والوسائل المتاحة. هناك عدد من المتطلبات العامة للنماذج:

2) الاكتمال – تزويد المتلقي بجميع المعلومات اللازمة

عن الكائن؛

3) المرونة - القدرة على إعادة إنتاج المواقف المختلفة في كل شيء

مجموعة من التغييرات في الظروف والمعلمات؛

4) يجب أن يكون تعقيد التطوير مقبولاً بالنسبة للموجود

الوقت والبرمجيات.

النمذجةهي عملية بناء نموذج لجسم ما ودراسة خصائصه من خلال فحص النموذج.

وبالتالي، تتضمن النمذجة مرحلتين رئيسيتين:

1) تطوير النموذج.

2) دراسة النموذج واستخلاص النتائج.

في الوقت نفسه، في كل مرحلة، يتم حل المهام المختلفة و

طرق ووسائل مختلفة بشكل أساسي.

في الممارسة العملية يستخدمون أساليب مختلفةالنمذجة. اعتمادا على طريقة التنفيذ، يمكن تقسيم جميع النماذج إلى فئتين كبيرتين: الفيزيائية والرياضية.

نمذجة الرياضياتوعادة ما تعتبر وسيلة لدراسة العمليات أو الظواهر باستخدام نماذجها الرياضية.

تحت النمذجة الماديةيشير إلى دراسة الأشياء والظواهر على النماذج الفيزيائية، عندما يتم إعادة إنتاج العملية قيد الدراسة مع الحفاظ على طبيعتها الفيزيائية أو يتم استخدام ظاهرة فيزيائية أخرى مماثلة لتلك التي تتم دراستها. حيث النماذج الماديةكقاعدة عامة، يفترض تجسيد حقيقيتلك الخصائص الفيزيائية للأصل والتي تعتبر مهمة في موقف معين، على سبيل المثال، عند تصميم طائرة جديدة، يتم إنشاء نموذج بالحجم الطبيعي له نفس الخصائص الديناميكية الهوائية؛ عند التخطيط لمشروع ما، يقوم المهندسون المعماريون بعمل نموذج يعكس الترتيب المكاني لعناصره. في هذا الصدد، تسمى أيضًا النمذجة الفيزيائية النماذج الأولية.

نمذجة نصف العمرهي دراسة للأنظمة التي يمكن التحكم فيها في مجمعات النمذجة مع تضمين معدات حقيقية في النموذج. إلى جانب المعدات الحقيقية، يتضمن النموذج المغلق محاكاة للتأثيرات والتداخلات، ونماذج رياضية للبيئة الخارجية والعمليات التي لا يوجد لها وصف رياضي دقيق بما فيه الكفاية. إن إدراج معدات حقيقية أو أنظمة حقيقية في دائرة نمذجة العمليات المعقدة يجعل من الممكن تقليل عدم اليقين المسبق واستكشاف العمليات التي لا يوجد لها وصف رياضي دقيق. باستخدام النمذجة شبه الطبيعية، يتم إجراء البحث مع الأخذ في الاعتبار الثوابت الزمنية الصغيرة والخطيات المتأصلة في المعدات الحقيقية. عند دراسة النماذج باستخدام معدات حقيقية، يتم استخدام هذا المفهوم محاكاة ديناميكيةعند دراسة الأنظمة والظواهر المعقدة - تطوري, تقليدو النمذجة السيبرانية.

ومن الواضح أن الفائدة الحقيقية للنمذجة لا يمكن الحصول عليها إلا إذا تم استيفاء شرطين:

1) يوفر النموذج عرضًا صحيحًا (كافيًا) للخصائص

الأصلي، المهم من وجهة نظر العملية قيد الدراسة؛

2) يسمح لك النموذج بالتخلص من المشاكل الكامنة المذكورة أعلاه

إجراء البحوث على الأشياء الحقيقية.

2. المفاهيم الأساسية للنمذجة الرياضية

يتم حل المشكلات العملية باستخدام الأساليب الرياضية بشكل متسق من خلال صياغة المشكلة (تطوير نموذج رياضي)، واختيار طريقة لدراسة النموذج الرياضي الناتج، وتحليل النتيجة الرياضية التي تم الحصول عليها. عادةً ما يتم تقديم الصياغة الرياضية للمشكلة في شكل صور هندسية، ووظائف، وأنظمة معادلات، وما إلى ذلك. يمكن تمثيل وصف كائن (ظاهرة) باستخدام الأشكال الرياضية المستمرة أو المنفصلة أو الحتمية أو العشوائية وغيرها.

نظرية النمذجة الرياضيةيضمن تحديد أنماط حدوث الظواهر المختلفة في العالم المحيط أو تشغيل الأنظمة والأجهزة عن طريق وصفها الرياضي ونمذجتها دون إجراء اختبارات واسعة النطاق. وفي هذه الحالة، يتم استخدام أحكام وقوانين الرياضيات التي تصف الظواهر أو الأنظمة أو الأجهزة المحاكية عند مستوى معين من المثالية.

النموذج الرياضي (مم)هو وصف رسمي لنظام (أو عملية) في بعض اللغات المجردة، على سبيل المثال، في شكل مجموعة من العلاقات الرياضية أو مخطط خوارزمي، أي. أي هذا الوصف الرياضي الذي يوفر محاكاة لتشغيل الأنظمة أو الأجهزة على مستوى قريب بدرجة كافية من سلوكها الحقيقي الذي تم الحصول عليه أثناء الاختبار الشامل للأنظمة أو الأجهزة.

يصف أي MM كائنًا أو ظاهرة أو عملية حقيقية بدرجة معينة من التقريب للواقع. يعتمد نوع MM على طبيعة الكائن الحقيقي وعلى أهداف الدراسة.

نمذجة الرياضياتتعد الظواهر الاجتماعية والاقتصادية والبيولوجية والفيزيائية والأشياء والأنظمة والأجهزة المختلفة من أهم الوسائل لفهم الطبيعة وتصميم مجموعة واسعة من الأنظمة والأجهزة. هناك أمثلة معروفة للاستخدام الفعال للنمذجة في إنشاء التقنيات النووية وأنظمة الطيران والفضاء والتنبؤ بالظواهر الجوية والمحيطات والطقس وما إلى ذلك.

ومع ذلك، فإن مثل هذه المجالات الخطيرة للنمذجة غالبًا ما تتطلب أجهزة كمبيوتر فائقة السرعة وسنوات من العمل من قبل فرق كبيرة من العلماء لإعداد البيانات للنمذجة وتصحيح الأخطاء. ومع ذلك، في هذه الحالة، فإن النمذجة الرياضية للأنظمة والأجهزة المعقدة لا توفر المال على البحث والاختبار فحسب، بل يمكنها أيضًا القضاء على الكوارث البيئية - على سبيل المثال، تسمح لك بالتخلي عن اختبار الأسلحة النووية والحرارية النووية لصالح النمذجة الرياضية الخاصة بها أو اختبار أنظمة الفضاء الجوي قبل رحلاتها الفعلية.وبالتالي، أصبحت النمذجة الرياضية على مستوى حل المشكلات الأبسط، على سبيل المثال، من مجال الميكانيكا والهندسة الكهربائية والإلكترونيات وهندسة الراديو والعديد من مجالات العلوم والتكنولوجيا الأخرى متاحة للعمل على أجهزة الكمبيوتر الحديثة. وعند استخدام النماذج المعممة، يصبح من الممكن محاكاة أنظمة معقدة إلى حد ما، على سبيل المثال، أنظمة وشبكات الاتصالات أو أنظمة الرادار أو الملاحة الراديوية.

الغرض من النمذجة الرياضيةهو تحليل العمليات الحقيقية (في الطبيعة أو التكنولوجيا) باستخدام الأساليب الرياضية. وهذا بدوره يتطلب دراسة عملية MM، ويمكن أن يكون النموذج عبارة عن تعبير رياضي يحتوي على متغيرات سلوكها مشابه لسلوك النظام الحقيقي، ويمكن أن يتضمن النموذج عناصر العشوائية التي تأخذ في الاعتبار احتمالات الإجراءات الممكنة لاثنين أو أكثر"اللاعبون"، كما هو الحال في نظرية اللعبة؛ أو قد يمثل متغيرات حقيقية لأجزاء مترابطة من نظام التشغيل.

يمكن تقسيم النمذجة الرياضية لدراسة خصائص الأنظمة إلى تحليلية ومحاكاة ومجتمعة. في المقابل، تنقسم MMs إلى محاكاة وتحليلية.

النمذجة التحليلية

ل النمذجة التحليليةومن المميزات أن عمليات عمل النظام مكتوبة في شكل علاقات وظيفية معينة (المعادلات الجبرية والتفاضلية والتكاملية). يمكن دراسة النموذج التحليلي باستخدام الطرق التالية:

1) التحليلية، عندما تسعى للحصول بشكل عام على تبعيات واضحة لخصائص الأنظمة؛

2) عددي، عندما لا يكون من الممكن إيجاد حل للمعادلات بشكل عام ويتم حلها لبيانات أولية محددة؛

3) النوعي، في حالة عدم وجود حل يتم العثور على بعض خصائصه.

لا يمكن الحصول على النماذج التحليلية إلا للأنظمة البسيطة نسبيًا. بالنسبة للأنظمة المعقدة، غالبا ما تنشأ مشاكل رياضية كبيرة. ولتطبيق الطريقة التحليلية، قاموا بتبسيط كبير للنموذج الأصلي. ومع ذلك، فإن البحث باستخدام نموذج مبسط يساعد في الحصول على نتائج إرشادية فقط. تعكس النماذج التحليلية بشكل صحيح رياضيا العلاقة بين متغيرات ومعلمات المدخلات والمخرجات. لكن بنيتها لا تعكس البنية الداخلية للكائن.

أثناء النمذجة التحليلية، يتم عرض نتائجها في شكل تعبيرات تحليلية. على سبيل المثال، عن طريق الاتصال آر سي.- دائرة إلى مصدر جهد ثابت ه(ر, جو ه- مكونات هذا النموذج)، يمكننا إنشاء تعبير تحليلي لاعتماد الجهد على الوقت ش(ر) على المكثف ج:

هذه المعادلة التفاضلية الخطية (DE) هي النموذج التحليلي لهذه الدائرة الخطية البسيطة. حلها التحليلي، في ظل الحالة الأولية ش(0) = 0، وهذا يعني مكثف مفرغ جفي بداية النمذجة، يسمح لك بالعثور على الاعتماد المطلوب - في شكل صيغة:

ش(ر) = ه(1− السابقص(- ر/أرسي)). (2)

ومع ذلك، حتى في هذا المثال الأبسط، هناك حاجة إلى بذل جهود معينة لحل DE (1) أو للتطبيق أنظمة الرياضيات الحاسوبية(SCM) مع الحسابات الرمزية – أنظمة الجبر الحاسوبية. في هذه الحالة التافهة تمامًا، يتم حل مشكلة النمذجة الخطية آر سي.-الدائرة تعطي تعبيرًا تحليليًا (2) بشكل عام إلى حد ما - وهي مناسبة لوصف تشغيل الدائرة لأي تقييمات للمكونات ر, جو ه، ويصف الشحنة الأسية للمكثف جمن خلال المقاوم رمن مصدر جهد ثابت ه.

وبطبيعة الحال، تبين أن إيجاد الحلول التحليلية أثناء النمذجة التحليلية له قيمة كبيرة لتحديد الأنماط النظرية العامة للدوائر والأنظمة والأجهزة الخطية البسيطة، إلا أن تعقيدها يزداد بشكل حاد مع زيادة التأثيرات على النموذج تعقيدًا وترتيب وعدد العناصر. معادلات الحالة التي تصف زيادة الكائن النموذجي. يمكنك الحصول على نتائج أكثر أو أقل وضوحًا عند نمذجة كائنات من الدرجة الثانية أو الثالثة، ولكن مع الترتيب الأعلى، تصبح التعبيرات التحليلية مرهقة للغاية ومعقدة ويصعب فهمها. على سبيل المثال، حتى مكبر الصوت الإلكتروني البسيط غالبًا ما يحتوي على عشرات المكونات. ومع ذلك، فإن العديد من أنظمة SCM الحديثة، على سبيل المثال، أنظمة الرياضيات الرمزية القيقب، الرياضياتأو البيئة ماتلاب، قادرون على أتمتة حل مشكلات النمذجة التحليلية المعقدة إلى حد كبير.

أحد أنواع النمذجة هو النمذجة الرقمية،والتي تتمثل في الحصول على البيانات الكمية اللازمة عن سلوك الأنظمة أو الأجهزة بأي طريقة عددية مناسبة، مثل طريقة أويلر أو رونج كوتا. من الناحية العملية، تبين أن نمذجة الأنظمة والأجهزة غير الخطية باستخدام الطرق العددية أكثر فعالية من النمذجة التحليلية للدوائر أو الأنظمة أو الأجهزة الخطية الفردية الخاصة. على سبيل المثال، لحل أنظمة DE (1) أو DE في الحالات الأكثر تعقيدًا، لا يمكن الحصول على حل في شكل تحليلي، ولكن باستخدام بيانات المحاكاة العددية، يمكنك الحصول على بيانات كاملة إلى حد ما عن سلوك الأنظمة والأجهزة المحاكاة أيضًا كرسومات بيانية للتبعيات تصف هذا السلوك.

نمذجة المحاكاة

في تقليد 10 والنمذجة، تقوم الخوارزمية التي تنفذ النموذج بإعادة إنتاج عملية عمل النظام مع مرور الوقت. تتم محاكاة الظواهر الأولية التي تشكل العملية، مع الحفاظ على بنيتها المنطقية وتسلسل الأحداث مع مرور الوقت.

الميزة الرئيسية لنماذج المحاكاة مقارنة بالنماذج التحليلية هي القدرة على حل المشكلات الأكثر تعقيدًا.

تسهل نماذج المحاكاة مراعاة وجود عناصر منفصلة أو مستمرة، وخصائص غير خطية، وتأثيرات عشوائية، وما إلى ذلك. ولذلك، تستخدم هذه الطريقة على نطاق واسع في مرحلة تصميم الأنظمة المعقدة. الوسيلة الرئيسية لتنفيذ نمذجة المحاكاة هي الكمبيوتر، الذي يسمح بالنمذجة الرقمية للأنظمة والإشارات.

وفي هذا الصدد دعونا نحدد عبارة " النمذجة الحاسوبية"، والذي يستخدم بشكل متزايد في الأدب. لنفترض ذلك النمذجة الحاسوبيةهي النمذجة الرياضية باستخدام تكنولوجيا الكمبيوتر. وبناءً على ذلك، تتضمن تكنولوجيا النمذجة الحاسوبية القيام بالإجراءات التالية:

1) تحديد الغرض من النمذجة؛

2) تطوير النموذج المفاهيمي.

3) إضفاء الطابع الرسمي على النموذج؛

4) تنفيذ البرمجيات للنموذج؛

5) تخطيط التجارب النموذجية.

6) تنفيذ الخطة التجريبية.

7) تحليل وتفسير نتائج النمذجة.

في نمذجة المحاكاةيستنسخ MM المستخدم خوارزمية ("المنطق") لعمل النظام قيد الدراسة مع مرور الوقت لمجموعات مختلفة من قيم معلمات النظام والبيئة الخارجية.

مثال على أبسط نموذج تحليلي هو معادلة الحركة المنتظمة المستقيمة. عند دراسة مثل هذه العملية باستخدام نموذج المحاكاة، ينبغي تنفيذ ملاحظة التغيرات في المسار الذي يتم قطعه مع مرور الوقت، ومن الواضح أنه في بعض الحالات تكون النمذجة التحليلية أكثر تفضيلاً، وفي حالات أخرى - المحاكاة (أو مزيج من الاثنين معا). للقيام باختيار ناجح، تحتاج إلى الإجابة على سؤالين.

ما هو الغرض من النمذجة؟

إلى أي فئة يمكن تصنيف الظاهرة المنمذجة؟

يمكن الحصول على إجابات هذين السؤالين خلال المرحلتين الأوليين من النمذجة.

تتوافق نماذج المحاكاة ليس فقط في الخصائص، ولكن أيضًا في البنية مع الكائن النموذجي. في هذه الحالة، هناك مراسلات واضحة لا لبس فيها بين العمليات التي تم الحصول عليها في النموذج والعمليات التي تحدث في الكائن. عيب المحاكاة هو أن حل المشكلة يستغرق وقتًا طويلاً للحصول على دقة جيدة.

نتائج نمذجة المحاكاة لتشغيل النظام العشوائي هي تحقيقات للمتغيرات أو العمليات العشوائية. لذلك، للعثور على خصائص النظام، هناك حاجة إلى التكرار المتعدد ومعالجة البيانات اللاحقة. في أغلب الأحيان في هذه الحالة، يتم استخدام نوع من المحاكاة - إحصائية

النمذجة(أو طريقة مونت كارلو)، أي. استنساخ العوامل العشوائية والأحداث والكميات والعمليات والمجالات في النماذج.

بناءً على نتائج النمذجة الإحصائية، يتم تحديد تقديرات معايير الجودة الاحتمالية، العامة والخاصة، التي تميز أداء وكفاءة النظام المُدار. تستخدم النمذجة الإحصائية على نطاق واسع لحل المشكلات العلمية والتطبيقية في مختلف مجالات العلوم والتكنولوجيا. تستخدم أساليب النمذجة الإحصائية على نطاق واسع في دراسة الأنظمة الديناميكية المعقدة، وتقييم أدائها وكفاءتها.

تعتمد المرحلة الأخيرة من النمذجة الإحصائية على المعالجة الرياضية للنتائج التي تم الحصول عليها. هنا، يتم استخدام طرق الإحصاء الرياضي (التقدير البارامترى وغير البارامترى، اختبار الفرضيات). مثال على المقدر البارامترى هو متوسط ​​العينة لقياس الأداء. من بين الأساليب اللامعلمية، على نطاق واسع طريقة الرسم البياني.

ويعتمد المخطط المدروس على اختبارات إحصائية متكررة للنظام وطرق إحصاء المتغيرات العشوائية المستقلة، وهذا المخطط ليس دائما طبيعيا من الناحية العملية والأمثل من حيث التكاليف. يمكن تقليل وقت اختبار النظام من خلال استخدام طرق تقييم أكثر دقة. وكما هو معروف من الإحصائيات الرياضية، فإن التقديرات الفعالة تتمتع بأكبر قدر من الدقة بالنسبة لحجم عينة معين. التصفية الأمثل وطريقة الاحتمالية القصوى تعطي الطريقة العامةالحصول على مثل هذه التقديرات، في مشاكل النمذجة الإحصائية، تعد معالجة تطبيقات العمليات العشوائية ضرورية ليس فقط لتحليل عمليات المخرجات.

يعد التحكم في خصائص التأثيرات العشوائية المدخلة أمرًا مهمًا أيضًا. يتكون التحكم من التحقق من امتثال توزيعات العمليات المولدة للتوزيعات المحددة. غالبًا ما يتم صياغة هذه المشكلة على أنها مشكلة اختبار الفرضيات.

الاتجاه العام في النمذجة الحاسوبية للأنظمة المعقدة التي يتم التحكم فيها هو الرغبة في تقليل وقت النمذجة، وكذلك إجراء البحوث في الوقت الحقيقي. من الملائم تمثيل الخوارزميات الحسابية في شكل متكرر، مما يسمح بتنفيذها بمعدل استلام المعلومات الحالية.

مبادئ نهج النظام في النمذجة

المبادئ الأساسية لنظرية النظم

نشأت المبادئ الأساسية لنظرية النظم أثناء دراسة الأنظمة الديناميكية وعناصرها الوظيفية. يُفهم النظام على أنه مجموعة من العناصر المترابطة التي تعمل معًا لإنجاز مهمة محددة مسبقًا. تحليل النظم يسمح لك بتحديد أكثر طرق حقيقيةإنجاز المهمة المعينة، وضمان أقصى قدر من الرضا عن المتطلبات المذكورة.

إن العناصر التي تشكل أساس نظرية النظم لا يتم إنشاؤها من خلال الفرضيات، ولكن يتم اكتشافها تجريبيا. من أجل البدء في بناء النظام، من الضروري أن يكون لديك الخصائص العامة للعمليات التكنولوجية. وينطبق الشيء نفسه على مبادئ إنشاء معايير مصاغة رياضيا يجب أن تستوفيها العملية أو وصفها النظري. النمذجة هي واحدة من أكثر طرق مهمةالبحث العلمي والتجريب.

عند إنشاء نماذج للكائنات، يتم استخدام نهج الأنظمة، وهي منهجية لحل المشكلات المعقدة، والتي تعتمد على اعتبار الكائن كنظام يعمل في بيئة معينة. يتضمن النهج المنهجي الكشف عن سلامة الكائن، وتحديد ودراسة بنيته الداخلية، وكذلك اتصالاته مع البيئة الخارجية. في هذه الحالة، يتم تقديم الكائن كجزء من العالم الحقيقي، الذي يتم عزله ودراسته فيما يتعلق بمشكلة بناء النموذج. بالإضافة إلى ذلك، يتضمن نهج الأنظمة انتقالًا ثابتًا من العام إلى الخاص، عندما يكون هدف التصميم هو أساس الاعتبار، ويتم أخذ الكائن في الاعتبار فيما يتعلق بالبيئة.

يمكن تقسيم الكائن المعقد إلى أنظمة فرعية، وهي أجزاء من الكائن تلبي المتطلبات التالية:

1) النظام الفرعي هو جزء مستقل وظيفيا من الكائن. إنه متصل بالأنظمة الفرعية الأخرى، ويتبادل المعلومات والطاقة معهم؛

2) يمكن تحديد وظائف أو خصائص لكل نظام فرعي لا تتوافق مع خصائص النظام بأكمله؛

3) يمكن أن يخضع كل نظام فرعي لمزيد من التقسيم على مستوى العناصر.

في هذه الحالة، يُفهم العنصر على أنه نظام فرعي ذو مستوى أدنى، ويكون تقسيمه الإضافي غير مناسب من وجهة نظر المشكلة التي يتم حلها.

وبالتالي، يمكن تعريف النظام على أنه تمثيل لكائن ما في شكل مجموعة من الأنظمة الفرعية والعناصر والوصلات لغرض إنشائه أو بحثه أو تحسينه. في هذه الحالة، يسمى التمثيل الموسع للنظام، بما في ذلك الأنظمة الفرعية الرئيسية والوصلات بينها، بالبنية الكلية، ويسمى الكشف التفصيلي عن البنية الداخلية للنظام وصولاً إلى مستوى العناصر بالبنية المجهرية.

جنبا إلى جنب مع النظام، عادة ما يكون هناك نظام فائق - نظام ذو مستوى أعلى، يتضمن الكائن المعني، ولا يمكن تحديد وظيفة أي نظام إلا من خلال النظام الفائق.

من الضروري تسليط الضوء على مفهوم البيئة كمجموعة من كائنات العالم الخارجي التي تؤثر بشكل كبير على كفاءة النظام، ولكنها ليست جزءًا من النظام ونظامه الفائق.

فيما يتعلق بمنهج الأنظمة في بناء النماذج، يتم استخدام مفهوم البنية التحتية، الذي يصف علاقة النظام ببيئته (البيئة)، وفي هذه الحالة يتم تحديد ووصف ودراسة خصائص الكائن التي تعتبر ضرورية في إطار مهمة محددة يسمى التقسيم الطبقي للكائن، وأي نموذج للكائن هو وصفه الطبقي.

بالنسبة لنهج النظم، من المهم تحديد هيكل النظام، أي. مجموعة من الروابط بين عناصر النظام تعكس تفاعلها. للقيام بذلك، نأخذ في الاعتبار أولاً الأساليب الهيكلية والوظيفية للنمذجة.

مع النهج الهيكلي، يتم الكشف عن تكوين العناصر المختارة للنظام والروابط بينها. تتيح لنا مجموعة العناصر والاتصالات الحكم على بنية النظام. الوصف الأكثر عمومية للهيكل هو الوصف الطوبولوجي. يسمح لك بتحديد مكونات النظام واتصالاتها باستخدام الرسوم البيانية. أقل عمومية هو الوصف الوظيفي، عندما يتم النظر في الوظائف الفردية، أي خوارزميات سلوك النظام. في هذه الحالة، يتم تنفيذ نهج وظيفي يحدد الوظائف التي يؤديها النظام.

بناءً على نهج الأنظمة، يمكن اقتراح سلسلة من تطوير النموذج، عند التمييز بين مرحلتين رئيسيتين من التصميم: التصميم الكلي والتصميم الجزئي.

في مرحلة التصميم الكلي، يتم بناء نموذج للبيئة الخارجية، ويتم تحديد الموارد والقيود، ويتم اختيار نموذج النظام ومعاييره لتقييم مدى ملاءمته.

تعتمد مرحلة التصميم الجزئي إلى حد كبير على نوع النموذج المحدد الذي تم اختياره. بشكل عام، يتضمن إنشاء أنظمة نمذجة معلوماتية ورياضية وتقنية وبرمجية. في هذه المرحلة، يتم تحديد الخصائص التقنية الرئيسية للنموذج الذي تم إنشاؤه، ويتم تقدير الوقت اللازم للعمل معه وتكلفة الموارد للحصول على الجودة المحددة للنموذج.

بغض النظر عن نوع النموذج، عند إنشائه، من الضروري الاسترشاد بعدد من مبادئ النهج المنهجي:

1) التقدم المستمر خلال مراحل إنشاء النموذج؛

2) تنسيق المعلومات والموارد والموثوقية وغيرها من الخصائص؛

3) العلاقة الصحيحة بين المستويات المختلفة لبناء النموذج؛

4) سلامة المراحل الفردية لتصميم النموذج.