Esitys ja oppitunti aiheesta: "Rationaaliset yhtälöt. Algoritmi ja esimerkkejä rationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommentteja, palautetta, ehdotuksia! Kaikki materiaalit tarkistetaan virustorjuntaohjelmalla.

Opetusvälineet ja simulaattorit verkkokaupassa "Integral" luokalle 8
Käsikirja oppikirjalle Makarychev Yu.N. Käsikirja oppikirjaan Mordkovich A.G.

Johdatus irrationaalisiin yhtälöihin

Kaverit, opimme ratkaisemaan toisen asteen yhtälöitä. Mutta matematiikka ei rajoitu niihin. Tänään opimme ratkaisemaan rationaalisia yhtälöitä. Rationaalisten yhtälöiden käsite on monella tapaa samanlainen kuin käsite rationaalisia lukuja. Vain numeroiden lisäksi olemme nyt ottaneet käyttöön muuttujan $x$. Ja näin saadaan lauseke, jossa on yhteen-, vähennys-, kerto-, jako- ja korotusoperaatioita kokonaislukupotenssiin.

Olkoon $r(x)$ rationaalinen ilmaisu. Tällainen lauseke voi olla yksinkertainen polynomi muuttujassa $x$ tai polynomien suhde (jakotoiminto otetaan käyttöön, kuten rationaaliluvuilla).
Kutsutaan yhtälöä $r(x)=0$ rationaalinen yhtälö.
Mikä tahansa yhtälö, jonka muoto on $p(x)=q(x)$, jossa $p(x)$ ja $q(x)$ ovat rationaalisia lausekkeita, on myös rationaalinen yhtälö.

Harkitse esimerkkejä rationaalisten yhtälöiden ratkaisemisesta.

Esimerkki 1
Ratkaise yhtälö: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Ratkaisu.
Siirretään kaikki lausekkeet kohteeseen vasen puoli: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Jos tavallisia lukuja esitettäisiin yhtälön vasemmalla puolella, niin tuottaisimme kaksi murto-osaa yhteiseen nimittäjään.
Tehdään näin: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Saimme yhtälön: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Murtoluku on nolla silloin ja vain, jos murto-osan osoittaja on nolla ja nimittäjä on nollasta poikkeava. Yhdistä sitten osoittaja erikseen nollaan ja etsi osoittajan juuret.
$3(x^2+2x-3)=0$ tai $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Tarkastetaan nyt murtoluvun nimittäjä: $(x-3)*x≠0$.
Kahden luvun tulo on yhtä suuri kuin nolla, kun vähintään yksi näistä luvuista on nolla. Sitten: $x≠0$ tai $x-3≠0$.
$x≠0$ tai $x≠3$.
Osoittajassa ja nimittäjässä saadut juuret eivät täsmää. Joten vastauksena kirjoitamme ylös osoittajan molemmat juuret.
Vastaus: $x=1$ tai $x=-3$.

Jos yhtäkkiä yksi osoittajan juurista osui yhteen nimittäjän juuren kanssa, se tulisi sulkea pois. Tällaisia ​​juuria kutsutaan vieraiksi!

Algoritmi rationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi:

1. Siirrä kaikki yhtälön sisältämät lausekkeet yhtäläisyysmerkin vasemmalle puolelle.
2. Muunna tämä yhtälön osa muotoon algebrallinen murtoluku: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Yhdistä saatu osoittaja nollaan, eli ratkaise yhtälö $p(x)=0$.
4. Yhdistä nimittäjä nollaan ja ratkaise tuloksena oleva yhtälö. Jos nimittäjän juuret osuivat yhteen osoittajan juurien kanssa, ne tulee jättää vastauksen ulkopuolelle.

Esimerkki 2
Ratkaise yhtälö: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Ratkaisu.
Ratkaisemme algoritmin pisteiden mukaan.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ murto(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Yhdistä osoittaja nollaan: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Yhdistä nimittäjä nollaan:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ ja $x=-1$.
Yksi juurista $x=1$ osui yhteen osoittajan juuren kanssa, joten emme kirjoita sitä ylös vastauksena.
Vastaus: $x=-1$.

Rationaalisia yhtälöitä on kätevää ratkaista muuttujien muutosmenetelmällä. Osoitetaan se.

Esimerkki 3
Ratkaise yhtälö: $x^4+12x^2-64=0$.

Ratkaisu.
Esittelemme korvaavan: $t=x^2$.
Sitten yhtälömme saa muodon:
$t^2+12t-64=0$ - normaali toisen asteen yhtälö.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 dollaria.
Otetaan käyttöön käänteinen korvaus: $x^2=4$ tai $x^2=-16$.
Ensimmäisen yhtälön juuret ovat lukupari $x=±2$. Toisella ei ole juuria.
Vastaus: $x=±2$.

Esimerkki 4
Ratkaise yhtälö: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Ratkaisu.
Otetaan käyttöön uusi muuttuja: $t=x^2+x+1$.
Tällöin yhtälö saa muotoa: $t=\frac(15)(t+2)$.
Seuraavaksi toimimme algoritmin mukaan.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 dollaria.
4. $t≠-2$ - juuret eivät täsmää.
Otamme käyttöön käänteisen korvaamisen.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Ratkaistaan ​​jokainen yhtälö erikseen:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - ei juuret.
Ja toinen yhtälö: $x^2+x-2=0$.
Tämän yhtälön juuret ovat luvut $x=-2$ ja $x=1$.
Vastaus: $x=-2$ ja $x=1$.

Esimerkki 5
Ratkaise yhtälö: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Ratkaisu.
Otamme käyttöön korvaavan: $t=x+\frac(1)(x)$.
Sitten:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ tai $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Saimme yhtälön: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Tämän yhtälön juuret ovat pari:
$t=-3$ ja $t=2$.
Otetaan käyttöön käänteinen korvaus:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Päätetään erikseen.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Ratkaistaan ​​toinen yhtälö:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Tämän yhtälön juuri on luku $x=1$.
Vastaus: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun

Ratkaise yhtälöt:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

§ 1 Kokonais- ja murto-rationaaliyhtälöt

Tällä oppitunnilla tutkimme käsitteitä, kuten rationaalinen yhtälö, rationaalinen lauseke, kokonaislukulauseke, murtolauseke. Harkitse rationaalisten yhtälöiden ratkaisua.

Rationaalinen yhtälö on yhtälö, jossa vasen ja oikea puoli ovat rationaalisia lausekkeita.

Rationaalisia ilmaisuja ovat:

Murtoluku.

Kokonaislukulauseke koostuu luvuista, muuttujista ja kokonaislukupotenssista käyttämällä yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakamisoperaatioita muulla kuin nollalla.

Esimerkiksi:

Murtolukulausekkeissa on jako muuttujalla tai lauseke muuttujalla. Esimerkiksi:

Murtolukulausekkeella ei ole järkeä kaikille siihen sisältyvien muuttujien arvoille. Esimerkiksi ilmaisu

kohdassa x = -9 se ei ole järkevää, koska kohdassa x = -9 nimittäjä menee nollaan.

Tämä tarkoittaa, että rationaalinen yhtälö voi olla kokonaisluku ja murtoluku.

Kokonaislukuinen rationaalinen yhtälö on rationaalinen yhtälö, jonka vasen ja oikea puoli ovat kokonaislukulausekkeita.

Esimerkiksi:

Murto-rationaalinen yhtälö on rationaalinen yhtälö, jossa joko vasen tai oikea puoli ovat murto-osalausekkeita.

Esimerkiksi:

§ 2 Koko rationaalisen yhtälön ratkaisu

Harkitse kokonaisen rationaalisen yhtälön ratkaisua.

Esimerkiksi:

Kerro yhtälön molemmat puolet siihen sisältyvien murtolukujen nimittäjien pienimmällä yhteisellä nimittäjällä.

Tätä varten:

1. Etsi nimittäjille 2, 3, 6 yhteinen nimittäjä. Se on 6;

2. Etsi jokaiselle murtoluvulle lisäkerroin. Tee tämä jakamalla yhteinen nimittäjä 6 kullakin nimittäjällä

murto-osan lisäkerroin

murto-osan lisäkerroin

3. kerro murtolukujen osoittajat niitä vastaavilla lisäkertoimilla. Siten saamme yhtälön

joka vastaa tätä yhtälöä

Avaa vasemmalla olevat kiinnikkeet oikea puoli siirrymme vasemmalle vaihtaen termin merkin siirron aikana päinvastaiseksi.

Annamme polynomin samanlaiset ehdot ja saamme

Näemme, että yhtälö on lineaarinen.

Ratkaisemalla sen huomaamme, että x = 0,5.

§ 3 Murto-rationaalisen yhtälön ratkaisu

Harkitse murto-rationaalisen yhtälön ratkaisua.

Esimerkiksi:

1. Kerro yhtälön molemmat puolet siihen sisältyvien rationaalisten murtolukujen nimittäjien pienimmällä yhteisellä nimittäjällä.

Etsi yhteinen nimittäjä nimittäjille x + 7 ja x - 1.

Se on yhtä suuri kuin heidän tulonsa (x + 7)(x - 1).

2. Etsitään jokaiselle rationaaliselle murtoluvulle lisäkerroin.

Tätä varten jaamme yhteisen nimittäjän (x + 7) (x - 1) kullakin nimittäjällä. Murtolukujen lisäkerroin

on yhtä kuin x - 1,

murto-osan lisäkerroin

on yhtä kuin x+7.

3. Kerro murtolukujen osoittajat niitä vastaavilla lisäkertoimilla.

Saamme yhtälön (2x - 1) (x - 1) \u003d (3x + 4) (x + 7), joka vastaa tätä yhtälöä

4. Vasen ja oikea kertovat binomiaalin binomilla ja saat seuraavan yhtälön

5. Siirrämme oikean osan vasemmalle vaihtamalla kunkin termin etumerkkiä siirrettäessä vastakkaiseen:

6. Esitämme polynomin samanlaiset jäsenet:

7. Voit jakaa molemmat osat -1:llä. Saamme toisen asteen yhtälön:

8. Kun se on ratkaistu, löydämme juuret

Koska yhtälössä

vasen ja oikea osa ovat murto-lausekkeita, ja murto-lausekkeissa joillekin muuttujien arvoille nimittäjä voi kadota, sitten on tarkistettava, eikö yhteinen nimittäjä katoa, kun x1 ja x2 löytyy.

Kohdassa x = -27 yhteinen nimittäjä (x + 7)(x - 1) ei katoa, kun x = -1 yhteinen nimittäjä on myös nollasta poikkeava.

Siksi sekä juuret -27 että -1 ovat yhtälön juuria.

Kun ratkaistaan ​​murto-rationaalinen yhtälö, on parempi ilmoittaa alue välittömästi sallitut arvot. Eliminoi ne arvot, joissa yhteinen nimittäjä menee nollaan.

Harkitse toista esimerkkiä murto-rationaalisen yhtälön ratkaisemisesta.

Ratkaistaan ​​esimerkiksi yhtälö

Jaamme yhtälön oikealla puolella olevan murto-osan nimittäjä tekijöiksi

Saamme yhtälön

Etsi yhteinen nimittäjä nimittäjille (x - 5), x, x (x - 5).

Se on lauseke x (x - 5).

Etsitään nyt yhtälön sallittujen arvojen alue

Tätä varten yhdistämme yhteisen nimittäjän nollaan x (x - 5) \u003d 0.

Saamme yhtälön, jonka ratkaisemalla huomaamme, että kohdassa x \u003d 0 tai kohdassa x \u003d 5 yhteinen nimittäjä katoaa.

Joten x = 0 tai x = 5 ei voi olla yhtälömme juuria.

Nyt voit löytää lisää kertoimia.

Lisäkerroin rationaalisille murtoluvuille

murtolukujen lisäkerroin

tulee olemaan (x - 5),

ja murto-osan lisäkerroin

Kerromme osoittajat vastaavilla lisätekijöillä.

Saamme yhtälön x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Avataan sulut vasemmalla ja oikealla, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Siirretään termejä oikealta vasemmalle muuttamalla siirrettävien ehtojen merkkiä:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

Ja samankaltaisten termien tuomisen jälkeen saamme toisen asteen yhtälön x2 - 3x - 10 \u003d 0. Kun se on ratkaistu, löydämme juuret x1 \u003d -2; x2 = 5.

Mutta olemme jo havainneet, että kohdassa x = 5 yhteinen nimittäjä x(x - 5) katoaa. Siksi yhtälömme juuri

on x = -2.

§ 4 Oppitunnin yhteenveto

Tärkeää muistaa:

Kun ratkaiset murto-rationaaliyhtälöitä, sinun on toimittava seuraavasti:

1. Etsi yhtälöön sisältyvien murtolukujen yhteinen nimittäjä. Lisäksi, jos murto-osien nimittäjät voidaan jakaa tekijöiksi, hajoa ne tekijöiksi ja etsi sitten yhteinen nimittäjä.

2. Kerro yhtälön molemmat puolet yhteisellä nimittäjällä: etsi lisätekijät, kerro osoittajat lisäkertoimilla.

3. Ratkaise tuloksena oleva kokonaisyhtälö.

4. Jätä sen juurista pois ne, jotka kääntävät yhteisen nimittäjän nollaan.

Luettelo käytetystä kirjallisuudesta:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Toimittajana Telyakovsky S.A. Algebra: oppikirja. 8 solulle. Yleissivistävä koulutus toimielimiin. - M.: Koulutus, 2013.
2. Mordkovich A.G. Algebra. Luokka 8: kahdessa osassa. Osa 1: Proc. yleissivistävää koulutusta varten toimielimiin. - M.: Mnemosyne.
3. Rurukin A.N. Algebran oppituntien kehitys: luokka 8. - M .: VAKO, 2010.
4. Algebra luokka 8: tuntisuunnitelmat oppikirjan mukaan Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasiev, L.A. Tapilina. - Volgograd: Opettaja, 2005.

Oppitunnin tavoitteet:

Opetusohjelma:

• murto-rationaalisten yhtälöiden käsitteen muodostaminen;
• pohtia erilaisia ​​tapoja ratkaista murto-rationaaliyhtälöitä;
• harkita algoritmia murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi, mukaan lukien ehto, että murtoluku on nolla;
• opettaa murto-rationaaliyhtälöiden ratkaisua algoritmin mukaisesti;
• tarkastaa aiheen assimilaatiotaso tekemällä testityötä.

Kehitetään:

• kehittää kykyä toimia oikein hankitulla tiedolla, ajatella loogisesti;
• älyllisten taitojen ja henkisten toimintojen kehittäminen - analyysi, synteesi, vertailu ja yleistäminen;
• aloitekyvyn kehittäminen, kyky tehdä päätöksiä, ei lopu tähän;
• kriittisen ajattelun kehittäminen;
• tutkimustaitojen kehittäminen.

Hoito:

• kognitiivisen kiinnostuksen koulutus aihetta kohtaan;
• itsenäisyyden kasvattaminen koulutusongelmien ratkaisemisessa;
• tahtoa ja sinnikkyyttä lopputulosten saavuttamiseksi.

Oppitunnin tyyppi: oppitunti - uuden materiaalin selitys.

Tuntien aikana

1. Organisatorinen hetki.

Hei kaverit! Yhtälöt on kirjoitettu taululle, katso niitä huolellisesti. Voitko ratkaista kaikki nämä yhtälöt? Mitkä eivät ole ja miksi?

Yhtälöitä, joissa vasen ja oikea puoli ovat murto-rationaalisia lausekkeita, kutsutaan murto-rationaalisiksi yhtälöiksi. Mitä luulet opiskelevan tänään oppitunnilla? Muotoile oppitunnin aihe. Joten avaamme muistikirjoja ja kirjoitamme oppitunnin aiheen "Rationaliaalisten yhtälöiden ratkaisu".

2. Tiedon toteuttaminen. Frontaalinen kysely, suullinen työskentely luokan kanssa.

Ja nyt toistamme pääasiallisen teoreettisen materiaalin, jota meidän on opiskeltava uusi aihe. Ole hyvä ja vastaa seuraaviin kysymyksiin:

1. Mikä on yhtälö? ( Tasa-arvo muuttujan tai muuttujien kanssa.)
2. Mikä on yhtälön #1 nimi? ( Lineaarinen.) Ratkaisumenetelmä lineaariset yhtälöt. (Siirrä kaikki tuntematon yhtälön vasemmalle puolelle, kaikki luvut oikealle. Tuo samanlaiset ehdot. Etsi tuntematon kerroin).
3. Mikä on yhtälön 3 nimi? ( Neliö.) Toisen asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmät. ( Täysneliön valinta kaavoilla käyttäen Vieta-lausetta ja sen seuraukset.)
4. Mikä on osuus? ( Kahden suhteen tasa-arvo.) Suhteen pääominaisuus. ( Jos suhde on tosi, niin sen ääritermin tulo on yhtä suuri kuin keskitermien tulo.)
5. Mitä ominaisuuksia käytetään yhtälöiden ratkaisemiseen? ( 1. Jos yhtälössä siirretään termi osasta toiseen muuttamalla sen etumerkkiä, saadaan yhtälö, joka vastaa annettua yhtälöä. 2. Jos yhtälön molemmat osat kerrotaan tai jaetaan samalla nollasta poikkeavalla luvulla, saadaan yhtälö, joka vastaa annettua.)
6. Milloin murto-osa on nolla? ( Murto-osa on nolla, kun osoittaja on nolla ja nimittäjä on nollasta poikkeava.)

3. Uuden materiaalin selitys.

Ratkaise yhtälö nro 2 vihkoissa ja taululla.

Vastaus: 10.

Mikä murto-rationaalinen yhtälö voitko yrittää ratkaista käyttämällä perussuhdeominaisuutta? (nro 5).

(x-2) (x-4) = (x+2) (x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Ratkaise yhtälö nro 4 vihkoissa ja taululla.

Vastaus: 1,5.

Minkä murto-rationaalisen yhtälön voit yrittää ratkaista kertomalla yhtälön molemmat puolet nimittäjällä? (nro 6).

x 2 -7x+12 = 0

D = 1 > 0, x 1 = 3, x 2 = 4.

Vastaus: 3;4.

Yritä nyt ratkaista yhtälö #7 jollakin tavoista.

(x 2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5 = x+5
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5 = 0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Vastaus: 0;5;-2.			Vastaus: 5;-2.

Selitä miksi näin tapahtui? Miksi yhdessä tapauksessa on kolme juurta ja toisessa kaksi? Mitkä luvut ovat tämän murto-rationaalisen yhtälön juuret?

Toistaiseksi opiskelijat eivät ole tavanneet vieraan juuren käsitettä, heidän on todella vaikea ymmärtää, miksi näin tapahtui. Jos kukaan luokassa ei pysty antamaan selkeää selitystä tästä tilanteesta, opettaja kysyy johtavia kysymyksiä.

• Miten yhtälöt 2 ja 4 eroavat yhtälöistä 5,6,7? ( Yhtälöissä nro 2 ja 4 luvun nimittäjässä, nro 5-7 - lausekkeet, joissa on muuttuja.)
• Mikä on yhtälön juuri? ( Sen muuttujan arvo, jolla yhtälöstä tulee todellinen yhtälö.)
• Kuinka selvittää, onko luku yhtälön juuri? ( Tee sekki.)

Testiä tehdessään jotkut opiskelijat huomaavat, että heidän täytyy jakaa nollalla. He päättelevät, että luvut 0 ja 5 eivät ole tämän yhtälön juuria. Herää kysymys: onko olemassa tapaa ratkaista murto-rationaaliyhtälöitä, joka eliminoi tämän virheen? Kyllä, tämä menetelmä perustuu siihen, että murto-osa on nolla.

x 2 -3x-10 = 0, D = 49, x 1 = 5, x 2 = -2.

Jos x=5, niin x(x-5)=0, joten 5 on ulkopuolinen juuri.

Jos x=-2, niin x(x-5)≠0.

Vastaus: -2.

Yritetään muotoilla algoritmi murto-rationaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi tällä tavalla. Lapset itse muotoilevat algoritmin.

Algoritmi murto-rationaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi:

1. Siirrä kaikki vasemmalle.
2. Tuo murtoluvut yhteiseen nimittäjään.
3. Muodosta järjestelmä: murto-osa on nolla, kun osoittaja on nolla ja nimittäjä ei ole nolla.
4. Ratkaise yhtälö.
5. Tarkista epäyhtälö sulkeaksesi pois vieraat juuret.
6. Kirjoita vastaus muistiin.

Keskustelu: miten ratkaisu formalisoidaan, jos käytetään suhteellisuuden perusominaisuutta ja yhtälön molempien puolten kertomista yhteisellä nimittäjällä. (Täydennä ratkaisua: poista sen juurista ne, jotka kääntävät yhteisen nimittäjän nollaan).

4. Uuden materiaalin ensisijainen ymmärtäminen.

Työskennellä pareittain. Opiskelijat valitsevat itse, miten yhtälön ratkaistaan ​​yhtälön tyypistä riippuen. Tehtävät oppikirjasta "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: nro 600 (b, c, i); nro 601(a, e, g). Opettaja ohjaa tehtävän suorittamista, vastaa esiin tulleisiin kysymyksiin ja auttaa huonosti suoriutuneita opiskelijoita. Itsetesti: Vastaukset kirjoitetaan taululle.

b) 2 on vieras juuri. Vastaus: 3.

c) 2 on vieras juuri. Vastaus: 1.5.

a) Vastaus: -12.5.

g) Vastaus: 1; 1.5.

5. Lausunto kotitehtävistä.

1. Lue oppikirjan kohta 25, analysoi esimerkit 1-3.
2. Opi murto-rationaaliyhtälöiden ratkaisualgoritmi.
3. Ratkaise vihkoissa nro 600 (a, d, e); nro 601 (g, h).
4. Yritä ratkaista #696(a) (valinnainen).

6. Tarkastustehtävän suorittaminen tutkitusta aiheesta.

Työ tehdään levyillä.

Esimerkki työstä:

A) Mitkä yhtälöistä ovat murto-rationaalisia?

B) Murtoluku on nolla, kun osoittaja on __________________________ ja nimittäjä ___________________________.

K) Onko luku -3 yhtälön #6 juuri?

D) Ratkaise yhtälö nro 7.

Tehtävän arviointikriteerit:

• "5" annetaan, jos opiskelija suoritti yli 90 % tehtävästä oikein.
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• "2" annetaan opiskelijalle, joka on suorittanut alle 50 % tehtävästä.
• Arvosanaa 2 ei kirjata päiväkirjaan, 3 on valinnainen.

7. Heijastus.

Laita itsenäisen työn esitteisiin:

• 1 - jos oppitunti oli mielenkiintoinen ja ymmärrettävä sinulle;
• 2 - mielenkiintoinen, mutta ei selkeä;
• 3 - ei kiinnostavaa, mutta ymmärrettävää;
• 4 - ei kiinnostavaa, ei selkeää.

8. Oppitunnin yhteenveto.

Joten tänään oppitunnilla tutustuimme murto-rationaalisiin yhtälöihin, opimme ratkaisemaan nämä yhtälöt eri tavoilla, testasivat tietonsa koulutuksen avulla itsenäinen työ. Opit itsenäisen työn tulokset seuraavalla oppitunnilla, kotona sinulla on mahdollisuus lujittaa saatuja tietoja.

Mikä menetelmä murto-rationaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi on mielestäsi helpompaa, helpompaa, rationaalisempaa? Mitä ei pidä unohtaa murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisumenetelmästä riippumatta? Mikä on murto-rationaalisten yhtälöiden "oveluus"?

Kiitos kaikille, oppitunti on ohi.

Olemme jo oppineet ratkaisemaan toisen asteen yhtälöitä. Laajennetaan nyt tutkitut menetelmät rationaalisiin yhtälöihin.

Mikä on rationaalinen ilmaisu? Olemme jo kohdanneet tämän käsitteen. Rationaalisia ilmaisuja kutsutaan lausekkeiksi, jotka koostuvat luvuista, muuttujista, niiden asteista ja matemaattisten operaatioiden etumerkeistä.

Näin ollen rationaaliset yhtälöt ovat yhtälöitä, joiden muoto on: , missä - rationaalisia ilmaisuja.

Aiemmin tarkastelimme vain niitä rationaalisia yhtälöitä, jotka pelkistyvät lineaarisiin. Tarkastellaan nyt niitä rationaalisia yhtälöitä, jotka voidaan pelkistää toisen asteen yhtälöiksi.

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälö: .

Ratkaisu:

Murtoluku on 0 silloin ja vain, jos sen osoittaja on 0 ja sen nimittäjä ei ole 0.

Saamme seuraavan järjestelmän:

Järjestelmän ensimmäinen yhtälö on toisen asteen yhtälö. Ennen kuin ratkaisemme sen, jaamme kaikki sen kertoimet kolmella. Saamme:

Saamme kaksi juuria: ; .

Koska 2 ei ole koskaan yhtä suuri kuin 0, kahden ehdon on täytyttävä: . Koska mikään yllä saadun yhtälön juurista ei vastaa muuttujan virheellisiä arvoja, jotka saatiin toista epäyhtälöä ratkaistaessa, ne ovat molemmat ratkaisuja tähän yhtälöön.

Vastaus:.

Joten muotoillaan algoritmi rationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi:

1. Siirrä kaikki termit vasemmalle puolelle niin, että oikealle puolelle saadaan 0.

2. Muunna ja yksinkertaista vasen puoli, tuo kaikki murtoluvut yhteiseen nimittäjään.

3. Yhdistä tuloksena oleva murtoluku 0:aan seuraavan algoritmin mukaan: .

4. Kirjoita ylös ensimmäisestä yhtälöstä saadut juuret ja tyydytä vastauksena toinen epäyhtälö.

Katsotaanpa toista esimerkkiä.

Esimerkki 2

Ratkaise yhtälö: .

Ratkaisu

Heti alussa siirrämme kaikki termit vasemmalle puolelle niin, että 0 jää oikealle.

Nyt tuomme yhtälön vasemman puolen yhteiseen nimittäjään:

Tämä yhtälö vastaa järjestelmää:

Järjestelmän ensimmäinen yhtälö on toisen asteen yhtälö.

Tämän yhtälön kertoimet: . Laskemme diskriminantin:

Saamme kaksi juuria: ; .

Nyt ratkaistaan ​​toinen epäyhtälö: tekijöiden tulo ei ole 0, jos ja vain jos mikään tekijöistä ei ole yhtä suuri kuin 0.

Kahden edellytyksen on täytyttävä: . Saamme, että ensimmäisen yhtälön kahdesta juurista vain yksi on sopiva - 3.

Vastaus:.

Tällä oppitunnilla muistimme, mikä on rationaalinen lauseke, ja opimme myös ratkaisemaan rationaalisia yhtälöitä, jotka on pelkistetty toisen asteen yhtälöiksi.

Seuraavalla oppitunnilla tarkastellaan rationaalisia yhtälöitä todellisten tilanteiden malleina ja myös liikeongelmia.

Bibliografia

1. Bashmakov M.I. Algebra, 8. luokka. - M.: Enlightenment, 2004.
2. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et ai., Algebra, 8. 5. painos. - M.: Koulutus, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. luokka. Oppikirja oppilaitoksille. - M.: Koulutus, 2006.

1. Festivaali pedagogisia ideoita "Julkinen oppitunti" ().
2. School.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com().

Kotitehtävät

Yhtälöt itse murtoluvuilla eivät ole vaikeita ja erittäin mielenkiintoisia. Harkitse tyyppejä murto-yhtälöitä ja tapoja ratkaista ne.

Kuinka ratkaista yhtälöt, joissa on murtoluku - x osoittajassa

Jos annetaan murtoyhtälö, jossa tuntematon on osoittajassa, ratkaisu ei vaadi lisäehtoja ja se ratkaistaan ​​ilman turhaa vaivaa. Yleinen muoto tällainen yhtälö on x/a + b = c, missä x on tuntematon, a, b ja c ovat tavallisia lukuja.

Etsi x: x/5 + 10 = 70.

Yhtälön ratkaisemiseksi sinun on päästävä eroon murtoluvuista. Kerro yhtälön kukin termi 5:llä: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x ja 5 pienennetään, 10 ja 70 kerrotaan 5:llä ja saadaan: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Etsi x: x/5 + x/10 = 90.

Tämä esimerkki on hieman monimutkaisempi versio ensimmäisestä. Tässä on kaksi ratkaisua.

• Vaihtoehto 1: Päästä eroon murtoluvuista kertomalla kaikki yhtälön ehdot suuremmalla nimittäjällä, eli 10:llä: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
• Vaihtoehto 2: Lisää yhtälön vasen puoli. x/5 + x/10 = 90. Yhteinen nimittäjä on 10. Jaa 10 5:llä, kerro x:llä, saadaan 2x. 10 jaettuna 10:llä, kerrottuna x:llä, saadaan x: 2x+x/10 = 90. Näin ollen 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Usein on murtoyhtälöitä, joissa x:t ovat yhtäläisyysmerkin vastakkaisilla puolilla. Tällaisessa tilanteessa on tarpeen siirtää kaikki murtoluvut, joissa on x yhteen suuntaan ja numerot toiseen.

• Etsi x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Siirrä 2x/5 oikealle vastakkaisella merkillä: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Vähennämme 5x/5 ja saamme: x = 130.

Kuinka ratkaista yhtälö, jonka nimittäjässä on murto- x

Tämän tyyppiset murtoyhtälöt edellyttävät lisäehtojen kirjoittamista. Näiden ehtojen ilmoittaminen on pakollinen ja olennainen osa oikeaa päätöstä. Jos et määritä niitä, otat riskin, koska vastausta (vaikka se olisi oikea) ei ehkä yksinkertaisesti lasketa.

Murtoyhtälöiden yleinen muoto, jossa x on nimittäjässä, on: a/x + b = c, missä x on tuntematon, a, b, c ovat tavallisia lukuja. Huomaa, että x ei voi olla mikä tahansa luku. Esimerkiksi x ei voi olla nolla, koska et voi jakaa 0:lla. Tämä on juuri se lisäehto, joka meidän on määriteltävä. Tätä kutsutaan hyväksyttävien arvojen alueeksi, lyhennettynä - ODZ.

Etsi x: 15/x + 18 = 21.

Kirjoitamme heti x:n ODZ:n: x ≠ 0. Nyt kun ODZ on osoitettu, ratkaisemme yhtälön vakiokaavion mukaisesti murtoluvuista eroon. Kerromme kaikki yhtälön ehdot x:llä. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Usein on yhtälöitä, joissa nimittäjä sisältää paitsi x:n myös jonkin muun sen kanssa tehtävän operaation, kuten yhteen- tai vähennyslaskun.

Etsi x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Tiedämme jo, että nimittäjä ei voi olla yhtä suuri kuin nolla, mikä tarkoittaa x-3 ≠ 0. Siirrämme -3 oikealle puolelle, samalla kun vaihdamme "-"-merkin "+":ksi ja saamme x ≠ 3. ODZ on osoitettu.

Ratkaise yhtälö, kerro kaikki x-3:lla: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Siirrä x:t oikealle, numerot vasemmalle: 24 = 3x => x = 8.