מזה זמן מה, ב-TheBat (לא ברור מאיזו סיבה), מאגר התעודות המובנה עבור SSL הפסיק לפעול כהלכה.

בעת בדיקת הפוסט, מופיעה שגיאה:

אישור CA לא ידוע
השרת לא הציג אישור בסיס בהפעלה ואישור הבסיס המתאים לא נמצא בפנקס הכתובות.
הקשר הזה לא יכול להיות סודי. אנא
פנה למנהל השרת שלך.

והוא מוצע מבחר תשובות - כן / לא. וכך בכל פעם שאתה יורה דואר.

פִּתָרוֹן

במקרה זה, עליך להחליף את תקן היישום S/MIME ו-TLS ב-Microsoft CryptoAPI ב-TheBat!

מכיוון שהייתי צריך למזג את כל הקבצים לאחד, קודם כל המרתי הכל קבצי docלקובץ PDF בודד (באמצעות תוכנת Acrobat), ולאחר מכן הועבר ל-fb2 באמצעות ממיר מקוון. אתה יכול גם להמיר קבצים בנפרד. פורמטים יכולים להיות לחלוטין כל (מקור) ו-doc, ו-jpg, ואפילו ארכיון zip!

שם האתר תואם את המהות :) פוטושופ מקוון.

עדכון מאי 2015

מצאתי עוד אתר מעולה! אפילו יותר נוח ופונקציונלי ליצירת קולאז' שרירותי לחלוטין! אתר זה הוא http://www.fotor.com/ru/collage/ . השתמש לבריאות. ואני אשתמש בזה בעצמי.

מתמודד בחיים עם תיקון כיריים חשמליות. כבר עשיתי הרבה דברים, למדתי הרבה, אבל איכשהו לא היה לי מה לעשות עם אריחים. היה צורך להחליף את המגעים על הרגולטורים והמבערים. עלתה השאלה - כיצד לקבוע את קוטר המבער על הכיריים החשמליות?

התשובה התבררה כפשוטה. אין צורך למדוד שום דבר, אתה יכול לקבוע ברוגע לפי העין איזו מידה אתה צריך.

המבער הקטן ביותרהוא 145 מילימטרים (14.5 סנטימטרים)

מבער בינוניהוא 180 מילימטרים (18 סנטימטרים).

ולבסוף הכי הרבה מבער גדולהוא 225 מילימטרים (22.5 סנטימטרים).

זה מספיק כדי לקבוע את הגודל לפי העין ולהבין איזה קוטר אתה צריך מבער. כשלא ידעתי את זה, נסקתי עם הגדלים האלה, לא ידעתי איך למדוד, באיזה קצה לנווט וכו'. עכשיו אני חכם :) אני מקווה שזה עזר גם לך!

בחיי התמודדתי עם בעיה כזו. אני חושב שאני לא היחיד.

לימוד הפונקציה מתבצע על פי סכמה ברורה ודורש מהתלמיד ידע מוצק במושגים מתמטיים בסיסיים כמו תחום ההגדרה והערכים, המשכיות הפונקציה, האסימפטוטה, נקודות קיצון, זוגיות, מחזוריות, וכו ' על התלמיד להבדיל באופן חופשי פונקציות ולפתור משוואות, שלעיתים מורכבות מאוד.

כלומר, משימה זו בודקת רובד משמעותי של ידע, שכל פער בו יהפוך למכשול לקבלת הפתרון הנכון. לעתים קרובות במיוחד מתעוררים קשיים בבניית גרפים של פונקציות. הטעות הזו מושכת מיד את עינו של המורה ויכולה להרוס מאוד את הציון שלך, גם אם כל השאר נעשה נכון. כאן תוכל למצוא משימות ללימוד הפונקציה באינטרנט: לימוד דוגמאות, הורדת פתרונות, הזמנת מטלות.

חקור פונקציה ועלילה: דוגמאות ופתרונות באינטרנט

הכנו עבורכם הרבה מחקרי תכונות מוכנים, גם בתשלום בספר הפתרונות וגם בחינם בסעיף דוגמאות מחקר תכונות. על בסיס משימות שנפתרו אלה, תוכל להכיר בפירוט את המתודולוגיה לביצוע משימות כאלה, באנלוגיה, לבצע מחקר משלך.

אנחנו מציעים דוגמאות מוכנותמחקר מלא ושרטוט של גרף הפונקציות של הסוגים הנפוצים ביותר: פולינומים, שבר-רציונלי, אי-רציונלי, מעריכי, לוגריתמי, פונקציות טריגונומטריות. כל בעיה שנפתרה מלווה בגרף מוכן עם נקודות מפתח נבחרות, אסימפטוטים, מקסימום ומינימום, הפתרון מתבצע לפי האלגוריתם ללימוד הפונקציה.

הדוגמאות שנפתרו, בכל מקרה, יעזרו לך היטב, מכיוון שהן מכסות את סוגי הפונקציות הפופולריים ביותר. אנו מציעים לכם מאות בעיות שכבר נפתרו, אבל, כידוע, יש מספר אינסופי של פונקציות מתמטיות בעולם, ומורים הם מומחים גדולים בהמצאת משימות מורכבות יותר ויותר עבור תלמידים עניים. אז, תלמידים יקרים, סיוע מוסמך לא יזיק לכם.

פתרון בעיות ללימוד פונקציה לפי הזמנה

במקרה זה, השותפים שלנו יציעו לך שירות נוסף - לימוד מלאתכונות מקוונותלהורות. המשימה תושלם עבורך בהתאם לכל הדרישות לאלגוריתם לפתרון בעיות כאלה, מה שישמח מאוד את המורה שלך.

נערוך עבורך לימוד מלא של הפונקציה: נמצא את תחום ההגדרה וטווח הערכים, נבחן המשכיות ואי-רציפות, נקבע את השוויון, נבדוק את הפונקציה שלך לגבי מחזוריות, נמצא את נקודות החיתוך עם צירי הקואורדינטות . וכמובן, הלאה בעזרת חשבון דיפרנציאלי: נמצא אסימפטוטים, נחשב נקודות קיצון, נקודות פיתול ונבנה את הגרף עצמו.

כיצד לחקור פונקציה ולשרטט את הגרף שלה?

נראה שאני מתחיל להבין את פניו הנשמות של מנהיג הפרולטריון העולמי, מחבר יצירות אסופות ב-55 כרכים.... המסע הארוך התחיל במידע אלמנטרי על פונקציות וגרפים, ועכשיו העבודה על נושא מפרך מסתיימת בתוצאה טבעית - מאמר על מחקר התפקוד המלא. המשימה המיוחלת מנוסחת באופן הבא:

חקור את הפונקציה בשיטות של חשבון דיפרנציאלי, ובהתבסס על תוצאות המחקר, בנה את הגרף שלה

או בקיצור: לבחון את הפונקציה ולתכנן אותה.

למה לחקור?במקרים פשוטים, לא יהיה לנו קשה להתמודד איתם פונקציות אלמנטריות, צייר גרף המתקבל באמצעות טרנספורמציות גיאומטריות יסודיותוכולי. עם זאת, נכסים ו תמונות גרפיותיותר פונקציות מורכבותרחוקים מלהיות ברורים, ולכן יש צורך במחקר שלם.

השלבים העיקריים של הפתרון מסוכמים בחומר העזר תכנית מחקר פונקציות, זה מדריך המדור שלך. בובות צריך הסבר שלב אחר שלב על הנושא, חלק מהקוראים לא יודעים מאיפה להתחיל ואיך לארגן את הלימוד, ויתכן למתקדמים יתעניינו בנקודות בודדות בלבד. אבל מי שלא תהיה, מבקר יקר, התקציר המוצע עם הנחיות לשיעורים שונים ב הזמן הקצר ביותריכוון וידריך אותך לכיוון העניין. הרובוטים הזילו דמעה =) המדריך נוצר בצורת קובץ pdf ותפס את מקומו הראוי בעמוד נוסחאות מתמטיות וטבלאות.

נהגתי לחלק את לימוד הפונקציה ל-5-6 נקודות:

6) נקודות נוספות וגרף על סמך תוצאות המחקר.

לגבי הפעולה הסופית, אני חושב שכולם מבינים הכל - זה יהיה מאוד מאכזב אם תוך שניות היא תוחק והמשימה תוחזר לרוויזיה. ציור נכון ומדויק הוא התוצאה העיקרית של הפתרון! סביר מאוד שהוא "יחפה" על החטאות אנליטיות, בעוד שלוח זמנים שגוי ו/או מרושל יגרום לבעיות גם עם מחקר שנערך בצורה מושלמת.

יש לציין כי במקורות אחרים, מספר פריטי המחקר, סדר ביצועם וסגנון העיצוב עשויים להיות שונים באופן משמעותי מהסכימה המוצעת על ידי, אך ברוב המקרים זה מספיק. הגרסה הפשוטה ביותר של הבעיה מורכבת מ-2-3 שלבים בלבד והיא מנוסחת בערך כך: "חקר את הפונקציה באמצעות הנגזרת והעלילה" או "חקור את הפונקציה באמצעות הנגזרת הראשונה והשנייה, עלילה".

מטבע הדברים, אם אלגוריתם אחר מנותח בפירוט במדריך ההדרכה שלך או שהמורה שלך דורש ממך בקפדנות לדבוק בהרצאות שלו, אז תצטרך לבצע כמה התאמות לפתרון. לא יותר קשה מלהחליף מזלג בכף מסור חשמלי.

בואו נבדוק את הפונקציה עבור זוגי / אי זוגי:

זה מלווה בתבנית ביטול מנוי:
, כך שפונקציה זו אינה זוגית ואינה מוזרה.

מכיוון שהפונקציה רציפה ב-, אז אסימפטוטות אנכיותחָסֵר.

אין גם אסימפטוטות אלכסוניות.

הערה : אני מזכיר לך שהגבוה יותר סדר הצמיחהמאשר , אז הגבול הסופי הוא בדיוק " ועודאינסוף."

בואו לגלות איך הפונקציה מתנהגת באינסוף:

במילים אחרות, אם נלך ימינה, אז הגרף הולך למעלה לאין ערוך, אם נלך שמאלה, רחוק לאין שיעור למטה. כן, יש גם שתי מגבלות תחת כניסה אחת. אם אתה מתקשה לפענח את הסימנים, אנא בקר בשיעור בנושא פונקציות אינפיניטימיות.

אז הפונקציה לא מוגבל מלמעלהו לא מוגבל מלמטה. בהתחשב בכך שאין לנו נקודות שבירה, מתברר ו טווח פונקציות: הוא גם כל מספר ממשי.

טכניקה שימושית

כל שלב במשימה מביא מידע חדשלגבי הגרף של פונקציה, כך שבמהלך הפתרון נוח להשתמש בסוג של LAYOUT. בואו נצייר מערכת קואורדינטות קרטזית על הטיוטה. מה ידוע בוודאות? ראשית, לגרף אין אסימפטוטות, ולכן אין צורך לצייר קווים ישרים. שנית, אנו יודעים כיצד הפונקציה מתנהגת באינסוף. על פי הניתוח, אנו מציירים את הקירוב הראשון:

שימו לב שבפועל הֶמשֵׁכִיוּתפונקציה על והעובדה ש, הגרף חייב לחצות את הציר לפחות פעם אחת. או שאולי יש כמה נקודות צומת?

3) אפסים של הפונקציה והמרווחים של סימן קבוע.

ראשית, מצא את נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-y. זה פשוט. יש צורך לחשב את ערך הפונקציה כאשר:

חצי מעל פני הים.

כדי למצוא את נקודות החיתוך עם הציר (אפסי הפונקציה), צריך לפתור את המשוואה, וכאן מחכה לנו הפתעה לא נעימה:

בסוף אורב חבר חינם, מה שמסבך משמעותית את המשימה.

למשוואה כזו יש לפחות שורש אמיתי אחד, ולרוב השורש הזה הוא לא רציונלי. באגדה הגרועה ביותר, שלושה חזירים קטנים מחכים לנו. המשוואה ניתנת לפתרון באמצעות מה שנקרא הנוסחאות של קרדנו, אבל נזק הנייר דומה כמעט לכל המחקר. בהקשר זה, חכם יותר בעל פה או בטיוטה לנסות להרים לפחות אחד כֹּלשורש. בוא נבדוק אם המספרים האלה הם:
- לא מתאים;
- יש!

יש פה מזל. במקרה של כישלון, אתה יכול גם לבדוק, ואם המספרים האלה לא מתאימים, אז אני חושש שיש מעט מאוד סיכויים לפתרון רווחי למשוואה. אז עדיף לדלג לגמרי על נקודת המחקר – אולי משהו יתבהר בשלב הסופי, כשנקודות נוספות יפרצו דרך. ואם השורש (השורשים) הם בבירור "רעים", אז עדיף לשתוק בצניעות לגבי מרווחי הקביעות של הסימנים ולהשלים בצורה מדויקת יותר את הציור.

עם זאת, יש לנו שורש יפה, אז אנחנו מחלקים את הפולינום ללא שארית:

האלגוריתם לחלוקת פולינום בפולינום נדון בפירוט בדוגמה הראשונה של השיעור. גבולות מורכבים.

בסופו של דבר צד שמאלהמשוואה המקורית מתרחב למוצר:

ועכשיו קצת על דרך בריאהחַיִים. כמובן שאני מבין את זה משוואות ריבועיותצריך לפתור כל יום, אבל היום נעשה חריג: המשוואה יש שני שורשים אמיתיים.

על קו המספרים, אנו משרטטים את הערכים שנמצאו ו שיטת מרווחיםהגדר את הסימנים של הפונקציה:


לפיכך, על המרווחים תרשים ממוקם
מתחת לציר ה-x, ובמרווחים - מעל הציר הזה.

הממצאים המתקבלים מאפשרים לנו לחדד את הפריסה שלנו, והקירוב השני של הגרף נראה כך:

שימו לב שלפונקציה חייבת להיות לפחות מקסימום אחד במרווח, ולפחות מינימום אחד במרווח. אבל אנחנו לא יודעים כמה פעמים, איפה ומתי לוח הזמנים "יתפתל". אגב, לפונקציה יכולים להיות אינסוף רבים קיצוניות.

4) עלייה, ירידה וקיצוניות של הפונקציה.

בואו נמצא את הנקודות הקריטיות:

למשוואה זו יש שני שורשים אמיתיים. נניח אותם על קו המספרים ונקבע את הסימנים של הנגזרת:


לכן, הפונקציה גדלה ב- ויורד ב .
בנקודה שבה הפונקציה מגיעה למקסימום שלה: .
בנקודה שבה הפונקציה מגיעה למינימום שלה: .

העובדות שנקבעו מובילות את התבנית שלנו למסגרת נוקשה למדי:

מיותר לציין שחשבון דיפרנציאלי הוא דבר חזק. סוף סוף נעסוק בצורת הגרף:

5) נקודות קמור, קיעור והטיה.

מצא את הנקודות הקריטיות של הנגזרת השנייה:

בואו נגדיר סימנים:


גרף הפונקציות קמור על וקעור על . הבה נחשב את האורדינאטה של ​​נקודת הפיתול: .

כמעט הכל התבהר.

6) נותר למצוא נקודות נוספות שיעזרו לבנות גרף בצורה מדויקת יותר ולבצע בדיקה עצמית. במקרה זה, הם מעטים, אבל לא נזניח:

בוא נבצע את הציור:

בירוקנקודת הפיתול מסומנת, הצלבים מציינים נקודות נוספות. לוח זמנים פונקציה מעוקבתהוא סימטרי לגבי נקודת הפיתול שלו, שנמצאת תמיד בדיוק באמצע בין המקסימום למינימום.

במהלך המשימה נתתי שלושה ציורי ביניים היפותטיים. בפועל, מספיק לצייר מערכת קואורדינטות, לסמן את הנקודות שנמצאו, ולאחר כל נקודה במחקר, להבין מחשבתית איך הגרף של הפונקציה עשוי להיראות. לא יהיה קשה לתלמידים עם רמת הכנה טובה לבצע ניתוח כזה אך ורק במוחם מבלי לערב טיוטה.

לפתרון עצמאי:

דוגמה 2

חקור את הפונקציה ובנה גרף.

זה מהיר יותר ומהנה יותר כאן. מדגם למופתגימור בסוף השיעור.

הרבה סודות נחשפים על ידי מחקר של פונקציות רציונליות חלקיות:

דוגמה 3

בעזרת שיטות החשבון הדיפרנציאלי, חקרו את הפונקציה ועל סמך תוצאות המחקר בנו את הגרף שלה.

פִּתָרוֹן: השלב הראשון של המחקר אינו שונה בשום דבר יוצא דופן, למעט חור באזור ההגדרה:

1) הפונקציה מוגדרת ורציפה על כל קו המספרים מלבד הנקודה , תְחוּם: .

, כך שפונקציה זו אינה זוגית ואינה מוזרה.

ברור שהפונקציה אינה מחזורית.

הגרף של הפונקציה מורכב משני ענפים רציפים הממוקמים בחצי המישור השמאלי והימני - זו אולי המסקנה החשובה ביותר של הפסקה הראשונה.

2) אסימפטוטים, התנהגות של פונקציה באינסוף.

א) בעזרת מגבלות חד-צדדיות, אנו חוקרים את התנהגות הפונקציה ליד הנקודה החשודה, שבה האסימפטוטה האנכית חייבת להיות בבירור:

אכן, הפונקציות נמשכות פער אינסופיבנקודה
והקו הישר (ציר) הוא אסימפטוטה אנכיתאומנות גרפית.

ב) בדוק אם קיימות אסימפטוטות אלכסוניות:

כן, הקו הוא אסימפטוטה אלכסוניתגרפיקה אם .

אין טעם לנתח את הגבולות, שכן כבר ברור שהפונקציה בחיבוק עם האסימפטוטה האלכסונית שלה לא מוגבל מלמעלהו לא מוגבל מלמטה.

הנקודה השנייה של המחקר הביאה הרבה מידע חשובלגבי הפונקציה. בואו נעשה סקיצה גסה:

מסקנה מס' 1 נוגעת למרווחים של קביעות סימנים. ב"מינוס אינסוף" גרף הפונקציה ממוקם באופן ייחודי מתחת לציר ה-x, וב"פלוס אינסוף" הוא נמצא מעל ציר זה. בנוסף, מגבלות חד-צדדיות אמרו לנו שגם משמאל וגם מימין לנקודה, הפונקציה גם גדולה מאפס. שימו לב שבחצי המישור השמאלי, על הגרף לחצות את ציר ה-x לפחות פעם אחת. בחצי המישור הימני, ייתכן שלא יהיו אפסים של הפונקציה.

מסקנה מס' 2 היא שהפונקציה גדלה משמאל לנקודה (הולכת "מלמטה למעלה"). מימין לנקודה זו, הפונקציה יורדת (הולכת "מלמעלה למטה"). הענף הימני של הגרף חייב להיות לפחות מינימום אחד. בשמאל, קיצוניות לא מובטחת.

מסקנה מס' 3 נותנת מידע מהימן לגבי קעירות הגרף בקרבת הנקודה. עד כה, איננו יכולים לומר דבר על קמורות/קיעור באינסוף, מכיוון שניתן ללחוץ את הקו כנגד האסימפטוטה שלו הן מלמעלה והן מלמטה. באופן כללי, יש דרך אנליטית להבין את זה עכשיו, אבל צורת התרשים "לחינם" תתבהר בשלב מאוחר יותר.

למה כל כך הרבה מילים? לשלוט בנקודות המחקר הבאות ולהימנע מטעויות! חישובים נוספים לא צריכים לסתור את המסקנות שהושקו.

3) נקודות חיתוך של הגרף עם צירי הקואורדינטות, מרווחים של סימן קבוע של הפונקציה.

הגרף של הפונקציה אינו חוצה את הציר.

באמצעות שיטת המרווח, אנו קובעים את הסימנים:

, אם ;
, אם .

תוצאות הפסקה עולות בקנה אחד עם מסקנה מס' 1. לאחר כל שלב, הסתכלו בטיוטה, התייחסו נפשית למחקר וסיימו לצייר את הגרף של הפונקציה.

בדוגמה זו, המונה מחולק מונח אחר מונח על ידי המכנה, וזה מאוד מועיל עבור בידול:

למעשה, זה כבר נעשה בעת מציאת אסימפטוטות.

- נקודה קריטית.

בואו נגדיר סימנים:

גדל ב ויורד ל

בנקודה שבה הפונקציה מגיעה למינימום שלה: .

לא היו גם סתירות עם מסקנה מס' 2, וסביר להניח שאנחנו בדרך הנכונה.

המשמעות היא שהגרף של הפונקציה קעור על כל תחום ההגדרה.

מצוין - ולא צריך לצייר כלום.

אין נקודות פיתול.

הקיעור עולה בקנה אחד עם מסקנה מס' 3, יתרה מכך, הוא מצביע על כך שבאינסוף (גם שם וגם שם) נמצא גרף הפונקציה גבוה יותרהאסימפטוטה האלכסונית שלו.

6) אנו נצמיד את המשימה עם נקודות נוספות. כאן אנחנו צריכים לעבוד קשה, כי אנחנו יודעים רק שתי נקודות מהמחקר.

ותמונה שכנראה רבים הציגו מזמן:

במהלך המשימה יש להקפיד שלא יהיו סתירות בין שלבי הלימוד, אך לעיתים המצב דחוף או אפילו מבוי סתום נואש. כאן האנליטיקה "לא מתכנסת" – וזהו. במקרה זה, אני ממליץ על טכניקת חירום: אנחנו מוצאים כמה שיותר נקודות השייכות לגרף (כמה מספיק סבלנות), ונסמן אותן במישור הקואורדינטות. ניתוח גרפי של הערכים שנמצאו ברוב המקרים יגיד לך איפה האמת ואיפה השקר. בנוסף, ניתן לבנות את הגרף מראש באמצעות תוכנה כלשהי, למשל, באותה אקסל (ברור שזה דורש מיומנויות).

דוגמה 4

בעזרת השיטות של חשבון דיפרנציאלי, חקור את הפונקציה ובנה את הגרף שלה.

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. בו השליטה העצמית מתעצמת על ידי אחידות הפונקציה - הגרף סימטרי על הציר, ואם משהו במחקר שלך סותר עובדה זו, חפש שגיאה.

ניתן לחקור פונקציה זוגית או אי-זוגית רק עבור , ואז ניתן להשתמש בסימטריה של הגרף. הפתרון הזה הוא אופטימלי, אבל הוא נראה, לדעתי, מאוד יוצא דופן. באופן אישי, אני מחשיב את כל הציר המספרי, אבל אני עדיין מוצא נקודות נוספות רק בצד ימין:

דוגמה 5

ערכו מחקר מלא של הפונקציה ושרטטו את הגרף שלה.

פִּתָרוֹן:מיהרו חזק:

1) הפונקציה מוגדרת ורציפה על כל הקו האמיתי: .

זה אומר שהפונקציה הזו מוזרה, הגרף שלה סימטרי ביחס למקור.

ברור שהפונקציה אינה מחזורית.

2) אסימפטוטים, התנהגות של פונקציה באינסוף.

מכיוון שהפונקציה רציפה ב- , אין אסימפטוטות אנכיות

עבור פונקציה המכילה מעריך, בדרך כלל נפרדהמחקר של "פלוס" ו"מינוס אינסוף", עם זאת, החיים שלנו מקלים רק על ידי הסימטריה של הגרף - או שיש אסימפטוטה משמאל ומימין, או שלא. לכן, שני הגבולות האינסופיים יכולים להיות מסודרים תחת ערך יחיד. במהלך הפתרון, אנו משתמשים שלטון L'Hopital:

הקו הישר (ציר) הוא האסימפטוטה האופקית של הגרף ב- .

שימו לב כיצד נמנעתי בחוכמה מהאלגוריתם המלא למציאת האסימפטוטה האלכסונית: הגבול הוא חוקי למדי ומבהיר את התנהגות הפונקציה באינסוף, והאסימפטוטה האופקית נמצאה "כאילו באותו הזמן".

מההמשכיות על ומקיומה של אסימפטוטה אופקית נובע שהפונקציה מוגבל מלמעלהו מוגבל מלמטה.

3) נקודות חיתוך של הגרף עם צירי קואורדינטות, מרווחי קביעות.

כאן גם אנחנו מקצרים את הפתרון:
הגרף עובר דרך המקור.

אין נקודות חיתוך אחרות עם צירי הקואורדינטות. יתר על כן, מרווחי הקביעות ברורים, ולא ניתן לצייר את הציר: , מה שאומר שהסימן של הפונקציה תלוי רק ב- "x":
, אם ;
, אם .

4) עלייה, ירידה, קיצוניות של הפונקציה.


הן נקודות קריטיות.

הנקודות סימטריות בערך אפס, כמו שצריך.

בוא נגדיר את הסימנים של הנגזרת:


הפונקציה גדלה במרווח ויורדת במרווחים

בנקודה שבה הפונקציה מגיעה למקסימום שלה: .

בשל הנכס (מוזרות הפונקציה) ניתן להשמיט את המינימום:

מכיוון שהפונקציה יורדת במרווח , אז ברור שהגרף ממוקם ב"מינוס אינסוף" תַחַתעם האסימפטוטה שלו. במרווח גם הפונקציה יורדת, אבל כאן ההפך הוא הנכון - לאחר שעבר בנקודת המקסימום, הקו מתקרב לציר מלמעלה.

עוד עולה מהאמור לעיל שגרף הפונקציה קמור ב"מינוס אינסוף" וקעור ב"פלוס אינסוף".

לאחר נקודה זו של המחקר, שטח הערכים של הפונקציה צויר גם:

אם יש לך אי הבנה של נקודות כלשהן, אני שוב קורא לך לצייר צירי קואורדינטות במחברת שלך, ובעזרת עיפרון בידיים שלך, לנתח מחדש כל מסקנה של המטלה.

5) קמורות, קיעור, הטיות של הגרף.

הן נקודות קריטיות.

הסימטריה של הנקודות נשמרת, וסביר להניח שאנחנו לא טועים.

בואו נגדיר סימנים:


הגרף של הפונקציה קמור על וקעור על .

קמורות/קיעור במרווחים קיצוניים אושרו.

בכל נקודות קריטיותיש עקומות בגרף. בואו נמצא את האורדינאטות של נקודות הפיתול, תוך צמצום שוב את מספר החישובים, תוך שימוש במוזרות של הפונקציה:

היום אנו מזמינים אתכם לחקור ולשרטט איתנו גרף פונקציות. לאחר לימוד מדוקדק של מאמר זה, לא תצטרכו להזיע במשך זמן רב כדי לבצע משימה מסוג זה. לא קל לחקור ולבנות גרף של פונקציה, העבודה רבת עוצמה, דורשת תשומת לב מירבית ודיוק חישובים. כדי להקל על תפיסת החומר, נלמד בהדרגה את אותה פונקציה, נסביר את כל הפעולות והחישובים שלנו. ברוכים הבאים לעולם המדהים והמרתק של המתמטיקה! ללכת!

תְחוּם

כדי לחקור ולתכנן פונקציה, אתה צריך לדעת כמה הגדרות. פונקציה היא אחד המושגים הבסיסיים (הבסיסיים) במתמטיקה. הוא משקף את התלות בין מספר משתנים (שניים, שלושה או יותר) עם שינויים. הפונקציה מציגה גם את התלות של קבוצות.

תארו לעצמכם שיש לנו שני משתנים שיש להם טווח מסוים של שינוי. אז, y הוא פונקציה של x, בתנאי שכל ערך של המשתנה השני מתאים לערך אחד של השני. במקרה זה, המשתנה y תלוי, והוא נקרא פונקציה. נהוג לומר שהמשתנים x ו-y נמצאים בעבור בהירות רבה יותר של תלות זו, נבנה גרף של הפונקציה. מהו גרף פונקציות? זוהי קבוצה של נקודות במישור הקואורדינטות, כאשר כל ערך של x מתאים לערך אחד של y. גרפים יכולים להיות שונים - קו ישר, היפרבולה, פרבולה, סינוסואיד וכן הלאה.

לא ניתן לשרטט גרף פונקציה ללא חקירה. היום נלמד איך לערוך מחקר ולשרטט גרף פונקציה. חשוב מאוד לרשום הערות במהלך הלימוד. אז זה יהיה הרבה יותר קל להתמודד עם המשימה. תכנית הלימודים הנוחה ביותר:

1. תְחוּם.
2. הֶמשֵׁכִיוּת.
3. זוגי או אי - זוגי.
4. תְקוּפָתִיוּת.
5. אסימפטוטים.
6. אפסים.
7. קְבִיעוּת.
8. עולה ויורד.
9. קיצוניות.
10. קמור וקעור.

נתחיל מהנקודה הראשונה. בואו נמצא את תחום ההגדרה, כלומר באילו מרווחים הפונקציה שלנו קיימת: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). במקרה שלנו, הפונקציה קיימת עבור כל ערכים של x, כלומר, תחום ההגדרה הוא R. ניתן לכתוב זאת כ-xОR.

הֶמשֵׁכִיוּת

כעת אנו הולכים לחקור את פונקציית אי ההמשכיות. במתמטיקה המונח "המשכיות" הופיע כתוצאה מחקר חוקי התנועה. מה זה אינסופי? מרחב, זמן, כמה תלות (דוגמה היא התלות של המשתנים S ו-t בבעיות תנועה), הטמפרטורה של העצם המחומם (מים, מחבת, מדחום וכדומה), קו רציף (כלומר, אחד שניתן לצייר מבלי להוריד אותו מעיפרון הגיליון).

גרף נחשב רציף אם הוא לא נשבר בשלב מסוים. אחת הדוגמאות הברורות ביותר לגרף כזה היא גל סינוס, אותו ניתן לראות בתמונה בסעיף זה. הפונקציה רציפה בנקודה כלשהי x0 אם מתקיימים מספר תנאים:

• פונקציה מוגדרת בנקודה נתונה;
• הגבול הימני והשמאלי בנקודה שווים;
• לְהַגבִּיל שווה לערךמתפקד בנקודה x0.

אם לפחות תנאי אחד לא מתקיים, אומרים שהפונקציה נשברת. והנקודות שבהן הפונקציה נשברת נקראות נקודות שבירה. דוגמה לפונקציה ש"תישבר" כשהיא מוצגת בצורה גרפית היא: y=(x+4)/(x-3). יתרה מכך, y לא קיים בנקודה x = 3 (שכן אי אפשר לחלק באפס).

בפונקציה שאנו לומדים (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) הכל התברר כפשוט, מכיוון שהגרף יהיה רציף.

זוגי אי - זוגי

כעת בדוק את הפונקציה עבור זוגיות. נתחיל עם תיאוריה קטנה. פונקציה זוגית היא פונקציה המקיימת את התנאי f (-x) = f (x) עבור כל ערך של המשתנה x (מטווח הערכים). דוגמאות הן:

• מודול x (הגרף נראה כמו עורב, חצויה של הרבע הראשון והשני של הגרף);
• x בריבוע (פרבולה);
• קוסינוס x (גל קוסינוס).

שימו לב שכל הגרפים הללו הם סימטריים כשהם צופים ביחס לציר ה-y.

מה אם כן נקרא פונקציה אי זוגית? אלו הן אותן פונקציות שעומדות בתנאי: f (-x) \u003d - f (x) עבור כל ערך של המשתנה x. דוגמאות:

• הִיפֵּרבּוֹלָה;
• פרבולה מעוקבת;
• סינוסואיד;
• משיק וכן הלאה.

שימו לב שפונקציות אלו הן סימטריות לגבי הנקודה (0:0), כלומר המקור. בהתבסס על מה שנאמר בחלק זה של המאמר, ה-even and פונקציה אי - זוגיתחייב להיות המאפיין: x שייך לקבוצת ההגדרות וגם -x.

הבה נבחן את הפונקציה עבור זוגיות. אנחנו יכולים לראות שהיא לא מתאימה לאף אחד מהתיאורים. לכן, הפונקציה שלנו היא לא זוגית ולא מוזרה.

אסימפטוטים

נתחיל בהגדרה. אסימפטוטה היא עקומה הקרובה ככל האפשר לגרף, כלומר המרחק מנקודה כלשהי שואף לאפס. ישנם שלושה סוגים של אסימפטוטות:

• אנכי, כלומר מקביל לציר ה-y;
• אופקי, כלומר מקביל לציר ה-x;
• אֲלַכסוֹנִי.

באשר לסוג הראשון, יש לחפש את השורות האלה בכמה נקודות:

• פער;
• קצוות התחום.

במקרה שלנו, הפונקציה היא רציפה, ותחום ההגדרה הוא R. לכן, אין אסימפטוטות אנכיות.

לגרף של פונקציה יש אסימפטוטה אופקית, העונה על הדרישה הבאה: אם x שואף לאינסוף או מינוס אינסוף, והגבול שווה למספר מסוים (לדוגמה, a). במקרה זה, y=a היא האסימפטוטה האופקית. בפונקציה שאנו לומדים אסימפטוטות אופקיותלא.

אסימפטוטה אלכסונית קיימת רק אם מתקיימים שני תנאים:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

אז ניתן למצוא אותו לפי הנוסחה: y=kx+b. שוב, במקרה שלנו אין אסימפטוטות אלכסוניות.

אפסים פונקציה

השלב הבא הוא לבחון את גרף הפונקציה לאפסים. כמו כן, חשוב מאוד לציין שהמשימה הקשורה במציאת אפסים של פונקציה מתרחשת לא רק בלימוד ובנייה של גרף פונקציה, אלא גם כמשימה עצמאית, וכדרך לפתור אי שוויון. ייתכן שתידרש למצוא את האפסים של פונקציה בגרף או להשתמש בסימון מתמטי.

מציאת ערכים אלה תעזור לך לשרטט את הפונקציה בצורה מדויקת יותר. אם לדבר שפה פשוטה, אז האפס של הפונקציה הוא הערך של המשתנה x, שבו y=0. אם אתה מחפש את האפסים של פונקציה בגרף, אז אתה צריך לשים לב לנקודות שבהן הגרף נחתך עם ציר ה-x.

כדי למצוא את האפסים של הפונקציה, עליך לפתור את המשוואה הבאה: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. לאחר ביצוע החישובים הדרושים, אנו מקבלים את התשובה הבאה:

קביעות סימן

השלב הבא בלימוד ובניית פונקציה (גרפיקה) הוא מציאת מרווחים של קביעות סימנים. המשמעות היא שעלינו לקבוע באילו מרווחים הפונקציה מקבלת ערך חיובי, ועל אילו מרווחים היא מקבלת ערך שלילי. האפסים של הפונקציות שנמצאו בסעיף הקודם יעזרו לנו לעשות זאת. לכן, עלינו לבנות קו ישר (בנפרד מהגרף) ולחלק את אפסי הפונקציה לאורכו בסדר הנכון מהקטן לגדול ביותר. כעת עליך לקבוע לאילו מהמרווחים המתקבלים יש סימן "+", ולאיזה מהם יש "-".

במקרה שלנו, הפונקציה מקבלת ערך חיובי על המרווחים:

• מ-1 עד 4;
• מ-9 עד אינסוף.

משמעות שלילית:

• ממינוס אינסוף ל-1;
• מ-4 עד 9.

זה די קל לקבוע. החליפו כל מספר מהמרווח לתוך הפונקציה וראו איזה סימן התשובה (מינוס או פלוס).

פונקציה עולה ויורדת

על מנת לחקור ולבנות פונקציה, עלינו לדעת היכן הגרף יגדל (יעלה על Oy), ואיפה הוא ייפול (לזחול למטה לאורך ציר ה-y).

הפונקציה גדלה רק אם הערך הגדול יותר של המשתנה x מתאים ל ערך גדול יותר y. כלומר, x2 גדול מ-x1, ו-f(x2) גדול מ-f(x1). ואנו רואים תופעה הפוכה לחלוטין בפונקציה הולכת ופוחתת (ככל שיותר x, פחות y). כדי לקבוע את מרווחי העלייה והירידה, עליך למצוא את הדברים הבאים:

• היקף (כבר יש לנו את זה);
• נגזרת (במקרה שלנו: 1/3(3x^2-28x+49);
• פתור את המשוואה 1/3(3x^2-28x+49)=0.

לאחר חישובים, נקבל את התוצאה:

נקבל: הפונקציה גדלה במרווחים ממינוס אינסוף ל-7/3 ומ-7 לאינסוף, ויורדת במרווח מ-7/3 ל-7.

קיצוניות

הפונקציה הנחקרה y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) היא רציפה וקיימת עבור כל ערכים של המשתנה x. נקודת הקיצון מציגה את המקסימום והמינימום של פונקציה זו. במקרה שלנו, אין כאלה, מה שמפשט מאוד את משימת הבנייה. אחרת, הם נמצאים גם באמצעות פונקציית הנגזרת. לאחר מציאת, אל תשכח לסמן אותם בתרשים.

קמור וקעור

אנו ממשיכים ללמוד את הפונקציה y(x). עכשיו אנחנו צריכים לבדוק אם יש קמור וקיעור. ההגדרות של מושגים אלה די קשות לתפיסה, עדיף לנתח הכל עם דוגמאות. למבחן: פונקציה קמורה אם היא פונקציה שאינה יורדת. מסכים, זה לא מובן!

אנחנו צריכים למצוא את הנגזרת של פונקציית הסדר השני. נקבל: y=1/3(6x-28). עכשיו תשווה צד ימיןלאפס ולפתור את המשוואה. תשובה: x=14/3. מצאנו את נקודת הפיתול, כלומר המקום בו הגרף משתנה מקמור לקעור או להיפך. במרווח ממינוס אינסוף ל-14/3, הפונקציה קמורה, ומ-14/3 ועד פלוס אינסוף, היא קעורה. כמו כן, חשוב מאוד לציין שנקודת הפיתול בתרשים צריכה להיות חלקה ורכה, לא פינות חדותלא צריך להיות נוכח.

הגדרת נקודות נוספות

המשימה שלנו היא לחקור ולשרטט את גרף הפונקציות. סיימנו את המחקר, לא יהיה קשה לשרטט את הפונקציה כעת. לשחזור מדויק ומפורט יותר של עקומה או קו ישר במישור הקואורדינטות, ניתן למצוא מספר נקודות עזר. זה די קל לחשב אותם. לדוגמה, ניקח את x=3, נפתור את המשוואה שהתקבלה ונמצא את y=4. או x=5 ו-y=-5 וכן הלאה. אתה יכול לקחת כמה נקודות נוספות שאתה צריך כדי לבנות. נמצאו לפחות 3-5 מהם.

הִתנַכְּלוּת

היינו צריכים לחקור את הפונקציה (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. כל הסימנים הדרושים במהלך החישובים נעשו במישור הקואורדינטות. כל מה שנותר לעשות הוא לבנות גרף, כלומר לחבר את כל הנקודות זו לזו. חיבור הנקודות חלק ומדויק, זה עניין של מיומנות - קצת תרגול ולוח הזמנים שלך יהיה מושלם.