Pagal Sovetovo ir Jakovlevo vadovėlį: „modelis (lot. modulis – matas) yra originalaus objekto pakaitalas, užtikrinantis kai kurių originalo savybių tyrimą“. (p. 6) „Vieno objekto pakeitimas kitu, siekiant gauti informacijos apie svarbiausias pirminio objekto savybes naudojant modelio objektą, vadinamas modeliavimu“. (p. 6) „Matematiniu modeliavimu suprantame duoto realaus objekto atitikimo nustatymo procesą su tam tikru matematiniu objektu, vadinamu matematiniu modeliu, ir šio modelio tyrimą, leidžiantį gauti tikrojo charakteristikas. nagrinėjamas objektas. Matematinio modelio tipas priklauso ir nuo realaus objekto prigimties, ir nuo objekto tyrimo užduočių bei reikalingo šios problemos sprendimo patikimumo ir tikslumo.

Galiausiai glausčiausias matematinio modelio apibrėžimas: „Idėją išreiškianti lygtis».

Modelių klasifikacija

Formali modelių klasifikacija

Formali modelių klasifikacija grindžiama naudojamų matematinių priemonių klasifikacija. Dažnai konstruojami dichotomijų pavidalu. Pavyzdžiui, vienas iš populiariausių dichotomijų rinkinių:

ir taip toliau. Kiekvienas sukonstruotas modelis yra tiesinis arba netiesinis, deterministinis arba stochastinis,... Natūralu, kad galimi ir mišrūs tipai: koncentruoti vienu požiūriu (parametrų atžvilgiu), paskirstyti kitu ir t.t.

Klasifikacija pagal objekto vaizdavimo būdą

Kartu su formalia klasifikacija modeliai skiriasi tuo, kaip jie vaizduoja objektą:

Struktūriniai arba funkciniai modeliai

Struktūriniai modeliai reprezentuoti objektą kaip sistemą, turinčią savo struktūrą ir veikimo mechanizmą. Funkciniai modeliai nenaudoti tokių reprezentacijų ir atspindėti tik išoriškai suvokiamą objekto elgesį (funkciją). Išskirtine išraiška jie dar vadinami „juodosios dėžės“ modeliais. Taip pat galimi kombinuoti modelių tipai, kurie kartais vadinami „ pilka dėžutė».

Turinys ir formalūs modeliai

Beveik visi matematinio modeliavimo procesą aprašantys autoriai nurodo, kad pirmiausia sukuriama ypatinga ideali struktūra, turinio modelis. Čia nėra nusistovėjusios terminijos, o kiti autoriai šį idealų objektą vadina koncepcinis modelis , spekuliacinis modelis arba premodelis. Šiuo atveju vadinama galutinė matematinė konstrukcija formalus modelis arba tiesiog matematinis modelis, gautas formalizavus duotą prasmingą modelį (pre-modelis). Prasmingo modelio konstravimas gali būti atliktas naudojant paruoštų idealizacijų rinkinį, kaip ir mechanikoje, kur idealios spyruoklės, standūs kūnai, idealios švytuoklės, tamprios terpės ir tt pateikia paruoštus konstrukcinius elementus prasmingam modeliavimui. Tačiau žinių srityse, kuriose nėra iki galo užbaigtų formalizuotų teorijų (fizikos, biologijos, ekonomikos, sociologijos, psichologijos ir daugumos kitų sričių pažangiausiose srityse), prasmingų modelių kūrimas tampa labai sunkesnis.

Modelių turinio klasifikacija

Jokia hipotezė moksle negali būti įrodyta kartą ir visiems laikams. Richardas Feynmanas tai labai aiškiai suformulavo:

„Mes visada turime galimybę paneigti teoriją, tačiau atkreipkite dėmesį, kad niekada negalime įrodyti, kad ji teisinga. Tarkime, kad iškėlėte sėkmingą hipotezę, apskaičiavote, kur ji veda, ir nustatėte, kad visos jos pasekmės patvirtinamos eksperimentiškai. Ar tai reiškia, kad jūsų teorija yra teisinga? Ne, tai tiesiog reiškia, kad jums nepavyko to paneigti.

Jei pastatytas pirmojo tipo modelis, tai reiškia, kad jis laikinai priimamas kaip tiesa ir galima susikoncentruoti į kitas problemas. Tačiau tai negali būti tyrimo taškas, o tik laikina pauzė: pirmojo tipo modelio statusas gali būti tik laikinas.

2 tipas: Fenomenologinis modelis (elgiamės tarsi…)

Fenomenologinis modelis turi reiškinio apibūdinimo mechanizmą. Tačiau šis mechanizmas nėra pakankamai įtikinamas, negali būti pakankamai patvirtintas turimais duomenimis arba nelabai dera su esamomis teorijomis ir sukauptomis žiniomis apie objektą. Todėl fenomenologiniai modeliai turi laikinų sprendimų statusą. Manoma, kad atsakymas vis dar nežinomas ir reikia tęsti „tikrųjų mechanizmų“ paieškas. Peierls apima, pavyzdžiui, kalorijų modelį ir elementariųjų dalelių kvarko modelį kaip antrąjį tipą.

Modelio vaidmuo tyrime laikui bėgant gali keistis, gali atsitikti taip, kad nauji duomenys ir teorijos patvirtina fenomenologinius modelius ir jie tampa hipotezės statusu. Taip pat naujos žinios pamažu gali konfliktuoti su pirmojo tipo modeliais-hipotezėmis ir gali būti paverčiamos antruoju. Taigi kvarko modelis pamažu pereina į hipotezių kategoriją; atomizmas fizikoje atsirado kaip laikinas sprendimas, tačiau istorijos eigoje jis tapo pirmuoju tipu. Tačiau eterio modeliai perėjo iš 1 tipo į 2 tipą ir dabar yra už mokslo ribų.

Supaprastinimo idėja yra labai populiari kuriant modelius. Tačiau supaprastinimas būna įvairių formų. Peierlsas nustato trijų tipų modeliavimo supaprastinimus.

3 tipas: Aproksimacija (laikome ką nors labai didelio arba labai mažo)

Jei įmanoma sukonstruoti lygtis, apibūdinančias tiriamą sistemą, tai dar nereiškia, kad jas galima išspręsti net ir kompiuterio pagalba. Šiuo atveju įprastas metodas yra aproksimacijų naudojimas (3 tipo modeliai). Tarp jų tiesinio atsako modeliai. Lygtys pakeičiamos tiesinėmis. Standartinis pavyzdys yra Ohmo dėsnis.

Čia ateina 8 tipas, plačiai paplitęs biologinių sistemų matematiniuose modeliuose.

8 tipas: Funkcijų demonstravimas (svarbiausia parodyti vidinį galimybės nuoseklumą)

Tai irgi minties eksperimentai su įsivaizduojamomis būtybėmis, įrodančiomis tai tariamas reiškinys atitinkantys pagrindinius principus ir vidiniai suderinti. Tai yra pagrindinis skirtumas nuo 7 tipo modelių, kurie atskleidžia paslėptus prieštaravimus.

Vienas žinomiausių šių eksperimentų yra Lobačevskio geometrija (Lobačevskis ją pavadino „įsivaizduojama geometrija“). Kitas pavyzdys – formaliai kinetinių cheminių ir biologinių virpesių modelių, autobangų ir tt masinė gamyba. Einšteino-Podolskio-Roseno paradoksas buvo sumanytas kaip 7 tipo modelis, siekiant parodyti nenuoseklumą. Kvantinė mechanika. Visiškai neplanuotai jis galiausiai virto 8 tipo modeliu – informacijos kvantinės teleportacijos galimybės demonstravimu.

Pavyzdys

Apsvarstykite mechaninę sistemą, kurią sudaro spyruoklė, pritvirtinta viename gale, ir masės masė, pritvirtinta prie laisvojo spyruoklės galo. Darysime prielaidą, kad apkrova gali judėti tik spyruoklės ašies kryptimi (pavyzdžiui, judėjimas vyksta išilgai strypo). Sukurkime matematinį šios sistemos modelį. Sistemos būseną apibūdinsime atstumu nuo apkrovos centro iki jos pusiausvyros padėties. Apibūdinkime spyruoklės ir apkrovos sąveiką Huko dėsnis() ir tada naudokite antrąjį Niutono dėsnį, kad išreikštumėte jį diferencialinės lygties forma:

kur reiškia antrąją išvestinę iš laiko atžvilgiu: .

Gauta lygtis apibūdina nagrinėjamos fizinės sistemos matematinį modelį. Šis modelis vadinamas „harmoniniu osciliatoriumi“.

Pagal formalią klasifikaciją, šis modelis yra tiesinis, deterministinis, dinamiškas, koncentruotas, tęstinis. Jo kūrimo procese padarėme daug prielaidų (apie išorinių jėgų nebuvimą, trinties nebuvimą, nuokrypių mažumą ir pan.), kurių realybėje gali ir nepavykti.

Kalbant apie realybę, tai dažniausiai yra 4 tipo modelis supaprastinimas(„aiškumo dėlei praleisime kai kurias detales“), nes kai kurie esminiai universalūs bruožai (pavyzdžiui, išsklaidymas) yra praleisti. Apytiksliai (tarkim, nors apkrovos nuokrypis nuo pusiausvyros yra mažas, su maža trintimi, ne per ilgai ir esant tam tikroms kitoms sąlygoms), toks modelis gana gerai apibūdina tikrą mechaninę sistemą, nes atmesti veiksniai nežymus poveikis jo elgesiui. Tačiau modelis gali būti patobulintas, atsižvelgiant į kai kuriuos iš šių veiksnių. Taip bus sukurtas naujas modelis, kurio taikymo sritis bus platesnė (nors ir vėl ribota).

Tačiau tobulinant modelį jo matematinio tyrimo sudėtingumas gali gerokai padidėti ir modelis gali tapti praktiškai nenaudingas. Dažnai paprastesnis modelis leidžia geriau ir giliau ištirti realią sistemą nei sudėtingesnis (ir formaliai „teisingesnis“).

Jei harmoninio osciliatoriaus modelį taikysime objektams, nutolusiems nuo fizikos, jo esminė būsena gali skirtis. Pavyzdžiui, taikant šį modelį biologinėms populiacijoms, jis greičiausiai turėtų būti priskirtas 6 tipui analogija(„atsižvelgkime tik į kai kurias savybes“).

Kieti ir minkšti modeliai

Harmoninis osciliatorius yra vadinamojo „kietojo“ modelio pavyzdys. Jis gaunamas stipriai idealizuojant realią fizinę sistemą. Norint išspręsti jo taikymo klausimą, būtina suprasti, kokie reikšmingi yra veiksniai, kurių nepaisėme. Kitaip tariant, reikia ištirti „minkštąjį“ modelį, kuris gaunamas nedideliu „kietojo“ trikdymu. Jis gali būti pateiktas, pavyzdžiui, naudojant šią lygtį:

Čia yra tam tikra funkcija, kuri gali atsižvelgti į trinties jėgą arba spyruoklės standumo koeficiento priklausomybę nuo jos tempimo laipsnio – koks nors mažas parametras. Šiuo metu mūsų nedomina aiški funkcijos forma. Jei įrodysime, kad minkštojo modelio elgsena iš esmės nesiskiria nuo kietojo (nepriklausomai nuo aiškaus trikdančių veiksnių tipo, jei jie yra pakankamai maži), problema bus sumažinta iki kietojo modelio tyrimo. Priešingu atveju, norint pritaikyti rezultatus, gautus tiriant standųjį modelį, reikės papildomų tyrimų. Pavyzdžiui, harmoninio osciliatoriaus lygties sprendimas yra formos funkcijos, tai yra pastovios amplitudės virpesiai. Ar iš to išplaukia, kad tikrasis osciliatorius svyruos neribotą laiką pastovia amplitude? Ne, nes atsižvelgiant į sistemą su savavališkai maža trintimi (visada esanti tikroje sistemoje), gauname slopintus svyravimus. Kokybiškai pasikeitė sistemos elgsena.

Jei sistema išlaiko savo kokybinį elgesį esant nedideliems trikdžiams, sakoma, kad ji yra struktūriškai stabili. Harmoninis osciliatorius yra struktūriškai nestabilios (nešiurkščios) sistemos pavyzdys. Tačiau šis modelis gali būti naudojamas tiriant procesus ribotą laiką.

Modelių universalumas

Svarbiausi matematiniai modeliai paprastai turi svarbią savybę universalumas: Iš esmės skirtingus realius reiškinius galima apibūdinti tuo pačiu matematiniu modeliu. Pavyzdžiui, harmoninis osciliatorius apibūdina ne tik spyruoklės apkrovos elgesį, bet ir kitus svyravimo procesus, dažnai visai kitokio pobūdžio: mažus švytuoklės svyravimus, skysčio lygio svyravimus A formos inde. , arba srovės stiprumo pokytis virpesių grandinėje. Taigi, tirdami vieną matematinį modelį, iš karto tiriame visą jo aprašytų reiškinių klasę. Būtent šis dėsnių izomorfizmas, išreikštas matematiniais modeliais įvairiuose segmentuose mokslo žinių, įkvėpimas Ludwig von Bertalanffy sukurti „Bendrąją sistemų teoriją“.

Tiesioginės ir atvirkštinės matematinio modeliavimo problemos

Yra daug problemų, susijusių su matematiniu modeliavimu. Pirmiausia turite sugalvoti pagrindinę modeliuojamo objekto schemą, atkurti ją šio mokslo idealizacijų rėmuose. Taigi traukinio vagonas virsta plokščių ir sudėtingesnių kėbulų sistema skirtingos medžiagos, kiekviena medžiaga nurodoma kaip jos standartinis mechaninis idealizavimas (tankis, tamprumo moduliai, standartinės stiprumo charakteristikos), po to sudaromos lygtys, pakeliui kai kurios detalės atmetamos kaip nesvarbios, atliekami skaičiavimai, lyginami su matavimais, tobulinamas modelis, ir taip toliau. Tačiau norint sukurti matematinio modeliavimo technologijas, naudinga šį procesą išardyti į pagrindinius jo komponentus.

Tradiciškai yra dvi pagrindinės problemų, susijusių su matematiniais modeliais, klasės: tiesioginė ir atvirkštinė.

Tiesioginė užduotis: modelio struktūra ir visi jo parametrai laikomi žinomais, pagrindinė užduotis – atlikti modelio tyrimą, siekiant išgauti naudingų žinių apie objektą. Kokią statinę apkrovą atlaikys tiltas? Kaip jis reaguos į dinamišką apkrovą (pavyzdžiui, į karių kuopos žygį ar į traukinio pravažiavimą skirtingu greičiu), kaip lėktuvas įveiks garso barjerą, ar subyrės nuo plazdėjimo - tai tipiški tiesioginės problemos pavyzdžiai. Norint nustatyti tinkamą tiesioginę problemą (užduoti teisingą klausimą), reikia specialių įgūdžių. Jei nebus užduodami teisingi klausimai, tiltas gali sugriūti, net jei buvo pastatytas geras jo elgesio modelis. Taigi 1879 metais Didžiojoje Britanijoje sugriuvo metalinis tiltas per Tay upę, kurio projektuotojai pastatė tilto modelį, apskaičiavo, kad jis turi 20 kartų didesnį naudingosios apkrovos veikimo saugos koeficientą, tačiau pamiršo vėjus. nuolat pučia tose vietose. Ir po pusantrų metų sugriuvo.

Paprasčiausiu atveju (pavyzdžiui, viena generatoriaus lygtis) tiesioginė problema yra labai paprasta ir redukuojama iki aiškaus šios lygties sprendimo.

Atvirkštinė problema: žinoma daug galimų modelių, konkretus modelis turi būti parinktas pagal papildomus duomenis apie objektą. Dažniausiai modelio struktūra yra žinoma, reikia nustatyti kai kuriuos nežinomus parametrus. Papildoma informacija gali sudaryti papildomi empiriniai duomenys arba reikalavimai objektui ( dizaino problema). Papildomi duomenys gali būti gauti nepaisant sprendimo proceso atvirkštinė problema (pasyvus stebėjimas) arba būti eksperimento, specialiai suplanuoto sprendimo metu ( aktyvus stebėjimas).

Vienas iš pirmųjų meistriško atvirkštinės problemos sprendimo pavyzdžių, panaudojant visapusiškai turimus duomenis, buvo I. Niutono sukurtas metodas trinties jėgoms atstatyti iš stebimų slopintų virpesių.

Kitas pavyzdys – matematinė statistika. Šio mokslo uždavinys – sukurti stebėjimo ir eksperimentinių duomenų registravimo, aprašymo ir analizės metodus, siekiant sukurti tikimybinius masinių atsitiktinių reiškinių modelius. Tie. galimų modelių rinkinys apsiriboja tikimybiniais modeliais. Konkrečiose užduotyse modelių rinkinys yra labiau ribotas.

Kompiuterinio modeliavimo sistemos

Matematiniam modeliavimui palaikyti buvo sukurtos kompiuterinės matematikos sistemos, pavyzdžiui, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim ir kt. Jos leidžia kurti formalius ir blokinius paprastų ir sudėtingų procesų bei įrenginių modelius ir lengvai keisti modelio parametrus jų metu. modeliavimas. Blokų modeliai yra pavaizduoti blokais (dažniausiai grafiniais), kurių rinkinį ir prijungimą nurodo modelio schema.

Papildomi pavyzdžiai

Malthuso modelis

Augimo tempas yra proporcingas dabartiniam populiacijos dydžiui. Jis apibūdinamas diferencialine lygtimi

kur yra tam tikras parametras, nulemtas gimstamumo ir mirtingumo lygio skirtumo. Šios lygties sprendimas yra eksponentinė funkcija. Jei gimstamumas viršija mirtingumą (), gyventojų skaičius didėja neribotai ir labai greitai. Akivaizdu, kad realiai to negali atsitikti dėl ribotų išteklių. Pasiekus tam tikrą kritinį populiacijos dydį, modelis nustoja būti adekvatus, nes jame neatsižvelgiama į ribotus išteklius. Malthuso modelio patobulinimas gali būti logistinis modelis, kuris apibūdinamas Verhulsto diferencialine lygtimi

kur yra „pusiausvyros“ populiacijos dydis, kai gimstamumą tiksliai kompensuoja mirtingumas. Tokiame modelyje populiacijos dydis yra linkęs į pusiausvyros vertę , ir šis elgesys yra struktūriškai stabilus.

Plėšrūno-grobio sistema

Tarkime, tam tikroje vietovėje gyvena dviejų rūšių gyvūnai: triušiai (ėda augalus) ir lapės (ėda triušius). Tegul triušių skaičius, lapių skaičius. Naudodami Malthus modelį su būtinomis pataisomis, kad būtų atsižvelgta į tai, kaip lapės valgo triušius, gauname tokią sistemą, pavadintą modeliai Padėklai - Volterra:

Ši sistema turi pusiausvyros būseną, kai triušių ir lapių skaičius yra pastovus. Nukrypimas nuo šios būsenos sukelia triušių ir lapių skaičiaus svyravimus, panašius į harmoninio osciliatoriaus svyravimus. Kaip ir harmoninio osciliatoriaus atveju, šis elgesys nėra struktūriškai stabilus: nedidelis modelio pakeitimas (pavyzdžiui, atsižvelgiant į ribotus triušiams reikalingus išteklius) gali lemti kokybinius elgesio pokyčius. Pavyzdžiui, pusiausvyros būsena gali tapti stabili, o skaičių svyravimai išnyks. Galima ir priešinga situacija, kai bet koks nedidelis nukrypimas nuo pusiausvyros padėties sukels katastrofiškas pasekmes iki visiško vienos rūšies išnykimo. Volteros-Lotkos modelis neatsako į klausimą, kuris iš šių scenarijų yra realizuojamas: čia reikalingi papildomi tyrimai.

Pastabos

„Matematinis tikrovės vaizdavimas“ (Encyclopaedia Britanica)
Novik I. B., Apie filosofinius kibernetinio modeliavimo klausimus. M., Žinios, 1964 m.
Sovetovas B. Ya., Jakovlevas S. A., Sistemų modeliavimas: Proc. universitetams – 3 leid., pataisyta. ir papildomas - M.: Aukštesnis. mokykla, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
Samarskis A. A., Michailovas A. P. Matematinis modeliavimas. Idėjos. Metodai. Pavyzdžiai. - 2 leidimas, red. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Myshkis A.D., Matematinių modelių teorijos elementai. - 3 leidimas, red. - M.: KomKniga, 2007. - 192 su ISBN 978-5-484-00953-4
Sevostjanovas, A.G. Modeliavimas technologiniai procesai: vadovėlis / A.G. Sevostjanovas, P.A. Sevostjanovas. – M.: Lengvoji ir maisto pramonė, 1984. - 344 p.
Vikižodynas: matematinis modelis
CliffsNotes.com. Žemės mokslo žodynėlis. 2010 m. rugsėjo 20 d
Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlynas-Heidelbergas-Niujorkas, 2006. XII+562 p. ISBN 3-540-35885-4
„Teorija laikoma tiesine arba netiesine, priklausomai nuo to, koks matematinis aparatas – tiesinis ar netiesinis – ir kokius tiesinius ar netiesinius matematinius modelius ji naudoja. ...neneigiant pastarojo. Šiuolaikinis fizikas, jei jam tektų iš naujo sukurti tokios svarbios esybės, kaip netiesiškumas, apibrėžimą, greičiausiai elgtųsi kitaip ir, pirmenybę teikdamas netiesiškumui, kaip svarbesniam ir labiau paplitusiam iš dviejų priešingybių, tiesiškumą apibrėžtų kaip „netiesiškumą“. netiesiškumas“. Danilovas Yu. A., Netiesinės dinamikos paskaitos. Elementarus įvadas. Serija „Sinergija: nuo praeities iki ateities“. 2 leidimas. - M.: URSS, 2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
„Dinaminės sistemos, sumodeliuotos pagal baigtinį įprastų diferencialinių lygčių skaičių, vadinamos koncentruotomis arba taškų sistemomis. Jie aprašomi naudojant baigtinių matmenų fazių erdvę ir pasižymi ribotu laisvės laipsnių skaičiumi. Ta pati sistema skirtingomis sąlygomis gali būti laikoma koncentruota arba paskirstyta. Paskirstytų sistemų matematiniai modeliai yra dalinės diferencialinės lygtys, integralinės lygtys arba įprastinės vėlavimo lygtys. Paskirstytos sistemos laisvės laipsnių skaičius yra begalinis, ir tai būtina begalinis skaičius duomenis, kad būtų galima nustatyti jo būklę“. Aniščenka V. S., Dinaminės sistemos, Soroso edukacinis žurnalas, 1997, Nr. 11, p. 77-84.
„Priklausomai nuo sistemoje S tiriamų procesų pobūdžio, visus modeliavimo tipus galima skirstyti į deterministinį ir stochastinį, statinį ir dinaminį, diskrečiąjį, tolydųjį ir diskrečiąjį-nepertraukiamąjį. Deterministinis modeliavimas rodo deterministinius procesus, tai yra procesus, kuriuose daroma prielaida, kad nėra atsitiktinių įtakų; stochastinis modeliavimas vaizduoja tikimybinius procesus ir įvykius. ... Statinis modeliavimas skirtas apibūdinti objekto elgseną bet kuriuo laiko momentu, o dinaminis modeliavimas atspindi objekto elgesį laikui bėgant. Diskretusis modeliavimas naudojamas apibūdinti procesus, kurie laikomi diskretiškais, atitinkamai, nuolatinis modeliavimas leidžia atspindėti nuolatinius procesus sistemose, o diskretusis-nepertraukiamas modeliavimas naudojamas tais atvejais, kai norima pabrėžti tiek diskrečių, tiek nuolatinių procesų buvimą. “ Sovetovas B. Ya., Jakovlevas S. A. ISBN 5-06-003860-2
Paprastai matematinis modelis atspindi modeliuojamo objekto struktūrą (įrenginį), šio objekto komponentų savybes ir ryšius, kurie yra esminiai tyrimo tikslams; toks modelis vadinamas struktūriniu. Jei modelis atspindi tik tai, kaip objektas funkcionuoja – pavyzdžiui, kaip jis reaguoja į išorinius poveikius – tada jis vadinamas funkciniu arba, perkeltine prasme, juodąja dėže. Galimi ir kombinuoti modeliai. Myshkis A.D. ISBN 978-5-484-00953-4
„Akivaizdus, bet svarbiausias pradinis matematinio modelio konstravimo ar pasirinkimo etapas – neformaliomis diskusijomis paremtas kuo aiškesnis vaizdas apie modeliuojamą objektą ir jo prasmingo modelio išgryninimas. Šiame etape neturėtumėte gailėti laiko ir pastangų, nuo to labai priklauso viso tyrimo sėkmė. Ne kartą yra buvę, kad reikšmingas darbas, skirtas matematinei problemai spręsti, pasirodė esąs neefektyvus ar net iššvaistytas dėl nepakankamo dėmesio šiai reikalo pusei. Myshkis A.D., Matematinių modelių teorijos elementai. - 3 leidimas, red. - M.: KomKniga, 2007. - 192 su ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
« Sistemos konceptualaus modelio aprašymas.Šiame sistemos modelio kūrimo etape: a) koncepcinis modelis M aprašomas abstrakčiais terminais ir sąvokomis; b) modelio aprašymas pateikiamas naudojant standartines matematines schemas; c) galutinai priimamos hipotezės ir prielaidos; d) realių procesų aproksimavimo procedūros pasirinkimas konstruojant modelį yra pagrįstas. Sovetovas B. Ya., Jakovlevas S. A., Sistemų modeliavimas: Proc. universitetams – 3 leid., pataisyta. ir papildomas - M.: Aukštesnis. mokykla, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2, p. 93.
Blekhmanas I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., Taikomoji matematika: Dalykas, logika, požiūrių ypatumai. Su mechanikų pavyzdžiais: Pamoka. - 3 leidimas, red. ir papildomas - M.: URSS, 2006. - 376 p. ISBN 5-484-00163-3, 2 skyrius.

PASKAITŲ KONTAKTAI

Pagal kursą

„Mašinų ir transporto sistemų matematinis modeliavimas“

Kurso metu nagrinėjami klausimai, susiję su matematiniu modeliavimu, matematinių modelių vaizdavimo forma ir principu. Nagrinėjami skaitiniai vienmačių netiesinių sistemų sprendimo būdai. Aptariami kompiuterinio modeliavimo ir skaičiavimo eksperimento klausimai. Svarstomi mokslinių ar pramoninių eksperimentų metu gautų duomenų apdorojimo metodai; įvairių procesų tyrimas, identifikuojant objektų, procesų ir sistemų elgsenos dėsningumus. Nagrinėjami eksperimentinių duomenų interpoliavimo ir aproksimavimo metodai. Nagrinėjami netiesinių dinaminių sistemų kompiuterinio modeliavimo ir sprendimo klausimai. Visų pirma nagrinėjami pirmosios, antrosios ir aukštesnės eilės paprastųjų diferencialinių lygčių skaitmeninio integravimo ir sprendimo būdai.

Paskaita: Matematinis modeliavimas. Matematinių modelių vaizdavimo forma ir principai

Paskaita apima bendrus klausimus matematinis modeliavimas. Pateikta matematinių modelių klasifikacija.

Kompiuteris tvirtai įsiliejo į mūsų gyvenimą ir praktiškai nėra žmogaus veiklos srities, kurioje kompiuteris nebūtų naudojamas. Kompiuteriai dabar plačiai naudojami kuriant ir tiriant naujas mašinas, naujus technologinius procesus ir ieškant jų optimalių variantų; sprendžiant ekonomines problemas, sprendžiant įvairių lygių planavimo ir gamybos valdymo problemas. Didelių objektų kūrimas raketų, orlaivių gamyboje, laivų statyboje, taip pat užtvankų, tiltų ir kt. projektavimas paprastai neįmanomas be kompiuterių.

Norint panaudoti kompiuterį sprendžiant taikomuosius uždavinius, pirmiausia taikomoji problema turi būti „išversta“ į formalią matematinę kalbą, t.y. realiam objektui, procesui ar sistemai turi būti sukurtas jo matematinis modelis.

Žodis „modelis“ kilęs iš lotyniško modus (kopija, vaizdas, kontūras). Modeliavimas – tai kokio nors objekto A pakeitimas kitu objektu B. Pakeistas objektas A vadinamas originaliu arba modeliuojančiu objektu, o pakaitalas B – modeliu. Kitaip tariant, modelis yra originalaus objekto pakaitalas, leidžiantis ištirti kai kurias originalo savybes.

Modeliavimo tikslas – gauti, apdoroti, pateikti ir naudoti informaciją apie objektus, kurie sąveikauja tarpusavyje ir išorinė aplinka; o modelis čia veikia kaip priemonė suprasti objekto savybes ir elgesio modelius.

Modeliavimas plačiai taikomas įvairiose žmogaus veiklos srityse, ypač projektavimo ir vadybos srityse, kur efektyvių sprendimų priėmimo procesai remiantis gaunama informacija yra ypatingi.

Modelis visada kuriamas turint konkretų tikslą, kuris įtakoja, kurios objektyvaus reiškinio savybės yra reikšmingos, o kurios ne. Modelis yra tarsi objektyvios tikrovės projekcija tam tikru kampu. Kartais, priklausomai nuo tikslų, galite gauti daugybę objektyvios tikrovės projekcijų, kurios prieštarauja. Tai paprastai būdinga sudėtingoms sistemoms, kuriose kiekviena projekcija atrenka tai, kas yra būtina konkrečiam tikslui iš daugybės neesminių.

Modeliavimo teorija yra mokslo šaka, tirianti būdus, kaip tirti originalių objektų savybes, remiantis jų pakeitimu kitais modelio objektais. Modeliavimo teorija remiasi panašumo teorija. Modeliuojant absoliutus panašumas nevyksta ir tik stengiamasi, kad modelis pakankamai gerai atspindėtų tiriamo objekto funkcionavimo aspektą. Absoliutus panašumas gali atsirasti tik tada, kai vienas objektas pakeičiamas kitu, lygiai tokiu pačiu.

Visus modelius galima suskirstyti į dvi klases:

1. tikras,

2. idealus.

Savo ruožtu tikrus modelius galima suskirstyti į:

1. pilno masto,

2. fizinis,

3. matematinis.

Idealūs modeliai gali būti suskirstyti į:

1. vizualinis,

2. ikoniškas,

3. matematinis.

Tikri pilno masto modeliai – tai realūs objektai, procesai ir sistemos, su kuriais atliekami moksliniai, techniniai ir pramoniniai eksperimentai.

Tikri fiziniai modeliai yra modeliai, manekenai, kurie dauginasi fizines savybes originalai (kinematinis, dinaminis, hidraulinis, terminis, elektrinis, apšvietimo modeliai).

Tikrieji matematiniai yra analoginiai, struktūriniai, geometriniai, grafiniai, skaitmeniniai ir kibernetiniai modeliai.

Idealūs vizualiniai modeliai yra diagramos, žemėlapiai, brėžiniai, grafikai, grafikai, analogai, struktūriniai ir geometriniai modeliai.

Idealūs ženklų modeliai yra simboliai, abėcėlė, programavimo kalbos, tvarkingas žymėjimas, topologinis žymėjimas, tinklo vaizdavimas.

Idealūs matematiniai modeliai yra analitiniai, funkciniai, modeliavimo ir kombinuoti modeliai.

Aukščiau pateiktoje klasifikacijoje kai kurie modeliai turi dvigubą interpretaciją (pavyzdžiui, analoginiai). Visi modeliai, išskyrus pilno masto, gali būti sujungti į vieną mentalinių modelių klasę, nes jie yra produktas abstraktus mąstymas asmuo.

Apsigyvenkime ties vienu universaliausių modeliavimo tipų – matematiniu, kuris imituojamą fizikinį procesą derina su matematinių ryšių sistema, kurios sprendimas leidžia gauti atsakymą į klausimą apie objekto elgseną nesukuriant fizinis modelis, kuris dažnai pasirodo esąs brangus ir neefektyvus.

Matematinis modeliavimas – tai realaus objekto, proceso ar sistemos tyrimo priemonė, pakeičiant juos matematiniu modeliu, patogesniu eksperimentiniams tyrimams kompiuteriu.

Matematinis modelis – tai apytikslis realių objektų, procesų ar sistemų atvaizdas, išreikštas matematiniais terminais ir išsaugantis esmines originalo savybes. Matematiniai modeliai kiekybine forma, naudojant logines ir matematines konstrukcijas, aprašo pagrindines objekto, proceso ar sistemos savybes, jo parametrus, vidines ir išoriniai santykiai.

Apskritai realaus objekto, proceso ar sistemos matematinis modelis vaizduojamas kaip funkcinių funkcijų sistema

Ф i (X,Y,Z,t)=0,

kur X yra įvesties kintamųjų vektorius, X = t,

Y – išvesties kintamųjų vektorius, Y= t,

Z – vektorius išorinių poveikių, Z = t ,

t – laiko koordinatė.

Matematinio modelio konstravimas susideda iš tam tikrų procesų ir reiškinių sąsajų nustatymo, matematinės aparato sukūrimo, leidžiančio kiekybiškai ir kokybiškai išreikšti ryšį tarp tam tikrų procesų ir reiškinių, tarp specialistą dominančių fizikinių dydžių ir veiksnių, turinčių įtakos reiškiniams. galutinis rezultatas.

Paprastai jų būna tiek daug, kad viso jų komplekto neįmanoma įvesti į modelį. Kuriant matematinį modelį, tyrimo užduotis – nustatyti ir iš svarstymo neįtraukti galutiniam rezultatui reikšmingos įtakos neturinčius veiksnius (matematinis modelis dažniausiai apima žymiai mažesnį faktorių skaičių nei realybėje). Remiantis eksperimentiniais duomenimis, iškeltos hipotezės apie ryšį tarp dydžių, išreiškiančių galutinį rezultatą, ir veiksnių, įvestų į matematinį modelį. Toks ryšys dažnai išreiškiamas dalinių diferencialinių lygčių sistemomis (pavyzdžiui, mechanikos uždaviniuose kietas, skysčiai ir dujos, filtravimo teorija, šilumos laidumas, elektrostatinių ir elektrodinaminių laukų teorija).

Galutinis šio etapo tikslas – suformuluoti matematinę problemą, kurios sprendimas reikiamu tikslumu išreiškia specialistą dominančius rezultatus.

Matematinio modelio vaizdavimo forma ir principai priklauso nuo daugelio veiksnių.

Remiantis konstravimo principais, matematiniai modeliai skirstomi į:

1. analitinis;

2. imitacija.

Analitiniuose modeliuose realių objektų, procesų ar sistemų funkcionavimo procesai užrašomi aiškių funkcinių priklausomybių forma.

Analitinis modelis skirstomas į tipus, priklausomai nuo matematinės problemos:

1. lygtys (algebrinė, transcendentinė, diferencialinė, integralinė),

2. aproksimacijos problemos (interpoliacija, ekstrapoliacija, skaitmeninė integracija ir diferenciacija),

3. optimizavimo problemos,

4. stochastinės problemos.

Tačiau modeliavimo objektui tampant sudėtingesniu, analitinės modelio kūrimas virsta neišsprendžiama problema. Tada tyrėjas yra priverstas naudoti imitacinį modeliavimą.

Imitaciniame modeliavime objektų, procesų ar sistemų veikimas aprašomas algoritmų rinkiniu. Algoritmai imituoja tikrus elementarius reiškinius, kurie sudaro procesą ar sistemą, išsaugodami jų loginę struktūrą ir seką laikui bėgant. Imitacinis modeliavimas leidžia iš pirminių duomenų gauti informaciją apie proceso ar sistemos būsenas tam tikru momentu, tačiau numatyti objektų, procesų ar sistemų elgseną čia sunku. Galima sakyti, kad modeliavimo modeliai yra kompiuteriniai skaičiavimo eksperimentai su matematiniais modeliais, imituojančiais realių objektų, procesų ar sistemų elgesį.

Priklausomai nuo tiriamų realių procesų ir sistemų pobūdžio, matematiniai modeliai gali būti:

1. deterministinis,

2. stochastinis.

Deterministiniuose modeliuose daroma prielaida, kad atsitiktinių įtakų nėra, modelio elementai (kintamieji, matematiniai ryšiai) yra gana tiksliai nustatyti, galima tiksliai nustatyti sistemos elgseną. Kuriant deterministinius modelius dažniausiai naudojamos algebrinės lygtys, integralinės lygtys ir matricinė algebra.

Stochastinis modelis atsižvelgia į atsitiktinį procesų pobūdį tiriamuose objektuose ir sistemose, kuris aprašomas tikimybių teorijos ir matematinės statistikos metodais.

Atsižvelgiant į įvesties informacijos tipą, modeliai skirstomi į:

1. nuolatinis,

2. diskretiškas.

Jei informacija ir parametrai yra nuolatiniai, o matematiniai ryšiai stabilūs, tai modelis yra tęstinis. Ir atvirkščiai, jei informacija ir parametrai yra diskretiški, o jungtys nestabilios, tai matematinis modelis yra diskretiškas.

Atsižvelgiant į modelių elgesį laikui bėgant, jie skirstomi į:

1. statinis,

2. dinamiškas.

Statiniai modeliai apibūdina objekto, proceso ar sistemos elgesį bet kuriuo momentu. Dinaminiai modeliai atspindi objekto, proceso ar sistemos elgseną laikui bėgant.

Atsižvelgiant į matematinio modelio ir realaus objekto, proceso ar sistemos atitikimo laipsnį, matematiniai modeliai skirstomi į:

1. izomorfinis (identiškos formos),

2. homomorfiniai (skirtingos formos).

Modelis vadinamas izomorfiniu, jei tarp jo ir tikro objekto, proceso ar sistemos yra visiškas elementų atitikimas. Homomorfinis – jei yra atitikimas tik tarp reikšmingiausių komponentai objektas ir modelis.

Ateityje, norėdami trumpai apibrėžti matematinio modelio tipą aukščiau pateiktoje klasifikacijoje, naudosime šį žymėjimą:

Pirmoji raidė:

D - deterministinis,

C – stochastinė.

Antra raidė:

N – ištisinis,

D - diskretiškas.

Trečia raidė:

A – analitinis,

Ir – imitacija.

1. Nėra (tiksliau, neatsižvelgta) atsitiktinių procesų įtakos, t.y. deterministinis modelis (D).

2. Informacija ir parametrai yra nuolatiniai, t.y. modelis - ištisinis (N),

3. Alkūninio mechanizmo modelio veikimas aprašomas netiesinių transcendentinių lygčių pavidalu, t.y. modelis – analitinis (A)

2. Paskaita: Matematinių modelių konstravimo ypatumai

Paskaitoje aprašomas matematinio modelio konstravimo procesas. Pateikiamas žodinis proceso algoritmas.

Matematiniai modeliai kiekybine forma, naudojant loginius ir matematinius konstruktus, apibūdina pagrindines objekto, proceso ar sistemos savybes, jo parametrus, vidinius ir išorinius ryšius.

Norėdami sukurti matematinį modelį, jums reikia:

1. atidžiai išanalizuoti realų objektą ar procesą;

2. išryškinti svarbiausius jo bruožus ir savybes;

3. apibrėžti kintamuosius, t.y. parametrai, kurių reikšmės turi įtakos pagrindinėms objekto savybėms ir savybėms;

4. apibūdinti pagrindinių objekto, proceso ar sistemos savybių priklausomybę nuo kintamųjų reikšmių naudojant loginius-matematinius ryšius (lygtis, lygybes, nelygybes, logines-matematines konstrukcijas);

5. išryškinti vidinius objekto, proceso ar sistemos ryšius naudojant apribojimus, lygtis, lygybes, nelygybes, logines ir matematines konstrukcijas;

6. nustatyti išorinius ryšius ir apibūdinti juos naudojant apribojimus, lygtis, lygybes, nelygybes, logines ir matematines konstrukcijas.

Matematinis modeliavimas, be objekto, proceso ar sistemos tyrimo ir matematinio jo aprašymo, taip pat apima:

1. Algoritmo, modeliuojančio objekto, proceso ar sistemos elgesį, sukūrimas;

2. modelio ir objekto, proceso ar sistemos adekvatumo tikrinimas remiantis skaičiavimo ir pilno masto eksperimentais;

3. modelio reguliavimas;

4. modelio naudojimas.

Matematinis tiriamų procesų ir sistemų aprašymas priklauso nuo:

1. realaus proceso ar sistemos pobūdis ir yra sudarytas remiantis fizikos, chemijos, mechanikos, termodinamikos, hidrodinamikos, elektrotechnikos, plastiškumo teorijos, elastingumo teorijos ir kt.

2. reikalaujamas realių procesų ir sistemų tyrimo ir tyrimo patikimumas ir tikslumas.

Matematinio modelio pasirinkimo etape nustatomi: objekto, proceso ar sistemos tiesiškumas ir netiesiškumas, dinamiškumas arba statiškumas, stacionarumas arba nestacionarumas, taip pat tiriamo objekto ar proceso determinizmo laipsnis. Taikant matematinį modeliavimą, sąmoningai abstrahuojama nuo specifinės fizinės objektų, procesų ar sistemų prigimties ir daugiausia dėmesio skiriama kiekybinių dydžių, apibūdinančių šiuos procesus, priklausomybių tyrimui.

Matematinis modelis niekada nėra visiškai identiškas nagrinėjamam objektui, procesui ar sistemai. Remiantis supaprastinimu ir idealizavimu, tai yra apytikslis objekto aprašymas. Todėl modelio analizės rezultatai yra apytiksliai. Jų tikslumą lemia modelio ir objekto adekvatumo (atitikties) laipsnis.

Matematinio modelio konstravimas dažniausiai prasideda paprasčiausio, grubiausio nagrinėjamo objekto, proceso ar sistemos matematinį modelio sukūrimu ir analize. Ateityje, jei reikia, modelis yra tobulinamas ir jo atitikimas objektui yra išsamesnis.

Paimkime paprastą pavyzdį. Būtina nustatyti stalo paviršiaus plotą. Paprastai tai atliekama išmatuojant jo ilgį ir plotį, o tada padauginant gautus skaičius. Ši elementari procedūra iš tikrųjų reiškia štai ką: realus objektas (lentelės paviršius) pakeičiamas abstraktiu matematiniu modeliu – stačiakampiu. Stačiakampiui priskiriami matmenys, gauti išmatavus stalo paviršiaus ilgį ir plotį, o tokio stačiakampio plotas apytiksliai imamas reikiamu stalo plotu.

Tačiau stačiakampis stalo modelis yra paprasčiausias ir grubiausias modelis. Jei į problemą žiūrite rimčiau, prieš naudodami stačiakampį modelį lentelės plotui nustatyti, šį modelį reikia patikrinti. Patikrinimai gali būti atliekami taip: išmatuokite priešingų stalo kraštų, taip pat jos įstrižainių ilgius ir palyginkite juos tarpusavyje. Jei, esant reikiamam tikslumo laipsniui, priešingų kraštinių ir įstrižainių ilgiai poromis yra lygūs, tada lentelės paviršių tikrai galima laikyti stačiakampiu. Priešingu atveju stačiakampis modelis turės būti atmestas ir pakeistas bendru keturkampiu modeliu. Esant didesniam tikslumo reikalavimui, gali tekti dar labiau patobulinti modelį, pavyzdžiui, atsižvelgti į stalo kampų apvalinimą.

Su šio pagalba paprastas pavyzdys buvo parodyta, kad matematinis modelis nėra vienareikšmiškai nulemtas tiriamo objekto, proceso ar sistemos. Tai pačiai lentelei galime pritaikyti arba stačiakampį, arba sudėtingesnį bendrojo keturkampio modelį, arba keturkampį su užapvalintais kampais. Vieno ar kito modelio pasirinkimą lemia tikslumo reikalavimas. Didėjant tikslumui, modelis turi būti sudėtingas, atsižvelgiant į naujas ir naujas tiriamo objekto, proceso ar sistemos ypatybes.

Panagrinėkime kitą pavyzdį: alkūninio mechanizmo judėjimo tyrimas (2.1 pav.).

Ryžiai. 2.1.

Norint atlikti šio mechanizmo kinematinę analizę, visų pirma būtina sukurti jo kinematinį modelį. Už tai:

1. Mechanizmą pakeičiame jo kinematine schema, kur visos jungtys pakeičiamos standžiomis jungtimis;

2. Naudodami šią diagramą išvedame mechanizmo judėjimo lygtį;

3. Diferencijuodami pastarąsias, gauname greičių ir pagreičio lygtis, kurios yra 1 ir 2 eilės diferencialinės lygtys.

Parašykime šias lygtis:

kur C 0 yra kraštutinė dešinė slankiklio C padėtis:

r – švaistiklio spindulys AB;

l – švaistiklio ilgis BC;

– švaistiklio sukimosi kampas;

Gautos transcendentinės lygtys yra matematinis plokščio ašinio alkūninio mechanizmo judėjimo modelis, pagrįstas šiomis supaprastinančiomis prielaidomis:

1. nesidomėjome į kūnų mechanizmą įtrauktų masių struktūrinėmis formomis ir išsidėstymu, o visus mechanizmo korpusus pakeitėme tiesiais segmentais. Tiesą sakant, visos mechanizmo jungtys turi masę ir gana sudėtingą formą. Pavyzdžiui, švaistiklis yra sudėtingas mazgas, kurio forma ir matmenys, žinoma, turės įtakos mechanizmo judėjimui;

2. konstruodami matematinį nagrinėjamo mechanizmo judėjimo modelį neatsižvelgėme ir į į mechanizmą įtrauktų kūnų elastingumą, t.y. visos grandys buvo laikomos abstrakčiais absoliučiai standžiais kūnais. Tiesą sakant, visi kūnai, įtraukti į mechanizmą, yra elastingi kūnai. Mechanizmui judant jie kažkaip deformuojasi, gali net atsirasti elastingų virpesių. Visa tai, žinoma, taip pat turės įtakos mechanizmo judėjimui;

3. neatsižvelgėme į grandžių gamybos klaidą, kinematinių porų A, B, C tarpus ir kt.

Taigi svarbu dar kartą pabrėžti, kad kuo didesni reikalavimai uždavinio sprendimo rezultatų tikslumui, tuo didesnis poreikis konstruojant matematinį modelį atsižvelgti į tiriamo objekto, proceso ar sistemos ypatybes. Tačiau čia svarbu sustoti laiku, nes sudėtingas matematinis modelis gali virsti sunkiai išsprendžiama problema.

Modelį lengviausia sukonstruoti tada, kai gerai žinomi dėsniai, lemiantys objekto, proceso ar sistemos elgseną ir savybes, ir sukaupta didelė praktinė jų taikymo patirtis.

Daugiau sunki situacija atsiranda, kai mūsų žinios apie tiriamą objektą, procesą ar sistemą yra nepakankamos. Tokiu atveju, konstruojant matematinį modelį, reikia daryti papildomas prielaidas, kurios yra hipotezių prigimtyje, toks modelis vadinamas hipotetiniu. Išvados, gautos ištyrus tokį hipotetinį modelį, yra sąlyginės. Norint patikrinti išvadas, reikia palyginti modelio tyrimo kompiuteriu rezultatus su pilno masto eksperimento rezultatais. Taigi klausimas dėl tam tikro matematinio modelio pritaikymo nagrinėjamam objektui, procesui ar sistemai tirti nėra matematinis klausimas ir negali būti sprendžiamas matematiniais metodais.

Pagrindinis tiesos kriterijus – eksperimentas, praktika plačiausia to žodžio prasme.

Matematinio modelio konstravimas taikomuosiuose uždaviniuose yra vienas sudėtingiausių ir svarbiausių darbo etapų. Patirtis rodo, kad daugeliu atvejų tinkamo modelio pasirinkimas reiškia, kad problema bus išspręsta daugiau nei per pusę. Šio etapo sudėtingumas yra tas, kad jam reikia matematinių ir specialių žinių derinio. Todėl labai svarbu, kad matematikai, spręsdami taikomuosius uždavinius, turėtų specialių žinių apie objektą, o jų partneriai, specialistai – tam tikrą matematinę kultūrą, savo srities tyrimų patirtį, kompiuterių ir programavimo žinias.

3 paskaita. Kompiuterinis modeliavimas ir skaičiavimo eksperimentas. Spręsti matematinius modelius

Kaip kompiuterinis modeliavimas naujas metodas moksliniai tyrimai grindžiami:

1. matematinių modelių kūrimas tiriamiems procesams apibūdinti;

2. naudojant naujausius kompiuterius dideliu greičiu (milijonai operacijų per sekundę) ir galintys palaikyti dialogą su žmogumi.

Kompiuterinio modeliavimo esmė tokia: remiantis matematiniu modeliu, naudojant kompiuterį atliekama eilė skaičiavimo eksperimentų, t.y. tiriamos objektų ar procesų savybės, randami optimalūs jų parametrai ir veikimo režimai, tobulinamas modelis. Pavyzdžiui, turėdami lygtį, apibūdinančią konkretaus proceso eigą, galite keisti jos koeficientus, pradines ir ribines sąlygas bei ištirti, kaip objektas elgsis. Be to, galima numatyti objekto elgesį įvairiomis sąlygomis.

Skaičiavimo eksperimentas leidžia brangų pilno masto eksperimentą pakeisti kompiuteriniais skaičiavimais. Tai leidžia per trumpą laiką ir be didelių materialinių išlaidų ištirti daugybę suprojektuoto objekto ar proceso variantų įvairiems jo veikimo režimams, o tai žymiai sumažina laiką, reikalingą sudėtingų sistemų kūrimui ir jų diegimui gamyboje. .

Kompiuterinis modeliavimas ir skaičiavimo eksperimentas, kaip naujas mokslinio tyrimo metodas, leidžia patobulinti matematinį aparatą, naudojamą kuriant matematinius modelius, leidžia, naudojant matematinius metodus, patikslinti ir apsunkinti matematinius modelius. Perspektyviausias skaičiavimo eksperimentui atlikti yra jo panaudojimas sprendžiant pagrindines mūsų laikų mokslines, technines ir socialines bei ekonomines problemas (projektuojant atominių elektrinių reaktorius, projektuojant užtvankas ir hidroelektrines, magnetohidrodinaminius energijos keitiklius, ekonomikos srityje). - parengti subalansuotą pramonės, regiono, šalies ir kt. planą).

Kai kuriuose procesuose, kuriuose natūralus eksperimentas yra pavojingas žmogaus gyvybei ir sveikatai, vienintelis galimas kompiuterinis eksperimentas (termobranduolinė sintezė, kosmoso tyrinėjimai, chemijos ir kitų pramonės šakų projektavimas ir tyrimai).

Norint patikrinti matematinio modelio ir realaus objekto, proceso ar sistemos adekvatumą, kompiuterinio tyrimo rezultatai lyginami su prototipo pilno masto modelio eksperimento rezultatais. Testo rezultatai naudojami koreguojant matematinį modelį arba sprendžiamas klausimas dėl sukonstruoto matematinio modelio pritaikymo projektuojant ar tiriant nurodytus objektus, procesus ar sistemas.

Baigdami dar kartą pabrėžiame, kad kompiuterinis modeliavimas ir skaičiavimo eksperimentas leidžia „nematematinio“ objekto tyrimą redukuoti iki matematinės problemos sprendimo. Tai atveria galimybę jį tirti naudoti gerai išvystytą matematinį aparatą kartu su galinga skaičiavimo technologija. Tai yra matematikos ir kompiuterių naudojimo pagrindas realaus pasaulio dėsniams suprasti ir juos taikyti praktikoje.

Projektuojant ar tiriant realių objektų, procesų ar sistemų elgseną, matematiniai modeliai dažniausiai yra netiesiniai, nes jie turi atspindėti juose vykstančius tikrus fizikinius netiesinius procesus. Be to, šių procesų parametrai (kintamieji) yra tarpusavyje susiję fizikiniais netiesiniais dėsniais. Todėl sprendžiant realių objektų, procesų ar sistemų elgesio projektavimo ar tyrimo problemas dažniausiai naudojami matematiniai modeliai, tokie kaip DNR.

Pagal 1 paskaitoje pateiktą klasifikaciją:

D – modelis deterministinis, atsitiktinių procesų įtakos nėra (tiksliau, neatsižvelgiama).

N – tęstinis modelis, informacija ir parametrai yra tęstiniai.

A – analitinis modelis, modelio veikimas aprašomas lygčių pavidalu (tiesinė, netiesinė, lygčių sistemos, diferencialinės ir integralinės lygtys).

Taigi, mes sukūrėme matematinį nagrinėjamo objekto, proceso ar sistemos modelį, t.y. taikomą problemą pateikė kaip matematinę. Po to prasideda antrasis taikomojo uždavinio sprendimo etapas - suformuluoto matematinio uždavinio sprendimo metodo paieška arba kūrimas. Metodas turi būti patogus jį įgyvendinti kompiuteryje ir užtikrinti reikiamą sprendimo kokybę.

Visus matematinių problemų sprendimo būdus galima suskirstyti į 2 grupes:

1. tikslūs uždavinių sprendimo būdai;

2. skaitiniai uždavinių sprendimo metodai.

Tiksliuose matematinių uždavinių sprendimo metoduose atsakymą galima gauti formulių pavidalu.

Pavyzdžiui, apskaičiuojant šaknis kvadratinė lygtis:

arba, pavyzdžiui, apskaičiuojant išvestines funkcijas:

arba apskaičiuojant apibrėžtąjį integralą:

Tačiau pakeitę skaičius į formulę kaip baigtines dešimtaines trupmenas, vis tiek gauname apytiksles rezultato reikšmes.

Daugumos problemų, su kuriomis susiduriama praktiškai, tikslūs sprendimo būdai yra nežinomi arba pateikia labai sudėtingas formules. Tačiau jie ne visada būtini. Taikomoji problema gali būti laikoma praktiškai išspręsta, jei sugebame ją išspręsti reikiamu tikslumu.

Tokiems uždaviniams spręsti buvo sukurti skaitiniai metodai, kuriuose sudėtingų matematinių uždavinių sprendimas redukuojamas iki daugybės paprastų aritmetinių operacijų nuoseklaus vykdymo. Tiesioginis skaitmeninių metodų kūrimas priklauso skaičiavimo matematikai.

Skaitinio metodo pavyzdys yra apytikslės integracijos stačiakampių metodas, kuriam nereikia skaičiuoti integrando antidarinės. Vietoj integralo apskaičiuojama galutinė kvadratūros suma:

x 1 =a – apatinė integravimo riba;

x n+1 =b – viršutinė integravimo riba;

n – atkarpų, į kurias padalintas integravimo intervalas (a,b), skaičius;

– elementarios atkarpos ilgis;

f(x i) – integrando reikšmė elementariosios integracijos atkarpų galuose.

Kaip didesnis skaičius n atkarpų, į kurias padalintas integravimo intervalas, tuo apytikslis sprendimas yra arčiau tikrojo, t.y. tuo tikslesnis rezultatas.

Taigi, atliekant taikomąsias užduotis ir naudojant tikslūs metodai sprendinius, o taikant skaitinius sprendimo būdus skaičiavimo rezultatai yra apytiksliai. Svarbu tik užtikrinti, kad klaidos atitiktų reikiamą tikslumą.

Skaitiniai matematinių uždavinių sprendimo metodai buvo žinomi jau seniai, dar iki kompiuterių atsiradimo, tačiau jie buvo naudojami retai ir tik gana paprastais atvejais dėl itin didelio skaičiavimų sudėtingumo. Plačiai paplitęs skaitmeninių metodų naudojimas tapo įmanomas kompiuterių dėka.

Matematinis modeliavimas

1. Kas yra matematinis modeliavimas?

Nuo XX amžiaus vidurio. Įvairiose žmogaus veiklos srityse pradėti plačiai taikyti matematiniai metodai ir kompiuteriai. Atsirado naujos disciplinos, tokios kaip „matematinė ekonomika“, „matematinė chemija“, „matematinė lingvistika“ ir kt., tiriančios atitinkamų objektų ir reiškinių matematinius modelius, taip pat šių modelių tyrimo metodus.

Matematinis modelis yra apytikslis bet kurios realaus pasaulio reiškinių ar objektų klasės aprašymas matematikos kalba. Pagrindinis modeliavimo tikslas – ištirti šiuos objektus ir numatyti būsimų stebėjimų rezultatus. Tačiau modeliavimas yra ir mus supančio pasaulio supratimo metodas, leidžiantis jį valdyti.

Matematinis modeliavimas ir su juo susijęs kompiuterinis eksperimentas yra būtini tais atvejais, kai dėl vienokių ar kitokių priežasčių pilnas eksperimentas neįmanomas arba sunkus. Pavyzdžiui, neįmanoma istorijoje sukurti natūralaus eksperimento, kuris patikrintų „kas būtų buvę, jei...“ Neįmanoma patikrinti vienos ar kitos kosmologinės teorijos teisingumo. Galima, bet vargu ar pagrįsta, eksperimentuoti su ligos, pavyzdžiui, maro, plitimu arba surengti branduolinį sprogimą, kad būtų ištirtos jos pasekmės. Tačiau visa tai galima padaryti ir kompiuteriu, pirmiausia sukūrus matematinius tiriamų reiškinių modelius.

2. Pagrindiniai matematinio modeliavimo etapai

1) Modelio kūrimas. Šiame etape nurodomas koks nors „nematematinis“ objektas – gamtos reiškinys, dizainas, ekonominis planas, gamybos procesas ir tt Tokiu atveju, kaip taisyklė, sunku aiškiai aprašyti situaciją. Pirmiausia nustatomi pagrindiniai reiškinio bruožai ir ryšiai tarp jų kokybiniu lygmeniu. Tada rastos kokybinės priklausomybės formuluojamos matematikos kalba, tai yra sudaromas matematinis modelis. Tai pats sunkiausias modeliavimo etapas.

2) Matematinės problemos, į kurią veda modelis, sprendimas. Šiame etape daug dėmesio skiriama algoritmų ir skaitinių metodų kūrimui užduočių sprendimui kompiuteryje, kurių pagalba galima rasti rezultatą reikiamu tikslumu ir per priimtiną laiką.

3) Gautų pasekmių iš matematinio modelio interpretavimas. Iš modelio išvestos pasekmės matematikos kalba interpretuojamos toje srityje priimta kalba.

4) Modelio tinkamumo tikrinimas.Šiame etape nustatoma, ar eksperimentiniai rezultatai tam tikru tikslumu sutampa su modelio teorinėmis pasekmėmis.

5) Modelio modifikavimas.Šiame etape modelis arba komplikuojamas, kad labiau atitiktų tikrovę, arba supaprastinamas, kad būtų pasiektas praktiškai priimtinas sprendimas.

3. Modelių klasifikacija

Modeliai gali būti klasifikuojami pagal skirtingus kriterijus. Pavyzdžiui, pagal sprendžiamų problemų pobūdį modeliai gali būti skirstomi į funkcinius ir struktūrinius. Pirmuoju atveju visi reiškinį ar objektą apibūdinantys dydžiai išreiškiami kiekybiškai. Be to, kai kurie iš jų laikomi nepriklausomais kintamaisiais, o kiti laikomi šių dydžių funkcijomis. Matematinis modelis dažniausiai yra įvairių tipų (diferencialinių, algebrinių ir kt.) lygčių sistema, nustatanti kiekybinius ryšius tarp nagrinėjamų dydžių. Antruoju atveju modelis apibūdina sudėtingo objekto, susidedančio iš atskirų dalių, tarp kurių yra tam tikri ryšiai, struktūrą. Paprastai šie ryšiai nėra kiekybiškai įvertinami. Norint sukurti tokius modelius, patogu naudoti grafų teoriją. Grafas yra matematinis objektas, vaizduojantis taškų (viršūnių) rinkinį plokštumoje arba erdvėje, kai kurie iš jų yra sujungti linijomis (kraštais).

Remiantis pradinių duomenų ir rezultatų pobūdžiu, prognozavimo modelius galima suskirstyti į deterministinius ir tikimybinius-statistinius. Pirmojo tipo modeliai daro tam tikras, nedviprasmiškas prognozes. Antrojo tipo modeliai yra pagrįsti statistine informacija, o jų pagalba gautos prognozės yra tikimybinio pobūdžio.

4. Matematinių modelių pavyzdžiai

1) Sviedinio judėjimo problemos.

Apsvarstykite šią mechanikos problemą.

Sviedinys paleidžiamas iš Žemės pradiniu greičiu v 0 = 30 m/s kampu a = 45° į jo paviršių; reikia rasti jo judėjimo trajektoriją ir atstumą S tarp šios trajektorijos pradžios ir pabaigos taškų.

Tada, kaip žinoma iš mokyklos fizikos kurso, sviedinio judėjimas apibūdinamas formulėmis:

kur t – laikas, g = 10 m/s 2 – gravitacijos pagreitis. Šios formulės pateikia matematinį problemos modelį. Išreiškę t per x iš pirmosios lygties ir pakeitę ją antrąja, gauname sviedinio trajektorijos lygtį:

Ši kreivė (parabolė) kerta x ašį dviejuose taškuose: x 1 = 0 (trajektorijos pradžia) ir (vieta, kur nukrito sviedinys). Pakeisdami pateiktas v0 ir a reikšmes gautose formulėse, gauname

atsakymas: y = x – 90x 2, S = 90 m.

Atkreipkite dėmesį, kad kuriant šį modelį buvo remiamasi daugybe prielaidų: pavyzdžiui, daroma prielaida, kad Žemė yra plokščia, o oras ir Žemės sukimasis neturi įtakos sviedinio judėjimui.

2) Mažiausio paviršiaus ploto rezervuaro problema.

Reikia rasti skardos rezervuaro, kurio tūris V = 30 m 3, turinčio uždaro apskrito cilindro formą, aukštį h 0 ir spindulį r 0, kurio paviršiaus plotas S yra minimalus (šiuo atveju mažiausias jo gamybai bus sunaudotas alavo kiekis).

Parašykime tokias cilindro, kurio aukštis h ir spindulys r, tūrio ir paviršiaus ploto formules:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

Išreikšdami h per r ir V iš pirmosios formulės ir pakeisdami gautą išraišką į antrąją, gauname:

Taigi, matematiniu požiūriu, uždavinys yra nustatyti r reikšmę, kuriai esant funkcija S(r) pasiekia savo minimumą. Raskime tas r 0 reikšmes, kurių išvestinė

eina į nulį: Galite patikrinti, ar antroji funkcijos S(r) išvestinė keičia ženklą iš minuso į pliusą, kai argumentas r eina per tašką r 0 . Vadinasi, taške r0 funkcija S(r) turi minimumą. Atitinkama reikšmė yra h 0 = 2r 0 . Pakeitę nurodytą reikšmę V į išraišką r 0 ir h 0, gauname norimą spindulį ir aukštis

3) Transporto problema.

Mieste yra du miltų sandėliai ir dvi kepyklos. Kasdien iš pirmojo sandėlio vežama 50 tonų miltų, o iš antrojo – į gamyklas – 70 tonų, į pirmąjį – 40, į antrą – 80 tonų.

Pažymėkime pagal a ij kaina pervežant 1 toną miltų iš i-ojo sandėlio į j-tas augalas(i, j = 1,2). Leisti

a 11 = 1,2 rublio, a 12 = 1,6 rublio, a 21 = 0,8 rub., a 22 = 1 rub.

Kaip reikėtų planuoti transportavimą, kad jo kaina būtų minimali?

Suteikime uždaviniui matematinę formuluotę. Pažymėkime x 1 ir x 2 miltų kiekį, kuris turi būti vežamas iš pirmojo sandėlio į pirmą ir antrą gamyklas, o x 3 ir x 4 - atitinkamai iš antrojo sandėlio į pirmą ir antrą gamyklas. Tada:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Bendra viso transportavimo kaina nustatoma pagal formulę

f = 1,2 x 1 + 1,6 x 2 + 0,8 x 3 + x 4.

Matematiniu požiūriu uždavinys yra rasti keturis skaičius x 1, x 2, x 3 ir x 4, kurie tenkintų visas pateiktas sąlygas ir suteiktų funkcijos f minimumą. Išspręskime lygčių sistemą (1) xi (i = 1, 2, 3, 4), pašalindami nežinomuosius. Mes tai gauname

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

ir x 4 negalima nustatyti vienareikšmiškai. Kadangi x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), iš (2) lygčių išplaukia, kad 30Ј x 4 Ј 70. Pakeitę x 1, x 2, x 3 išraišką į f formulę, gauname

f = 148 – 0,2 x 4.

Nesunku pastebėti, kad šios funkcijos minimumas pasiekiamas esant didžiausiai galimai reikšmei x 4, tai yra, kai x 4 = 70. Atitinkamos kitų nežinomųjų reikšmės nustatomos pagal (2) formules: x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Radioaktyvaus skilimo problema.

Tegu N(0) yra pradinis radioaktyviosios medžiagos atomų skaičius, o N(t) yra nesuirusių atomų skaičius momentu t. Eksperimentiškai nustatyta, kad šių atomų skaičiaus kitimo greitis N"(t) yra proporcingas N(t), tai yra, N"(t)=–l N(t), l >0 yra tam tikros medžiagos radioaktyvumo konstanta. Matematinės analizės mokykliniame kurse parodyta, kad šios diferencialinės lygties sprendinys yra N(t) = N(0)e –l t. Laikas T, per kurį pradinių atomų skaičius sumažėjo perpus, vadinamas pusėjimo trukme ir yra svarbi medžiagos radioaktyvumo charakteristika. Norėdami nustatyti T, turime įvesti formulę Tada Pavyzdžiui, radonui l = 2,084 · 10 –6, taigi T = 3,15 dienos.

5) keliaujančio pardavėjo problema.

Keliaujantis pardavėjas, gyvenantis mieste A 1, turi aplankyti miestus A 2, A 3 ir A 4, kiekviename mieste tiksliai vieną kartą, o tada grįžti į A 1. Yra žinoma, kad visus miestus poromis jungia keliai, o kelių ilgiai b ij tarp miestų A i ir A j (i, j = 1, 2, 3, 4) yra tokie:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Būtina nustatyti miestų lankymo tvarką, kurioje atitinkamo kelio ilgis yra minimalus.

Kiekvieną miestą pavaizduokime kaip tašką plokštumoje ir pažymėkime atitinkama etikete Ai (i = 1, 2, 3, 4). Šiuos taškus sujungkime tiesiomis linijomis: jie pavaizduos kelius tarp miestų. Kiekvienam „keliui“ nurodome jo ilgį kilometrais (2 pav.). Rezultatas yra grafikas – matematinis objektas, susidedantis iš tam tikros plokštumos taškų (vadinamų viršūnėmis) ir tam tikros šiuos taškus jungiančių linijų (vadinamų briaunomis) rinkinio. Be to, šis grafikas yra pažymėtas, nes jo viršūnėms ir briaunoms priskiriamos tam tikros etiketės - skaičiai (kraštai) arba simboliai (viršūnės). Grafo ciklas yra tokia viršūnių V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 seka, kurios viršūnės V 1 , ..., V k yra skirtingos, o bet kuri viršūnių pora V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) ir pora V 1, V k yra sujungti briauna. Taigi nagrinėjama problema yra surasti grafike ciklą, einantį per visas keturias viršūnes, kurių visų briaunų svorių suma yra minimali. Paieškokime per visus skirtingus ciklus, einančius per keturias viršūnes ir pradedant nuo A 1:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.

Dabar suraskime šių ciklų ilgius (km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Taigi trumpiausio ilgio maršrutas yra pirmasis.

Atkreipkite dėmesį, kad jei grafe yra n viršūnių ir visos viršūnės poromis sujungtos briaunomis (toks grafikas vadinamas užbaigtu), tai per visas viršūnes einančių ciklų skaičius yra Todėl mūsų atveju ciklai yra lygiai trys.

6) Medžiagų sandaros ir savybių ryšio suradimo problema.

Pažvelkime į keletą cheminių junginių, vadinamų normaliais alkanais. Jie susideda iš n anglies atomų ir n + 2 vandenilio atomų (n = 1, 2 ...), tarpusavyje sujungtų, kaip parodyta 3 paveiksle, kai n = 3. Tegul yra žinomos šių junginių virimo temperatūros eksperimentinės vertės:

y e (3) = – 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Reikia rasti apytikslį šių junginių virimo temperatūros ir skaičiaus n ryšį. Tarkime, kad ši priklausomybė turi formą

y" a n+b,

Kur a, b – nustatytinos konstantos. Rasti a ir b į šią formulę paeiliui pakeičiame n = 3, 4, 5, 6 ir atitinkamas virimo taškų vertes. Mes turime:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+ b.

Norėdami nustatyti geriausią a ir b yra daug skirtingų metodų. Naudokime paprasčiausią iš jų. Išreikškime b per a iš šių lygčių:

b » – 42 – 3 a, b“ – 4 a, b » 28 – 5 a, b » 69 – 6 a.

Paimkime šių reikšmių aritmetinį vidurkį kaip norimą b, tai yra, įdėsime b » 16 – 4,5 a. Pakeiskime šią b reikšmę pradine lygčių sistema ir apskaičiuokime a, gauname už ašios reikšmės: a» 37, a» 28, a» 28, a 36. Imkime taip, kaip reikia a vidutinė šių skaičių reikšmė, tai yra, įdėkime a" 34. Taigi, reikiama lygtis turi formą

y » 34n – 139.

Patikrinkime modelio tikslumą pradiniuose keturiuose junginiuose, kurių virimo taškus apskaičiuojame pagal gautą formulę:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

Taigi, šių junginių šios savybės apskaičiavimo paklaida neviršija 5°. Gautą lygtį naudojame junginio, kurio n = 7, neįtraukto į pradinę aibę, virimo temperatūrai apskaičiuoti, o šioje lygtyje pakeičiame n = 7: y р (7) = 99°. Rezultatas buvo gana tikslus: žinoma, kad eksperimentinė virimo temperatūros vertė y e (7) = 98°.

7) Elektros grandinės patikimumo nustatymo problema.

Čia pažvelgsime į tikimybinio modelio pavyzdį. Pirmiausia pateikiame tam tikrą informaciją iš tikimybių teorijos – matematinės disciplinos, kuri tiria atsitiktinių reiškinių, stebimų kartojant eksperimentus, modelius. Pavadinkime atsitiktinį įvykį A galimu kokio nors eksperimento rezultatu. Įvykiai A 1, ..., A k sudaro pilną grupę, jei vienas iš jų būtinai įvyksta dėl eksperimento. Įvykiai vadinami nesuderinamais, jei jie negali įvykti vienu metu vienoje patirtyje. Tegul įvykis A įvyksta m kartų per eksperimento kartojimą n kartų. Įvykio A dažnis yra skaičius W = . Akivaizdu, kad W vertės negalima tiksliai numatyti, kol nebus atlikta n eksperimentų serija. Tačiau atsitiktinių įvykių prigimtis yra tokia, kad praktikoje kartais pastebimas toks efektas: didėjant eksperimentų skaičiui, reikšmė praktiškai nustoja būti atsitiktinė ir stabilizuojasi aplink kokį nors neatsitiktinį skaičių P(A), vadinamą tikimybe įvykis A. Neįmanomam įvykiui (kuris niekada neįvyksta eksperimente) P(A)=0, o patikimam įvykiui (kuris visada įvyksta patirtyje) P(A)=1. Jei įvykiai A 1 , ..., A k sudaro pilną nesuderinamų įvykių grupę, tai P(A 1)+...+P(A k)=1.

Tarkime, kad eksperimentas susideda iš kauliuko metimo ir išmuštų taškų skaičiaus X stebėjimo. Tada galime pristatyti tokius atsitiktinius įvykius A i = (X = i), i = 1, ..., 6. sudaro pilną nesuderinamų vienodai tikėtinų įvykių grupę, todėl P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Įvykių A ir B suma yra įvykis A + B, kuris susideda iš to, kad bent vienas iš jų įvyksta patirtyje. Įvykių A ir B sandauga yra įvykis AB, kurį sudaro tuo pačiu metu vykstantys įvykiai. Nepriklausomiems įvykiams A ir B galioja šios formulės:

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Dabar panagrinėkime šiuos dalykus užduotis. Tarkime, kad trys elementai yra nuosekliai sujungti į elektros grandinę ir veikia nepriklausomai vienas nuo kito. 1, 2 ir 3 elementų gedimo tikimybės atitinkamai lygios P1 = 0,1, P2 = 0,15, P3 = 0,2. Grandinę laikysime patikima, jei tikimybė, kad grandinėje nebus srovės, yra ne didesnė kaip 0,4. Būtina nustatyti, ar tam tikra grandinė yra patikima.

Kadangi elementai sujungti nuosekliai, grandinėje nebus srovės (įvykis A), jei bent vienas elementas sugenda. Tegul A i yra tas įvykis, kuris i-tas elementas veikia (i = 1, 2, 3). Tada P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Akivaizdu, kad A 1 A 2 A 3 yra įvykis, kuriame visi trys elementai veikia vienu metu ir

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.

Tada P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, taigi P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Apibendrinant pažymime, kad pateikti matematinių modelių (įskaitant funkcinius ir struktūrinius, deterministinius ir tikimybinius) pavyzdžiai yra iliustratyvūs ir, be abejo, neišsemia gamtos ir humanitarinių mokslų srities matematinių modelių įvairovės.

Modelio ir modeliavimo samprata.

Modelis plačiąja prasme- tai bet kokio tomo, proceso ar reiškinio vaizdas, psichikos analogas ar nusistovėjęs vaizdas, aprašymas, diagrama, brėžinys, žemėlapis ir pan., naudojamas kaip jo pakaitalas arba reprezentatyvus. Pats objektas, procesas ar reiškinys vadinamas šio modelio originalu.

Modeliavimas - tai bet kurio objekto ar objektų sistemos tyrimas konstruojant ir tiriant jų modelius. Tai modelių naudojimas, siekiant nustatyti ar paaiškinti charakteristikas ir racionalizuoti naujai statomų objektų konstravimo metodus.

Bet koks mokslinio tyrimo metodas yra pagrįstas modeliavimo idėja, o teoriniai metodai naudoja įvairius simbolinius, abstrakčius modelius, o eksperimentiniai - dalykinius modelius.

Tyrimo metu sudėtingas realus reiškinys pakeičiamas kokia nors supaprastinta kopija ar diagrama, kartais tokia kopija skirta tik prisiminti ir atpažinti norimą reiškinį kitame susitikime. Kartais sukonstruota diagrama atspindi kai kuriuos esminius požymius, leidžia suprasti reiškinio mechanizmą, nuspėti jo kitimą. Tas pats reiškinys gali atitikti skirtingi modeliai.

Tyrėjo užduotis – numatyti reiškinio pobūdį ir proceso eigą.

Kartais nutinka taip, kad objektas yra prieinamas, tačiau eksperimentai su juo kainuoja brangiai arba sukelia rimtų pasekmių aplinkai. Žinios apie tokius procesus įgyjamos naudojant modelius.

Svarbus dalykas yra tai, kad pati mokslo prigimtis apima ne vieno konkretaus reiškinio, o plačios susijusių reiškinių klasės tyrimą. Jame daroma prielaida, kad reikia suformuluoti kai kuriuos bendrus kategoriškus teiginius, kurie vadinami dėsniais. Natūralu, kad naudojant tokią formuluotę nepaisoma daugybės smulkmenų. Siekdami aiškiau identifikuoti modelį, jie sąmoningai eina į grubumą, idealizavimą, eskizavimą, tai yra, tiria ne patį reiškinį, o daugiau ar mažiau tikslią jo kopiją ar modelį. Visi dėsniai yra modelių dėsniai, todėl nenuostabu, kad laikui bėgant kai kurios mokslinės teorijos pripažįstamos netinkamomis. Tai nesukelia mokslo žlugimo, nes vienas modelis buvo pakeistas kitu modernesnis.

Ypatingą vaidmenį moksle atlieka matematiniai modeliai, statybinės medžiagos ir šių modelių įrankiai – matematinės sąvokos. Jie kaupėsi ir tobulėjo per tūkstančius metų. Šiuolaikinė matematika suteikia itin galingas ir universalias tyrimo priemones. Beveik kiekviena matematikos sąvoka, kiekvienas matematinis objektas, pradedant nuo skaičiaus sąvokos, yra matematinis modelis. Kuriant matematinį tiriamo objekto ar reiškinio modelį, nustatomos tos jo ypatybės, ypatybės ir detalės, kurios, viena vertus, turi daugiau ar mažiau išsamios informacijos apie objektą, kita vertus, leidžia matematiškai formalizuoti. Matematinis formalizavimas reiškia, kad objekto požymius ir detales galima susieti su tinkamomis adekvačiomis matematinėmis sąvokomis: skaičiais, funkcijomis, matricomis ir pan. Tada tiriamame objekte atrastus ir prisiimtus ryšius tarp atskirų jo dalių ir komponentų galima užrašyti naudojant matematinius ryšius: lygybes, nelygybes, lygtis. Rezultatas yra matematinis tiriamo proceso ar reiškinio aprašymas, tai yra jo matematinis modelis.

Matematinio modelio tyrimas visada siejamas su tam tikromis veikimo taisyklėmis tiriamiems objektams. Šios taisyklės atspindi priežasčių ir pasekmių ryšį.

Matematinio modelio kūrimas yra pagrindinis bet kurios sistemos tyrimo ar projektavimo etapas. Visa tolesnė objekto analizė priklauso nuo modelio kokybės. Modelio kūrimas nėra formali procedūra. Tai labai priklauso nuo tyrėjo, jo patirties ir skonio, visada remiasi tam tikra eksperimentine medžiaga. Modelis turi būti pakankamai tikslus, tinkamas ir patogus naudoti.

Matematinis modeliavimas.

Matematinių modelių klasifikacija.

Matematiniai modeliai gali būtideterministinis Ir stochastinis .

Ryžtingas modelis ir yra modeliai, kuriuose nustatomas vienas su vienu atitikimas tarp objektą ar reiškinį apibūdinančių kintamųjų.

Šis požiūris pagrįstas žiniomis apie objektų veikimo mechanizmą. Dažnai modeliuojamas objektas yra sudėtingas, o jo mechanizmo iššifravimas gali būti daug darbo ir daug laiko reikalaujantis. Šiuo atveju jie elgiasi taip: atlieka eksperimentus su originalu, apdoroja gautus rezultatus ir nesigilindami į modeliuojamo objekto mechanizmą bei teoriją, naudodamiesi matematinės statistikos ir tikimybių teorijos metodais, nustato ryšius tarp kintamųjų, kurie apibūdina. objektas. Šiuo atveju jūs gaunatestochastinis modelis . IN stochastinis modelis, ryšys tarp kintamųjų yra atsitiktinis, kartais esminis. Daugelio veiksnių įtaka, jų derinys lemia atsitiktinį objektą ar reiškinį apibūdinančių kintamųjų rinkinį. Pagal režimų pobūdį modelis yrastatistiniai Ir dinamiškas.

Statistiniaimodelisapima santykių tarp pagrindinių modeliuojamo objekto kintamųjų pastovioje būsenoje, neatsižvelgiant į parametrų pokyčius laikui bėgant, aprašymą.

IN dinamiškasmodeliaiaprašomi modeliuojamo objekto pagrindinių kintamųjų ryšiai pereinant iš vieno režimo į kitą.

Yra modeliai diskretus Ir tęstinis, ir sumaišytas tipo. IN tęstinis kintamieji paima reikšmes iš tam tikro intervalo, indiskretuskintamieji įgauna atskiras reikšmes.

Linijiniai modeliai- visos funkcijos ir ryšiai, apibūdinantys modelį tiesiškai priklauso nuo kintamųjų irne linijiniskitaip.

Matematinis modeliavimas.

Reikalavimai ,p pristatytas prie modelių.

1. Universalumas- apibūdina realaus objekto tirtų savybių modelio vaizdavimo išsamumą.

Adekvatumas – tai gebėjimas atspindėti norimas objekto savybes ne didesne nei duotoji paklaida.
Tikslumas vertinamas pagal realaus objekto charakteristikų verčių ir šių charakteristikų verčių, gautų naudojant modelius, sutapimo laipsnį.
Ekonomiškas - nustatoma pagal kompiuterio atminties resursų sąnaudas ir jos įgyvendinimo bei eksploatavimo laiką.

Matematinis modeliavimas.

Pagrindiniai modeliavimo etapai.

1. Problemos pareiškimas.

Analizės tikslo ir jo pasiekimo būdo nustatymas bei bendro požiūrio į tiriamą problemą sukūrimas. Šiame etape reikia giliai suprasti užduoties esmę. Kartais teisingai nustatyti problemą yra ne mažiau sunku nei ją išspręsti. Statymas nėra formalus procesas, Bendrosios taisyklės Nr.

2. Teorinių pagrindų studijavimas ir informacijos apie originalų objektą rinkimas.

Šiame etape parenkama arba kuriama tinkama teorija. Jei jo nėra, tarp objektą apibūdinančių kintamųjų nustatomi priežasties ir pasekmės ryšiai. Nustatomi įvesties ir išvesties duomenys, daromos supaprastinančios prielaidos.

3. Formalizavimas.

Tai susideda iš simbolių sistemos pasirinkimo ir jų panaudojimo objekto komponentų santykiams užrašyti matematinių išraiškų forma. Nustatyta problemų klasė, kuriai galima priskirti gautą matematinį objekto modelį. Kai kurių parametrų reikšmės šiame etape dar gali būti nenurodytos.

4. Sprendimo būdo pasirinkimas.

Šiame etape galutiniai modelių parametrai nustatomi atsižvelgiant į objekto eksploatavimo sąlygas. Gautai matematinei problemai parenkamas sprendimo būdas arba kuriamas specialus metodas. Renkantis metodą, atsižvelgiama į vartotojo žinias, jo pageidavimus ir kūrėjo pageidavimus.

5. Modelio įgyvendinimas.

Sukūrus algoritmą, parašyta programa, kuri derinama, išbandoma ir gaunamas norimos problemos sprendimas.

6. Gautos informacijos analizė.

Gauti ir laukiami sprendimai lyginami, stebima modeliavimo klaida.

7. Realaus objekto tinkamumo tikrinimas.

Palyginami modelio rezultataiarba su turima informacija apie objektą, arba atliekamas eksperimentas ir jo rezultatai lyginami su apskaičiuotais.

Modeliavimo procesas yra kartotinis. Esant nepatenkinamiems etapų rezultatams 6. arba 7. grįžtama į vieną iš ankstesnių etapų, dėl kurių galėjo būti sukurtas nesėkmingas modelis. Šis etapas ir visi vėlesni yra tobulinami ir toks modelio tobulinimas vyksta tol, kol gaunami priimtini rezultatai.

1.1.2 2. Pagrindiniai matematinio modeliavimo etapai

1) Modelio kūrimas. Šiame etape nurodomas koks nors „nematematinis“ objektas – gamtos reiškinys, dizainas, ekonominis planas, gamybos procesas ir tt Tokiu atveju, kaip taisyklė, sunku aiškiai aprašyti situaciją. Pirmiausia nustatomi pagrindiniai reiškinio bruožai ir ryšiai tarp jų kokybiniu lygmeniu. Tada rastos kokybinės priklausomybės formuluojamos matematikos kalba, tai yra sudaromas matematinis modelis. Tai pats sunkiausias modeliavimo etapas.

2) Matematinės problemos, į kurią veda modelis, sprendimas. Šiame etape daug dėmesio skiriama algoritmų ir skaitinių metodų kūrimui užduočių sprendimui kompiuteryje, kurių pagalba galima rasti rezultatą reikiamu tikslumu ir per priimtiną laiką.

3) Gautų pasekmių iš matematinio modelio interpretavimas.Iš modelio išvestos pasekmės matematikos kalba interpretuojamos toje srityje priimta kalba.

4) Modelio tinkamumo tikrinimas.Šiame etape nustatoma, ar eksperimentiniai rezultatai tam tikru tikslumu sutampa su modelio teorinėmis pasekmėmis.

5) Modelio modifikavimas.Šiame etape modelis arba komplikuojamas, kad labiau atitiktų tikrovę, arba supaprastinamas, kad būtų pasiektas praktiškai priimtinas sprendimas.

1.1.3 3. Modelių klasifikacija

MATEMATINIS MODELIAVIMAS IR BENDRIEJI KOMPIUTERIZAVIMO ARBA MODELIAVIMO MODELIAI

Dabar, kai šalyje vyksta kone visuotinė kompiuterizacija, iš įvairių profesijų specialistų girdime pasisakymus: „Jei pristatysime kompiuterį, tai visos problemos iškart išsispręs“. Toks požiūris yra visiškai neteisingas, patys kompiuteriai be tam tikrų procesų matematinių modelių nieko nepajėgs, o apie visuotinę kompiuterizaciją galima tik pasvajoti.

Pagrįsdami tai, kas išdėstyta, bandysime pagrįsti modeliavimo, tame tarpe ir matematinį modeliavimą, poreikį, atskleisime jo privalumus žmogaus pažinime ir transformuojant išorinį pasaulį, nustatysime esamus trūkumus ir pereisime... prie modeliavimo modeliavimo, t.y. modeliavimas naudojant kompiuterį. Bet viskas tvarkoje.

Pirmiausia atsakykime į klausimą: kas yra modelis?

Modelis – tai materialus arba mintyse vaizduojamas objektas, kuris pažinimo (studijos) procese pakeičia originalą, išsaugodamas kai kurias šiam tyrimui svarbias tipines savybes.

Gerai pastatytas modelis yra labiau prieinamas tyrimams nei realus objektas. Pavyzdžiui, eksperimentai su šalies ekonomika švietimo tikslais yra nepriimtini, būtinas modelis.

Apibendrinant tai, kas pasakyta, galime atsakyti į klausimą: kam skirti modeliai? Tam, kad

suprasti, kaip veikia objektas (jo sandara, savybės, vystymosi dėsniai, sąveika su išoriniu pasauliu).
išmokti valdyti objektą (procesą) ir nustatyti geriausios strategijos
numatyti poveikio objektui pasekmes.

Kas teigiamo apie bet kurį modelį? Tai leidžia įgyti naujų žinių apie objektą, bet, deja, vienaip ar kitaip neišsamios.

Modelissuformuluotas matematikos kalba naudojant matematinius metodus vadinamas matematiniu modeliu.

Jos statybos pradžia paprastai yra kokia nors problema, pavyzdžiui, ekonominė. Tiek aprašomoji, tiek optimizavimo matematinė yra plačiai paplitusi, charakterizuojanti įvairius ekonominiai procesai ir reiškinius, pavyzdžiui:

išteklių paskirstymas
racionalus pjovimas
transportavimas
įmonių konsolidavimas
tinklo planavimas.

Kaip sudaromas matematinis modelis?

Pirmiausia suformuluojamas tyrimo tikslas ir tema.
Antra, išryškinamos svarbiausios šį tikslą atitinkančios charakteristikos.
Trečia, modelio elementų ryšiai aprašomi žodžiu.
Toliau santykiai įforminami.
O naudojant matematinį modelį atliekamas skaičiavimas ir analizuojamas gautas sprendimas.

Naudojant šis algoritmas galite išspręsti bet kokią optimizavimo problemą, įskaitant daugiakriterines, t.y. tokia, kurioje siekiama ne vieno, o kelių tikslų, įskaitant ir prieštaringus.

Pateikime pavyzdį. Eilių teorija – eilių problema. Būtina subalansuoti du veiksnius – aptarnavimo įrenginių priežiūros išlaidas ir išlaikymo eilėje išlaidas. Sukūrus formalų modelio aprašymą, atliekami skaičiavimai analitiniais ir skaičiavimo metodais. Jeigu modelis geras, tai su jo pagalba rasti atsakymai yra adekvatūs modeliavimo sistemai, jei blogas – reikia tobulinti ir pakeisti. Tinkamumo kriterijus yra praktika.

Optimizavimo modeliai, tarp jų ir daugiakriteriai, turi bendrą savybę – yra žinomas tikslas (ar keli tikslai), kurį pasiekti dažnai tenka susidurti su sudėtingomis sistemomis, kur reikia ne tiek optimizavimo problemų sprendimo, o studijavimo ir numatymo. priklauso nuo pasirinktų valdymo strategijų. Ir čia susiduriame su ankstesnio plano įgyvendinimo sunkumais. Jie yra tokie:

sudėtingoje sistemoje yra daug jungčių tarp elementų
realią sistemą veikia atsitiktiniai veiksniai, į juos atsižvelgti analitiškai neįmanoma
galimybė palyginti originalą su modeliu egzistuoja tik pradžioje ir panaudojus matematinį aparatą, nes tarpiniai rezultatai gali neturėti analogų realioje sistemoje.

Atsižvelgiant į išvardytus sunkumus, kylančius studijuojant sudėtingas sistemas, praktika reikalavo lankstesnio metodo ir atsirado - „Simujacijos modeliavimas“.

Paprastai modeliavimo modelis suprantamas kaip kompiuterinių programų rinkinys, aprašantis atskirų sistemos blokų veikimą ir tarpusavio sąveikos taisykles. Naudojant atsitiktinius dydžius, būtina atlikti pakartotinius eksperimentus su simuliacine sistema (kompiuteriu) ir vėlesnę gautų rezultatų statistinę analizę. Labai dažnas modeliavimo modelių naudojimo pavyzdys yra eilių problemos sprendimas naudojant MONTE CARLO metodą.

Taigi darbas su modeliavimo sistema yra eksperimentas, atliekamas kompiuteriu. Kokie privalumai?

– Didesnis artumas realiai sistemai nei matematiniai modeliai;

– Bloko principas leidžia patikrinti kiekvieną bloką prieš įtraukiant jį į bendrą sistemą;

– Sudėtingesnio pobūdžio priklausomybių, kurių negalima apibūdinti paprastais matematiniais ryšiais, naudojimas.

Išvardyti pranašumai lemia trūkumus

– modeliavimo modelio kūrimas užtrunka ilgiau, yra sunkesnis ir brangesnis;

– norint dirbti su simuliacine sistema, būtina turėti klasei tinkamą kompiuterį;

– sąveika tarp vartotojo ir modeliavimo modelio (sąsajos) neturėtų būti pernelyg sudėtinga, patogi ir gerai žinoma;

- Kuriant modeliavimo modelį reikia nuodugniau ištirti realų procesą nei atliekant matematinį modeliavimą.

Kyla klausimas: ar modeliavimo modeliavimas gali pakeisti optimizavimo metodus? Ne, bet tai patogiai juos papildo. Modeliavimo modelis – tai programa, įgyvendinanti tam tikrą algoritmą, kurio valdymui optimizuoti pirmiausia išsprendžiama optimizavimo problema.

Taigi nei kompiuteris, nei matematinis modelis, nei jo tyrimo algoritmas negali išspręsti pakankamai sudėtingos problemos. Tačiau kartu jie atstovauja jėgą, leidžiančią suprasti mus supantį pasaulį ir valdyti jį žmogaus interesais.

1.2 Modelių klasifikacija

1.2.1
Klasifikavimas atsižvelgiant į laiko veiksnį ir naudojimo sritį (Makarova N.A.)

Statinis modelis - tai tarsi vienkartinis objekto informacijos momentinis vaizdas (vienos apklausos rezultatas)
Dinamiškas modelis-leidžia pamatyti objekto pokyčius laikui bėgant (kortelė klinikoje)
Modeliai taip pat gali būti klasifikuojami pagal kokiai žinių sričiai jie priklauso?(biologinis, istorinis, aplinka ir kt.)
Grįžti į viršų

1.2.2 Klasifikacija pagal naudojimo sritį (Makarova N.A.)

Švietimo- vizualiaižinynai, simuliatoriai oi, staugiantieji programas
Patyręs modelių sumažintas kopijos (automobilis vėjo tunelyje)
Mokslinis ir techninis sinchrofasotronas, stendas elektroninei įrangai išbandyti
Žaidimai - ekonominis, sporto, verslo žaidimai
Imitacija - Ne Jie tiesiog atspindi tikrovę, bet ją imituoja (vaistai bandomi su pelėmis, eksperimentai atliekami mokyklose ir pan. Šis modeliavimo būdas vadinamas bandymas ir klaida
Grįžti į viršų

1.2.3 Klasifikacija pagal pateikimo būdą Makarovas N.A.)

Medžiaga modeliai - kitaip galima vadinti dalyku. Jie suvokia geometrines ir fizines originalo savybes ir visada turi tikrą įsikūnijimą
Informacija modeliai neleidžiami palieskite arba pamatysite. Jie pagrįsti tik informacija .Ir informacinis modelis – informacijos rinkinys, apibūdinantis objekto, proceso, reiškinio savybes ir būsenas, taip pat santykį su išoriniu pasauliu.
Verbalinis modelis - informacinis modelis mentaline arba sakytine forma.
Ikoniška modelio informacija modelis, išreikštas ženklais ,t.y.. bet kokia formalia kalba.
Kompiuterio modelis - m Modelis, įgyvendintas naudojant programinę aplinką.

1.2.4 Modelių klasifikacija, pateikta knygoje „Žemės informatika“ (Gein A.G.))

„...čia iš pažiūros paprasta užduotis: kiek laiko užtruks kirsti Karakumo dykumą? Atsakymas yra žinoma priklauso nuo transportavimo būdo. Jeigu keliauti toliau kupranugarių, tada prireiks vienos kadencijos, kitos, jei važiuosite automobiliu, trečios, jei skrisite lėktuvu. O svarbiausia, kad planuojant kelionę reikalingi skirtingi modeliai. Pirmuoju atveju reikiamą modelį galima rasti žinomų dykumų tyrinėtojų atsiminimuose: juk neapsieina be informacijos apie oazes ir kupranugarių takus. Antruoju atveju kelių atlase esanti informacija yra nepakeičiama. Trečiajame galite naudoti skrydžių tvarkaraštį.
Šie trys modeliai – memuarai, atlasas ir tvarkaraštis – skiriasi ir informacijos pateikimo pobūdžiu. Pirmuoju atveju modelis vaizduojamas žodiniu informacijos aprašymu (aprašomasis modelis), antroje – tarsi fotografija iš gyvenimo (viso mastelio modelis), trečioje - lentelė su simboliais: išvykimo ir atvykimo laikai, savaitės diena, bilieto kaina (vadinamasis ženklų modelis) Tačiau toks skirstymas yra labai savavališkas – atsiminimuose galite rasti žemėlapių ir diagramų (pilno mastelio modelio elementai), žemėlapiuose yra simboliai (simbolinio modelio elementai), tvarkaraštyje yra simbolių (elementų) dekodavimas. aprašomąjį modelį). Taigi ši modelių klasifikacija... mūsų nuomone, yra neproduktyvi“
Mano nuomone, šis fragmentas demonstruoja aprašomąjį (nuostabi kalba ir pateikimo stilius) ir tarsi sokratišką mokymo stilių, būdingą visoms Heino knygoms (visi mano, kad taip yra. Visiškai su tavimi sutinku, bet jei atidžiai pažiūrėsi...). Tokiose knygose gana sunku rasti aiškią apibrėžimų sistemą (jos autorius neketina). Vadovėlyje, kurį redagavo N.A. Makarova demonstruoja kitokį požiūrį – sąvokų apibrėžimai yra aiškiai išryškinti ir šiek tiek statiški.

1.2.5 A.I. Bochkino vadove pateikta modelių klasifikacija

Yra neįprastai daug klasifikavimo metodų .P atnešti tik kai kurie iš labiausiai žinomų priežasčių ir požymiai: diskretiškumas Ir tęstinumas, matrica ir skaliariniai modeliai, statiniai ir dinaminiai modeliai, analitiniai ir informaciniai modeliai, dalykiniai ir vaizdinių ženklų modeliai, didelio masto ir ne masto...
Kiekvienas ženklas suteikia tam tikrąžinios apie modelio ir imituojamos realybės savybes. Ženklas gali tarnauti kaip užuomina apie baigto ar būsimo modeliavimo metodą.
Diskretiškumas ir tęstinumą Diskretiškumas - būdingas kompiuterių modelių bruožas .Po visko kompiuteris gali būti finale, nors ir labai dideli kiekiai teigia. Todėl net jei objektas yra tęstinis (laikas), modelyje jis keisis šuoliais. Galima būtų svarstyti tęstinumą ne kompiuterinio tipo modelių ženklas.
Tikimybė ir determinizmas . Nežinomybė, avarija iš pradžių priešinasi kompiuterių pasauliui: Vėl paleistas algoritmas turi būti kartojamas ir duoti tuos pačius rezultatus. Tačiau atsitiktiniams procesams imituoti naudojami pseudoatsitiktinių skaičių jutikliai. Įvedus atsitiktinumą į deterministines problemas, gaunami galingi ir įdomūs modeliai (ploto apskaičiavimas atsitiktiniu metimu).
Matriciškumas - skališkumas. Parametrų prieinamumas matrica modelis rodo didesnį jo sudėtingumą ir, galbūt, tikslumą, palyginti su skaliarinis. Pavyzdžiui, jei neidentifikuosime visų šalies gyventojų amžiaus grupių, įvertinę jo kitimą kaip visumą, gausime skaliarinį modelį (pavyzdžiui, Malthuso modelį), o išskyrę gausime matricą (lytis). -amžius) modelis. Būtent matricos modelis leido paaiškinti vaisingumo svyravimus po karo.
Statinė dinamika. Šios modelio savybės paprastai yra iš anksto nulemtos realaus objekto savybių. Čia nėra pasirinkimo laisvės. Tiesiog statinis modelis galėtų būti žingsnis link dinamiškas, arba kai kuriuos modelio kintamuosius kol kas galima laikyti nepakeistus. Pavyzdžiui, palydovas juda aplink Žemę, jo judėjimui įtakos turi Mėnulis. Jei laikysime, kad Mėnulis nejuda per palydovo revoliuciją, gautume paprastesnį modelį.
Analitiniai modeliai. Procesų aprašymas analitiškai, formules ir lygtis. Tačiau bandant sudaryti grafiką patogiau turėti funkcijų reikšmių ir argumentų lenteles.
Modeliavimo modeliai. Imitacija modeliai pasirodė seniai mastelio kopijų pavidalu laivų, tiltų ir tt pasirodė seniai, bet neseniai svarstomi dėl kompiuterių. Žinant, kaip susiję modelio elementus analitiškai ir logiškai, lengviau ne išspręsti tam tikrų ryšių ir lygčių sistemą, o kompiuterio atmintyje atvaizduoti realią sistemą, atsižvelgiant į ryšius tarp atminties elementų.
Informaciniai modeliai. Informacija Modeliai dažniausiai supriešinami su matematiniais, tiksliau – algoritminiais. Čia svarbus duomenų apimčių ir algoritmų santykis. Jei yra daugiau duomenų arba jie yra svarbesni, turime informacinį modelį, kitu atveju - matematinės.
Dalyko modeliai. Tai visų pirma vaikiškas modelis – žaislas.
Ikoniniai modeliai. Tai visų pirma žmogaus proto modelis: perkeltine, jei vyrauja grafiniai vaizdai, ir ikoniškas, jei yra daugiau žodžių ir (arba) skaičių. Figūrinių ženklų modeliai kuriami kompiuteryje.
Mastelio modeliai. KAM didelio masto modeliai – tai subjektiniai arba vaizdiniai modeliai, atkartojantys objekto (žemėlapio) formą.

Matematinis modelis b yra matematinis tikrovės vaizdas.

Matematinis modeliavimas- matematinių modelių kūrimo ir tyrimo procesas.

Visi gamtos ir socialiniai mokslai, naudojantys matematinius aparatus, iš esmės užsiima matematiniu modeliavimu: jie pakeičia realų objektą jo matematiniu modeliu ir tiria pastarąjį.

Apibrėžimai.

Joks apibrėžimas negali visiškai apimti tikrosios matematinio modeliavimo veiklos. Nepaisant to, apibrėžimai yra naudingi, nes jais bandoma pabrėžti svarbiausias savybes.

Modelio apibrėžimas pagal A. A. Lyapunovą: Modeliavimas yra netiesioginis praktinis ar teorinis objekto tyrimas, kurio metu tiesiogiai tiriamas ne pats objektas, o kažkokia pagalbinė dirbtinė ar natūrali sistema:

esantis tam tikroje objektyvioje atitiktyje su atpažįstamu objektu;

tam tikrais atžvilgiais galintis jį pakeisti;

kurią išstudijavus galiausiai pateikiama informacija apie modeliuojamą objektą.

Remiantis Sovetovo ir Jakovlevo vadovėliu: „modelis yra originalaus objekto pakaitalas, leidžiantis ištirti kai kurias originalo savybes“. „Vieno objekto pakeitimas kitu, siekiant gauti informacijos apie svarbiausias pirminio objekto savybes naudojant modelio objektą, vadinamas modeliavimu. „Matematiniu modeliavimu turime omenyje konkretaus realaus objekto ir kokio nors matematinio objekto, vadinamo matematiniu modeliu, atitikimo nustatymo procesą ir šio modelio tyrimą, leidžiantį gauti nagrinėjamo realaus objekto charakteristikas. Matematinio modelio tipas priklauso ir nuo realaus objekto prigimties, ir nuo objekto tyrimo užduočių bei reikalingo šios problemos sprendimo patikimumo ir tikslumo.

Anot Samarskio ir Michailovo, matematinis modelis yra objekto „ekvivalentas“, matematine forma atspindintis svarbiausias jo savybes: dėsnius, kuriems jis paklūsta, jo sudedamosioms dalims būdingus ryšius ir kt. Jis egzistuoja triadose „. modelis-algoritmas-programa“ . Sukūręs triadą „modelis-algoritmas-programa“, tyrėjas gauna universalų, lankstų ir nebrangų įrankį, kuris pirmiausiai derinamas ir išbandomas bandomaisiais skaičiavimo eksperimentais. Nustačius triados tinkamumą pirminiam objektui, su modeliu atliekami įvairūs ir detalūs „eksperimentai“, suteikiantys visas reikiamas kokybines ir kiekybines objekto savybes bei charakteristikas.

Pagal Myshkio monografiją: „Pereikime prie bendro apibrėžimo. Tarkime, kad tirsime kokią nors realaus objekto a savybių rinkinį S

naudojant matematiką. Norėdami tai padaryti, pasirenkame "matematinį objektą" a" - lygčių sistemą arba aritmetinius ryšius, arba geometrines figūras, arba abiejų derinį ir tt - kurio tyrimas matematikos pagalba turėtų atsakyti į užduodamus klausimus S savybes. Šiomis sąlygomis a" vadinamas matematiniu objekto modeliu a santykiniu jo savybių aibės S."

Anot Sevostjanovo A.G.: „Matematinis modelis yra matematinių ryšių, lygčių, nelygybių ir tt rinkinys, apibūdinantis pagrindinius modelius, būdingus tiriamam procesui, objektui ar sistemai“.

Šiek tiek mažiau bendras apibrėžimas matematinis modelis, pagrįstas idealizavimu „įvestis-išvestis-būsena“, pasiskolintas iš automatų teorijos, suteikia Vikižodynui: „Abstrakčius matematinį proceso, įrenginio ar teorinės idėjos vaizdavimą; jis naudoja kintamųjų rinkinį, kad pavaizduotų įvestis, išėjimus ir vidines būsenas, o lygčių ir nelygybių rinkinys apibūdintų jų sąveiką.

Galiausiai glausčiausias matematinio modelio apibrėžimas yra: „Idėją išreiškianti lygtis“.

Formali modelių klasifikacija.

Linijiniai arba netiesiniai modeliai; Koncentruotos arba paskirstytos sistemos; Deterministinis arba stochastinis; Statinis arba dinaminis; Diskretus arba nuolatinis.

Klasifikacija pagal objekto vaizdavimo būdą.

Kartu su formalia klasifikacija modeliai skiriasi tuo, kaip jie vaizduoja objektą:

Struktūriniai modeliai vaizduoja objektą kaip sistemą, turinčią savo struktūrą ir veikimo mechanizmą. Funkciniai modeliai nenaudoja tokių reprezentacijų ir atspindi tik išoriškai suvokiamą objekto elgesį. Kraštutine išraiška jie dar vadinami „juodosios dėžės“ modeliais. Galimi ir kombinuoti modeliai, kurie kartais vadinami „pilkosios dėžės“ modeliais.

Beveik visi matematinio modeliavimo procesą aprašantys autoriai nurodo, kad pirmiausia sukuriama ypatinga ideali struktūra, prasmingas modelis. Čia nėra nusistovėjusios terminijos, o kiti autoriai šį idealų objektą vadina konceptualiu modeliu, spekuliaciniu modeliu arba išankstiniu modeliu. Šiuo atveju galutinė matematinė konstrukcija vadinama formaliuoju modeliu arba tiesiog matematiniu modeliu, gautu formalizavus šį reikšmingą modelį. Prasmingo modelio konstravimas gali būti atliktas naudojant paruoštų idealizacijų rinkinį, kaip ir mechanikoje, kur idealios spyruoklės, standūs kūnai, idealios švytuoklės, tamprios terpės ir tt pateikia paruoštus konstrukcinius elementus prasmingam modeliavimui. Tačiau žinių srityse, kuriose nėra visiškai užbaigtų formalizuotų teorijų, prasmingų modelių kūrimas tampa labai sunkesnis.

R. Peierlso darbe pateikiama fizikoje ir plačiau – gamtos moksluose naudojamų matematinių modelių klasifikacija. A. N. Gorbano ir R. G. Khleboproso knygoje ši klasifikacija išanalizuota ir išplėsta. Ši klasifikacija visų pirma orientuota į prasmingo modelio kūrimo etapą.

Šie modeliai „atitinka preliminarų reiškinio aprašymą, o autorius arba tiki jo galimybe, arba net mano, kad tai tiesa“. Pasak R. Peierlso, tai, pavyzdžiui, modelis saulės sistema pagal Ptolemėjaus ir Koperniko modelį, Rezerfordo atominį modelį ir Didžiojo sprogimo modelį.

Jokia hipotezė moksle negali būti įrodyta kartą ir visiems laikams. Richardas Feynmanas tai labai aiškiai suformulavo:

„Mes visada turime galimybę paneigti teoriją, tačiau atkreipkite dėmesį, kad niekada negalime įrodyti, kad ji teisinga. Tarkime, kad iškėlėte sėkmingą hipotezę, apskaičiavote, kur ji veda, ir nustatėte, kad visos jos pasekmės patvirtinamos eksperimentiškai. Ar tai reiškia, kad jūsų teorija yra teisinga? Ne, tai tiesiog reiškia, kad jums nepavyko to paneigti.

Jei pastatytas pirmojo tipo modelis, tai reiškia, kad jis laikinai pripažįstamas tiesa ir galima susikoncentruoti ties kitomis problemomis. Tačiau tai negali būti tyrimo taškas, o tik laikina pauzė: pirmojo tipo modelio statusas gali būti tik laikinas.

Modelio vaidmuo tyrime laikui bėgant gali keistis, gali atsitikti taip, kad nauji duomenys ir teorijos patvirtina fenomenologinius modelius ir jie atnaujinami iki

hipotezės būsena. Taip pat naujos žinios pamažu gali konfliktuoti su pirmojo tipo modeliais-hipotezėmis ir gali būti paverčiamos antruoju. Taigi kvarko modelis pamažu pereina į hipotezių kategoriją; atomizmas fizikoje atsirado kaip laikinas sprendimas, tačiau istorijos eigoje jis tapo pirmuoju tipu. Tačiau eterio modeliai perėjo iš 1 tipo į 2 tipą ir dabar yra už mokslo ribų.

Supaprastinimo idėja yra labai populiari kuriant modelius. Tačiau supaprastinimas būna įvairių formų. Peierlsas nustato trijų tipų modeliavimo supaprastinimus.

Jei įmanoma sukonstruoti lygtis, apibūdinančias tiriamą sistemą, tai dar nereiškia, kad jas galima išspręsti net ir kompiuterio pagalba. Šiuo atveju įprastas metodas yra aproksimacijų naudojimas. Tarp jų yra linijinio atsako modeliai. Lygtys pakeičiamos tiesinėmis. Standartinis pavyzdys yra Ohmo dėsnis.

Jei naudosime modelį idealios dujos apibūdinti pakankamai retintas dujas, tai yra 3 tipo modelis. Daugiau didelio tankio dujos, taip pat naudinga įsivaizduoti paprastesnę situaciją su idealiomis dujomis kokybiniam supratimui ir vertinimams, bet tada tai jau 4 tipas.

4 tipo modelyje atmetamos detalės, kurios gali reikšmingai ir ne visada kontroliuojamai paveikti rezultatą. Tos pačios lygtys gali būti naudojamos kaip 3 arba 4 tipo modelis, priklausomai nuo reiškinio, kuriam modelis naudojamas tirti. Taigi, jei linijiniai atsako modeliai naudojami nesant sudėtingesnių modelių, tai jau yra fenomenologiniai linijiniai modeliai ir priklauso kitam 4 tipui.

Pavyzdžiai: idealių dujų modelio taikymas neidealioms dujoms, van der Waals būsenos lygtis, dauguma kietojo kūno, skysčių ir branduolinės fizikos modelių. Kelias nuo mikroaprašymo iki kūnų, susidedančių iš daugybės dalelių, savybių yra labai ilgas. Daugelis detalių turi būti atmesti. Tai veda prie 4 tipo modelių.

Euristinis modelis išlaiko tik kokybinį panašumą į tikrovę ir prognozuoja tik „dydžio tvarka“. Tipiškas pavyzdys yra vidutinio laisvojo kelio aproksimacija kinetikos teorijoje. Jame pateikiamos paprastos klampos, difuzijos ir šilumos laidumo koeficientų formulės, kurios pagal dydį atitinka tikrovę.

Bet kuriant naują fiziką, iš karto nepavyksta gauti modelio, kuris pateiktų bent kokybinį objekto aprašymą – penktojo tipo modelį. Šiuo atveju modelis dažnai naudojamas pagal analogiją, bent kiek detaliau atspindintis tikrovę.

R. Peierlsas pateikia analogijų naudojimo istoriją pirmajame W. Heisenbergo straipsnyje apie branduolinių jėgų prigimtį. „Tai atsitiko atradus neutroną ir, nors pats W. Heisenbergas suprato, kad branduolius galima apibūdinti kaip sudarytus iš neutronų ir protonų, jis vis tiek negalėjo atsikratyti minties, kad neutronas galiausiai turi būti sudarytas iš protono ir protonų. elektroną. Šiuo atveju atsirado analogija tarp sąveikos neutronų-protonų sistemoje ir vandenilio atomo bei protono sąveikos. Būtent ši analogija paskatino jį padaryti išvadą, kad tarp neutrono ir protono turi būti sąveikos mainų jėgos, kurios yra panašios į mainų jėgas H – H sistemoje, kurias sukelia elektrono perėjimas tarp dviejų protonų. ... Vėliau neutrono ir protono sąveikos mainų jėgų egzistavimas vis dėlto buvo įrodytas, nors jos nebuvo visiškai išnaudotos.

sąveika tarp dviejų dalelių... Bet, vadovaudamasis ta pačia analogija, W. Heisenbergas priėjo išvados, kad tarp dviejų protonų sąveikos branduolinių jėgų nėra, ir postuluoti dviejų neutronų atstūmimą. Abi šios pastarosios išvados prieštarauja naujesniems tyrimams."

A. Einšteinas buvo vienas didžiausių minties eksperimentų meistrų. Štai vienas iš jo eksperimentų. Jis buvo išrastas jo jaunystėje ir galiausiai atvedė prie statybos specialioji teorija reliatyvumo. Tarkime, kad klasikinėje fizikoje mes judame už šviesos bangos šviesos greičiu. Stebėsime periodiškai erdvėje besikeičiantį ir laike pastovų elektromagnetinį lauką. Pagal Maksvelo lygtis to negali atsitikti. Taigi jaunasis Einšteinas padarė išvadą: arba gamtos dėsniai keičiasi pasikeitus atskaitos sistemai, arba šviesos greitis nepriklauso nuo atskaitos sistemos. Jis pasirinko antrąjį – gražesnį variantą. Kitas garsus Einšteino minties eksperimentas yra Einšteino-Podolskio-Roseno paradoksas.

Čia ateina 8 tipas, plačiai paplitęs biologinių sistemų matematiniuose modeliuose.

Tai taip pat minties eksperimentai su įsivaizduojamomis esybėmis, parodantys, kad tariamas reiškinys atitinka pagrindinius principus ir yra nuoseklus viduje. Tai yra pagrindinis skirtumas nuo 7 tipo modelių, kurie atskleidžia paslėptus prieštaravimus.

Vienas garsiausių tokių eksperimentų yra Lobačevskio geometrija. Kitas pavyzdys – masinė formaliai kinetinių cheminių ir biologinių virpesių modelių, autobangų ir kt. gamyba. Einšteino-Podolskio-Roseno paradoksas buvo sumanytas kaip 7 tipo modelis, siekiant parodyti kvantinės mechanikos nenuoseklumą. Visiškai neplanuotai jis galiausiai virto 8 tipo modeliu – informacijos kvantinės teleportacijos galimybės demonstravimu.

Apsvarstykite mechaninę sistemą, kurią sudaro spyruoklė, pritvirtinta viename gale, ir masė m, pritvirtinta prie laisvojo spyruoklės galo. Darysime prielaidą, kad apkrova gali judėti tik spyruoklės ašies kryptimi. Sukurkime matematinį šios sistemos modelį. Sistemos būseną apibūdinsime atstumu x nuo apkrovos centro iki jos pusiausvyros padėties. Apibūdinkime spyruoklės ir apkrovos sąveiką naudodami Huko dėsnį, o tada naudokite antrąjį Niutono dėsnį, kad išreikštume jį diferencialinės lygties forma:

kur reiškia antrąją x išvestinę laiko atžvilgiu.

Gauta lygtis apibūdina nagrinėjamos fizinės sistemos matematinį modelį. Šis modelis vadinamas „harmoniniu osciliatoriumi“.

Pagal formalią klasifikaciją, šis modelis yra tiesinis, deterministinis, dinamiškas, koncentruotas, tęstinis. Jį statydami padarėme daug prielaidų, kurios realybėje gali nepasitvirtinti.

Kalbant apie tikrovę, tai dažniausiai yra 4 tipo supaprastinimo modelis, nes kai kurie esminiai universalūs bruožai yra praleisti. Kai kuriais apytiksliais skaičiavimais, toks modelis gana gerai apibūdina tikrą mechaninę sistemą, nes

atmesti veiksniai turi nedidelę įtaką jos elgesiui. Tačiau modelis gali būti patobulintas, atsižvelgiant į kai kuriuos iš šių veiksnių. Taip bus sukurtas naujas modelis, kurio pritaikomumas bus platesnis.

Kieti ir minkšti modeliai.

Čia yra tam tikra funkcija, kuri gali atsižvelgti į trinties jėgą arba spyruoklės standumo koeficiento priklausomybę nuo jos tempimo laipsnio, ε yra koks nors mažas parametras. Šiuo metu mūsų nedomina aiški funkcijos f forma. Jei įrodysime, kad minkštojo modelio elgesys iš esmės nesiskiria nuo kietojo modelio, problema bus sumažinta iki kietojo modelio tyrimo. Priešingu atveju, norint pritaikyti rezultatus, gautus tiriant standųjį modelį, reikės papildomų tyrimų. Pavyzdžiui, harmoninio osciliatoriaus lygties sprendimas yra formos funkcijos

Tai yra pastovios amplitudės svyravimai. Ar iš to išplaukia, kad tikrasis osciliatorius svyruos neribotą laiką pastovia amplitude? Ne, nes įvertinus sistemą su savavališkai maža trintimi gausime slopintus svyravimus. Kokybiškai pasikeitė sistemos elgsena.

Jei sistema išlaiko savo kokybinį elgesį esant nedideliems trikdžiams, sakoma, kad ji yra struktūriškai stabili. Harmoninis osciliatorius yra struktūriškai nestabilios sistemos pavyzdys. Tačiau šis modelis gali būti naudojamas tiriant procesus ribotą laiką.

Modelių universalumas.

Svarbiausi matematiniai modeliai dažniausiai turi svarbią universalumo savybę: iš esmės skirtingus realius reiškinius galima apibūdinti tuo pačiu matematiniu modeliu. Pavyzdžiui, harmoninis osciliatorius apibūdina ne tik spyruoklės apkrovos elgesį, bet ir kitus svyravimo procesus, dažnai visai kitokio pobūdžio: mažus švytuoklės svyravimus, skysčio lygio svyravimus U formos inde. , arba srovės stiprumo pokytis virpesių grandinėje. Taigi, tirdami vieną matematinį modelį, iš karto tiriame visą jo aprašytų reiškinių klasę. Būtent šis įvairių mokslo žinių segmentų matematiniais modeliais išreikštų dėsnių izomorfizmas įkvėpė Ludwigą von Bertalanffy sukurti „Bendrąją sistemų teoriją“.

Tiesioginės ir atvirkštinės matematinio modeliavimo problemos

Kūnai iš skirtingų medžiagų, kiekviena medžiaga nurodoma kaip jos standartinis mechaninis idealizavimas, po to sudaromos lygtys, pakeliui kai kurios detalės atmetamos kaip nesvarbios, atliekami skaičiavimai, lyginami su matavimais, tobulinamas modelis ir pan. Tačiau norint sukurti matematinio modeliavimo technologijas, naudinga šį procesą išardyti į pagrindinius jo komponentus.

Tradiciškai yra dvi pagrindinės problemų, susijusių su matematiniais modeliais, klasės: tiesioginė ir atvirkštinė.

Tiesioginė užduotis: modelio struktūra ir visi jo parametrai laikomi žinomais, pagrindinė užduotis – atlikti modelio tyrimą, siekiant išgauti naudingų žinių apie objektą. Kokią statinę apkrovą atlaikys tiltas? Kaip jis reaguos į dinaminę apkrovą, kaip lėktuvas įveiks garso barjerą, ar subyrės nuo plazdėjimo – tai tipiški tiesioginės problemos pavyzdžiai. Norint nustatyti teisingą tiesioginę problemą, reikia specialių įgūdžių. Jei nebus užduodami teisingi klausimai, tiltas gali sugriūti, net jei buvo pastatytas geras jo elgesio modelis. Taip 1879 metais Didžiojoje Britanijoje sugriuvo metalinis tiltas per Tay upę, kurio projektuotojai sukonstravo tilto maketą, apskaičiavo, kad jis turi 20 kartų didesnį saugos ribą naudingosios apkrovos veikimui, tačiau pamiršo apie vėjus. nuolat pučia tose vietose. Ir po pusantrų metų sugriuvo.

IN Paprasčiausiu atveju tiesioginė problema yra labai paprasta ir redukuojama iki aiškaus šios lygties sprendimo.

Atvirkštinė problema: žinoma daug galimų modelių, reikia pasirinkti konkretų modelį pagal papildomus duomenis apie objektą. Dažniausiai modelio struktūra yra žinoma, reikia nustatyti kai kuriuos nežinomus parametrus. Papildomą informaciją gali sudaryti papildomi empiriniai duomenys arba reikalavimai objektui. Papildomi duomenys gali būti gauti nepriklausomai nuo atvirkštinės problemos sprendimo proceso arba būti specialiai suplanuoto eksperimento sprendimo metu rezultatas.

IN Kitas pavyzdys – matematinė statistika. Šio mokslo uždavinys – sukurti stebėjimo ir eksperimentinių duomenų registravimo, aprašymo ir analizės metodus, siekiant sukurti tikimybinius masinių atsitiktinių reiškinių modelius. Tie. galimų modelių rinkinys apsiriboja tikimybiniais modeliais. Konkrečiose užduotyse modelių rinkinys yra labiau ribotas.

Kompiuterinio modeliavimo sistemos.

Matematiniam modeliavimui palaikyti buvo sukurtos kompiuterinės matematikos sistemos, pavyzdžiui, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim ir kt. Jos leidžia kurti formalius ir blokinius paprastų ir sudėtingų procesų bei įrenginių modelius ir lengvai keisti modelio parametrus jų metu. modeliavimas. Blokų modeliai pavaizduoti blokais, kurių komplektaciją ir prijungimą nurodo modelio schema.

Papildomi pavyzdžiai.

Augimo tempas yra proporcingas dabartiniam populiacijos dydžiui. Jis apibūdinamas diferencialine lygtimi

kur α yra tam tikras parametras, nustatomas pagal gimstamumo ir mirtingumo skirtumą. Šios lygties sprendimas yra eksponentinė funkcija x = x0 e. Jei gimstamumas viršija mirtingumą, gyventojų skaičius didėja neribotai ir labai greitai. Akivaizdu, kad iš tikrųjų tai negali atsitikti dėl apribojimų

išteklių. Pasiekus tam tikrą kritinį populiacijos dydį, modelis nustoja būti adekvatus, nes jame neatsižvelgiama į ribotus išteklius. Malthuso modelio patobulinimas gali būti logistinis modelis, kuris apibūdinamas Verhulsto diferencialine lygtimi

čia xs yra „pusiausvyros“ populiacijos dydis, kai gimstamumą tiksliai kompensuoja mirtingumas. Populiacijos dydis tokiame modelyje linkęs į pusiausvyros reikšmę xs, ir šis elgesys yra struktūriškai stabilus.

Tarkime, tam tikroje vietovėje gyvena dviejų rūšių gyvūnai: triušiai ir lapės. Tegu triušių skaičius yra x, lapių skaičius – y. Naudojant Malthus modelį su reikiamais pakeitimais, atsižvelgiant į tai, kad lapės valgo triušius, gauname tokią sistemą, kuri pavadinta Lotka-Volterra modeliu:

Ši sistema turi pusiausvyros būseną, kai triušių ir lapių skaičius yra pastovus. Nukrypimas nuo šios būsenos sukelia triušių ir lapių skaičiaus svyravimus, panašius į harmoninio osciliatoriaus svyravimus. Kaip ir harmoninio osciliatoriaus atveju, šis elgesys nėra struktūriškai stabilus: nedidelis modelio pakeitimas gali lemti kokybinius elgesio pokyčius. Pavyzdžiui, pusiausvyros būsena gali tapti stabili, o skaičių svyravimai išnyks. Galima ir priešinga situacija, kai bet koks nedidelis nukrypimas nuo pusiausvyros padėties sukels katastrofiškas pasekmes iki visiško vienos rūšies išnykimo. Volteros-Lotkos modelis neatsako į klausimą, kuris iš šių scenarijų yra realizuojamas: čia reikalingi papildomi tyrimai.

Matematinių modelių tipai. Įvairūs matematinio modelio kūrimo būdai

Modelių klasifikacija

Formali modelių klasifikacija

Klasifikacija pagal objekto vaizdavimo būdą

Turinys ir formalūs modeliai

Modelių turinio klasifikacija

2 tipas: Fenomenologinis modelis (elgiamės tarsi…)

3 tipas: Aproksimacija (laikome ką nors labai didelio arba labai mažo)

8 tipas: Funkcijų demonstravimas (svarbiausia parodyti vidinį galimybės nuoseklumą)

Pavyzdys

Kieti ir minkšti modeliai

Modelių universalumas

Tiesioginės ir atvirkštinės matematinio modeliavimo problemos

Kompiuterinio modeliavimo sistemos

Papildomi pavyzdžiai

Malthuso modelis

Plėšrūno-grobio sistema

Pastabos

Matematinis modeliavimas

1. Kas yra matematinis modeliavimas?

2. Pagrindiniai matematinio modeliavimo etapai

3. Modelių klasifikacija

4. Matematinių modelių pavyzdžiai

1.1.2 2. Pagrindiniai matematinio modeliavimo etapai

1.1.3 3. Modelių klasifikacija

1.2 Modelių klasifikacija

1.2.1
Klasifikavimas atsižvelgiant į laiko veiksnį ir naudojimo sritį (Makarova N.A.)

1.2.2 Klasifikacija pagal naudojimo sritį (Makarova N.A.)

1.2.3 Klasifikacija pagal pateikimo būdą Makarovas N.A.)

1.2.4 Modelių klasifikacija, pateikta knygoje „Žemės informatika“ (Gein A.G.))

1.2.5 A.I. Bochkino vadove pateikta modelių klasifikacija

Rašto kilmė ir raida – abstrakčiai

Kompozitorius Raymondas Paulsas: biografija, asmeninis gyvenimas, kūryba Raymondas Paulsas - biografija

Matematinių modelių tipai. Įvairūs matematinio modelio kūrimo būdai

Modelių klasifikacija

Formali modelių klasifikacija

Klasifikacija pagal objekto vaizdavimo būdą

Turinys ir formalūs modeliai

Modelių turinio klasifikacija

2 tipas: Fenomenologinis modelis (elgiamės tarsi…)

3 tipas: Aproksimacija (laikome ką nors labai didelio arba labai mažo)

8 tipas: Funkcijų demonstravimas (svarbiausia parodyti vidinį galimybės nuoseklumą)

Pavyzdys

Kieti ir minkšti modeliai

Modelių universalumas

Tiesioginės ir atvirkštinės matematinio modeliavimo problemos

Kompiuterinio modeliavimo sistemos

Papildomi pavyzdžiai

Malthuso modelis

Plėšrūno-grobio sistema

Pastabos

Matematinis modeliavimas

1. Kas yra matematinis modeliavimas?

2. Pagrindiniai matematinio modeliavimo etapai

3. Modelių klasifikacija

4. Matematinių modelių pavyzdžiai

1.1.2 2. Pagrindiniai matematinio modeliavimo etapai

1.1.3 3. Modelių klasifikacija

1.2 Modelių klasifikacija

1.2.1 Klasifikavimas atsižvelgiant į laiko veiksnį ir naudojimo sritį (Makarova N.A.)

1.2.2 Klasifikacija pagal naudojimo sritį (Makarova N.A.)

1.2.3 Klasifikacija pagal pateikimo būdą Makarovas N.A.)

1.2.4 Modelių klasifikacija, pateikta knygoje „Žemės informatika“ (Gein A.G.))

1.2.5 A.I. Bochkino vadove pateikta modelių klasifikacija

Rašto kilmė ir raida – abstrakčiai

Kompozitorius Raymondas Paulsas: biografija, asmeninis gyvenimas, kūryba Raymondas Paulsas - biografija

1.2.1
Klasifikavimas atsižvelgiant į laiko veiksnį ir naudojimo sritį (Makarova N.A.)