Iekavas izmanto, lai norādītu secību, kādā tiek veiktas darbības ciparu un burtiski izteicieni, kā arī izteiksmēs ar mainīgajiem. Ir ērti pāriet no izteiksmes ar iekavām uz identiski vienādu izteiksmi bez iekavām. Šo paņēmienu sauc par atvēršanas iekavām.

Iekavu izvēršana nozīmē iekavu noņemšanu no izteiksmes.

Vēl viens punkts ir pelnījis īpašu uzmanību, kas attiecas uz lēmumu ierakstīšanas īpatnībām, atverot iekavas. Sākotnējo izteiksmi varam uzrakstīt ar iekavām un pēc iekavu atvēršanas iegūto rezultātu kā vienādību. Piemēram, pēc iekavas izvēršanas izteiksmes vietā
3−(5−7) iegūstam izteiksmi 3−5+7. Abas šīs izteiksmes varam uzrakstīt kā vienādību 3−(5−7)=3−5+7.

Un vēl vienu svarīgs punkts. Matemātikā, lai saīsinātu apzīmējumus, ir pieņemts nerakstīt plus zīmi, ja tā izteiksmē vai iekavās parādās vispirms. Piemēram, ja saskaitām divus pozitīvus skaitļus, piemēram, septiņi un trīs, tad rakstām nevis +7+3, bet vienkārši 7+3, neskatoties uz to, ka arī septiņi ir pozitīvs skaitlis. Tāpat, ja redzat, piemēram, izteiksmi (5+x) - ziniet, ka pirms iekavas ir pluss, kas nav rakstīts, un pirms piecinieka ir plus +(+5+x).

Noteikums iekavu atvēršanai pievienošanas laikā

Atverot iekavas, ja iekavām priekšā ir pluss, tad šis pluss tiek izlaists kopā ar iekavām.

Piemērs. Atveriet iekavas izteiksmē 2 + (7 + 3) Iekavās ir pluss, kas nozīmē, ka mēs nemainām zīmes iekavās esošo skaitļu priekšā.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Noteikums iekavu atvēršanai atņemot

Ja pirms iekavām ir mīnuss, tad šis mīnuss tiek izlaists kopā ar iekavām, bet termini, kas bija iekavās, maina savu zīmi uz pretējo. Zīmes neesamība pirms pirmā vārda iekavās nozīmē + zīmi.

Piemērs. Izvērsiet iekavas izteiksmē 2 − (7 + 3)

Pirms iekavām ir mīnuss, kas nozīmē, ka ir jāmaina zīmes iekavās esošo skaitļu priekšā. Iekavās pirms skaitļa 7 nav zīmes, tas nozīmē, ka septiņi ir pozitīvi, tiek uzskatīts, ka priekšā ir + zīme.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Atverot iekavas, mēs no piemēra noņemam mīnusu, kas bija iekavu priekšā, un pašas iekavas 2 − (+ 7 + 3), un nomainām zīmes, kas bija iekavās, uz pretējām.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Reizinot paplašina iekavas

Ja iekavu priekšā ir reizināšanas zīme, tad katrs skaitlis iekavās tiek reizināts ar koeficientu, kas atrodas iekavās. Šajā gadījumā, reizinot mīnusu ar mīnusu, tiek iegūts plus, un, reizinot mīnusu ar plusu, tāpat kā reizinot plusu ar mīnusu, tiek iegūts mīnuss.

Tādējādi reizinājumu iekavas tiek paplašinātas atbilstoši reizināšanas sadales īpašībai.

Piemērs. 2 (9–7) = 2 9–2 7

Reizinot iekavu ar iekava, katrs vārds pirmajā iekavā tiek reizināts ar katru vārdu otrajā iekavā.

(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5

Patiesībā nav jāatceras visi noteikumi, pietiek atcerēties tikai vienu, šo: c(a−b)=ca−cb. Kāpēc? Jo, ja c vietā aizstājat vienu, jūs iegūstat noteikumu (a-b)=a-b. Un, ja mēs aizvietojam mīnus viens, mēs iegūstam noteikumu −(a−b)=−a+b. Nu, ja aizstājat citu iekavu c vietā, varat iegūt pēdējo noteikumu.

Atvērt iekavas dalot

Ja aiz iekavām ir dalījuma zīme, tad katrs skaitlis iekavās tiek dalīts ar dalītāju aiz iekavām un otrādi.

Piemērs. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

Kā izvērst ligzdotas iekavas

Ja izteiksmē ir ligzdotas iekavas, tās tiek izvērstas secībā, sākot ar ārējām vai iekšējām.

Šajā gadījumā ir svarīgi, lai, atverot kādu no iekavām, nepieskartos atlikušajām iekavām, vienkārši pārrakstot tās kā ir.

Piemērs. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

Šajā nodarbībā jūs uzzināsit, kā pārveidot izteiksmi, kurā ir iekavas, par izteiksmi bez iekavām. Jūs uzzināsit, kā atvērt iekavas, pirms kurām ir plus zīme un mīnus zīme. Mēs atcerēsimies, kā atvērt iekavas, izmantojot reizināšanas sadales likumu. Apskatītie piemēri ļaus apvienot jaunu un iepriekš pētītu materiālu vienotā veselumā.

Tēma: Vienādojumu risināšana

Nodarbība: iekavu paplašināšana

Kā izvērst iekavas, pirms kurām ir “+” zīme. Izmantojot asociatīvo saskaitīšanas likumu.

Ja skaitlim jāpievieno divu skaitļu summa, vispirms šim skaitlim varat pievienot pirmo vārdu un pēc tam otro.

Pa kreisi no vienādības zīmes ir izteiksme ar iekavām, bet labajā pusē ir izteiksme bez iekavām. Tas nozīmē, ka, pārejot no vienādības kreisās puses uz labo, notika iekavu atvēršana.

Apskatīsim piemērus.

1. piemērs.

Atverot iekavas, mēs mainījām darbību secību. Ir kļuvis ērtāk skaitīt.

2. piemērs.

3. piemērs.

Ņemiet vērā, ka visos trīs piemēros mēs vienkārši noņēmām iekavas. Formulēsim noteikumu:

komentēt.

Ja pirmais termins iekavās ir neparakstīts, tad tas jāraksta ar plus zīmi.

Soli pa solim varat sekot šim piemēram. Vispirms pievienojiet 445 pie 889. Šo darbību var veikt garīgi, taču tas nav ļoti viegli. Atvērsim iekavas un redzēsim, ka mainītā kārtība ievērojami vienkāršos aprēķinus.

Ja sekojat norādītajai procedūrai, vispirms no 512 ir jāatņem 345, bet pēc tam rezultātam jāpievieno 1345. Atverot iekavas, mēs mainīsim procedūru un ievērojami vienkāršosim aprēķinus.

Ilustrējošs piemērs un noteikums.

Apskatīsim piemēru: . Izteiksmes vērtību var atrast, pievienojot 2 un 5 un pēc tam iegūstot iegūto skaitli ar pretējo zīmi. Mēs iegūstam -7.

No otras puses, tādu pašu rezultātu var iegūt, saskaitot pretējos skaitļus sākotnējiem.

Formulēsim noteikumu:

1. piemērs.

2. piemērs.

Noteikums nemainās, ja iekavās ir nevis divi, bet trīs vai vairāk termini.

3. piemērs.

komentēt. Zīmes ir apgrieztas tikai terminu priekšā.

Lai atvērtu iekavas, šajā gadījumā ir jāatceras sadales īpašība.

Vispirms reiziniet pirmo iekava ar 2 un otro ar 3.

Pirms pirmās iekavas ir zīme “+”, kas nozīmē, ka zīmes ir jāatstāj nemainīgas. Pirms otrās zīmes ir zīme “-”, tāpēc visas zīmes ir jāmaina uz pretējām

Bibliogrāfija

1. Viļenkins N.J., Žohovs V.I., Česnokovs A.S., Švartsbērda S.I. Matemātika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.g.
2. Merzļaks A.G., Polonskis V.V., Jakirs M.S. Matemātika 6. klase. - ģimnāzija, 2006. gads.
3. Depmans I.Ya., Viļenkins N.Ya. Aiz matemātikas mācību grāmatas lappusēm. - Apgaismība, 1989. gads.
4. Rurukins A.N., Čaikovskis I.V. Uzdevumi matemātikas kursa 5.-6.klasei - ZSh MEPhI, 2011.g.
5. Rurukins A.N., Sočilovs S.V., Čaikovskis K.G. Matemātika 5.-6. Rokasgrāmata MEPhI neklātienes skolas 6. klases skolēniem. - ZSh MEPhI, 2011.
6. Ševrins L.N., Geins A.G., Korjakovs I.O., Volkovs M.V. Matemātika: Mācību grāmata-sarunu biedrs 5.-6.klasei vidusskola. Matemātikas skolotāja bibliotēka. - Apgaismība, 1989. gads.

1. Tiešsaistes testi matemātikā ().
2. Jūs varat lejupielādēt 1.2. punktā norādītos. grāmatas ().

Mājasdarbs

1. Viļenkins N.J., Žohovs V.I., Česnokovs A.S., Švartsbērda S.I. Matemātika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (saiti sk. 1.2.)
2. Mājas darbs: Nr. 1254, Nr. 1255, Nr. 1256 (b, d)
3. Citi uzdevumi: Nr.1258(c), Nr.1248

Piektajā gadsimtā pirms mūsu ēras sengrieķu filozofs Zenons no Elejas formulēja savas slavenās aporijas, no kurām slavenākā ir aporija “Ahillejs un bruņurupucis”. Lūk, kā tas izklausās:

Pieņemsim, ka Ahillejs skrien desmit reizes ātrāk nekā bruņurupucis un ir tūkstoš soļu aiz tā. Laikā, kas nepieciešams Ahillam, lai noskrietu šo distanci, bruņurupucis rāpos simts soļus tajā pašā virzienā. Kad Ahillejs noskrien simts soļus, bruņurupucis rāpo vēl desmit soļus utt. Process turpināsies bezgalīgi, Ahillejs nekad nepanāks bruņurupuci.

Šī argumentācija kļuva par loģisku šoku visām nākamajām paaudzēm. Aristotelis, Diogēns, Kants, Hēgelis, Hilberts... Viņi visi tā vai citādi uzskatīja Zenona aporiju. Šoks bija tik spēcīgs, ka " ... diskusijas turpinās līdz šai dienai, zinātnieku aprindās vēl nav izdevies nonākt pie vienota viedokļa par paradoksu būtību ... jautājuma izpētē tika iesaistīta matemātiskā analīze, kopu teorija, jaunas fizikālās un filozofiskās pieejas ; neviens no tiem nekļuva par vispārpieņemtu problēmas risinājumu..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Visi saprot, ka tiek muļķoti, bet neviens nesaprot, no kā sastāv maldināšana.

No matemātikas viedokļa Zenons savā aporijā skaidri demonstrēja pāreju no kvantitātes uz . Šī pāreja nozīmē piemērošanu, nevis pastāvīgus. Cik es saprotu, matemātiskais aparāts mainīgo mērvienību izmantošanai vai nu vēl nav izstrādāts, vai arī tas nav piemērots Zenona aporijai. Pielietojot mūsu ierasto loģiku, mēs nonākam slazdā. Mēs, pateicoties domāšanas inercei, abpusējai vērtībai piemērojam nemainīgas laika vienības. No fiziskā viedokļa tas izskatās pēc laika palēnināšanās, līdz tas pilnībā apstājas brīdī, kad Ahillejs panāk bruņurupuci. Ja laiks apstājas, Ahillejs vairs nevar apsteigt bruņurupuci.

Ja pagriežam savu ierasto loģiku otrādi, viss nostājas savās vietās. Ahillejs skrien nemainīgā ātrumā. Katrs nākamais viņa ceļa posms ir desmit reizes īsāks nekā iepriekšējais. Attiecīgi tās pārvarēšanai pavadītais laiks ir desmit reizes mazāks nekā iepriekšējā. Ja šajā situācijā pielietojam jēdzienu “bezgalība”, tad būtu pareizi teikt: “Ahillejs bezgalīgi ātri panāks bruņurupuci”.

Kā izvairīties no šīs loģiskās lamatas? Paliec nemainīgas vienības laika mērījumi un neiet uz abpusēji. Zenona valodā tas izskatās šādi:

Laikā, kas vajadzīgs Ahillam, lai noskrietu tūkstoš soļu, bruņurupucis rāpos simts soļus tajā pašā virzienā. Nākamajā laika intervālā, kas vienāds ar pirmo, Ahillejs noskrien vēl tūkstoš soļu, un bruņurupucis rāpos simts soļus. Tagad Ahillejs ir astoņsimt soļu priekšā bruņurupucim.

Šī pieeja adekvāti apraksta realitāti bez jebkādiem loģiskiem paradoksiem. Bet tā nav pilnīgs risinājums Problēmas. Einšteina apgalvojums par gaismas ātruma neatvairāmību ir ļoti līdzīgs Zenona aporijai “Ahillejs un bruņurupucis”. Mums šī problēma vēl ir jāpēta, jāpārdomā un jāatrisina. Un risinājums jāmeklē nevis bezgala lielos skaitļos, bet mērvienībās.

Vēl viena interesanta Zenona aporija stāsta par lidojošu bultu:

Lidojoša bulta ir nekustīga, jo tā atrodas miera stāvoklī katrā laika brīdī, un, tā kā tā atrodas miera stāvoklī, tā vienmēr atrodas miera stāvoklī.

Šajā aporijā loģiskais paradokss tiek pārvarēts ļoti vienkārši - pietiek precizēt, ka katrā laika brīdī dažādos telpas punktos atrodas lidojoša bulta, kas patiesībā ir kustība. Šeit ir jāatzīmē vēl viens punkts. No vienas automašīnas fotogrāfijas uz ceļa nav iespējams noteikt ne tās kustības faktu, ne attālumu līdz tai. Lai noteiktu, vai automašīna pārvietojas, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas uzņemtas no viena un tā paša punkta dažādos laika punktos, taču jūs nevarat noteikt attālumu no tām. Lai noteiktu attālumu līdz automašīnai, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas vienā brīdī uzņemtas no dažādiem telpas punktiem, bet no tām nevar noteikt kustības faktu (protams, joprojām ir nepieciešami papildu dati aprēķiniem, trigonometrija jums palīdzēs ). Uz ko vēlos norādīt Īpaša uzmanība, ir tas, ka divi punkti laikā un divi punkti telpā ir dažādas lietas, kuras nevajadzētu jaukt, jo tās sniedz dažādas izpētes iespējas.

Trešdiena, 2018. gada 4. jūlijs

Atšķirības starp kopu un multikopu ir ļoti labi aprakstītas Vikipēdijā. Paskatīsimies.

Kā redzat, “kopā nevar būt divi identiski elementi”, bet, ja komplektā ir identiski elementi, šādu kopu sauc par “multisetu”. Saprātīgas būtnes nekad nesapratīs tik absurdu loģiku. Tas ir runājošu papagaiļu un apmācītu pērtiķu līmenis, kuriem nav saprāta no vārda “pilnīgi”. Matemātiķi darbojas kā parasti pasniedzēji, sludinot mums savas absurdās idejas.

Kādreiz tiltu būvējušie inženieri, testējot tiltu, atradās laivā zem tilta. Ja tilts sabruka, viduvējais inženieris nomira zem viņa radītajām drupām. Ja tilts varēja izturēt slodzi, talantīgais inženieris uzbūvēja citus tiltus.

Neatkarīgi no tā, kā matemātiķi slēpjas aiz frāzes "piedomājiet pie manis, es esmu mājā" vai, pareizāk sakot, "matemātika pēta abstraktus jēdzienus", ir viena nabassaite, kas tos nesaraujami saista ar realitāti. Šī nabassaite ir nauda. Pielietosim matemātisko kopu teoriju pašiem matemātiķiem.

Ļoti labi mācījāmies matemātiku un tagad sēžam pie kases, izsniedzam algas. Tātad matemātiķis nāk pie mums par savu naudu. Mēs viņam noskaitām visu summu un izklājam uz sava galda dažādās kaudzēs, kurās ievietojam viena un tā paša nomināla banknotes. Tad mēs no katras kaudzes paņemam vienu rēķinu un iedodam matemātiķim viņa “matemātisko algas komplektu”. Paskaidrosim matemātiķim, ka atlikušos rēķinus viņš saņems tikai tad, kad pierādīs, ka kopa bez identiskiem elementiem nav vienāda ar kopu ar identiskiem elementiem. Šeit sākas jautrība.

Pirmkārt, derēs deputātu loģika: “Uz citiem to var attiecināt, bet uz mani nē!” Tad viņi sāks mūs pārliecināt, ka viena un tā paša nomināla vekseļiem ir dažādi vekseļu numuri, kas nozīmē, ka tos nevar uzskatīt par vienādiem elementiem. Labi, skaitīsim algas monētās – uz monētām nav skaitļu. Šeit matemātiķis sāks izmisīgi atcerēties fiziku: dažādās monētās ir atšķirīgs netīrumu daudzums, kristāla struktūra un atomu izvietojums katrai monētai ir unikāls...

Un tagad man ir visvairāk interese Jautāt: kur ir līnija, aiz kuras multikopas elementi pārvēršas par kopas elementiem un otrādi? Tāda līnija neeksistē – visu izlemj šamaņi, zinātne te pat ne tuvu nemelo.

Apskatīt šeit. Mēs izvēlamies futbola stadionus ar vienādu laukuma laukumu. Lauku platības ir vienādas – tas nozīmē, ka mums ir multikopa. Bet, ja paskatāmies uz šo pašu stadionu nosaukumiem, sanāk daudz, jo nosaukumi ir dažādi. Kā redzat, viena un tā pati elementu kopa ir gan kopa, gan multikopa. Kura ir pareiza? Un te matemātiķis-šamanis-sharpis izvelk no piedurknes trumpju dūzi un sāk mums stāstīt vai nu par setu, vai par multisetu. Jebkurā gadījumā viņš mūs pārliecinās, ka viņam ir taisnība.

Lai saprastu, kā mūsdienu šamaņi darbojas ar kopu teoriju, saistot to ar realitāti, pietiek atbildēt uz vienu jautājumu: kā vienas kopas elementi atšķiras no citas kopas elementiem? Es jums parādīšu bez "iedomājams kā viens veselums" vai "nav iedomājams kā vienots veselums".

Svētdiena, 2018. gada 18. marts

Skaitļa ciparu summa ir šamaņu deja ar tamburīnu, kam nav nekāda sakara ar matemātiku. Jā, matemātikas stundās mums māca atrast skaitļa ciparu summu un to izmantot, bet tāpēc viņi ir šamaņi, lai mācītu saviem pēcnācējiem prasmes un gudrību, pretējā gadījumā šamaņi vienkārši izmirs.

Vai jums ir nepieciešams pierādījums? Atveriet Wikipedia un mēģiniet atrast lapu "Ciparu ciparu summa". Viņa neeksistē. Matemātikā nav formulas, ar kuru var atrast jebkura skaitļa ciparu summu. Galu galā skaitļi ir grafiski simboli, ar kuriem mēs rakstām skaitļus, un matemātikas valodā uzdevums izklausās šādi: "Atrodiet grafisko simbolu summu, kas attēlo jebkuru skaitli." Matemātiķi nevar atrisināt šo problēmu, bet šamaņi to var viegli izdarīt.

Izdomāsim, ko un kā mēs darām, lai atrastu dotā skaitļa ciparu summu. Tātad, pieņemsim skaitli 12345. Kas jādara, lai atrastu šī skaitļa ciparu summu? Apsvērsim visas darbības secībā.

1. Uzrakstiet numuru uz papīra lapas. Ko mēs esam izdarījuši? Mēs esam pārveidojuši skaitli grafiskā skaitļa simbolā. Šī nav matemātiska darbība.

2. Mēs sagriežam vienu iegūto attēlu vairākos attēlos, kas satur atsevišķus skaitļus. Attēla izgriešana nav matemātiska darbība.

3. Pārvērtiet atsevišķus grafiskos simbolus skaitļos. Šī nav matemātiska darbība.

4. Pievienojiet iegūtos skaitļus. Tagad tā ir matemātika.

Skaitļa 12345 ciparu summa ir 15. Tie ir “griešanas un šūšanas kursi”, kurus māca šamaņi un kurus izmanto matemātiķi. Bet tas vēl nav viss.

No matemātiskā viedokļa nav nozīmes, kurā skaitļu sistēmā rakstām skaitli. Tātad, iekšā dažādas sistēmas Aprēķinos viena un tā paša skaitļa ciparu summa būs atšķirīga. Matemātikā skaitļu sistēma tiek norādīta kā apakšindekss pa labi no skaitļa. AR liels skaits 12345 Negribu mānīt galvu, paskatīsimies uz ciparu 26 no raksta par . Rakstīsim šo skaitli binārā, oktālā, decimālā un heksadecimālā skaitļu sistēmā. Mēs neskatīsimies uz katru soli mikroskopā; mēs to jau esam izdarījuši. Apskatīsim rezultātu.

Kā redzat, dažādās skaitļu sistēmās viena un tā paša skaitļa ciparu summa ir atšķirīga. Šim rezultātam nav nekāda sakara ar matemātiku. Tas ir tāpat kā, ja jūs noteiktu taisnstūra laukumu metros un centimetros, jūs iegūtu pilnīgi atšķirīgus rezultātus.

Nulle visās skaitļu sistēmās izskatās vienādi, un tai nav ciparu summas. Tas ir vēl viens arguments par labu tam, ka. Jautājums matemātiķiem: kā matemātikā tiek apzīmēts kaut kas, kas nav skaitlis? Matemātiķiem nekas neeksistē, izņemot skaitļus? Es to varu atļauties šamaņiem, bet ne zinātniekiem. Realitāte nav tikai skaitļi.

Iegūtais rezultāts jāuzskata par pierādījumu tam, ka skaitļu sistēmas ir skaitļu mērvienības. Galu galā mēs nevaram salīdzināt skaitļus ar dažādām mērvienībām. Ja vienas un tās pašas darbības ar dažādām viena un tā paša lieluma mērvienībām noved pie dažādiem rezultātiem pēc to salīdzināšanas, tad tam nav nekāda sakara ar matemātiku.

Kas ir īstā matemātika? Tas ir tad, kad rezultāts matemātiskā darbība nav atkarīgs no skaitļa lieluma, izmantotās mērvienības un darbības veicēja.

Pieraksts uz durvīm Viņš atver durvis un saka:

Ak! Vai šī nav sieviešu tualete?
- Jauna sieviete! Šī ir laboratorija dvēseļu indefiliskā svētuma izpētei to pacelšanās debesīs laikā! Halo virsū un bulta uz augšu. Kāda vēl tualete?

Sieviete... Oreols augšpusē un bultiņa uz leju ir vīriešu kārtas.

Ja šāds dizaina mākslas darbs jūsu acu priekšā pazib vairākas reizes dienā,

Tad nav pārsteidzoši, ka pēkšņi savā automašīnā atrodat dīvainu ikonu:

Es personīgi cenšos saskatīt mīnus četrus grādus kakājošā cilvēkā (viena bilde) (vairāku bilžu kompozīcija: mīnusa zīme, cipars četri, grādu apzīmējums). Un es nedomāju, ka šī meitene ir muļķe, kas nezina fiziku. Viņai vienkārši ir spēcīgs stereotips par grafisko attēlu uztveri. Un matemātiķi mums to visu laiku māca. Šeit ir piemērs.

1A nav “mīnus četri grādi” vai “viens a”. Tas ir "kakājošais vīrietis" jeb skaitlis "divdesmit seši". heksadecimālā sistēma Izrēķināšanās. Tie cilvēki, kuri pastāvīgi strādā šajā ciparu sistēmā, automātiski uztver ciparu un burtu kā vienu grafisku simbolu.

A+(b + c) var rakstīt bez iekavām: a+(b + c)=a + b + c. Šo darbību sauc par atvēršanas iekavām.

1. piemērs. Atvērsim iekavas izteiksmē a + (- b + c).

Risinājums. a + (-b+c) = a + ((-b) + c)=a + (-b) + c = a-b + c.

Ja iekavās ir zīme “+”, tad iekavas un šo “+” zīmi var izlaist, saglabājot iekavās esošo terminu zīmes. Ja pirmais vārds iekavās ir rakstīts bez zīmes, tad tas jāraksta ar “+” zīmi.

2. piemērs. Atradīsim izteiksmes vērtību -2,87+ (2,87-7,639).

Risinājums. Atverot iekavas, mēs iegūstam - 2,87 + (2,87 - 7,639) = - - 2,87 + 2,87 - 7,639 = 0 - 7,639 = - 7,639.

Lai atrastu izteiksmes vērtību - (- 9 + 5), jums jāpievieno cipariem-9 un 5 un atrodiet skaitli, kas ir pretējs iegūtajai summai: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.

To pašu vērtību var iegūt arī citā veidā: vispirms pierakstiet skaitļus, kas ir pretēji šiem terminiem (t.i., mainiet to zīmes), un pēc tam pievienojiet: 9 + (- 5) = 4. Tādējādi -(- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.

Lai uzrakstītu summu, kas ir pretēja vairāku terminu summai, jāmaina šo terminu zīmes.

Tas nozīmē - (a + b) = - a - b.

3. piemērs. Atradīsim izteiksmes vērtību 16 - (10 -18 + 12).

Risinājums. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.

Lai atvērtu iekavas, pirms kurām ir zīme “-”, šī zīme jāaizstāj ar “+”, mainot visu iekavās esošo terminu zīmes uz pretējām, un pēc tam atveriet iekavas.

4. piemērs. Atradīsim izteiksmes vērtību 9,36-(9,36 - 5,48).

Risinājums. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (-9,36 + 5,48) = = 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5,48.

Iekavu paplašināšana un komutatīvo un asociatīvo īpašību pielietošana papildinājumsļauj vienkāršot aprēķinus.

5. piemērs. Atradīsim izteiksmes vērtību (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.

Risinājums. Vispirms atveram iekavas un pēc tam atsevišķi atradīsim visu pozitīvo summu un atsevišķi visu summu negatīvi skaitļi un visbeidzot saskaitiet rezultātus:

(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.

6. piemērs. Atradīsim izteiksmes vērtību

Risinājums. Vispirms iedomāsimies katru terminu kā to veselo skaitļu un daļskaitļu summu, pēc tam atveriet iekavas, pēc tam pievienojiet veselus skaitļus un atsevišķi daļēja daļas un visbeidzot saskaitiet rezultātus:

Kā atvērt iekavas, pirms kurām ir “+” zīme? Kā var atrast izteiksmes vērtību, kas ir pretēja vairāku skaitļu summai? Kā izvērst iekavas, pirms kurām ir zīme “-”?

1218. Atveriet iekavas:

a) 3,4+(2,6+ 8,3); c) m+(n-k);

b) 4,57+(2,6 - 4,57); d) c+(-a+b).

1219. Atrodi izteiciena nozīmi:

1220. Atveriet iekavas:

a) 85+(7,8+ 98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4,7 -17)+7,5; e) -a + (m-2,6); h) -(a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(- a-b); i) (m-n)-(p-k).

1221. Atveriet iekavas un atrodiet izteiciena nozīmi:

1222. Vienkāršojiet izteiksmi:

1223. Rakstīt summa divus izteicienus un vienkāršojiet to:

a) - 4 - m un m + 6,4; d) a+b un p - b
b) 1,1+a un -26-a; e) - m + n un -k - n;
c) a + 13 un -13 + b; e)m - n un n - m.

1224. Uzrakstiet divu izteiksmju atšķirību un vienkāršojiet to:

1226. Izmantojiet vienādojumu, lai atrisinātu uzdevumu:

a) Vienā plauktā ir 42 grāmatas, otrā - 34. No otrā plaukta tika izņemtas vairākas grāmatas, un no pirmā plaukta tika izņemts tik daudz grāmatu, cik palika otrajā. Pēc tam pirmajā plauktā bija palikušas 12 grāmatas. Cik grāmatas tika izņemtas no otrā plaukta?

b) Pirmajā klasē mācās 42 skolēni, otrajā par 3 skolēniem mazāk nekā trešajā. Cik skolēnu ir trešajā klasē, ja šajās trīs klasēs ir 125 skolēni?

1227. Atrodi izteiciena nozīmi:

1228. Rēķini mutiski:

1229. Atrast augstākā vērtība izteicieni:

1230. Norādiet 4 secīgus veselus skaitļus, ja:

a) mazākais no tiem ir -12; c) mazākais no tiem ir n;
b) lielākais no tiem ir -18; d) lielākais no tiem ir vienāds ar k.

Nodarbības saturs nodarbību piezīmes atbalsta ietvarstundu prezentācijas paātrināšanas metodes interaktīvās tehnoloģijas Prakse uzdevumi un vingrinājumi pašpārbaudes darbnīcas, apmācības, gadījumi, uzdevumi mājasdarbi diskusijas jautājumi retoriski jautājumi no studentiem Ilustrācijas audio, video klipi un multivide fotogrāfijas, attēli, grafikas, tabulas, diagrammas, humors, anekdotes, joki, komiksi, līdzības, teicieni, krustvārdu mīklas, citāti Papildinājumi tēzes raksti triki zinātkārajiem bērnu gultiņas mācību grāmatas pamata un papildu terminu vārdnīca citi Mācību grāmatu un stundu pilnveidošanakļūdu labošana mācību grāmatā fragmenta atjaunināšana mācību grāmatā, inovācijas elementi stundā, novecojušo zināšanu aizstāšana ar jaunām Tikai skolotājiem ideālas nodarbības kalendāra plāns uz gadu vadlīnijas diskusiju programmas Integrētās nodarbības

Iekavu galvenā funkcija ir mainīt darbību secību, aprēķinot vērtības. Piemēram, V skaitliski\(5·3+7\) vispirms tiks aprēķināts reizinājums un pēc tam saskaitīšana: \(5·3+7 =15+7=22\). Bet izteiksmē \(5·(3+7)\) vispirms tiks aprēķināta saskaitīšana iekavās un tikai pēc tam reizināšana: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Piemērs. Izvērsiet kronšteinu: \(-(4m+3)\).
Risinājums : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Piemērs. Atveriet iekava un ievadiet līdzīgus terminus \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Risinājums : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Piemērs. Izvērsiet iekavas \(5(3-x)\).
Risinājums : iekavās ir \(3\) un \(-x\), un pirms iekavas ir piecinieks. Tas nozīmē, ka katrs iekavas elements tiek reizināts ar \(5\) — es jums to atgādinu Reizināšanas zīme starp skaitli un iekavām nav rakstīta matemātikā, lai samazinātu ierakstu lielumu.

Piemērs. Izvērsiet iekavas \(-2(-3x+5)\).
Risinājums : tāpat kā iepriekšējā piemērā, \(-3x\) un \(5\) iekavās tiek reizināti ar \(-2\).

Piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Risinājums : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Atliek apsvērt pēdējo situāciju.

Reizinot iekavu ar iekavu, katrs pirmās iekavas vārds tiek reizināts ar katru otrās iekavas vārdu:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Piemērs. Izvērsiet iekavas \((2-x)(3x-1)\).
Risinājums : Mums ir iekavu produkts, un to var nekavējoties paplašināt, izmantojot iepriekš minēto formulu. Bet, lai neapjuktu, darīsim visu soli pa solim.
1. darbība. Noņemiet pirmo iekavu — reiziniet katru tās vārdu ar otro iekava:

2. darbība. Izvērsiet iekavu un koeficienta produktus, kā aprakstīts iepriekš:
- Pirmās lietas vispirms...

Tad otrais.

3. darbība. Tagad mēs reizinām un parādām līdzīgus terminus:

Nav nepieciešams tik detalizēti aprakstīt visas pārvērtības, tās var pavairot uzreiz. Bet, ja jūs tikai mācāties atvērt iekavas, rakstiet detalizēti, būs mazāka iespēja kļūdīties.

Piezīme visai sadaļai. Patiesībā jums nav jāatceras visi četri noteikumi, jums ir jāatceras tikai viens, šis: \(c(a-b)=ca-cb\) . Kāpēc? Jo, ja c vietā aizstājat vienu, jūs iegūsit noteikumu \((a-b)=a-b\) . Un, ja mēs aizstājam mīnus viens, mēs iegūstam noteikumu \(-(a-b)=-a+b\) . Nu, ja aizstājat citu iekavu c vietā, varat iegūt pēdējo noteikumu.

Iekavas iekavās

Dažreiz praksē rodas problēmas ar iekavām, kas ir ligzdotas citās iekavās. Šeit ir šāda uzdevuma piemērs: vienkāršojiet izteiksmi \(7x+2(5-(3x+y))\).

Lai veiksmīgi atrisinātu šādus uzdevumus, jums ir nepieciešams:
- rūpīgi jāsaprot iekavu ligzdošana - kura kurā atrodas;
- secīgi atveriet kronšteinus, sākot, piemēram, ar visdziļāko.

Tas ir svarīgi, atverot kādu no kronšteiniem nepieskarieties pārējai izteiksmei, vienkārši pārrakstot to kā ir.
Kā piemēru aplūkosim iepriekš rakstīto uzdevumu.

Piemērs. Atveriet iekavas un ievadiet līdzīgus vārdus \(7x+2(5-(3x+y))\).
Risinājums:

Piemērs. Atveriet iekavas un ievadiet līdzīgus terminus \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Risinājums :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Šeit ir trīskārša iekavu ligzda. Sāksim ar visdziļāko (izcelts zaļā krāsā). Kronšteina priekšā ir pluss, tāpēc tas vienkārši nāk nost.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Tagad jums ir jāatver otrā kronšteina, starpposma. Bet pirms tam mēs vienkāršosim spokiem līdzīgo terminu izteiksmi šajā otrajā iekavā.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Tagad mēs atveram otro kronšteinu (izcelts zilā krāsā). Pirms iekava ir faktors – tāpēc katrs iekavās esošais termins tiek reizināts ar to.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Un atveriet pēdējo iekava. Iekavas priekšā ir mīnusa zīme, tāpēc visas zīmes ir apgrieztas.

Iekavu izvēršana ir matemātikas pamatprasme. Bez šīs prasmes 8. un 9. klasē nav iespējams iegūt atzīmi virs C. Tāpēc es iesaku jums labi izprast šo tēmu.