Proces hľadania najmenších a najväčších hodnôt funkcie na segmente pripomína fascinujúci let okolo objektu (graf funkcie) v helikoptére, streľbu na určité body z dela na veľké vzdialenosti a výber veľmi špeciálne body z týchto bodov za kontrolné výstrely. Body sa vyberajú určitým spôsobom a podľa určité pravidlá. Podľa akých pravidiel? Budeme o tom hovoriť ďalej.
Ak je funkcia r = f(X) je spojitá na intervale [ a, b], potom dosiahne tento segment najmenej A najvyššie hodnoty . To sa môže stať buď v extrémne body alebo na koncoch segmentu. Preto nájsť najmenej A najväčšie hodnoty funkcie , súvislé na intervale [ a, b], musíte vypočítať všetky jeho hodnoty kritických bodov a na koncoch segmentu a potom z nich vyberte najmenší a najväčší.
Nechajte, napríklad, musíte určiť najvyššia hodnota funkcie f(X) na segmente [ a, b]. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť všetky jeho kritické body ležiace na [ a, b] .
Kritický bod nazývaný bod, v ktorom funkcia definovaná, a jej derivát buď sa rovná nule alebo neexistuje. Potom by ste mali vypočítať hodnoty funkcie v kritických bodoch. A nakoniec je potrebné porovnať hodnoty funkcie v kritických bodoch a na koncoch segmentu ( f(a) A f(b)). Najväčšie z týchto čísel bude najväčšia hodnota funkcie na segmente [a, b] .
Problémy s nájdením najmenšie funkčné hodnoty .
Spoločne hľadáme najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie
Príklad 1. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie 
na segmente [-1, 2]
.
Riešenie. Nájdite deriváciu tejto funkcie. Prirovnajme deriváciu k nule () a získajme dva kritické body: a . Na nájdenie najmenšej a najväčšej hodnoty funkcie na danom segmente stačí vypočítať jej hodnoty na koncoch segmentu a v bode, pretože bod nepatrí do segmentu [-1, 2]. Tieto funkčné hodnoty sú: , , . Z toho vyplýva najmenšia funkčná hodnota(označené červenou farbou na grafe nižšie), rovné -7, sa dosiahne na pravom konci segmentu - v bode , a najväčší(na grafe aj červená), rovná sa 9, - v kritickom bode.
Ak je funkcia v určitom intervale spojitá a tento interval nie je segmentom (ale je napr. intervalom; rozdiel medzi intervalom a segmentom: hraničné body intervalu nie sú zahrnuté v intervale, ale hraničné body segmentu sú zahrnuté v segmente), potom medzi hodnotami funkcie nemusí byť najmenšia a najväčšia. Takže napríklad funkcia zobrazená na obrázku nižšie je spojitá na ]-∞, +∞[ a nemá najväčšiu hodnotu.
Avšak pre akýkoľvek interval (uzavretý, otvorený alebo nekonečný) platí nasledujúca vlastnosť spojitých funkcií.
Príklad 4. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente [-1, 3] .
Riešenie. Deriváciu tejto funkcie nájdeme ako deriváciu kvocientu:
.
Deriváciu prirovnáme k nule, čím dostaneme jednotku kritický bod: . Patrí do segmentu [-1, 3] . Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:
Porovnajme tieto hodnoty. Záver: rovný -5/13, v bode a najvyššia hodnota rovná 1 v bode .
Naďalej spoločne hľadáme najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie
Sú učitelia, ktorí pri téme hľadania najmenších a najväčších hodnôt funkcie nedávajú študentom na riešenie príklady, ktoré sú zložitejšie ako tie, o ktorých sme práve hovorili, teda také, v ktorých je funkcia polynóm alebo zlomok, ktorého čitateľom a menovateľom sú polynómy. Nebudeme sa však obmedzovať na takéto príklady, pretože medzi učiteľmi sú takí, ktorí radi nútia študentov premýšľať v plnom rozsahu (tabuľka derivátov). Preto sa použije logaritmická a goniometrická funkcia.
Príklad 6. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente .
Riešenie. Deriváciu tejto funkcie nájdeme ako derivát produktu :
Deriváciu prirovnáme k nule, čo dáva jeden kritický bod: . Patrí do segmentu. Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:
Výsledok všetkých akcií: funkcia dosiahne najnižšia hodnota , rovný 0, v bode a v bode a najvyššia hodnota, rovné e², v bode.
Príklad 7. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie 
na segmente .
Riešenie. Nájdite deriváciu tejto funkcie:
Derivát prirovnáme k nule:
Jediný kritický bod patrí segmentu. Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:
Záver: funkcia dosiahne svoju minimálnu hodnotu, rovný , v bode a najvyššia hodnota, rovný , v bode .
V aplikovaných extrémnych problémoch hľadanie najmenších (maximálnych) hodnôt funkcie spravidla vedie k nájdeniu minima (maxima). Väčší praktický význam však nemajú samotné minimá alebo maximá, ale tie hodnoty argumentu, pri ktorých sa dosahujú. Pri riešení aplikovaných problémov vzniká ďalšia ťažkosť - skladanie funkcií, ktoré popisujú uvažovaný jav alebo proces.
Príklad 8. Nádrž s objemom 4, ktorá má tvar kvádra so štvorcovým dnom a je otvorená hore, musí byť pocínovaná. Akú veľkosť by mala mať nádrž, aby sa na jej zakrytie spotrebovalo čo najmenej materiálu?
Riešenie. Nechaj X- základná strana, h- výška nádrže, S- jeho povrch bez krytu, V- jeho objem. Plocha nádrže je vyjadrená vzorcom, t.j. je funkciou dvoch premenných. Vyjadriť S ako funkciu jednej premennej používame skutočnosť, že , odkiaľ . Nahradenie nájdeného výrazu h do vzorca pre S:
Poďme preskúmať túto funkciu do jej extrému. Je definovaný a diferencovateľný všade v ]0, +∞[ , a
.
Deriváciu prirovnáme k nule () a nájdeme kritický bod. Okrem toho, keď derivát neexistuje, ale táto hodnota nie je zahrnutá v oblasti definície, a preto nemôže byť extrémnym bodom. Takže toto je jediný kritický bod. Skontrolujme to na prítomnosť extrému pomocou druhého dostatočného znaku. Poďme nájsť druhú deriváciu. Keď je druhá derivácia väčšia ako nula (). To znamená, že keď funkcia dosiahne minimum 
. Od tohto minimum je jediný extrém tejto funkcie, je to jej najmenšia hodnota. Takže strana základne nádrže by mala byť 2 m a jej výška by mala byť .
Príklad 9. Z bodu A nachádza na železničnej trati, do bodu S, ktorý sa nachádza v určitej vzdialenosti od neho l, treba prepravovať náklad. Náklady na prepravu jednotky hmotnosti na jednotku vzdialenosti po železnici sa rovnajú , po diaľnici sa rovnajú . Do akého bodu M linky železnice mala by sa postaviť diaľnica na prepravu nákladu z A V S bola najhospodárnejšia (oddiel AB predpokladá sa, že železnica je rovná)?
V tomto článku budem hovoriť o algoritmus na nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie, minimálny a maximálny počet bodov.
Z teórie sa nám to určite bude hodiť derivačná tabuľka A pravidlá diferenciácie. Všetko je na tomto tanieri:
Algoritmus na nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty.
Je pre mňa pohodlnejšie to vysvetliť konkrétny príklad. Zvážte:
Príklad: Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y=x^5+20x^3–65x na segmente [–4;0].
Krok 1. Berieme derivát.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Krok 2. Hľadanie extrémnych bodov.
Extrémny bod nazývame tie body, v ktorých funkcia dosiahne svoju najväčšiu alebo minimálnu hodnotu.
Ak chcete nájsť extrémne body, musíte prirovnať deriváciu funkcie k nule (y" = 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Teraz riešime túto bikvadratickú rovnicu a nájdené korene sú našimi extrémnymi bodmi.
Takéto rovnice riešim nahradením t = x^2, potom 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Zmenšíme rovnicu o 5, dostaneme: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Urobíme opačnú zmenu x^2 = t:
X_(1 a 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 a 4) = ±sqrt(-13) (vylučujeme, nemôže existovať záporné čísla ak samozrejme nehovoríme o komplexných číslach)
Celkom: x_(1) = 1 a x_(2) = -1 - to sú naše extrémne body.
Krok 3. Určte najväčšiu a najmenšiu hodnotu.
Substitučná metóda.
V podmienke sme dostali segment [b][–4;0]. Bod x=1 nie je zahrnutý v tomto segmente. Takže o tom neuvažujeme. Ale okrem bodu x=-1 musíme zvážiť aj ľavú a pravá hranica nášho segmentu, teda body -4 a 0. Na to dosadíme všetky tieto tri body do pôvodnej funkcie. Všimnite si, že pôvodný je ten, ktorý je uvedený v podmienke (y=x^5+20x^3–65x), niektorí ľudia ho začnú dosadzovať do derivátu...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
To znamená, že najväčšia hodnota funkcie je [b]44 a je dosiahnutá v bode [b]-1, ktorý sa nazýva maximálny bod funkcie na segmente [-4; 0].
Rozhodli sme sa a dostali odpoveď, sme skvelí, môžete si oddýchnuť. Ale prestaň! Nezdá sa vám, že vypočítať y(-4) je nejako príliš náročné? V podmienkach obmedzeného času je lepšie použiť inú metódu, nazývam ju takto:
Prostredníctvom intervalov stálosti znamienka.
Tieto intervaly nájdeme pre deriváciu funkcie, teda pre našu bikvadratickú rovnicu.
Ja to robím takto. Nakreslím nasmerovaný segment. Body umiestňujem: -4, -1, 0, 1. Napriek tomu, že 1 v danom segmente nie je zahrnutá, treba si to ešte všimnúť, aby sa správne určili intervaly stálosti znamienka. Zoberme si nejaké číslo mnohonásobne väčšie ako 1, povedzme 100, a v duchu ho dosaďte do našej bikvadratickej rovnice 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Aj bez toho, aby sme čokoľvek spočítali, je zrejmé, že v bode 100 funkcia má znamienko plus. To znamená, že pre intervaly od 1 do 100 má znamienko plus. Pri prechode cez 1 (ideme sprava doľava) funkcia zmení znamienko na mínus. Pri prechode cez bod 0 si funkcia zachová svoje znamienko, pretože toto je len hranica segmentu a nie koreň rovnice. Pri prechode cez -1 funkcia opäť zmení znamienko na plus.
Z teórie vieme, že kde je derivácia funkcie (a presne pre ňu sme to nakreslili) zmení znamienko z plus na mínus (v našom prípade bod -1) funkcia dosiahne jeho lokálne maximum (y(-1)=44, ako bolo vypočítané skôr) na tomto segmente (to je logicky veľmi pochopiteľné, funkcia sa prestala zvyšovať, pretože dosiahla maximum a začala klesať).
V súlade s tým, kde derivácia funkcie zmení znamienko z mínus na plus, je dosiahnutý lokálne minimum funkcie. Áno, áno, tiež sme zistili, že bod lokálneho minima je 1 a y(1) je minimálna hodnota funkcie na segmente, povedzme od -1 do +∞. Upozorňujeme, že toto je len MIESTNE MINIMUM, teda minimum na určitom segmente. Keďže skutočné (globálne) minimum funkcie dosiahne niekde tam, na -∞.
Podľa môjho názoru je prvý spôsob jednoduchší teoreticky a druhý je jednoduchší z hľadiska aritmetických operácií, ale oveľa zložitejší z hľadiska teórie. Koniec koncov, niekedy existujú prípady, keď funkcia pri prechode cez koreň rovnice nezmení znamienko a vo všeobecnosti sa môžete s týmito lokálnymi, globálnymi maximami a minimami pomýliť, aj keď to budete musieť aj tak dobre ovládať, ak plánovať vstúpiť na technickú univerzitu (a prečo inak absolvovať profilovú jednotnú štátnu skúšku a vyriešiť túto úlohu). Ale prax a len prax vás naučí takéto problémy raz a navždy vyriešiť. A cvičiť môžete na našej stránke. Tu .
Ak máte nejaké otázky alebo vám niečo nie je jasné, určite sa pýtajte. Rád vám odpoviem a urobím zmeny a doplnky v článku. Pamätajte, že túto stránku tvoríme spoločne!
Najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie je najväčšia (najmenšia) akceptovaná hodnota ordináty na uvažovanom intervale.
Ak chcete nájsť najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu funkcie, musíte:
- Skontrolujte, ktoré stacionárne body sú zahrnuté v danom segmente.
- Vypočítajte hodnotu funkcie na koncoch segmentu a v stacionárnych bodoch z kroku 3
- Zo získaných výsledkov vyberte najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu.
Ak chcete nájsť maximálny alebo minimálny počet bodov, musíte:
- Nájdite deriváciu funkcie $f"(x)$
- Nájdite stacionárne body riešením rovnice $f"(x)=0$
- Faktor derivácie funkcie.
- Nakreslite súradnicovú čiaru, umiestnite na ňu stacionárne body a určte znamienka derivácie vo výsledných intervaloch pomocou zápisu v kroku 3.
- Nájdite maximálny alebo minimálny počet bodov podľa pravidla: ak v určitom bode derivácia zmení znamienko z plus na mínus, potom to bude maximálny bod (ak z mínus na plus, bude to minimálny bod). V praxi je vhodné použiť obrázok šípok na intervaloch: na intervale, kde je derivácia kladná, sa šípka ťahá nahor a naopak.
Tabuľka derivácií niektorých elementárnych funkcií:
| Funkcia | Derivát |
| $c$ | $0$ |
| $ x $ | $1$ |
| $x^n, n∈N$ | $nx^(n-1), n∈N$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $(1)/x(^n), n∈N$ | $-(n)/(x^(n+1)), n∈N$ |
| $√^n(x), n∈N$ | $(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(sin^2x)$ |
| $cos^2x$ | $-sin2x$ |
| $sin^2x$ | $sin2x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^xlna$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $log_(a)x$ | $(1)/(xlna)$ |
Základné pravidlá diferenciácie
1. Derivácia súčtu a rozdielu sa rovná derivácii každého člena
$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$
Nájdite deriváciu funkcie $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$
Derivácia súčtu a rozdielu sa rovná derivácii každého člena
$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$
2. Derivát produktu.
$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$
Nájdite deriváciu $f(x)=4x∙cosx$
$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$
3. Derivácia kvocientu
$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$
Nájdite deriváciu $f(x)=(5x^5)/(e^x)$
$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$
4. Derivát komplexná funkcia rovná súčinu derivátu vonkajšia funkcia na deriváciu vnútornej funkcie
$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$
$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$
Nájdite minimálny bod funkcie $y=2x-ln(x+11)+4$
1. Nájdite ODZ funkcie: $x+11>0; x>-11 $
2. Nájdite deriváciu funkcie $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$
3. Nájdite stacionárne body prirovnaním derivácie k nule
$(2x+21)/(x+11)=0$
Zlomok sa rovná nule, ak je čitateľ nula a menovateľ nie je nula.
$2x+21=0; x≠ -11 $
4. Narysujme si súradnicovú čiaru, umiestnime na ňu stacionárne body a určme znamienka derivácie vo výsledných intervaloch. Ak to chcete urobiť, nahraďte do derivácie ľubovoľné číslo z oblasti úplne vpravo, napríklad nulu.
$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$
5. V minimálnom bode derivácia zmení znamienko z mínus na plus, preto bod $-10,5$ je minimálny bod.
Odpoveď: $-10,5 $
Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie $y=6x^5-90x^3-5$ na segmente $[-5;1]$
1. Nájdite deriváciu funkcie $y′=30x^4-270x^2$
2. Prirovnajte deriváciu k nule a nájdite stacionárne body
$30x^4-270x^2=0$
Vyberme celkový faktor $30x^2$ zo zátvoriek
$30x^2(x^2-9)=0$
$30x^2(x-3)(x+3)=0$
Prirovnajme každý faktor k nule
$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$
$x=0;x=3;x=-3$
3. Vyberte stacionárne body, ktoré patria do daného segmentu $[-5;1]$
Stacionárne body $x=0$ a $x=-3$ nám vyhovujú
4. Z kroku 3 vypočítajte hodnotu funkcie na koncoch úsečky a v stacionárnych bodoch
