Že nekaj časa TheBat-ova vgrajena baza certifikatov za SSL ne deluje pravilno (ni jasno iz katerega razloga).

Pri pregledu objave se pojavi napaka:

Neznano potrdilo CA
Strežnik v seji ni predstavil korenskega potrdila in ustreznega korenskega potrdila ni bilo mogoče najti v imeniku.
Ta povezava ne more biti tajna. prosim
se obrnite na skrbnika strežnika.

In ponujajo vam izbiro odgovorov - DA / NE. In tako vsakič, ko odstranite pošto.

rešitev

V tem primeru morate standard implementacije S/MIME in TLS zamenjati z Microsoft CryptoAPI v nastavitvah TheBat!

Ker sem moral združiti vse datoteke v eno, sem najprej vse pretvoril doc datoteke v eno datoteko pdf (s programom Acrobat), nato pa jo preko spletnega pretvornika prenesli v fb2. Datoteke lahko pretvorite tudi posamično. Formati so lahko popolnoma kateri koli (vir) - doc, jpg in celo zip arhiv!

Ime strani ustreza bistvu :) Online Photoshop.

Posodobitev maj 2015

Našel sem še eno odlično stran! Še bolj priročno in funkcionalno za ustvarjanje popolnoma prilagojenega kolaža! To je spletno mesto http://www.fotor.com/ru/collage/. Uživajte za svoje zdravje. In sam ga bom uporabil.

V življenju sem naletel na problem popravila električnega štedilnika. Veliko stvari sem že naredil, veliko se naučil, s ploščicami pa sem imel nekako malo opraviti. Zamenjati je bilo potrebno kontakte na regulatorjih in gorilnikih. Pojavilo se je vprašanje - kako določiti premer gorilnika na električnem štedilniku?

Izkazalo se je, da je odgovor preprost. Ničesar vam ni treba meriti, na oko lahko preprosto določite, kakšno velikost potrebujete.

Najmanjši gorilnik- to je 145 milimetrov (14,5 centimetrov)

Srednji gorilnik- to je 180 milimetrov (18 centimetrov).

In končno, najbolj velik gorilnik- to je 225 milimetrov (22,5 centimetra).

Dovolj je, da določite velikost na oko in razumete, kakšen premer potrebujete gorilnik. Ko tega nisem vedel, so me skrbele te dimenzije, nisem vedel, kako izmeriti, po katerem robu naj krmarim itd. Zdaj sem pametna :) Upam, da sem tudi tebi pomagala!

V življenju sem se soočil s takšno težavo. Mislim, da nisem edina.

Študij funkcije poteka po jasni shemi in od študenta zahteva dobro znanje osnovnih matematičnih konceptov, kot so domena definicije in vrednosti, zveznost funkcije, asimptota, ekstremne točke, pariteta, periodičnost itd. . Učenec mora znati prosto razlikovati funkcije in reševati enačbe, ki so lahko včasih zelo zapletene.

To pomeni, da ta naloga preizkuša pomembno plast znanja, vsaka vrzel v kateri bo postala ovira za pridobitev pravilne rešitve. Še posebej pogosto se težave pojavijo pri izdelavi grafov funkcij. Ta napaka je učitelju takoj opazna in lahko močno škoduje vaši oceni, tudi če je bilo vse ostalo narejeno pravilno. Tukaj lahko najdete problemi spletnega raziskovanja funkcij: študijski primeri, prenos rešitev, naročanje nalog.

Raziščite funkcijo in narišite graf: primeri in rešitve na spletu

Za vas smo pripravili veliko že pripravljenih funkcijskih študij, tako plačanih v rešilni knjigi kot brezplačnih v razdelku Primeri funkcijskih študij. Na podlagi teh rešenih nalog se boste lahko podrobneje seznanili z metodologijo izvajanja podobnih nalog in opravili raziskavo po analogiji.

Ponujamo že pripravljeni primeri popolna študija in risanje funkcij najpogostejših vrst: polinomov, frakcijskih racionalnih, iracionalnih, eksponentnih, logaritemskih, trigonometrične funkcije. Vsakemu rešenemu problemu je priložen že pripravljen graf s poudarjenimi ključnimi točkami, asimptotami, maksimumi in minimumi, rešitev pa je izvedena z algoritmom za preučevanje funkcije.

Vsekakor pa vam bodo rešeni primeri v veliko pomoč, saj pokrivajo najbolj priljubljene vrste funkcij. Ponujamo vam na stotine že rešenih problemov, a kot veste, je na svetu neskončno število matematičnih funkcij in učitelji so veliki strokovnjaki za izumljanje vedno bolj kočljivih nalog za revne učence. Torej, dragi študentje, kvalificirana pomoč vam ne bo škodila.

Reševanje problemov raziskovanja funkcij po meri

V tem primeru vam bodo naši partnerji ponudili drugo storitev - popolna raziskava spletne funkcije naročiti. Naloga bo za vas opravljena v skladu z vsemi zahtevami za algoritem za reševanje tovrstnih problemov, kar bo zelo razveselilo vašega učitelja.

Za vas bomo naredili popolno študijo funkcije: poiskali bomo domeno definicije in domeno vrednosti, pregledali kontinuiteto in diskontinuiteto, vzpostavili pariteto, preverili periodičnost vaše funkcije in našli presečišča s koordinatnimi osemi. . In seveda naprej z uporabo diferencialnega računa: poiskali bomo asimptote, izračunali ekstreme, prevojne točke in zgradili sam graf.

Kako preučiti funkcijo in zgraditi njen graf?

Zdi se, da začenjam razumeti duhovno pronicljivi obraz voditelja svetovnega proletariata, avtorja zbranih del v 55 zvezkih ... Dolga pot se je začela z osnovnimi informacijami o funkcije in grafi, zdaj pa se delo na delovno intenzivni temi konča z logičnim rezultatom - člankom o popolni študiji funkcije. Dolgo pričakovana naloga je oblikovana takole:

Preučite funkcijo z metodami diferencialnega računa in zgradite njen graf na podlagi rezultatov študije

Ali na kratko: preučite funkcijo in zgradite graf.

Zakaj raziskovati? V preprostih primerih nam ne bo težko obravnavati elementarne funkcije, narišite graf, dobljen z uporabo elementarne geometrijske transformacije in tako naprej. Vendar lastnosti in grafične podobe več kompleksne funkciješe zdaleč niso očitne, zato je potrebna celotna študija.

Glavni koraki rešitve so povzeti v referenčnem gradivu Shema študije funkcij, to je vaš vodnik po razdelku. Tebani potrebujejo razlago teme po korakih, nekateri bralci ne vedo, kje začeti ali kako organizirati svoje raziskovanje, napredne študente pa morda zanima le nekaj točk. Toda kdorkoli ste, dragi obiskovalec, tukaj je predlagan povzetek z napotki na različne lekcije v najkrajši možni čas vas bo usmeril in usmeril v smeri zanimanja. Roboti točijo solze =) Priročnik je bil oblikovan kot pdf datoteka in je zasedel pravo mesto na strani Matematične formule in tabele.

Navajen sem razčleniti raziskavo funkcije na 5-6 točk:

6) Dodatne točke in graf glede na rezultate raziskave.

Kar zadeva končno dejanje, mislim, da je vsem vse jasno - zelo bo razočaranje, če bo v nekaj sekundah prečrtano in naloga vrnjena v popravek. PRAVILNA IN NATANČNA RISBA je glavni rezultat rešitve! Verjetno bo »prikril« analitične napake, napačen in/ali nepreviden urnik pa bo povzročil težave tudi pri odlično izvedeni študiji.

Treba je opozoriti, da se lahko v drugih virih število raziskovalnih točk, vrstni red njihovega izvajanja in slog oblikovanja bistveno razlikujejo od sheme, ki sem jo predlagal, vendar je v večini primerov povsem dovolj. Najenostavnejša različica problema je sestavljena iz samo 2-3 stopenj in je formulirana nekako takole: "raziščite funkcijo z uporabo derivata in zgradite graf" ali "raziščite funkcijo z uporabo 1. in 2. derivata, zgradite graf."

Seveda, če vaš priročnik podrobno opisuje drug algoritem ali vaš učitelj strogo zahteva, da se držite njegovih predavanj, potem boste morali nekaj prilagoditi rešitev. Nič težje kot zamenjati vilice motorne žage z žlico.

Preverimo funkcijo za sodo/liho:

Temu sledi predloga odgovora:
, kar pomeni, da ta funkcija ni soda ali liha.

Ker je funkcija zvezna na , potem navpične asimptote manjkajo.

Tudi poševnih asimptot ni.

Opomba : Opomnim vas, da višje red rasti, kot , zato je končna meja točno " plus neskončnost."

Ugotovimo, kako se funkcija obnaša v neskončnosti:

Z drugimi besedami, če gremo v desno, potem gre graf neskončno daleč navzgor, če gremo v levo, gre neskončno daleč navzdol. Da, pri enem vnosu sta tudi dve omejitvi. Če imate težave z dešifriranjem znakov, obiščite lekcijo o infinitezimalne funkcije.

Torej funkcija ni omejeno od zgoraj in ni omejeno od spodaj. Glede na to, da nimamo prelomnih točk, postane jasno obseg delovanja: – tudi poljubno realno število.

UPORABNA TEHNIČNA TEHNIKA

Vsaka stopnja naloge prinese nove informacije o grafu funkcije, zato je med rešitvijo priročno uporabiti nekakšno POSTAVITEV. Na osnutek narišimo kartezični koordinatni sistem. Kaj je že zagotovo znano? Prvič, graf nima asimptot, zato ni treba risati ravnih črt. Drugič, vemo, kako se funkcija obnaša v neskončnosti. Glede na analizo potegnemo prvi približek:

Upoštevajte, da zaradi kontinuiteta in dejstvo, da mora graf vsaj enkrat prečkati os. Ali pa je morda več presečišč?

3) Ničle funkcije in intervali konstantnega predznaka.

Najprej poiščemo presečišče grafa z ordinatno osjo. Enostavno je. Treba je izračunati vrednost funkcije pri:

En in pol nad morsko gladino.

Za iskanje presečišč z osjo (ničle funkcije) moramo rešiti enačbo in tu nas čaka neprijetno presenečenje:

Na koncu se skriva prost član, kar precej oteži nalogo.

Takšna enačba ima vsaj eno realno korenino, največkrat pa je ta korenina iracionalna. V najslabši pravljici nas čakajo trije prašički. Enačba je rešljiva s pomočjo t.i Cardano formule, vendar je poškodba papirja primerljiva s skoraj celotno študijo. V zvezi s tem je pametneje poskusiti izbrati vsaj enega, ustno ali v osnutku. cela korenina. Preverimo, ali so te številke:
- ni primeren;
- Tukaj je!

Sreča tukaj. V primeru neuspeha lahko preizkusite tudi , in če te številke ne ustrezajo, se bojim, da je zelo malo možnosti za donosno rešitev enačbe. Takrat je bolje, da raziskovalno točko popolnoma preskočite - morda bo kaj bolj jasno v zadnjem koraku, ko se bodo prebile dodatne točke. In če je koren (-e) očitno "slab", potem je bolje skromno molčati o intervalih konstantnosti znakov in risati bolj previdno.

Vendar imamo lep koren, zato delimo polinom brez ostanka:

Algoritem za deljenje polinoma s polinomom je podrobno obravnavan v prvem primeru lekcije Kompleksne omejitve.

Sčasoma leva stran izvirna enačba razpade v produkt:

In zdaj malo o zdrav načinživljenje. To seveda razumem kvadratne enačbe je treba rešiti vsak dan, a danes bomo naredili izjemo: enačbo ima dve pravi korenini.

Najdene vrednosti narišemo na številsko premico in intervalna metoda Določimo znake funkcije:


Torej v intervalih urnik se nahaja
pod osjo x in v intervalih – nad to osjo.

Ugotovitve nam omogočajo, da izboljšamo našo postavitev, drugi približek grafa pa je videti takole:

Upoštevajte, da mora imeti funkcija vsaj en maksimum na intervalu in vsaj en minimum na intervalu. Vendar še ne vemo, kolikokrat, kje in kdaj se bo urnik vrtel. Mimogrede, funkcija jih ima lahko neskončno veliko skrajnosti.

4) Naraščanje, padanje in ekstremi funkcije.

Poiščimo kritične točke:

Ta enačba ima dva realna korena. Postavimo jih na številsko premico in določimo znake odvoda:


Zato se funkcija poveča za in se zmanjša za.
Takrat funkcija doseže svoj maksimum: .
Na točki funkcija doseže minimum: .

Ugotovljena dejstva postavljajo našo predlogo v dokaj tog okvir:

Ni treba posebej poudarjati, da je diferencialni račun močna stvar. Naj končno razumemo obliko grafa:

5) Konveksnost, konkavnost in prevojne točke.

Poiščimo kritične točke drugega odvoda:

Opredelimo znake:


Graf funkcije je konveksen na in konkaven na . Izračunajmo ordinato prevojne točke: .

Skoraj vse je postalo jasno.

6) Še vedno je treba poiskati dodatne točke, ki vam bodo pomagale natančneje sestaviti graf in izvesti samotestiranje. V tem primeru jih je malo, vendar jih ne bomo zanemarili:

Naredimo risbo:

Zelena Točka prevoja je označena, dodatne točke pa so označene s križci. Urnik kubična funkcija je simetrična glede na svojo prevojno točko, ki se vedno nahaja strogo na sredini med maksimumom in minimumom.

Ko je naloga napredovala, sem priskrbel tri hipotetične vmesne risbe. V praksi je dovolj, da narišemo koordinatni sistem, označimo najdene točke in po vsaki točki raziskovanja v mislih ocenimo, kako bi lahko izgledal graf funkcije. Študentom z dobro stopnjo priprave ne bo težko opraviti takšne analize samo v svojih glavah, ne da bi vključili osnutek.

Če želite to rešiti sami:

Primer 2

Raziščite funkcijo in zgradite graf.

Tukaj je vse hitreje in bolj zabavno, približen vzorec zaključek ob koncu lekcije.

Študija frakcijskih racionalnih funkcij razkriva številne skrivnosti:

Primer 3

Uporabite metode diferencialnega računa za preučevanje funkcije in na podlagi rezultatov študije sestavite njen graf.

rešitev: prva stopnja študije se ne razlikuje po nič posebnem, z izjemo luknje v območju definicije:

1) Funkcija je definirana in zvezna na celotni številski premici razen točke, domena: .

, kar pomeni, da ta funkcija ni soda ali liha.

Očitno je, da je funkcija neperiodična.

Graf funkcije predstavlja dve zvezni veji, ki se nahajata v levi in ​​desni polravnini - to je morda najpomembnejši zaključek 1. točke.

2) Asimptote, obnašanje funkcije v neskončnosti.

a) Z uporabo enostranskih limitov preučimo obnašanje funkcije blizu sumljive točke, kjer bi morala biti jasno navpična asimptota:

Dejansko funkcije vzdržijo neskončna vrzel na točki
in premica (os) je navpična asimptota grafične umetnosti.

b) Preverimo, ali obstajajo poševne asimptote:

Da, naravnost je poševna asimptota grafika, če.

Limitov nima smisla analizirati, saj je že jasno, da funkcija zajema svojo poševno asimptoto ni omejeno od zgoraj in ni omejeno od spodaj.

Druga točka študije je prinesla veliko pomembna informacija o funkciji. Naredimo grobo skico:

Sklep št. 1 se nanaša na intervale konstantnega predznaka. Pri "minus neskončnosti" se graf funkcije jasno nahaja pod osjo x, pri "plus neskončnosti" pa nad to osjo. Poleg tega so nam enostranske meje povedale, da je tako levo kot desno od točke funkcija tudi večja od nič. Upoštevajte, da mora graf v levi polravnini vsaj enkrat prečkati os x. V desni polravnini ne sme biti ničel funkcije.

Sklep št. 2 je, da funkcija narašča na in levo od točke (gre »od spodaj navzgor«). Desno od te točke se funkcija zmanjša (gre "od zgoraj navzdol"). Desna veja grafa mora vsekakor imeti vsaj en minimum. Na levi strani ekstremi niso zagotovljeni.

Sklep št. 3 zagotavlja zanesljivo informacijo o konkavnosti grafa v bližini točke. O konveksnosti/konkavnosti v neskončnosti še ne moremo povedati ničesar, saj lahko premico proti svoji asimptoti pritisnemo tako od zgoraj kot od spodaj. Na splošno obstaja analitični način, da to ugotovimo že zdaj, vendar bo oblika grafa postala jasnejša pozneje.

Zakaj toliko besed? Za nadzor naslednjih raziskovalnih točk in izogibanje napakam! Nadaljnji izračuni ne smejo biti v nasprotju s sprejetimi sklepi.

3) Točke presečišča grafa s koordinatnimi osemi, intervali konstantnega predznaka funkcije.

Graf funkcije ne seka osi.

Z intervalno metodo določimo znake:

, Če ;
, Če .

Rezultati te točke so popolnoma skladni s sklepom št. 1. Po vsaki stopnji si oglejte osnutek, v mislih preverite raziskavo in dokončajte graf funkcije.

V obravnavanem primeru je števec člen za členom razdeljen z imenovalcem, kar je zelo ugodno za razlikovanje:

Pravzaprav je bilo to že storjeno pri iskanju asimptot.

- kritična točka.

Opredelimo znake:

poveča za in se zmanjša za

Na točki funkcija doseže minimum: .

Tudi s sklepom št. 2 ni bilo odstopanj in smo najverjetneje na pravi poti.

To pomeni, da je graf funkcije konkaven na celotnem definicijskem področju.

Odlično - in ni vam treba ničesar narisati.

Prevojnih točk ni.

Konkavnost je skladna s sklepom št. 3, poleg tega kaže, da se v neskončnosti (tam in tam) nahaja graf funkcije višji njena poševna asimptota.

6) Nalogo bomo vestno pripeli z dodatnimi točkami. Tu se bomo morali potruditi, saj iz raziskave poznamo le dve točki.

In slika, ki si jo je verjetno marsikdo zamislil že davno nazaj:

Med izvajanjem naloge morate skrbno zagotoviti, da med fazami raziskave ni nasprotij, včasih pa je situacija nujna ali celo obupno slepa ulica. Analitika se "ne sešteva" - to je vse. V tem primeru priporočam nujno tehniko: poiščemo čim več točk, ki pripadajo grafu (kolikor imamo potrpljenja), in jih označimo na koordinatni ravnini. Grafična analiza najdenih vrednosti vam bo v večini primerov povedala, kje je resnica in kje laž. Poleg tega je mogoče graf vnaprej zgraditi z uporabo nekega programa, na primer v Excelu (seveda to zahteva spretnosti).

Primer 4

Uporabite metode diferencialnega računa za preučevanje funkcije in izdelavo njenega grafa.

To je primer, ki ga morate rešiti sami. V njem je samokontrola povečana s pariteto funkcije - graf je simetričen glede na os, in če v vaši raziskavi nekaj nasprotuje temu dejstvu, poiščite napako.

Sodo ali liho funkcijo lahko preučujemo le pri , nato pa uporabimo simetrijo grafa. Ta rešitev je optimalna, vendar po mojem mnenju izgleda zelo nenavadno. Osebno pogledam celotno številsko premico, vendar še vedno najdem dodatne točke samo na desni:

Primer 5

Izvedite popolno študijo funkcije in sestavite njen graf.

rešitev: stvari so postale težke:

1) Funkcija je definirana in zvezna na celotni številski premici: .

To pomeni, da je ta funkcija liha, njen graf je simetričen glede na izvor.

Očitno je, da je funkcija neperiodična.

2) Asimptote, obnašanje funkcije v neskončnosti.

Ker je funkcija zvezna na , ni navpičnih asimptot

Za funkcijo, ki vsebuje eksponent, je tipično ločiti preučevanje »plus« in »minus neskončnosti« pa nam življenje olajša simetrija grafa - ali je asimptota na levi in ​​desni strani ali pa je ni. Zato lahko obe neskončni meji zapišemo pod en vnos. Med raztopino, ki jo uporabljamo L'Hopitalovo pravilo:

Premica (os) je vodoravna asimptota grafa pri .

Upoštevajte, kako sem se premeteno izognil celotnemu algoritmu za iskanje poševne asimptote: meja je povsem zakonita in pojasnjuje obnašanje funkcije v neskončnosti, horizontalna asimptota pa je bila odkrita "kot da bi istočasno."

Iz kontinuitete naprej in obstoja horizontalne asimptote sledi, da funkcija omejeno zgoraj in omejeno spodaj.

3) Točke presečišča grafa s koordinatnimi osemi, intervali konstantnega predznaka.

Tukaj tudi skrajšamo rešitev:
Graf poteka skozi izhodišče.

Drugih presečišč s koordinatnimi osemi ni. Poleg tega so intervali konstantnosti predznaka očitni in osi ni treba risati: , kar pomeni, da je predznak funkcije odvisen samo od "x":
, Če ;
, Če .

4) Naraščanje, padanje, ekstremi funkcije.


– kritične točke.

Točke so simetrične glede na ničlo, kot bi moralo biti.

Določimo znake izpeljanke:


Funkcija na intervalu narašča in na intervalih pada

Takrat funkcija doseže svoj maksimum: .

Zaradi lastnine (nenavadnost funkcije) minimuma ni treba izračunati:

Ker funkcija pada v intervalu, potem se očitno graf nahaja na "minus neskončnosti" Spodaj njegovo asimptoto. V intervalu se funkcija tudi zmanjšuje, vendar je tukaj ravno nasprotno - po prehodu skozi najvišjo točko se premica približa osi od zgoraj.

Iz zgoraj navedenega tudi sledi, da je graf funkcije konveksen v “minus neskončnosti” in konkaven v “plus neskončnosti”.

Po tej točki študije je bil narisan obseg funkcijskih vrednosti:

Če imate kakršne koli nerazumevanja katere koli točke, vas še enkrat pozivam, da narišete koordinatne osi v svoj zvezek in s svinčnikom v rokah ponovno analizirate vsak zaključek naloge.

5) Konveksnost, konkavnost, pregibi grafa.

– kritične točke.

Simetrija točk je ohranjena in najverjetneje se ne motimo.

Opredelimo znake:


Graf funkcije je konveksen na in konkavno naprej .

Potrjena je bila konveksnost/konkavnost v skrajnih intervalih.

V vsem kritične točke V urniku so pregibi. Poiščimo ordinate prevojnih točk in ponovno zmanjšajmo število izračunov z uporabo lihosti funkcije:

Danes vas vabimo, da z nami raziščete in zgradite graf funkcije. Po natančnem preučevanju tega članka se vam ne bo treba dolgo potiti, da bi dokončali to vrsto naloge. Preučiti in zgraditi graf funkcije ni enostavno, to je obsežno delo, ki zahteva največjo pozornost in natančnost izračunov. Za lažje razumevanje gradiva bomo korak za korakom preučili isto funkcijo in razložili vsa naša dejanja in izračune. Dobrodošli v osupljivem in fascinantnem svetu matematike! Pojdi!

Domena

Če želite raziskati in prikazati graf funkcije, morate poznati več definicij. Funkcija je eden glavnih (osnovnih) pojmov v matematiki. Odraža odvisnost med več spremenljivkami (dvema, tremi ali več) med spremembami. Funkcija prikazuje tudi odvisnost množic.

Predstavljajte si, da imamo dve spremenljivki, ki imata določen razpon sprememb. Torej je y funkcija x, pod pogojem, da vsaka vrednost druge spremenljivke ustreza eni vrednosti druge. V tem primeru je spremenljivka y odvisna in se imenuje funkcija. Običajno je reči, da sta spremenljivki x in y v Za večjo jasnost te odvisnosti je zgrajen graf funkcije. Kaj je graf funkcije? To je niz točk na koordinatni ravnini, kjer vsaka vrednost x ustreza eni vrednosti y. Grafi so lahko različni - ravna črta, hiperbola, parabola, sinusni val itd.

Nemogoče je prikazati graf funkcije brez raziskave. Danes se bomo naučili izvajati raziskave in zgraditi graf funkcije. Zelo pomembno je, da si med študijem delate zapiske. Tako bo naloga veliko lažja. Najprimernejši raziskovalni načrt:

1. Domena.
2. Kontinuiteta.
3. Sodo ali liho.
4. Periodičnost.
5. Asimptote.
6. ničle.
7. Konstantnost znaka.
8. Povečevanje in zmanjševanje.
9. Ekstremi.
10. Konveksnost in konkavnost.

Začnimo s prvo točko. Poiščimo domeno definicije, to je, na katerih intervalih obstaja naša funkcija: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). V našem primeru funkcija obstaja za vse vrednosti x, to je, da je domena definicije enaka R. To lahko zapišemo kot sledi xÎR.

Kontinuiteta

Zdaj bomo preučili funkcijo diskontinuitete. V matematiki se je izraz "kontinuiteta" pojavil kot rezultat preučevanja zakonov gibanja. Kaj je neskončno? Prostor, čas, nekatere odvisnosti (primer je odvisnost spremenljivk S in t pri gibalnih problemih), temperatura segretega predmeta (voda, ponev, termometer itd.), neprekinjena črta (torej tista, ki lahko narišete, ne da bi ga dvignili s svinčnika).

Graf velja za zveznega, če se na neki točki ne zlomi. Eden najbolj očitnih primerov takšnega grafa je sinusoida, ki jo lahko vidite na sliki v tem razdelku. Funkcija je zvezna v neki točki x0, če je izpolnjenih več pogojev:

• funkcija je definirana v dani točki;
• desna in leva meja v točki sta enaki;
• omejitev enaka vrednosti funkcije v točki x0.

Če vsaj en pogoj ni izpolnjen, se reče, da funkcija ne uspe. In točke, na katerih se funkcija prekine, se običajno imenujejo prelomne točke. Primer funkcije, ki bo "pokvarila", ko bo prikazana grafično, je: y=(x+4)/(x-3). Poleg tega y ne obstaja v točki x = 3 (ker ga ni mogoče deliti z nič).

V funkciji, ki jo preučujemo (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) se je vse izkazalo za preprosto, saj bo graf zvezen.

Sodo liho

Zdaj preglejte funkcijo za pariteto. Najprej malo teorije. Soda funkcija je tista, ki za poljubno vrednost spremenljivke x (iz območja vrednosti) izpolnjuje pogoj f(-x)=f(x). Primeri vključujejo:

• modul x (graf izgleda kot črtka, simetrala prve in druge četrtine grafa);
• x na kvadrat (parabola);
• kosinus x (kosinus).

Upoštevajte, da so vsi ti grafi simetrični, če jih gledamo glede na y-os (to je y-os).

Kaj potem imenujemo liha funkcija? To so tiste funkcije, ki za poljubno vrednost spremenljivke x izpolnjujejo pogoj: f(-x)=-f(x). Primeri:

• hiperbola;
• kubična parabola;
• sinusoid;
• tangenta in tako naprej.

Upoštevajte, da so te funkcije simetrične glede na točko (0:0), to je izvor. Glede na to, kar je bilo povedano v tem delu članka, celo in nenavadna funkcija mora imeti lastnost: x pripada množici definicij in tudi -x.

Preglejmo funkcijo za pariteto. Vidimo, da ne ustreza nobenemu opisu. Zato naša funkcija ni niti soda niti liha.

Asimptote

Začnimo z definicijo. Asimptota je krivulja, ki je čim bližje grafu, to pomeni, da se razdalja od določene točke nagiba k ničli. Skupaj obstajajo tri vrste asimptot:

• navpično, to je vzporedno z osjo y;
• vodoravno, to je vzporedno z osjo x;
• nagnjen.

Kar zadeva prvo vrsto, je treba te vrstice iskati na nekaterih točkah:

• vrzel;
• konci domene definicije.

V našem primeru je funkcija zvezna, definicijsko področje pa je enako R. Posledično ni vertikalnih asimptot.

Graf funkcije ima horizontalno asimptoto, ki izpolnjuje naslednjo zahtevo: če x teži k neskončnosti ali minus neskončnosti, meja pa je enaka določenemu številu (na primer a). V tem primeru je y=a vodoravna asimptota. V funkciji, ki jo proučujemo horizontalne asimptotešt.

Poševna asimptota obstaja le, če sta izpolnjena dva pogoja:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Nato ga je mogoče najti s formulo: y=kx+b. Tudi v našem primeru ni poševnih asimptot.

Funkcijske ničle

Naslednji korak je pregled grafa funkcije za ničle. Zelo pomembno je tudi omeniti, da se naloga, povezana z iskanjem ničel funkcije, ne pojavi samo pri preučevanju in gradnji grafa funkcije, temveč tudi kot samostojna naloga in kot način reševanja neenakosti. Morda boste morali najti ničle funkcije na grafu ali uporabiti matematični zapis.

Iskanje teh vrednosti vam bo pomagalo natančneje prikazati graf funkcije. Če govorimo v preprostem jeziku, potem je ničla funkcije vrednost spremenljivke x, pri kateri je y = 0. Če iščete ničle funkcije na grafu, bodite pozorni na točke, v katerih se graf seka z osjo x.

Če želite najti ničle funkcije, morate rešiti naslednjo enačbo: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Po izvedbi potrebnih izračunov dobimo naslednji odgovor:

Konstantnost znaka

Naslednja stopnja raziskovanja in konstrukcije funkcije (grafa) je iskanje intervalov s konstantnim znakom. To pomeni, da moramo določiti, v katerih intervalih ima funkcija pozitivno in v katerih negativno vrednost. Pri tem nam bodo pomagale ničelne funkcije, ki jih najdete v zadnjem razdelku. Torej, zgraditi moramo ravno črto (ločeno od grafa) in porazdeliti ničle funkcije vzdolž nje v pravilnem vrstnem redu od najmanjše do največje. Zdaj morate določiti, kateri od nastalih intervalov ima znak "+" in kateri ima "-".

V našem primeru ima funkcija pozitivno vrednost na intervalih:

• od 1 do 4;
• od 9 do neskončnosti.

Negativni pomen:

• od minus neskončnosti do 1;
• od 4 do 9.

To je precej enostavno določiti. V funkcijo zamenjajte poljubno število iz intervala in poglejte, kakšen predznak ima odgovor (minus ali plus).

Naraščajoče in padajoče funkcije

Da bi raziskali in zgradili funkcijo, moramo vedeti, kje se bo graf povečal (grel navzgor vzdolž osi Oy) in kje bo padel (polzel navzdol vzdolž osi y).

Funkcija narašča le, če večja vrednost spremenljivke x ustreza višja vrednost u. To pomeni, da je x2 večji od x1 in f(x2) večji od f(x1). In opazimo povsem nasproten pojav z padajočo funkcijo (več kot je x, manj je y). Če želite določiti intervale povečanja in zmanjšanja, morate najti naslednje:

• domena definicije (že imamo);
• izpeljanka (v našem primeru: 1/3(3x^2-28x+49);
• reši enačbo 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Po izračunih dobimo rezultat:

Dobimo: funkcija narašča na intervalih od minus neskončnosti do 7/3 in od 7 do neskončnosti ter pada na intervalu od 7/3 do 7.

Ekstremi

Preučevana funkcija y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) je zvezna in obstaja za katero koli vrednost spremenljivke x. Ekstremna točka prikazuje maksimum in minimum dane funkcije. V našem primeru jih ni, kar močno poenostavi nalogo gradnje. V nasprotnem primeru jih je mogoče najti tudi s funkcijo izpeljave. Ko jih najdete, jih ne pozabite označiti na grafikonu.

Konveksnost in konkavnost

Nadaljujemo z nadaljnjim raziskovanjem funkcije y(x). Zdaj ga moramo preveriti glede konveksnosti in konkavnosti. Definicije teh pojmov je precej težko razumeti, zato je bolje vse analizirati s primeri. Za preizkus: funkcija je konveksna, če je nepadajoča funkcija. Strinjam se, to je nerazumljivo!

Najti moramo odvod funkcije drugega reda. Dobimo: y=1/3(6x-28). Zdaj pa enačimo desna stran na nič in reši enačbo. Odgovor: x=14/3. Našli smo prevojno točko, to je mesto, kjer graf prehaja iz konveksnosti v konkavnost in obratno. Na intervalu od minus neskončnosti do 14/3 je funkcija konveksna, od 14/3 do plus neskončnosti pa konkavna. Prav tako je zelo pomembno upoštevati, da mora biti prevojna točka na grafikonu gladka in mehka, št ostri koti ne sme biti prisoten.

Določitev dodatnih točk

Naša naloga je raziskati in sestaviti graf funkcije. Študijo smo zaključili, izdelava grafa funkcije zdaj ni težavna. Za natančnejšo in podrobnejšo reprodukcijo krivulje ali ravne črte na koordinatni ravnini lahko najdete več pomožnih točk. Precej enostavno jih je izračunati. Na primer, vzamemo x=3, rešimo nastalo enačbo in poiščemo y=4. Ali x=5 in y=-5 in tako naprej. Za gradnjo lahko vzamete toliko dodatnih točk, kot jih potrebujete. Vsaj 3-5 se jih najde.

Izris grafa

Morali smo raziskati funkcijo (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Na koordinatni ravnini so bile narejene vse potrebne oznake med izračuni. Vse, kar je treba narediti, je zgraditi graf, torej povezati vse pike. Povezovanje pik naj bo gladko in natančno, to je stvar spretnosti – malo vaje in vaš urnik bo popoln.