V »starih« učbenikih se imenuje tudi »verižno« pravilo. Torej če y = f (u) in u = φ (x), to je

y = f (φ (x))

kompleksna - sestavljena funkcija (sestava funkcij) tedaj

Kje , po izračunu se upošteva pri u = φ (x).

Upoštevajte, da smo tukaj vzeli "različne" kompozicije iz istih funkcij, rezultat diferenciacije pa se je seveda izkazal kot odvisen od vrstnega reda "mešanja".

Pravilo verige se seveda razširi na sestave treh ali več funkcij. V tem primeru bodo tri ali več "členov" v "verigi", ki sestavlja izpeljanko. Tukaj je analogija z množenjem: "imamo" tabelo izpeljank; "tam" - tabela množenja; »pri nas« je verižno pravilo in »tam« je pravilo množenja v »stolpcu«. Pri izračunu takšnih "kompleksnih" izpeljank seveda niso uvedeni nobeni pomožni argumenti (u¸v itd.), ampak, ko so sami opazili število in zaporedje funkcij, vključenih v sestavo, so ustrezne povezave "nanizane" v navedenem vrstnem redu.

. Tukaj se z "x" za pridobitev vrednosti "y" izvede pet operacij, to je sestava petih funkcij: "zunanja" (zadnja od njih) - eksponentna - e  ; nato v obratnem vrstnem redu moč. (♦) 2 ; trigonometrični sin(); umirjeno. () 3 in končno logaritemski ln.(). Zato

Z naslednjimi primeri bomo »ubili par ptic na en mah«: vadili bomo razlikovanje kompleksnih funkcij in dodajali tabelo odvodov elementarnih funkcij. Torej:

4. Za potenčno funkcijo - y = x α - jo prepišemo z dobro znano "osnovno" logaritemska identiteta" - b=e ln b - v obliki x α = x α ln x dobimo

5. Brezplačno eksponentna funkcija z uporabo iste tehnike, kot jo bomo imeli

6. Za poljubno logaritemsko funkcijo z uporabo dobro znane formule za prehod na novo bazo dosledno dobimo

.

7. Za diferenciranje tangensa (kotangensa) uporabimo pravilo diferenciranja količnikov:

Za pridobitev odvodov inverznih trigonometričnih funkcij uporabimo relacijo, ki jo izpolnjujeta odvoda dveh medsebojno inverznih funkcij, to sta funkciji φ (x) in f (x), ki sta povezani z relacijama:

To je razmerje

To je iz te formule za medsebojno inverzne funkcije

in
,

Naj za konec povzamemo te in nekatere druge izpeljanke, ki jih prav tako enostavno dobimo, v naslednjo tabelo.

Odkar ste prišli sem, ste verjetno že videli to formulo v učbeniku

in naredi tak obraz:

Prijatelj, ne skrbi! Pravzaprav je vse preprosto nezaslišano. Zagotovo boste vse razumeli. Samo ena prošnja - preberite članek počasi, poskusite razumeti vsak korak. Napisal sem čim bolj preprosto in jasno, vendar morate še vedno razumeti idejo. In obvezno rešite naloge iz članka.

Kaj je kompleksna funkcija?

Predstavljajte si, da se selite v drugo stanovanje in zato pakirate stvari v velike škatle. Recimo, da morate zbrati nekaj majhnih predmetov, na primer šolsko pisalno gradivo. Če jih samo vržete v ogromno škatlo, se med drugim izgubijo. Da bi se temu izognili, jih najprej spravite na primer v vrečko, ki jo nato spravite v veliko škatlo, nakar jo zaprete. Ta "kompleksni" postopek je predstavljen v spodnjem diagramu:

Zdi se, kaj ima matematika s tem? Da, kljub temu, da je kompleksna funkcija oblikovana na POPOLNOMA ENAKO! Samo mi »pakiramo« ne zvezke in pisala, ampak \(x\), medtem ko sta »paketi« in »škatle« drugačna.

Na primer, vzemimo x in ga "spakirajmo" v funkcijo:

Kot rezultat dobimo seveda \(\cos⁡x\). To je naša "vreča stvari". Zdaj pa ga dajmo v "škatlo" - spakirajmo ga na primer v kubično funkcijo.

Kaj bo na koncu? Da, tako je, v škatli bo "vreča stvari", to je "kosinus X na kubik."

Nastala zasnova je kompleksna funkcija. Od preprostega se razlikuje po tem VEČ “vplivov” (paketov) se aplicira na en X v vrsti in izpade kot »funkcija iz funkcije« - »embalaža v embalaži«.

V šolskem tečaju je zelo malo vrst teh "paketov", le štiri:

Zapakirajmo zdaj X najprej v eksponentno funkcijo z osnovo 7 in nato v trigonometrično funkcijo. Dobimo:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Zdaj dvakrat "zapakirajmo" X trigonometrične funkcije, najprej v , nato pa v:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Preprosto, kajne?

Zdaj sami zapišite funkcije, kjer je x:
- najprej se "zapakira" v kosinus, nato pa v eksponentno funkcijo z osnovo \(3\);
- najprej na peto potenco, nato pa na tangento;
- najprej na logaritem na osnovo \(4\) , nato na potenco \(-2\).

Odgovore na to nalogo poiščite na koncu članka.

Ali lahko X "spakiramo" ne dvakrat, ampak trikrat? Brez problema! In štiri, pet in petindvajsetkrat. Tukaj je na primer funkcija, v kateri je x "zapakiran" \(4\)-krat:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Toda takšnih formul v šolski praksi ne bomo našli (dijaki imajo več sreče - njihova je morda bolj zapletena☺).

"Razpakiranje" kompleksne funkcije

Ponovno si oglejte prejšnjo funkcijo. Ali lahko ugotovite zaporedje "pakiranja"? V kaj je bil najprej stlačen X, v kaj potem in tako naprej do samega konca. Se pravi, katera funkcija je ugnezdena znotraj katere? Vzemite kos papirja in zapišite, kaj mislite. To lahko storite z verigo s puščicami, kot smo zapisali zgoraj ali na kakršen koli drug način.

Zdaj je pravilen odgovor: najprej je bil x "zapakiran" na \(4\) potenco, nato je bil rezultat zapakiran v sinus, ta pa je bil postavljen v logaritem na osnovo \(2\) , na koncu pa je bila vsa ta konstrukcija stlačena v močne petice.

To pomeni, da morate zaporedje odviti V OBRATNEM VRSTNEM REDU. In tukaj je namig, kako to narediti lažje: takoj poglejte X - od njega bi morali zaplesati. Poglejmo si nekaj primerov.

Tukaj je na primer naslednja funkcija: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Pogledamo X - kaj se najprej zgodi z njim? Vzeto od njega. In potem? Vzame se tangens rezultata. Zaporedje bo enako:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Drug primer: \(y=\cos⁡((x^3))\). Analizirajmo - najprej smo kubirali X, nato pa vzeli kosinus rezultata. To pomeni, da bo zaporedje: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Bodite pozorni, zdi se, da je funkcija podobna prvi (kjer ima slike). Toda to je popolnoma drugačna funkcija: tukaj v kocki je x (to je \(\cos⁡((x·x·x)))\), tam v kocki pa je kosinus \(x\) ( to je \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Ta razlika izhaja iz različnih zaporedij "pakiranja".

Zadnji primer (z pomembna informacija v njem): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Jasno je, da so tukaj najprej opravili aritmetične operacije z x, nato pa vzeli sinus rezultata: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). In to pomembna točka: kljub temu, da aritmetične operacije same po sebi niso funkcije, tudi tukaj delujejo kot način “pakiranja”. Poglobimo se nekoliko globlje v to subtilnost.

Kot sem rekel zgoraj, je v preprostih funkcijah x "zapakiran" enkrat, v kompleksnih funkcijah pa dva ali več. Poleg tega je vsaka kombinacija enostavnih funkcij (to je njihova vsota, razlika, množenje ali deljenje) prav tako preprosta funkcija. Na primer, \(x^7\) je preprosta funkcija in prav tako \(ctg x\). To pomeni, da so vse njihove kombinacije preproste funkcije:

\(x^7+ ctg x\) - preprosto,
\(x^7· cot x\) – preprosto,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – preprosto itd.

Če pa k takšni kombinaciji dodamo še eno funkcijo, bo postala kompleksna funkcija, saj bosta obstajala dva »paketa«. Glej diagram:

V redu, kar naprej. Zapišite zaporedje funkcij »ovijanja«:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Odgovori so spet na koncu članka.

Notranje in zunanje funkcije

Zakaj moramo razumeti gnezdenje funkcij? Kaj nam to daje? Dejstvo je, da brez takšne analize ne bomo mogli zanesljivo najti derivatov zgoraj obravnavanih funkcij.

In da bi šli naprej, bomo potrebovali še dva pojma: notranje in zunanje funkcije. To je zelo preprosta stvar, poleg tega smo jih pravzaprav že analizirali zgoraj: če se spomnimo naše analogije na samem začetku, potem je notranja funkcija "paket", zunanja funkcija pa "škatla". Tisti. tisto, v kar je X najprej »zavito«, je notranja funkcija, tisto, v kar je »zavita« notranja funkcija, pa je že zunanje. No, jasno je zakaj - ona je zunaj, to pomeni zunanja.

V tem primeru: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), je funkcija \(\log_2⁡x\) interna in
- zunanji.

In v tem: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) je notranji in
- zunanji.

Dokončajte zadnjo vajo analize kompleksnih funkcij in končno preidimo na tisto, za kar smo vsi začeli - našli bomo izpeljanke kompleksnih funkcij:

Izpolnite prazna mesta v tabeli:

Odvod kompleksne funkcije

Bravo za nas, končno smo prišli do "šefa" te teme - pravzaprav izpeljanke kompleksna funkcija, in še posebej na tisto zelo grozno formulo z začetka članka.☺

\((f(g(x)"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Ta formula se glasi takole:

Odvod kompleksne funkcije je enak zmnožku odvoda zunanje funkcije glede na konstantno notranjo funkcijo in odvoda notranje funkcije.

In takoj poglejte diagram razčlenjevanja glede na besede, da boste razumeli, kaj storiti s čim:

Upam, da izraza "derivat" in "izdelek" ne bosta povzročala težav. "Kompleksna funkcija" - to smo že razvrstili. Ulov je v »izpeljavi zunanje funkcije glede na konstantno notranjo funkcijo«. Kaj je to?

Odgovor: To je običajna izpeljanka zunanje funkcije, pri kateri se spremeni le zunanja funkcija, notranja pa ostane enaka. Še vedno ni jasno? V redu, uporabimo primer.

Naj imamo funkcijo \(y=\sin⁡(x^3)\). Jasno je, da je notranja funkcija tukaj \(x^3\), zunanja pa
. Poiščimo zdaj izpeljanko zunanjosti glede na stalno notranjost.

Prva stopnja

Odvod funkcije. Obsežen vodnik (2019)

Predstavljajmo si ravno cesto, ki poteka skozi hribovito območje. To pomeni, da gre gor in dol, vendar ne zavije desno ali levo. Če je os usmerjena vodoravno vzdolž ceste in navpično, bo črta ceste zelo podobna grafu neke zvezne funkcije:

Os je določen nivo ničelne nadmorske višine; v življenju kot to uporabljamo morsko gladino.

Ko se po takšni cesti premikamo naprej, se premikamo tudi navzgor ali navzdol. Lahko tudi rečemo: ko se spremeni argument (premik vzdolž abscisne osi), se spremeni vrednost funkcije (premik vzdolž ordinatne osi). Zdaj pa razmislimo, kako določiti "strmino" naše ceste? Kakšna vrednost bi to lahko bila? Zelo preprosto: koliko se bo višina spremenila, ko se premaknete naprej na določeno razdaljo. Dejansko se bomo na različnih odsekih ceste, ki se premikamo naprej (vzdolž osi x) za en kilometer, dvignili ali spustili za različno število metrov glede na morsko gladino (vzdolž osi y).

Označimo napredek (beri "delta x").

Grška črka (delta) se v matematiki običajno uporablja kot predpona, ki pomeni "sprememba". To je - to je sprememba količine, - sprememba; kaj je potem? Tako je, sprememba velikosti.

Pomembno: izraz je ena sama celota, ena spremenljivka. Nikoli ne ločite "delta" od "x" ali katere koli druge črke! To je na primer,.

Torej, premaknili smo se naprej, vodoravno, za. Če črto ceste primerjamo z grafom funkcije, kako potem označimo vzpon? Vsekakor,. Se pravi, ko gremo naprej, se dvigamo višje.

Vrednost je enostavno izračunati: če smo bili na začetku na višini in smo se po premikanju znašli na višini, potem. Če je končna točka nižja od začetne, bo negativna – to pomeni, da se ne vzpenjamo, ampak spuščamo.

Vrnimo se k "strmini": to je vrednost, ki kaže, za koliko (strmo) se višina poveča, ko se premikamo naprej za eno enoto razdalje:

Predpostavimo, da se na nekem odseku ceste, ko se premikamo za kilometer naprej, cesta dvigne za kilometer. Potem je naklon na tem mestu enak. In če bi se cesta med premikanjem naprej za m zmanjšala za km? Potem je naklon enak.

Zdaj pa poglejmo vrh hriba. Če vzamete začetek odseka pol kilometra pred vrhom in konec pol kilometra za njim, vidite, da je višina skoraj enaka.

To pomeni, da se po naši logiki izkaže, da je naklon tukaj skoraj enak nič, kar očitno ni res. Samo na kilometrski razdalji se lahko marsikaj spremeni. Za ustreznejšo in natančnejšo oceno strmine je potrebno upoštevati manjše površine. Na primer, če izmerite spremembo višine, ko se premaknete za en meter, bo rezultat veliko natančnejši. Toda tudi ta natančnost nam morda ne bo zadostovala – navsezadnje, če je na sredini ceste drog, ga lahko preprosto peljemo mimo. Kakšno razdaljo naj potem izberemo? Centimeter? Milimeter? Manj je bolje!

IN resnično življenje Merjenje razdalj do najbližjega milimetra je več kot dovolj. Toda matematiki vedno stremijo k popolnosti. Zato je bil koncept izumljen infinitezimalno, kar pomeni, da je absolutna vrednost manjša od katerega koli števila, ki ga lahko imenujemo. Na primer, rečete: ena bilijontina! Koliko manj? In to številko delite z - in bo še manj. In tako naprej. Če želimo zapisati, da je količina neskončno majhna, zapišemo takole: (beremo “x teži k ničli”). Zelo pomembno je razumeti da to število ni nič! Ampak zelo blizu. To pomeni, da ga lahko delite.

Koncept, ki je nasproten infinitezimalnemu, je neskončno velik (). Verjetno ste že naleteli na to, ko ste delali na neenačbah: to število je modulo večje od katerega koli števila, ki si ga lahko zamislite. Če pridete do največjega možnega števila, ga samo pomnožite z dva in dobili boste še večje število. In neskončnost je še večja od tega, kar se zgodi. Pravzaprav sta neskončno veliko in neskončno majhno nasprotje drug drugemu, to je at, in obratno: at.

Zdaj pa se vrnimo k naši cesti. Idealno izračunan naklon je naklon, izračunan za neskončno majhen segment poti, to je:

Opažam, da bo pri neskončno majhnem premiku tudi sprememba višine neskončno majhna. Vendar naj vas spomnim, da infinitezimalno ne pomeni enako nič. Če neskončno majhna števila delite eno z drugim, lahko dobite povsem običajno število, na primer . To pomeni, da je lahko ena majhna vrednost natanko krat večja od druge.

Čemu je vse to namenjeno? Cesta, strmina ... Ne gremo na avto reli, ampak poučujemo matematiko. In v matematiki je vse popolnoma enako, le drugače se imenuje.

Koncept derivata

Odvod funkcije je razmerje med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta za neskončno majhen prirastek argumenta.

Postopoma v matematiki imenujejo sprememba. Imenuje se obseg, v katerem se argument () spreminja, ko se premika vzdolž osi povečanje argumenta in je označena Koliko se je funkcija (višina) spremenila pri premikanju naprej vzdolž osi za razdaljo, se imenuje prirast funkcije in je določen.

Torej je odvod funkcije razmerje do kdaj. Odvod označujemo z isto črko kot funkcijo, le s praštevilo desno zgoraj: ali preprosto. Torej, zapišimo izpeljano formulo z uporabo teh zapisov:

Tako kot v analogiji s cesto je tudi tukaj, ko funkcija narašča, odvod pozitiven, ko se zmanjšuje pa je negativen.

Ali je lahko odvod enak nič? Vsekakor. Na primer, če se vozimo po ravni vodoravni cesti, je strmina enaka nič. In res je, višina se sploh ne spremeni. Tako je tudi z odvodom: odvod konstantne funkcije (konstante) je enak nič:

saj je prirastek take funkcije enak nič za katero koli.

Spomnimo se primera na hribu. Izkazalo se je, da je mogoče konce segmenta razporediti na nasprotnih straneh vrha tako, da se višina na koncih izkaže za enako, to je, da je segment vzporeden z osjo:

Toda veliki segmenti so znak netočne meritve. Naš segment bomo dvignili vzporedno s seboj, nato pa se bo njegova dolžina zmanjšala.

Sčasoma, ko smo neskončno blizu vrha, bo dolžina segmenta postala neskončno majhna. Toda hkrati je ostal vzporeden z osjo, to je razlika v višinah na njegovih koncih je enaka nič (ne teži k, ampak je enaka). Izpeljanka torej

To lahko razumemo takole: ko stojimo čisto na vrhu, majhen premik v levo ali desno zanemarljivo spremeni našo višino.

Obstaja tudi povsem algebraična razlaga: levo od oglišča funkcija narašča, desno pa pada. Kot smo že prej ugotovili, ko funkcija narašča, je odvod pozitiven, ko se zmanjšuje pa negativen. Spreminja pa se gladko, brez skokov (saj cesta nikjer ne spreminja strmo naklona). Zato mora obstajati med negativnimi in pozitivnimi vrednostmi. To bo tam, kjer funkcija ne narašča in ne pada – v točki vrha.

Enako velja za korito (območje, kjer se funkcija na levi zmanjšuje in na desni povečuje):

Še malo o prirastkih.

Zato spremenimo argument v velikost. Od katere vrednosti spreminjamo? Kaj je (argument) zdaj postal? Izberemo lahko katero koli točko in zdaj bomo plesali iz nje.

Razmislite o točki s koordinato. Vrednost funkcije v njej je enaka. Nato naredimo enako povečanje: povečamo koordinato za. Kaj je zdaj argument? Zelo enostavno: . Kakšna je zdaj vrednost funkcije? Kamor gre argument, gre tudi funkcija: . Kaj pa povečanje funkcije? Nič novega: to je še vedno znesek, za katerega se je funkcija spremenila:

Vadite iskanje prirastkov:

1. Poiščite prirastek funkcije v točki, ko je prirastek argumenta enak.
2. Enako velja za funkcijo v točki.

rešitve:

Na različnih točkah z enakim prirastkom argumenta bo prirast funkcije različen. To pomeni, da je izpeljanka na vsaki točki drugačna (o tem smo govorili že na začetku - strmina ceste je na različnih točkah različna). Zato moramo, ko pišemo izpeljanko, navesti, na kateri točki:

Funkcija moči.

Funkcija moči je funkcija, pri kateri je argument do neke mere (logičen, kajne?).

Še več – v kakršni koli meri: .

Najenostavnejši primer je, ko je eksponent:

Poiščimo njegovo izpeljanko v točki. Spomnimo se definicije derivata:

Torej se argument spremeni iz v. Kolikšen je prirastek funkcije?

Povečanje je to. Toda funkcija na kateri koli točki je enaka svojemu argumentu. Zato:

Izpeljanka je enaka:

Izpeljanka je enaka:

b) Zdaj razmislite kvadratna funkcija (): .

Zdaj pa si zapomnimo to. To pomeni, da lahko vrednost prirastka zanemarimo, saj je neskončno majhna in zato nepomembna glede na drugi izraz:

Tako smo prišli do drugega pravila:

c) Nadaljujemo logični niz: .

Ta izraz lahko poenostavimo na različne načine: odpremo prvi oklepaj s formulo za skrajšano množenje kuba vsote ali faktoriziramo celoten izraz s formulo razlike kubov. Poskusite to narediti sami s katero koli od predlaganih metod.

Torej, dobil sem naslednje:

In še enkrat se spomnimo tega. To pomeni, da lahko zanemarimo vse izraze, ki vsebujejo:

Dobimo: .

d) Podobna pravila lahko dobimo za velike moči:

e) Izkazalo se je, da je to pravilo mogoče posplošiti za potenčno funkcijo s poljubnim eksponentom, niti celim številom:

(2)

Pravilo je mogoče formulirati z besedami: "stopnja se premakne naprej kot koeficient in nato zmanjša za."

To pravilo bomo dokazali kasneje (skoraj čisto na koncu). Zdaj pa si poglejmo nekaj primerov. Poiščite odvod funkcij:

1. (na dva načina: s formulo in z uporabo definicije odvoda - z izračunom prirastka funkcije);

1. . Verjeli ali ne, to je funkcija moči. Če imate vprašanja, kot je »Kako je s tem? Kje je diploma?«, spomnite se teme »«!
   Da, da, koren je tudi stopnja, le ulomek: .
   Torej naše Kvadratni koren- to je samo diploma z indikatorjem:
   .
   Izpeljanko iščemo po nedavno naučeni formuli:

   Če na tej točki spet postane nejasno, ponovite temo “”!!! (o diplomi z negativnim eksponentom)

2. . Zdaj eksponent:

   In zdaj skozi definicijo (ste že pozabili?):
   ;
   .
   Zdaj, kot običajno, zanemarimo izraz, ki vsebuje:
   .

3. . Kombinacija prejšnjih primerov: .

Trigonometrične funkcije.

Tukaj bomo uporabili eno dejstvo iz višje matematike:

Z izrazom.

Dokazila se boste naučili v prvem letniku inštituta (in da pridete tja, morate dobro opraviti enotni državni izpit). Zdaj bom samo grafično prikazal:

Vidimo, da ko funkcija ne obstaja - je točka na grafu izrezana. Toda bližje kot je vrednost, bližje je funkcija. To je tisto, kar je "cilj".

Poleg tega lahko to pravilo preverite s kalkulatorjem. Da, da, ne bodite sramežljivi, vzemite kalkulator, še nismo na enotnem državnem izpitu.

Torej, poskusimo: ;

Ne pozabite preklopiti kalkulatorja v radianski način!

itd. Vidimo, da manjše kot je, bližje je vrednost razmerja.

a) Razmislite o funkciji. Kot običajno, poiščimo njegov prirastek:

Spremenimo razliko sinusov v produkt. Za to uporabimo formulo (zapomnite si temo “”): .

Zdaj pa izpeljanka:

Naredimo zamenjavo: . Potem je za infinitezimalno tudi infinitezimalno: . Izraz za ima obliko:

In zdaj se tega spomnimo z izrazom. In tudi, kaj če lahko neskončno majhno količino zanemarimo v vsoti (to je pri).

Torej dobimo naslednje pravilo: odvod sinusa je enak kosinusu:

To so osnovne ("tabelarne") izpeljanke. Tukaj so na enem seznamu:

Kasneje jih bomo dodali še nekaj, vendar so ti najpomembnejši, saj se najpogosteje uporabljajo.

Praksa:

1. Poiščite odvod funkcije v točki;
2. Poiščite odvod funkcije.

rešitve:

1. Najprej poiščimo izpeljanko v splošni pogled in nato nadomestite njegovo vrednost:
   ;
   .
2. Tukaj imamo nekaj podobnega funkcija moči. Poskusimo jo pripeljati do
   navaden pogled:
   .
   Super, zdaj lahko uporabite formulo:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Kaj je to????

V redu, prav imate, takšnih derivatov še ne znamo najti. Tu imamo kombinacijo več vrst funkcij. Če želite delati z njimi, se morate naučiti še nekaj pravil:

Eksponent in naravni logaritem.

V matematiki obstaja funkcija, katere odvod za katero koli vrednost je hkrati enak vrednosti same funkcije. Imenuje se "eksponent" in je eksponentna funkcija

Osnova te funkcije je konstanta – je neskončna decimalno, to je iracionalno število (kot npr.). Imenuje se "Eulerjevo število", zato je označeno s črko.

Torej, pravilo:

Zelo enostavno zapomniti.

No, ne gremo daleč, poglejmo takoj inverzna funkcija. Katera funkcija je inverzna eksponentni funkciji? Logaritem:

V našem primeru je osnova številka:

Takšen logaritem (to je logaritem z osnovo) imenujemo »naravni«, zanj pa uporabljamo poseben zapis: namesto tega pišemo.

Čemu je enako? Seveda, .

Izpeljanka naravnega logaritma je tudi zelo preprosta:

Primeri:

1. Poiščite odvod funkcije.
2. Kaj je odvod funkcije?

odgovori: Razstavljavec in naravni logaritem- funkcije so edinstveno preproste v smislu derivatov. Eksponentne in logaritemske funkcije s katero koli drugo osnovo bodo imele drugačen odvod, ki ga bomo analizirali kasneje, ko bomo preučili pravila diferenciacije.

Pravila razlikovanja

Pravila česa? Spet nov termin, spet?!...

Diferenciacija je postopek iskanja izpeljanke.

To je vse. Kako drugače lahko poimenujete ta proces z eno besedo? Ni izpeljanka... Matematiki imenujejo diferencial enak prirastek funkcije pri. Ta izraz izhaja iz latinskega differentia - razlika. Tukaj.

Pri izpeljavi vseh teh pravil bomo uporabili dve funkciji, na primer in. Potrebovali bomo tudi formule za njihove prirastke:

Skupaj je 5 pravil.

Konstanta je vzeta iz predznaka izpeljanke.

Če - neko konstantno število (konstanta), potem.

Očitno to pravilo deluje tudi za razliko: .

Dokažimo. Naj bo ali preprosteje.

Primeri.

Poiščite odvode funkcij:

1. na točki;
2. na točki;
3. na točki;
4. na točki.

rešitve:

1. (izpeljanka je v vseh točkah enaka, saj to linearna funkcija, se spomniš?);

Izpeljanka izdelka

Tukaj je vse podobno: predstavimo novo funkcijo in poiščimo njen prirastek:

Izpeljanka:

Primeri:

1. Poiščite odvode funkcij in;
2. Poiščite odvod funkcije v točki.

rešitve:

Odvod eksponentne funkcije

Zdaj je vaše znanje dovolj, da se naučite poiskati odvod poljubne eksponentne funkcije in ne samo eksponentov (ste že pozabili, kaj je to?).

Torej, kje je kakšna številka.

Odvod funkcije že poznamo, zato poskusimo reducirati našo funkcijo na novo osnovo:

Za to bomo uporabili preprosto pravilo: . Nato:

No, uspelo je. Zdaj poskusite najti izpeljanko in ne pozabite, da je ta funkcija kompleksna.

Se je zgodilo?

Evo, preverite sami:

Izkazalo se je, da je formula zelo podobna izpeljanki eksponenta: kot je bila, ostaja enaka, pojavil se je le faktor, ki je le številka, ne pa spremenljivka.

Primeri:
Poiščite odvode funkcij:

odgovori:

To je le številka, ki je brez kalkulatorja ni mogoče izračunati, torej je ni mogoče zapisati v enostavnejši obliki. Zato ga v odgovoru pustimo v tej obliki.

Odvod logaritemske funkcije

Tukaj je podobno: odvod naravnega logaritma že poznate:

Torej, če želite najti poljuben logaritem z drugačno osnovo, na primer:

Ta logaritem moramo zmanjšati na osnovo. Kako spremenite osnovo logaritma? Upam, da se spomnite te formule:

Samo zdaj bomo namesto tega zapisali:

Imenovalec je preprosto konstanta (konstantno število, brez spremenljivke). Izpeljanko dobimo zelo preprosto:

Izvodov eksponentnih in logaritemskih funkcij skoraj nikoli ne najdemo v enotnem državnem izpitu, vendar jih ne bo odveč poznati.

Odvod kompleksne funkcije.

Kaj je "kompleksna funkcija"? Ne, to ni logaritem in ni arktangens. Te funkcije so lahko težko razumljive (čeprav se vam zdi logaritem težak, preberite temo "Logaritmi" in vse bo v redu), vendar z matematičnega vidika beseda "kompleksno" ne pomeni "težko".

Predstavljajte si majhen tekoči trak: dve osebi sedita in delata nekaj dejanj z nekaterimi predmeti. Prvi na primer zavije čokoladno tablico v ovoj, drugi pa jo zaveže s pentljo. Rezultat je sestavljen predmet: čokoladna ploščica, ovita in zavezana s trakom. Če želite pojesti čokoladico, morate narediti obratne korake v obratnem vrstnem redu.

Ustvarimo podoben matematični cevovod: najprej bomo našli kosinus števila in nato kvadrirali dobljeno število. Torej, dobimo številko (čokolado), jaz poiščem njen kosinus (ovitek), nato pa ti kvadriraš, kar sem jaz dobil (zavežeš s trakom). Kaj se je zgodilo? funkcija. To je primer kompleksne funkcije: ko za iskanje njene vrednosti izvedemo prvo dejanje neposredno s spremenljivko in nato drugo dejanje s tistim, kar je rezultat prvega.

Z lahkoto lahko naredimo iste korake v obratnem vrstnem redu: najprej ga kvadrirate, jaz pa nato poiščem kosinus dobljenega števila: . Zlahka je uganiti, da bo rezultat skoraj vedno drugačen. Pomembna značilnost kompleksnih funkcij: ko se spremeni vrstni red dejanj, se spremeni funkcija.

Z drugimi besedami, kompleksna funkcija je funkcija, katere argument je druga funkcija: .

Za prvi primer,.

Drugi primer: (isto). .

Poklicano bo dejanje, ki ga izvedemo nazadnje "zunanjo" funkcijo, in prvo izvedeno dejanje - temu primerno "notranja" funkcija(to so neformalna imena, uporabljam jih samo za razlago snovi v preprostem jeziku).

Poskusite sami ugotoviti, katera funkcija je zunanja in katera notranja:

odgovori: Ločevanje notranjih in zunanjih funkcij je zelo podobno spreminjanju spremenljivk: na primer v funkciji

1. Katero dejanje bomo najprej izvedli? Najprej izračunajmo sinus, šele nato ga kubiramo. To pomeni, da gre za notranjo funkcijo, vendar zunanjo.
   In prvotna funkcija je njihova sestava: .
2. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .
3. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .
4. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .
5. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .

Spremenimo spremenljivke in dobimo funkcijo.

No, zdaj bomo izluščili našo čokoladico in poiskali izpeljanko. Postopek je vedno obraten: najprej iščemo odvod zunanje funkcije, nato rezultat pomnožimo z odvodom notranje funkcije. Glede na originalni primer je videti takole:

Še en primer:

Torej, končno oblikujmo uradno pravilo:

Algoritem za iskanje odvoda kompleksne funkcije:

Zdi se preprosto, kajne?

Preverimo s primeri:

rešitve:

1) Notranji: ;

Zunanji: ;

2) Notranji: ;

(Samo ne poskušajte ga zdaj odrezati! Nič ne pride izpod kosinusa, se spomnite?)

3) Notranji: ;

Zunanji: ;

Takoj je jasno, da gre za trinivojsko kompleksno funkcijo: navsezadnje je to že sama po sebi kompleksna funkcija in iz nje izluščimo tudi koren, torej izvedemo tretje dejanje (čokolado damo v ovoj in s trakom v aktovki). Vendar ni razloga za strah: to funkcijo bomo še vedno "odpakirali" v istem vrstnem redu kot običajno: od konca.

To pomeni, da najprej diferenciramo koren, nato kosinus in šele nato izraz v oklepaju. In potem vse pomnožimo.

V takih primerih je priročno oštevilčiti dejanja. Se pravi, predstavljajmo si, kaj vemo. V kakšnem vrstnem redu bomo izvajali dejanja za izračun vrednosti tega izraza? Poglejmo primer:

Kasneje ko se izvede dejanje, bolj "zunanja" bo ustrezna funkcija. Zaporedje dejanj je enako kot prej:

Tu je gnezdenje običajno 4-nivojsko. Določimo potek ukrepanja.

1. Radikalno izražanje. .

2. Koren. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Vse skupaj:

IZPELJAVKA. NA KRATKO O GLAVNEM

Odvod funkcije- razmerje med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta za neskončno majhen prirastek argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila razlikovanja:

Konstanta je vzeta iz izpeljanke:

Izpeljanka vsote:

Izpeljanka izdelka:

Izpeljanka količnika:

Odvod kompleksne funkcije:

Algoritem za iskanje odvoda kompleksne funkcije:

1. Definiramo “notranjo” funkcijo in poiščemo njen odvod.
2. Definiramo “zunanjo” funkcijo in poiščemo njen odvod.
3. Rezultate prve in druge točke pomnožimo.

Reševanje fizikalnih problemov ali primerov v matematiki je popolnoma nemogoče brez poznavanja odvoda in metod za njegov izračun. Odvod je eden najpomembnejših pojmov v matematični analizi. Odločili smo se, da današnji članek posvetimo tej temeljni temi. Kaj je derivat, kakšna je njegova fizična in geometrijski pomen kako izračunati odvod funkcije? Vsa ta vprašanja je mogoče združiti v eno: kako razumeti izpeljanko?

Geometrijski in fizikalni pomen odvoda

Naj bo funkcija f(x) , določene v določenem intervalu (a, b) . Točki x in x0 pripadata temu intervalu. Ko se x spremeni, se spremeni tudi sama funkcija. Spreminjanje argumenta - razlika v njegovih vrednostih x-x0 . Ta razlika je zapisana kot delta x in se imenuje prirast argumenta. Sprememba ali povečanje funkcije je razlika med vrednostmi funkcije na dveh točkah. Opredelitev derivata:

Odvod funkcije v točki je meja razmerja med prirastkom funkcije v dani točki in prirastkom argumenta, ko slednji teži k nič.

Sicer se lahko zapiše takole:

Kakšen smisel ima iskanje takšne meje? In to je:

odvod funkcije v točki je enak tangensu kota med osjo OX in tangento na graf funkcije v dani točki.

Fizični pomen derivat: odvod poti po času je enak hitrosti premokotnega gibanja.

Dejansko že od šolskih dni vsi vedo, da je hitrost posebna pot x=f(t) in čas t . Povprečna hitrost za določen čas:

Ugotoviti hitrost gibanja v določenem trenutku t0 morate izračunati mejo:

Prvo pravilo: nastavite konstanto

Konstanto lahko vzamemo iz predznaka izpeljanke. Poleg tega je to treba storiti. Pri reševanju primerov v matematiki vzemite pravilo - Če lahko izraz poenostavite, ga obvezno poenostavite .

Primer. Izračunajmo izpeljanko:

Drugo pravilo: odvod vsote funkcij

Odvod vsote dveh funkcij je enak vsoti odvodov teh funkcij. Enako velja za odvod razlike funkcij.

Ne bomo podajali dokaza tega izreka, ampak raje razmislimo o praktičnem primeru.

Poiščite odvod funkcije:

Tretje pravilo: odvod produkta funkcij

Odvod produkta dveh diferenciabilnih funkcij se izračuna po formuli:

Primer: poiščite odvod funkcije:

rešitev:

Tukaj je pomembno govoriti o izračunu odvodov kompleksnih funkcij. Odvod kompleksne funkcije je enak produktu odvoda te funkcije glede na vmesni argument in odvoda vmesnega argumenta glede na neodvisno spremenljivko.

V zgornjem primeru naletimo na izraz:

V tem primeru je vmesni argument 8x na peto potenco. Da bi izračunali odvod takega izraza, najprej izračunamo odvod zunanje funkcije glede na vmesni argument, nato pa pomnožimo z odvodom samega vmesnega argumenta glede na neodvisno spremenljivko.

Četrto pravilo: odvod kvocienta dveh funkcij

Formula za določanje odvoda količnika dveh funkcij:

Poskušali smo govoriti o derivatih za lutke iz nič. Ta tema ni tako enostavna, kot se zdi, zato pozor: v primerih so pogosto pasti, zato bodite previdni pri izračunu izpeljank.

Z morebitnimi vprašanji o tej in drugih temah se lahko obrnete na študentski servis. zadaj kratkoročno Pomagali vam bomo rešiti najtežje teste in rešiti probleme, tudi če še nikoli niste delali izračunov izpeljank.

In izrek o odvodu kompleksne funkcije, katerega formulacija je naslednja:

Naj ima 1) funkcija $u=\varphi (x)$ na neki točki $x_0$ odvod $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) funkcija $y=f(u)$ imajo v ustrezni točki $u_0=\varphi (x_0)$ odvod $y_(u)"=f"(u)$. Potem bo tudi kompleksna funkcija $y=f\left(\varphi (x) \right)$ v omenjeni točki imela odvod, ki je enak produktu odvodov funkcij $f(u)$ in $\varphi ( x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\desno)"=f_(u)"\levo(\varphi (x_0) \desno)\cdot \varphi"(x_0) $$

ali v krajšem zapisu: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

V primerih v tem razdelku imajo vse funkcije obliko $y=f(x)$ (tj. upoštevamo samo funkcije ene spremenljivke $x$). Zato je v vseh primerih izpeljanka $y"$ vzeta glede na spremenljivko $x$. Da bi poudarili, da je izpeljanka vzeta glede na spremenljivko $x$, je namesto $y pogosto zapisano $y"_x$ "$.

Primeri št. 1, št. 2 in št. 3 opisujejo podroben postopek za iskanje odvoda kompleksnih funkcij. Primer št. 4 je namenjen popolnejšemu razumevanju izpeljane tabele in se je z njim smiselno seznaniti.

Priporočljivo je, da po študiju gradiva v primerih št. 1-3 preidete na samostojno reševanje primerov št. 5, št. 6 in št. 7. Primeri #5, #6 in #7 vsebujejo kratko rešitev, tako da lahko bralec preveri pravilnost svojega rezultata.

Primer št. 1

Poiščite odvod funkcije $y=e^(\cos x)$.

Najti moramo odvod kompleksne funkcije $y"$. Ker je $y=e^(\cos x)$, potem $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. Za poiščemo odvod $ \left(e^(\cos x)\right)"$ uporabimo formulo št. 6 iz tabele odvodov. Za uporabo formule št. 6 moramo upoštevati, da je v našem primeru $u=\cos x$. Nadaljnja rešitev je preprosta zamenjava izraza $\cos x$ namesto $u$ v formulo št. 6:

$$ y"=\levo(e^(\cos x) \desno)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \oznaka (1.1)$$

Zdaj moramo najti vrednost izraza $(\cos x)"$. Ponovno se obrnemo na tabelo izpeljank in iz nje izberemo formulo št. 10. Če $u=x$ nadomestimo v formulo št. 10, imamo : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Zdaj pa nadaljujmo enakost (1.1) in jo dopolnimo z najdenim rezultatom:

$$ y"=\levo(e^(\cos x) \desno)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Ker je $x"=1$, nadaljujemo enakost (1.2):

$$ y"=\levo(e^(\cos x) \desno)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Torej, iz enakosti (1.3) imamo: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Razlage in vmesne enakosti seveda običajno preskočimo, ugotovitev odvoda pa zapišemo v eno vrstico, kot v enačbi ( 1.3) Torej, odvod kompleksne funkcije je najden, preostane nam le še odgovor.

Odgovori: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Primer št. 2

Poiščite odvod funkcije $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Izračunati moramo odvod $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Za začetek omenimo, da lahko konstanto (tj. številko 9) vzamemo iz izpeljanke:

$$ y"=\levo(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)"=9\cdot\levo(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)" \tag (2.1) $$

Zdaj pa pojdimo k izrazu $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Za lažjo izbiro želene formule iz tabele izpeljank bom predstavil izraz v tej obliki: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Zdaj je jasno, da je treba uporabiti formulo št. 2, tj. $\levo(u^\alpha \desno)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. V to formulo nadomestimo $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ in $\alpha=12$:

Če enakost (2.1) dopolnimo z dobljenim rezultatom, imamo:

$$ y"=\levo(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)"=9\cdot\levo(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)"= 108\cdot\levo(\arctg(4\cdot \ln x) \desno)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \oznaka (2.2) $$

V tej situaciji pogosto pride do napake, ko reševalec v prvem koraku izbere formulo $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ namesto formule $\left(u^\ alpha \desno)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Gre za to, da mora biti na prvem mestu odvod zunanje funkcije. Da bi razumeli, katera funkcija bo zunanja glede na izraz $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, si predstavljajte, da računate vrednost izraza $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ pri neki vrednosti $x$. Najprej boste izračunali vrednost $5^x$, nato rezultat pomnožili s 4 in dobili $4\cdot 5^x$. Zdaj iz tega rezultata vzamemo arktangens in dobimo $\arctg(4\cdot 5^x)$. Nato dobljeno število dvignemo na dvanajsto potenco in dobimo $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Zadnje dejanje, tj. povišanje na potenco 12, - in bo zunanja funkcija. In iz tega moramo začeti iskati odvod, kar je bilo storjeno v enačbi (2.2).

Zdaj moramo poiskati $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Uporabimo formulo št. 19 tabele izpeljank in vanjo nadomestimo $u=4\cdot \ln x$:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Nekoliko poenostavimo dobljeni izraz, pri čemer upoštevamo $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Enakost (2.2) bo zdaj postala:

$$ y"=\levo(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)"=9\cdot\levo(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)"=\\ =108\cdot\levo(\arctg(4\cdot \ln x) \desno)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \desno)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Še vedno je treba najti $(4\cdot \ln x)"$. Vzemimo konstanto (tj. 4) iz izpeljanke: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. Za iskanje $(\ln x)"$ uporabimo formulo št. 8 in vanjo nadomestimo $u=x$: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. Ker je $x"=1$, potem je $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Z nadomestitvijo dobljenega rezultata v formulo (2.3) dobimo:

$$ y"=\levo(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)"=9\cdot\levo(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)"=\\ =108\cdot\levo(\arctg(4\cdot \ln x) \desno)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \desno)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \desno)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Naj vas spomnim, da se odvod kompleksne funkcije največkrat nahaja v eni vrstici, kot je zapisano v zadnji enačbi. Zato pri pripravi standardnih izračunov oz testi Rešitve sploh ni potrebno tako podrobno opisovati.

Odgovori: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Primer št. 3

Poiščite $y"$ funkcije $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Najprej rahlo transformirajmo funkcijo $y$, izrazimo radikal (koren) kot potenco: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \desno)^(\frac(3)(7))$. Zdaj pa začnimo iskati izpeljanko. Ker je $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, potem:

$$ y"=\levo(\levo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7))\desno)" \oznaka (3.1) $$

Uporabimo formulo št. 2 iz tabele izpeljank in vanjo nadomestimo $u=\sin(5\cdot 9^x)$ in $\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Nadaljujmo enakost (3.1) z uporabo dobljenega rezultata:

$$ y"=\levo(\levo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7))\desno)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Sedaj moramo poiskati $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Za to uporabimo formulo št. 9 iz tabele izpeljank in vanjo nadomestimo $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Ko enakost (3.2) dopolnimo z dobljenim rezultatom, imamo:

$$ y"=\levo(\levo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7))\desno)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \oznaka (3.3) $$

Še vedno je treba poiskati $(5\cdot 9^x)"$. Najprej vzemimo konstanto (število $5$) izven znaka izpeljanke, tj. $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. Če želite najti izpeljanko $(9^x)"$, uporabite formulo št. 5 iz tabele izpeljank in vanjo nadomestite $a=9$ in $u=x$: $(9^x) )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Ker je $x"=1$, potem $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Sedaj lahko nadaljujemo enakost (3.3):

$$ y"=\levo(\levo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7))\desno)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \levo(\sin(5\cdot 9^x)\desno) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Spet se lahko vrnemo od potenc k radikalom (tj. korenom) in zapišemo $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ v obliki $\ frac(1)(\levo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$. Potem bo izpeljanka zapisana v tej obliki:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Odgovori: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

Primer št. 4

Pokažite, da sta formuli št. 3 in št. 4 tabele derivatov enaki poseben primer formule št. 2 te tabele.

Formula št. 2 tabele odvodov vsebuje odvod funkcije $u^\alpha$. Če zamenjamo $\alpha=-1$ v formulo št. 2, dobimo:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\oznaka (4.1)$$

Ker je $u^(-1)=\frac(1)(u)$ in $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, lahko enakost (4.1) prepišemo takole: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. To je formula št. 3 tabele derivatov.

Ponovno se obrnemo na formulo št. 2 tabele derivatov. Vanj nadomestimo $\alpha=\frac(1)(2)$:

$$\levo(u^(\frac(1)(2))\desno)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\oznaka (4.2) $$

Ker je $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ in $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, potem lahko enakost (4.2) prepišemo takole:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Nastala enakost $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ je formula št. 4 tabele odvodov. Kot lahko vidite, sta formuli št. 3 in št. 4 tabele izpeljav pridobljeni iz formule št. 2 z zamenjavo ustrezne vrednosti $\alpha$.