Ayon sa aklat-aralin nina Sovetov at Yakovlev: "ang isang modelo (lat. modulus - sukat) ay isang kapalit na bagay para sa orihinal na bagay, na nagsisiguro sa pag-aaral ng ilang mga katangian ng orihinal." (p. 6) "Ang pagpapalit ng isang bagay sa isa pa upang makakuha ng impormasyon tungkol sa pinakamahalagang katangian ng orihinal na bagay gamit ang isang modelong bagay ay tinatawag na pagmomodelo." (p. 6) “Sa pamamagitan ng matematikal na pagmomodelo ay nauunawaan natin ang proseso ng pagtatatag ng isang sulat sa isang naibigay na tunay na bagay na may isang tiyak na bagay sa matematika, na tinatawag na isang modelong matematikal, at ang pag-aaral ng modelong ito, na nagpapahintulot sa atin na makuha ang mga katangian ng tunay bagay na isinasaalang-alang. Ang uri ng mathematical model ay nakasalalay pareho sa likas na katangian ng tunay na bagay at ang mga gawain ng pag-aaral ng bagay at ang kinakailangang pagiging maaasahan at katumpakan ng paglutas ng problemang ito.

Panghuli, ang pinaka-maigsi na kahulugan ng isang mathematical model: "Isang equation na nagpapahayag ng ideya».

Pag-uuri ng modelo

Pormal na pag-uuri ng mga modelo

Ang pormal na pag-uuri ng mga modelo ay batay sa pag-uuri ng mga kasangkapang pangmatematika na ginamit. Kadalasan ay itinayo sa anyo ng mga dichotomies. Halimbawa, isa sa mga sikat na hanay ng mga dichotomies:

at iba pa. Ang bawat itinayong modelo ay linear o nonlinear, deterministic o stochastic,... Natural, posible rin halo-halong uri: sa isang paggalang puro (sa mga tuntunin ng mga parameter), sa isa pa - ipinamahagi na mga modelo, atbp.

Pag-uuri ayon sa paraan na kinakatawan ang bagay

Kasama ang pormal na pag-uuri, ang mga modelo ay nagkakaiba sa paraan ng pagkatawan ng mga ito sa isang bagay:

Estruktural o functional na mga modelo

Mga istrukturang modelo kumakatawan sa isang bagay bilang isang sistema na may sariling istraktura at mekanismo ng paggana. Mga functional na modelo huwag gumamit ng gayong mga representasyon at sumasalamin lamang sa panlabas na perceived na pag-uugali (paggana) ng bagay. Sa kanilang matinding pagpapahayag, tinatawag din silang mga modelong "itim na kahon". Posible rin ang mga pinagsamang uri ng mga modelo, na kung minsan ay tinatawag na " kulay abong kahon».

Nilalaman at pormal na mga modelo

Halos lahat ng mga may-akda ay naglalarawan sa proseso pagmomodelo ng matematika, ipahiwatig na una ang isang espesyal na perpektong istraktura ay binuo, modelo ng nilalaman. Walang itinatag na terminolohiya dito, at tinatawag ng ibang mga may-akda ang perpektong bagay na ito konseptwal na modelo , speculative na modelo o premodel. Sa kasong ito, ang pangwakas na konstruksyon ng matematika ay tinatawag pormal na modelo o simpleng modelong matematikal na nakuha bilang resulta ng pormalisasyon ng isang ibinigay na makabuluhang modelo (pre-model). Ang pagtatayo ng isang makabuluhang modelo ay maaaring gawin gamit ang isang hanay ng mga nakahandang ideyalisasyon, tulad ng sa mekanika, kung saan ang mga ideal na bukal, matibay na katawan, perpektong pendulum, nababanat na media, atbp. ay nagbibigay ng mga nakahandang elemento ng istruktura para sa makabuluhang pagmomodelo. Gayunpaman, sa mga lugar ng kaalaman kung saan walang ganap na nakumpletong pormal na mga teorya (ang cutting edge ng physics, biology, economics, sociology, psychology, at karamihan sa iba pang larangan), ang paglikha ng mga makabuluhang modelo ay nagiging mas mahirap.

Pag-uuri ng nilalaman ng mga modelo

Walang hypothesis sa agham ang mapapatunayan minsan at para sa lahat. Malinaw itong binalangkas ni Richard Feynman:

"Palagi kaming may pagkakataon na pabulaanan ang isang teorya, ngunit tandaan na hindi namin mapapatunayan na ito ay tama. Ipagpalagay natin na naglagay ka ng matagumpay na hypothesis, kinakalkula kung saan ito humahantong, at nalaman na ang lahat ng mga kahihinatnan nito ay nakumpirma sa eksperimentong paraan. Nangangahulugan ba ito na tama ang iyong teorya? Hindi, nangangahulugan lamang ito na nabigo kang pabulaanan ito.”

Kung ang isang modelo ng unang uri ay binuo, ito ay nangangahulugan na ito ay pansamantalang tinatanggap bilang katotohanan at ang isa ay maaaring tumutok sa iba pang mga problema. Gayunpaman, hindi ito maaaring maging punto sa pananaliksik, ngunit pansamantalang paghinto lamang: ang status ng isang modelo ng unang uri ay maaari lamang pansamantala.

Uri 2: Phenomenological na modelo (umasal kami na parang…)

Ang isang phenomenological model ay naglalaman ng isang mekanismo para sa paglalarawan ng isang phenomenon. Gayunpaman, ang mekanismong ito ay hindi sapat na nakakumbinsi, hindi sapat na makumpirma ng magagamit na data, o hindi angkop sa umiiral na mga teorya at naipon na kaalaman tungkol sa bagay. Samakatuwid, ang mga phenomenological na modelo ay may katayuan ng mga pansamantalang solusyon. Ito ay pinaniniwalaan na ang sagot ay hindi pa rin alam at ang paghahanap para sa "mga tunay na mekanismo" ay dapat magpatuloy. Kasama sa Peierls, halimbawa, ang caloric na modelo at ang quark na modelo ng elementarya na mga particle bilang pangalawang uri.

Ang papel ng modelo sa pananaliksik ay maaaring magbago sa paglipas ng panahon, at maaaring mangyari na ang mga bagong data at teorya ay nagpapatunay ng mga phenomenological na modelo at sila ay na-promote sa katayuan ng isang hypothesis. Gayundin, ang bagong kaalaman ay maaaring unti-unting sumalungat sa mga modelo-hypotheses ng unang uri, at maaari silang isalin sa pangalawa. Kaya, ang modelo ng quark ay unti-unting lumilipat sa kategorya ng mga hypotheses; Ang atomismo sa pisika ay lumitaw bilang isang pansamantalang solusyon, ngunit sa takbo ng kasaysayan ito ang naging unang uri. Ngunit ang mga modelo ng ether ay gumawa ng kanilang paraan mula sa uri 1 hanggang sa uri 2, at ngayon ay nasa labas ng agham.

Ang ideya ng pagpapasimple ay napakapopular kapag nagtatayo ng mga modelo. Ngunit ang pagpapasimple ay dumating sa iba't ibang anyo. Tinutukoy ni Peierls ang tatlong uri ng pagpapasimple sa pagmomodelo.

Uri 3: Pagtataya (itinuturing namin ang isang bagay na napakalaki o napakaliit)

Kung posible na bumuo ng mga equation na naglalarawan sa sistemang pinag-aaralan, hindi ito nangangahulugan na maaari silang malutas kahit na sa tulong ng isang computer. Ang isang karaniwang pamamaraan sa kasong ito ay ang paggamit ng mga pagtatantya (uri ng 3 mga modelo). Sa kanila mga linear na modelo ng pagtugon. Ang mga equation ay pinalitan ng mga linear. Ang isang karaniwang halimbawa ay ang batas ng Ohm.

Narito ang Uri 8, na laganap sa mga modelo ng matematika ng mga biological system.

Uri 8: Pagpapakita ng Tampok (ang pangunahing bagay ay upang ipakita ang panloob na pagkakapare-pareho ng posibilidad)

Ito rin ay mga eksperimento sa pag-iisip na may mga haka-haka na entity na nagpapakita nito dapat na phenomenon pare-pareho sa mga pangunahing prinsipyo at panloob na pare-pareho. Ito ang pangunahing pagkakaiba mula sa mga modelo ng uri 7, na nagpapakita ng mga nakatagong kontradiksyon.

Ang isa sa pinakatanyag sa mga eksperimentong ito ay ang geometry ni Lobachevsky (tinawag ito ni Lobachevsky na "imaginary geometry"). Ang isa pang halimbawa ay ang mass production ng mga pormal na kinetic na modelo ng chemical at biological vibrations, autowaves, atbp. Ang Einstein-Podolsky-Rosen na kabalintunaan ay naisip bilang isang type 7 na modelo upang ipakita ang hindi pagkakapare-pareho quantum mechanics. Sa isang ganap na hindi planadong paraan, sa kalaunan ay naging isang type 8 na modelo - isang pagpapakita ng posibilidad ng quantum teleportation ng impormasyon.

Halimbawa

Isaalang-alang ang isang mekanikal na sistema na binubuo ng isang spring, na naayos sa isang dulo, at isang mass ng mass, na nakakabit sa libreng dulo ng spring. Ipagpalagay namin na ang pagkarga ay maaari lamang lumipat sa direksyon ng spring axis (halimbawa, ang paggalaw ay nangyayari sa kahabaan ng baras). Bumuo tayo ng mathematical model ng system na ito. Ilalarawan namin ang estado ng system sa pamamagitan ng distansya mula sa gitna ng load hanggang sa posisyon ng equilibrium nito. Ilarawan natin ang interaksyon ng spring at ang load gamit Batas ni Hooke() at pagkatapos ay gamitin ang pangalawang batas ni Newton upang ipahayag ito sa anyo ng isang differential equation:

kung saan nangangahulugang ang pangalawang derivative ng may paggalang sa oras: .

Ang resultang equation ay naglalarawan ng mathematical model ng itinuturing na pisikal na sistema. Ang modelong ito ay tinatawag na "harmonic oscillator".

Ayon sa pormal na pag-uuri, ang modelong ito ay linear, deterministic, dynamic, concentrated, tuluy-tuloy. Sa proseso ng pagtatayo nito, gumawa kami ng maraming mga pagpapalagay (tungkol sa kawalan ng mga panlabas na puwersa, kawalan ng alitan, ang liit ng mga paglihis, atbp.), Na sa katotohanan ay maaaring hindi matugunan.

May kaugnayan sa katotohanan, ito ay kadalasang isang uri ng 4 na modelo pagpapasimple(“aalisin namin ang ilang detalye para sa kalinawan”), dahil ang ilang mahahalagang unibersal na tampok (halimbawa, pagwawaldas) ay tinanggal. Sa ilang pagtatantya (sabihin, habang ang paglihis ng load mula sa equilibrium ay maliit, na may mababang friction, para sa hindi masyadong maraming oras at napapailalim sa ilang iba pang mga kundisyon), ang gayong modelo ay naglalarawan ng isang tunay na mekanikal na sistema, dahil ang mga itinapon na mga kadahilanan ay may. isang hindi gaanong epekto sa pag-uugali nito. Gayunpaman, ang modelo ay maaaring pinuhin sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa ilan sa mga salik na ito. Ito ay hahantong sa isang bagong modelo, na may mas malawak (bagama't muli ay limitado) na saklaw ng pagkakalapat.

Gayunpaman, kapag pinipino ang modelo, ang pagiging kumplikado ng mathematical na pananaliksik nito ay maaaring tumaas nang malaki at gawing halos walang silbi ang modelo. Kadalasan, ang isang mas simpleng modelo ay nagbibigay-daan para sa mas mahusay at mas malalim na paggalugad ng isang tunay na sistema kaysa sa isang mas kumplikado (at, pormal na, "mas tama").

Kung ilalapat natin ang modelo ng harmonic oscillator sa mga bagay na malayo sa physics, maaaring iba ang substantive status nito. Halimbawa, kapag inilalapat ang modelong ito sa mga biyolohikal na populasyon, malamang na maiuri ito bilang uri 6 pagkakatulad("isaalang-alang lamang natin ang ilang mga tampok").

Matigas at malambot na mga modelo

Ang harmonic oscillator ay isang halimbawa ng tinatawag na "hard" na modelo. Ito ay nakuha bilang isang resulta ng isang malakas na idealization ng isang tunay na pisikal na sistema. Upang malutas ang isyu ng pagiging angkop nito, kailangang maunawaan kung gaano kahalaga ang mga salik na napabayaan natin. Sa madaling salita, kinakailangang pag-aralan ang "malambot" na modelo, na nakuha sa pamamagitan ng isang maliit na kaguluhan ng "matigas" na isa. Maaari itong ibigay, halimbawa, sa pamamagitan ng sumusunod na equation:

Narito ang ilang function na maaaring isaalang-alang ang friction force o ang dependence ng spring stiffness coefficient sa antas ng pag-stretch nito - ilang maliit na parameter. Hindi kami interesado sa tahasang anyo ng function sa ngayon. Kung patunayan natin na ang pag-uugali ng malambot na modelo ay hindi pangunahing naiiba sa pag-uugali ng matigas na isa (anuman ang tahasang uri ng mga nakababagabag na salik, kung ang mga ito ay sapat na maliit), ang problema ay mababawasan sa pag-aaral ng mahirap na modelo. Kung hindi, ang aplikasyon ng mga resulta na nakuha mula sa pag-aaral ng matibay na modelo ay mangangailangan ng karagdagang pananaliksik. Halimbawa, ang solusyon sa equation ng isang harmonic oscillator ay mga function ng form , iyon ay, mga oscillations na may pare-pareho ang amplitude. Sinusundan ba ito mula dito na ang isang tunay na osileytor ay mag-oscilllate nang walang katiyakan na may palaging amplitude? Hindi, dahil isinasaalang-alang ang isang sistema na may arbitraryong maliit na alitan (palaging naroroon sa isang tunay na sistema), nakakakuha tayo ng mga damped oscillations. Ang pag-uugali ng sistema ay nagbago nang husay.

Kung ang isang sistema ay nagpapanatili ng kanyang husay na pag-uugali sa ilalim ng maliliit na kaguluhan, ito ay sinasabing matatag sa istruktura. Ang isang harmonic oscillator ay isang halimbawa ng isang hindi matatag na sistema (hindi magaspang) na istruktura. Gayunpaman, ang modelong ito ay maaaring gamitin upang pag-aralan ang mga proseso sa mga limitadong yugto ng panahon.

Versatility ng mga modelo

Karaniwang mayroon ang pinakamahalagang modelo ng matematika mahalagang ari-arian kagalingan sa maraming bagay: Ang pangunahing magkakaibang totoong phenomena ay maaaring ilarawan ng parehong modelo ng matematika. Halimbawa, inilalarawan ng isang harmonic oscillator hindi lamang ang pag-uugali ng isang load sa isang spring, kundi pati na rin ang iba pang mga proseso ng oscillatory, kadalasan ng isang ganap na naiibang kalikasan: maliit na mga oscillations ng isang pendulum, mga pagbabago sa antas ng isang likido sa isang hugis-A na sisidlan. , o isang pagbabago sa kasalukuyang lakas sa isang oscillatory circuit. Kaya, sa pamamagitan ng pag-aaral ng isang modelo ng matematika, agad naming pinag-aaralan ang isang buong klase ng mga phenomena na inilarawan nito. Ito ang isomorphism ng mga batas na ipinahayag ng mga modelo ng matematika sa iba't ibang mga segment siyentipikong kaalaman, nagbigay inspirasyon kay Ludwig von Bertalanffy na lumikha ng "General Systems Theory".

Direkta at kabaligtaran na mga problema ng pagmomolde ng matematika

Maraming mga problema na nauugnay sa pagmomodelo ng matematika. Una, kailangan mong makabuo ng isang pangunahing diagram ng modelong bagay, kopyahin ito sa loob ng balangkas ng mga ideyalisasyon ng agham na ito. Kaya, ang isang tren na kotse ay nagiging isang sistema ng mga plato at mas kumplikadong mga katawan mula sa iba't ibang materyales, ang bawat materyal ay tinukoy bilang ang karaniwang mekanikal na idealization nito (density, elastic moduli, standard na mga katangian ng lakas), pagkatapos kung saan ang mga equation ay pinagsama-sama, kasama ang ilang mga detalye ay itinapon bilang hindi mahalaga, ang mga kalkulasyon ay ginawa, kumpara sa mga sukat, ang modelo ay pino, at iba pa. Gayunpaman, upang bumuo ng mga teknolohiya sa pagmomodelo ng matematika, kapaki-pakinabang na i-disassemble ang prosesong ito sa mga pangunahing bahagi nito.

Ayon sa kaugalian, mayroong dalawang pangunahing klase ng mga problema na nauugnay sa mga modelo ng matematika: direkta at kabaligtaran.

Direktang gawain: ang istraktura ng modelo at ang lahat ng mga parameter nito ay itinuturing na kilala, ang pangunahing gawain ay upang magsagawa ng pag-aaral ng modelo upang kunin ang kapaki-pakinabang na kaalaman tungkol sa bagay. Alin static na pagkarga mabubuhay ba ang tulay? Paano ito magiging reaksyon sa isang dynamic na pagkarga (halimbawa, sa martsa ng isang kumpanya ng mga sundalo, o sa pagpasa ng isang tren sa iba't ibang bilis), kung paano malalampasan ng eroplano ang sound barrier, kung ito ay mahuhulog mula sa flutter - ito ay karaniwang mga halimbawa ng isang direktang problema. Ang pagtatakda ng tamang direktang problema (pagtatanong ng tamang tanong) ay nangangailangan ng espesyal na kasanayan. Kung hindi tatanungin ang mga tamang tanong, maaaring gumuho ang isang tulay, kahit na nakagawa na ng magandang modelo para sa pag-uugali nito. Kaya, noong 1879, isang metal na tulay sa kabila ng River Tay ang gumuho sa Great Britain, ang mga taga-disenyo kung saan nagtayo ng isang modelo ng tulay, kinakalkula ito upang magkaroon ng 20-tiklop na kadahilanan sa kaligtasan para sa pagkilos ng kargamento, ngunit nakalimutan ang tungkol sa hangin. patuloy na umiihip sa mga lugar na iyon. At pagkatapos ng isang taon at kalahati ay bumagsak ito.

Sa pinakasimpleng kaso (isang oscillator equation, halimbawa), ang direktang problema ay napakasimple at bumababa sa isang tahasang solusyon ng equation na ito.

Baliktad na problema: maraming posibleng mga modelo ang kilala, ang isang partikular na modelo ay dapat mapili batay sa karagdagang data tungkol sa bagay. Kadalasan, ang istraktura ng modelo ay kilala, at ang ilang hindi kilalang mga parameter ay kailangang matukoy. karagdagang impormasyon maaaring binubuo ng karagdagang empirical data, o mga kinakailangan para sa bagay ( problema sa disenyo). Maaaring dumating ang karagdagang data anuman ang proseso ng pagpapasya baligtad na problema (pasibong pagmamasid) o maging resulta ng isang eksperimento na espesyal na binalak sa panahon ng solusyon ( aktibong pagsubaybay).

Isa sa mga unang halimbawa ng isang mahusay na solusyon sa isang baligtad na problema na may ganap na paggamit ng magagamit na data ay ang paraan na binuo ni I. Newton para sa muling pagtatayo ng mga puwersa ng friction mula sa naobserbahang damped oscillations.

Ang isa pang halimbawa ay ang mga istatistika ng matematika. Ang gawain ng agham na ito ay bumuo ng mga pamamaraan para sa pagtatala, paglalarawan at pagsusuri ng obserbasyonal at pang-eksperimentong data upang makabuo ng mga probabilistikong modelo ng mass random phenomena. Yung. ang hanay ng mga posibleng modelo ay limitado sa mga probabilistikong modelo. Sa mga partikular na gawain, mas limitado ang hanay ng mga modelo.

Mga sistema ng simulation ng computer

Upang suportahan ang pagmomodelo ng matematika, binuo ang mga sistema ng matematika sa computer, halimbawa, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, atbp. Nagbibigay-daan sa iyo ang mga ito na lumikha ng pormal at harang na mga modelo ng parehong simple at kumplikadong proseso at mga device at madaling baguhin ang mga parameter ng modelo sa panahon ng simulation. I-block ang mga modelo ay kinakatawan ng mga bloke (madalas na graphic), ang hanay at koneksyon kung saan ay tinukoy ng diagram ng modelo.

Karagdagang mga halimbawa

modelo ni Malthus

Ang rate ng paglago ay proporsyonal sa kasalukuyang laki ng populasyon. Inilalarawan ito ng differential equation

kung saan ang isang tiyak na parameter ay tinutukoy ng pagkakaiba sa pagitan ng rate ng kapanganakan at rate ng kamatayan. Ang solusyon sa equation na ito ay isang exponential function. Kung ang rate ng kapanganakan ay lumampas sa rate ng pagkamatay (), ang laki ng populasyon ay tumataas nang walang katiyakan at napakabilis. Malinaw na sa katotohanan ay hindi ito maaaring mangyari dahil sa limitadong mapagkukunan. Kapag naabot ang isang partikular na kritikal na laki ng populasyon, ang modelo ay hindi na maging sapat, dahil hindi nito isinasaalang-alang ang limitadong mga mapagkukunan. Ang isang pagpipino ng modelo ng Malthus ay maaaring isang logistic na modelo, na inilalarawan ng Verhulst differential equation

kung saan ang laki ng populasyon ng "equilibrium", kung saan ang rate ng kapanganakan ay eksaktong binabayaran ng rate ng pagkamatay. Ang laki ng populasyon sa naturang modelo ay may posibilidad sa isang equilibrium na halaga , at ang gawi na ito ay matatag sa istruktura.

Sistema ng predator-prey

Sabihin nating sa isang tiyak na lugar mayroong dalawang uri ng hayop: kuneho (kumakain ng mga halaman) at fox (kumakain ng mga kuneho). Hayaan ang bilang ng mga kuneho, ang bilang ng mga fox. Gamit ang modelo ng Malthus na may mga kinakailangang susog upang isaalang-alang ang pagkain ng mga kuneho ng mga fox, nakarating kami sa sumusunod na sistema, pinangalanan mga modelo Mga tray - Volterra:

Ang sistemang ito ay may equilibrium na estado kapag ang bilang ng mga kuneho at mga fox ay pare-pareho. Ang paglihis mula sa estadong ito ay nagreresulta sa mga pagbabago sa mga bilang ng mga kuneho at mga fox, katulad ng mga pagbabago ng isang harmonic oscillator. Tulad ng harmonic oscillator, ang pag-uugali na ito ay hindi matatag sa istruktura: ang isang maliit na pagbabago sa modelo (halimbawa, isinasaalang-alang ang limitadong mapagkukunan na kinakailangan ng mga kuneho) ay maaaring humantong sa isang pagbabago sa husay sa pag-uugali. Halimbawa, ang estado ng balanse ay maaaring maging matatag, at ang mga pagbabago sa mga numero ay mawawala. Posible rin ang kabaligtaran na sitwasyon, kapag ang anumang maliit na paglihis mula sa posisyon ng balanse ay hahantong sa mga sakuna na kahihinatnan, hanggang sa kumpletong pagkalipol ng isa sa mga species. Hindi sinasagot ng modelong Volterra-Lotka ang tanong kung alin sa mga senaryo na ito ang naisasakatuparan: kailangan ng karagdagang pananaliksik dito.

Mga Tala

"Isang mathematical na representasyon ng katotohanan" (Encyclopaedia Britanica)
Novik I. B., Sa mga isyung pilosopikal ng cybernetic modeling. M., Kaalaman, 1964.
Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Pagmomodelo ng mga system: Proc. para sa mga unibersidad - 3rd ed., binago. at karagdagang - M.: Mas mataas. paaralan, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Pagmomodelo sa matematika. Mga ideya. Paraan. Mga halimbawa. - 2nd ed., rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Myshkis A. D., Mga elemento ng teorya ng mga modelo ng matematika. - 3rd ed., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 na may ISBN 978-5-484-00953-4
Sevostyanov, A.G. Pagmomodelo teknolohikal na proseso: aklat-aralin / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostyanov. – M.: Ilaw at industriya ng pagkain, 1984. - 344 p.
Wiktionary: modelo ng matematika
CliffsNotes.com. Glossary ng Earth Science. 20 Set 2010
Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
"Ang isang teorya ay itinuturing na linear o nonlinear depende sa kung anong uri ng mathematical apparatus - linear o nonlinear - at kung anong uri ng linear o nonlinear mathematical na modelo ang ginagamit nito. ...nang hindi tinatanggihan ang huli. Makabagong pisiko, kung nagkaroon siya ng pagkakataon na muling likhain ang kahulugan ng isang mahalagang entity bilang nonlinearity, malamang na iba ang kanyang pagkilos, at, na binibigyan ng kagustuhan ang nonlinearity bilang mas mahalaga at laganap sa dalawang magkasalungat, matukoy niya ang linearity. bilang "hindi nonlinearity." Danilov Yu., Mga lektura sa nonlinear dynamics. Panimula sa elementarya. Serye "Synergetics: mula sa nakaraan hanggang sa hinaharap." Edisyon 2. - M.: URSS, 2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
"Ang mga dynamic na sistema na namodelo ng isang may hangganang bilang ng mga ordinaryong differential equation ay tinatawag na concentrated o point system. Ang mga ito ay inilarawan gamit ang isang may hangganan-dimensional na bahagi ng espasyo at nailalarawan sa pamamagitan ng isang may hangganang bilang ng mga antas ng kalayaan. Ang parehong sistema sa ilalim ng iba't ibang mga kondisyon ay maaaring ituring na puro o distributed. Ang mga modelo ng matematika ng mga distributed system ay mga partial differential equation, integral equation, o ordinaryong delay equation. Ang bilang ng mga antas ng kalayaan ng isang distributed system ay walang hanggan, at ito ay kinakailangan walang katapusang bilang data upang matukoy ang kalagayan nito." Anishchenko V. S., Dynamic na sistema, Soros educational journal, 1997, No. 11, p. 77-84.
"Depende sa likas na katangian ng mga prosesong pinag-aaralan sa system S, lahat ng uri ng pagmomodelo ay maaaring hatiin sa deterministic at stochastic, static at dynamic, discrete, continuous at discrete-continuous. Deterministikong Pagmomodelo nagpapakita ng mga deterministikong proseso, iyon ay, mga proseso kung saan ang kawalan ng anumang mga random na impluwensya ay ipinapalagay; Ang stochastic modeling ay naglalarawan ng mga probabilistikong proseso at kaganapan. ... Ang static na pagmomodelo ay nagsisilbing ilarawan ang pag-uugali ng isang bagay sa anumang punto ng oras, at ang dynamic na pagmomodelo ay nagpapakita ng pag-uugali ng isang bagay sa paglipas ng panahon. Ginagamit ang discrete modeling upang ilarawan ang mga prosesong ipinapalagay na discrete, ayon sa pagkakabanggit, ang tuluy-tuloy na pagmomodelo ay nagbibigay-daan sa amin na ipakita ang tuluy-tuloy na mga proseso sa mga system, at ang discrete-continuous modeling ay ginagamit para sa mga kaso kung kailan gusto nilang i-highlight ang pagkakaroon ng parehong discrete at tuloy-tuloy na mga proseso. ” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
Karaniwan, ang isang matematikal na modelo ay sumasalamin sa istruktura (aparato) ng modelong bagay, ang mga katangian at relasyon ng mga bahagi ng bagay na ito na mahalaga para sa mga layunin ng pananaliksik; ang ganitong modelo ay tinatawag na istruktura. Kung ang modelo ay sumasalamin lamang kung paano gumagana ang bagay - halimbawa, kung paano ito tumutugon sa mga panlabas na impluwensya - kung gayon ito ay tinatawag na functional o, sa makasagisag na paraan, isang itim na kahon. Posible rin ang mga pinagsamang modelo. Myshkis A. D. ISBN 978-5-484-00953-4
"Ang malinaw, ngunit pinakamahalagang paunang yugto ng pagbuo o pagpili ng isang modelo ng matematika ay ang pagkuha ng malinaw na larawan hangga't maaari tungkol sa bagay na ginagaya at pagpino sa makabuluhang modelo nito, batay sa mga impormal na talakayan. Hindi ka dapat maglaan ng oras at pagsisikap sa yugtong ito. Nangyari ito nang higit sa isang beses na ang makabuluhang gawaing ginugol sa paglutas ng isang problema sa matematika ay naging hindi epektibo o nasayang pa nga dahil sa hindi sapat na atensyon sa bahaging ito ng usapin.” Myshkis A. D., Mga elemento ng teorya ng mga modelo ng matematika. - 3rd ed., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 na may ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
« Paglalarawan ng konseptwal na modelo ng system. Sa substage na ito ng pagbuo ng system model: a) ang konseptwal na modelo M ay inilalarawan sa abstract na mga termino at konsepto; b) isang paglalarawan ng modelo ay ibinibigay gamit ang mga karaniwang mathematical scheme; c) ang mga hypotheses at pagpapalagay ay sa wakas ay tinatanggap; d) ang pagpili ng pamamaraan para sa pagtatantya ng mga tunay na proseso kapag ang pagbuo ng isang modelo ay makatwiran." Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Pagmomodelo ng mga system: Proc. para sa mga unibersidad - 3rd ed., binago. at karagdagang - M.: Mas mataas. paaralan, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2, p. 93.
Blekhman I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., Applied mathematics: Paksa, lohika, mga tampok ng mga diskarte. Sa mga halimbawa mula sa mekanika: Pagtuturo. - 3rd ed., rev. at karagdagang - M.: URSS, 2006. - 376 p. ISBN 5-484-00163-3, Kabanata 2.

MGA TALA NG LECTURE

Ayon sa rate

"Pagmomodelo ng matematika ng mga makina at sistema ng transportasyon"

Sinusuri ng kurso ang mga isyu na may kaugnayan sa pagmomodelo ng matematika, ang anyo at prinsipyo ng representasyon ng mga modelong matematika. Ang mga numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga one-dimensional na nonlinear system ay isinasaalang-alang. Sinasaklaw ang mga isyu sa pagmomodelo ng computer at eksperimento sa computational. Ang mga pamamaraan para sa pagproseso ng data na nakuha bilang isang resulta ng mga pang-agham o pang-industriyang mga eksperimento ay isinasaalang-alang; pananaliksik ng iba't ibang proseso, pagtukoy ng mga pattern sa pag-uugali ng mga bagay, proseso at sistema. Isinasaalang-alang ang mga paraan ng interpolation at approximation ng experimental data. Isinasaalang-alang ang mga isyung nauugnay sa pagmomodelo ng computer at paglutas ng mga hindi linear na problema. mga dynamic na sistema. Sa partikular, ang mga pamamaraan para sa numerical integration at solusyon ng mga ordinaryong differential equation ng una, pangalawa at mas mataas na mga order ay isinasaalang-alang.

Lecture: Pagmomodelo ng matematika. Form at mga prinsipyo ng representasyon ng mga modelo ng matematika

Saklaw ng lecture pangkalahatang isyu pagmomodelo ng matematika. Ang isang pag-uuri ng mga modelo ng matematika ay ibinigay.

Ang computer ay matatag na pumasok sa ating buhay, at halos walang lugar ng aktibidad ng tao kung saan hindi ginagamit ang computer. Ang mga kompyuter ay malawak na ngayong ginagamit sa proseso ng paglikha at pagsasaliksik ng mga bagong makina, mga bagong teknolohikal na proseso at paghahanap ng kanilang mga pinakamainam na opsyon; kapag nilulutas ang mga problema sa ekonomiya, kapag nilutas ang mga problema ng pagpaplano at pamamahala ng produksyon sa iba't ibang antas. Ang paglikha ng malalaking bagay sa rocketry, paggawa ng sasakyang panghimpapawid, paggawa ng mga barko, pati na rin ang disenyo ng mga dam, tulay, atbp. ay karaniwang imposible nang walang paggamit ng mga computer.

Upang magamit ang isang computer sa paglutas ng mga inilapat na problema, una sa lahat, ang inilapat na problema ay dapat na "isalin" sa isang pormal na wikang matematika, i.e. para sa isang tunay na bagay, proseso o sistema, ang modelong pangmatematika nito ay dapat mabuo.

Ang salitang "Model" ay nagmula sa Latin na modus (kopya, larawan, balangkas). Ang pagmomodelo ay ang pagpapalit ng ilang bagay A ng isa pang bagay na B. Ang pinalitang bagay na A ay tinatawag na orihinal o bagay na pangmomodelo, at ang kapalit na B ay tinatawag na modelo. Sa madaling salita, ang isang modelo ay isang kapalit na bagay para sa orihinal na bagay, na nagbibigay ng pag-aaral ng ilang mga katangian ng orihinal.

Ang layunin ng pagmomodelo ay upang makakuha, magproseso, magpakita at gumamit ng impormasyon tungkol sa mga bagay na nakikipag-ugnayan sa isa't isa at panlabas na kapaligiran; at ang modelo dito ay gumaganap bilang isang paraan ng pag-unawa sa mga katangian at pattern ng pag-uugali ng isang bagay.

Ang pagmomodelo ay malawakang ginagamit sa iba't ibang larangan ng aktibidad ng tao, lalo na sa larangan ng disenyo at pamamahala, kung saan espesyal ang mga proseso ng paggawa ng mga epektibong desisyon batay sa impormasyong natanggap.

Ang isang modelo ay palaging binuo na may isang tiyak na layunin, na nakakaimpluwensya kung aling mga katangian ng isang layunin na kababalaghan ang makabuluhan at alin ang hindi. Ang modelo ay tulad ng isang projection ng layunin na katotohanan mula sa isang tiyak na anggulo. Minsan, depende sa mga layunin, maaari kang makakuha ng isang bilang ng mga projection ng layunin na katotohanan na sumasalungat. Karaniwan ito, bilang panuntunan, para sa mga kumplikadong sistema kung saan pinipili ng bawat projection kung ano ang mahalaga para sa isang partikular na layunin mula sa isang hanay ng mga hindi mahalaga.

Ang teorya ng pagmomodelo ay isang sangay ng agham na nag-aaral ng mga paraan upang pag-aralan ang mga katangian ng orihinal na mga bagay batay sa pagpapalit sa kanila ng iba pang mga modelong bagay. Ang teorya ng pagmomolde ay batay sa teorya ng pagkakatulad. Kapag nagmomodelo, ang ganap na pagkakatulad ay hindi nagaganap at nagsusumikap lamang na tiyakin na ang modelo ay sapat na sumasalamin sa aspeto ng paggana ng bagay sa ilalim ng pag-aaral. Ang ganap na pagkakatulad ay maaari lamang mangyari kapag ang isang bagay ay pinalitan ng isa pang eksaktong kapareho.

Ang lahat ng mga modelo ay maaaring nahahati sa dalawang klase:

1. tunay,

2. mainam.

Sa turn, ang mga tunay na modelo ay maaaring nahahati sa:

1. buong sukat,

2. pisikal,

3. matematikal.

Ang mga ideal na modelo ay maaaring nahahati sa:

1. visual,

2. iconic,

3. matematikal.

Ang mga tunay na full-scale na modelo ay mga tunay na bagay, proseso at sistema kung saan isinasagawa ang mga pang-agham, teknikal at pang-industriyang mga eksperimento.

Ang mga tunay na pisikal na modelo ay mga modelo, mga dummies na nagpaparami pisikal na katangian mga orihinal (kinematic, dynamic, hydraulic, thermal, electrical, lighting models).

Ang mga tunay na mathematical ay mga analog, structural, geometric, graphic, digital at cybernetic na mga modelo.

Ang mga ideal na visual na modelo ay mga diagram, mapa, drawing, graph, graph, analogues, structural at geometric na mga modelo.

Ang mga ideal na modelo ng sign ay mga simbolo, alpabeto, programming language, ordered notation, topological notation, network representation.

Ang mga ideal na modelo ng matematika ay analytical, functional, simulation, at pinagsamang mga modelo.

Sa pag-uuri sa itaas, ang ilang mga modelo ay may dobleng interpretasyon (halimbawa, analog). Ang lahat ng mga modelo, maliban sa mga full-scale, ay maaaring pagsamahin sa isang klase ng mga mental na modelo, dahil sila ay isang produkto abstract na pag-iisip tao.

Isaalang-alang natin ang isa sa mga pinaka-unibersal na uri ng pagmomolde - matematika, na tumutugma sa simulate na pisikal na proseso sa isang sistema ng mga relasyon sa matematika, ang solusyon na nagbibigay-daan sa amin upang makakuha ng sagot sa tanong tungkol sa pag-uugali ng isang bagay nang hindi lumilikha ng isang pisikal na modelo, na kadalasang lumalabas na mahal at hindi epektibo.

Ang pagmomodelo ng matematika ay isang paraan ng pag-aaral ng isang tunay na bagay, proseso o sistema sa pamamagitan ng pagpapalit sa mga ito ng modelong matematikal na mas maginhawa para sa eksperimentong pananaliksik gamit ang isang computer.

Ang modelong matematikal ay isang tinatayang representasyon ng mga tunay na bagay, proseso o sistema, na ipinahayag sa mga terminong pangmatematika at pinapanatili ang mahahalagang katangian ng orihinal. Ang mga modelo ng matematika sa quantitative form, gamit ang lohikal at mathematical na mga konstruksyon, ay naglalarawan ng mga pangunahing katangian ng isang bagay, proseso o sistema, mga parameter nito, panloob at Pakikipag-ugnayang panlabas.

Sa pangkalahatan, ang isang matematikal na modelo ng isang tunay na bagay, proseso o sistema ay kinakatawan bilang isang sistema ng mga paggana

Ф i (X,Y,Z,t)=0,

kung saan ang X ay ang vector ng mga variable ng input, X= t,

Y - vector ng mga variable ng output, Y= t,

Z - vector panlabas na impluwensya, Z= t ,

t - time coordinate.

Ang pagtatayo ng isang modelo ng matematika ay binubuo ng pagtukoy ng mga koneksyon sa pagitan ng ilang mga proseso at phenomena, paglikha ng isang mathematical apparatus na nagbibigay-daan sa isa na maipahayag sa quantitatively at qualitatively ang ugnayan sa pagitan ng ilang mga proseso at phenomena, sa pagitan ng pisikal na dami ng interes sa isang espesyalista, at mga salik na nakakaimpluwensya sa huling resulta.

Kadalasan ay napakarami sa kanila na imposibleng ipakilala ang kanilang buong hanay sa modelo. Kapag gumagawa ng modelong matematikal, ang gawain ng pananaliksik ay tukuyin at ibukod mula sa pagsasaalang-alang na mga salik na hindi gaanong nakakaapekto sa panghuling resulta (karaniwang may kasamang mas maliit na bilang ng mga kadahilanan ang isang modelong matematika kaysa sa katotohanan). Batay sa pang-eksperimentong data, inilalagay ang mga hypotheses tungkol sa kaugnayan sa pagitan ng mga dami na nagpapahayag ng huling resulta at ang mga salik na ipinakilala sa modelong matematika. Ang ganitong koneksyon ay madalas na ipinahayag ng mga sistema ng mga partial differential equation (halimbawa, sa mga problema ng mekanika solid, likido at gas, teorya ng pagsasala, thermal conductivity, teorya ng electrostatic at electrodynamic field).

Ang pangwakas na layunin ng yugtong ito ay ang pagbabalangkas ng isang problema sa matematika, ang solusyon kung saan, na may kinakailangang katumpakan, ay nagpapahayag ng mga resulta ng interes sa espesyalista.

Ang anyo at mga prinsipyo ng representasyon ng isang modelo ng matematika ay nakasalalay sa maraming mga kadahilanan.

Batay sa mga prinsipyo ng konstruksiyon, ang mga modelo ng matematika ay nahahati sa:

1. analitikal;

2. panggagaya.

Sa analytical na mga modelo, ang mga proseso ng paggana ng mga tunay na bagay, proseso o sistema ay nakasulat sa anyo ng mga tahasang functional dependencies.

Ang analytical model ay nahahati sa mga uri depende sa matematikal na problema:

1. mga equation (algebraic, transendental, differential, integral),

2. mga problema sa approximation (interpolation, extrapolation, numerical integration at differentiation),

3. mga problema sa pag-optimize,

4. stochastic na mga problema.

Gayunpaman, habang nagiging mas kumplikado ang object ng pagmomodelo, ang pagbuo ng isang analytical na modelo ay nagiging isang mahirap na problema. Pagkatapos ang mananaliksik ay napipilitang gumamit ng simulation modeling.

Sa simulation modeling, ang paggana ng mga bagay, proseso o system ay inilalarawan ng isang hanay ng mga algorithm. Ginagaya ng mga algorithm ang totoong elementarya na phenomena na bumubuo sa isang proseso o sistema habang pinapanatili ang kanilang lohikal na istraktura at pagkakasunud-sunod sa paglipas ng panahon. Ang simulation modeling ay nagbibigay-daan, mula sa source data, na makakuha ng impormasyon tungkol sa mga estado ng isang proseso o system sa ilang partikular na oras, ngunit ang paghula sa gawi ng mga bagay, proseso o system ay mahirap dito. Masasabi nating ang mga modelo ng simulation ay mga eksperimento sa computational na nakabatay sa computer na may mga modelong matematikal na ginagaya ang pag-uugali ng mga tunay na bagay, proseso o system.

Depende sa likas na katangian ng mga tunay na proseso at sistemang pinag-aaralan, ang mga modelo ng matematika ay maaaring:

1. deterministiko,

2. stochastic.

Sa mga deterministikong modelo, ipinapalagay na walang mga random na impluwensya, ang mga elemento ng modelo (mga variable, mga koneksyon sa matematika) ay medyo tumpak na naitatag, at ang pag-uugali ng system ay maaaring tumpak na matukoy. Kapag gumagawa ng mga deterministikong modelo, kadalasang ginagamit ang mga ito algebraic equation, integral equation, matrix algebra.

Isinasaalang-alang ng stochastic model ang random na katangian ng mga proseso sa mga bagay at sistemang pinag-aaralan, na inilalarawan ng mga pamamaraan ng probability theory at mathematical statistics.

Batay sa uri ng impormasyon sa pag-input, ang mga modelo ay nahahati sa:

1. tuloy-tuloy,

2. discrete.

Kung ang impormasyon at mga parameter ay tuloy-tuloy, at ang mga koneksyon sa matematika ay matatag, kung gayon ang modelo ay tuloy-tuloy. At kabaliktaran, kung ang impormasyon at mga parameter ay discrete, at ang mga koneksyon ay hindi matatag, kung gayon ang mathematical model ay discrete.

Batay sa pag-uugali ng mga modelo sa paglipas ng panahon, nahahati sila sa:

1. static,

2. dinamiko.

Inilalarawan ng mga static na modelo ang pag-uugali ng isang bagay, proseso o sistema sa anumang punto ng oras. Sinasalamin ng mga dynamic na modelo ang pag-uugali ng isang bagay, proseso o system sa paglipas ng panahon.

Batay sa antas ng pagsusulatan sa pagitan ng isang modelo ng matematika at isang tunay na bagay, proseso o sistema, ang mga modelo ng matematika ay nahahati sa:

1. isomorphic (magkapareho sa hugis),

2. homomorphic (iba ang hugis).

Ang isang modelo ay tinatawag na isomorphic kung mayroong kumpletong pagsusulatan sa bawat elemento sa pagitan nito at isang tunay na bagay, proseso o sistema. Homomorphic - kung mayroong isang pagsusulatan lamang sa pagitan ng pinakamahalaga mga bahagi bagay at modelo.

Sa hinaharap, upang madaling tukuyin ang uri ng modelo ng matematika sa pag-uuri sa itaas, gagamitin namin ang sumusunod na notasyon:

Unang titik:

D - deterministiko,

C - stochastic.

Pangalawang sulat:

N - tuloy-tuloy,

D - discrete.

ikatlong titik:

A - analitikal,

At - imitasyon.

1. Walang (mas tiyak, hindi isinasaalang-alang) ang impluwensya ng mga random na proseso, i.e. deterministikong modelo (D).

2. Ang impormasyon at mga parameter ay tuloy-tuloy, ibig sabihin. modelo - tuloy-tuloy (N),

3. Ang paggana ng modelo ng mekanismo ng crank ay inilarawan sa anyo ng mga nonlinear transcendental equation, i.e. modelo - analytical (A)

2. Lecture: Mga tampok ng pagbuo ng mga modelo ng matematika

Inilalarawan ng panayam ang proseso ng pagbuo ng isang modelo ng matematika. Ang isang pandiwang algorithm ng proseso ay ibinigay.

Upang gumamit ng isang computer sa paglutas ng mga inilapat na problema, una sa lahat, ang inilapat na problema ay dapat na "isalin" sa isang pormal na wikang matematika, i.e. para sa isang tunay na bagay, proseso o sistema, ang modelong pangmatematika nito ay dapat mabuo.

Ang mga modelo ng matematika sa quantitative form, gamit ang lohikal at mathematical na mga konstruksyon, ay naglalarawan ng mga pangunahing katangian ng isang bagay, proseso o sistema, ang mga parameter nito, panloob at panlabas na koneksyon.

Upang makabuo ng isang mathematical model kailangan mo:

1. maingat na pag-aralan ang isang tunay na bagay o proseso;

2. i-highlight ang pinakamahalagang katangian at katangian nito;

3. tukuyin ang mga variable, i.e. mga parameter na ang mga halaga ay nakakaapekto sa mga pangunahing tampok at katangian ng bagay;

4. ilarawan ang pag-asa ng mga pangunahing katangian ng isang bagay, proseso o sistema sa mga halaga ng mga variable gamit ang lohikal-matematikong relasyon (mga equation, pagkakapantay-pantay, hindi pagkakapantay-pantay, lohikal-mathematical na mga konstruksyon);

5. i-highlight ang mga panloob na koneksyon ng isang bagay, proseso o sistema gamit ang mga paghihigpit, equation, pagkakapantay-pantay, hindi pagkakapantay-pantay, lohikal at mathematical na mga konstruksyon;

6. tukuyin ang mga panlabas na koneksyon at ilarawan ang mga ito gamit ang mga paghihigpit, equation, pagkakapantay-pantay, hindi pagkakapantay-pantay, lohikal at mathematical na mga konstruksyon.

Ang pagmomodelo ng matematika, bilang karagdagan sa pag-aaral ng isang bagay, proseso o sistema at pagguhit ng isang mathematical na paglalarawan nito, ay kinabibilangan din ng:

1. pagbuo ng isang algorithm na nagmomodelo ng gawi ng isang bagay, proseso o sistema;

2. pagsuri sa kasapatan ng modelo at ng bagay, proseso o sistema batay sa computational at full-scale na mga eksperimento;

3. pagsasaayos ng modelo;

4. paggamit ng modelo.

Ang matematikal na paglalarawan ng mga proseso at sistemang pinag-aaralan ay nakasalalay sa:

1. ang kalikasan ng isang tunay na proseso o sistema at pinagsama-sama batay sa mga batas ng pisika, kimika, mekanika, thermodynamics, hydrodynamics, electrical engineering, plasticity theory, elasticity theory, atbp.

2. ang kinakailangang pagiging maaasahan at katumpakan ng pag-aaral at pagsasaliksik ng mga tunay na proseso at sistema.

Sa yugto ng pagpili ng isang modelo ng matematika, ang mga sumusunod ay itinatag: linearity at nonlinearity ng isang bagay, proseso o sistema, dynamism o staticity, stationarity o nonstationarity, pati na rin ang antas ng determinism ng object o proseso na pinag-aaralan. Sa matematikal na pagmomodelo, ang isang tao ay sadyang nag-abstract mula sa partikular na pisikal na katangian ng mga bagay, proseso o sistema at pangunahing nakatuon sa pag-aaral ng quantitative dependencies sa pagitan ng mga dami na naglalarawan sa mga prosesong ito.

Ang isang modelo ng matematika ay hindi kailanman ganap na magkapareho sa bagay, proseso o sistemang isinasaalang-alang. Batay sa pagpapasimple at ideyalisasyon, ito ay isang tinatayang paglalarawan ng bagay. Samakatuwid, ang mga resulta na nakuha mula sa pagsusuri ng modelo ay tinatayang. Ang kanilang katumpakan ay tinutukoy ng antas ng kasapatan (pagsunod) sa pagitan ng modelo at ng bagay.

Ang pagbuo ng isang mathematical model ay karaniwang nagsisimula sa pagbuo at pagsusuri ng pinakasimple, pinaka-krudong mathematical model ng bagay, proseso o sistemang isinasaalang-alang. Sa hinaharap, kung kinakailangan, ang modelo ay pino at ang pagkakaugnay nito sa bagay ay gagawing mas kumpleto.

Kumuha tayo ng isang simpleng halimbawa. Ito ay kinakailangan upang matukoy ang ibabaw na lugar ng desk. Karaniwan, ginagawa ito sa pamamagitan ng pagsukat ng haba at lapad nito, at pagkatapos ay pagpaparami ng mga resultang numero. Ang elementarya na pamamaraan na ito ay talagang nangangahulugan ng sumusunod: ang isang tunay na bagay (ibabaw ng talahanayan) ay pinalitan ng isang abstract na modelo ng matematika - isang parihaba. Ang mga sukat na nakuha sa pamamagitan ng pagsukat ng haba at lapad ng ibabaw ng talahanayan ay itinalaga sa parihaba, at ang lugar ng naturang parihaba ay tinatayang kinuha bilang kinakailangang lugar ng talahanayan.

Gayunpaman, ang rectangle model para sa isang desk ay ang pinakasimpleng, pinaka-krudong modelo. Kung gumawa ka ng isang mas seryosong diskarte sa problema, bago gumamit ng isang rektanggulo na modelo upang matukoy ang lugar ng talahanayan, ang modelong ito ay kailangang suriin. Maaaring isagawa ang mga tseke tulad ng sumusunod: sukatin ang mga haba magkabilang panig talahanayan, pati na rin ang mga haba ng mga dayagonal nito at ihambing ang mga ito sa bawat isa. Kung, na may kinakailangang antas ng katumpakan, ang mga haba ng magkabilang panig at ang mga haba ng mga dayagonal ay magkapareho sa mga pares, kung gayon ang ibabaw ng talahanayan ay talagang maituturing na isang rektanggulo. Kung hindi, ang rectangle model ay kailangang tanggihan at palitan ng isang pangkalahatang quadrilateral na modelo. Sa isang mas mataas na kinakailangan para sa katumpakan, maaaring kinakailangan upang pinuhin ang modelo nang higit pa, halimbawa, upang isaalang-alang ang pag-ikot ng mga sulok ng talahanayan.

Sa tulong nito simpleng halimbawa ipinakita na ang modelo ng matematika ay hindi natatanging tinutukoy ng bagay, proseso o sistemang pinag-aaralan. Para sa parehong talahanayan maaari naming gamitin ang alinman sa isang parihaba na modelo, o isang mas kumplikadong modelo ng isang pangkalahatang may apat na gilid, o isang may apat na gilid na may mga bilugan na sulok. Ang pagpili ng isang modelo o iba ay tinutukoy ng pangangailangan ng katumpakan. Sa pagtaas ng katumpakan, ang modelo ay kailangang maging kumplikado, na isinasaalang-alang ang mga bago at bagong tampok ng bagay, proseso o sistemang pinag-aaralan.

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa: pag-aaral ng paggalaw ng mekanismo ng crank (Larawan 2.1).

kanin. 2.1.

Para sa kinematic analysis ng mekanismong ito, una sa lahat, kinakailangan na bumuo ng kinematic na modelo nito. Para dito:

1. Pinapalitan namin ang mekanismo ng kinematic diagram nito, kung saan ang lahat ng mga link ay pinapalitan ng mga matibay na koneksyon;

2. Gamit ang diagram na ito, nakukuha namin ang equation ng paggalaw ng mekanismo;

3. Ang pagkakaiba sa huli, nakukuha natin ang mga equation ng velocities at acceleration, na mga differential equation ng 1st at 2nd order.

Isulat natin ang mga equation na ito:

kung saan ang C 0 ay ang matinding kanang posisyon ng slider C:

r – crank radius AB;

l – haba ng connecting rod BC;

– anggulo ng pag-ikot ng pihitan;

Ang mga resultang transendental na equation ay kumakatawan sa isang mathematical na modelo ng paggalaw ng isang flat axial crank mechanism, batay sa mga sumusunod na nagpapasimpleng pagpapalagay:

1. hindi kami interesado sa mga istrukturang anyo at pagsasaayos ng masa na kasama sa mekanismo ng mga katawan, at pinalitan namin ang lahat ng mga katawan ng mekanismo ng mga tuwid na bahagi. Sa katunayan, ang lahat ng mga link ng mekanismo ay may masa at medyo kumplikadong hugis. Halimbawa, ang isang connecting rod ay isang kumplikadong pagpupulong, ang hugis at sukat nito, siyempre, ay makakaapekto sa paggalaw ng mekanismo;

2. kapag nagtatayo ng isang modelo ng matematika ng paggalaw ng mekanismong isinasaalang-alang, hindi rin namin isinasaalang-alang ang pagkalastiko ng mga katawan na kasama sa mekanismo, i.e. ang lahat ng mga link ay itinuturing na abstract ganap na mahigpit na katawan. Sa katotohanan, ang lahat ng mga katawan na kasama sa mekanismo ay nababanat na mga katawan. Kapag gumagalaw ang mekanismo, kahit papaano ay mababago ang mga ito, at maaaring mangyari ang nababanat na panginginig ng boses sa kanila. Ang lahat ng ito, siyempre, ay makakaapekto rin sa paggalaw ng mekanismo;

3. hindi namin isinasaalang-alang ang error sa pagmamanupaktura ng mga link, ang mga puwang sa mga kinematic na pares A, B, C, atbp.

Kaya, mahalagang bigyang-diin muli na kung mas mataas ang mga kinakailangan para sa katumpakan ng mga resulta ng paglutas ng isang problema, mas malaki ang pangangailangan na isaalang-alang ang mga tampok ng bagay, proseso o sistema na pinag-aaralan kapag gumagawa ng isang modelo ng matematika. Gayunpaman, mahalagang huminto dito sa oras, dahil ang isang kumplikadong modelo ng matematika ay maaaring maging isang mahirap na problema upang malutas.

Ang isang modelo ay pinakamadaling mabuo kapag ang mga batas na tumutukoy sa pag-uugali at mga katangian ng isang bagay, proseso o sistema ay kilala, at mayroong malawak na praktikal na karanasan sa kanilang aplikasyon.

Higit pa isang mahirap na sitwasyon nangyayari kapag ang ating kaalaman tungkol sa bagay, proseso o sistemang pinag-aaralan ay hindi sapat. Sa kasong ito, kapag nagtatayo ng isang modelo ng matematika, kinakailangan na gumawa ng mga karagdagang pagpapalagay na nasa likas na katangian ng mga hypotheses; Ang mga konklusyon na nakuha bilang resulta ng pag-aaral ng naturang hypothetical na modelo ay may kondisyon. Upang mapatunayan ang mga konklusyon, kinakailangan upang ihambing ang mga resulta ng pag-aaral ng modelo sa isang computer sa mga resulta ng isang buong sukat na eksperimento. Kaya, ang tanong ng applicability ng isang partikular na modelo ng matematika sa pag-aaral ng bagay, proseso o sistemang isinasaalang-alang ay hindi isang tanong sa matematika at hindi malulutas ng mga pamamaraan ng matematika.

Ang pangunahing criterion ng katotohanan ay eksperimento, pagsasanay sa pinakamalawak na kahulugan ng salita.

Ang pagtatayo ng isang modelo ng matematika sa mga inilapat na problema ay isa sa pinakamasalimuot at mahalagang yugto ng trabaho. Ipinapakita ng karanasan na sa maraming mga kaso ang pagpili ng tamang modelo ay nangangahulugan ng paglutas ng problema sa pamamagitan ng higit sa kalahati. Ang kahirapan ng yugtong ito ay nangangailangan ito ng kumbinasyon ng matematika at espesyal na kaalaman. Samakatuwid, napakahalaga na kapag nilulutas ang mga inilapat na problema, ang mga mathematician ay may espesyal na kaalaman tungkol sa bagay, at ang kanilang mga kasosyo, mga espesyalista, ay may isang tiyak na kultura ng matematika, karanasan sa pananaliksik sa kanilang larangan, kaalaman sa mga computer at programming.

Lecture 3. Computer modeling at computational experiment. Paglutas ng mga modelo ng matematika

Pagmomodelo ng kompyuter kung paano bagong paraan ang siyentipikong pananaliksik ay batay sa:

1. pagbuo ng mga modelo ng matematika upang ilarawan ang mga prosesong pinag-aaralan;

2. gamit ang pinakabagong mga computer na may mataas na bilis (milyong operasyon bawat segundo) at may kakayahang magsagawa ng pakikipag-usap sa isang tao.

Ang kakanyahan ng pagmomodelo ng computer ay ang mga sumusunod: batay sa isang modelo ng matematika, ang isang serye ng mga eksperimento sa computational ay isinasagawa gamit ang isang computer, i.e. ang mga katangian ng mga bagay o proseso ay pinag-aaralan, ang kanilang pinakamainam na mga parameter at operating mode ay matatagpuan, at ang modelo ay pino. Halimbawa, ang pagkakaroon ng isang equation na naglalarawan sa kurso ng isang partikular na proseso, maaari mong baguhin ang mga coefficient nito, mga kondisyon ng paunang at hangganan, at pag-aralan kung paano kikilos ang bagay. Bukod dito, posible na mahulaan ang pag-uugali ng isang bagay sa ilalim ng iba't ibang mga kondisyon.

Nagbibigay-daan sa iyo ang isang computational experiment na palitan ang isang mamahaling full-scale na eksperimento ng mga kalkulasyon sa computer. Pinapayagan ka nitong maikling oras at magsagawa ng pananaliksik nang walang makabuluhang gastos sa materyal Malaking numero mga pagpipilian para sa dinisenyo na bagay o proseso para sa iba't ibang mga mode ng operasyon nito, na makabuluhang binabawasan ang oras ng pag-unlad ng mga kumplikadong sistema at ang kanilang pagpapatupad sa produksyon.

Ang computer modeling at computational experiment bilang isang bagong paraan ng siyentipikong pananaliksik ay ginagawang posible na mapabuti ang mathematical apparatus na ginagamit sa pagbuo ng mga mathematical models, at nagbibigay-daan, gamit ang mathematical method, na linawin at gawing kumplikado ang mga mathematical models. Ang pinaka-promising para sa pagsasagawa ng computational experiment ay ang paggamit nito para sa paglutas ng mga pangunahing problemang pang-agham, teknikal at sosyo-ekonomiko sa ating panahon (pagdidisenyo ng mga reactor para sa mga nuclear power plant, pagdidisenyo ng mga dam at hydroelectric power station, magnetohydrodynamic energy converters, at sa larangan ng ekonomiya. - pagbubuo ng balanseng plano para sa isang industriya, rehiyon, para sa bansa, atbp.).

Sa ilang mga proseso kung saan ang isang natural na eksperimento ay mapanganib sa buhay at kalusugan ng tao, isang computational na eksperimento ang tanging posible (thermonuclear fusion, space exploration, disenyo at pananaliksik ng kemikal at iba pang mga industriya).

Upang suriin ang kasapatan ng modelo ng matematika at ang tunay na bagay, proseso o sistema, ang mga resulta ng pananaliksik sa computer ay inihambing sa mga resulta ng isang eksperimento sa isang prototype na full-scale na modelo. Ang mga resulta ng pagsubok ay ginagamit upang ayusin ang matematikal na modelo o ang tanong ng pagiging angkop ng itinayong modelo ng matematika sa disenyo o pag-aaral ng mga tinukoy na bagay, proseso o sistema ay nalutas.

Sa konklusyon, muli naming binibigyang-diin na ginagawang posible ng pagmomodelo ng computer at eksperimento sa computational na bawasan ang pag-aaral ng isang bagay na "di-matematika" sa solusyon ng isang problemang matematikal. Binubuksan nito ang posibilidad ng paggamit ng isang mahusay na binuo na kasangkapang pangmatematika kasama ng malakas na teknolohiya sa pag-compute upang pag-aralan ito. Ito ang batayan para sa paggamit ng matematika at mga kompyuter upang maunawaan ang mga batas ng totoong mundo at gamitin ang mga ito sa pagsasanay.

Sa mga problema sa pagdidisenyo o pag-aaral ng pag-uugali ng mga tunay na bagay, proseso o sistema, ang mga modelo ng matematika ay karaniwang hindi linear, dahil dapat ipakita ng mga ito ang tunay na pisikal na di-linear na mga prosesong nagaganap sa kanila. Bukod dito, ang mga parameter (mga variable) ng mga prosesong ito ay magkakaugnay ng mga pisikal na nonlinear na batas. Samakatuwid, sa mga problema sa pagdidisenyo o pag-aaral ng pag-uugali ng mga tunay na bagay, proseso o sistema, ang mga modelong matematikal gaya ng DNA ay kadalasang ginagamit.

Ayon sa klasipikasyon na ibinigay sa lecture 1:

D - ang modelo ay deterministiko; ang impluwensya ng mga random na proseso ay wala (mas tiyak, hindi ito isinasaalang-alang).

N – tuloy-tuloy na modelo, impormasyon at mga parameter ay tuloy-tuloy.

A - analytical model, ang paggana ng modelo ay inilarawan sa anyo ng mga equation (linear, nonlinear, system of equation, differential at integral equation).

Kaya, nagtayo kami ng isang modelo ng matematika ng bagay, proseso o sistema na isinasaalang-alang, i.e. ipinakita ang inilapat na problema bilang isang matematikal. Pagkatapos nito, magsisimula ang ikalawang yugto ng paglutas ng inilapat na problema - ang paghahanap o pagbuo ng isang pamamaraan para sa paglutas ng nabuong problema sa matematika. Ang pamamaraan ay dapat na maginhawa para sa pagpapatupad nito sa isang computer at tiyakin ang kinakailangang kalidad ng solusyon.

Ang lahat ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa matematika ay maaaring nahahati sa 2 grupo:

1. eksaktong paraan para sa paglutas ng mga problema;

2. numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga problema.

Sa eksaktong mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa matematika, ang sagot ay maaaring makuha sa anyo ng mga formula.

Halimbawa, ang pagkalkula ng mga ugat quadratic equation:

o, halimbawa, pagkalkula ng mga derivative function:

o pagkalkula ng isang tiyak na integral:

Gayunpaman, ang pagpapalit ng mga numero sa formula sa anyo ng may hangganan mga decimal, nakakakuha pa rin kami ng mga tinatayang halaga ng resulta.

Para sa karamihan ng mga problemang nakatagpo sa pagsasanay, ang mga eksaktong paraan ng solusyon ay hindi alam o nagbibigay ng napakahirap na mga formula. Gayunpaman, hindi sila palaging kinakailangan. Ang isang inilapat na problema ay maaaring ituring na praktikal na nalutas kung kaya nating lutasin ito nang may kinakailangang antas ng katumpakan.

Upang malutas ang mga naturang problema, ang mga pamamaraang pang-numero ay binuo kung saan ang solusyon ng mga kumplikadong problema sa matematika ay nabawasan sa sunud-sunod na pagpapatupad ng isang malaking bilang ng mga simpleng operasyon ng aritmetika. Ang direktang pagbuo ng mga numerical na pamamaraan ay nabibilang sa computational mathematics.

Ang isang halimbawa ng isang numerical na paraan ay ang paraan ng mga parihaba para sa tinatayang pagsasama, na hindi nangangailangan ng pagkalkula ng antiderivative para sa integrand. Sa halip na integral, kinakalkula ang panghuling kabuuan ng quadrature:

x 1 =a – mas mababang limitasyon ng pagsasama;

x n+1 =b – itaas na limitasyon pagsasama-sama;

n – bilang ng mga segment kung saan nahahati ang integration interval (a,b);

– haba ng isang elementarya na segment;

f(x i) – ang halaga ng integrand sa mga dulo ng elementary integration segment.

Paano mas malaking bilang n mga segment kung saan nahahati ang integration interval, mas malapit ang tinatayang solusyon sa totoo, i.e. mas tumpak ang resulta.

Kaya, sa mga inilapat na gawain at kapag ginagamit tumpak na pamamaraan mga solusyon, at kapag nag-aaplay ng mga pamamaraan ng numerical na solusyon, ang mga resulta ng pagkalkula ay tinatayang. Mahalaga lamang na matiyak na ang mga error ay magkasya sa loob ng kinakailangang katumpakan.

Ang mga numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa matematika ay kilala sa mahabang panahon, kahit na bago ang pagdating ng mga computer, ngunit bihirang ginagamit ang mga ito at sa medyo simpleng mga kaso lamang dahil sa matinding pagiging kumplikado ng mga kalkulasyon. Ang malawakang paggamit ng mga numerical na pamamaraan ay naging posible salamat sa mga computer.

Pagmomodelo sa matematika

1. Ano ang mathematical modelling?

Mula sa kalagitnaan ng ika-20 siglo. Ang mga pamamaraan ng matematika at mga kompyuter ay nagsimulang malawakang ginagamit sa iba't ibang larangan ng aktibidad ng tao. Ang mga bagong disiplina ay lumitaw tulad ng "mathematical economics", "mathematical chemistry", "mathematical linguistics", atbp., pag-aaral ng mga modelo ng matematika ng mga kaugnay na bagay at phenomena, pati na rin ang mga pamamaraan para sa pag-aaral ng mga modelong ito.

Ang isang modelo ng matematika ay isang tinatayang paglalarawan ng anumang klase ng mga phenomena o mga bagay ng totoong mundo sa wika ng matematika. Ang pangunahing layunin ng pagmomodelo ay upang galugarin ang mga bagay na ito at hulaan ang mga resulta ng mga obserbasyon sa hinaharap. Gayunpaman, ang pagmomodelo ay isa ring paraan ng pag-unawa sa mundo sa paligid natin, na ginagawang posible na kontrolin ito.

Ang pagmomodelo ng matematika at ang nauugnay na eksperimento sa computer ay kailangang-kailangan sa mga kaso kung saan imposible o mahirap ang isang buong sukat na eksperimento para sa isang kadahilanan o iba pa. Halimbawa, imposibleng mag-set up ng natural na eksperimento sa kasaysayan upang suriin ang "kung ano ang mangyayari kung..." Imposibleng suriin ang kawastuhan ng isa o isa pang teorya ng kosmolohiya. Posible sa prinsipyo, ngunit halos hindi makatwiran, na mag-eksperimento sa pagkalat ng isang sakit, tulad ng salot, o magsagawa ng pagsabog ng nukleyar upang pag-aralan ang mga kahihinatnan nito. Gayunpaman, ang lahat ng ito ay maaaring gawin sa isang computer sa pamamagitan ng unang pagbuo ng mga modelo ng matematika ng mga phenomena na pinag-aaralan.

2. Pangunahing yugto ng pagmomodelo ng matematika

1) Pagbuo ng modelo. Sa yugtong ito, ang isang tiyak na bagay na "di-matematika" ay tinukoy - isang natural na kababalaghan, disenyo, planong pang-ekonomiya, proseso ng produksyon, atbp. Sa kasong ito, bilang isang panuntunan, ang isang malinaw na paglalarawan ng sitwasyon ay mahirap. Una, ang mga pangunahing tampok ng kababalaghan at ang mga koneksyon sa pagitan ng mga ito sa isang antas ng husay ay nakilala. Pagkatapos ang nahanap na qualitative dependencies ay binuo sa wika ng matematika, iyon ay, isang mathematical model ang binuo. Ito ang pinakamahirap na yugto ng pagmomodelo.

2) Paglutas ng problemang pangmatematika kung saan pinangungunahan ng modelo. Sa yugtong ito, maraming pansin ang binabayaran sa pagbuo ng mga algorithm at numerical na pamamaraan para sa paglutas ng problema sa isang computer, sa tulong kung saan ang resulta ay matatagpuan sa kinakailangang katumpakan at sa loob ng isang katanggap-tanggap na oras.

3) Interpretasyon ng mga nakuhang kahihinatnan mula sa mathematical model. Ang mga kahihinatnan na nagmula sa modelo sa wika ng matematika ay binibigyang kahulugan sa wikang tinatanggap sa larangan.

4) Sinusuri ang kasapatan ng modelo. Sa yugtong ito, natutukoy kung ang mga eksperimentong resulta ay sumasang-ayon sa mga teoretikal na kahihinatnan ng modelo sa loob ng isang tiyak na katumpakan.

5) Pagbabago ng modelo. Sa yugtong ito, alinman sa modelo ay kumplikado upang ito ay mas sapat sa katotohanan, o ito ay pinasimple upang makamit ang isang praktikal na katanggap-tanggap na solusyon.

3. Pag-uuri ng mga modelo

Maaaring uriin ang mga modelo ayon sa iba't ibang pamantayan. Halimbawa, ayon sa likas na katangian ng mga problemang nilulutas, ang mga modelo ay maaaring nahahati sa functional at structural. Sa unang kaso, ang lahat ng mga dami na nagpapakilala sa isang kababalaghan o bagay ay ipinahayag sa dami. Bukod dito, ang ilan sa mga ito ay itinuturing na mga independiyenteng variable, habang ang iba ay itinuturing na mga function ng mga dami na ito. Ang isang mathematical model ay karaniwang isang sistema ng mga equation ng iba't ibang uri (differential, algebraic, atbp.) na nagtatatag ng quantitative na relasyon sa pagitan ng mga quantity na isinasaalang-alang. Sa pangalawang kaso, ang modelo ay nagpapakilala sa istraktura ng isang kumplikadong bagay na binubuo ng mga indibidwal na bahagi, sa pagitan ng kung saan mayroong ilang mga koneksyon. Karaniwan, ang mga koneksyon na ito ay hindi nasusukat. Upang makabuo ng gayong mga modelo, maginhawang gumamit ng teorya ng graph. Ang graph ay isang mathematical object na kumakatawan sa isang set ng mga punto (vertices) sa isang eroplano o sa espasyo, na ang ilan ay konektado sa pamamagitan ng mga linya (mga gilid).

Batay sa likas na katangian ng paunang data at mga resulta, ang mga modelo ng hula ay maaaring hatiin sa deterministic at probabilistic-statistical. Ang mga modelo ng unang uri ay gumagawa ng tiyak, hindi malabo na mga hula. Ang mga modelo ng pangalawang uri ay batay sa istatistikal na impormasyon, at ang mga hula na nakuha sa kanilang tulong ay probabilistic sa kalikasan.

4. Mga halimbawa ng mathematical models

1) Mga problema tungkol sa paggalaw ng isang projectile.

Isaalang-alang ang sumusunod na problema sa mekanika.

Ang projectile ay inilunsad mula sa Earth na may paunang bilis v 0 = 30 m/s sa isang anggulo a = 45° sa ibabaw nito; ito ay kinakailangan upang mahanap ang tilapon ng paggalaw nito at ang distansya S sa pagitan ng simula at pagtatapos ng mga punto ng tilapon na ito.

Pagkatapos, tulad ng nalalaman mula sa isang kurso sa pisika ng paaralan, ang paggalaw ng isang projectile ay inilalarawan ng mga formula:

kung saan ang t ay oras, g = 10 m/s 2 ay ang acceleration ng gravity. Ang mga formula na ito ay nagbibigay ng mathematical model ng problema. Ang pagpapahayag ng t hanggang x mula sa unang equation at pinapalitan ito sa pangalawa, nakuha natin ang equation para sa trajectory ng projectile:

Ang curve na ito (parabola) ay nag-intersect sa x axis sa dalawang punto: x 1 = 0 (simula ng trajectory) at (lugar kung saan nahulog ang projectile). Ang pagpapalit ng mga ibinigay na halaga ng v0 at a sa mga resultang formula, nakukuha namin

sagot: y = x – 90x 2, S = 90 m.

Tandaan na kapag itinayo ang modelong ito, maraming mga pagpapalagay ang ginamit: halimbawa, ipinapalagay na ang Earth ay patag, at ang hangin at ang pag-ikot ng Earth ay hindi nakakaapekto sa paggalaw ng projectile.

2) Problema tungkol sa isang tangke na may pinakamaliit na lugar sa ibabaw.

Kinakailangang hanapin ang taas h 0 at radius r 0 ng tangke ng lata na may volume na V = 30 m 3, na may hugis ng saradong pabilog na silindro, kung saan ang ibabaw na lugar nito S ay minimal (sa kasong ito, ang hindi bababa sa dami ng lata ang gagamitin para sa produksyon nito).

Isulat natin ang mga sumusunod na formula para sa volume at surface area ng isang silindro ng taas h at radius r:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

Ang pagpapahayag ng h hanggang r at V mula sa unang formula at pinapalitan ang nagresultang expression sa pangalawa, nakukuha natin ang:

Kaya, mula sa isang matematikal na punto ng view, ang problema ay bumaba sa pagtukoy ng halaga ng r kung saan ang function na S(r) ay umabot sa pinakamababa nito. Hanapin natin ang mga halagang iyon ng r 0 kung saan ang derivative

napupunta sa zero: Maaari mong suriin na ang pangalawang derivative ng function na S(r) ay nagbabago ng sign mula minus hanggang plus kapag ang argument r ay dumaan sa punto r 0 . Dahil dito, sa punto r0 ang function na S(r) ay may pinakamababa. Ang katumbas na halaga ay h 0 = 2r 0 . Ang pagpapalit ng ibinigay na halaga V sa expression para sa r 0 at h 0, nakuha namin ang nais na radius at taas

3) Problema sa transportasyon.

Ang lungsod ay may dalawang bodega ng harina at dalawang panaderya. Araw-araw, 50 tonelada ng harina ang dinadala mula sa unang bodega, at 70 tonelada mula sa pangalawa patungo sa mga pabrika, na may 40 tonelada sa una, at 80 tonelada sa pangalawa.

Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng a ij gastos sa pagdadala ng 1 toneladang harina mula sa i-th warehouse hanggang j-th halaman(i, j = 1,2). Hayaan

a 11 = 1.2 rubles, a 12 = 1.6 rubles, a 21 = 0.8 kuskusin., a 22 = 1 kuskusin.

Paano dapat planuhin ang transportasyon upang ang gastos nito ay minimal?

Bigyan natin ang problema ng isang mathematical formulation. Tukuyin natin sa x 1 at x 2 ang dami ng harina na dapat dalhin mula sa unang bodega hanggang sa una at pangalawang pabrika, at sa x 3 at x 4 - mula sa pangalawang bodega hanggang sa una at pangalawang pabrika, ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Ang kabuuang halaga ng lahat ng transportasyon ay tinutukoy ng formula

f = 1.2x 1 + 1.6x 2 + 0.8x 3 + x 4.

Mula sa isang matematikal na pananaw, ang problema ay upang makahanap ng apat na numero x 1, x 2, x 3 at x 4 na nakakatugon sa lahat ng ibinigay na kondisyon at nagbibigay ng pinakamababa sa function na f. Lutasin natin ang sistema ng mga equation (1) para sa xi (i = 1, 2, 3, 4) sa pamamagitan ng pag-aalis ng mga hindi alam. Nakukuha namin iyon

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

at ang x 4 ay hindi maaaring matukoy nang natatangi. Dahil x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), pagkatapos ay mula sa mga equation (2) ito ay sumusunod na 30Ј x 4 Ј 70. Ang pagpapalit ng expression para sa x 1, x 2, x 3 sa formula para sa f, namin makuha

f = 148 – 0.2x 4.

Madaling makita na ang minimum ng function na ito ay nakakamit sa maximum na posibleng halaga ng x 4, iyon ay, sa x 4 = 70. Ang mga katumbas na halaga ng iba pang hindi alam ay tinutukoy ng mga formula (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Ang problema ng radioactive decay.

Hayaang ang N(0) ay ang paunang bilang ng mga atomo ng isang radioactive substance, at ang N(t) ay ang bilang ng mga hindi nabubulok na atomo sa oras na t. Eksperimento na itinatag na ang rate ng pagbabago sa bilang ng mga atom na ito N"(t) ay proporsyonal sa N(t), ibig sabihin, N"(t)=–l N(t), l >0 ay ang radioactivity constant ng isang naibigay na substance. Sa kurso ng paaralan ng mathematical analysis ipinapakita na ang solusyon sa differential equation na ito ay may anyo na N(t) = N(0)e –l t. Ang oras na T kung saan ang bilang ng mga paunang atomo ay nahati ay tinatawag na kalahating buhay, at ito ay isang mahalagang katangian ng radyaktibidad ng isang sangkap. Upang matukoy ang T, dapat nating ilagay sa formula Pagkatapos Halimbawa, para sa radon l = 2.084 · 10 –6, at samakatuwid T = 3.15 araw.

5) Ang problema sa naglalakbay na tindero.

Ang isang naglalakbay na tindero na naninirahan sa lungsod A 1 ay kailangang bumisita sa mga lungsod A 2 , A 3 at A 4 , bawat lungsod nang eksaktong isang beses, at pagkatapos ay bumalik sa A 1 . Nabatid na ang lahat ng mga lungsod ay konektado nang pares sa pamamagitan ng mga kalsada, at ang mga haba ng mga kalsada b ij sa pagitan ng mga lungsod A i at A j (i, j = 1, 2, 3, 4) ay ang mga sumusunod:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Ito ay kinakailangan upang matukoy ang pagkakasunud-sunod ng pagbisita sa mga lungsod kung saan ang haba ng kaukulang landas ay minimal.

Ilarawan natin ang bawat lungsod bilang isang punto sa eroplano at markahan ito ng kaukulang label na Ai (i = 1, 2, 3, 4). Ikonekta natin ang mga puntong ito sa mga tuwid na linya: ang mga ito ay kumakatawan sa mga kalsada sa pagitan ng mga lungsod. Para sa bawat "kalsada" ipinapahiwatig namin ang haba nito sa mga kilometro (Larawan 2). Ang resulta ay isang graph - isang mathematical object na binubuo ng isang tiyak na hanay ng mga punto sa eroplano (tinatawag na vertices) at isang tiyak na hanay ng mga linya na nagkokonekta sa mga puntong ito (tinatawag na mga gilid). Bukod dito, ang graph na ito ay may label, dahil ang mga vertice at mga gilid nito ay itinalaga ng ilang mga label - mga numero (mga gilid) o mga simbolo (mga vertex). Ang cycle sa isang graph ay isang sequence ng vertices V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 na ang vertices V 1 , ..., V k ay magkaiba, at anumang pares ng vertices V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) at ang pares na V 1, V k ay konektado sa pamamagitan ng isang gilid. Kaya, ang problemang isinasaalang-alang ay ang paghahanap ng cycle sa graph na dumadaan sa lahat ng apat na vertices kung saan ang kabuuan ng lahat ng edge weights ay minimal. Hanapin natin ang lahat ng iba't ibang cycle na dumadaan sa apat na vertices at simula sa A 1:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.

Hanapin natin ngayon ang mga haba ng mga cycle na ito (sa km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Kaya, ang ruta ng pinakamaikling haba ay ang una.

Tandaan na kung mayroong n vertices sa isang graph at lahat ng vertices ay konektado sa mga pares sa pamamagitan ng mga gilid (ang ganitong graph ay tinatawag na kumpleto), kung gayon ang bilang ng mga cycle na dumadaan sa lahat ng vertices ay Samakatuwid, sa aming kaso mayroong eksaktong tatlong cycle.

6) Ang problema sa paghahanap ng koneksyon sa pagitan ng istraktura at mga katangian ng mga sangkap.

Tingnan natin ang ilang mga kemikal na compound na tinatawag na normal na alkanes. Binubuo ang mga ito ng n carbon atoms at n + 2 hydrogen atoms (n = 1, 2 ...), na magkakaugnay tulad ng ipinapakita sa Figure 3 para sa n = 3. Hayaang malaman ang mga pang-eksperimentong halaga ng mga boiling point ng mga compound na ito:

y e (3) = – 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Kinakailangang maghanap ng tinatayang kaugnayan sa pagitan ng punto ng kumukulo at ang bilang n para sa mga compound na ito. Ipagpalagay natin na ang pag-asa na ito ay may anyo

y" a n+b,

saan a, b - mga constant na tutukuyin. Hanapin a at b pinapalitan natin ang formula na ito nang sunud-sunod n = 3, 4, 5, 6 at ang mga katumbas na halaga ng mga kumukulo. Meron kami:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+ b.

Upang matukoy ang pinakamahusay a at b mayroong maraming iba't ibang paraan. Gamitin natin ang pinakasimple sa mga ito. Ipahayag natin ang b sa pamamagitan ng a mula sa mga equation na ito:

b » – 42 – 3 a, b" – 4 a, b » 28 – 5 a, b » 69 – 6 a.

Kunin natin ang arithmetic mean ng mga halagang ito bilang ninanais na b, ibig sabihin, inilalagay natin ang b » 16 – 4.5 a. Ipalit natin ang halagang ito ng b sa orihinal na sistema ng mga equation at, pagkalkula a, nakukuha namin para sa a ang mga sumusunod na halaga: a» 37, a» 28, a» 28, a" 36. Kunin natin kung kinakailangan a ang average na halaga ng mga numerong ito, iyon ay, ilagay natin a" 34. Kaya, ang kinakailangang equation ay may anyo

y » 34n – 139.

Suriin natin ang katumpakan ng modelo sa orihinal na apat na compound, kung saan kinakalkula natin ang mga kumukulo gamit ang resultang formula:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

Kaya, ang error sa pagkalkula ng property na ito para sa mga compound na ito ay hindi lalampas sa 5°. Ginagamit namin ang resultang equation upang kalkulahin ang boiling point ng isang compound na may n = 7, na hindi kasama sa orihinal na set, kung saan pinapalitan namin ang n = 7 sa equation na ito: y р (7) = 99°. Ang resulta ay medyo tumpak: ito ay kilala na ang pang-eksperimentong halaga ng boiling point y e (7) = 98°.

7) Ang problema sa pagtukoy ng pagiging maaasahan ng isang de-koryenteng circuit.

Dito ay titingnan natin ang isang halimbawa ng isang probabilistikong modelo. Una, ipinakita namin ang ilang impormasyon mula sa teorya ng posibilidad - isang disiplina sa matematika na nag-aaral sa mga pattern ng mga random na phenomena na naobserbahan sa paulit-ulit na pag-uulit ng mga eksperimento. Tawagan natin ang isang random na kaganapan A bilang isang posibleng resulta ng ilang eksperimento. Ang mga kaganapan A 1, ..., A k ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat kung ang isa sa mga ito ay kinakailangang mangyari bilang resulta ng eksperimento. Ang mga kaganapan ay tinatawag na hindi magkatugma kung hindi sila maaaring mangyari nang sabay-sabay sa isang karanasan. Hayaang mangyari ang kaganapan A nang m beses sa isang n-tiklop na pag-uulit ng eksperimento. Ang dalas ng kaganapan A ay ang bilang na W = . Malinaw, ang halaga ng W ay hindi mahuhulaan nang tumpak hanggang sa isang serye ng n eksperimento ay isinasagawa. Gayunpaman, ang likas na katangian ng mga random na kaganapan ay tulad na sa pagsasanay ang sumusunod na epekto ay minsan napapansin: habang ang bilang ng mga eksperimento ay tumataas, ang halaga ay halos hindi na maging random at nagpapatatag sa paligid ng ilang hindi random na numerong P(A), na tinatawag na probabilidad ng ang kaganapan A. Para sa isang imposibleng kaganapan (na hindi kailanman nangyayari sa isang eksperimento) P(A)=0, at para sa isang maaasahang kaganapan (na palaging nangyayari sa karanasan) P(A)=1. Kung ang mga kaganapan A 1 , ..., A k ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga hindi magkatugma na mga kaganapan, pagkatapos ay P(A 1)+...+P(A k)=1.

Hayaan, halimbawa, ang eksperimento ay binubuo ng paghahagis ng dice at pagmamasid sa bilang ng mga puntos na inilabas na X Pagkatapos ay maaari nating ipakilala ang mga sumusunod na random na kaganapan A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Sila bumuo ng isang kumpletong pangkat ng mga hindi magkatugma na pantay na maaaring mangyari, samakatuwid P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Ang kabuuan ng mga kaganapan A at B ay ang kaganapan A + B, na binubuo sa katotohanan na kahit isa sa mga ito ay nangyari sa karanasan. Ang produkto ng mga kaganapan A at B ay ang kaganapan AB, na binubuo ng sabay-sabay na paglitaw ng mga kaganapang ito. Para sa mga independiyenteng kaganapan A at B, ang mga sumusunod na formula ay totoo:

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Isaalang-alang natin ngayon ang mga sumusunod gawain. Ipagpalagay natin na ang tatlong elemento ay konektado sa serye sa isang de-koryenteng circuit at gumagana nang hiwalay sa isa't isa. Ang mga probabilidad ng pagkabigo ng 1st, 2nd at 3rd elements ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng P1 = 0.1, P2 = 0.15, P3 = 0.2. Isasaalang-alang namin ang isang circuit na maaasahan kung ang posibilidad na walang kasalukuyang sa circuit ay hindi hihigit sa 0.4. Ito ay kinakailangan upang matukoy kung ang isang ibinigay na circuit ay maaasahan.

Dahil ang mga elemento ay konektado sa serye, walang magiging kasalukuyang sa circuit (kaganapan A) kung hindi bababa sa isa sa mga elemento ay nabigo. Let A i be the event that i-ika elemento gumagana (i = 1, 2, 3). Pagkatapos P(A1) = 0.9, P(A2) = 0.85, P(A3) = 0.8. Malinaw, ang A 1 A 2 A 3 ay isang kaganapan kung saan ang lahat ng tatlong elemento ay gumagana nang sabay-sabay, at

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0.612.

Pagkatapos P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, kaya P(A) = 0.388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Sa konklusyon, napapansin namin na ang mga ibinigay na halimbawa ng mga modelong matematikal (kabilang ang functional at structural, deterministic at probabilistic) ay likas na naglalarawan at, malinaw naman, hindi nauubos ang iba't ibang modelo ng matematika na lumitaw sa mga natural na agham at humanidad.

Ang konsepto ng modelo at simulation.

Modelo sa malawak na kahulugan- ito ay anumang imahe, mental analogue o itinatag na imahe, paglalarawan, diagram, drawing, mapa, atbp. ng anumang volume, proseso o phenomenon, na ginamit bilang kapalit o kinatawan nito. Ang bagay, proseso o phenomenon mismo ay tinatawag na orihinal ng modelong ito.

Pagmomodelo - ito ay ang pag-aaral ng anumang bagay o sistema ng mga bagay sa pamamagitan ng pagbuo at pag-aaral ng kanilang mga modelo. Ito ay ang paggamit ng mga modelo upang matukoy o linawin ang mga katangian at bigyang-katwiran ang mga pamamaraan ng pagbuo ng mga bagong gawang bagay.

Ang anumang pamamaraan ng siyentipikong pananaliksik ay batay sa ideya ng pagmomodelo, habang ang mga teoretikal na pamamaraan ay gumagamit ng iba't ibang uri ng simbolikong, abstract na mga modelo, at mga eksperimentong pamamaraan ay gumagamit ng mga modelo ng paksa.

Sa panahon ng pananaliksik, ang isang kumplikadong tunay na kababalaghan ay pinapalitan ng ilang pinasimpleng kopya o diagram kung minsan ang gayong kopya ay nagsisilbi lamang upang matandaan at makilala ang nais na kababalaghan sa susunod na pagpupulong. Minsan ang itinayong diagram ay sumasalamin sa ilang mahahalagang katangian, nagbibigay-daan sa isa na maunawaan ang mekanismo ng isang kababalaghan, at ginagawang posible na mahulaan ang pagbabago nito. Ang parehong kababalaghan ay maaaring tumutugma iba't ibang modelo.

Ang gawain ng mananaliksik ay hulaan ang likas na katangian ng kababalaghan at ang takbo ng proseso.

Minsan, nangyayari na ang isang bagay ay magagamit, ngunit ang mga eksperimento dito ay mahal o humantong sa malubhang kahihinatnan sa kapaligiran. Ang kaalaman tungkol sa mga naturang proseso ay nakukuha gamit ang mga modelo.

Ang isang mahalagang punto ay ang mismong kalikasan ng agham ay nagsasangkot ng pag-aaral ng hindi isang tiyak na kababalaghan, ngunit isang malawak na klase ng mga kaugnay na phenomena. Ipinapalagay nito ang pangangailangang bumalangkas ng ilang pangkalahatang kategoryang pahayag, na tinatawag na mga batas. Naturally, sa gayong pagbabalangkas maraming mga detalye ang napapabayaan. Upang mas malinaw na makilala ang isang pattern, sinasadya nilang pumunta para sa coarsening, idealization, at sketchiness, iyon ay, hindi nila pinag-aaralan ang phenomenon mismo, ngunit isang mas o hindi gaanong tumpak na kopya o modelo nito. Ang lahat ng mga batas ay mga batas tungkol sa mga modelo, at samakatuwid ito ay hindi nakakagulat na sa paglipas ng panahon ang ilang mga siyentipikong teorya ay kinikilala bilang hindi angkop. Hindi ito humahantong sa pagbagsak ng agham, dahil ang isang modelo ay pinalitan ng isa pa mas makabago.

Ang isang espesyal na papel sa agham ay nilalaro ng mga modelo ng matematika, mga materyales sa gusali at mga tool ng mga modelong ito - mga konsepto ng matematika. Sila ay naipon at napabuti sa loob ng libu-libong taon. Ang modernong matematika ay nagbibigay ng napakalakas at unibersal na paraan ng pananaliksik. Halos bawat konsepto sa matematika, bawat bagay sa matematika, simula sa konsepto ng numero, ay isang modelo ng matematika. Kapag gumagawa ng isang modelo ng matematika ng bagay o kababalaghan na pinag-aaralan, ang mga tampok, tampok at detalye nito ay natukoy na, sa isang banda, ay naglalaman ng higit pa o hindi gaanong kumpletong impormasyon tungkol sa bagay, at sa kabilang banda, pinapayagan ang pagpormal ng matematika. Ang mathematical formalization ay nangangahulugan na ang mga tampok at detalye ng isang bagay ay maaaring iugnay sa angkop na sapat na matematikal na mga konsepto: mga numero, function, matrice, at iba pa. Pagkatapos ang mga koneksyon at relasyon na natuklasan at ipinapalagay sa bagay na pinag-aaralan sa pagitan ng mga indibidwal na bahagi at mga bahagi nito ay maaaring isulat gamit ang mga ugnayang matematikal: pagkakapantay-pantay, hindi pagkakapantay-pantay, mga equation. Ang resulta ay isang mathematical na paglalarawan ng proseso o phenomenon na pinag-aaralan, iyon ay, ang mathematical model nito.

Ang pag-aaral ng isang modelo ng matematika ay palaging nauugnay sa ilang mga patakaran ng pagkilos sa mga bagay na pinag-aaralan. Ang mga panuntunang ito ay sumasalamin sa mga ugnayan sa pagitan ng mga sanhi at epekto.

Ang pagbuo ng isang modelo ng matematika ay ang sentral na yugto ng pananaliksik o disenyo ng anumang sistema. Ang lahat ng kasunod na pagsusuri ng bagay ay nakasalalay sa kalidad ng modelo. Ang pagbuo ng isang modelo ay hindi isang pormal na pamamaraan. Ito ay lubos na nakadepende sa mananaliksik, sa kanyang karanasan at panlasa, at palaging nakabatay sa ilang eksperimentong materyal. Ang modelo ay dapat na sapat na tumpak, sapat at maginhawang gamitin.

Pagmomodelo sa matematika.

Pag-uuri ng mga modelo ng matematika.

Ang mga modelo ng matematika ay maaaringdeterministiko At stochastic .

Tukuyin modelo at mga modelo kung saan ang isang isa-sa-isang pagsusulatan ay itinatag sa pagitan ng mga variable na naglalarawan ng isang bagay o phenomenon.

Ang diskarte na ito ay batay sa kaalaman sa gumaganang mekanismo ng mga bagay. Kadalasan ang bagay na na-modelo ay kumplikado at ang pag-decipher ng mekanismo nito ay maaaring maging napakahirap sa paggawa at pag-ubos ng oras. Sa kasong ito, nagpapatuloy sila sa mga sumusunod: nagsasagawa sila ng mga eksperimento sa orihinal, pinoproseso ang mga resulta na nakuha at, nang hindi sinasaliksik ang mekanismo at teorya ng modelong bagay gamit ang mga pamamaraan ng matematikal na istatistika at teorya ng posibilidad, nagtatatag ng mga koneksyon sa pagitan ng mga variable na naglalarawan ang bagay. Sa kasong ito makakakuha kastochastic modelo . SA stochastic modelo, ang relasyon sa pagitan ng mga variable ay random, kung minsan ito ay pangunahing. Ang impluwensya ng isang malaking bilang ng mga kadahilanan, ang kanilang kumbinasyon ay humahantong sa isang random na hanay ng mga variable na naglalarawan ng isang bagay o kababalaghan. Ayon sa likas na katangian ng mga mode, ang modelo ayistatistika At pabago-bago.

Istatistikamodelomay kasamang paglalarawan ng mga ugnayan sa pagitan ng mga pangunahing variable ng namodelong bagay sa isang steady state nang hindi isinasaalang-alang ang mga pagbabago sa mga parameter sa paglipas ng panahon.

SA pabago-bagomga modeloang mga ugnayan sa pagitan ng mga pangunahing variable ng modelong bagay sa panahon ng paglipat mula sa isang mode patungo sa isa pa ay inilarawan.

May mga modelo discrete At tuloy-tuloy, at magkakahalo uri. SA tuloy-tuloy ang mga variable ay kumukuha ng mga halaga mula sa isang tiyak na agwat, sadiscreteang mga variable ay kumukuha ng mga nakahiwalay na halaga.

Mga linear na modelo- lahat ng mga function at relasyon na naglalarawan sa modelo ay linearly depende sa mga variable athindi linearkung hindi.

Pagmomodelo sa matematika.

Mga kinakailangan ,p iniharap sa mga modelo.

1. Kagalingan sa maraming bagay- nailalarawan ang pagkakumpleto ng representasyon ng modelo ng mga pinag-aralan na katangian ng isang tunay na bagay.

Ang kasapatan ay ang kakayahang ipakita ang nais na mga katangian ng isang bagay na may error na hindi mas mataas kaysa sa isang ibinigay.
Ang katumpakan ay tinasa ng antas ng kasunduan sa pagitan ng mga halaga ng mga katangian ng isang tunay na bagay at ang mga halaga ng mga katangiang ito na nakuha gamit ang mga modelo.
Matipid - tinutukoy ng paggasta ng mga mapagkukunan ng memorya ng computer at oras para sa pagpapatupad at pagpapatakbo nito.

Pagmomodelo sa matematika.

Mga pangunahing yugto ng pagmomolde.

1. Paglalahad ng suliranin.

Pagtukoy sa layunin ng pagsusuri at ang paraan upang makamit ito at bumuo ng isang pangkalahatang diskarte sa problemang pinag-aaralan. Sa yugtong ito, kinakailangan ang malalim na pag-unawa sa kakanyahan ng gawain. Minsan, ang pagtatakda ng isang problema nang tama ay hindi mas mahirap kaysa sa paglutas nito. Ang pagtatanghal ay hindi isang pormal na proseso, pangkalahatang tuntunin Hindi.

2. Pag-aaral ng mga teoretikal na pundasyon at pagkolekta ng impormasyon tungkol sa orihinal na bagay.

Sa yugtong ito, pinipili o binuo ang isang angkop na teorya. Kung wala ito, ang sanhi-at-bunga na mga relasyon ay itinatag sa pagitan ng mga variable na naglalarawan sa bagay. Tinutukoy ang data ng input at output, at ginagawa ang pagpapasimple ng mga pagpapalagay.

3. Pormalisasyon.

Binubuo ito sa pagpili ng isang sistema ng mga simbolo at paggamit ng mga ito upang isulat ang mga ugnayan sa pagitan ng mga bahagi ng bagay sa anyo. mga pagpapahayag ng matematika. Ang klase ng mga problema kung saan ang resultang modelo ng matematika ng bagay ay maaaring maiuri ay itinatag. Ang mga halaga ng ilang mga parameter ay maaaring hindi pa tinukoy sa yugtong ito.

4. Pagpili ng paraan ng solusyon.

Sa yugtong ito, ang mga huling parameter ng mga modelo ay itinatag na isinasaalang-alang ang mga kondisyon ng pagpapatakbo ng bagay. Para sa nagresultang problema sa matematika, ang isang paraan ng solusyon ay pinili o isang espesyal na paraan ay binuo. Kapag pumipili ng isang paraan, ang kaalaman ng gumagamit, ang kanyang mga kagustuhan, at ang mga kagustuhan ng developer ay isinasaalang-alang.

5. Pagpapatupad ng modelo.

Ang pagkakaroon ng pagbuo ng isang algorithm, ang isang programa ay nakasulat, na kung saan ay na-debug, nasubok, at isang solusyon sa nais na problema ay nakuha.

6. Pagsusuri ng impormasyong natanggap.

Ang nakuha at inaasahang solusyon ay inihahambing, at ang error sa pagmomodelo ay sinusubaybayan.

7. Sinusuri ang kasapatan ng tunay na bagay.

Ang mga resulta na nakuha mula sa modelo ay inihambingalinman sa magagamit na impormasyon tungkol sa bagay, o isang eksperimento ay isinasagawa at ang mga resulta nito ay inihambing sa mga kinakalkula.

Ang proseso ng pagmomolde ay umuulit. Sa kaso ng hindi kasiya-siyang resulta ng mga yugto 6. o 7. may pagbabalik sa isa sa mga naunang yugto, na maaaring humantong sa pagbuo ng isang hindi matagumpay na modelo. Ang yugtong ito at ang lahat ng kasunod ay pinino, at ang gayong pagpipino ng modelo ay nangyayari hanggang sa makuha ang mga katanggap-tanggap na resulta.

Ang pagmomodelo ng matematika at ang nauugnay na eksperimento sa computer ay kailangang-kailangan sa mga kaso kung saan imposible o mahirap ang isang buong sukat na eksperimento para sa isang kadahilanan o iba pa. Halimbawa, imposibleng mag-set up ng natural na eksperimento sa kasaysayan upang suriin ang "kung ano ang mangyayari kung..." Imposibleng suriin ang kawastuhan ng isa o isa pang teorya ng kosmolohiya. Posible, ngunit malamang na hindi makatwiran, na mag-eksperimento sa pagkalat ng isang sakit, tulad ng salot, o magsagawa ng nuclear explosion upang pag-aralan ang mga kahihinatnan nito. Gayunpaman, ang lahat ng ito ay maaaring gawin sa isang computer sa pamamagitan ng unang pagbuo ng mga modelo ng matematika ng mga phenomena na pinag-aaralan.

1.1.2 2. Mga pangunahing yugto ng pagmomolde ng matematika

1) Pagbuo ng modelo. Sa yugtong ito, ang isang tiyak na bagay na "di-matematika" ay tinukoy - isang natural na kababalaghan, disenyo, planong pang-ekonomiya, proseso ng produksyon, atbp. Sa kasong ito, bilang isang panuntunan, ang isang malinaw na paglalarawan ng sitwasyon ay mahirap. Una, ang mga pangunahing tampok ng kababalaghan at ang mga koneksyon sa pagitan ng mga ito sa isang antas ng husay ay nakilala. Pagkatapos ang nahanap na qualitative dependencies ay binuo sa wika ng matematika, iyon ay, isang mathematical model ang binuo. Ito ang pinakamahirap na yugto ng pagmomodelo.

2) Paglutas ng problemang pangmatematika kung saan pinangungunahan ng modelo. Sa yugtong ito, maraming pansin ang binabayaran sa pagbuo ng mga algorithm at numerical na pamamaraan para sa paglutas ng problema sa isang computer, sa tulong kung saan ang resulta ay matatagpuan sa kinakailangang katumpakan at sa loob ng isang katanggap-tanggap na oras.

3) Interpretasyon ng mga nakuhang kahihinatnan mula sa mathematical model.Ang mga kahihinatnan na nagmula sa modelo sa wika ng matematika ay binibigyang kahulugan sa wikang tinatanggap sa larangan.

4) Sinusuri ang kasapatan ng modelo.Sa yugtong ito, natutukoy kung ang mga eksperimentong resulta ay sumasang-ayon sa mga teoretikal na kahihinatnan ng modelo sa loob ng isang tiyak na katumpakan.

5) Pagbabago ng modelo.Sa yugtong ito, alinman sa modelo ay kumplikado upang ito ay mas sapat sa katotohanan, o ito ay pinasimple upang makamit ang isang praktikal na katanggap-tanggap na solusyon.

1.1.3 3. Pag-uuri ng modelo

Maaaring uriin ang mga modelo ayon sa iba't ibang pamantayan. Halimbawa, ayon sa likas na katangian ng mga problemang nilulutas, ang mga modelo ay maaaring nahahati sa functional at structural. Sa unang kaso, ang lahat ng mga dami na nagpapakilala sa isang kababalaghan o bagay ay ipinahayag sa dami. Bukod dito, ang ilan sa mga ito ay itinuturing na mga independiyenteng variable, habang ang iba ay itinuturing na mga function ng mga dami na ito. Ang modelo ng matematika ay karaniwang isang sistema ng mga equation iba't ibang uri(differential, algebraic, atbp.), na nagtatatag ng mga quantitative na relasyon sa pagitan ng mga dami na isinasaalang-alang. Sa pangalawang kaso, ang modelo ay nagpapakilala sa istraktura ng isang kumplikadong bagay na binubuo ng mga indibidwal na bahagi, sa pagitan ng kung saan mayroong ilang mga koneksyon. Karaniwan, ang mga koneksyon na ito ay hindi nasusukat. Upang makabuo ng gayong mga modelo, maginhawang gumamit ng teorya ng graph. Ang graph ay isang mathematical object na kumakatawan sa isang set ng mga punto (vertices) sa isang eroplano o sa espasyo, na ang ilan ay konektado sa pamamagitan ng mga linya (mga gilid).

MATHEMATICAL MODELING AT PANGKALAHATANG COMPUTERIZATION O SIMULATION MODELS

Ngayon, kapag ang halos unibersal na computerization ay nagaganap sa bansa, naririnig namin ang mga pahayag mula sa mga espesyalista sa iba't ibang mga propesyon: "Kung magpakilala kami ng isang computer, kung gayon ang lahat ng mga problema ay malulutas kaagad." Ang puntong ito ng pananaw ay ganap na mali;

Bilang suporta sa nabanggit, susubukan naming bigyang-katwiran ang pangangailangan para sa pagmomodelo, kabilang ang pagmomodelo ng matematika, ibubunyag namin ang mga pakinabang nito sa katalusan ng tao at pagbabago ng panlabas na mundo, tutukuyin namin ang mga umiiral na pagkukulang at magpatuloy... sa simulation modeling, i.e. pagmomodelo gamit ang computer. Ngunit lahat ay nasa ayos.

Una sa lahat, sagutin natin ang tanong: ano ang modelo?

Ang modelo ay isang materyal o bagay na kinakatawan ng isip, na sa proseso ng pag-unawa (pag-aaral) ay pinapalitan ang orihinal, pinapanatili ang ilang tipikal na katangian na mahalaga para sa pag-aaral na ito.

Ang isang mahusay na binuo na modelo ay mas naa-access para sa pananaliksik kaysa sa isang tunay na bagay. Halimbawa, ang mga eksperimento sa ekonomiya ng bansa para sa mga layuning pang-edukasyon ay hindi katanggap-tanggap;

Sa pagbubuod ng sinabi, masasagot natin ang tanong: para saan ang mga modelo? Nang sa gayon

maunawaan kung paano gumagana ang isang bagay (ang istraktura nito, mga katangian, mga batas ng pag-unlad, pakikipag-ugnayan sa labas ng mundo).
matutong pamahalaan ang isang bagay (proseso) at matukoy pinakamahusay na mga diskarte
hulaan ang mga kahihinatnan ng epekto sa bagay.

Ano ang positibo sa anumang modelo? Pinapayagan ka nitong makakuha ng bagong kaalaman tungkol sa bagay, ngunit, sa kasamaang-palad, ito ay hindi kumpleto sa isang antas o iba pa.

Modelona nabuo sa wika ng matematika gamit ang mga pamamaraang matematika ay tinatawag na modelo ng matematika.

Ang panimulang punto para sa pagtatayo nito ay karaniwang ilang problema, halimbawa isang pang-ekonomiya. Ang parehong descriptive at optimization na mathematical ay laganap, na nagpapakilala sa iba't-ibang mga prosesong pang-ekonomiya at phenomena, halimbawa:

paglalaan ng mapagkukunan
makatwirang pagputol
transportasyon
pagsasama-sama ng mga negosyo
pagpaplano ng network.

Paano nabuo ang isang modelo ng matematika?

Una, ang layunin at paksa ng pag-aaral ay nabuo.
Pangalawa, ang pinakamahalagang katangian na naaayon sa layuning ito ay naka-highlight.
Pangatlo, ang mga ugnayan sa pagitan ng mga elemento ng modelo ay inilarawan sa salita.
Susunod, pormal na ang relasyon.
At ang isang pagkalkula ay ginawa gamit ang isang mathematical model at ang resultang solusyon ay pinag-aaralan.

Gamit ang algorithm na ito maaari mong lutasin ang anumang problema sa pag-optimize, kabilang ang multicriteria, i.e. isa kung saan hindi isa, ngunit maraming mga layunin ang hinahabol, kabilang ang mga kontradiksyon.

Magbigay tayo ng halimbawa. Teorya ng queuing - ang problema ng pagpila. Kinakailangang balansehin ang dalawang salik - ang halaga ng pagpapanatili ng mga kagamitan sa serbisyo at ang halaga ng pananatili sa linya. Ang pagkakaroon ng pagbuo ng isang pormal na paglalarawan ng modelo, ang mga kalkulasyon ay ginawa gamit ang analytical at computational na mga pamamaraan. Kung ang modelo ay mabuti, kung gayon ang mga sagot na natagpuan sa tulong nito ay sapat sa sistema ng pagmomolde, kung ito ay masama, dapat itong pagbutihin at palitan. Ang criterion ng kasapatan ay pagsasanay.

Ang mga modelo ng pag-optimize, kabilang ang mga multicriteria, ay may isang karaniwang pag-aari - isang layunin (o ilang mga layunin) ay kilala, upang makamit kung alin ang madalas na kailangang harapin ang mga kumplikadong sistema, kung saan ito ay hindi gaanong tungkol sa paglutas ng mga problema sa pag-optimize, ngunit tungkol sa pag-aaral at paghula estado depende sa mga napiling diskarte sa pamamahala. At dito tayo ay nahaharap sa mga kahirapan sa pagpapatupad ng nakaraang plano. Ang mga ito ay ang mga sumusunod:

ang isang kumplikadong sistema ay naglalaman ng maraming koneksyon sa pagitan ng mga elemento
ang isang tunay na sistema ay naiimpluwensyahan ng mga random na kadahilanan, ang pagsasaalang-alang sa mga ito nang analytical ay imposible
ang posibilidad ng paghahambing ng orihinal sa modelo ay umiiral lamang sa simula at pagkatapos gamitin ang mathematical apparatus, dahil ang mga intermediate na resulta ay maaaring walang mga analogue sa totoong sistema.

Kaugnay ng nakalistang mga paghihirap na lumitaw kapag nag-aaral ng mga kumplikadong sistema, ang pagsasanay ay nangangailangan ng isang mas nababaluktot na pamamaraan, at ito ay lumitaw - "Pagmomodelo ng simujation".

Karaniwan, ang modelo ng simulation ay nauunawaan bilang isang hanay ng mga programa sa computer na naglalarawan sa paggana ng mga indibidwal na bloke ng system at ang mga patakaran ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga ito. Ang paggamit ng mga random na variable ay ginagawang kinakailangan upang magsagawa ng paulit-ulit na mga eksperimento sa isang simulation system (sa isang computer) at kasunod na istatistikal na pagsusuri ng mga resultang nakuha. Isang napaka-karaniwang halimbawa ng paggamit ng mga modelo ng simulation ay ang paglutas ng problema sa pagpila gamit ang MONTE CARLO method.

Kaya, ang pagtatrabaho sa isang simulation system ay isang eksperimento na isinasagawa sa isang computer. Ano ang mga pakinabang?

– Mas malapit sa tunay na sistema kaysa sa mga modelo ng matematika;

– Ginagawang posible ng prinsipyo ng block na i-verify ang bawat bloke bago ito isama sa pangkalahatang sistema;

–Ang paggamit ng mga dependency ng isang mas kumplikadong kalikasan na hindi maaaring ilarawan sa pamamagitan ng simpleng mga relasyon sa matematika.

Tinutukoy ng mga nakalistang pakinabang ang mga disadvantages

–Ang pagbuo ng modelo ng simulation ay tumatagal, mas mahirap at mas mahal;

– upang gumana sa simulation system, kailangan mong magkaroon ng isang computer na angkop para sa klase;

– ang pakikipag-ugnayan sa pagitan ng user at ng simulation model (interface) ay hindi dapat masyadong kumplikado, maginhawa at kilala;

-Ang pagbuo ng modelo ng simulation ay nangangailangan ng mas malalim na pag-aaral ng tunay na proseso kaysa sa mathematical modeling.

Ang tanong ay lumitaw: maaari bang palitan ng simulation modeling ang mga pamamaraan ng pag-optimize? Hindi, ngunit ito ay maginhawang umakma sa kanila. Ang modelo ng simulation ay isang programa na nagpapatupad ng isang partikular na algorithm, upang i-optimize ang kontrol kung saan unang nalutas ang isang problema sa pag-optimize.

Kaya, alinman sa isang computer, o isang modelo ng matematika, o isang algorithm para sa pag-aaral lamang nito ay hindi makakalutas ng isang sapat na kumplikadong problema. Ngunit magkasama silang kumakatawan sa puwersa na nagpapahintulot sa atin na maunawaan ang mundo sa ating paligid at pamahalaan ito sa interes ng tao.

1.2 Pag-uuri ng modelo

1.2.1
Pag-uuri na isinasaalang-alang ang kadahilanan ng oras at lugar ng paggamit (Makarova N.A.)

Static na modelo - ito ay tulad ng isang beses na snapshot ng impormasyon sa isang bagay (ang resulta ng isang survey)
Dynamic pinahihintulutan ng modelo makita ang mga pagbabago sa isang bagay sa paglipas ng panahon (Card sa klinika)
Ang mga modelo ay maaari ding uriin ayon sa anong lugar ng kaalaman sila nabibilang?(biyolohikal, historikal, kapaligiran, atbp.)
Bumalik sa itaas

1.2.2 Pag-uuri ayon sa lugar ng paggamit (Makarova N.A.)

Pang-edukasyon- biswal mga manwal, mga simulator oh, mga umaangal mga programa
Naranasan mga modelo-nabawasan mga kopya (kotse sa isang wind tunnel)
Siyentipiko at teknikal synchrophasotron, tumayo para sa pagsubok ng mga elektronikong kagamitan
Paglalaro- ekonomiya, palakasan, larong pangnegosyo
Panggagaya- Hindi Sinasalamin lamang nila ang katotohanan, ngunit ginagaya ito (ang mga gamot ay nasubok sa mga daga, ang mga eksperimento ay isinasagawa sa mga paaralan, atbp. Ang pamamaraang ito ng pagmomodelo ay tinatawag na pagsubok at pagkakamali
Bumalik sa itaas

1.2.3 Pag-uuri ayon sa paraan ng pagtatanghal Makarov N.A.)

materyal mga modelo- kung hindi matatawag na paksa. Nakikita nila ang mga geometriko at pisikal na katangian ng orihinal at palaging may tunay na sagisag
Impormasyon hindi pinapayagan ang mga modelo hawakan o tingnan. Ang mga ito ay batay lamang sa impormasyon .At impormasyon Ang modelo ay isang hanay ng impormasyon na nagpapakilala sa mga katangian at estado ng isang bagay, proseso, kababalaghan, pati na rin ang kaugnayan sa labas ng mundo.
Verbal model - modelo ng impormasyon sa mental o pasalitang anyo.
iconic modelo-impormasyon modelo na ipinahayag sa pamamagitan ng mga palatandaan ,i.e.. sa pamamagitan ng anumang pormal na wika.
Modelo ng computer - m Isang modelo na ipinatupad sa pamamagitan ng isang software environment.

1.2.4 Pag-uuri ng mga modelo na ibinigay sa aklat na "Earth Informatics" (Gein A.G.))

"...narito ang isang tila simpleng gawain: gaano katagal ang tatawid sa Karakum Desert? Ang sagot ay siyempre depende sa paraan ng transportasyon. Kung maglakbay sa mga kamelyo, pagkatapos ay kakailanganin ang isang termino, isa pa kung maglalakbay ka sa pamamagitan ng kotse, pangatlo kung lumipad ka sa eroplano. At higit sa lahat, kailangan ng iba't ibang modelo para magplano ng biyahe. Para sa unang kaso, ang kinakailangang modelo ay matatagpuan sa mga memoir ng mga sikat na explorer ng disyerto: pagkatapos ng lahat, hindi magagawa ng isa nang walang impormasyon tungkol sa mga oasis at mga landas ng kamelyo. Sa pangalawang kaso, ang impormasyong nakapaloob sa atlas ng kalsada ay hindi maaaring palitan. Sa pangatlo, maaari mong gamitin ang iskedyul ng paglipad.
Magkaiba ang tatlong modelong ito - mga memoir, atlas at iskedyul - at ang katangian ng presentasyon ng impormasyon. Sa unang kaso, ang modelo ay kinakatawan ng isang pandiwang paglalarawan ng impormasyon (deskriptibong modelo), sa pangalawa - na parang isang larawan mula sa buhay (buong sukat na modelo), sa pangatlo - isang talahanayan na naglalaman ng mga simbolo: mga oras ng pag-alis at pagdating, araw ng linggo, presyo ng tiket (ang tinatawag na sign model) Gayunpaman, ang dibisyon na ito ay napaka-arbitrary; sa mga memoir maaari kang makahanap ng mga mapa at diagram (mga elemento ng isang buong sukat na modelo), sa mga mapa mayroong mga simbolo (mga elemento ng isang simbolikong modelo), sa iskedyul ay mayroong isang pag-decode mga simbolo(mga elemento ng isang mapaglarawang modelo). Kaya itong pag-uuri ng mga modelo... sa aming opinyon, ay hindi produktibo"
Sa palagay ko, ang fragment na ito ay nagpapakita ng mapaglarawang (kahanga-hangang wika at istilo ng pagtatanghal) at, kumbaga, Socratic na istilo ng pagtuturo na karaniwan sa lahat ng mga aklat ni Hein (Sa tingin ng lahat ay ganito ito. Lubos akong sumasang-ayon sa iyo, ngunit kung titingnan mong mabuti...). Sa ganitong mga libro medyo mahirap makahanap ng isang malinaw na sistema ng mga kahulugan (hindi ito nilayon ng may-akda). Sa textbook na inedit ni N.A. Ang Makarova ay nagpapakita ng ibang diskarte - ang mga kahulugan ng mga konsepto ay malinaw na naka-highlight at medyo static.

1.2.5 Pag-uuri ng mga modelo na ibinigay sa manwal ng A.I

Mayroong isang hindi pangkaraniwang malaking bilang ng mga pamamaraan ng pag-uuri .P dalhin mo ilan lamang sa mga pinakakilalang bakuran at mga palatandaan: discreteness At pagpapatuloy, matrix at mga modelong scalar, mga static at dynamic na modelo, mga modelo ng analitikal at impormasyon, mga modelo ng paksa at figurative-sign, malakihan at hindi sukat...
Bawat tanda nagbibigay ng tiyak kaalaman tungkol sa mga katangian ng parehong modelo at ang simulate na katotohanan. Ang tanda ay maaaring magsilbi bilang isang pahiwatig tungkol sa paraan ng nakumpleto o paparating na pagmomolde.
Diskrete at pagpapatuloy Diskrete - isang katangian ng mga modelo ng computer .Pagkatapos ng lahat ang computer ay maaaring nasa final, bagaman napaka malalaking dami estado. Samakatuwid, kahit na ang bagay ay tuloy-tuloy (oras), sa modelo ay magbabago ito sa mga jumps. Maaari itong isaalang-alang pagpapatuloy isang tanda ng mga modelong hindi uri ng kompyuter.
Pagkakataon at determinismo . kawalan ng katiyakan, aksidente sa simula ay sumasalungat sa mundo ng computer: Ang algorithm na inilunsad muli ay dapat na ulitin at magbigay ng parehong mga resulta. Ngunit para gayahin ang mga random na proseso, ginagamit ang mga pseudorandom number sensor. Ang pagpapasok ng randomness sa mga deterministikong problema ay humahantong sa mga makapangyarihan at kawili-wiling mga modelo (Pagkalkula ng lugar sa pamamagitan ng random na paghahagis).
Pagkamatris - scalarity. Availability ng mga parameter matris modelo ay nagpapahiwatig ng higit na kumplikado at, posibleng, katumpakan kumpara sa scalar. Halimbawa, kung hindi natin matukoy ang lahat ng pangkat ng edad sa populasyon ng bansa, kung isasaalang-alang ang pagbabago nito sa kabuuan, makakakuha tayo ng isang modelong scalar (halimbawa, ang modelong Malthus), kung ihihiwalay natin ito, makakakuha tayo ng isang matrix (sex -edad) modelo. Ito ang modelo ng matrix na naging posible na ipaliwanag ang mga pagbabago sa pagkamayabong pagkatapos ng digmaan.
Static dynamic. Ang mga katangian ng modelo ay karaniwang paunang natukoy ng mga katangian ng tunay na bagay. Walang kalayaan sa pagpili dito. Basta static ang modelo ay maaaring maging isang hakbang patungo pabago-bago, o ang ilan sa mga variable ng modelo ay maaaring ituring na hindi nagbabago sa ngayon. Halimbawa, ang isang satellite ay gumagalaw sa paligid ng Earth, ang paggalaw nito ay naiimpluwensyahan ng Buwan. Kung isasaalang-alang natin ang Buwan na nakatigil sa panahon ng rebolusyon ng satellite, makakakuha tayo ng mas simpleng modelo.
Mga modelong analitikal. Paglalarawan ng mga proseso analitikal, mga formula at equation. Ngunit kapag sinusubukang bumuo ng isang graph, mas maginhawang magkaroon ng mga talahanayan ng mga halaga ng function at argumento.
Mga modelo ng simulation. Panggagaya ang mga modelo ay lumitaw nang matagal na ang nakalipas sa anyo ng mga sukat na kopya ng mga barko, tulay, atbp. na lumitaw nang matagal na ang nakalipas, ngunit isinasaalang-alang kamakailan na may kaugnayan sa mga computer. Alam kung paano konektado Ang mga elemento ng modelo ay analytically at lohikal, mas madaling hindi malutas ang isang sistema ng ilang mga relasyon at equation, ngunit upang ipakita ang tunay na sistema sa memorya ng computer, na isinasaalang-alang ang mga koneksyon sa pagitan ng mga elemento ng memorya.
Mga modelo ng impormasyon. Impormasyon Ang mga modelo ay karaniwang ikinukumpara sa mga matematikal, o sa halip ay mga algorithm. Ang ratio ng dami ng data sa mga algorithm ay mahalaga dito. Kung mayroong higit pang data o ito ay mas mahalaga, mayroon kaming modelo ng impormasyon, kung hindi - mathematical.
Mga modelo ng paksa. Ito ay pangunahing modelo ng mga bata - isang laruan.
Mga iconic na modelo. Pangunahing modelo ito sa isip ng tao: matalinhaga, kung nangingibabaw ang mga graphic na larawan, at iconic, kung marami pang salita at/o numero. Ang mga modelong figurative-sign ay binuo sa isang computer.
Mga modelo ng scale. SA malakihan ang mga modelo ay ang mga modelo ng paksa o matalinghagang inuulit ang hugis ng isang bagay (mapa).

Matematikal na modelo b ay isang mathematical na representasyon ng realidad.

Pagmomodelo sa matematika- ang proseso ng pagbuo at pag-aaral ng mga modelo ng matematika.

Ang lahat ng natural at panlipunang agham na gumagamit ng mathematical apparatus ay mahalagang nakikibahagi sa matematikal na pagmomolde: pinapalitan nila ang isang tunay na bagay ng mathematical model nito at pagkatapos ay pinag-aaralan ang huli.

Mga Kahulugan.

Walang kahulugan ang maaaring ganap na sumaklaw sa aktwal na aktibidad ng pagmomodelo ng matematika. Sa kabila nito, kapaki-pakinabang ang mga kahulugan sa pagtatangka nilang i-highlight ang pinakamahalagang feature.

Kahulugan ng isang modelo ayon kay A. A. Lyapunov: Ang pagmomodelo ay isang hindi direktang praktikal o teoretikal na pag-aaral ng isang bagay, kung saan hindi mismo ang bagay na interesado sa atin ang direktang pinag-aaralan, ngunit ang ilang pantulong na artipisyal o natural na sistema:

matatagpuan sa ilang layunin na pagsusulatan sa nakikilalang bagay;

may kakayahang palitan ito sa ilang mga aspeto;

na, kapag pinag-aralan, sa huli ay nagbibigay ng impormasyon tungkol sa bagay na ginagaya.

Ayon sa aklat-aralin nina Sovetov at Yakovlev: "ang isang modelo ay isang kapalit na bagay para sa orihinal na bagay, na nagbibigay ng pag-aaral ng ilang mga katangian ng orihinal." "Ang pagpapalit ng isang bagay sa isa pa upang makakuha ng impormasyon tungkol sa pinakamahalagang katangian ng orihinal na bagay gamit ang isang modelong bagay ay tinatawag na pagmomolde." "Sa pamamagitan ng pagmomodelo ng matematika ang ibig sabihin namin ay ang proseso ng pagtatatag ng isang sulat sa pagitan ng isang ibinigay na tunay na bagay at ilang bagay sa matematika, na tinatawag na isang modelo ng matematika, at ang pag-aaral ng modelong ito, na nagpapahintulot sa amin na makuha ang mga katangian ng tunay na bagay na isinasaalang-alang. Ang uri ng mathematical model ay nakasalalay pareho sa likas na katangian ng tunay na bagay at ang mga gawain ng pag-aaral ng bagay at ang kinakailangang pagiging maaasahan at katumpakan ng paglutas ng problemang ito.

Ayon kina Samarsky at Mikhailov, ang isang matematikal na modelo ay isang "katumbas" ng isang bagay, na sumasalamin sa matematikal na anyo ng mga pinakamahalagang katangian nito: ang mga batas na sinusunod nito, ang mga koneksyon na likas sa mga bahagi nito, atbp. Ito ay umiiral sa mga triad " modelo-algorithm-program” . Sa pagkakaroon ng paglikha ng triad na "model-algorithm-program", ang mananaliksik ay tumatanggap ng isang unibersal, nababaluktot at murang tool, na unang na-debug at nasubok sa mga pagsubok na eksperimento sa computational. Matapos maitatag ang kasapatan ng triad sa orihinal na bagay, ang iba't ibang at detalyadong "mga eksperimento" ay isinasagawa kasama ang modelo, na nagbibigay ng lahat ng kinakailangang husay at dami ng mga katangian at katangian ng bagay.

Ayon sa monograpiya ni Myshkis: "Tumugon tayo sa pangkalahatang kahulugan. Ipagpalagay na tutuklasin natin ang ilang hanay ng S ng mga katangian ng isang tunay na bagay na may

gamit ang matematika. Upang gawin ito, pipili kami ng isang "matematika na bagay" a" - isang sistema ng mga equation, o mga ugnayan sa aritmetika, o mga geometric na numero, o isang kumbinasyon ng pareho, atbp. - ang pag-aaral kung saan sa pamamagitan ng matematika ay dapat sumagot sa mga tanong na ibinahagi tungkol sa ang mga katangian ng S. Sa mga kundisyong ito a" ay tinatawag na mathematical model ng isang bagay na kamag-anak sa set S ng mga katangian nito."

Ayon kay Sevostyanov A.G.: "Ang modelo ng matematika ay isang hanay ng mga ugnayang matematikal, equation, hindi pagkakapantay-pantay, atbp. na naglalarawan sa mga pangunahing pattern na likas sa proseso, bagay o sistemang pinag-aaralan."

Medyo mas mababa pangkalahatang kahulugan isang matematikal na modelo batay sa "input-output-state" idealization na hiniram mula sa automata theory ay nagbibigay sa Wiktionary: "Isang abstract mathematical representation ng isang proseso, device, o theoretical idea; gumagamit ito ng isang hanay ng mga variable upang kumatawan sa mga input, output, at panloob na estado, at isang hanay ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay upang ilarawan ang kanilang mga pakikipag-ugnayan."

Sa wakas, ang pinakasimpleng kahulugan ng isang mathematical model ay: "Isang equation na nagpapahayag ng ideya."

Pormal na pag-uuri ng mga modelo.

Linear o nonlinear na mga modelo; Mga sistemang puro o distributed; Deterministic o stochastic; Static o dynamic; Discrete o tuloy-tuloy.

at iba pa. Ang bawat itinayong modelo ay linear o nonlinear, deterministic o stochastic, ... Natural, ang mga halo-halong uri ay posible rin: puro sa isang aspeto, ibinahagi sa isa pa, atbp.

Pag-uuri ayon sa paraan na kinakatawan ang bagay.

Kasama ang pormal na pag-uuri, ang mga modelo ay nagkakaiba sa paraan ng pagkatawan ng mga ito sa isang bagay:

Ang mga istrukturang modelo ay kumakatawan sa isang bagay bilang isang sistema na may sariling istraktura at mekanismo ng paggana. Ang mga functional na modelo ay hindi gumagamit ng gayong mga representasyon at nagpapakita lamang ng panlabas na nakikitang pag-uugali ng isang bagay. Sa kanilang matinding pagpapahayag, ang mga ito ay tinatawag ding mga "black box" na mga modelo ay posible rin, na kung minsan ay tinatawag na "gray box" na mga modelo.

Halos lahat ng mga may-akda na naglalarawan sa proseso ng pagmomodelo ng matematika ay nagpapahiwatig na una ang isang espesyal na perpektong istraktura, isang makabuluhang modelo, ay binuo. Walang itinatag na terminolohiya dito, at tinatawag ng ibang mga may-akda ang perpektong bagay na ito bilang isang konseptwal na modelo, isang speculative na modelo, o isang pre-modelo. Sa kasong ito, ang panghuling konstruksyon ng matematika ay tinatawag na isang pormal na modelo o simpleng modelo ng matematika na nakuha bilang resulta ng pormalisasyon ng makabuluhang modelong ito. Ang pagtatayo ng isang makabuluhang modelo ay maaaring gawin gamit ang isang hanay ng mga nakahandang ideyalisasyon, tulad ng sa mekanika, kung saan ang mga ideal na bukal, matibay na katawan, perpektong pendulum, nababanat na media, atbp. ay nagbibigay ng mga nakahandang elemento ng istruktura para sa makabuluhang pagmomodelo. Gayunpaman, sa mga lugar ng kaalaman kung saan walang ganap na nakumpletong pormal na mga teorya, ang paglikha ng mga makabuluhang modelo ay nagiging higit na mahirap.

Ang gawain ni R. Peierls ay nagbibigay ng klasipikasyon ng mga modelong matematikal na ginagamit sa pisika at, sa mas malawak, sa mga natural na agham. Sa aklat ni A. N. Gorban at R. G. Khlebopros, ang klasipikasyong ito ay sinuri at pinalawak. Ang pag-uuri na ito ay pangunahing nakatuon sa yugto ng pagbuo ng isang makabuluhang modelo.

Ang mga modelong ito ay "kumakatawan sa isang pansamantalang paglalarawan ng isang kababalaghan, at ang may-akda ay maaaring naniniwala sa posibilidad nito o kahit na itinuturing itong totoo." Ayon kay R. Peierls, ito ay, halimbawa, isang modelo solar system ayon kay Ptolemy at sa Copernican model, sa Rutherford atomic model at sa Big Bang model.

Walang hypothesis sa agham ang mapapatunayan minsan at para sa lahat. Malinaw itong binalangkas ni Richard Feynman:

"Palagi kaming may pagkakataon na pabulaanan ang isang teorya, ngunit tandaan na hindi namin mapapatunayan na ito ay tama. Ipagpalagay natin na naglagay ka ng matagumpay na hypothesis, kinakalkula kung saan ito humahantong, at nalaman na ang lahat ng mga kahihinatnan nito ay nakumpirma sa eksperimentong paraan. Nangangahulugan ba ito na tama ang iyong teorya? Hindi, nangangahulugan lamang ito na nabigo kang pabulaanan ito.”

Kung ang isang modelo ng unang uri ay binuo, ito ay nangangahulugan na ito ay pansamantalang kinikilala bilang katotohanan at ang isa ay maaaring tumutok sa iba pang mga problema. Gayunpaman, hindi ito maaaring maging punto sa pananaliksik, ngunit pansamantalang paghinto lamang: ang status ng isang modelo ng unang uri ay maaari lamang pansamantala.

Ang papel na ginagampanan ng modelo sa pananaliksik ay maaaring magbago sa paglipas ng panahon;

katayuan ng hypothesis. Gayundin, ang bagong kaalaman ay maaaring unti-unting sumalungat sa mga modelo-hypotheses ng unang uri, at maaari silang isalin sa pangalawa. Kaya, ang modelo ng quark ay unti-unting lumilipat sa kategorya ng mga hypotheses; Ang atomismo sa pisika ay lumitaw bilang isang pansamantalang solusyon, ngunit sa takbo ng kasaysayan ito ang naging unang uri. Ngunit ang mga modelo ng ether ay gumawa ng kanilang paraan mula sa uri 1 hanggang sa uri 2, at ngayon ay nasa labas ng agham.

Kung posible na bumuo ng mga equation na naglalarawan sa sistemang pinag-aaralan, hindi ito nangangahulugan na maaari silang malutas kahit na sa tulong ng isang computer. Ang isang karaniwang pamamaraan sa kasong ito ay ang paggamit ng mga approximation. Kabilang sa mga ito ang mga linear na modelo ng pagtugon. Ang mga equation ay pinalitan ng mga linear. Ang isang karaniwang halimbawa ay ang batas ng Ohm.

Kung gagamitin natin ang modelo perpektong gas upang ilarawan ang mga sapat na rarefied na gas, kung gayon ito ay isang modelo ng uri 3. Para sa higit pa mataas na densidad gas, kapaki-pakinabang din na isipin ang isang mas simpleng sitwasyon na may perpektong gas para sa husay na pag-unawa at pagtatasa, ngunit ito ay uri 4 na.

Sa isang type 4 na modelo, ang mga detalye na maaaring makabuluhang at hindi palaging makokontrol na makakaapekto sa resulta ay itatapon. Ang parehong mga equation ay maaaring magsilbi bilang isang uri ng 3 o 4 na modelo, depende sa kababalaghan na ginagamit ng modelo upang pag-aralan. Kaya, kung ang mga linear na modelo ng pagtugon ay ginagamit sa kawalan ng mas kumplikadong mga modelo, kung gayon ang mga ito ay mga phenomenological na linear na modelo, at sila ay kabilang sa sumusunod na uri 4.

Mga halimbawa: paglalapat ng ideal na modelo ng gas sa isang di-ideal na gas, van der Waals equation ng estado, karamihan sa mga modelo ng solid state, liquid at nuclear physics. Ang landas mula sa microdescription hanggang sa mga katangian ng mga katawan na binubuo ng isang malaking bilang ng mga particle ay napakahaba. Maraming detalye ang kailangang itapon. Ito ay humahantong sa uri 4 na mga modelo.

Ang heuristic na modelo ay nagpapanatili lamang ng isang qualitative na pagkakatulad sa katotohanan at gumagawa lamang ng mga hula "sa pagkakasunud-sunod ng magnitude." Ang isang tipikal na halimbawa ay ang mean free path approximation sa kinetic theory. Nagbibigay ito ng mga simpleng formula para sa mga coefficient ng lagkit, diffusion, at thermal conductivity, na pare-pareho sa realidad sa pagkakasunud-sunod ng magnitude.

Ngunit kapag nagtatayo ng isang bagong pisika, hindi kaagad posible na makakuha ng isang modelo na nagbibigay ng hindi bababa sa isang husay na paglalarawan ng bagay - isang modelo ng ikalimang uri. Sa kasong ito, ang isang modelo ay kadalasang ginagamit sa pamamagitan ng pagkakatulad, na sumasalamin sa katotohanan sa hindi bababa sa ilang detalye.

Nagbibigay si R. Peierls ng kasaysayan ng paggamit ng mga pagkakatulad sa unang artikulo ni W. Heisenberg sa kalikasan ng mga puwersang nukleyar. "Nangyari ito pagkatapos ng pagkatuklas ng neutron, at bagama't naunawaan mismo ni W. Heisenberg na posibleng ilarawan ang nuclei bilang binubuo ng mga neutron at proton, hindi pa rin niya maalis ang ideya na ang neutron ay dapat sa huli ay binubuo ng isang proton at isang elektron. Sa kasong ito, lumitaw ang isang pagkakatulad sa pagitan ng pakikipag-ugnayan sa neutron-proton system at ng pakikipag-ugnayan ng isang hydrogen atom at isang proton. Ang pagkakatulad na ito ang nagbunsod sa kanya sa konklusyon na dapat mayroong mga puwersa ng palitan ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng isang neutron at isang proton, na katulad ng mga puwersa ng palitan sa sistema ng H - H na sanhi ng paglipat ng isang elektron sa pagitan ng dalawang proton. ... Nang maglaon, ang pagkakaroon ng mga puwersa ng palitan ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng isang neutron at isang proton ay gayunpaman napatunayan, bagaman hindi sila ganap na naubos.

pakikipag-ugnayan sa pagitan ng dalawang partikulo... Ngunit, kasunod ng parehong pagkakatulad, napag-isipan ni W. Heisenberg na walang mga puwersang nuklear ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng dalawang proton at upang mag-postulate ng pagtanggi sa pagitan ng dalawang neutron. Pareho sa mga huling natuklasang ito ay sumasalungat sa mga kamakailang pag-aaral."

A. Si Einstein ay isa sa mga dakilang masters ng thought experiments. Narito ang isa sa kanyang mga eksperimento. Ito ay naimbento sa kanyang kabataan at sa huli ay humantong sa pagtatayo espesyal na teorya relativity. Ipagpalagay na sa klasikal na pisika tayo ay gumagalaw sa likod ng isang liwanag na alon sa bilis ng liwanag. Mapapansin natin ang isang electromagnetic field na pana-panahong nagbabago sa espasyo at pare-pareho sa oras. Ayon sa mga equation ni Maxwell, hindi ito maaaring mangyari. Kaya naman, ang batang si Einstein ay nagtapos: alinman sa mga batas ng kalikasan ay nagbabago kapag nagbabago ang sistema ng sanggunian, o ang bilis ng liwanag ay hindi nakasalalay sa sistema ng sanggunian. Pinili niya ang pangalawa - mas magandang opsyon. Ang isa pang sikat na eksperimento sa pag-iisip ng Einstein ay ang Einstein-Podolsky-Rosen Paradox.

Narito ang Uri 8, na laganap sa mga modelo ng matematika ng mga biological system.

Ito rin ay mga eksperimento sa pag-iisip na may mga haka-haka na nilalang, na nagpapakita na ang dapat na kababalaghan ay pare-pareho sa mga pangunahing prinsipyo at panloob na pare-pareho. Ito ang pangunahing pagkakaiba mula sa mga modelo ng uri 7, na nagpapakita ng mga nakatagong kontradiksyon.

Ang isa sa mga pinakatanyag na eksperimento ay ang geometry ng Lobachevsky. Ang isa pang halimbawa ay ang mass production ng mga pormal na kinetic na modelo ng chemical at biological vibrations, autowaves, atbp. Ang Einstein-Podolsky-Rosen na kabalintunaan ay naisip bilang isang type 7 na modelo upang ipakita ang hindi pagkakapare-pareho ng quantum mechanics. Sa isang ganap na hindi planadong paraan, sa kalaunan ay naging isang type 8 na modelo - isang pagpapakita ng posibilidad ng quantum teleportation ng impormasyon.

Isaalang-alang ang isang mekanikal na sistema na binubuo ng isang spring na nakakabit sa isang dulo at isang mass m na nakakabit sa libreng dulo ng spring. Ipagpalagay namin na ang load ay maaari lamang lumipat sa direksyon ng spring axis. Bumuo tayo ng mathematical model ng system na ito. Ilalarawan namin ang estado ng system sa pamamagitan ng distansya x mula sa gitna ng load hanggang sa posisyon ng equilibrium nito. Ilarawan natin ang interaksyon ng spring at ang load gamit ang batas ni Hooke at pagkatapos ay gamitin ang pangalawang batas ni Newton upang ipahayag ito sa anyo ng isang differential equation:

kung saan nangangahulugang ang pangalawang derivative ng x na may paggalang sa oras..

Ang resultang equation ay naglalarawan ng mathematical model ng itinuturing na pisikal na sistema. Ang modelong ito ay tinatawag na "harmonic oscillator".

Ayon sa pormal na pag-uuri, ang modelong ito ay linear, deterministic, dynamic, concentrated, tuluy-tuloy. Sa proseso ng pagbuo nito, gumawa kami ng maraming mga pagpapalagay na maaaring hindi matugunan sa katotohanan.

Kaugnay ng katotohanan, ito ay kadalasang isang uri 4 na modelo ng pagpapasimple, dahil ang ilang mahahalagang unibersal na tampok ay tinanggal. Sa ilang pagtatantya, ang gayong modelo ay naglalarawan ng isang tunay na sistema ng makina nang maayos, dahil

Ang mga itinapon na salik ay may maliit na epekto sa kanyang pag-uugali. Gayunpaman, ang modelo ay maaaring pinuhin sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa ilan sa mga salik na ito. Ito ay hahantong sa isang bagong modelo na may mas malawak na hanay ng kakayahang magamit.

Matigas at malambot na mga modelo.

Narito ang isang tiyak na function na maaaring isaalang-alang ang friction force o ang pagtitiwala ng spring stiffness coefficient sa antas ng pag-uunat nito, ε ay ilang maliit na parameter. Hindi kami interesado sa tahasang anyo ng function f sa ngayon. Kung patunayan natin na ang pag-uugali ng malambot na modelo ay hindi pangunahing naiiba sa pag-uugali ng mahirap, ang problema ay mababawasan sa pag-aaral ng mahirap na modelo. Kung hindi, ang aplikasyon ng mga resulta na nakuha mula sa pag-aaral ng matibay na modelo ay mangangailangan ng karagdagang pananaliksik. Halimbawa, ang solusyon sa harmonic oscillator equation ay mga function ng form

Iyon ay, mga oscillations na may pare-pareho ang amplitude. Sinusundan ba ito mula dito na ang isang tunay na osileytor ay mag-oscilllate nang walang katiyakan na may palaging amplitude? Hindi, dahil kung isasaalang-alang ang isang sistema na may arbitraryong maliit na friction, makakakuha tayo ng damped oscillations. Ang pag-uugali ng sistema ay nagbago nang husay.

Kung ang isang sistema ay nagpapanatili ng kanyang husay na pag-uugali sa ilalim ng maliliit na kaguluhan, ito ay sinasabing matatag sa istruktura. Ang isang harmonic oscillator ay isang halimbawa ng isang sistemang hindi matatag sa istruktura. Gayunpaman, ang modelong ito ay maaaring gamitin upang pag-aralan ang mga proseso sa mga limitadong yugto ng panahon.

Versatility ng mga modelo.

Ang pinakamahalagang modelo ng matematika ay karaniwang may mahalagang pag-aari ng pagiging pandaigdigan: sa panimula iba't ibang mga tunay na phenomena ay maaaring ilarawan ng parehong modelo ng matematika. Halimbawa, ang isang harmonic oscillator ay naglalarawan hindi lamang sa pag-uugali ng isang load sa isang spring, kundi pati na rin sa iba pang mga proseso ng oscillatory, kadalasan ng isang ganap na naiibang kalikasan: maliit na mga oscillations ng isang pendulum, mga pagbabago sa antas ng isang likido sa isang hugis-U na sisidlan. , o isang pagbabago sa kasalukuyang lakas sa isang oscillatory circuit. Kaya, sa pamamagitan ng pag-aaral ng isang modelo ng matematika, agad naming pinag-aaralan ang isang buong klase ng mga phenomena na inilarawan nito. Ito ang isomorphism ng mga batas na ipinahayag ng mga modelo ng matematika sa iba't ibang bahagi ng kaalamang siyentipiko na nagbigay inspirasyon kay Ludwig von Bertalanffy na lumikha ng "General Theory of Systems".

Direkta at kabaligtaran na mga problema ng pagmomolde ng matematika

katawan mula sa iba't ibang mga materyales, ang bawat materyal ay tinukoy bilang karaniwang mekanikal na idealization nito, pagkatapos kung saan ang mga equation ay iginuhit, kasama ang ilang mga detalye ay itinapon bilang hindi mahalaga, ang mga kalkulasyon ay ginawa, kumpara sa mga sukat, ang modelo ay pino, at iba pa. Gayunpaman, upang bumuo ng mga teknolohiya sa pagmomodelo ng matematika, kapaki-pakinabang na i-disassemble ang prosesong ito sa mga pangunahing bahagi nito.

Ayon sa kaugalian, mayroong dalawang pangunahing klase ng mga problema na nauugnay sa mga modelo ng matematika: direkta at kabaligtaran.

Direktang gawain: ang istraktura ng modelo at lahat ng mga parameter nito ay itinuturing na kilala, ang pangunahing gawain ay upang magsagawa ng pag-aaral ng modelo upang kunin ang kapaki-pakinabang na kaalaman tungkol sa bagay. Anong static load ang matitiis ng tulay? Paano ito tutugon sa isang dynamic na pagkarga, kung paano malalampasan ng eroplano ang sound barrier, kung ito ay babagsak sa flutter - ito ay mga tipikal na halimbawa ng isang direktang problema. Ang pagtatakda ng tamang direktang problema ay nangangailangan ng espesyal na kasanayan. Kung hindi tatanungin ang mga tamang tanong, maaaring gumuho ang isang tulay, kahit na nakagawa na ng magandang modelo para sa pag-uugali nito. Kaya, noong 1879, isang metal na tulay sa kabila ng River Tay ang gumuho sa Great Britain, ang mga taga-disenyo kung saan nagtayo ng isang modelo ng tulay, kinakalkula ito upang magkaroon ng 20-tiklop na margin ng kaligtasan para sa pagkilos ng kargamento, ngunit nakalimutan ang tungkol sa hangin. patuloy na umiihip sa mga lugar na iyon. At pagkatapos ng isang taon at kalahati ay bumagsak ito.

SA Sa pinakasimpleng kaso, ang direktang problema ay napakasimple at bumababa sa isang tahasang solusyon ng equation na ito.

Kabaligtaran na problema: maraming posibleng mga modelo ang nalalaman; Kadalasan, ang istraktura ng modelo ay kilala, at ang ilang hindi kilalang mga parameter ay kailangang matukoy. Ang karagdagang impormasyon ay maaaring binubuo ng karagdagang empirical na data, o mga kinakailangan para sa bagay. Ang karagdagang data ay maaaring dumating nang hiwalay sa proseso ng paglutas ng kabaligtaran na problema o maging resulta ng isang espesyal na binalak na eksperimento sa panahon ng solusyon.

SA Ang isa pang halimbawa ay mga istatistika ng matematika. Ang gawain ng agham na ito ay bumuo ng mga pamamaraan para sa pagtatala, paglalarawan at pagsusuri ng obserbasyonal at pang-eksperimentong data upang makabuo ng mga probabilistikong modelo ng mass random phenomena. Yung. ang hanay ng mga posibleng modelo ay limitado sa mga probabilistikong modelo. Sa mga partikular na gawain, mas limitado ang hanay ng mga modelo.

Mga sistema ng pagmomodelo ng computer.

Upang suportahan ang mathematical modeling, binuo ang mga computer mathematics system, halimbawa, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, atbp. Nagbibigay-daan sila sa iyo na lumikha ng pormal at harangan ang mga modelo ng parehong simple at kumplikadong mga proseso at device at madaling baguhin ang mga parameter ng modelo habang pagmomodelo. Ang mga modelo ng block ay kinakatawan ng mga bloke, ang hanay at koneksyon nito ay tinukoy ng diagram ng modelo.

Karagdagang mga halimbawa.

Ang rate ng paglago ay proporsyonal sa kasalukuyang laki ng populasyon. Inilalarawan ito ng differential equation

kung saan ang α ay isang tiyak na parameter na tinutukoy ng pagkakaiba sa pagitan ng rate ng kapanganakan at rate ng kamatayan. Ang solusyon sa equation na ito ay ang exponential function x = x0 e. Kung ang rate ng kapanganakan ay lumampas sa rate ng pagkamatay, ang laki ng populasyon ay tumataas nang walang katiyakan at napakabilis. Malinaw na sa katotohanan ay hindi ito maaaring mangyari dahil sa mga limitasyon

mapagkukunan. Kapag naabot ang isang partikular na kritikal na laki ng populasyon, ang modelo ay hindi na maging sapat, dahil hindi nito isinasaalang-alang ang limitadong mga mapagkukunan. Ang isang pagpipino ng modelo ng Malthus ay maaaring isang logistic na modelo, na inilalarawan ng Verhulst differential equation

kung saan ang xs ay ang "equilibrium" na laki ng populasyon kung saan ang rate ng kapanganakan ay eksaktong binabayaran ng rate ng pagkamatay. Ang laki ng populasyon sa naturang modelo ay may posibilidad sa equilibrium value na xs, at ang gawi na ito ay structurally stable.

Sabihin nating dalawang uri ng hayop ang nakatira sa isang partikular na lugar: mga kuneho at mga fox. Hayaan ang bilang ng mga kuneho ay x, ang bilang ng mga fox ay y. Gamit ang modelo ng Malthus na may mga kinakailangang pagbabago na isinasaalang-alang ang pagkain ng mga kuneho ng mga fox, nakarating kami sa sumusunod na sistema, na nagdadala ng pangalan ng modelong Lotka-Volterra:

Ang sistemang ito ay may equilibrium na estado kapag ang bilang ng mga kuneho at mga fox ay pare-pareho. Ang paglihis mula sa estadong ito ay humahantong sa mga pagbabagu-bago sa bilang ng mga kuneho at mga fox, katulad ng mga pagbabagu-bago ng isang harmonic oscillator. Tulad ng kaso ng isang harmonic oscillator, ang pag-uugali na ito ay hindi matatag sa istruktura: ang isang maliit na pagbabago sa modelo ay maaaring humantong sa isang husay na pagbabago sa pag-uugali. Halimbawa, ang estado ng balanse ay maaaring maging matatag, at ang mga pagbabago sa mga numero ay mawawala. Posible rin ang kabaligtaran na sitwasyon, kapag ang anumang maliit na paglihis mula sa posisyon ng balanse ay hahantong sa mga sakuna na kahihinatnan, hanggang sa kumpletong pagkalipol ng isa sa mga species. Hindi sinasagot ng modelong Volterra-Lotka ang tanong kung alin sa mga senaryo na ito ang naisasakatuparan: kailangan ng karagdagang pananaliksik dito.

Mga uri ng mga modelo ng matematika. Iba't ibang paraan upang makabuo ng isang mathematical model

Pag-uuri ng modelo

Pormal na pag-uuri ng mga modelo

Pag-uuri ayon sa paraan na kinakatawan ang bagay

Nilalaman at pormal na mga modelo

Pag-uuri ng nilalaman ng mga modelo

Uri 2: Phenomenological na modelo (umasal kami na parang…)

Uri 3: Pagtataya (itinuturing namin ang isang bagay na napakalaki o napakaliit)

Uri 8: Pagpapakita ng Tampok (ang pangunahing bagay ay upang ipakita ang panloob na pagkakapare-pareho ng posibilidad)

Halimbawa

Matigas at malambot na mga modelo

Versatility ng mga modelo

Direkta at kabaligtaran na mga problema ng pagmomolde ng matematika

Mga sistema ng simulation ng computer

Karagdagang mga halimbawa

modelo ni Malthus

Sistema ng predator-prey

Mga Tala

Pagmomodelo sa matematika

1. Ano ang mathematical modelling?

2. Pangunahing yugto ng pagmomodelo ng matematika

3. Pag-uuri ng mga modelo

4. Mga halimbawa ng mathematical models

1.1.2 2. Mga pangunahing yugto ng pagmomolde ng matematika

1.1.3 3. Pag-uuri ng modelo

1.2 Pag-uuri ng modelo

1.2.1
Pag-uuri na isinasaalang-alang ang kadahilanan ng oras at lugar ng paggamit (Makarova N.A.)

1.2.2 Pag-uuri ayon sa lugar ng paggamit (Makarova N.A.)

1.2.3 Pag-uuri ayon sa paraan ng pagtatanghal Makarov N.A.)

1.2.4 Pag-uuri ng mga modelo na ibinigay sa aklat na "Earth Informatics" (Gein A.G.))

1.2.5 Pag-uuri ng mga modelo na ibinigay sa manwal ng A.I

Paano kinakalkula ang limitasyon ng kredito?

Pasulong na kontrata Mga tampok ng maihahatid na mga kontrata sa pagpapasa

Mga uri ng mga modelo ng matematika. Iba't ibang paraan upang makabuo ng isang mathematical model

Pag-uuri ng modelo

Pormal na pag-uuri ng mga modelo

Pag-uuri ayon sa paraan na kinakatawan ang bagay

Nilalaman at pormal na mga modelo

Pag-uuri ng nilalaman ng mga modelo

Uri 2: Phenomenological na modelo (umasal kami na parang…)

Uri 3: Pagtataya (itinuturing namin ang isang bagay na napakalaki o napakaliit)

Uri 8: Pagpapakita ng Tampok (ang pangunahing bagay ay upang ipakita ang panloob na pagkakapare-pareho ng posibilidad)

Halimbawa

Matigas at malambot na mga modelo

Versatility ng mga modelo

Direkta at kabaligtaran na mga problema ng pagmomolde ng matematika

Mga sistema ng simulation ng computer

Karagdagang mga halimbawa

modelo ni Malthus

Sistema ng predator-prey

Mga Tala

Pagmomodelo sa matematika

1. Ano ang mathematical modelling?

2. Pangunahing yugto ng pagmomodelo ng matematika

3. Pag-uuri ng mga modelo

4. Mga halimbawa ng mathematical models

1.1.2 2. Mga pangunahing yugto ng pagmomolde ng matematika

1.1.3 3. Pag-uuri ng modelo

1.2 Pag-uuri ng modelo

1.2.1 Pag-uuri na isinasaalang-alang ang kadahilanan ng oras at lugar ng paggamit (Makarova N.A.)

1.2.2 Pag-uuri ayon sa lugar ng paggamit (Makarova N.A.)

1.2.3 Pag-uuri ayon sa paraan ng pagtatanghal Makarov N.A.)

1.2.4 Pag-uuri ng mga modelo na ibinigay sa aklat na "Earth Informatics" (Gein A.G.))

1.2.5 Pag-uuri ng mga modelo na ibinigay sa manwal ng A.I

Paano kinakalkula ang limitasyon ng kredito?

Pasulong na kontrata Mga tampok ng maihahatid na mga kontrata sa pagpapasa

1.2.1
Pag-uuri na isinasaalang-alang ang kadahilanan ng oras at lugar ng paggamit (Makarova N.A.)