عند البدء في الحديث عن المتوسطات، يتذكر الناس في أغلب الأحيان كيف تخرجوا من المدرسة ودخلوا مؤسسة تعليمية. ثم تم حساب متوسط ​​\u200b\u200bالدرجات بناءً على الشهادة: تمت إضافة جميع الدرجات (سواء كانت جيدة أو ليست جيدة جدًا)، وتم تقسيم المبلغ الناتج على عددها. وهكذا يتم حساب أبسط نوع من المتوسطات، وهو ما يسمى بالمتوسط ​​الحسابي البسيط. في الممارسة العملية، يتم استخدام الإحصاءات أنواع مختلفةالمتوسطات: المتوسطات الحسابية، التوافقية، الهندسية، التربيعية، الهيكلية. ويستخدم نوع أو آخر حسب طبيعة البيانات وأغراض الدراسة.

متوسط ​​القيمةهو المؤشر الإحصائي الأكثر شيوعا، والذي يتم من خلاله إعطاء خاصية عامة لمجموعة من الظواهر المتشابهة وفقا لإحدى الخصائص المتغيرة. ويبين مستوى الخاصية لكل وحدة من السكان. بمساعدة القيم المتوسطة، تتم مقارنة المجموعات السكانية المختلفة وفقًا لخصائص مختلفة، ويتم دراسة أنماط تطور الظواهر وعمليات الحياة الاجتماعية.

في الإحصاء، يتم استخدام فئتين من المتوسطات: القوة (التحليلية) والهيكلية. يتم استخدام الأخير لوصف بنية سلسلة الاختلافات وسيتم مناقشتها بمزيد من التفصيل في الفصل. 8.

تشتمل مجموعة متوسطات القدرة على المتوسطات الحسابية والتوافقية والهندسية والتربيعية. يمكن اختزال الصيغ الفردية لحسابها إلى نموذج مشترك لجميع متوسطات القدرة، وهي

حيث m هو أس متوسط ​​القوة: مع m = 1 نحصل على صيغة حساب الوسط الحسابي، مع m = 0 - الوسط الهندسي، m = -1 - الوسط التوافقي، مع m = 2 - الوسط التربيعي ;

x i - الخيارات (القيم التي تأخذها السمة)؛

و ط - الترددات.

الشرط الرئيسي الذي يمكن بموجبه استخدام متوسطات القوة في التحليل الإحصائي هو تجانس السكان، الذي لا ينبغي أن يحتوي على بيانات أولية تختلف بشكل حاد في قيمتها الكمية (في الأدبيات يطلق عليها ملاحظات شاذة).

ولنوضح أهمية هذا الشرط بالمثال التالي.

مثال 6.1. دعونا نحسب المتوسط أجورالعاملين في مؤسسة صغيرة.

الجدول 6.1. أجور الموظفين

لا.	الراتب، فرك.	لا.	الراتب، فرك.
1	5 950	11	7 000
2	6 790	12	5 950
3	6 790	13	6 790
4	5 950	14	5 950
5	7 000	5	6 790
6	6 790	16	7 000
7	5 950	17	6 790
8	7 000	18	7 000
9	6 790	19	7 000
10	6 790	20	5 950

لحساب متوسط ​​الأجر، من الضروري جمع الأجور المستحقة لجميع موظفي المؤسسة (أي العثور على صندوق الأجور) وتقسيمها على عدد الموظفين:

الآن دعونا نضيف إلى مجموعنا شخصًا واحدًا فقط (مدير هذه المؤسسة)، ولكن براتب قدره 50000 روبل. في هذه الحالة، سيكون المتوسط ​​المحسوب مختلفًا تمامًا:

كما نرى، يتجاوز 7000 روبل، الخ. وهي أكبر من جميع قيم السمات باستثناء ملاحظة واحدة.

للتأكد من أن مثل هذه الحالات لا تحدث في الممارسة العملية، وأن المتوسط ​​لا يفقد معناه (في المثال 6.1، لم يعد يلعب دور الخاصية المعممة للسكان كما ينبغي)، عند حساب المتوسط، يكون الشذوذ حادًا يجب استبعاد الملاحظات البارزة من التحليل والمواضيع التي تجعل السكان متجانسين، أو تقسيم السكان إلى مجموعات متجانسة وحساب متوسط ​​القيم لكل مجموعة ولا تحلل المتوسط ​​العام، بل قيم متوسط ​​المجموعة.

6.1. الوسط الحسابي وخصائصه

يتم حساب الوسط الحسابي إما كقيمة بسيطة أو كقيمة مرجحة.

عند حساب متوسط ​​الراتب حسب البيانات الواردة في جدول المثال 6.1، قمنا بجمع جميع قيم السمة وتقسيمها على عددها. سنكتب التقدم المحرز في حساباتنا في شكل صيغة المتوسط ​​الحسابي البسيط

حيث x i - الخيارات (القيم الفردية للخاصية)؛

n هو عدد الوحدات في المجموع.

مثال 6.2. الآن دعونا نجمع بياناتنا من الجدول في المثال 6.1، وما إلى ذلك. دعونا نبني سلسلة تباين منفصلة لتوزيع العمال حسب مستوى الأجور. يتم عرض نتائج التجميع في الجدول.

دعونا نكتب التعبير الخاص بحساب متوسط ​​مستوى الأجر بشكل أكثر إحكاما:

في المثال 6.2، تم تطبيق صيغة المتوسط ​​الحسابي المرجح

حيث f i عبارة عن ترددات توضح عدد المرات التي تحدث فيها قيمة السمة x i y في الوحدات السكانية.

من السهل حساب المتوسط ​​الحسابي المرجح في جدول، كما هو موضح أدناه (الجدول 6.3):

الجدول 6.3. حساب الوسط الحسابي في سلسلة منفصلة

البيانات الأولية	المؤشر المقدر
الراتب، فرك.	عدد الموظفين، الناس	صندوق الأجور، فرك.
× ط	و أنا	س ط و ط
5 950	6	35 760
6 790	8	54 320
7 000	6	42 000
المجموع	20	132 080

وتجدر الإشارة إلى أن الوسط الحسابي البسيط يستخدم في الحالات التي لا تكون فيها البيانات مجمعة أو مجمعة، ولكن جميع التكرارات متساوية.

في كثير من الأحيان، يتم عرض نتائج المراقبة في شكل سلسلة توزيع الفاصل (انظر الجدول في المثال 6.4). ثم، عند حساب المتوسط، يتم أخذ نقاط المنتصف للفترات كـ x i. إذا كانت الفواصل الزمنية الأولى والأخيرة مفتوحة (ليس لها أحد الحدود)، فهي "مغلقة" بشكل مشروط، مع أخذ قيمة الفترة المجاورة كقيمة هذه الفترة، وما إلى ذلك. الأول مغلق بقيمة الثاني والأخير بقيمة ما قبل الأخير.

مثال 6.3. وبناء على نتائج مسح العينة لإحدى المجموعات السكانية، سوف نقوم بحساب مقدار متوسط ​​الدخل النقدي للفرد.

في الجدول أعلاه، منتصف الفاصل الزمني الأول هو 500. وبالفعل، قيمة الفاصل الزمني الثاني هي 1000 (2000-1000)؛ فالحد الأدنى للأول هو 0 (1000-1000)، والوسطى له 500. ونفعل الشيء نفسه مع الفاصل الزمني الأخير. نأخذ 25000 كوسط له: قيمة الفترة قبل الأخيرة هي 10000 (20000-10000)، ثم حدها الأعلى هو 30000 (20000 + 10000)، والوسط، على التوالي، هو 25000.

الجدول 6.4. حساب الوسط الحسابي في سلسلة زمنية

متوسط ​​الدخل النقدي للفرد، فرك. كل شهر	إجمالي عدد السكان، % f i	نقاط منتصف الفواصل الزمنية x i	س ط و ط
ما يصل إلى 1000	4,1	500	2 050
1 000-2 000	8,6	1 500	12 900
2 000-4 000	12,9	3 000	38 700
4 000-6 000	13,0	5 000	65 000
6 000-8 000	10,5	7 000	73 500
8 000-10 000	27,8	9 000	250 200
10 000-20 000	12,7	15 000	190 500
20.000 وما فوق	10,4	25 000	260 000
المجموع	100,0	-	892 850

ثم سيكون متوسط ​​دخل الفرد الشهري

الآن دعونا نتحدث عن كيف نحسب متوسط ​​القيمة .
في شكلها الكلاسيكي، تقدم لنا النظرية العامة للإحصاء نسخة واحدة من قواعد اختيار القيمة المتوسطة.
أولاً، تحتاج إلى إنشاء الصيغة المنطقية الصحيحة لحساب القيمة المتوسطة (AFV). لكل قيمة متوسطة توجد دائمًا صيغة منطقية واحدة لحسابها، لذلك من الصعب ارتكاب خطأ هنا. لكن يجب أن نتذكر دائمًا أنه في البسط (هذا ما يوجد أعلى الكسر) مجموع كل الظواهر، وفي المقام (هذا ما يوجد أسفل الكسر) المجموععناصر.

بعد تجميع الصيغة المنطقية، يمكنك استخدام القواعد (لسهولة الفهم، سنقوم بتبسيطها واختصارها):
1. إذا كانت البيانات المصدر (المحددة بالتكرار) تحتوي على مقام صيغة منطقية، فسيتم إجراء الحساب باستخدام صيغة المتوسط ​​الحسابي المرجح.
2. إذا تم تقديم بسط الصيغة المنطقية في البيانات المصدر، فسيتم إجراء الحساب باستخدام صيغة المتوسط ​​التوافقي المرجح.
3. إذا كانت المشكلة تمثل كلاً من البسط والمقام في صيغة منطقية (نادرًا ما يحدث هذا)، فإننا نجري العملية الحسابية باستخدام هذه الصيغة أو صيغة المتوسط ​​الحسابي البسيط.
هذه هي الفكرة الكلاسيكية لاختيار الصيغة الصحيحة لحساب المتوسط. بعد ذلك، نقدم تسلسل الإجراءات عند حل المشكلات لحساب القيمة المتوسطة.

خوارزمية لحل المسائل المتعلقة بحساب القيمة المتوسطة

أ. تحديد طريقة حساب القيمة المتوسطة - بسيطة أو مرجحة . إذا تم عرض البيانات في جدول نستخدم الطريقة الموزونة، وإذا تم عرض البيانات عن طريق التعداد البسيط فإننا نستخدم طريقة حسابية بسيطة.

ب. تحديد أو ترتيب حرف او رمز – س - خيار، F - تكرار . الخيار هو للظاهرة التي تريد العثور على القيمة المتوسطة لها. البيانات المتبقية في الجدول ستكون التكرار.

ب. نحدد نموذج حساب القيمة المتوسطة - حسابية أو توافقية . ويتم التحديد باستخدام عمود التردد. يتم استخدام النموذج الحسابي إذا تم تحديد التكرارات بكمية صريحة (مشروط، يمكنك استبدال قطع الكلمة، وعدد العناصر "قطع"). يتم استخدام النموذج التوافقي إذا لم يتم تحديد الترددات بكمية واضحة، ولكن بمؤشر مركب (حاصل ضرب متوسط ​​الكمية والتكرار).

أصعب شيء هو تخمين أين وما هي الكمية المقدمة، خاصة للطالب عديم الخبرة في مثل هذه الأمور. في مثل هذه الحالة، يمكنك استخدام إحدى الطرق التالية. بالنسبة لبعض المهام (الاقتصادية)، يكون البيان الذي تم تطويره على مدار سنوات من الممارسة مناسبًا (النقطة ب.1). وفي مواقف أخرى، سيتعين عليك استخدام النقطة ب.2.

B.1 إذا تم إعطاء التردد بالوحدات النقدية (بالروبل)، فسيتم استخدام المتوسط ​​التوافقي للحساب، ويكون هذا البيان صحيحًا دائمًا، إذا تم إعطاء التردد المحدد بالمال، وفي مواقف أخرى لا تنطبق هذه القاعدة.

ب.2 استخدم قواعد اختيار متوسط ​​القيمة المشار إليها أعلاه في هذه المقالة. إذا كان التكرار معطى من مقام الصيغة المنطقية لحساب القيمة المتوسطة، فإننا نحسب باستخدام صيغة الوسط الحسابي، وإذا كان التكرار معطى من بسط الصيغة المنطقية لحساب القيمة المتوسطة، فإننا نحسب باستخدام شكل الوسط التوافقي.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة لاستخدام هذه الخوارزمية.

أ. بما أن البيانات مقدمة في سطر، فإننا نستخدم طريقة حسابية بسيطة.

B. V. لدينا فقط بيانات عن مقدار المعاشات التقاعدية، وسوف يكون خيارنا - x. يتم تقديم البيانات كرقم بسيط (12 شخصًا)، وللحساب نستخدم المتوسط ​​الحسابي البسيط.

متوسط ​​المعاش التقاعدي للمتقاعد هو 9208.3 روبل.

ب. نظرًا لأننا نحتاج إلى العثور على متوسط ​​الدفع لكل طفل، فإن الخيارات موجودة في العمود الأول، ونضع التعيين x هناك، ويصبح العمود الثاني تلقائيًا هو التكرار f.

ب. يتم إعطاء التكرار (عدد الأطفال) بكمية واضحة (يمكنك استبدال قطع الكلمات للأطفال، من وجهة نظر اللغة الروسية، هذه عبارة غير صحيحة، ولكنها في الواقع مريحة للغاية check) مما يعني أنه يتم استخدام الوسط الحسابي المرجح لإجراء الحساب.

لا يمكن حل نفس المشكلة بطريقة صيغية، ولكن بطريقة جدولية، أي إدخال جميع بيانات الحسابات الوسيطة في الجدول.

ونتيجة لذلك، كل ما يجب فعله الآن هو الفصل بين المجموعين بالترتيب الصحيح.

وكان متوسط ​​الدفع لكل طفل شهريا 1910 روبل.

أ. بما أن البيانات معروضة في الجدول، فإننا نستخدم نموذجًا مرجحًا للحساب.

ب. يتم إعطاء التردد (تكلفة الإنتاج) بكمية ضمنية (يتم إعطاء التردد في روبل نقطة الخوارزمية B1)، مما يعني أنه يتم استخدام المتوسط ​​التوافقي المرجح للحساب. بشكل عام، تعتبر تكلفة الإنتاج في جوهرها مؤشرًا معقدًا، يتم الحصول عليه عن طريق ضرب تكلفة وحدة المنتج بعدد هذه المنتجات، وهذا هو جوهر القيمة المتوسطة التوافقية.

من أجل حل هذه المشكلة باستخدام صيغة المتوسط ​​الحسابي، من الضروري أن يكون هناك عدد المنتجات ذات التكلفة المقابلة بدلاً من تكلفة الإنتاج.

يرجى ملاحظة أن مجموع المقام الذي تم الحصول عليه بعد الحسابات هو 410 (120+80+210) وهذا هو إجمالي عدد المنتجات المنتجة.

وكان متوسط ​​التكلفة لكل وحدة من المنتج 314.4 روبل.

أ. بما أن البيانات معروضة في الجدول، فإننا نستخدم نموذجًا مرجحًا للحساب.

ب. نظرًا لأننا نحتاج إلى العثور على متوسط ​​التكلفة لكل وحدة من المنتج، فإن الخيارات موجودة في العمود الأول، ونضع التعيين x هناك، ويصبح العمود الثاني تلقائيًا هو التكرار f.

ب. يتم إعطاء التكرار (إجمالي عدد الغيابات) بكمية ضمنية (هذا هو حاصل ضرب مؤشرين لعدد الغيابات وعدد الطلاب الذين لديهم هذا العدد من الغيابات)، مما يعني أنه يتم استخدام المتوسط ​​التوافقي المرجح للحساب. سوف نستخدم نقطة الخوارزمية B2.

لكي يتم حل هذه المشكلة باستخدام صيغة الوسط الحسابي، من الضروري بدلاً من ذلك الرقم الإجماليوكان عدد الطلاب في عداد المفقودين.

نقوم بإنشاء صيغة منطقية لحساب متوسط ​​عدد مرات الغياب لكل طالب.

التكرار حسب حالة المهمة إجمالي عدد عمليات السهو. في الصيغة المنطقية، هذا المؤشر موجود في البسط، مما يعني أننا نستخدم صيغة المتوسط ​​التوافقي.

يرجى ملاحظة أن مجموع المقام الناتج بعد العمليات الحسابية 31 (18+8+5) هو إجمالي عدد الطلاب.

متوسط ​​عدد أيام الغياب لكل طالب هو 13.8 يومًا.

تم تضمين موضوع الوسط الحسابي والوسط الهندسي في برنامج الرياضيات للصفوف 6-7. نظرًا لأن الفقرة سهلة الفهم، فقد تم تجاوزها بسرعة، وبحلول نهاية العام الدراسي، نسيها الطلاب. ولكن هناك حاجة إلى معرفة الإحصاءات الأساسية اجتياز امتحان الدولة الموحدة، وأيضا ل الامتحانات الدوليةقعد. نعم ومن أجل الحياة اليوميةالتفكير التحليلي المتطور لا يضر أبدًا.

كيفية حساب الوسط الحسابي والوسط الهندسي للأرقام

لنفترض أن هناك سلسلة من الأرقام: 11 و4 و3. الوسط الحسابي هو مجموع كل الأرقام مقسومًا على عدد الأرقام المعطاة. أي أنه في حالة الأرقام 11، 4، 3 فإن الجواب سيكون 6. كيف تحصل على 6؟

الحل: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

يجب أن يحتوي المقام على رقم يساوي عدد الأرقام التي يجب العثور على متوسطها. المجموع يقبل القسمة على 3، لأن هناك ثلاثة حدود.

والآن علينا إيجاد الوسط الهندسي. لنفترض أن هناك سلسلة من الأرقام: 4 و2 و8.

المتوسط ​​الهندسي للأرقام هو حاصل ضرب جميع الأرقام المعطاة، الموجودة تحت الجذر بقوة تساوي عدد الأرقام المعطاة، أي أنه في حالة الأعداد 4 و2 و8، ستكون الإجابة 4. وإليك الطريقة اتضح أنه:

الحل: ∛(4 × 2 × 8) = 4

في كلا الخيارين، حصلنا على إجابات كاملة، حيث تم أخذ أرقام خاصة على سبيل المثال. هذا لايحصل غالبا. في معظم الحالات، يجب تقريب الإجابة أو تركها في الجذر. على سبيل المثال، بالنسبة للأرقام 11 و7 و20، الوسط الحسابي هو ≈ 12.67، والوسط الهندسي هو ∛1540. وبالنسبة للرقمين 6 و5، ستكون الإجابات 5.5 و√30 على التوالي.

هل يمكن أن يصبح الوسط الحسابي مساوياً للوسط الهندسي؟

بالطبع يمكن. ولكن في حالتين فقط. إذا كانت هناك سلسلة من الأرقام تتكون من الآحاد أو الأصفار فقط. ومن الجدير بالذكر أيضًا أن الإجابة لا تعتمد على عددهم.

البرهان بالوحدات: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (الوسط الحسابي).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(الوسط الهندسي).

البرهان بالأصفار: (0 + 0) / 2=0 (الوسط الحسابي).

√(0 × 0) = 0 (الوسط الهندسي).

لا يوجد خيار آخر ولا يمكن أن يكون.

وهذا المصطلح له معاني أخرى، انظر المعنى المتوسط.

متوسط(في الرياضيات والإحصاء) مجموعات من الأرقام - مجموع كل الأرقام مقسومًا على عددها. وهو أحد مقاييس النزعة المركزية الأكثر شيوعاً.

تم اقتراحه (مع الوسط الهندسي والوسط التوافقي) من قبل الفيثاغوريين.

الحالات الخاصة للمتوسط ​​الحسابي هي المتوسط ​​(عموم السكان) ومتوسط ​​العينة (العينة).

مقدمة

دعونا نشير إلى مجموعة البيانات X = (س 1 , س 2 , …, س ن) ، تتم الإشارة عادةً إلى متوسط ​​العينة بواسطة شريط أفقي فوق المتغير (x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))، ويُنطق " سمع خط").

يُستخدم الحرف اليوناني μ للدلالة على الوسط الحسابي لجميع السكان. بالنسبة للمتغير العشوائي الذي يتم تحديد القيمة المتوسطة له، μ هو المتوسط ​​الاحتماليأو التوقع الرياضي لمتغير عشوائي. إذا مجموعة Xعبارة عن مجموعة من الأرقام العشوائية ذات الوسط الاحتمالي μ لأي عينة س أنامن هذه المجموعة μ = E( س أنا) هو التوقع الرياضي لهذه العينة.

من الناحية العملية، الفرق بين μ وx ¯ (\displaystyle (\bar (x))) هو أن μ هو متغير نموذجي لأنه يمكنك رؤية عينة بدلاً من المجتمع بأكمله. ولذلك، إذا تم تمثيل العينة بشكل عشوائي (من حيث نظرية الاحتمالات)، فيمكن التعامل مع x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))) (ولكن ليس μ) كمتغير عشوائي له توزيع احتمالي على العينة ( التوزيع الاحتمالي للمتوسط).

ويتم حساب هاتين الكميتين بنفس الطريقة:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

لو Xمتغير عشوائي ثم التوقع الرياضي Xيمكن اعتباره الوسط الحسابي للقيم في القياسات المتكررة للكمية X. وهذا مظهر من مظاهر القانون أعداد كبيرة. ولذلك، يتم استخدام متوسط ​​العينة لتقدير القيمة المتوقعة غير المعروفة.

وقد ثبت في الجبر الابتدائي أن المتوسط ن+ 1 أرقام فوق المتوسط نأرقام إذا وفقط إذا كان الرقم الجديد أكبر من المتوسط ​​القديم، وأقل إذا وفقط إذا كان الرقم الجديد أقل من المتوسط، ولا يتغير إذا وفقط إذا كان الرقم الجديد يساوي المتوسط. الاكثر نكلما قل الفرق بين المتوسطين الجديد والقديم.

لاحظ أن هناك العديد من "المتوسطات" الأخرى المتاحة، بما في ذلك متوسط ​​القوة، ومتوسط ​​كولموجوروف، والمتوسط ​​التوافقي، والمتوسط ​​الحسابي الهندسي، والمتوسطات المرجحة المختلفة (على سبيل المثال، المتوسط ​​الحسابي المرجح، والوسط الهندسي المرجح، والمتوسط ​​التوافقي المرجح).

أمثلة

• بالنسبة لثلاثة أرقام، تحتاج إلى جمعها وتقسيمها على 3:

س 1 + س 2 + س 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• بالنسبة لأربعة أرقام، تحتاج إلى جمعها وتقسيمها على 4:

س 1 + س 2 + س 3 + س 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

أو بشكل أبسط 5+5=10، 10:2. لأننا كنا نضيف رقمين، وهو ما يعني عدد الأرقام التي نضيفها، فإننا نقسمها على هذا العدد.

متغير عشوائي مستمر

بالنسبة للكمية الموزعة باستمرار f (x) (\displaystyle f(x))، المتوسط ​​الحسابي في الفترة [ a ; b ] (\displaystyle ) يتم تحديده من خلال تكامل محدد:

و (خ) ¯ [ أ ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) و (خ) دكس)

بعض مشاكل استخدام المتوسط

عدم وجود متانة

المقال الرئيسي: المتانة في الإحصاء

على الرغم من أن المتوسطات الحسابية تستخدم غالبًا كمتوسطات أو اتجاهات مركزية، إلا أن هذا المفهوم ليس إحصائية قوية، مما يعني أن المتوسط ​​الحسابي يتأثر بشدة بـ "الانحرافات الكبيرة". من الجدير بالذكر أنه بالنسبة للتوزيعات ذات معامل الانحراف الكبير، قد لا يتوافق الوسط الحسابي مع مفهوم "المتوسط"، وقد تصف قيم الوسط من الإحصائيات القوية (على سبيل المثال، الوسيط) بشكل أفضل الوسط المركزي نزعة.

والمثال الكلاسيكي هو حساب متوسط ​​الدخل. من الممكن أن يساء تفسير المتوسط ​​الحسابي باعتباره متوسطًا، مما قد يؤدي إلى استنتاج مفاده أن عدد الأشخاص ذوي الدخل الأعلى أكبر من العدد الفعلي. يتم تفسير الدخل "المتوسط" على أنه يعني أن معظم الناس لديهم دخل حول هذا الرقم. وهذا "المتوسط" (بمعنى المتوسط ​​الحسابي) أعلى من دخل معظم الناس، حيث أن الدخل المرتفع مع انحراف كبير عن المتوسط ​​يجعل المتوسط ​​الحسابي منحرفا للغاية (على النقيض من متوسط ​​الدخل عند المتوسط). "يقاوم" مثل هذا الانحراف). ومع ذلك، فإن هذا الدخل "المتوسط" لا يقول شيئًا عن عدد الأشخاص القريبين من الدخل المتوسط ​​(ولا يقول شيئًا عن عدد الأشخاص القريبين من الدخل النموذجي). ومع ذلك، إذا أخذت مفهومي "المتوسط" و"معظم الناس" باستخفاف، فقد تتوصل إلى استنتاج غير صحيح مفاده أن معظم الناس لديهم دخل أعلى مما هم عليه في الواقع. على سبيل المثال، تقرير عن "متوسط" صافي الدخل في المدينة المنورة بواشنطن، والذي يتم حسابه على أنه المتوسط ​​الحسابي لكل صافي الدخول السنوية للمقيمين، من شأنه أن ينتج رقماً ضخماً إلى حد مدهش بسبب بيل جيتس. النظر في العينة (1، 2، 2، 2، 3، 9). المتوسط ​​الحسابي هو 3.17، لكن خمس من أصل ست قيم أقل من هذا المتوسط.

الفائدة المركبة

المقال الرئيسي: العائد على الاستثمار

إذا كانت الأرقام تتضاعف، لكن لا يطوى، عليك استخدام الوسط الهندسي وليس الوسط الحسابي. غالبًا ما يحدث هذا الحادث عند حساب عائد الاستثمار في التمويل.

على سبيل المثال، إذا انخفض السهم بنسبة 10% في السنة الأولى وارتفع بنسبة 30% في السنة الثانية، فمن غير الصحيح حساب الزيادة "المتوسطة" خلال هذين العامين بالمتوسط ​​الحسابي (-10% + 30%) / 2 = 10%؛ المتوسط ​​الصحيح في هذه الحالة هو معدل النمو السنوي المركب الذي يعطي معدل نمو سنوي حوالي 8.16653826392% ≈ 8.2% فقط.

والسبب في ذلك هو أن النسب المئوية لها نقطة بداية جديدة في كل مرة: 30% هي 30%. من رقم أقل من السعر في بداية السنة الأولى:إذا بدأ السهم عند 30 دولارًا وانخفض بنسبة 10%، فإن قيمته تبلغ 27 دولارًا في بداية السنة الثانية. إذا ارتفع السهم بنسبة 30٪، فستكون قيمته 35.1 دولارًا في نهاية العام الثاني. المتوسط ​​الحسابي لهذا النمو هو 10%، ولكن بما أن السهم ارتفع بمقدار 5.1 دولار فقط على مدار عامين، فإن متوسط ​​النمو البالغ 8.2% يعطي النتيجة النهائية البالغة 35.1 دولارًا:

[30 دولارًا (1 - 0.1) (1 + 0.3) = 30 دولارًا (1 + 0.082) (1 + 0.082) = 35.1 دولارًا]. إذا استخدمنا المتوسط ​​بنفس الطريقة القيمة الحسابية 10%، لن نحصل على القيمة الفعلية: [30 دولارًا (1 + 0.1) (1 + 0.1) = 36.3 دولارًا].

الفائدة المركبة في نهاية السنتين: 90% * 130% = 117%، أي أن إجمالي الزيادة 17%، ومتوسط ​​الفائدة المركبة السنوية 117% ≈ 108.2% (\displaystyle (\sqrt (117\% ))\حوالي 108.2\%) أي بمتوسط ​​زيادة سنوية 8.2%.

الاتجاهات

المقال الرئيسي: إحصائيات الوجهة

عند حساب الوسط الحسابي لبعض المتغيرات التي تتغير دوريا (مثل الطور أو الزاوية)، يجب توخي الحذر بشكل خاص. على سبيل المثال، متوسط ​​1° و359° سيكون 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. هذا الرقم غير صحيح لسببين.

• أولاً، يتم تعريف القياسات الزاوية فقط للنطاق من 0° إلى 360° (أو من 0 إلى 2π عند قياسها بالراديان). لذا يمكن كتابة نفس زوج الأرقام بالشكل (1° و-1°) أو (1° و719°). سيكون متوسط ​​القيم لكل زوج مختلفًا: 1 ​​∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ الدائرة)) .
• ثانيًا، في هذه الحالة، ستكون قيمة 0° (أي ما يعادل 360°) قيمة متوسطة أفضل هندسيًا، نظرًا لأن انحراف الأرقام أقل من 0° مقارنة بأي قيمة أخرى (القيمة 0° لها أصغر تباين). يقارن:
  • الرقم 1° ينحرف عن 0° بمقدار 1° فقط؛
  • الرقم 1° ينحرف عن المتوسط ​​المحسوب 180° بمقدار 179°.

سيتم إزاحة القيمة المتوسطة للمتغير الدوري المحسوب باستخدام الصيغة المذكورة أعلاه بشكل مصطنع بالنسبة إلى المتوسط ​​الحقيقي نحو منتصف النطاق الرقمي. ولهذا السبب، يتم حساب المتوسط ​​بطريقة مختلفة، وهي الرقم ذو التباين الأصغر ( نقطة المركز). أيضًا، بدلاً من الطرح، يتم استخدام المسافة المعيارية (أي المسافة المحيطية). على سبيل المثال، المسافة المعيارية بين 1° و359° هي 2°، وليس 358° (على الدائرة بين 359° و360°==0° - درجة واحدة، بين 0° و1° - أيضًا 1°، إجمالاً - 2 درجة).

4.3. متوسط ​​القيم. جوهر ومعنى القيم المتوسطة

حجم متوسطفي الإحصاء هو مؤشر عام يصف المستوى النموذجي لظاهرة ما في ظروف محددة من المكان والزمان، مما يعكس قيمة خاصية متفاوتة لكل وحدة من السكان المتجانسين نوعيا. في الممارسة الاقتصادية، يتم استخدام مجموعة واسعة من المؤشرات، والتي يتم حسابها كقيم متوسطة.

على سبيل المثال، مؤشر عام لدخل العمال شركة مساهمة(JSC) هو متوسط ​​دخل عامل واحد، ويتم تحديده بواسطة نسبة صندوق الأجور والمدفوعات الاجتماعية للفترة قيد الاستعراض (السنة، الربع، الشهر) إلى عدد العمال في شركة JSC.

يعد حساب المتوسط ​​أحد أساليب التعميم الشائعة؛ ويعكس المؤشر المتوسط ​​ما هو شائع (نموذجي) لجميع وحدات السكان محل الدراسة، بينما يتجاهل في الوقت نفسه الاختلافات بين الوحدات الفردية. في كل ظاهرة وتطورها هناك مزيج حوادثو ضروري.عند حساب المتوسطات، بسبب عمل قانون الأعداد الكبيرة، تلغي العشوائية وتتوازن، لذلك يمكن التجريد من السمات غير المهمة للظاهرة، من القيم الكمية للخاصية في كل حالة محددة . إن القدرة على التجريد من عشوائية القيم الفردية وتقلباتها تكمن في القيمة العلمية للمتوسطات تعميمخصائص السكان.

وعندما تنشأ الحاجة إلى التعميم، فإن حساب هذه الخصائص يؤدي إلى استبدال العديد من القيم الفردية المختلفة للسمة متوسطمؤشر يميز مجموعة الظواهر بأكملها، مما يجعل من الممكن تحديد الأنماط المتأصلة في الظواهر الاجتماعية الجماعية غير المرئية في الظواهر الفردية.

يعكس المتوسط ​​المستوى المميز والنموذجي والحقيقي للظواهر التي تتم دراستها، ويميز هذه المستويات وتغيراتها في الزمان والمكان.

المتوسط ​​هو خاصية موجزة لقوانين العملية في الظروف التي تحدث فيها.

4.4. أنواع المتوسطات وطرق حسابها

يتم تحديد اختيار نوع المتوسط ​​من خلال المحتوى الاقتصادي لمؤشر معين وبيانات المصدر. وفي كل حالة محددة، يتم استخدام إحدى القيم المتوسطة: الحساب، غارأحادية، هندسية، تربيعية، مكعبةإلخ. المتوسطات المدرجة تنتمي إلى الفصل رزينمتوسط.

بالإضافة إلى متوسطات القدرة، يتم استخدام المتوسطات الهيكلية في الممارسة الإحصائية، والتي تعتبر الوضع والوسيط.

دعونا نتناول المزيد من التفاصيل حول متوسطات الطاقة.

المتوسط ​​الحسابي

النوع الأكثر شيوعا من المتوسط ​​هو متوسط علم الحساب.يتم استخدامه في الحالات التي يكون فيها حجم الخاصية المتغيرة لجميع السكان هو مجموع قيم خصائص وحداتها الفردية. تتميز الظواهر الاجتماعية بجمع (مجموع) أحجام ذات خاصية متفاوتة، وهذا ما يحدد نطاق تطبيق المتوسط ​​الحسابي ويفسر انتشاره كمؤشر عام، على سبيل المثال: صندوق الأجور الإجمالي هو مجموع أجور العاملين لجميع العمال، إجمالي الحصاد هو مجموع المنتجات المنتجة من موسم الزراعة بأكمله.

لحساب الوسط الحسابي، تحتاج إلى تقسيم مجموع كل قيم الميزات على عددها.

ويستخدم الوسط الحسابي في النموذج المتوسط ​​البسيط والمتوسط ​​المرجح.النموذج الأولي المحدد هو المتوسط ​​البسيط.

الوسط الحسابي البسيطيساوي المجموع البسيط للقيم الفردية للخاصية التي يتم حساب متوسطها، مقسومًا على العدد الإجمالي لهذه القيم (يتم استخدامه في الحالات التي توجد فيها قيم فردية غير مجمعة للخاصية):

أين
- القيم الفردية للمتغير (المتغيرات)؛ م - عدد الوحدات في السكان.

علاوة على ذلك، لن تتم الإشارة إلى حدود الجمع في الصيغ. على سبيل المثال، تحتاج إلى العثور على متوسط ​​إنتاج عامل واحد (ميكانيكي) إذا كنت تعرف عدد الأجزاء التي أنتجها كل عامل من 15 عاملاً، أي. يتم إعطاء عدد من القيم الفردية للخاصية، أجهزة الكمبيوتر:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

يتم حساب الوسط الحسابي البسيط باستخدام الصيغة (4.1)، 1 قطعة.:

يُطلق على متوسط ​​الخيارات التي تتكرر عددًا مختلفًا من المرات، أو كما يقولون، لها أوزان مختلفة موزون.الأوزان هي عدد الوحدات الموجودة مجموعات مختلفةالمجاميع (يتم دمج الخيارات المتطابقة في مجموعة).

المتوسط ​​الحسابي المرجح- متوسط ​​القيم المجمعة، - يتم حسابه باستخدام الصيغة:

, (4.2)

أين
- الوزن (تكرار تكرار العلامات المتطابقة)؛

- مجموع منتجات حجم الميزات وتردداتها؛

- إجمالي عدد الوحدات السكانية.

نوضح تقنية حساب المتوسط ​​​​المرجح الحسابي باستخدام المثال الذي تمت مناقشته أعلاه. للقيام بذلك، سنقوم بتجميع البيانات المصدرية ووضعها في جدول. 4.1.

الجدول 4.1

توزيع العمال لإنتاج قطع الغيار

ووفقا للصيغة (4.2)، فإن الوسط الحسابي المرجح يساوي، قطع:

في بعض الحالات، قد لا يتم عرض الأوزان كقيم مطلقة، ولكن كقيم نسبية (بالنسب المئوية أو كسور الوحدة). عندها ستبدو صيغة المتوسط ​​الحسابي المرجح كما يلي:

أين
- الخصوصية، أي. حصة كل تردد في المجموع الكلي للجميع

إذا تم حساب التكرارات بالكسور (المعاملات)، إذن
= 1، ومعادلة المتوسط ​​المرجح حسابيًا لها الشكل:

حساب الوسط الحسابي المرجح من متوسطات المجموعة يتم تنفيذها وفقًا للصيغة:

,

أين F- عدد الوحدات في كل مجموعة .

ويعرض الجدول نتائج حساب الوسط الحسابي من متوسطات المجموعة. 4.2.

الجدول 4.2

توزيع العاملين حسب متوسط ​​مدة الخدمة

في هذا المثال، الخيارات ليست بيانات فردية عن مدة خدمة العمال الفرديين، ولكن المتوسط ​​لكل ورشة عمل. الميزان Fهو عدد العاملين في المحلات التجارية. ومن ثم فإن متوسط ​​خبرة العمل للعاملين في جميع أنحاء المنشأة سيكون بالسنوات:

.

حساب الوسط الحسابي في سلسلة التوزيع

إذا تم تحديد قيم الخاصية التي يتم حساب متوسطها في شكل فترات ("من - إلى")، أي. سلسلة الفاصل الزمني للتوزيع، ثم عند حساب الوسط الحسابي، يتم أخذ نقاط المنتصف لهذه الفترات كقيم الخصائص في المجموعات، مما يؤدي إلى تكوين سلسلة منفصلة. خذ بعين الاعتبار المثال التالي (الجدول 4.3).

لننتقل من المتسلسلة الفاصلة إلى المتسلسلة المنفصلة عن طريق استبدال قيم الفترات بمتوسط ​​قيمها/(المتوسط ​​البسيط

الجدول 4.3

توزيع العاملين في هيئة الأوراق المالية حسب مستوى الأجر الشهري

مجموعات من العمال	عدد العمال	منتصف الفاصل
الأجور، فرك.	الناس، F	فرك.، X
900 أو أكثر

يتم مساواة قيم الفترات المفتوحة (الأولى والأخيرة) بشكل مشروط بالفترات المجاورة لها (الثانية وقبل الأخيرة).

مع هذا الحساب للمتوسط، يُسمح ببعض عدم الدقة، حيث يتم افتراض التوزيع الموحد لوحدات الخاصية داخل المجموعة. ومع ذلك، كلما كانت الفترة أضيق وكلما زاد عدد الوحدات فيها، قل الخطأ.

بعد العثور على نقاط المنتصف للفترات، تتم الحسابات بنفس الطريقة كما في المتسلسلة المنفصلة - يتم ضرب الخيارات بالتكرارات (الأوزان) ويتم قسمة مجموع المنتجات على مجموع التكرارات (الأوزان) ألف روبل:

.

لذا، مستوى متوسطأجر عمال JSC هو 729 روبل. كل شهر.

غالبًا ما يتطلب حساب المتوسط ​​الحسابي الكثير من الوقت والجهد. ومع ذلك، في عدد من الحالات، يمكن تبسيط وتسهيل إجراء حساب المتوسط ​​إذا كنت تستخدم خصائصه. دعونا نقدم (بدون برهان) بعض الخصائص الأساسية للوسط الحسابي.

الخاصية 1. إذا كانت جميع القيم الفردية للخاصية (أي. جميع الخيارات) تقليل أو زيادة أنامرات، ثم القيمة المتوسطة الخصائص الجديدة ستنخفض أو تزيد بالمقابل أنامرة واحدة.

الملكية 2. إذا تم تقليل جميع متغيرات الخاصية التي يتم حساب متوسطهاخياطة أو زيادة بالرقم أ، فإن الوسط الحسابي يتوافقفي الواقع سوف ينخفض ​​أو يزيد بنفس الرقم A.

الملكية 3. إذا تم تخفيض أوزان جميع الخيارات المتوسطة أو زيادة في ل مرات، فإن الوسط الحسابي لن يتغير.

كمتوسط ​​أوزان، بدلاً من المؤشرات المطلقة، يمكنك استخدام أوزان محددة في الإجمالي الإجمالي (الأسهم أو النسب المئوية). وهذا يبسط حسابات المتوسط.

ولتبسيط حسابات المتوسط، يتبعون مسار تقليل قيم الخيارات والترددات. يتم تحقيق أكبر قدر من التبسيط عندما أيتم تحديد قيمة أحد الخيارات المركزية، التي لها أعلى تردد، كـ / - قيمة الفاصل الزمني (للسلسلة ذات الفواصل الزمنية المتساوية). وتسمى الكمية أ بالنقطة المرجعية، ولذلك تسمى هذه الطريقة لحساب المتوسط ​​“طريقة العد من الصفر الشرطي” أو "على طريق اللحظات."

لنفترض أن جميع الخيارات Xانخفض أولاً بنفس الرقم A، ثم انخفض بمقدار أنامرة واحدة. نحصل على سلسلة متنوعة جديدة من توزيع الخيارات الجديدة .

ثم خيارات جديدةسيتم التعبير عن:

,

ومتوسطهم الحسابي الجديد , -لحظة الطلب الأول-معادلة:

.

وهو يساوي متوسط ​​الخيارات الأصلية، تم تخفيضه أولاً بمقدار أ،ومن ثم في أنامرة واحدة.

للحصول على المتوسط ​​الحقيقي، هناك حاجة إلى لحظة من الدرجة الأولى م 1 ، اضرب ب أناو أضف أ:

.

هذه الطريقةيسمى حساب الوسط الحسابي من سلسلة التباين "على طريق اللحظات."يتم استخدام هذه الطريقة في الصفوف على فترات متساوية.

يتم توضيح حساب الوسط الحسابي باستخدام طريقة اللحظات من خلال البيانات الواردة في الجدول. 4.4.

الجدول 4.4

توزيع المؤسسات الصغيرة في المنطقة حسب قيمة أصول الإنتاج الثابتة (FPF) عام 2000.

مجموعات الشركات حسب قيمة OPF، ألف روبل.	عدد المؤسسات F	نقاط منتصف الفواصل الزمنية س
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

العثور على لحظة الطلب الأول

.

ثم أخذ A = 19 ومعرفة ذلك أنا= 2، احسب X،ألف روبل.:

أنواع القيم المتوسطة وطرق حسابها

في هذه المرحلة المعالجة الإحصائيةيمكن وضع مجموعة متنوعة من المشكلات البحثية، لحلها من الضروري اختيار المتوسط ​​المناسب. في هذه الحالة، من الضروري الاسترشاد بالقاعدة التالية: الكميات التي تمثل بسط ومقام المتوسط ​​يجب أن تكون مرتبطة منطقيا ببعضها البعض.

• متوسطات الطاقة;
• المتوسطات الهيكلية.

دعونا نقدم الاتفاقيات التالية:

الكميات التي يتم حساب المتوسط ​​لها؛

المتوسط، حيث يشير الشريط أعلاه إلى حدوث متوسط ​​القيم الفردية؛

التردد (تكرار القيم المميزة الفردية).

يتم اشتقاق متوسطات مختلفة من صيغة متوسط ​​القدرة العامة:

(5.1)

عندما ك = 1 - الوسط الحسابي؛ ك = -1 - الوسط التوافقي؛ ك = 0 - الوسط الهندسي؛ ك = -2 - جذر متوسط ​​التربيع.

يمكن أن تكون القيم المتوسطة بسيطة أو مرجحة. المتوسطات المرجحةهذه هي القيم التي تأخذ في الاعتبار أن بعض متغيرات قيم السمات قد تحتوي على أرقام مختلفة، وبالتالي يجب ضرب كل خيار بهذا الرقم. وبعبارة أخرى، فإن "المقاييس" هي أعداد الوحدات الإجمالية في مجموعات مختلفة، أي. يتم "ترجيح" كل خيار حسب تردده. يسمى التردد f الوزن الإحصائيأو معدل الوزن.

المتوسط ​​الحسابي- النوع الأكثر شيوعا من المتوسط. يتم استخدامه عند إجراء الحساب على بيانات إحصائية غير مجمعة، حيث تحتاج إلى الحصول على الحد المتوسط. المتوسط ​​الحسابي هو متوسط ​​قيمة الخاصية، وعند الحصول عليها يظل الحجم الإجمالي للخاصية في المجموع دون تغيير.

صيغة المتوسط ​​الحسابي ( بسيط) لديه النموذج

حيث n هو حجم السكان.

على سبيل المثال، يتم حساب متوسط ​​راتب موظفي المؤسسة على أنه المتوسط ​​الحسابي:

المؤشرات المحددة هنا هي راتب كل موظف وعدد موظفي المؤسسة. عند حساب المتوسط، بقي المبلغ الإجمالي للأجور كما هو، ولكن تم توزيعه بالتساوي بين جميع الموظفين. على سبيل المثال، تحتاج إلى حساب متوسط ​​راتب العاملين في شركة صغيرة توظف 8 أشخاص:

عند حساب القيم المتوسطة، يمكن تكرار القيم الفردية للخاصية التي تم حساب متوسطها، وبالتالي يتم حساب القيمة المتوسطة باستخدام البيانات المجمعة. في هذه الحالة نحن نتحدث عنحول الاستخدام المتوسط ​​الحسابي المرجح، والتي لديها النموذج

(5.3)

لذلك، نحن بحاجة إلى حساب متوسط ​​سعر أسهم شركة مساهمة في تداول البورصة. ومن المعلوم أن الصفقات تمت خلال 5 أيام (5 صفقات)، وتوزع عدد الأسهم المباعة بنسبة المبيعات على النحو التالي:

1 - 800 أك. - 1010 فرك.

2 - 650 ألف. - 990 فرك.

3 - 700 أك. - 1015 فرك.

4 - 550 أك. - 900 فرك.

5 - 850 أك. - 1150 فرك.

النسبة الأولية لتحديد متوسط ​​سعر الأسهم هي نسبة المبلغ الإجمالي للمعاملات (TVA) إلى عدد الأسهم المباعة (KPA).

5.1. مفهوم المتوسط

متوسط ​​القيمة -وهذا مؤشر عام يميز المستوى النموذجي للظاهرة. يعبر عن قيمة الخاصية لكل وحدة من السكان.

يقوم المتوسط ​​دائمًا بتعميم التباين الكمي للسمات، أي. في القيم المتوسطة، يتم القضاء على الفروق الفردية بين الوحدات في السكان بسبب الظروف العشوائية. وعلى النقيض من المتوسط، فإن القيمة المطلقة التي تميز مستوى خاصية وحدة فردية من السكان لا تسمح للمرء بمقارنة قيم الخاصية بين الوحدات التي تنتمي إلى مجموعات سكانية مختلفة. لذلك، إذا كنت بحاجة إلى مقارنة مستويات أجور العمال في مؤسستين، فلا يمكنك المقارنة هذه الخاصيةاثنين من العاملين من شركات مختلفة. قد لا يكون تعويض العمال المختارين للمقارنة نموذجيًا لهذه المؤسسات. إذا قارنا حجم صناديق الأجور في المؤسسات قيد النظر، فلن يؤخذ عدد الموظفين في الاعتبار، وبالتالي، من المستحيل تحديد أين يكون مستوى الأجور أعلى. في نهاية المطاف، يمكن مقارنة المؤشرات المتوسطة فقط، أي. كم يكسب موظف واحد في المتوسط ​​في كل مؤسسة؟ وبالتالي، هناك حاجة لحساب القيمة المتوسطة كخاصية عامة للسكان.

يعد حساب المتوسط ​​أحد أساليب التعميم الشائعة؛ ينكر المؤشر المتوسط ​​ما هو مشترك (نموذجي) لجميع وحدات السكان قيد الدراسة، بينما يتجاهل في الوقت نفسه الاختلافات بين الوحدات الفردية. في كل ظاهرة وتطورها هناك مزيج من الصدفة والضرورة. عند حساب المتوسطات، بسبب عمل قانون الأعداد الكبيرة، تلغي العشوائية وتتوازن، لذلك يمكن التجريد من السمات غير المهمة للظاهرة، من القيم الكمية للخاصية في كل حالة محددة . إن القدرة على التجريد من عشوائية القيم الفردية والتقلبات تكمن في القيمة العلمية للمتوسطات كخصائص عامة للمجاميع.

ولكي يكون المتوسط ​​ممثلا حقا، يجب أن يتم حسابه مع مراعاة مبادئ معينة.

دعونا ننظر إلى بعض المبادئ العامةتطبيق القيم المتوسطة.
1. يجب تحديد المتوسط ​​للسكان الذين يتكونون من وحدات متجانسة نوعيا.
2. يجب حساب المتوسط ​​لعدد سكان يتكون من عدد كاف عدد كبيروحدات.
3. يجب حساب المتوسط ​​للسكان الذين تكون وحداتهم في حالة طبيعية طبيعية.
4. يجب أن يتم حساب المتوسط ​​مع الأخذ في الاعتبار المحتوى الاقتصادي للمؤشر قيد الدراسة.

5.2. أنواع المتوسطات وطرق حسابها

دعونا الآن نفكر في أنواع القيم المتوسطة وميزات حسابها ومجالات تطبيقها. تنقسم القيم المتوسطة إلى فئتين كبيرتين: متوسطات الطاقة، والمتوسطات الهيكلية.

ل متوسط ​​القوةوتشمل هذه الأنواع الأكثر شهرة والأكثر استخدامًا، مثل الوسط الهندسي والوسط الحسابي والوسط التربيعي.

مثل المتوسطات الهيكليةيتم النظر في الوضع والوسيط.

دعونا نركز على متوسطات الطاقة. يمكن أن تكون متوسطات القدرة، اعتمادًا على عرض البيانات المصدر، بسيطة أو مرجحة. متوسط ​​بسيطويتم حسابه بناءً على بيانات غير مجمعة وله النموذج العام التالي:

حيث X i هو متغير (قيمة) الخاصية التي يتم حساب متوسطها؛

ن - خيار الرقم.

متوسط ​​الوزنيتم حسابه بناءً على بيانات مجمعة وله مظهر عام

,

حيث X i هي متغير (قيمة) الخاصية التي يتم حساب متوسطها أو القيمة الوسطى للفاصل الزمني الذي يتم قياس المتغير فيه؛
م - مؤشر الدرجة المتوسطة.
f i – تردد يوضح عدد مرات حدوثه أي قيمةخاصية المتوسط.

دعونا نعطي كمثال حساب متوسط ​​عمر الطلاب في مجموعة مكونة من 20 شخصًا:

نحسب متوسط ​​العمر باستخدام صيغة المتوسط ​​البسيط:

دعونا نجمع البيانات المصدر. نحصل على سلسلة التوزيع التالية:

نتيجة للتجميع، نحصل على مؤشر جديد - التردد، يشير إلى عدد الطلاب الذين تتراوح أعمارهم بين X سنوات. ولذلك، سيتم حساب متوسط ​​عمر الطلاب في المجموعة باستخدام صيغة المتوسط ​​المرجح:

الصيغ العامة لحساب متوسطات القدرة لها الأس (م). اعتمادا على القيمة التي يأخذها، يتم التمييز بين الأنواع التالية من متوسطات القدرة:
الوسط التوافقي إذا كان m = -1؛
المتوسط ​​الهندسي، إذا كان م -> 0؛
الوسط الحسابي إذا كان م = 1؛
جذر متوسط ​​المربع إذا كان م = 2؛
متوسط ​​مكعب إذا كان م = 3.

وترد في الجدول صيغ متوسطات الطاقة. 4.4.

إذا قمت بحساب جميع أنواع المتوسطات لنفس البيانات الأولية، فستكون قيمها مختلفة. تنطبق هنا قاعدة أغلبية المتوسطات: مع زيادة الأس m، تزداد القيمة المتوسطة المقابلة أيضًا:

في الممارسة الإحصائية، يتم استخدام الوسائل الحسابية والوسائل المرجحة التوافقية في كثير من الأحيان أكثر من الأنواع الأخرى من المتوسطات المرجحة.

الجدول 5.1

أنواع القوة يعني

نوع من القوة متوسط	فِهرِس درجة (م)	صيغة الحساب
		بسيط	موزون
متناسق	-1
هندسي	0
علم الحساب	1
تربيعي	2
مكعب	3

الوسط التوافقي لديه المزيد تصميم معقدمن المتوسط ​​الحسابي. يتم استخدام الوسط التوافقي في العمليات الحسابية عندما لا يتم استخدام وحدات السكان - حاملات الخاصية - كأوزان، ولكن يتم استخدام حاصل ضرب هذه الوحدات بقيم الخاصية (أي m = Xf). يجب اللجوء إلى المتوسط ​​التوافقي البسيط في حالات التحديد، على سبيل المثال، متوسط ​​تكلفة العمالة والوقت والمواد لكل وحدة إنتاج، لكل جزء واحد لمؤسستين (ثلاثة، أربعة، إلخ) والعمال العاملين في التصنيع من نفس نوع المنتج، نفس الجزء، المنتج.

الشرط الرئيسي لصيغة حساب القيمة المتوسطة هو أن جميع مراحل الحساب لها مبرر حقيقي ذي معنى؛ يجب أن تحل القيمة المتوسطة الناتجة محل القيم الفردية للسمة لكل كائن دون تعطيل الاتصال بين المؤشرات الفردية والموجزة. بمعنى آخر، يجب حساب القيمة المتوسطة بطريقة بحيث أنه عندما يتم استبدال كل قيمة فردية للمؤشر المتوسط ​​بقيمتها المتوسطة، فإن بعض المؤشرات الموجزة النهائية، المرتبطة بطريقة أو بأخرى بالقيمة المتوسطة، تظل دون تغيير. ويسمى هذا المجموع تعريفحيث أن طبيعة علاقتها بالقيم الفردية تحدد الصيغة المحددة لحساب القيمة المتوسطة. دعونا نوضح هذه القاعدة باستخدام مثال الوسط الهندسي.

صيغة المتوسط ​​الهندسي

يتم استخدامه في أغلب الأحيان عند حساب القيمة المتوسطة بناءً على الديناميكيات النسبية الفردية.

يتم استخدام الوسط الهندسي إذا تم إعطاء تسلسل من الديناميكيات النسبية للسلسلة، مما يشير، على سبيل المثال، إلى زيادة في الإنتاج مقارنة بمستوى العام السابق: i 1, i 2, i 3,..., i n. ومن الواضح أن حجم الإنتاج في العام الماضييتم تحديده من خلال مستواه الأولي (ف 0) والزيادة اللاحقة على مر السنين:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×...×i n .

بأخذ q n كمؤشر محدد واستبدال القيم الفردية لمؤشرات الديناميكيات بقيم متوسطة، نصل إلى العلاقة

من هنا

5.3. المتوسطات الهيكلية

ويستخدم في الدراسة نوع خاص من المتوسطات - المتوسطات الهيكلية الهيكل الداخليسلسلة توزيع قيم السمات، وكذلك لتقدير القيمة المتوسطة (نوع الطاقة)، ​​إذا كان لا يمكن إجراء حسابها وفقًا للبيانات الإحصائية المتاحة (على سبيل المثال، إذا لم تكن هناك بيانات عن كل من الحجم الإنتاج ومقدار التكاليف لمجموعات المؤسسات).

تُستخدم المؤشرات في أغلب الأحيان كمتوسطات هيكلية موضة -القيمة الأكثر تكرارًا للسمة – و الوسيطات –قيمة الخاصية التي تقسم التسلسل المرتب لقيمها إلى جزأين متساويين. ونتيجة لذلك، بالنسبة لنصف الوحدات في المجتمع، لا تتجاوز قيمة السمة المستوى المتوسط، وبالنسبة للنصف الآخر لا تقل عنه.

إذا كانت الخاصية قيد الدراسة لها قيم منفصلة، ​​فلا توجد صعوبات خاصة في حساب المنوال والوسيط. إذا تم تقديم البيانات المتعلقة بقيم السمة X في شكل فترات زمنية مرتبة لتغييرها (سلسلة الفواصل الزمنية)، يصبح حساب الوضع والوسيط أكثر تعقيدًا إلى حد ما. نظرًا لأن القيمة المتوسطة تقسم المجموعة بأكملها إلى جزأين متساويين، فإنها تنتهي في إحدى الفواصل الزمنية للخاصية X. باستخدام الاستيفاء، يتم العثور على قيمة الوسيط في هذه الفترة المتوسطة:

,

حيث X Me هو الحد الأدنى للفاصل الزمني المتوسط؛
ح أنا - قيمته؛
(Sum m)/2 - نصف العدد الإجمالي للملاحظات أو نصف حجم المؤشر المستخدم كترجيح في صيغ حساب القيمة المتوسطة (بالقيمة المطلقة أو النسبية)؛
S Me-1 – مجموع الملاحظات (أو حجم سمة الترجيح) المتراكمة قبل بداية الفاصل الزمني المتوسط؛
m Me - عدد الملاحظات أو حجم خاصية الترجيح في الفترة المتوسطة (أيضًا بالقيمة المطلقة أو النسبية).

في مثالنا، يمكن الحصول على ثلاث قيم متوسطة - بناءً على عدد المؤسسات وحجم الإنتاج وإجمالي تكاليف الإنتاج:

وهكذا، في نصف الشركات، تتجاوز تكلفة وحدة الإنتاج 125.19 ألف روبل، ويتم إنتاج نصف الحجم الإجمالي للمنتجات بتكلفة منتج تزيد عن 124.79 ألف روبل. و 50٪ من إجمالي التكاليف تتشكل عندما تكون تكلفة منتج واحد أعلى من 125.07 ألف روبل. لاحظ أيضًا أن هناك ميلًا معينًا نحو زيادة التكلفة، حيث أن Me 2 = 124.79 ألف روبل، ومتوسط ​​المستوى 123.15 ألف روبل.

عند حساب القيمة النموذجية للخاصية بناءً على بيانات سلسلة الفاصل الزمني، من الضروري الانتباه إلى حقيقة أن الفواصل الزمنية متطابقة، حيث يعتمد مؤشر التكرار لقيم الخاصية X على ذلك. سلسلة فاصلة بفواصل زمنية متساوية، يتم تحديد حجم الوضع على أنه

حيث X Mo هي القيمة الأدنى للفاصل الزمني المشروط؛
m Mo - عدد الملاحظات أو حجم خاصية الترجيح في الفاصل الزمني المشروط (بالقيمة المطلقة أو النسبية)؛
m Mo -1 - نفس الشيء بالنسبة للفاصل الزمني الذي يسبق الفاصل المشروط؛
m Mo+1 - نفس الشيء بالنسبة للفاصل الزمني الذي يلي الفترة المشروطة؛
ح - قيمة الفاصل الزمني لتغيير الخاصية في المجموعات.

على سبيل المثال، يمكننا حساب ثلاث قيم مشروطة بناءً على خصائص عدد المؤسسات وحجم المنتجات ومقدار التكاليف. في جميع الحالات الثلاث، يكون الفاصل الزمني المشروط هو نفسه، لأنه في نفس الفاصل الزمني يكون عدد المؤسسات وحجم الإنتاج والمبلغ الإجمالي لتكاليف الإنتاج أكبر:

وبالتالي، غالبًا ما تكون هناك مؤسسات بمستوى تكلفة يبلغ 126.75 ألف روبل، وغالبًا ما يتم إنتاج المنتجات بمستوى تكلفة يبلغ 126.69 ألف روبل، وغالبًا ما يتم تفسير تكاليف الإنتاج بمستوى تكلفة يبلغ 123.73 ألف روبل.

5.4. مؤشرات التباين

يتم التعبير عن الظروف المحددة التي يقع فيها كل كائن من الكائنات المدروسة، وكذلك ميزات تطورها (الاجتماعية والاقتصادية وما إلى ذلك) من خلال المستويات العددية المقابلة للمؤشرات الإحصائية. هكذا، تفاوت،أولئك. إن التناقض بين مستويات نفس المؤشر في كائنات مختلفة هو أمر موضوعي بطبيعته ويساعد على فهم جوهر الظاهرة قيد الدراسة.

هناك عدة طرق تستخدم لقياس التباين في الإحصائيات.

أبسطها هو حساب المؤشر نطاق الاختلاف H كالفرق بين الحد الأقصى (X max) والحد الأدنى (X min) للقيم الملحوظة للخاصية:

H=X ماكس - X دقيقة .

ومع ذلك، فإن نطاق التباين يُظهر فقط القيم المتطرفة للسمة. لا يؤخذ في الاعتبار تكرار القيم المتوسطة هنا.

الخصائص الأكثر صرامة هي مؤشرات التباين بالنسبة لمتوسط ​​مستوى السمة. أبسط مؤشر من هذا النوع هو متوسط ​​الانحراف الخطي L كالوسط الحسابي للانحرافات المطلقة للخاصية عن مستواها المتوسط:

عندما تكون قيم X الفردية قابلة للتكرار، استخدم صيغة المتوسط ​​الحسابي المرجح:

(تذكر ذلك مجموع جبريالانحرافات عن المستوى المتوسط ​​هي صفر.)

يستخدم متوسط ​​​​مؤشر الانحراف الخطي على نطاق واسع في الممارسة العملية. وبمساعدتها، على سبيل المثال، يتم تحليل تكوين العمال وإيقاع الإنتاج وتوحيد إمدادات المواد وتطوير أنظمة الحوافز المادية. ولكن لسوء الحظ، فإن هذا المؤشر يعقد الحسابات الاحتمالية ويعقد استخدام أساليب الإحصاء الرياضي. ولذلك، في الإحصائية بحث علميالمؤشر الأكثر استخدامًا لقياس التباين هو الفروق.

يتم تحديد تباين الخاصية (s 2) بناءً على متوسط ​​القوة التربيعية:

.

المؤشر يساوي يسمى متوسط انحراف مربع.

في النظرية العامة للإحصاء، مؤشر التشتت هو تقدير لمؤشر نظرية الاحتمالية الذي يحمل نفس الاسم و(كمجموع الانحرافات المربعة) تقدير للتشتت في الإحصاء الرياضي، مما يجعل من الممكن استخدام أحكام هذه التخصصات النظرية لتحليل العمليات الاجتماعية والاقتصادية.

إذا تم تقدير التباين من خلال عدد صغير من الملاحظات المأخوذة من عدد غير محدود من السكان، فسيتم تحديد متوسط ​​قيمة الخاصية مع بعض الخطأ. تبين أن القيمة المحسوبة للتشتت تتحول نحو الانخفاض. للحصول على تقدير غير متحيز، يجب ضرب تباين العينة الذي تم الحصول عليه باستخدام الصيغ المعطاة مسبقًا بالقيمة n / (n - 1). ونتيجة لذلك، مع عدد قليل من الملاحظات (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

عادةً، بالنسبة لـ n > (15÷20)، يصبح التناقض بين التقديرات المتحيزة وغير المتحيزة ضئيلًا. لنفس السبب، عادةً لا يتم أخذ الانحياز في الاعتبار في صيغة إضافة الفروق.

إذا تم أخذ عدة عينات من عامة السكان وفي كل مرة يتم تحديد متوسط ​​قيمة إحدى الخصائص، فستنشأ مشكلة في تقييم تباين المتوسطات. تقدير التباين متوسط ​​القيمةفمن الممكن بناء على ملاحظة عينة واحدة فقط باستخدام الصيغة

,

حيث n هو حجم العينة؛ ق2- تباين الخاصية المحسوبة من بيانات العينة.

ضخامة يسمى متوسط ​​خطأ أخذ العيناتوهي خاصية لانحراف متوسط ​​قيمة العينة للسمة X عن متوسط ​​قيمتها الحقيقية. يتم استخدام مؤشر الخطأ المتوسط ​​لتقييم موثوقية نتائج مراقبة العينة.

مؤشرات التشتت النسبية.لتوصيف مقياس التباين للخاصية قيد الدراسة، يتم حساب مؤشرات التباين بالقيم النسبية. إنها تجعل من الممكن مقارنة طبيعة التشتت في التوزيعات المختلفة (وحدات مراقبة مختلفة لها نفس الخاصية في مجموعتين سكانيتين، مع معان مختلفةالمتوسطات، عند مقارنة المجموعات السكانية المختلفة). يتم حساب مؤشرات مقياس التشتت النسبي كنسبة المؤشر المطلقالتشتت إلى الوسط الحسابي مضروبا في 100٪.

1. معامل التذبذبيعكس التقلب النسبي للقيم المتطرفة للخاصية حول المتوسط

.

2. يميز الإغلاق الخطي النسبي نسبة القيمة المتوسطة لعلامة الانحرافات المطلقة عن القيمة المتوسطة

.

3. معامل الاختلاف:

هو المقياس الأكثر شيوعًا للتباين المستخدم لتقييم نموذجية القيم المتوسطة.

في الإحصائيات، يعتبر السكان الذين لديهم معامل تباين أكبر من 30-35% غير متجانسين.

هذه الطريقة لتقييم التباين لها أيضًا عيب كبير. في الواقع، على سبيل المثال، لنفترض أن السكان الأصليين من العمال الذين يتمتعون بمتوسط ​​خبرة 15 عامًا، مع انحراف معياري قدره s = 10 سنوات، "يتقدمون في السن" بمقدار 15 عامًا أخرى. الآن = 30 عامًا، ولا يزال الانحراف المعياري 10. السكان غير المتجانسين سابقًا (10/15 × 100) = 66.7%)، وبالتالي تصبح متجانسة تمامًا مع مرور الوقت (10/30 × 100 = 33.3%).

بويارسكي أ.يا. دراسات نظرية في الإحصاء: السبت. علمي ترودوف – م: الإحصائيات، 1974. ص 19-57.

سابق