Prosječna vrijednost- ovo je generalizirajući pokazatelj koji karakterizira kvalitativno homogenu populaciju prema određenom kvantitativnom svojstvu. Na primjer, prosječna starost osoba osuđenih za krađu.

U pravosudnoj statistici, prosjeci se koriste za karakterizaciju:

Prosječni rokovi razmatranja predmeta ove kategorije;

Zahtjev srednje veličine;

Prosječan broj okrivljenika po predmetu;

Prosječan iznos štete;

Prosječno opterećenje sudaca itd.

Prosječna vrijednost je uvijek imenovana i ima istu dimenziju kao atribut posebne jedinice populacije. Svaka prosječna vrijednost karakterizira proučavanu populaciju prema bilo kojem promjenjivom atributu, dakle iza svakog prosjeka stoji niz distribucije jedinica ove populacije prema proučavanom atributu. Izbor vrste prosjeka određen je sadržajem pokazatelja i početnim podacima za izračun prosjeka.

Svi tipovi prosječne vrijednosti koji se koriste u statističkim studijama spadaju u dvije kategorije:

1) prosjeci snage;

2) strukturni prosjeci.

Prva kategorija prosjeka uključuje: aritmetička sredina, harmonijska sredina, geometrijska sredina I korijen znači kvadrat . Druga kategorija je moda I medijan. Štoviše, svaka od navedenih vrsta prosjeka snage može imati dva oblika: jednostavan I ponderiran . jednostavna forma srednja vrijednost koristi se za dobivanje prosječne vrijednosti proučavanog svojstva kada se izračun provodi na negrupiranim statističkim podacima ili kada se svaka varijanta u populaciji pojavljuje samo jednom. Ponderirani prosjeci nazivaju se vrijednostima koje uzimaju u obzir da opcije za vrijednosti značajke mogu imati različite brojeve, pa se stoga svaka opcija mora pomnožiti s odgovarajućom učestalošću. Drugim riječima, svaka opcija je "vagana" svojom učestalošću. Frekvencija se naziva statistička težina.

jednostavna aritmetička sredina- najčešća vrsta medija. Jednak je zbroju pojedinačnih karakterističnih vrijednosti podijeljenih ukupnim brojem ovih vrijednosti:

Gdje x 1 ,x 2 , … ,x N- pojedinačne vrijednosti atributa varijable (opcije), i N - broj jedinica populacije.

Aritmetički ponderirani prosjek koristi se kada su podaci prikazani u obliku serije distribucije ili grupiranja. Izračunava se kao zbroj umnožaka opcija i njihovih odgovarajućih učestalosti, podijeljen sa zbrojem učestalosti svih opcija:

Gdje x i- značenje ja-th varijante obilježja; fi- učestalost ja th mogućnosti.

Stoga je svaka vrijednost varijante ponderirana svojom frekvencijom, zbog čega se frekvencije ponekad nazivaju statističkim težinama.

Komentar. Kada pričamo o aritmetičkoj sredini bez navođenja njezine vrste, misli se na prostu aritmetičku sredinu.

Tablica 12

Riješenje. Za izračun koristimo formulu aritmetičkog ponderiranog prosjeka:

Dakle, u prosjeku su dva optuženika po kaznenom predmetu.

Ako se izračun prosječne vrijednosti provodi prema podacima grupiranim u obliku serije intervalne distribucije, tada prvo trebate odrediti srednje vrijednosti ​​​​​​svakog intervala x "i, zatim izračunati prosječnu vrijednost pomoću ponderirane formula aritmetičke sredine, u kojoj je x" i zamijenjen umjesto x i.

Primjer. Podaci o dobi osuđenih za krađe prikazani su u tablici:

Tablica 13

Odredite prosječnu dob kriminalaca osuđenih za krađu.

Riješenje. Kako biste odredili prosječnu dob kriminalaca na temelju serije varijacija intervala, prvo morate pronaći srednje vrijednosti intervala. Budući da nam je dana intervalna serija s prvi otvoriti i posljednji intervali, tada se vrijednosti tih intervala uzimaju jednake vrijednostima susjednih zatvorenih intervala. U našem slučaju, vrijednost prvog i zadnjeg intervala je 10.

Sada nalazimo prosječnu dob kriminalaca pomoću formule ponderirane aritmetičke sredine:

Tako je prosječna dob počinitelja kaznenih djela osuđenih za krađu oko 27 godina.

Prosječna harmonijska jednostavna je recipročna vrijednost aritmetičke sredine recipročnih vrijednosti atributa:

gdje je 1/ x i su recipročni iznosi opcija, a N je broj jedinica populacije.

Primjer. U cilju utvrđivanja prosječnog godišnjeg opterećenja sudaca okružnog suda u procesuiranju kaznenih predmeta, provedeno je istraživanje opterećenosti 5 sudaca ovog suda. Prosječno vrijeme utrošeno na jedan kazneni predmet za svakog od ispitanih sudaca pokazalo se jednakim (u danima): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Nađite prosječne troškove za jednog kaznenog predmeta i prosječno godišnje opterećenje sudaca ovog okružnog suda prilikom razmatranja kaznenih predmeta.

Riješenje. Za određivanje prosječnog vremena utrošenog na jedan kazneni predmet koristimo harmoničnu jednostavnu formulu:

Da bismo pojednostavili izračune u primjeru, uzmimo broj dana u godini jednak 365, uključujući vikende (ovo ne utječe na metodu izračuna, a pri izračunavanju sličnog pokazatelja u praksi potrebno je zamijeniti broj radnih sati dana u određenoj godini umjesto 365 dana). Tada će prosječno godišnje opterećenje sudaca ovog okružnog suda pri razmatranju kaznenih predmeta biti: 365 (dana): 5,56 ≈ 65,6 (predmeta).

Ako bismo koristili formulu jednostavne aritmetičke sredine za određivanje prosječnog vremena provedenog na jednom kaznenom predmetu, dobili bismo:

365 (dani): 5,64 ≈ 64,7 (slučajevi), tj. prosječno opterećenje sudaca bilo je manje.

Provjerimo valjanost ovog pristupa. U tu svrhu koristimo podatke o vremenu provedenom na jednom kaznenom predmetu za svakog suca i izračunavamo broj kaznenih predmeta koje svaki od njih razmatra godišnje.

Prema tome dobivamo:

365(dana) : 6 ≈ 61 (slučaj), 365(dana) : 5,6 ≈ 65,2 (slučaj), 365(dana) : 6,3 ≈ 58 (slučaj),

365(dana) : 4,9 ≈ 74,5 (slučajevi), 365(dana) : 5,4 ≈ 68 (slučajevi).

Sada izračunavamo prosječno godišnje opterećenje sudaca ovog okružnog suda prilikom razmatranja kaznenih predmeta:

Oni. prosječno godišnje opterećenje je isto kao i kod korištenja harmonijske sredine.

Stoga je uporaba aritmetičke sredine u ovom slučaju nezakonita.

U slučajevima kada su poznate varijante značajke, njihove volumetrijske vrijednosti (umnožak varijanti po frekvenciji), ali su same frekvencije nepoznate, primjenjuje se formula harmonijskog ponderiranog prosjeka:

,

Gdje x i su vrijednosti opcija osobina, a w i su volumetrijske vrijednosti opcija ( w i = x i f i).

Primjer. Podaci o jediničnoj cijeni istovrsne robe koju proizvode različite ustanove zatvorskog sustava, te o obujmu njezine realizacije dati su u tablici 14.

Tablica 14

Pronađite prosječnu prodajnu cijenu proizvoda.

Riješenje. Pri izračunavanju prosječne cijene moramo koristiti omjer prodane količine i broja prodanih jedinica. Ne znamo broj prodanih jedinica, ali znamo količinu prodaje robe. Stoga, da bismo pronašli prosječnu cijenu prodane robe, koristimo formulu harmonijskog ponderiranog prosjeka. Dobivamo

Ako ovdje koristite formulu aritmetičke sredine, možete dobiti prosječnu cijenu koja će biti nerealna:

Geometrijska sredina izračunava se izdvajanjem korijena stupnja N iz umnoška svih vrijednosti varijanti obilježja:

,

Gdje x 1 ,x 2 , … ,x N- pojedinačne vrijednosti varijable svojstva (opcije), i

N- broj populacijskih jedinica.

Ova vrsta prosjeka koristi se za izračunavanje prosječnih stopa rasta vremenskih serija.

korijen znači kvadrat koristi se za izračunavanje prosjeka standardna devijacija, koji je pokazatelj varijacije, a o kojem će se raspravljati u nastavku.

Za utvrđivanje strukture stanovništva koriste se posebni prosjeci koji uključuju medijan I moda , ili tzv. strukturni prosjeci. Ako se aritmetička sredina izračunava na temelju korištenja svih varijanti vrijednosti atributa, tada medijan i mod karakteriziraju vrijednost varijante koja zauzima određeno prosječno mjesto u rangiranoj (poređenoj) seriji. Redoslijed jedinica statističke populacije može se izvršiti uzlaznim ili silaznim redoslijedom varijanti svojstva koje se proučava.

Medijan (ja) je vrijednost koja odgovara varijanti u sredini rangirane serije. Dakle, medijan je ona varijanta rangirane serije, s obje strane koje u ovoj seriji treba biti jednak broj agregatne jedinice.

Da biste pronašli medijan, prvo ga morate odrediti. serijski broj u poredanom redu prema formuli:

gdje je N obujam niza (broj populacijskih jedinica).

Ako se niz sastoji od neparnog broja članova, tada je medijan jednak varijanti s brojem N Me . Ako se serija sastoji od parnog broja članova, tada se medijan definira kao aritmetička sredina dviju susjednih opcija koje se nalaze u sredini.

Primjer. Zadat je rangirani niz 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Volumen niza je N = 9, što znači N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Prema tome, Me = 6, tj. peta opcija. Ako je nizu dat 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, tj. niza s parnim brojem članova (N = 8), tada je N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Dakle, medijan je jednak polovici zbroja četvrte i pete opcije, tj. Ja = (9 + 11) / 2 = 10.

U nizu diskretnih varijacija, medijan je određen akumuliranim frekvencijama. Varijantne frekvencije, počevši od prve, zbrajaju se dok se ne premaši srednji broj. Vrijednost zadnjih zbrojenih opcija bit će medijan.

Primjer. Odredite srednji broj okrivljenika po kaznenom predmetu koristeći podatke u tablici 12.

Riješenje. U ovom slučaju, volumen niza varijacija je N = 154, dakle, N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Zbrajajući frekvencije prve i druge opcije, dobivamo: 75 + 43 = 118, tj. premašili smo srednji broj. Dakle ja = 2.

U nizu intervalne varijacije distribucije prvo označite interval u kojem će se nalaziti medijan. On je pozvan medijan . Ovo je prvi interval čija kumulativna frekvencija premašuje polovicu volumena niza varijacija intervala. Zatim brojčana vrijednost medijan se određuje formulom:

Gdje x Ja- donja granica srednjeg intervala; i - vrijednost srednjeg intervala; S Me-1- akumulirana frekvencija intervala koji prethodi medijanu; f ja- učestalost srednjeg intervala.

Primjer. Odredite srednju dob počinitelja osuđenih za krađu, na temelju statistike prikazane u tablici 13.

Riješenje. Statistički podaci su prikazani nizom intervalnih varijacija, što znači da prvo odredimo srednji interval. Volumen populacije N = 162, dakle, srednji interval je interval 18-28, jer ovo je prvi interval, čija akumulirana frekvencija (15 + 90 = 105) premašuje polovicu volumena (162: 2 = 81) niza varijacija intervala. Sada je numerička vrijednost medijana određena gornjom formulom:

Tako je polovica osuđenih za krađe mlađa od 25 godina.

Moda (Mo) imenovati vrijednost atributa koji se najčešće nalazi u jedinicama populacije. Moda se koristi za identifikaciju vrijednosti osobine koja ima najveću distribuciju. Za diskretnu seriju, način će biti varijanta s najvećom frekvencijom. Na primjer, za diskretnu seriju prikazanu u tablici 3 Mo= 1, budući da ova vrijednost opcija odgovara najvišoj frekvenciji - 75. Da biste odredili način intervalne serije, prvo odredite modalni interval (interval s najvećom frekvencijom). Zatim se unutar tog intervala pronađe vrijednost značajke, koja može biti mod.

Njegova se vrijednost nalazi po formuli:

Gdje x Mo- donja granica modalnog intervala; i - vrijednost modalnog intervala; f Mo- frekvencija modalnog intervala; f Mo-1- učestalost intervala koji prethodi modalnom; f Mo+1- učestalost intervala koji slijedi nakon modalnog.

Primjer. Nađite dob kriminalaca osuđenih za krađu, čiji su podaci prikazani u tablici 13.

Riješenje. Najveća frekvencija odgovara intervalu 18-28, stoga mod mora biti u tom intervalu. Njegova vrijednost određena je gornjom formulom:

Tako, najveći broj počinitelja osuđenih za krađu ima 24 godine.

Prosječna vrijednost daje generalizirajuću karakteristiku ukupnosti fenomena koji se proučava. Međutim, dvije populacije s istim srednjim vrijednostima mogu se značajno razlikovati jedna od druge u pogledu stupnja fluktuacije (varijacije) u vrijednosti proučavanog svojstva. Na primjer, u jednom su sudu imenovani sljedeći datumi zatvorske kazne: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 godina, au drugom - 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8 godina. U oba slučaja aritmetička sredina je 6,7 godina. Međutim, ovi agregati se međusobno značajno razlikuju u rasponu pojedinačnih vrijednosti dodijeljene kazne zatvora u odnosu na prosječnu vrijednost.

A za prvi sud, gdje je ova varijacija prilično velika, prosječna zatvorska kazna ne odražava dobro cjelokupnu populaciju. Dakle, ako se pojedinačne vrijednosti atributa malo razlikuju jedna od druge, tada će aritmetička sredina biti prilično indikativna karakteristika svojstava ove populacije. U protivnom će aritmetička sredina biti nepouzdana karakteristika ove populacije i njena primjena u praksi je neučinkovita. Stoga je potrebno uzeti u obzir varijacije u vrijednostima proučavanog svojstva.

Varijacija- to su razlike u vrijednostima obilježja u različitim jedinicama dane populacije u istom razdoblju ili trenutku u vremenu. Pojam "varijacija" je latinskog porijekla - variatio, što znači razlika, promjena, kolebanje. Nastaje kao rezultat činjenice da se pojedinačne vrijednosti atributa formiraju pod kombiniranim utjecajem različitih čimbenika (uvjeta), koji se u svakom pojedinačnom slučaju kombiniraju na različite načine. Za mjerenje varijacije svojstva, različiti apsolutni i relativna izvedba.

Glavni pokazatelji varijacije uključuju sljedeće:

1) raspon varijacije;

2) prosječno linearno odstupanje;

3) disperzija;

4) standardna devijacija;

5) koeficijent varijacije.

Ukratko se zadržimo na svakom od njih.

Varijacija raspona R je najpristupačniji apsolutni pokazatelj u smislu lakoće izračuna, koji se definira kao razlika između najveće i najmanje vrijednosti atributa za jedinice ove populacije:

Raspon varijacije (raspon fluktuacija) - važan pokazatelj značajke fluktuacije, ali omogućuje da se vide samo ekstremna odstupanja, što ograničava opseg njegove primjene. Za točniju karakterizaciju varijacije svojstva na temelju njegove fluktuacije koriste se drugi pokazatelji.

Prosječno linearno odstupanje je aritmetička sredina od apsolutne vrijednosti odstupanja pojedinih vrijednosti atributa od prosjeka i određuje se formulama:

1) Za negrupisani podaci

2) Za varijacijske serije

Međutim, najčešće korištena mjera varijacije je disperzija . Karakterizira mjeru širenja vrijednosti proučavane osobine u odnosu na njezinu prosječnu vrijednost. Varijanca se definira kao prosjek kvadrata odstupanja.

jednostavna varijanca za negrupisane podatke:

.

Ponderirana varijanca za seriju varijacija:

Komentar. U praksi je bolje koristiti sljedeće formule za izračun varijance:

Za jednostavnu varijancu

.

Za ponderirano odstupanje

Standardna devijacija je kvadratni korijen varijance:

Standardna devijacija je mjera pouzdanosti srednje vrijednosti. Što je manja standardna devijacija, to je populacija homogenija i aritmetička sredina bolje odražava cjelokupnu populaciju.

Gore razmotrene mjere disperzije (raspon varijacije, varijanca, standardna devijacija) su apsolutni pokazatelji, po kojima se ne može uvijek prosuditi stupanj fluktuacije neke osobine. U nekim problemima potrebno je koristiti relativne indekse raspršenja, od kojih je jedan koeficijent varijacije.

Koeficijent varijacije- izraženo kao postotak omjera standardne devijacije i aritmetičke sredine:

Koeficijent varijacije se koristi ne samo za komparativno vrednovanje varijacije različitih svojstava ili istog svojstva u različitim populacijama, ali i za karakterizaciju homogenosti populacije. Statistička populacija smatra se kvantitativno homogenom ako koeficijent varijacije ne prelazi 33% (za distribucije bliske normalnoj distribuciji).

Primjer. O trajanju kazne 50 osuđenika upućenih na izdržavanje kazne po odluci suda u odgojno-popravnu ustanovu zatvorskog sustava postoje sljedeći podaci: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3 , 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1 , 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Konstruirajte niz distribucije prema uvjetima zatvora.

2. Pronađite srednju vrijednost, varijancu i standardnu ​​devijaciju.

3. Izračunajte koeficijent varijacije i zaključite o homogenosti ili heterogenosti proučavane populacije.

Riješenje. Za konstruiranje diskretnog niza distribucije potrebno je odrediti varijante i frekvencije. Varijanta u ovom problemu je trajanje kazne, a učestalost je broj pojedine varijante. Izračunavanjem frekvencija dobivamo sljedeće diskretne serije distribucije:

Pronađite srednju vrijednost i varijancu. Budući da su statistički podaci predstavljeni diskretnim varijacijskim nizom, za njihov izračun koristit ćemo se formulama aritmetičkog ponderiranog prosjeka i varijance. Dobivamo:

= = 4,1;

= 5,21.

Sada izračunavamo standardnu ​​devijaciju:

Nalazimo koeficijent varijacije:

Posljedično, statistička populacija je kvantitativno heterogena.

Sada razgovarajmo o kako izračunati prosjek.
U svom klasičnom obliku, opća teorija statistike nudi nam jednu verziju pravila za odabir prosječne vrijednosti.
Prvo morate napraviti ispravnu logičku formulu za izračun prosječne vrijednosti (LFS). Za svaku prosječnu vrijednost uvijek postoji samo jedna logična formula za njezin izračun, pa je ovdje teško pogriješiti. Ali uvijek morate zapamtiti da je u brojniku (ovo je ono što je na vrhu razlomka) zbroj svih pojava, a u nazivniku (ono što je na dnu razlomka) ukupno elementi.

Nakon što je logička formula sastavljena, možete koristiti pravila (radi lakšeg razumijevanja, pojednostavit ćemo ih i smanjiti):
1. Ako je nazivnik logičke formule prikazan u početnim podacima (određen frekvencijom), tada se izračun provodi prema formuli ponderirane aritmetičke sredine.
2. Ako je brojnik logičke formule prikazan u početnim podacima, tada se izračun provodi prema formuli harmonijskog ponderiranog prosjeka.
3. Ako su i brojnik i nazivnik logičke formule prisutni u problemu odjednom (to se rijetko događa), tada se izračun provodi pomoću ove formule ili pomoću formule jednostavne aritmetičke sredine.
Ovo je klasična ideja odabira prave formule za izračun prosječne vrijednosti. Zatim predstavljamo redoslijed radnji u rješavanju zadataka za izračunavanje prosječne vrijednosti.

Algoritam za rješavanje zadataka za izračunavanje srednje vrijednosti

A. Odredite metodu za izračunavanje prosječne vrijednosti - jednostavan ili težinski . Ako su podaci prikazani tablično, tada se koristi metoda ponderiranja, ako su podaci prikazani jednostavnim nabrajanjem, tada se koristi metoda jednostavnog izračuna.

B. Definirajte ili uredite konvencije – x - opcija, f – učestalost . Varijanta je pojava za koju želite pronaći prosječnu vrijednost. Ostali podaci u tablici bit će učestalost.

B. Određujemo obrazac za izračun prosječne vrijednosti - aritmetički ili harmonijski . Definicija se provodi u stupcu učestalosti. Aritmetički oblik se koristi ako su frekvencije dane eksplicitnim brojem (uvjetno ih možete zamijeniti riječju komadi, broj elemenata "komadi"). Harmonijski oblik se koristi ako frekvencije nisu dane eksplicitnim brojem, već složenim pokazateljem (umnožak prosječne vrijednosti i frekvencije).

Najteže je pogoditi gdje i koliko se daje, pogotovo za studenta neiskusnog u takvim stvarima. U takvoj situaciji možete upotrijebiti jednu od sljedećih metoda. Za neke zadatke (ekonomske) prikladna je izjava razvijena tijekom godina prakse (točka B.1). U drugim situacijama, morat ćete koristiti paragraf B.2.

C.1 Ako je frekvencija postavljena u novčanim jedinicama (u rubljima), tada se za izračun koristi harmonijska sredina, takva izjava je uvijek istinita ako je otkrivena frekvencija postavljena u novcu, u drugim situacijama ovo pravilo se ne primjenjuje.

B.2 Koristite pravila za odabir prosječne vrijednosti navedene gore u ovom članku. Ako je učestalost dana nazivnikom logičke formule za izračun prosječne vrijednosti, tada izračunavamo oblikom aritmetičke sredine, ako je učestalost dana brojnikom logičke formule za izračun prosječne vrijednosti, tada izračunavamo pomoću harmonijski srednji oblik.

Razmotrite primjere korištenja ovog algoritma.

A. Budući da su podaci prikazani u nizu, koristimo jednostavnu metodu izračuna.

B. V. Imamo samo podatke o visini mirovina, a oni će biti naša verzija – x. Podaci su prikazani jednostavnim brojem (12 osoba), za izračun koristimo jednostavnu aritmetičku sredinu.

Prosječna mirovina umirovljenika iznosi 9208,3 rubalja.

B. Budući da je potrebno pronaći prosječni iznos isplate po djetetu, mogućnosti su u prvom stupcu, tu stavljamo oznaku x, drugi stupac automatski postaje učestalost f.

C. Učestalost (broj djece) je dana eksplicitnim brojem (možete zamijeniti riječ komadi djece, sa stajališta ruskog jezika, fraza je netočna, ali, zapravo, vrlo je zgodno check), što znači da se za izračun koristi aritmetički ponderirani prosjek.

Moderno je rješavati isti problem ne na formularni način, već na tablični, odnosno unijeti sve podatke srednjih izračuna u tablicu.

Kao rezultat toga, sve što sada treba učiniti je razdvojiti dva zbroja ispravnim redoslijedom.

Prosječna uplata po djetetu mjesečno iznosila je 1910 rubalja.

A. Budući da su podaci prikazani u tablici, koristimo ponderirani oblik za izračun.

B. Učestalost (trošak proizvodnje) je postavljena implicitnom količinom (učestalost je postavljena u rubalja Stavka algoritma B1), što znači da se za izračun koristi harmonijski ponderirani prosjek. Općenito, zapravo, trošak proizvodnje je složen pokazatelj, koji se dobiva množenjem troška jedinice proizvoda s brojem takvih proizvoda, to je bit prosječne harmonijske vrijednosti.

Da bi se ovaj problem mogao riješiti pomoću formule aritmetičke sredine, potrebno je da umjesto troška proizvodnje stoji broj proizvoda s pripadajućim troškom.

Napominjemo da je iznos u nazivniku, dobiven nakon izračuna 410 (120 + 80 + 210) ukupan broj proizvedenih proizvoda.

Prosječna jedinična cijena proizvoda bila je 314,4 rublja.

A. Budući da su podaci prikazani u tablici, koristimo ponderirani oblik za izračun.

B. Budući da je potrebno pronaći prosječnu jediničnu cijenu proizvoda, opcije su u prvom stupcu, tamo stavljamo oznaku x, drugi stupac automatski postaje frekvencija f.

C. Frekvencija (ukupni broj praznina) dana je implicitnim brojem (umnožak je dvaju pokazatelja broja praznina i broja učenika s takvim brojem praznina), što znači da je harmonijski ponderirani prosjek koristi za izračun. Koristit ćemo točku algoritma B2.

Da bi se ovaj problem mogao riješiti pomoću formule aritmetičke sredine, potrebno je da umjesto ukupnog broja praznina stoji broj učenika.

Izrađujemo logičnu formulu za izračun prosječnog broja prolaza po učeniku.

Učestalost prema uvjetu zadatka Ukupni broj prolazi. U logičkoj formuli ovaj pokazatelj je u brojniku, što znači da koristimo formulu harmonijske sredine.

Imajte na umu da je zbroj u nazivniku nakon izračuna 31 (18+8+5) ukupan broj učenika.

Prosječan broj izostanaka po učeniku je 13,8 dana.

Prosječne vrijednosti naširoko se koriste u statistici. Prosječne vrijednosti karakteriziraju kvalitativne pokazatelje komercijalne aktivnosti: troškove distribucije, dobit, profitabilnost itd.

Srednji Ovo je jedna od najčešćih generalizacija. Ispravno shvaćanje suštine prosjeka određuje njegov poseban značaj u pogledu Ekonomija tržišta, kada prosjek kroz pojedinačne i slučajne omogućuje prepoznavanje općeg i potrebnog, prepoznavanje trenda obrazaca gospodarskog razvoja.

Prosječna vrijednost - to su generalizirajući pokazatelji u kojima nalaze izraz djelovanja Opći uvjeti, zakonitosti proučavane pojave.

Statistički prosjeci izračunavaju se na temelju masovnih podataka pravilno statistički organiziranog masovnog promatranja (kontinuiranog i selektivnog). Međutim, statistički će prosjek biti objektivan i tipičan ako se izračunava iz masovnih podataka za kvalitativno homogenu populaciju (masovni fenomen). Primjerice, ako izračunamo prosječne plaće u zadrugama i državnim poduzećima, pa rezultat proširimo na cijelu populaciju, onda je prosjek fiktivan, jer se računa za heterogenu populaciju, te takav prosjek gubi svaki smisao.

Uz pomoć prosjeka, postoji, takoreći, izglađivanje razlika u veličini značajke koje iz jednog ili drugog razloga nastaju u pojedinim jedinicama promatranja.

Na primjer, prosječni učinak prodavača ovisi o mnogim čimbenicima: kvalifikacijama, radnom stažu, dobi, obliku usluge, zdravstvenom stanju i tako dalje.

Prosječni output odražava opće svojstvo cijele populacije.

Prosječna vrijednost je odraz vrijednosti proučavanog svojstva, dakle, mjeri se u istoj dimenziji kao i to svojstvo.

Svaka prosječna vrijednost karakterizira proučavanu populaciju prema bilo kojem atributu. Da bi se dobila cjelovita i sveobuhvatna slika populacije koja se proučava u smislu niza bitnih obilježja, općenito je potrebno imati sustav prosječnih vrijednosti koji može opisati pojavu iz različitih kutova.

Postoje različiti prosjeci:

aritmetička sredina;

geometrijska sredina;

prosječni harmonik;

korijen znači kvadrat;

kronološki prosjek.

Razmotrite neke vrste prosjeka koji se najčešće koriste u statistici.

Aritmetička sredina

Jednostavna aritmetička sredina (neponderirana) jednaka je zbroju pojedinačnih vrijednosti obilježja, podijeljenom s brojem tih vrijednosti.

Pojedinačne vrijednosti atributa nazivaju se varijantama i označavaju se s x (); broj jedinica populacije označen je s n, prosječna vrijednost obilježja - s . Stoga je jednostavna aritmetička sredina:

Prema podacima serije diskretne distribucije vidljivo je da se iste vrijednosti atributa (opcije) ponavljaju nekoliko puta. Dakle, varijanta x se pojavljuje u agregatu 2 puta, a varijanta x - 16 puta itd.

Broj identičnih vrijednosti obilježja u seriji distribucije naziva se frekvencija ili težina i označava se simbolom n.

Izračunajte prosječnu plaću po radniku u rubljama:

Fond plaće za svaku grupu radnika jednak je umnošku opcija i učestalosti, a zbroj tih umnožaka daje ukupni fond plaća svih radnika.

U skladu s tim, izračuni se mogu prikazati u općem obliku:

Dobivena formula naziva se ponderirana aritmetička sredina.

Statistički materijal kao rezultat obrade može se prikazati ne samo u obliku diskretnih serija distribucije, već iu obliku intervalnih varijacijskih serija sa zatvorenim ili otvorenim intervalima.

Izračun prosjeka za grupirane podatke provodi se prema formuli ponderirane aritmetičke sredine:

U praksi ekonomske statistike ponekad je potrebno izračunati prosjek po skupnim prosjecima ili po prosjecima pojedinih dijelova populacije (parcijalni prosjeci). U takvim slučajevima se kao opcija (x) uzimaju grupni ili parcijalni prosjeci, na temelju kojih se izračunava ukupni prosjek kao uobičajeni aritmetički ponderirani prosjek.

Osnovna svojstva aritmetičke sredine .

Aritmetička sredina ima niz svojstava:

1. Od smanjenja ili povećanja učestalosti svake vrijednosti atributa x za n puta, vrijednost aritmetičke sredine neće se promijeniti.

Ako se sve frekvencije podijele ili pomnože s nekim brojem, tada se vrijednost prosjeka neće promijeniti.

2. Ukupni množitelj pojedinačnih vrijednosti atributa može se uzeti iz znaka prosjeka:

3. Prosječan iznos(razlika) dviju ili više veličina jednaka je zbroju (razlici) njihovih prosjeka:

4. Ako je x \u003d c, gdje je c konstantna vrijednost, tada
.

5. Zbroj odstupanja vrijednosti atributa X od aritmetičke sredine x jednak je nuli:

Prosječni harmonik.

Uz aritmetičku sredinu, statistika koristi harmonijsku sredinu, recipročnu vrijednost aritmetičke sredine recipročnih vrijednosti atributa. Kao i aritmetička sredina, može biti jednostavna i ponderirana.

Uz prosjeke, karakteristike varijacijskog niza su mod i medijan.

Moda - ovo je vrijednost osobine (varijante), koja se najčešće ponavlja u proučavanoj populaciji. Za seriju diskretne distribucije, mod će biti vrijednost varijante s najvećom frekvencijom.

Za serije intervalne distribucije s jednakim intervalima, način se određuje formulom:

Gdje
- početna vrijednost intervala koji sadrži mod;

- vrijednost modalnog intervala;

- frekvencija modalnog intervala;

- učestalost intervala koji prethodi modalnom;

- učestalost intervala koji slijedi nakon modalnog.

Medijan je varijanta koja se nalazi u sredini reda varijacija. Ako je niz distribucije diskretan i ima neparan broj članova, tada će medijan biti varijanta koja se nalazi u sredini uređenog niza (uređeni niz je raspored populacijskih jedinica u rastućem ili silaznom redoslijedu).

Aritmetička sredina - statistički pokazatelj koji pokazuje prosječnu vrijednost zadanog niza podataka. Takav se pokazatelj izračunava kao razlomak, čiji je brojnik zbroj svih vrijednosti niza, a nazivnik je njihov broj. Aritmetička sredina je važan koeficijent koji se koristi u izračunima kućanstava.

Značenje koeficijenta

Aritmetička sredina je elementarni pokazatelj za usporedbu podataka i izračunavanje prihvatljive vrijednosti. Na primjer, limenka piva određenog proizvođača prodaje se u različitim trgovinama. Ali u jednoj trgovini košta 67 rubalja, u drugoj - 70 rubalja, u trećoj - 65 rubalja, au posljednjoj - 62 rublje. Postoji prilično velik raspon cijena, tako da će kupca zanimati prosječna cijena limenke, tako da pri kupnji proizvoda može usporediti svoje troškove. U prosjeku, limenka piva u gradu ima cijenu:

Prosječna cijena = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 rubalja.

Znajući prosječnu cijenu, lako je odrediti gdje je isplativo kupiti robu, a gdje ćete morati preplatiti.

Aritmetička sredina stalno se koristi u statističkim izračunima u slučajevima kada se analizira homogen skup podataka. U gornjem primjeru, ovo je cijena limenke piva iste marke. Međutim, ne možemo uspoređivati ​​cijene piva različitih proizvođača ili cijene piva i limunade, jer će u tom slučaju raspon vrijednosti biti veći, prosječna cijena zamagljena i nepouzdana, a sam smisao izračuna bit će iskrivljena do karikaturalne "prosječne temperature u bolnici". Za izračun heterogenih nizova podataka koristi se aritmetički ponderirani prosjek, kada svaka vrijednost dobiva svoj težinski faktor.

Izračunavanje aritmetičke sredine

Formula za izračun je vrlo jednostavna:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

gdje je an vrijednost količine, n je ukupan broj vrijednosti.

Za što se ovaj indikator može koristiti? Prva i očita uporaba je u statistici. U gotovo svakoj statistička studija koristi se aritmetička sredina. To može biti prosječna dob za stupanje u brak u Rusiji, prosječna ocjena iz predmeta za učenika ili prosječna dnevna potrošnja namirnica. Kao što je gore spomenuto, bez uzimanja u obzir težine, izračun prosjeka može dati čudne ili apsurdne vrijednosti.

Na primjer, predsjednik Ruska Federacija dao je izjavu da je, prema statistici, prosječna plaća Rusa 27.000 rubalja. Za većinu ljudi u Rusiji ova visina plaće se činila apsurdnom. To ne čudi ako se u izračunu uzmu u obzir prihodi oligarha, šefova industrijskih poduzeća, velikih bankara, s jedne strane, i plaće učitelja, čistačica i prodavača, s druge strane. Čak će i prosječne plaće u jednoj specijalnosti, na primjer, računovođa, imati ozbiljne razlike u Moskvi, Kostromi i Jekaterinburgu.

Kako izračunati prosjeke za heterogene podatke

U situacijama obračuna plaća važno je uzeti u obzir težinu svake vrijednosti. To znači da bi plaće oligarha i bankara dobile ponder od npr. 0,00001, a plaće prodavača 0,12. Ovo su brojke sa stropa, ali one otprilike ilustriraju rasprostranjenost oligarha i prodavača u ruskom društvu.

Dakle, da bi se izračunao prosjek prosjeka ili prosječna vrijednost u nizu heterogenih podataka, potrebno je koristiti aritmetički ponderirani prosjek. U suprotnom, dobit ćete prosječnu plaću u Rusiji na razini od 27.000 rubalja. Ako želite znati svoju prosječnu ocjenu iz matematike ili prosječan broj golova koje je postigao odabrani hokejaš, tada će vam odgovarati kalkulator aritmetičke sredine.

Naš program je jednostavan i praktičan kalkulator za izračun aritmetičke sredine. Za izračune trebate samo unijeti vrijednosti parametara.

Pogledajmo nekoliko primjera

Izračun prosječne ocjene

Mnogi učitelji koriste metodu aritmetičke sredine za određivanje godišnje ocjene iz predmeta. Zamislimo da dijete dobije sljedeće četvrtine iz matematike: 3, 3, 5, 4. Koju će mu godišnju ocjenu dati učitelj? Poslužimo se kalkulatorom i izračunajmo aritmetičku sredinu. Prvo odaberite odgovarajući broj polja i unesite vrijednosti ocjene u ćelije koje se pojave:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Učitelj će zaokružiti vrijednost u korist učenika, a učenik će za godinu dobiti solidnu četvorku.

Obračun pojedenih slatkiša

Ilustrirajmo neki apsurd aritmetičke sredine. Zamislite da su Maša i Vova pojeli 10 slatkiša. Maša je pojela 8 bombona, a Vova samo 2. Koliko je u prosjeku slatkiša pojelo svako dijete? Pomoću kalkulatora lako je izračunati da su djeca u prosjeku pojela 5 slatkiša, što je potpuno netočno i zdrav razum. Ovaj primjer pokazuje da je aritmetička sredina važna za značajne skupove podataka.

Zaključak

Izračun aritmetičke sredine naširoko se koristi u mnogim znanstvenim područjima. Ovaj pokazatelj je popularan ne samo u statističkim izračunima, već iu fizici, mehanici, ekonomiji, medicini ili financijama. Koristite naše kalkulatore kao pomoćnike za rješavanje problema aritmetičke sredine.

Tema aritmetike i geometrijske sredine uključena je u program matematike za 6.-7. Budući da je paragraf prilično jednostavan za razumijevanje, brzo se prolazi, a do kraja školske godine učenici ga zaborave. No potrebno je poznavanje osnovne statistike položivši ispit, kao i za međunarodni ispiti SAT. Da i za Svakidašnjica razvijeno analitičko razmišljanje nikad ne škodi.

Kako izračunati aritmetičku i geometrijsku sredinu brojeva

Pretpostavimo da postoji niz brojeva: 11, 4 i 3. Aritmetička sredina je zbroj svih brojeva podijeljen s brojem zadanih brojeva. To jest, u slučaju brojeva 11, 4, 3, odgovor će biti 6. Kako se dobiva 6?

Rješenje: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Nazivnik mora sadržavati broj jednak broju brojeva čiji prosjek treba pronaći. Zbroj je djeljiv s 3 jer postoje tri člana.

Sada se moramo pozabaviti geometrijskom sredinom. Recimo da postoji niz brojeva: 4, 2 i 8.

Geometrijska sredina je umnožak svih zadanih brojeva koji je ispod korijena sa stupnjem jednakim broju zadanih brojeva, odnosno u slučaju brojeva 4, 2 i 8 odgovor je 4. Evo kako se to dogodilo :

Rješenje: ∛(4 × 2 × 8) = 4

U obje opcije dobiveni su cijeli odgovori, jer su kao primjer uzeti posebni brojevi. To nije uvijek slučaj. U većini slučajeva, odgovor se mora zaokružiti ili ostaviti u korijenu. Na primjer, za brojeve 11, 7 i 20 aritmetička sredina je ≈ 12,67, a geometrijska sredina je ∛1540. A za brojeve 6 i 5 odgovori će biti 5,5 odnosno √30.

Može li se dogoditi da aritmetička sredina postane jednaka geometrijskoj sredini?

Naravno da može. Ali samo u dva slučaja. Ako postoji niz brojeva koji se sastoji samo od jedinica ili nula. Također je vrijedno pažnje da odgovor ne ovisi o njihovom broju.

Dokaz jedinicama: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmetička sredina).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrijska sredina).

Dokaz s nulama: (0 + 0) / 2=0 (aritmetička sredina).

√(0 × 0) = 0 (geometrijska sredina).

Druge opcije nema i ne može biti.