Prema udžbeniku Sovjetova i Jakovljeva: "model (lat. modulus - mjera) je objekt-zamjena izvornog objekta, koji omogućuje proučavanje nekih svojstava originala." (str. 6) “Zamjena jednog objekta drugim u svrhu dobivanja informacija o najvažnijim svojstvima izvornog objekta uz pomoć modela objekta naziva se modeliranje.” (str. 6) “Pod matematičkim modeliranjem razumjet ćemo proces uspostavljanja korespondencije s danim stvarnim objektom nekog matematičkog objekta, koji se naziva matematički model, i proučavanje tog modela, koji omogućuje dobivanje karakteristika stvarnog objekta koji se razmatra. . Vrsta matematičkog modela ovisi kako o prirodi stvarnog objekta tako io zadacima proučavanja objekta i potrebnoj pouzdanosti i točnosti rješavanja ovog problema.

Konačno, najsažetija definicija matematičkog modela: "Jednadžba koja izražava ideju».

Klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modela temelji se na klasifikaciji korištenih matematičkih alata. Često se gradi u obliku dihotomija. Na primjer, jedan od popularnih skupova dihotomija je:

i tako dalje. Svaki konstruirani model je linearan ili nelinearan, deterministički ili stohastički, ... Naravno, mogući su i mješoviti tipovi: koncentrirani u jednom pogledu (po parametrima), distribuirani modeli u drugom itd.

Klasifikacija prema načinu predstavljanja predmeta

Uz formalnu klasifikaciju, modeli se razlikuju i po načinu na koji predstavljaju objekt:

Strukturni ili funkcionalni modeli

Strukturni modeli predstavljaju objekt kao sustav s vlastitim uređajem i mehanizmom funkcioniranja. funkcionalni modeli ne koristiti takve prikaze i odražavati samo izvana percipirano ponašanje (funkcioniranje) objekta. U svom ekstremnom izrazu nazivaju se i modelima "crne kutije". Moguće su i kombinirane vrste modela, koje se ponekad nazivaju "modeli" siva kutija».

Sadržajni i formalni modeli

Gotovo svi autori koji opisuju proces matematičkog modeliranja navode da se prvo gradi posebna idealna konstrukcija, tj. model sadržaja. Ovdje nema ustaljene terminologije, a drugi autori ovo nazivaju idealnim objektom konceptualni model , spekulativni model ili predmodel. U ovom slučaju poziva se konačna matematička konstrukcija formalni model ili samo matematički model dobiven kao rezultat formalizacije ovog sadržaja modela (predmodel). Smisleni model može se izgraditi korištenjem skupa gotovih idealizacija, kao u mehanici, gdje idealne opruge, kruta tijela, idealna njihala, elastični mediji itd. daju gotove strukturne elemente za smisleno modeliranje. Međutim, u područjima znanja u kojima nema potpuno dovršenih formaliziranih teorija (vrh fizike, biologije, ekonomije, sociologije, psihologije i većine drugih područja), stvaranje smislenih modela dramatično je kompliciranije.

Smislena klasifikacija modela

Nijedna hipoteza u znanosti ne može se dokazati jednom zauvijek. Richard Feynman je to vrlo jasno rekao:

“Uvijek imamo mogućnost opovrgnuti teoriju, ali imajte na umu da nikada ne možemo dokazati da je točna. Pretpostavimo da iznesete uspješnu hipotezu, izračunate kamo ona vodi i ustanovite da su sve njezine posljedice eksperimentalno potvrđene. Znači li to da je vaša teorija točna? Ne, to jednostavno znači da ga niste uspjeli opovrgnuti.

Ako se izgradi model prvog tipa, to znači da je privremeno prepoznat kao istinit i da se može koncentrirati na druge probleme. No, to ne može biti točka u istraživanju, već samo privremena stanka: status modela prvog tipa može biti samo privremen.

Tip 2: Fenomenološki model (ponašati se kao da…)

Fenomenološki model sadrži mehanizam za opisivanje fenomena. Međutim, ovaj mehanizam nije dovoljno uvjerljiv, ne može se dovoljno potvrditi dostupnim podacima ili se ne slaže dobro s dostupnim teorijama i akumuliranim spoznajama o objektu. Stoga fenomenološki modeli imaju status privremenih rješenja. Vjeruje se da je odgovor još uvijek nepoznat te je potrebno nastaviti potragu za "pravim mehanizmima". Peierls u drugu vrstu ubraja, primjerice, kalorijski model i kvarkov model elementarnih čestica.

Uloga modela u istraživanju može se mijenjati tijekom vremena, može se dogoditi da novi podaci i teorije potvrde fenomenološke modele i oni budu promovirani u status hipoteze. Isto tako, nova saznanja mogu postupno doći u sukob s modelima-hipotezama prve vrste, te se mogu prenijeti na drugu. Dakle, model kvarka postupno prelazi u kategoriju hipoteza; atomizam u fizici nastao je kao privremeno rješenje, ali je tijekom povijesti prešao u prvi tip. Ali modeli etera su prešli iz tipa 1 u tip 2 i sada su izvan znanosti.

Ideja pojednostavljenja vrlo je popularna pri izgradnji modela. Ali pojednostavljenje je drugačije. Peierls razlikuje tri vrste pojednostavljenja u modeliranju.

Tip 3: Približavanje (nešto se smatra vrlo velikim ili vrlo malim)

Ako je moguće konstruirati jednadžbe koje opisuju sustav koji se proučava, to ne znači da ih je moguće riješiti čak i uz pomoć računala. Uobičajena tehnika u ovom slučaju je uporaba aproksimacija (modeli tipa 3). Među njima modeli linearnog odziva. Jednadžbe su zamijenjene linearnim. Standardni primjer je Ohmov zakon.

A ovdje je tip 8, koji se široko koristi u matematičkim modelima bioloških sustava.

Tip 8: Demonstracija mogućnosti (glavno je pokazati unutarnju dosljednost mogućnosti)

To su također misaoni eksperimenti. s imaginarnim entitetima koji to pokazuju navodni fenomen dosljedan osnovnim načelima i interno dosljedan. Ovo je glavna razlika od modela tipa 7, koji otkrivaju skrivene kontradikcije.

Jedan od najpoznatijih od tih eksperimenata je geometrija Lobačevskog (Lobačevski ju je nazvao "imaginarna geometrija"). Drugi primjer je masovna proizvodnja formalno kinetičkih modela kemijskih i bioloških oscilacija, autovalova, itd. Paradoks Einstein-Podolsky-Rosen zamišljen je kao model tipa 7 kako bi se pokazala nedosljednost kvantna mehanika. Na potpuno neplaniran način na kraju se pretvorio u model tipa 8 – demonstraciju mogućnosti kvantne teleportacije informacija.

Primjer

Razmotrimo mehanički sustav koji se sastoji od opruge učvršćene na jednom kraju i tereta mase , pričvršćenog na slobodni kraj opruge. Pretpostavit ćemo da se teret može kretati samo u smjeru osi opruge (na primjer, kretanje se događa duž šipke). Konstruirajmo matematički model ovog sustava. Stanje sustava opisat ćemo udaljenošću od centra opterećenja do njegovog ravnotežnog položaja. Opišimo međudjelovanje opruge i tereta pomoću Hookeov zakon() nakon čega koristimo drugi Newtonov zakon da ga izrazimo u obliku diferencijalne jednadžbe:

gdje znači drugu derivaciju od u odnosu na vrijeme: .

Rezultirajuća jednadžba opisuje matematički model razmatranog fizičkog sustava. Taj se uzorak naziva "harmonijski oscilator".

Prema formalnoj klasifikaciji, ovaj model je linearan, deterministički, dinamički, koncentrirani, kontinuirani. U procesu njegove izgradnje napravili smo mnoge pretpostavke (o odsutnosti vanjskih sila, odsutnosti trenja, malenosti odstupanja itd.), koje se u stvarnosti možda neće ispuniti.

U odnosu na stvarnost, to je najčešće model tipa 4. pojednostavljenje("izostavljamo neke detalje radi jasnoće"), budući da su izostavljena neka bitna univerzalna obilježja (na primjer, disipacija). U nekoj aproksimaciji (recimo, dok je odstupanje opterećenja od ravnoteže malo, uz malo trenja, ne predugo i uz određene druge uvjete), takav model prilično dobro opisuje stvarni mehanički sustav, budući da odbačeni faktori imaju zanemariv učinak na njegovo ponašanje. Međutim, model se može poboljšati uzimajući u obzir neke od ovih čimbenika. To će dovesti do novog modela, sa širim (iako opet ograničenim) opsegom.

Međutim, kada se model rafinira, složenost njegove matematičke studije može značajno porasti i učiniti model praktički beskorisnim. Često vam jednostavniji model omogućuje bolje i dublje istraživanje stvarnog sustava od složenijeg (i, formalno, "ispravnijeg") modela.

Ako model harmonijskog oscilatora primijenimo na objekte koji su daleko od fizike, njegov smisleni status može biti drugačiji. Na primjer, kada se ovaj model primjenjuje na biološke populacije, najvjerojatnije bi ga trebalo pripisati tipu 6 analogija("Uzmimo u obzir samo neke značajke").

Tvrdi i meki modeli

Harmonijski oscilator je primjer takozvanog "tvrdog" modela. Dobiva se kao rezultat snažne idealizacije stvarnog fizičkog sustava. Da bismo riješili pitanje njegove primjenjivosti, potrebno je razumjeti koliko su značajni faktori koje smo zanemarili. Drugim riječima, potrebno je istražiti "meki" model koji se dobiva malom perturbacijom "tvrdog". Može se dati, na primjer, sljedećom jednadžbom:

Ovdje - neka funkcija, koja može uzeti u obzir silu trenja ili ovisnost koeficijenta krutosti opruge o stupnju njenog rastezanja - neki mali parametar. Eksplicitni oblik funkcije nas trenutno ne zanima. Dokažemo da se ponašanje mekog modela bitno ne razlikuje od ponašanja tvrdog modela (bez obzira na eksplicitni oblik perturbirajućih čimbenika, ako su dovoljno mali), problem će se svesti na proučavanje tvrdog modela. U suprotnom, primjena rezultata dobivenih proučavanjem krutog modela zahtijevat će dodatna istraživanja. Na primjer, rješenje jednadžbe harmonijskog oscilatora su funkcije oblika , odnosno oscilacije s konstantnom amplitudom. Slijedi li iz ovoga da će pravi oscilator neograničeno dugo titrati s konstantnom amplitudom? Ne, jer promatrajući sustav s proizvoljno malim trenjem (koji je uvijek prisutan u realnom sustavu), dobit ćemo prigušene oscilacije. Ponašanje sustava se kvalitativno promijenilo.

Ako sustav zadrži svoje kvalitativno ponašanje pod malim poremećajem, kaže se da je strukturno stabilan. Harmonijski oscilator primjer je strukturno nestabilnog (nehrapavog) sustava. Međutim, ovaj se model može koristiti za proučavanje procesa u ograničenim vremenskim intervalima.

Univerzalnost modela

Najvažniji matematički modeli obično imaju važna svojstva univerzalnost: temeljno različite stvarne pojave mogu se opisati istim matematičkim modelom. Na primjer, harmonijski oscilator opisuje ne samo ponašanje tereta na opruzi, već i druge oscilatorne procese, često potpuno drugačije prirode: male oscilacije njihala, fluktuacije razine tekućine u posudi -oblika ili promjena jakosti struje u oscilatornom krugu. Tako, proučavajući jedan matematički model, proučavamo odjednom cijelu klasu fenomena koje on opisuje. To je taj izomorfizam zakona izražen matematičkim modelima u raznim segmentima znanstveno znanje, podvig Ludwiga von Bertalanffyja u stvaranju "Opće teorije sustava".

Izravni i inverzni problemi matematičkog modeliranja

Mnogo je problema povezanih s matematičkim modeliranjem. Prvo, potrebno je osmisliti osnovnu shemu objekta koji se modelira, reproducirati ga u okviru idealizacija ove znanosti. Dakle, vagon se pretvara u sustav ploča i složenijih karoserija različitih materijala, svaki materijal je specificiran kao njegova standardna mehanička idealizacija (gustoća, moduli elastičnosti, standardne karakteristike čvrstoće), nakon čega se sastavljaju jednadžbe, usput se neki detalji odbacuju kao beznačajni, rade se proračuni, uspoređuju s mjerenjima, model se dorađuje, i tako dalje. Međutim, za razvoj tehnologija matematičkog modeliranja, korisno je ovaj proces rastaviti na njegove glavne sastavne elemente.

Tradicionalno, postoje dvije glavne klase problema povezanih s matematičkim modelima: izravni i inverzni.

Izravni problem: struktura modela i svi njegovi parametri smatraju se poznatima, glavni zadatak je proučavanje modela kako bi se izvuklo korisno znanje o objektu. Koje statičko opterećenje može podnijeti most? Kako će reagirati na dinamičko opterećenje (na primjer, na marš čete vojnika ili na prolazak vlaka različitim brzinama), kako će avion prevladati zvučni zid, hoće li se raspasti od lepršanja - ovo su tipični primjeri izravnog zadatka. Postavljanje ispravnog izravnog problema (postavljanje ispravnog pitanja) zahtijeva posebnu vještinu. Ako se ne postave prava pitanja, most se može srušiti, čak i ako je izgrađen dobar model za njegovo ponašanje. Tako se 1879. godine u Velikoj Britaniji srušio metalni most preko rijeke Tey, čiji su dizajneri izradili model mosta, izračunali ga za 20-struku sigurnost nosivosti, ali su zaboravili na vjetrove koji neprestano pušu. ta mjesta. I nakon godinu i pol se srušio.

U najjednostavnijem slučaju (jednadžba jednog oscilatora, na primjer), izravni problem je vrlo jednostavan i svodi se na eksplicitno rješenje te jednadžbe.

Inverzni problem: poznati su mnogi mogući modeli, potrebno je odabrati određeni model na temelju dodatnih podataka o objektu. Najčešće je struktura modela poznata i potrebno je odrediti neke nepoznate parametre. dodatne informacije može se sastojati od dodatnih empirijskih podataka ili zahtjeva za objekt ( projektantski zadatak). Dodatni podaci mogu doći neovisno o postupku odlučivanja inverzni problem (pasivno promatranje) ili biti rezultat eksperimenta posebno planiranog tijekom rješenja ( aktivni nadzor).

Jedan od prvih primjera virtuoznog rješenja inverznog problema uz najpotpunije korištenje dostupnih podataka bila je metoda koju je konstruirao I. Newton za rekonstrukciju sila trenja iz promatranih prigušenih oscilacija.

Drugi primjer je matematička statistika. Zadaća ove znanosti je razvoj metoda za bilježenje, opisivanje i analizu opažačkih i eksperimentalnih podataka u svrhu izgradnje probabilističkih modela masovnih slučajnih pojava. Oni. skup mogućih modela ograničen je probabilističkim modelima. U specifičnim problemima, skup modela je ograničeniji.

Računalni simulacijski sustavi

Za podršku matematičkom modeliranju razvijeni su računalni matematički sustavi, na primjer, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, itd. Oni vam omogućuju stvaranje formalnih i blok modela jednostavnih i složenih procesa i uređaja te jednostavnu promjenu parametara modela tijekom simulacija. Blok modeli prikazuju se blokovima (najčešće grafičkim), čiji su skup i veza određeni dijagramom modela.

Dodatni primjeri

Malthusov model

Stopa rasta proporcionalna je trenutnoj veličini populacije. Opisuje se diferencijalnom jednadžbom

gdje je određeni parametar određen razlikom između stope nataliteta i stope mortaliteta. Rješenje ove jednadžbe je eksponencijalna funkcija. Ako stopa nataliteta premašuje stopu mortaliteta (), veličina populacije raste neograničeno i vrlo brzo. Jasno je da se to u stvarnosti ne može dogoditi zbog ograničenih sredstava. Kada se dosegne određena kritična veličina populacije, model prestaje biti adekvatan jer ne uzima u obzir ograničene resurse. Pročišćavanje Malthusovog modela može biti logistički model koji je opisan Verhulstovom diferencijalnom jednadžbom

gdje je "ravnotežna" veličina populacije, pri kojoj je stopa nataliteta točno kompenzirana stopom mortaliteta. Veličina populacije u takvom modelu teži ravnotežnoj vrijednosti , a ovo ponašanje je strukturno stabilno.

sustav predator-plijen

Recimo da na nekom području žive dvije vrste životinja: zečevi (koji se hrane biljkama) i lisice (koje se hrane zečevima). Neka broj zečeva, broj lisica. Koristeći Malthusov model uz potrebne korekcije, uzimajući u obzir jedenje zečeva od strane lisica, dolazimo do sljedećeg sustava koji nosi naziv modeli za pladnjeve - Volterra:

Ovaj sustav ima stanje ravnoteže u kojem je broj zečeva i lisica konstantan. Odstupanje od ovog stanja dovodi do fluktuacija u broju zečeva i lisica, slično fluktuacijama u harmonijskom oscilatoru. Kao i u slučaju harmonijskog oscilatora, ovo ponašanje nije strukturno stabilno: mala promjena u modelu (na primjer, uzimajući u obzir ograničene resurse potrebne zečevima) može dovesti do kvalitativne promjene u ponašanju. Na primjer, stanje ravnoteže može postati stabilno, a fluktuacije stanovništva će nestati. Moguća je i suprotna situacija, kada će svako malo odstupanje od položaja ravnoteže dovesti do katastrofalnih posljedica, sve do potpunog izumiranja jedne od vrsta. Na pitanje koji se od ovih scenarija ostvaruje, model Volterra-Lotka ne daje odgovor: ovdje su potrebna dodatna istraživanja.

Bilješke

"Matematički prikaz stvarnosti" (Enciklopedija Britanica)
Novik I. B., O filozofskim pitanjima kibernetičkog modeliranja. M., Znanje, 1964.
Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sustava: Proc. za sveučilišta - 3. izd., revidirano. i dodatni - M.: Viši. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2
Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Matematičko modeliranje. Ideje. Metode. Primjeri. - 2. izd., ispravljeno. - M .: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Myshkis A. D., Elementi teorije matematičkih modela. - 3. izdanje, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
Sevostyanov, A.G. Modeliranje tehnološki procesi: udžbenik / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostjanov. - M.: Lagana i prehrambena industrija, 1984. - 344 str.
Vikirječnik: matematički modeli
CliffsNotes.com. Glosar znanosti o Zemlji. 20. rujna 2010
Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 str. ISBN 3-540-35885-4
“Teorija se smatra linearnom ili nelinearnom, ovisno o tome koji - linearni ili nelinearni - matematički aparat, kakve - linearne ili nelinearne - matematičke modele koristi. ... ne poričući ovo drugo. Suvremeni fizičar, kad bi slučajno redefinirao tako važan entitet kao što je nelinearnost, najvjerojatnije bi postupio drugačije, te bi, dajući prednost nelinearnosti kao važnijoj i zajedničkoj od dvije suprotnosti, definirao linearnost kao "ne-ne-ne-linearnost". linearnost". Danilov Yu. A., Predavanja iz nelinearne dinamike. Elementarni uvod. Sinergetika: serijal iz prošlosti u budućnost. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 str. ISBN 5-484-00183-8
“Dinamički sustavi modelirani konačnim brojem običnih diferencijalnih jednadžbi nazivaju se lumped ili točkasti sustavi. Opisuju se pomoću konačnodimenzionalnog faznog prostora i karakterizirani su konačnim brojem stupnjeva slobode. Jedan te isti sustav pod različitim uvjetima može se smatrati ili koncentriranim ili distribuiranim. Matematički modeli distribuiranih sustava su parcijalne diferencijalne jednadžbe, integralne jednadžbe ili obične jednadžbe kašnjenja. Broj stupnjeva slobode raspodijeljenog sustava je beskonačan i potreban je beskonačan broj podatke za određivanje njegovog statusa. Anishchenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997., br. 11, str. 77-84 (prikaz, ostalo).
“Ovisno o prirodi proučavanih procesa u sustavu S, sve vrste modeliranja mogu se podijeliti na determinističke i stohastičke, statičke i dinamičke, diskretne, kontinuirane i diskretno-kontinuirane. Deterministička simulacija prikazuje determinističke procese, odnosno procese u kojima se pretpostavlja nepostojanje bilo kakvih slučajnih utjecaja; stohastičko modeliranje prikazuje vjerojatnosne procese i događaje. … Statičko modeliranje koristi se za opisivanje ponašanja objekta u bilo kojem trenutku u vremenu, dok dinamičko modeliranje odražava ponašanje objekta tijekom vremena. Diskretno modeliranje služi za opisivanje procesa za koje se pretpostavlja da su diskretni, odnosno, kontinuirano modeliranje omogućuje odražavanje kontinuiranih procesa u sustavima, a diskretno-kontinuirano modeliranje koristi se za slučajeve kada želite istaknuti prisutnost i diskretnih i kontinuiranih procesa. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
Obično matematički model odražava strukturu (raspored) objekta koji se modelira, svojstva i međusobne veze komponenti ovog objekta koji su bitni za potrebe proučavanja; takav model nazivamo strukturnim. Ako model odražava samo kako objekt funkcionira - na primjer, kako reagira na vanjske utjecaje - tada se naziva funkcionalna ili, slikovito, crna kutija. Mogući su i kombinirani modeli. Myshkis A. D. ISBN 978-5-484-00953-4
„Očigledna, ali najvažnija početna faza konstruiranja ili odabira matematičkog modela je što jasnije razjasniti objekt koji se modelira i poboljšati njegov model sadržaja na temelju neformalnih rasprava. U ovoj fazi ne treba štedjeti vrijeme i trud, o tome uvelike ovisi uspjeh cijelog studija. Ne jednom se dogodilo da se znatan rad uložen u rješavanje matematičkog problema pokaže neučinkovitim ili čak uzalud uzaludnim zbog nedovoljne pažnje ovoj strani stvari. Myshkis A. D., Elementi teorije matematičkih modela. - 3. izdanje, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, str. 35.
« Opis konceptualnog modela sustava. U ovoj podfazi izgradnje modela sustava: a) konceptualni model M opisan je apstraktnim terminima i konceptima; b) opis modela dat je pomoću tipičnih matematičkih shema; c) hipoteze i pretpostavke su konačno prihvaćene; d) obrazložen je izbor postupka aproksimacije stvarnih procesa pri izgradnji modela.” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sustava: Proc. za sveučilišta - 3. izd., revidirano. i dodatni - M.: Viši. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2, str. 93.
Blekhman I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., Primijenjena matematika: Predmet, logika, značajke pristupa. Uz primjere iz mehanike: Tutorial. - 3. izdanje, Rev. i dodatni - M.: URSS, 2006. - 376 str. ISBN 5-484-00163-3, 2. poglavlje.

BILJEŠKE S PREDAVANJA

Po stopi

"Matematičko modeliranje strojeva i transportnih sustava"

Predmet se bavi problematikom matematičkog modeliranja, s oblikom i principom prikaza matematičkih modela. Razmatraju se numeričke metode rješavanja jednodimenzionalnih nelinearnih sustava. Istaknuta su pitanja računalnog modeliranja i računalnog eksperimenta. Razmatraju se metode obrade podataka dobivenih kao rezultat znanstvenih ili industrijskih eksperimenata; istraživanje različitih procesa, prepoznavanje obrazaca u ponašanju objekata, procesa i sustava. Razmatraju se metode interpolacije i aproksimacije eksperimentalnih podataka. Razmatraju se pitanja računalne simulacije i rješavanja nelinearnih dinamičkih sustava. Posebno se razmatraju metode numeričke integracije i rješavanja običnih diferencijalnih jednadžbi prvog, drugog i viših reda.

Predavanje: Matematičko modeliranje. Oblik i principi reprezentacije matematičkih modela

Predavanje pokriveno opća pitanja matematičko modeliranje. Dana je klasifikacija matematičkih modela.

Računala su čvrsto ušla u naše živote i praktički ne postoji takvo područje ljudske aktivnosti gdje se računala ne bi koristila. Računala se danas široko koriste u procesu stvaranja i istraživanja novih strojeva, novih tehnoloških procesa i traženja njihovih optimalnih mogućnosti; u rješavanju ekonomskih problema, u rješavanju problema planiranja i upravljanja proizvodnjom na različitim razinama. Izrada velikih objekata u raketnoj tehnici, zrakoplovogradnji, brodogradnji, kao i projektiranje brana, mostova i sl., općenito je nemoguća bez uporabe računala.

Za korištenje računala u rješavanju primijenjenih problema, prije svega, primijenjeni problem mora biti "preveden" na formalni matematički jezik, tj. za stvarni objekt, proces ili sustav mora se izgraditi njegov matematički model.

Riječ "model" dolazi od latinske riječi modus (kopija, slika, obris). Modeliranje je zamjena nekog objekta A drugim objektom B. Zamijenjeni objekt A naziva se original ili objekt modeliranja, a zamjena B naziva se model. Drugim riječima, model je objekt-zamjena izvornog objekta, pružajući proučavanje nekih svojstava originala.

Svrha modeliranja je dobivanje, obrada, prezentiranje i korištenje informacija o objektima koji su u međusobnoj interakciji i vanjsko okruženje; a model ovdje djeluje kao sredstvo za poznavanje svojstava i obrazaca ponašanja objekta.

Modeliranje ima široku primjenu u različitim područjima ljudske djelatnosti, posebice u područjima projektiranja i upravljanja, gdje su procesi donošenja učinkovitih odluka na temelju primljenih informacija posebni.

Model se uvijek gradi s određenim ciljem na umu, koji utječe na to koja su svojstva objektivne pojave značajna, a koja nisu. Model je, tako reći, projekcija objektivne stvarnosti s određene točke gledišta. Ponekad, ovisno o ciljevima, možete dobiti niz projekcija objektivne stvarnosti koje dolaze u sukob. To je u pravilu tipično za složene sustave, u kojima svaka projekcija iz skupa nebitnih izdvaja ono što je bitno za određenu svrhu.

Teorija modeliranja je grana znanosti koja proučava načine proučavanja svojstava originalnih objekata na temelju njihove zamjene drugim objektima modela. Teorija sličnosti je temelj teorije modeliranja. Kod modeliranja ne dolazi do apsolutne sličnosti i samo se nastoji osigurati da model dovoljno dobro odražava proučavanu stranu funkcioniranja objekta. Apsolutna sličnost može se dogoditi samo kada se jedan objekt zamijeni drugim potpuno istim.

Svi modeli mogu se podijeliti u dvije klase:

1. pravi,

2. savršeno.

S druge strane, pravi modeli se mogu podijeliti na:

1. prirodno,

2. fizički,

3. matematički.

Idealni modeli se mogu podijeliti na:

1. vizualno,

2. ikoničan,

3. matematički.

Pravi modeli u punom mjerilu su stvarni objekti, procesi i sustavi na kojima se izvode znanstveni, tehnički i industrijski eksperimenti.

Pravi fizički modeli su makete, lutke, reprodukcije fizička svojstva originali (kinematički, dinamički, hidraulički, toplinski, električni, svjetlosni modeli).

Pravi matematički su analogni, strukturni, geometrijski, grafički, digitalni i kibernetički modeli.

Idealni vizualni modeli su dijagrami, karte, crteži, dijagrami, grafovi, analozi, strukturni i geometrijski modeli.

Idealni znakovni modeli su simboli, abeceda, programski jezici, uređena notacija, topološka notacija, mrežna reprezentacija.

Idealni matematički modeli su analitički, funkcionalni, simulacijski, kombinirani modeli.

U gornjoj klasifikaciji neki modeli imaju dvostruko tumačenje (na primjer, analogno). Svi modeli, osim onih u punoj veličini, mogu se kombinirati u jednu klasu mentalnih modela, jer oni su proizvod apstraktno mišljenje osoba.

Osvrnimo se na jednu od najuniverzalnijih vrsta modeliranja - matematičku, koja sa simuliranim fizičkim procesom dovodi u korespondenciju sustav matematičkih odnosa, čije vam rješenje omogućuje da dobijete odgovor na pitanje o ponašanju objekta bez stvaranje fizičkog modela, što se često pokaže skupim i neučinkovitim.

Matematičko modeliranje je način proučavanja stvarnog objekta, procesa ili sustava zamjenom matematičkog modela koji je prikladniji za eksperimentalno istraživanje pomoću računala.

Matematički model je približan prikaz stvarnih objekata, procesa ili sustava, izražen matematičkim pojmovima i zadržavajući bitne značajke originala. Matematički modeli u kvantitativnom obliku, uz pomoć logičkih i matematičkih konstrukcija, opisuju glavna svojstva objekta, procesa ili sustava, njegove parametre, unutarnje i vanjski odnosi.

U općem slučaju, matematički model stvarnog objekta, procesa ili sustava predstavlja se kao sustav funkcionalnih

F i (X,Y,Z,t)=0,

gdje je X vektor ulaznih varijabli, X= t,

Y - vektor izlaznih varijabli, Y= t ,

Z-vektor vanjski utjecaji, Z= t ,

t - vremenska koordinata.

Izgradnja matematičkog modela sastoji se u određivanju odnosa između određenih procesa i pojava, stvaranju matematičkog aparata koji omogućuje kvantitativno i kvalitativno izražavanje odnosa između određenih procesa i pojava, između fizičkih veličina od interesa za stručnjaka i čimbenika koji utječu na konačni rezultat.

Obično ih ima toliko da nije moguće cijeli njihov skup uvesti u model. Prilikom konstruiranja matematičkog modela, prije istraživanja, postavlja se zadatak identificirati i isključiti iz razmatranja čimbenike koji ne utječu bitno na konačan rezultat (matematički model obično uključuje značajno manji broj čimbenika nego u stvarnosti). Na temelju eksperimentalnih podataka postavljaju se hipoteze o odnosu između veličina koje izražavaju konačni rezultat i faktora uvedenih u matematički model. Takva veza često se izražava sustavima diferencijalnih jednadžbi u parcijalnim derivacijama (na primjer, u problemima mehanike čvrsto tijelo, tekućina i plin, teorija filtracije, toplinska vodljivost, teorija elektrostatičkih i elektrodinamičkih polja).

Krajnji cilj ove faze je formulacija matematičkog problema, čije rješenje, s potrebnom točnošću, izražava rezultate koji su od interesa za stručnjaka.

Oblik i principi prikaza matematičkog modela ovise o mnogim čimbenicima.

Prema principima konstrukcije matematički modeli se dijele na:

1. analitički;

2. oponašanje.

U analitičkim modelima procesi funkcioniranja stvarnih objekata, procesa ili sustava zapisuju se u obliku eksplicitnih funkcionalnih ovisnosti.

Analitički model je podijeljen na vrste ovisno o matematičkom problemu:

1. jednadžbe (algebarske, transcendentne, diferencijalne, integralne),

2. problemi aproksimacije (interpolacija, ekstrapolacija, numerička integracija i diferencijacija),

3. problemi optimizacije,

4. stohastički problemi.

Međutim, kako objekt modeliranja postaje složeniji, konstrukcija analitičkog modela postaje nerješiv problem. Tada je istraživač prisiljen koristiti simulacijsko modeliranje.

U simulacijskom modeliranju, funkcioniranje objekata, procesa ili sustava opisuje se skupom algoritama. Algoritmi oponašaju stvarne elementarne pojave koje čine proces ili sustav zadržavajući svoju logičnu strukturu i slijed u vremenu. Simulacijsko modeliranje omogućuje dobivanje informacija o stanjima procesa ili sustava u određenim trenucima iz početnih podataka, ali je teško predvidjeti ponašanje objekata, procesa ili sustava. Možemo reći da su simulacijski modeli računalni eksperimenti s matematičkim modelima koji simuliraju ponašanje stvarnih objekata, procesa ili sustava.

Ovisno o prirodi proučavanih realnih procesa i sustava, matematički modeli mogu biti:

1. deterministički,

2. stohastički.

U determinističkim modelima pretpostavlja se da nema slučajnih utjecaja, da su elementi modela (varijable, matematički odnosi) prilično dobro utvrđeni i da se ponašanje sustava može točno odrediti. Pri konstruiranju determinističkih modela najčešće se koriste algebarske jednadžbe, integralne jednadžbe i matrična algebra.

Stohastički model uzima u obzir slučajnu prirodu procesa u objektima i sustavima koji se proučavaju, što se opisuje metodama teorije vjerojatnosti i matematičke statistike.

Prema vrsti ulaznih informacija, modeli se dijele na:

1. kontinuirano,

2. diskretan.

Ako su informacije i parametri kontinuirani, a matematički odnosi stabilni, tada je model kontinuiran. I obrnuto, ako su informacije i parametri diskretni, a veze nestabilne, tada je i matematički model diskretan.

Prema ponašanju modela u vremenu, dijele se na:

1. statičan,

2. dinamičan.

Statički modeli opisuju ponašanje objekta, procesa ili sustava u bilo kojem trenutku u vremenu. Dinamički modeli odražavaju ponašanje objekta, procesa ili sustava tijekom vremena.

Prema stupnju podudarnosti matematičkog modela i stvarnog objekta, procesa ili sustava, matematički modeli se dijele na:

1. izomorfni (isti u obliku),

2. homomorfni (različiti po obliku).

Model se naziva izomorfnim ako postoji potpuna korespondencija element po element između njega i stvarnog objekta, procesa ili sustava. Homomorfni - ako postoji podudarnost samo između najznačajnijih sastavni dijelovi objekt i model.

Ubuduće ćemo za kratku definiciju vrste matematičkog modela u gornjoj klasifikaciji koristiti sljedeću oznaku:

Prvo slovo:

D - deterministički,

C - stohastički.

Drugo slovo:

H - kontinuirano,

D - diskretan.

Treće pismo:

A - analitički,

I – oponašanje.

1. Ne postoji (točnije, ne uzima se u obzir) utjecaj slučajnih procesa, tj. deterministički model (D).

2. Informacije i parametri su kontinuirani, tj. model - kontinuirani (H),

3. Funkcioniranje modela koljenastog mehanizma opisano je u obliku nelinearnih transcendentalnih jednadžbi, tj. model - analitički (A)

2. Predavanje: Značajke izgradnje matematičkih modela

Predavanje opisuje proces izgradnje matematičkog modela. Dan je verbalni algoritam procesa.

Za korištenje računala u rješavanju primijenjenih problema, prije svega, primijenjeni problem mora biti "preveden" u formalni matematički jezik, tj. za stvarni objekt, proces ili sustav mora se izgraditi njegov matematički model.

Matematički modeli u kvantitativnom obliku, uz pomoć logičkih i matematičkih konstrukcija, opisuju glavna svojstva objekta, procesa ili sustava, njegove parametre, unutarnje i vanjske veze.

Za izradu matematičkog modela potrebno vam je:

1. pažljivo analizirati stvarni objekt ili proces;

2. istaknuti njegove najznačajnije značajke i svojstva;

3. definirati varijable, t.j. parametri čije vrijednosti utječu na glavne značajke i svojstva objekta;

4. logičkim i matematičkim odnosima (jednadžbe, jednakosti, nejednadžbe, logičke i matematičke konstrukcije) opisati ovisnost osnovnih svojstava objekta, procesa ili sustava o vrijednosti varijabli;

5. isticati unutarnje veze objekta, procesa ili sustava pomoću ograničenja, jednadžbi, jednakosti, nejednakosti, logičkih i matematičkih konstrukcija;

6. odrediti vanjske odnose i opisati ih pomoću ograničenja, jednadžbi, jednakosti, nejednakosti, logičkih i matematičkih konstrukcija.

Matematičko modeliranje, osim proučavanja objekta, procesa ili sustava i sastavljanja njihovog matematičkog opisa, također uključuje:

1. konstrukcija algoritma koji modelira ponašanje objekta, procesa ili sustava;

2. provjera primjerenosti modela i objekta, procesa ili sustava na temelju računskog i prirodnog eksperimenta;

3. prilagodba modela;

4. korištenje modela.

Matematički opis procesa i sustava koji se proučavaju ovisi o:

1. priroda stvarnog procesa ili sustava i sastavlja se na temelju zakona fizike, kemije, mehanike, termodinamike, hidrodinamike, elektrotehnike, teorije plastičnosti, teorije elastičnosti itd.

2. zahtijevanu pouzdanost i točnost proučavanja i proučavanja realnih procesa i sustava.

U fazi izbora matematičkog modela utvrđuje se: linearnost i nelinearnost objekta, procesa ili sustava, dinamičnost ili statičnost, stacionarnost ili nestacionarnost, kao i stupanj determiniranosti objekta ili procesa pod studija. U matematičkom modeliranju namjerno se apstrahira od specifične fizičke prirode objekata, procesa ili sustava i uglavnom se usredotočuje na proučavanje kvantitativnih ovisnosti između veličina koje opisuju te procese.

Matematički model nikada nije potpuno identičan razmatranom objektu, procesu ili sustavu. Na temelju pojednostavljenja, idealizacije, to je približan opis predmeta. Stoga su rezultati dobiveni analizom modela približni. Njihova je točnost određena stupnjem primjerenosti (podudarnosti) modela i objekta.

Izrada matematičkog modela obično počinje izgradnjom i analizom najjednostavnijeg, najgrubljeg matematičkog modela objekta, procesa ili sustava koji se razmatra. U budućnosti, ako je potrebno, model se dorađuje, njegova korespondencija s objektom postaje potpunija.

Uzmimo jednostavan primjer. Morate odrediti površinu stola. Obično se za to mjeri njegova duljina i širina, a zatim se dobiveni brojevi množe. Takav elementarni postupak zapravo znači sljedeće: stvarni objekt (površinu stola) zamjenjuje se apstraktnim matematičkim modelom - pravokutnikom. Dimenzije dobivene kao rezultat mjerenja duljine i širine površine stola pripisuju se pravokutniku, a površina takvog pravokutnika približno se uzima kao željena površina stola.

Međutim, pravokutni model stola je najjednostavniji, najgrublji model. S ozbiljnijim pristupom problemu, prije korištenja modela pravokutnika za određivanje površine tablice, potrebno je provjeriti ovaj model. Provjere se mogu provesti na sljedeći način: izmjerite duljine suprotnih strana stola, kao i duljine njegovih dijagonala i međusobno ih usporedite. Ako su, s potrebnim stupnjem točnosti, duljine suprotnih stranica i duljine dijagonala po paru jednake, tada se površina stola doista može smatrati pravokutnikom. U protivnom će model pravokutnika morati biti odbačen i zamijenjen općim modelom četverokuta. S višim zahtjevima za točnost, možda će biti potrebno dodatno poboljšati model, na primjer, da se uzme u obzir zaokruživanje kutova stola.

Uz pomoć ovoga jednostavan primjer pokazalo se da matematički model nije jednoznačno određen predmetom, procesom ili sustavom koji se proučava. Za istu tablicu možemo prihvatiti ili model pravokutnika, ili složeniji model općeg četverokuta, ili četverokut sa zaobljenim kutovima. Izbor jednog ili drugog modela određen je zahtjevom točnosti. S povećanjem točnosti, model se mora komplicirati, uzimajući u obzir sve nove značajke predmeta, procesa ili sustava koji se proučava.

Razmotrimo još jedan primjer: proučavanje kretanja mehanizma radilice (slika 2.1).

Riža. 2.1.

Za kinematičku analizu ovog mehanizma, prije svega, potrebno je izgraditi njegov kinematski model. Za ovo:

1. Zamjenjujemo mehanizam njegovom kinematičkom shemom, gdje su sve karike zamijenjene krutim karikama;

2. Pomoću ove sheme izvodimo jednadžbu gibanja mehanizma;

3. Diferenciranjem potonjih dobivamo jednadžbe brzina i ubrzanja, koje su diferencijalne jednadžbe 1. i 2. reda.

Napišimo ove jednadžbe:

gdje je C 0 krajnji desni položaj klizača C:

r je radijus koljena AB;

l je duljina klipnjače BC;

- kut zakretanja ručice;

Rezultirajuće transcendentalne jednadžbe predstavljaju matematički model gibanja ravnog aksijalnog pogonskog mehanizma koji se temelji na sljedećim pojednostavljenim pretpostavkama:

1. Nismo bili zainteresirani za konstruktivne oblike i raspored masa uključenih u mehanizam tijela, te smo sva tijela mehanizma zamijenili segmentima linija. Zapravo, sve veze mehanizma imaju masu i prilično složen oblik. Na primjer, klipnjača je složena montažna veza, čiji će oblik i dimenzije, naravno, utjecati na kretanje mehanizma;

2. prilikom konstruiranja matematičkog modela kretanja mehanizma koji se razmatra, također nismo uzeli u obzir elastičnost tijela uključenih u mehanizam, tj. sve karike su smatrane apstraktnim apsolutno krutim tijelima. Zapravo, sva tijela uključena u mehanizam - elastična tijela. Kada se mehanizam pomiče, oni će se nekako deformirati, u njima se čak mogu pojaviti elastične vibracije. Sve će to, naravno, također utjecati na kretanje mehanizma;

3. nismo uzeli u obzir grešku izrade karika, praznine u kinematičkim parovima A, B, C itd.

Stoga je važno još jednom naglasiti da što su veći zahtjevi za točnost rezultata rješavanja problema, to je veća potreba za uzimanjem u obzir značajki predmeta, procesa ili sustava koji se proučava prilikom konstruiranja matematičkog modela. Međutim, ovdje je važno stati na vrijeme, jer se složeni matematički model može pretvoriti u težak zadatak.

Model je najjednostavnije izgrađen kada su dobro poznati zakoni koji određuju ponašanje i svojstva nekog objekta, procesa ili sustava, te postoji veliko praktično iskustvo u njihovoj primjeni.

Više teška situacija nastaje kada je naše znanje o predmetu, procesu ili sustavu koji proučavamo nedovoljno. U tom slučaju, prilikom konstruiranja matematičkog modela potrebno je napraviti dodatne pretpostavke koje su u prirodi hipoteze, a takav model se naziva hipotetski. Zaključci izvedeni iz proučavanja takvog hipotetskog modela su uvjetni. Kako bi se potvrdili zaključci, potrebno je usporediti rezultate proučavanja modela na računalu s rezultatima eksperimenta u punoj veličini. Dakle, pitanje primjenjivosti određenog matematičkog modela na proučavanje predmeta, procesa ili sustava koji se razmatra nije matematičko pitanje i ne može se riješiti matematičkim metodama.

Glavni kriterij istine je eksperiment, praksa u najširem smislu riječi.

Izgradnja matematičkog modela u primijenjenim problemima jedna je od najsloženijih i najodgovornijih faza rada. Iskustvo pokazuje da u mnogim slučajevima odabir pravog modela znači više od pola rješenja problema. Teškoća ove faze je u tome što zahtijeva kombinaciju matematičkih i posebnih znanja. Stoga je vrlo važno da pri rješavanju primijenjenih problema matematičari posjeduju posebna znanja o predmetu, a njihovi partneri specijalisti određenu matematičku kulturu, istraživačko iskustvo u svom području, poznavanje računala i programiranja.

Predavanje 3. Računalno modeliranje i računalni eksperiment. Rješavanje matematičkih modela

Računalna simulacija kao nova metoda znanstveno istraživanje temelji se na:

1. izgradnja matematičkih modela za opisivanje procesa koji se proučavaju;

2. koriste najnovija računala velike brzine (milijuni operacija u sekundi) i sposobna za vođenje dijaloga s osobom.

Suština računalne simulacije je sljedeća: na temelju matematičkog modela uz pomoć računala provodi se niz računalnih eksperimenata, tj. proučavaju se svojstva objekata ili procesa, pronalaze im se optimalni parametri i načini rada, dorađuje se model. Na primjer, ako imate jednadžbu koja opisuje tijek određenog procesa, možete promijeniti njegove koeficijente, početne i rubne uvjete te istražiti kako će se objekt u tom slučaju ponašati. Štoviše, moguće je predvidjeti ponašanje objekta u različitim uvjetima.

Računalni eksperiment omogućuje zamjenu skupog eksperimenta u punoj veličini računalnim izračunima. Omogućuje u kratkom vremenu i bez značajnih materijalnih troškova provedbu studije velikog broja opcija projektiranog objekta ili procesa za različite načine njegovog rada, što značajno smanjuje vrijeme potrebno za razvoj složenih sustava i njihovo uvođenje u proizvodnju.

Računalno modeliranje i računalni eksperiment kao nova metoda znanstvenog istraživanja zahtijeva poboljšanje matematičkog aparata koji se koristi u konstrukciji matematičkih modela, omogućuje, korištenjem matematičkih metoda, usavršavanje i kompliciranje matematičkih modela. Za provođenje računalnog eksperimenta najviše obećava njegova uporaba za rješavanje velikih znanstvenih, tehničkih i socioekonomskih problema našeg vremena (projektiranje reaktora za nuklearne elektrane, projektiranje brana i hidroelektrana, magnetohidrodinamičkih pretvarača energije, te u području ekonomije - izrada uravnoteženog plana za industriju, regiju, državu itd.).

U nekim procesima gdje je eksperiment u punom opsegu opasan za život i zdravlje ljudi, računalni eksperiment je jedini mogući (termonuklearna fuzija, istraživanje svemira, dizajn i istraživanje kemijske i drugih industrija).

Kako bi se provjerila primjerenost matematičkog modela i stvarnog objekta, procesa ili sustava, rezultati istraživanja na računalu uspoređuju se s rezultatima eksperimenta na eksperimentalnom uzorku u punoj mjeri. Rezultati verifikacije koriste se za korekciju matematičkog modela ili se odlučuje o primjenjivosti izgrađenog matematičkog modela za projektiranje ili proučavanje zadanih objekata, procesa ili sustava.

Zaključno, još jednom naglašavamo da računalna simulacija i računalni eksperiment omogućuju smanjenje proučavanja "nematematičkog" objekta na rješenje matematičkog problema. Time se otvara mogućnost korištenja dobro razvijenog matematičkog aparata za njegovo proučavanje u kombinaciji s moćnom računalnom tehnologijom. To je osnova za korištenje matematike i računala za poznavanje zakonitosti stvarnog svijeta i njihovu primjenu u praksi.

U zadacima projektiranja ili proučavanja ponašanja stvarnih objekata, procesa ili sustava, matematički modeli su u pravilu nelinearni, jer moraju odražavati stvarne fizikalne nelinearne procese koji se u njima odvijaju. Pritom su parametri (varijable) ovih procesa međusobno povezani fizikalnim nelinearnim zakonima. Stoga se u problemima projektiranja ili proučavanja ponašanja realnih objekata, procesa ili sustava najčešće koriste matematički modeli tipa DND.

Prema klasifikaciji danoj u predavanju 1:

D - model je deterministički, nema (točnije ne uzima se u obzir) utjecaja slučajnih procesa.

H - model je kontinuiran, informacije i parametri su kontinuirani.

A - analitički model, funkcioniranje modela opisano je u obliku jednadžbi (linearne, nelinearne, sustavi jednadžbi, diferencijalne i integralne jednadžbe).

Dakle, izgradili smo matematički model razmatranog objekta, procesa ili sustava, tj. predstavio primijenjeni problem kao matematički. Nakon toga započinje druga faza rješavanja primijenjenog problema - traženje ili razvoj metode za rješavanje formuliranog matematičkog problema. Metoda bi trebala biti prikladna za implementaciju na računalu, osigurati potrebnu kvalitetu rješenja.

Sve metode rješavanja matematičkih problema mogu se podijeliti u 2 skupine:

1. točne metode rješavanja problema;

2. numeričke metode rješavanja problema.

U egzaktnim metodama rješavanja matematičkih problema odgovor se može dobiti u obliku formula.

Na primjer, izračunavanje korijena kvadratna jednadžba:

ili, na primjer, izračunavanje izvedenih funkcija:

ili izračun određenog integrala:

Međutim, zamjenom brojeva u formulu kao konačnih decimalnih razlomaka, još uvijek dobivamo približne vrijednosti rezultata.

Za većinu problema koji se susreću u praksi, točne metode rješenja su ili nepoznate ili daju vrlo glomazne formule. Međutim, oni nisu uvijek potrebni. Primijenjeni problem se može smatrati praktično riješenim ako ga možemo riješiti sa potrebnim stupnjem točnosti.

Za rješavanje takvih problema razvijene su numeričke metode u kojima se rješavanje složenih matematičkih problema svodi na uzastopno izvođenje velikog broja jednostavnih aritmetičkih operacija. Izravni razvoj numeričkih metoda pripada računskoj matematici.

Primjer numeričke metode je metoda pravokutnika za približnu integraciju, koja ne zahtijeva izračun antiderivacije za integrand. Umjesto integrala izračunava se konačni kvadraturni zbroj:

x 1 =a - donja granica integracije;

x n+1 =b – gornja granica integracije;

n je broj segmenata na koje je podijeljen integracijski interval (a,b);

je duljina elementarnog segmenta;

f(x i) je vrijednost integranda na krajevima elementarnih segmenata integracije.

Kako više broja segmenta n na koje je podijeljen interval integracije, to je približno rješenje bliže pravom, tj. što je rezultat točniji.

Dakle, u primijenjenim problemima iu primjeni precizne metode rješenje, a pri korištenju numeričkih metoda rješavanja rezultati proračuna su približni. Važno je samo osigurati da se pogreške uklapaju unutar tražene točnosti.

Numeričke metode rješavanja matematičkih problema poznate su odavno, čak i prije pojave računala, ali su se rijetko koristile i to samo u relativno jednostavnim slučajevima zbog iznimne složenosti izračuna. Raširena uporaba numeričkih metoda postala je moguća zahvaljujući računalima.

Matematičko modeliranje

1. Što je matematičko modeliranje?

Od sredine XX. stoljeća. u raznim područjima ljudske djelatnosti počele su se široko koristiti matematičke metode i računala. Pojavile su se nove discipline kao što su "matematička ekonomija", "matematička kemija", "matematička lingvistika" itd., koje proučavaju matematičke modele odgovarajućih objekata i pojava, kao i metode za proučavanje tih modela.

Matematički model je približan opis bilo koje klase pojava ili objekata stvarnog svijeta jezikom matematike. Glavna svrha modeliranja je istraživanje tih objekata i predviđanje rezultata budućih promatranja. Međutim, modeliranje je također metoda spoznaje okolnog svijeta, koja omogućuje njegovo upravljanje.

Matematičko modeliranje i pridruženi računalni eksperiment neophodni su u slučajevima kada je eksperiment u punoj veličini nemoguć ili težak iz jednog ili drugog razloga. Na primjer, ne može se postaviti cjeloviti eksperiment u povijesti da se provjeri “što bi se dogodilo da...” Nemoguće je provjeriti točnost jedne ili druge kozmološke teorije. Načelno je moguće, ali teško razumno, eksperimentirati sa širenjem neke bolesti, poput kuge, ili izvesti nuklearnu eksploziju kako bi se proučavale njezine posljedice. Međutim, sve se to može učiniti na računalu, nakon što su prethodno izgrađeni matematički modeli fenomena koji se proučavaju.

2. Glavne faze matematičkog modeliranja

1) Izrada modela. U ovoj fazi specificira se neki "nematematički" objekt - prirodni fenomen, građevina, gospodarski plan, proizvodni proces itd. U ovom slučaju, u pravilu, jasan opis situacije je težak. Najprije se utvrđuju glavne značajke fenomena i njihov odnos na kvalitativnoj razini. Zatim se pronađene kvalitativne ovisnosti formuliraju jezikom matematike, odnosno gradi se matematički model. Ovo je najteži dio modeliranja.

2) Rješavanje matematičkog problema do kojeg vodi model. U ovoj se fazi velika pažnja posvećuje razvoju algoritama i numeričkih metoda za rješavanje problema na računalu, uz pomoć kojih se rezultat može pronaći s potrebnom točnošću iu prihvatljivom vremenu.

3) Interpretacija dobivenih posljedica iz matematičkog modela. Posljedice izvedene iz modela jezikom matematike tumače se jezikom prihvaćenim u ovom području.

4) Provjera adekvatnosti modela. U ovoj se fazi utvrđuje slažu li se rezultati eksperimenta s teorijskim posljedicama iz modela unutar određene točnosti.

5) Modifikacija modela. U ovoj fazi ili se model usložnjava kako bi bio primjereniji stvarnosti ili se pojednostavljuje kako bi se postiglo praktično prihvatljivo rješenje.

3. Klasifikacija modela

Modeli se mogu klasificirati prema različitim kriterijima. Na primjer, prema prirodi problema koji se rješavaju, modeli se mogu podijeliti na funkcionalne i strukturne. U prvom slučaju, sve veličine koje karakteriziraju pojavu ili predmet izražene su kvantitativno. Pritom se neke od njih smatraju nezavisnim varijablama, dok se druge smatraju funkcijama tih veličina. Matematički model obično je sustav jednadžbi različitih vrsta (diferencijalne, algebarske, itd.) koje uspostavljaju kvantitativne odnose između veličina koje se razmatraju. U drugom slučaju, model karakterizira strukturu složenog objekta koji se sastoji od zasebnih dijelova između kojih postoje određene veze. Tipično, ti se odnosi ne mogu kvantificirati. Za izradu takvih modela prikladno je koristiti teoriju grafova. Graf je matematički objekt koji je skup točaka (vrhova) na ravnini ili u prostoru, od kojih su neke povezane linijama (brdovima).

Prema prirodi početnih podataka i rezultata predviđanja, modeli se mogu podijeliti na determinističke i probabilističko-statističke. Modeli prvog tipa daju definitivna, nedvosmislena predviđanja. Modeli druge vrste temelje se na statističkim informacijama, a predviđanja dobivena uz njihovu pomoć su vjerojatnosne prirode.

4. Primjeri matematičkih modela

1) Problemi o kretanju projektila.

Razmotrimo sljedeći problem u mehanici.

Projektil se lansira sa Zemlje početnom brzinom v 0 = 30 m/s pod kutom a = 45° u odnosu na njezinu površinu; potrebno je pronaći putanju njegovog kretanja i udaljenost S između početne i krajnje točke te putanje.

Zatim, kao što je poznato iz školskog tečaja fizike, kretanje projektila opisuje se formulama:

gdje je t - vrijeme, g = 10 m / s 2 - ubrzanje slobodnog pada. Ove formule daju matematički model zadatka. Izražavajući t kroz x iz prve jednadžbe i zamjenjujući ga u drugu, dobivamo jednadžbu za putanju projektila:

Ova krivulja (parabola) siječe x-os u dvije točke: x 1 \u003d 0 (početak putanje) i (mjesto pada projektila). Zamjenom zadanih vrijednosti v0 i a u dobivene formule dobivamo

odgovor: y \u003d x - 90x 2, S \u003d 90 m.

Imajte na umu da je u izradi ovog modela korišten niz pretpostavki: na primjer, pretpostavlja se da je Zemlja ravna, a zrak i rotacija Zemlje ne utječu na kretanje projektila.

2) Problem spremnika s najmanjom površinom.

Potrebno je pronaći visinu h 0 i polumjer r 0 limenog spremnika volumena V = 30 m 3, koji ima oblik zatvorenog kružnog valjka, pri čemu je njegova površina S minimalna (u ovom slučaju, najmanja količina kositra će ići u njegovu proizvodnju).

Zapisujemo sljedeće formule za volumen i površinu cilindra visine h i polumjera r:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

Izražavajući h u smislu r i V iz prve formule i zamjenjujući dobiveni izraz u drugu, dobivamo:

Dakle, s matematičkog stajališta problem se svodi na određivanje vrijednosti r pri kojoj funkcija S(r) doseže svoj minimum. Nađimo one vrijednosti r 0 za koje je izvod

ide na nulu: Možete provjeriti da druga derivacija funkcije S(r) mijenja predznak iz minusa u plus kada argument r prolazi kroz točku r 0 . Dakle, funkcija S(r) ima minimum u točki r0. Odgovarajuća vrijednost h 0 = 2r 0 . Zamjenom zadane vrijednosti V u izraz za r 0 i h 0 dobivamo željeni radijus i visine

3) Prijevozni zadatak.

U gradu postoje dva skladišta brašna i dvije pekare. Dnevno se iz prvog skladišta izveze 50 tona brašna, a iz drugog 70 tona u tvornice, i to 40 tona u prvo i 80 tona u drugo.

Označimo sa a ij trošak transporta 1 tone brašna od i-tog skladišta do j-ta biljka(i, j = 1,2). Neka

a 11 \u003d 1,2 str., a 12 \u003d 1,6 str., a 21 \u003d 0,8 p., a 22 = 1 str.

Kako planirati prijevoz da njihov trošak bude minimalan?

Dajmo problemu matematičku formulaciju. Označavamo s x 1 i x 2 količinu brašna koju treba prevesti iz prvog skladišta u prvu i drugu tvornicu, a kroz x 3 i x 4 - iz drugog skladišta u prvu, odnosno drugu tvornicu. Zatim:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Ukupni trošak cjelokupnog prijevoza određuje se formulom

f = 1,2x1 + 1,6x2 + 0,8x3 + x4.

S matematičkog stajališta, zadatak je pronaći četiri broja x 1 , x 2 , x 3 i x 4 koji zadovoljavaju sve zadane uvjete i daju minimum funkcije f. Riješimo sustav jednadžbi (1) s obzirom na xi (i = 1, 2, 3, 4) metodom eliminacije nepoznanica. Shvaćamo to

x 1 \u003d x 4 - 30, x 2 \u003d 80 - x 4, x 3 \u003d 70 - x 4, (2)

a x 4 ne može se jednoznačno odrediti. Budući da je x i i 0 (i = 1, 2, 3, 4), iz jednadžbi (2) slijedi da je 30J x 4 J 70. Zamjenom izraza za x 1 , x 2 , x 3 u formulu za f, dobivamo

f \u003d 148 - 0,2x 4.

Lako je vidjeti da se minimum ove funkcije postiže pri maksimalnoj mogućoj vrijednosti x 4, odnosno pri x 4 = 70. Odgovarajuće vrijednosti ostalih nepoznanica određene su formulama (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Problem radioaktivnog raspada.

Neka je N(0) početni broj atoma radioaktivne tvari, a N(t) broj neraspadnutih atoma u trenutku t. Eksperimentalno je utvrđeno da je brzina promjene broja ovih atoma N "(t) proporcionalna N (t), odnosno N" (t) \u003d -l N (t), l > 0 je konstanta radioaktivnosti određene tvari. U školskom tečaju matematičke analize pokazuje se da rješenje ove diferencijalne jednadžbe ima oblik N(t) = N(0)e –l t . Vrijeme T, tijekom kojeg se broj početnih atoma prepolovio, naziva se poluživotom i važna je karakteristika radioaktivnosti tvari. Za određivanje T, potrebno je staviti u formulu Zatim Na primjer, za radon l = 2,084 10–6, pa je stoga T = 3,15 dana.

5) Problem trgovačkog putnika.

Trgovački putnik koji živi u gradu A 1 treba posjetiti gradove A 2 , A 3 i A 4 , svaki grad točno jednom, a zatim se vratiti natrag u A 1 . Poznato je da su svi gradovi u parovima povezani cestama, a duljine cesta b ij između gradova A i i A j (i, j = 1, 2, 3, 4) su sljedeće:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Potrebno je odrediti redoslijed posjećivanja gradova, u kojima je duljina odgovarajuće staze minimalna.

Oslikajmo svaki grad kao točku na ravnini i označimo ga odgovarajućom oznakom Ai (i = 1, 2, 3, 4). Povežimo ove točke segmentima linija: one će prikazati ceste između gradova. Za svaku “cestu” navodimo njezinu duljinu u kilometrima (slika 2). Rezultat je graf - matematički objekt koji se sastoji od određenog skupa točaka na ravnini (zvanih vrhovi) i određenog skupa linija koje povezuju te točke (zvanih bridovi). Štoviše, ovaj graf je označen, budući da su neke oznake dodijeljene njegovim vrhovima i rubovima - brojevi (brdovi) ili simboli (vrhovi). Ciklus na grafu je niz vrhova V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 takav da su vrhovi V 1 , ..., V k različiti, a svaki par vrhova V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) i par V 1 , V k spojeni su bridom. Dakle, problem koji razmatramo je pronaći takav ciklus na grafu koji prolazi kroz sva četiri vrha za koji je zbroj svih težina bridova minimalan. Pretražimo sve različite cikluse koji prolaze kroz četiri vrha i počinju od A 1:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .

Nađimo sada duljine ovih ciklusa (u km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Dakle, ruta najmanje duljine je prva.

Imajte na umu da ako u grafu ima n vrhova i da su svi vrhovi povezani u parovima bridovima (takav graf se naziva potpun), tada je broj ciklusa koji prolaze kroz sve vrhove jednak. Dakle, u našem slučaju postoje točno tri ciklusa .

6) Problem pronalaženja veze između strukture i svojstava tvari.

Razmotrite nekoliko kemijskih spojeva koji se nazivaju normalni alkani. Sastoje se od n atoma ugljika i n + 2 atoma vodika (n = 1, 2 ...), međusobno povezanih kao što je prikazano na slici 3 za n = 3. Neka budu poznate eksperimentalne vrijednosti vrelišta ovih spojeva:

y e (3) = - 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Za ove spojeve potrebno je pronaći približan odnos između vrelišta i broja n. Pretpostavljamo da ova ovisnost ima oblik

y » a n+b

Gdje a, b - konstante koje treba odrediti. Za pronalaženje a i b u ovu formulu uzastopno zamijenimo n = 3, 4, 5, 6 i odgovarajuće vrijednosti vrelišta. Imamo:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+b.

Da bi se odredio najbolji a i b postoji mnogo različitih metoda. Iskoristimo najjednostavniji od njih. Izražavamo b u smislu a iz ovih jednadžbi:

b" - 42 - 3 a, b » – 4 a, b » 28 – 5 a, b » 69 – 6 a.

Uzmimo kao željeni b aritmetičku sredinu ovih vrijednosti, tj. stavimo b » 16 - 4,5 a. Zamijenimo ovu vrijednost b u izvornom sustavu jednadžbi i izračunajmo a, dobivamo za a sljedeće vrijednosti: a» 37, a» 28, a» 28, a» 36 a prosječnu vrijednost tih brojeva, odnosno postavljamo a» 34. Dakle, tražena jednadžba ima oblik

y » 34n – 139.

Provjerimo točnost modela na početna četiri spoja, za koje izračunavamo vrelišta pomoću dobivene formule:

y r (3) = – 37°, y r (4) = – 3°, y r (5) = 31°, y r (6) = 65°.

Dakle, pogreška proračuna ovog svojstva za ove spojeve ne prelazi 5°. Koristimo dobivenu jednadžbu za izračunavanje vrelišta spoja s n = 7, koji nije uključen u početni skup, za koji smo zamijenili n = 7 u ovu jednadžbu: y r (7) = 99°. Rezultat se pokazao prilično točnim: poznato je da je eksperimentalna vrijednost vrelišta y e (7) = 98°.

7) Problem određivanja pouzdanosti električnog kruga.

Ovdje ćemo razmotriti primjer probabilističkog modela. Prvo, dajmo neke informacije iz teorije vjerojatnosti - matematičke discipline koja proučava obrasce slučajnih pojava uočenih tijekom opetovanog ponavljanja eksperimenta. Nazovimo slučajni događaj A mogućim ishodom nekog iskustva. Događaji A 1 , ..., A k čine potpunu skupinu ako se jedan od njih nužno dogodi kao rezultat pokusa. Događaji se nazivaju nekompatibilnim ako se ne mogu pojaviti istovremeno u istom iskustvu. Neka se događaj A dogodi m puta tijekom n-strukog ponavljanja pokusa. Učestalost događaja A je broj W = . Očito, vrijednost W ne može se točno predvidjeti dok se ne provede niz od n eksperimenata. Međutim, priroda slučajnih događaja je takva da se u praksi ponekad opaža sljedeći učinak: povećanjem broja eksperimenata vrijednost praktički prestaje biti slučajna i stabilizira se oko nekog neslučajnog broja P(A), koji se naziva vjerojatnost događaja A. Za nemogući događaj (koji se nikada ne dogodi u eksperimentu) P(A)=0, a za određeni događaj (koji se uvijek dogodi u eksperimentu) P(A)=1. Ako događaji A 1 , ..., A k čine potpunu skupinu nekompatibilnih događaja, tada je P(A 1)+...+P(A k)=1.

Neka se, na primjer, iskustvo sastoji u bacanju kocke i promatranju broja ispuštenih bodova X. Tada možemo uvesti sljedeće slučajne događaje A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Oni tvore potpuna skupina nekompatibilnih jednako vjerojatnih događaja, stoga je P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Zbroj događaja A i B je događaj A + B, koji se sastoji u tome da se barem jedan od njih dogodi u pokusu. Umnožak događaja A i B je događaj AB, koji se sastoji u istovremenom događanju tih događaja. Za nezavisne događaje A i B, formule su točne

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Razmotrite sada sljedeće zadatak. Pretpostavimo da su tri elementa spojena u seriju u električni krug, radeći neovisno jedan o drugom. Vjerojatnosti kvara 1., 2. i 3. elementa su redom P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Krug ćemo smatrati pouzdanim ako vjerojatnost da u krugu neće biti struje nije veća od 0,4. Potrebno je utvrditi je li dati lanac pouzdan.

Budući da su elementi spojeni u seriju, neće biti struje u strujnom krugu (događaj A) ako barem jedan od elemenata pokvari. Neka je A i događaj koji i-ti element radi (i = 1, 2, 3). Tada je P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Očito, A 1 A 2 A 3 je događaj da sva tri elementa rade istovremeno, i

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.

Tada je P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, pa je P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Zaključno, napominjemo da su navedeni primjeri matematičkih modela (među kojima ima funkcionalnih i strukturnih, determinističkih i probabilističkih) ilustrativni i očito ne iscrpljuju svu raznolikost matematičkih modela koji se pojavljuju u prirodnim i humanističkim znanostima.

Pojam modela i simulacije.

Model u širem smislu- ovo je svaka slika, analogija mentalne ili ustaljene slike, opis, dijagram, crtež, karta itd. bilo kojeg volumena, procesa ili fenomena, koji se koristi kao njegova zamjena ili predstavnik. Sam objekt, proces ili pojava naziva se izvornik ovog modela.

Modeliranje - ovo je proučavanje bilo kojeg objekta ili sustava objekata izgradnjom i proučavanjem njihovih modela. To je korištenje modela za određivanje ili doradu karakteristika i racionalizaciju načina konstruiranja novoizgrađenih objekata.

Svaka metoda znanstvenog istraživanja temelji se na ideji modeliranja, pri čemu se u teorijskim metodama koriste različite vrste znakova, apstraktni modeli, au eksperimentalnim predmetni modeli.

U studiju se složena stvarna pojava zamjenjuje nekom pojednostavljenom kopijom ili shemom, ponekad takva kopija služi samo za pamćenje i prepoznavanje željene pojave pri sljedećem susretu. Ponekad konstruirana shema odražava neke bitne značajke, omogućuje vam razumijevanje mehanizma fenomena, omogućuje predviđanje njegove promjene. Isti fenomen može odgovarati različiti modeli.

Zadatak istraživača je predvidjeti prirodu pojave i tijek procesa.

Ponekad se dogodi da je predmet dostupan, ali su eksperimenti s njim skupi ili dovode do ozbiljnih ekoloških posljedica. Do znanja o takvim procesima dolazi se uz pomoć modela.

Važna točka je da sama priroda znanosti ne uključuje proučavanje jednog specifičnog fenomena, već široke klase srodnih fenomena. To podrazumijeva potrebu formuliranja nekih općih kategoričkih izjava, koje se nazivaju zakonima. Naravno, kod takve formulacije mnogi su detalji zanemareni. Kako bi jasnije identificirali obrazac, oni namjerno idu na ogrubljivanje, idealizaciju, shematičnost, odnosno ne proučavaju samu pojavu, već više ili manje točnu kopiju ili model iste. Svi su zakoni zakoni o modelima i stoga ne čudi da se s vremenom neke znanstvene teorije pokažu neupotrebljivima. To ne dovodi do kolapsa znanosti, budući da je jedan model zamijenjen drugim. više moderno.

Posebnu ulogu u znanosti imaju matematički modeli, građa i alati tih modela - matematički pojmovi. Oni su se nakupljali i poboljšavali tisućama godina. Moderna matematika pruža iznimno snažna i univerzalna sredstva istraživanja. Gotovo svaki pojam u matematici, svaki matematički objekt, počevši od pojma broja, matematički je model. Prilikom izgradnje matematičkog modela predmeta ili pojave koji se proučava, razlikuju se one njegove značajke, značajke i detalji koji, s jedne strane, sadrže manje ili više potpune informacije o objektu, a, s druge strane, omogućuju matematičku formalizacija. Matematička formalizacija znači da se značajke i detalji objekta mogu povezati s odgovarajućim odgovarajućim matematičkim konceptima: brojevima, funkcijama, matricama i tako dalje. Tada se veze i odnosi koji se nalaze i pretpostavljaju u predmetu koji se proučava između njegovih pojedinih dijelova i komponenti mogu napisati pomoću matematičkih odnosa: jednakosti, nejednakosti, jednadžbi. Rezultat je matematički opis procesa ili pojave koji se proučava, odnosno njegov matematički model.

Proučavanje matematičkog modela uvijek je povezano s nekim pravilima djelovanja na objekte koji se proučavaju. Ova pravila odražavaju odnose između uzroka i posljedica.

Izgradnja matematičkog modela središnja je faza u proučavanju ili dizajnu bilo kojeg sustava. Cjelokupna naknadna analiza objekta ovisi o kvaliteti modela. Izrada modela nije formalni postupak. To jako ovisi o istraživaču, njegovom iskustvu i ukusu, uvijek se oslanja na određeni eksperimentalni materijal. Model treba biti dovoljno točan, primjeren i prikladan za korištenje.

Matematičko modeliranje.

Klasifikacija matematičkih modela.

Matematički modeli mogu bitiodlučan I stohastički .

Deterministički model i - to su modeli u kojima se uspostavlja korespondencija jedan na jedan između varijabli koje opisuju predmet ili pojavu.

Ovaj pristup temelji se na poznavanju mehanizma funkcioniranja objekata. Objekt koji se modelira često je složen i dešifriranje njegovog mehanizma može biti vrlo naporno i dugotrajno. U tom slučaju postupaju na sljedeći način: provode se eksperimenti na originalu, rezultati se obrađuju i, ne upuštajući se u mehanizam i teoriju modeliranog objekta, metodama matematičke statistike i teorije vjerojatnosti utvrđuju se odnosi između varijable koje opisuju objekt. U ovom slučaju, dobitistohastički model . U stohastički modelu, odnos između varijabli je slučajan, ponekad se događa fundamentalno. Utjecaj velikog broja čimbenika, njihova kombinacija dovodi do slučajnog skupa varijabli koje opisuju predmet ili pojavu. Po prirodi modusa model jestatistički I dinamičan.

Statističkimodeluključuje opis odnosa između glavnih varijabli simuliranog objekta u stabilnom stanju bez uzimanja u obzir promjene parametara tijekom vremena.

U dinamičanmodeliopisuje odnos između glavnih varijabli simuliranog objekta pri prijelazu iz jednog načina rada u drugi.

Modeli su diskretna I stalan, i mješoviti tip. U stalan varijable uzimaju vrijednosti iz određenog intervala, udiskretnavarijable uzimaju izolirane vrijednosti.

Linearni modeli- sve funkcije i relacije koje opisuju model linearno su ovisne o varijablama inije linearnainače.

Matematičko modeliranje.

Zahtjevi , predstavili modelima.

1. Svestranost- karakterizira cjelovitost prikaza modelom proučavanih svojstava stvarnog objekta.

Adekvatnost - sposobnost odražavanja željenih svojstava objekta s pogreškom koja nije veća od navedene.
Točnost - procjenjuje se stupnjem podudarnosti vrijednosti karakteristika stvarnog objekta i vrijednosti tih karakteristika dobivenih pomoću modela.
Ekonomija - određuje se troškovima memorijskih resursa računala i vremenom za njegovu implementaciju i rad.

Matematičko modeliranje.

Glavne faze modeliranja.

1. Izjava problema.

Određivanje svrhe analize i načina za njezino postizanje te razvijanje zajedničkog pristupa proučavanom problemu. U ovoj fazi potrebno je duboko razumijevanje suštine zadatka. Ponekad nije manje teško ispravno postaviti zadatak nego ga riješiti. Inscenacija nije formalan proces, Opća pravila Ne.

2. Proučavanje teorijskih temelja i prikupljanje podataka o predmetu izvornika.

U ovoj fazi odabire se ili razvija odgovarajuća teorija. Ako ga nema, uspostavljaju se uzročne veze između varijabli koje opisuju objekt. Utvrđeni su ulazni i izlazni podaci, napravljene su pojednostavljene pretpostavke.

3. Formalizacija.

Sastoji se od odabira sustava simbola i njihove uporabe za zapisivanje odnosa između komponenti predmeta u obliku matematičkih izraza. Uspostavljena je klasa zadataka kojoj se može pripisati dobiveni matematički model objekta. Vrijednosti nekih parametara u ovoj fazi možda još nisu navedene.

4. Izbor metode rješenja.

U ovoj fazi se postavljaju konačni parametri modela, uzimajući u obzir uvjete za rad objekta. Za dobiveni matematički problem odabire se metoda rješenja ili se razvija posebna metoda. Prilikom odabira metode uzimaju se u obzir znanje korisnika, njegove preferencije, kao i preferencije programera.

5. Implementacija modela.

Razvijenim algoritmom napiše se program koji se otklanja, testira i dobiva rješenje željenog problema.

6. Analiza primljenih informacija.

Uspoređuje se primljeno i očekivano rješenje, kontrolira pogreška modeliranja.

7. Provjera prikladnosti stvarnog objekta.

Uspoređuju se rezultati dobiveni modelombilo s dostupnim informacijama o objektu, ili se provodi eksperiment i njegovi se rezultati uspoređuju s izračunatim.

Proces modeliranja je iterativan. U slučaju nezadovoljavajućih rezultata faza 6. ili 7. provodi se povratak u jednu od ranih faza, što bi moglo dovesti do razvoja neuspješnog modela. Ova faza i sve naredne faze se dorađuju, a takva dorada modela se događa sve dok se ne dobiju prihvatljivi rezultati.

1.1.2 2. Glavne faze matematičkog modeliranja

1) Izrada modela. U ovoj fazi specificira se neki "nematematički" objekt - prirodni fenomen, građevina, gospodarski plan, proizvodni proces itd. U ovom slučaju, u pravilu, jasan opis situacije je težak. Najprije se utvrđuju glavne značajke fenomena i njihov odnos na kvalitativnoj razini. Zatim se pronađene kvalitativne ovisnosti formuliraju jezikom matematike, odnosno gradi se matematički model. Ovo je najteži dio modeliranja.

2) Rješavanje matematičkog problema do kojeg vodi model. U ovoj se fazi velika pažnja posvećuje razvoju algoritama i numeričkih metoda za rješavanje problema na računalu, uz pomoć kojih se rezultat može pronaći s potrebnom točnošću iu prihvatljivom vremenu.

3) Interpretacija dobivenih posljedica iz matematičkog modela.Posljedice izvedene iz modela jezikom matematike tumače se jezikom prihvaćenim u ovom području.

4) Provjera adekvatnosti modela.U ovoj se fazi utvrđuje slažu li se rezultati eksperimenta s teorijskim posljedicama iz modela unutar određene točnosti.

5) Modifikacija modela.U ovoj fazi ili se model usložnjava kako bi bio primjereniji stvarnosti ili se pojednostavljuje kako bi se postiglo praktično prihvatljivo rješenje.

1.1.3 3. Klasifikacija modela

MATEMATIČKO MODELIRANJE I OPĆA KOMPJUTERIZACIJA ILI SIMULACIONI MODELI

Sada, kada se u zemlji odvija gotovo univerzalna informatizacija, mogu se čuti izjave stručnjaka raznih struka: "Uvedimo računalo u našu zemlju, tada će se svi zadaci odmah riješiti." Ovakvo gledište potpuno je pogrešno, sama računala ne mogu ništa bez matematičkih modela određenih procesa, a o sveopćoj informatizaciji može se samo sanjati.

U prilog navedenom, pokušat ćemo opravdati potrebu za modeliranjem, uključujući matematičko modeliranje, otkriti njegove prednosti u poznavanju i transformaciji vanjskog svijeta od strane osobe, identificirati postojeće nedostatke i prijeći ... na simulacijsko modeliranje, tj. modeliranje pomoću računala. Ali sve je u redu.

Prije svega, odgovorimo na pitanje: što je model?

Model je materijalni ili misaono prikazani objekt koji u procesu spoznaje (proučavanja) zamjenjuje original, zadržavajući neka tipična svojstva koja su važna za ovo proučavanje.

Dobro izgrađen model je pristupačniji za istraživanje od stvarnog objekta. Na primjer, eksperimenti s gospodarstvom zemlje u obrazovne svrhe su neprihvatljivi, ovdje se ne može bez modela.

Rezimirajući rečeno, možemo odgovoriti na pitanje čemu služe modeli? Da bi

razumjeti kako objekt funkcionira (njegova struktura, svojstva, zakonitosti razvoja, interakcija s vanjskim svijetom).
naučiti upravljati objektom (procesom) i odrediti najbolje strategije
predvidjeti posljedice udara na objekt.

Što je pozitivno u bilo kojem modelu? Omogućuje vam da dobijete nova znanja o predmetu, ali, nažalost, nije potpuna u jednom ili drugom stupnju.

Modelformuliran jezikom matematike pomoću matematičkih metoda naziva se matematički model.

Polazna točka za njegovu izgradnju obično je neki zadatak, na primjer, ekonomski. Široko rasprostranjen, i opisni i optimizacijski matematički, karakterizirajući različite ekonomski procesi i događaje kao što su:

alokacija resursa
racionalno rezanje
prijevoz
okrupnjavanje poduzeća
mrežno planiranje.

Kako se gradi matematički model?

Prvo se formuliraju svrha i predmet studije.
Drugo, istaknute su najvažnije karakteristike koje odgovaraju ovom cilju.
Treće, verbalno se opisuju odnosi između elemenata modela.
Nadalje, odnos je formaliziran.
A proračun se provodi prema matematičkom modelu i analizi dobivenog rješenja.

Korištenje ovaj algoritam moguće je riješiti bilo koji problem optimizacije, uključujući i onaj s više ciljeva, tj. onaj u kojem se teži ne jednom, nego nekoliko ciljeva, uključujući i proturječne.

Uzmimo primjer. Teorija čekanja – problem čekanja. Morate uravnotežiti dva faktora - trošak održavanja servisnih uređaja i trošak održavanja reda. Nakon izgradnje formalnog opisa modela, izračuni se rade pomoću analitičkih i računskih metoda. Ako je model dobar, tada su odgovori dobiveni pomoću njega adekvatni sustavu modeliranja; ako je loš, onda ga treba poboljšati i zamijeniti. Kriterij primjerenosti je praksa.

Optimizacijski modeli, uključujući višekriterijske, imaju zajedničko svojstvo - poznat je cilj (ili više ciljeva) za čije postizanje se često mora nositi sa složenim sustavima, gdje se ne radi toliko o rješavanju optimizacijskih problema, koliko o istraživanju i predviđanju stanja ovisno o odabranim strategijama upravljanja. I tu se susrećemo s poteškoćama u realizaciji prethodnog plana. Oni su sljedeći:

složeni sustav sadrži mnoge veze među elementima
stvarni sustav je pod utjecajem slučajnih faktora, nemoguće ih je analitički uzeti u obzir
mogućnost usporedbe originala s modelom postoji samo na početku i nakon primjene matematičkog aparata, jer međurezultati možda neće imati analogije u stvarnom sustavu.

U vezi s navedenim poteškoćama koje se javljaju pri proučavanju složenih sustava, praksa je zahtijevala fleksibilniju metodu, te se pojavila - simulacijsko modeliranje "Simujacijsko modeliranje".

Obično se simulacijski model shvaća kao skup računalnih programa koji opisuje funkcioniranje pojedinih blokova sustava i pravila interakcije među njima. Korištenje slučajnih varijabli zahtijeva opetovano provođenje eksperimenata sa simulacijskim sustavom (na računalu) i naknadnu statističku analizu dobivenih rezultata. Vrlo čest primjer korištenja simulacijskih modela je rješavanje problema čekanja MONTE CARLO metodom.

Dakle, rad sa simulacijskim sustavom je eksperiment koji se provodi na računalu. Koje su prednosti?

– Veća blizina stvarnom sustavu od matematičkih modela;

– Princip bloka omogućuje provjeru svakog bloka prije nego što se uključi u cjelokupni sustav;

– Korištenje ovisnosti složenije prirode, koje se ne opisuju jednostavnim matematičkim odnosima.

Navedene prednosti određuju nedostatke

– izrada simulacijskog modela je duža, teža i skuplja;

– za rad sa simulacijskim sustavom potrebno je imati računalo primjereno nastavi;

– interakcija između korisnika i simulacijskog modela (sučelja) ne smije biti previše komplicirana, zgodna i dobro poznata;

- konstrukcija simulacijskog modela zahtijeva dublje proučavanje stvarnog procesa od matematičkog modeliranja.

Postavlja se pitanje: može li simulacijsko modeliranje zamijeniti optimizacijske metode? Ne, ali ih zgodno nadopunjuje. Simulacijski model je program koji implementira neki algoritam, za optimizaciju upravljanja kojim se najprije rješava problem optimizacije.

Dakle, ni računalo, ni matematički model, ni algoritam za odvojeno proučavanje ne mogu riješiti prilično kompliciran problem. Ali zajedno predstavljaju snagu koja vam omogućuje da upoznate svijet oko sebe, upravljate njime u interesu čovjeka.

1.2 Klasifikacija modela

1.2.1
Klasifikacija uzimajući u obzir faktor vremena i područje uporabe (Makarova N.A.)

Statički model - to je kao jednokratni isječak informacija o objektu (rezultat jedne ankete)
Dinamičan model-dopušta vidjeti promjene na objektu tijekom vremena (kartica u klinici)
Modeli se mogu klasificirati prema kojem području znanja pripadaju(biološki, povijesni, ekološki itd.)
Povratak na početak

1.2.2 Klasifikacija prema području uporabe (Makarova N.A.)

Trening- vizualni pomagala, trenažeri , o mlaćenje programa
Iskusan modeli-smanjeni kopije (auto u zračnom tunelu)
Znanstveno-tehnički sinkrofazotron, stalak za ispitivanje elektroničke opreme
Igra- ekonomski, sportske, poslovne igre
simulacija- Ne jednostavno odražavaju stvarnost, ali je oponašaju (lijekovi se testiraju na miševima, eksperimenti se provode u školama itd. Ova metoda modeliranja tzv. pokušaj i pogreška
Povratak na početak

1.2.3 Klasifikacija prema načinu prezentacije Makarova N.A.)

materijal modeli- inače može se nazvati subjektom. Oni percipiraju geometrijska i fizička svojstva originala i uvijek imaju stvarno utjelovljenje.
Informativni modeli-nije dozvoljeno dodirnuti ili vidjeti. Temelje se na informacijama. .Informacija model je skup informacija koje karakteriziraju svojstva i stanja nekog objekta, procesa, pojave, kao i odnos s vanjskim svijetom.
Verbalni model - informacijski model u mentalnom ili razgovornom obliku.
Ikonski modelno-informacijski model izražen znakovima , tj.. pomoću bilo kojeg formalnog jezika.
Računalni model - m Model implementiran pomoću softverskog okruženja.

1.2.4 Klasifikacija modela data u knjizi "Zemlja informatike" (Gein A.G.))

„...evo naizgled jednostavnog zadatka: koliko će vremena trebati da prijeđemo pustinju Karakum? Odgovorite, naravno ovisi o načinu putovanja. Ako putovati dalje deve, tada će biti potreban jedan termin, drugi ako idete automobilom, treći ako letite avionom. I što je najvažnije, za planiranje putovanja potrebni su različiti modeli. Za prvi slučaj, traženi model može se pronaći u memoarima poznatih istraživača pustinje: uostalom, ne može se bez informacija o oazama i stazama deva. U drugom slučaju, nezamjenjivi podaci sadržani u atlasu cesta. U trećem - možete koristiti raspored letova.
Razlikuju se ova tri modela - memoari, atlas i vozni red te priroda prezentacije informacija. U prvom slučaju, model je predstavljen verbalnim opisom informacije (opisni model), u drugom - poput fotografije iz prirode (prirodni model), u trećem - tablica sa simbolima: vrijeme polaska i dolaska, dan u tjednu, cijena karte (tzv. model znakova) Međutim, ova je podjela vrlo uvjetna - karte i dijagrami (elementi modela u punoj mjeri) mogu se naći u memoarima, postoje simboli na kartama (elementi modela znakova), dekodiranje simbola (elementi modela opisa). ) dan je u rasporedu. Dakle, ova klasifikacija modela ... po našem mišljenju je neproduktivna"
Po mom mišljenju, ovaj fragment demonstrira deskriptivnost (divan jezik i stil prezentacije) zajedničku svim Geinovim knjigama i, takoreći, sokratov stil poučavanja (Svi misle da je to tako. Potpuno se slažem s vama, ali ako bolje pogledate, onda ...). U takvim je knjigama prilično teško pronaći jasan sustav definicija (autor to nije namjeravao). U udžbeniku koji je uredio N.A. Makarova pokazuje drugačiji pristup - definicije pojmova su jasno razlučene i pomalo statične.

1.2.5 Klasifikacija modela data u priručniku A.I. Bochkina

Postoji mnogo načina za klasifikaciju .Predstavljamo samo nekoliko poznatijih temelja i znakovi: diskretnost I kontinuitet, matrica i skalarni modeli, statički i dinamički modeli, analitički i informacijski modeli, predmetni i figurativno-znakovni modeli, veliki i nerazmjerni...
Svaki znak daje određeni znanje o svojstvima i modela i modelirane stvarnosti. Znak može poslužiti kao nagovještaj o načinu na koji je simulacija izvedena ili kako će se napraviti.
Diskretnost i kontinuiteta diskretnost - karakteristična značajka računalnih modela .Nakon svega računalo može biti u finalu, iako vrlo u velikom broju Države. Dakle, čak i ako je objekt kontinuiran (vrijeme), u modelu će se mijenjati skokovito. Moglo bi se razmotriti kontinuiteta znak modela nekompjutorskog tipa.
Slučajnost i determinizam . Nesigurnost, nesreća u početku suprotstavljen svijetu računala: algoritam koji se ponovno pokreće mora se ponoviti i dati iste rezultate. Ali za simulaciju slučajnih procesa koriste se senzori pseudoslučajnih brojeva. Uvođenje slučajnosti u determinističke probleme dovodi do snažnih i zanimljivih modela (izračun slučajnog područja bacanja).
Matrica - skalar. Dostupnost parametara matrica modela ukazuje na njegovu veću složenost i, moguće, točnost u usporedbi s skalar. Na primjer, ako ne izdvajamo sve dobne skupine u stanovništvu zemlje, promatrajući njegovu promjenu u cjelini, dobivamo skalarni model (npr. Malthusov model), ako izdvajamo, matricu (spol i dob) model. Upravo je matrični model omogućio objašnjenje fluktuacija nataliteta nakon rata.
statički dinamizam. Ova svojstva modela obično su unaprijed određena svojstvima stvarnog objekta. Ovdje nema slobode izbora. Samo statički model može biti korak prema dinamičan, ili se neke od varijabli modela za sada mogu smatrati nepromijenjenima. Na primjer, satelit se kreće oko Zemlje, na njegovo kretanje utječe Mjesec. Ako smatramo da Mjesec miruje tijekom revolucije satelita, dobivamo jednostavniji model.
Analitički modeli. Opis procesa analitički, formule i jednadžbe. Ali kada pokušavate izgraditi grafikon, prikladnije je imati tablice vrijednosti funkcije i argumenata.
simulacijski modeli. simulacija modeli su se pojavili davno u obliku velikih kopija brodova, mostova i sl. pojavili su se davno, ali u vezi s računalima razmatraju se nedavno. Znajući kako povezani modelirati elemente analitički i logički, lakše je ne rješavati sustav određenih odnosa i jednadžbi, nego preslikati stvarni sustav u memoriju računala, uzimajući u obzir veze između memorijskih elemenata.
Informacijski modeli. Informativni Uobičajeno je da se modelima suprotstavljaju matematički, točnije algoritamski. Ovdje je važan omjer podataka/algoritma. Ako ima više podataka ili su važniji, imamo informacijski model, inače - matematički.
Predmetni modeli. Ovo je prije svega dječji model – igračka.
Figurativno-znakovni modeli. To je prvenstveno model u ljudskom umu: figurativno, ako prevladavaju grafičke slike, i ikoničan, ako ima više od riječi i/ili brojeva. Figurativno-znakovni modeli izrađuju se na računalu.
makete u mjerilu. DO velikih razmjera modeli su oni predmetni ili figurativni modeli koji ponavljaju oblik predmeta (karte).

Matematički model b je matematički prikaz stvarnosti.

Matematičko modeliranje- proces izgradnje i proučavanja matematičkih modela.

Sve prirodne i društvene znanosti koje se služe matematičkim aparatom zapravo se bave matematičkim modeliranjem: stvarni objekt zamjenjuju njegovim matematičkim modelom, a zatim ga proučavaju.

Definicije.

Niti jedna definicija ne može u potpunosti pokriti stvarnu aktivnost matematičkog modeliranja. Unatoč tome, definicije su korisne jer pokušavaju istaknuti najznačajnije značajke.

Definicija modela prema A. A. Lyapunovu: Modeliranje je neizravna praktična ili teorijska studija objekta, u kojoj se ne proučava izravno predmet koji nas zanima, već neki pomoćni umjetni ili prirodni sustav:

nalazi se u nekoj objektivnoj korespondenciji s objektom koji se spoznaje;

sposobni ga zamijeniti u određenim aspektima;

koji tijekom svog proučavanja u konačnici daje informacije o objektu koji se modelira.

Prema udžbeniku Sovetov i Yakovlev: "model je objekt-zamjena izvornog objekta, pružajući proučavanje nekih svojstava originala." “Zamjena jednog objekta drugim kako bi se dobile informacije o najvažnijim svojstvima izvornog objekta korištenjem modela objekta naziva se modeliranje.” „Pod matematičkim modeliranjem razumjet ćemo proces uspostavljanja korespondencije s danim stvarnim objektom nekog matematičkog objekta, koji se naziva matematički model, i proučavanje tog modela, što omogućuje dobivanje karakteristika stvarnog objekta koji se razmatra. Vrsta matematičkog modela ovisi io prirodi stvarnog objekta i zadacima proučavanja objekta i potrebnoj pouzdanosti i točnosti rješavanja ovog problema.”

Prema Samarskom i Mikhailovu, matematički model je "ekvivalent" objekta, koji u matematičkom obliku odražava njegova najvažnija svojstva: zakone kojima se pokorava, veze svojstvene njegovim sastavnim dijelovima, itd. Postoji u trijadama " model-algoritam-program” . Stvaranjem trijade “model-algoritam-program” istraživač dobiva univerzalan, fleksibilan i jeftin alat koji se najprije otklanja i testira u probnim računalnim eksperimentima. Nakon što se utvrdi primjerenost trijade izvornom objektu, s modelom se provode različiti i detaljni “eksperimenti” koji daju sva tražena kvalitativna i kvantitativna svojstva i karakteristike objekta.

Prema monografiji Myshkisa: “Prijeđimo na opću definiciju. Hajdemo istražiti neki skup S svojstava realnog objekta a s

pomoć matematike. Da bismo to učinili, odabiremo “matematički objekt” a" - sustav jednadžbi, ili aritmetičkih odnosa, ili geometrijskih figura, ili kombinaciju obojega, itd., - čije proučavanje pomoću matematike treba odgovoriti na postavljena pitanja o svojstvima S. U tim uvjetima a" se naziva matematički model objekta a s obzirom na ukupnost S njegovih svojstava".

Prema A. G. Sevostyanovu: "Matematički model je skup matematičkih odnosa, jednadžbi, nejednakosti itd., koji opisuju glavne obrasce svojstvene procesu, objektu ili sustavu koji se proučava."

Nešto manje opća definicija matematički model temeljen na idealizaciji "ulaza - izlaza - stanja", posuđen iz teorije automata, daje Wiktionary: "Apstraktni matematički prikaz procesa, uređaja ili teorijske ideje; koristi skup varijabli za predstavljanje ulaza, izlaza i unutarnjih stanja te skupove jednadžbi i nejednakosti za opisivanje njihovih interakcija.”

Konačno, najsažetija definicija matematičkog modela: "Jednadžba koja izražava ideju."

Formalna klasifikacija modela.

Formalna klasifikacija modela temelji se na klasifikaciji korištenih matematičkih alata. Često se gradi u obliku dihotomija. Na primjer, jedan od popularnih skupova dihotomija je:

Linearni ili nelinearni modeli; Koncentrirani ili distribuirani sustavi; Deterministički ili stohastički; Statički ili dinamički; diskretan ili kontinuiran.

Klasifikacija prema načinu prikazivanja predmeta.

Uz formalnu klasifikaciju, modeli se razlikuju i po načinu na koji predstavljaju objekt:

Strukturni modeli predstavljaju objekt kao sustav s vlastitim uređajem i mehanizmom funkcioniranja. Funkcionalni modeli ne koriste takve prikaze i odražavaju samo izvana percipirano ponašanje objekta. U svom ekstremnom izrazu nazivaju se i modeli „crne kutije", a mogući su i kombinirani tipovi modela koji se ponekad nazivaju i modeli „sive kutije".

Gotovo svi autori koji opisuju proces matematičkog modeliranja navode da se prvo gradi posebna idealna konstrukcija, smisleni model. Ovdje nema ustaljene terminologije, a drugi autori ovaj idealni objekt nazivaju konceptualnim modelom, spekulativnim modelom ili predmodelom. U tom se slučaju konačna matematička konstrukcija naziva formalnim modelom ili jednostavno matematičkim modelom dobivenim kao rezultat formalizacije ovog sadržaja modela. Smisleni model može se izgraditi korištenjem skupa gotovih idealizacija, kao u mehanici, gdje idealne opruge, kruta tijela, idealna njihala, elastični mediji itd. daju gotove strukturne elemente za smisleno modeliranje. Međutim, u područjima znanja gdje ne postoje potpuno dovršene formalizirane teorije, stvaranje smislenih modela postaje mnogo kompliciranije.

Rad R. Peierlsa daje klasifikaciju matematičkih modela koji se koriste u fizici i, šire, u prirodnim znanostima. U knjizi A. N. Gorbana i R. G. Khleboprosa ova se klasifikacija analizira i proširuje. Ova je klasifikacija prvenstveno usmjerena na fazu konstruiranja smislenog modela.

Ti modeli "predstavljaju probni opis fenomena, a autor ili vjeruje u njegovu mogućnost ili je čak smatra istinitom". Prema R. Peierlsu, to je npr. model Sunčev sustav prema Ptolomeju i Kopernikanov model, Rutherfordov model atoma i model Velikog praska.

Nijedna hipoteza u znanosti ne može se dokazati jednom zauvijek. Richard Feynman je to vrlo jasno rekao:

“Uvijek imamo mogućnost opovrgnuti teoriju, ali imajte na umu da nikada ne možemo dokazati da je točna. Pretpostavimo da iznesete uspješnu hipotezu, izračunate kamo ona vodi i ustanovite da su sve njezine posljedice eksperimentalno potvrđene. Znači li to da je vaša teorija točna? Ne, to jednostavno znači da ga niste uspjeli opovrgnuti.

Uloga modela u istraživanju može se mijenjati tijekom vremena, može se dogoditi da novi podaci i teorije potvrde fenomenološke modele i oni će se nadograditi na

stanje hipoteze. Isto tako, nova saznanja mogu postupno doći u sukob s modelima-hipotezama prve vrste, te se mogu prenijeti na drugu. Dakle, model kvarka postupno prelazi u kategoriju hipoteza; atomizam u fizici nastao je kao privremeno rješenje, ali je tijekom povijesti prešao u prvi tip. Ali modeli etera su prešli iz tipa 1 u tip 2 i sada su izvan znanosti.

Ideja pojednostavljenja vrlo je popularna pri izgradnji modela. Ali pojednostavljenje je drugačije. Peierls razlikuje tri vrste pojednostavljenja u modeliranju.

Ako je moguće konstruirati jednadžbe koje opisuju sustav koji se proučava, to ne znači da ih je moguće riješiti čak i uz pomoć računala. Uobičajena tehnika u ovom slučaju je korištenje aproksimacija. Među njima su modeli linearnog odziva. Jednadžbe su zamijenjene linearnim. Standardni primjer je Ohmov zakon.

Ako se poslužimo modelom idealni plin za opisivanje dovoljno razrijeđenih plinova, onda je ovo model tipa 3. Za više velike gustoće plina, također je korisno zamisliti jednostavniju situaciju s idealnim plinom za kvalitativno razumijevanje i procjenu, ali to je već tip 4.

U modelu tipa 4 odbačeni su detalji koji mogu osjetno, a ne uvijek kontrolirano utjecati na rezultat. Iste jednadžbe mogu poslužiti kao model tipa 3 ili tipa 4, ovisno o fenomenu koji se model koristi za proučavanje. Dakle, ako se koriste linearni modeli odziva u nedostatku složenijih modela, onda su to već fenomenološki linearni modeli, i pripadaju sljedećem tipu 4.

Primjeri: primjena modela idealnog plina na neidealni, van der Waalsova jednadžba stanja, većina modela fizike čvrstog stanja, tekućine i nuklearne fizike. Put od mikroopisa do svojstava tijela koja se sastoje od velikog broja čestica vrlo je dug. Mnogi detalji moraju biti izostavljeni. To dovodi do modela 4. tipa.

Heuristički model zadržava samo kvalitativnu sličnost sa stvarnošću i daje predviđanja samo "po redu veličine". Tipičan primjer je aproksimacija srednjeg slobodnog puta u kinetičkoj teoriji. Daje jednostavne formule za koeficijente viskoznosti, difuzije, toplinske vodljivosti, u skladu sa stvarnošću prema redoslijedu veličine.

Ali kada se gradi nova fizika, daleko je od toga da se odmah dobije model koji daje barem kvalitativni opis objekta - model pete vrste. U ovom slučaju, model se često koristi po analogiji, odražavajući stvarnost barem na neki način.

R. Peierls navodi povijest uporabe analogija u prvom članku W. Heisenberga o prirodi nuklearnih sila. “To se dogodilo nakon otkrića neutrona, i iako je sam W. Heisenberg razumio da se jezgre mogu opisati kao da se sastoje od neutrona i protona, još uvijek se nije mogao riješiti ideje da bi se neutron u konačnici trebao sastojati od protona i elektrona . U ovom slučaju nastala je analogija između interakcije u sustavu neutron-proton i interakcije atoma vodika i protona. Upravo ga je ta analogija dovela do zaključka da između neutrona i protona moraju postojati sile razmjene međudjelovanja, koje su analogne silama izmjene u sustavu H − H, uslijed prijelaza elektrona između dva protona. ... Kasnije je ipak dokazano postojanje razmjenskih sila interakcije između neutrona i protona, iako one nisu u potpunosti iscrpljene

interakcija između dviju čestica ... Ali, slijedeći istu analogiju, W. Heisenberg je došao do zaključka da ne postoje nuklearne sile interakcije između dva protona i do postulacije odbijanja između dva neutrona. Oba posljednja otkrića su u sukobu s nalazima kasnijih studija.

A. Einstein bio je jedan od velikih majstora misaonog eksperimenta. Evo jednog od njegovih eksperimenata. Začeta je u mladosti i na kraju je dovela do izgradnje posebna teorija relativnost. Pretpostavimo da u klasičnoj fizici pratimo svjetlosni val brzinom svjetlosti. Promatrat ćemo elektromagnetsko polje koje se periodički mijenja u prostoru i konstantno u vremenu. Prema Maxwellovim jednadžbama, to ne može biti. Iz toga je mladi Einstein zaključio: ili se prirodni zakoni mijenjaju kad se promijeni referentni okvir, ili brzina svjetlosti ne ovisi o referentnom okviru. Izabrao je drugu – ljepšu opciju. Još jedan poznati Einsteinov misaoni eksperiment je Einstein-Podolsky-Rosen paradoks.

A ovdje je tip 8, koji se široko koristi u matematičkim modelima bioloških sustava.

To su također misaoni eksperimenti s imaginarnim entitetima, koji pokazuju da je navodni fenomen u skladu s osnovnim principima i da je interno dosljedan. Ovo je glavna razlika od modela tipa 7, koji otkrivaju skrivene kontradikcije.

Jedan od najpoznatijih takvih eksperimenata je geometrija Lobačevskog. Drugi primjer je masovna proizvodnja formalno kinetičkih modela kemijskih i bioloških oscilacija, autovalova, itd. Paradoks Einstein-Podolsky-Rosen zamišljen je kao model tipa 7 kako bi se demonstrirala nekonzistentnost kvantne mehanike. Na potpuno neplaniran način na kraju se pretvorio u model tipa 8 – demonstraciju mogućnosti kvantne teleportacije informacija.

Razmotrimo mehanički sustav koji se sastoji od opruge učvršćene na jednom kraju i tereta mase m pričvršćenog na slobodni kraj opruge. Pretpostavit ćemo da se teret može kretati samo u smjeru osi opruge. Konstruirajmo matematički model ovog sustava. Stanje sustava opisat ćemo udaljenošću x od središta tereta do njegovog ravnotežnog položaja. Interakciju opruge i tereta opisujemo pomoću Hookeovog zakona, nakon čega koristimo drugi Newtonov zakon da to izrazimo u obliku diferencijalne jednadžbe:

gdje znači drugu derivaciju od x u odnosu na vrijeme..

Rezultirajuća jednadžba opisuje matematički model razmatranog fizičkog sustava. Taj se uzorak naziva "harmonijski oscilator".

Prema formalnoj klasifikaciji, ovaj model je linearan, deterministički, dinamički, koncentrirani, kontinuirani. U procesu izgradnje napravili smo mnoge pretpostavke koje možda nisu istinite u stvarnosti.

U odnosu na stvarnost, to je najčešće model tipa 4, pojednostavljenje, budući da su izostavljena neka bitna univerzalna obilježja. U nekoj aproksimaciji, takav model prilično dobro opisuje stvarni mehanički sustav, budući da

odbačeni faktori imaju zanemariv utjecaj na njegovo ponašanje. Međutim, model se može poboljšati uzimajući u obzir neke od ovih čimbenika. To će dovesti do novog modela sa širim opsegom.

Tvrdi i meki modeli.

Ovdje - neka funkcija, koja može uzeti u obzir silu trenja ili ovisnost krutosti opruge o stupnju njenog rastezanja, ε - neki mali parametar. Eksplicitni oblik funkcije f trenutno nas ne zanima. Ako dokažemo da se ponašanje mekog modela ne razlikuje bitno od ponašanja tvrdog modela, problem će se svesti na proučavanje tvrdog modela. U suprotnom, primjena rezultata dobivenih proučavanjem krutog modela zahtijevat će dodatna istraživanja. Na primjer, rješenje jednadžbe harmonijskog oscilatora su funkcije oblika

To jest, oscilacije s konstantnom amplitudom. Slijedi li iz ovoga da će pravi oscilator neograničeno dugo titrati s konstantnom amplitudom? Ne, jer promatrajući sustav s proizvoljno malim trenjem, dobivamo prigušene oscilacije. Ponašanje sustava se kvalitativno promijenilo.

Ako sustav zadrži svoje kvalitativno ponašanje pod malim poremećajem, kaže se da je strukturno stabilan. Harmonijski oscilator je primjer strukturno nestabilnog sustava. Međutim, ovaj se model može koristiti za proučavanje procesa u ograničenim vremenskim intervalima.

Svestranost modela.

Najvažniji matematički modeli obično imaju važno svojstvo univerzalnosti: temeljno različite stvarne pojave mogu se opisati istim matematičkim modelom. Na primjer, harmonijski oscilator opisuje ne samo ponašanje tereta na opruzi, već i druge oscilatorne procese, često potpuno drugačije prirode: male oscilacije njihala, fluktuacije razine tekućine u posudi u obliku slova U ili promjena jakosti struje u oscilatornom krugu. Tako, proučavajući jedan matematički model, proučavamo odjednom cijelu klasu fenomena koje on opisuje. Upravo taj izomorfizam zakona izraženih matematičkim modelima u različitim segmentima znanstvenog znanja naveo je Ludwiga von Bertalanffyja da stvori Opću teoriju sustava.

Izravni i inverzni problemi matematičkog modeliranja

tijela od različitih materijala, svaki materijal je specificiran kao njegova standardna mehanička idealizacija, nakon čega se sastavljaju jednadžbe, usput se neki detalji odbacuju kao beznačajni, rade se izračuni, uspoređuju s mjerenjima, dorađuje model i tako dalje. Međutim, za razvoj tehnologija matematičkog modeliranja, korisno je ovaj proces rastaviti na njegove glavne sastavne elemente.

Tradicionalno, postoje dvije glavne klase problema povezanih s matematičkim modelima: izravni i inverzni.

Izravni zadatak: struktura modela i svi njegovi parametri smatraju se poznatima, glavni zadatak je proučavanje modela kako bi se izvuklo korisno znanje o objektu. Koje statičko opterećenje može podnijeti most? Kako će reagirati na dinamičko opterećenje, kako će avion svladati zvučni zid, hoće li se raspasti od lepršanja - tipični su primjeri izravnog problema. Formulacija ispravnog izravnog problema zahtijeva posebnu vještinu. Ako se ne postave prava pitanja, most se može srušiti, čak i ako je izgrađen dobar model za njegovo ponašanje. Tako se 1879. u Ujedinjenom Kraljevstvu srušio metalni most preko rijeke Tey, čiji su dizajneri izradili model mosta, izračunali ga za 20-struku sigurnosnu marginu za nosivost, ali su zaboravili na vjetrove koji neprestano pušu u tim mostovima. mjesta. I nakon godinu i pol se srušio.

U U najjednostavnijem slučaju izravni problem je vrlo jednostavan i svodi se na eksplicitno rješenje ove jednadžbe.

Inverzni problem: poznat je skup mogućih modela, potrebno je odabrati određeni model na temelju dodatnih podataka o objektu. Najčešće je struktura modela poznata i potrebno je odrediti neke nepoznate parametre. Dodatne informacije mogu se sastojati od dodatnih empirijskih podataka ili zahtjeva za objekt. Dodatni podaci mogu doći neovisno o procesu rješavanja inverznog problema ili biti rezultat eksperimenta posebno planiranog tijekom rješavanja.

U Drugi primjer je matematička statistika. Zadaća ove znanosti je razvoj metoda za bilježenje, opisivanje i analizu opažačkih i eksperimentalnih podataka u svrhu izgradnje probabilističkih modela masovnih slučajnih pojava. Oni. skup mogućih modela ograničen je probabilističkim modelima. U specifičnim problemima, skup modela je ograničeniji.

Računalni sustavi modeliranja.

Za podršku matematičkom modeliranju razvijeni su računalni matematički sustavi, na primjer, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, itd. Oni vam omogućuju stvaranje formalnih i blok modela jednostavnih i složenih procesa i uređaja te jednostavnu promjenu parametara modela tijekom simulacija. Blokovne modele predstavljaju blokovi čiji su skup i veza određeni dijagramom modela.

Dodatni primjeri.

Stopa rasta proporcionalna je trenutnoj veličini populacije. Opisuje se diferencijalnom jednadžbom

gdje je α neki parametar određen razlikom između plodnosti i mortaliteta. Rješenje ove jednadžbe je eksponencijalna funkcija x = x0 e. Ako stopa nataliteta premašuje stopu mortaliteta, veličina populacije raste neograničeno i vrlo brzo. Jasno je da se to u stvarnosti ne može dogoditi zbog ograničenosti

resursi. Kada se dosegne određena kritična veličina populacije, model prestaje biti adekvatan jer ne uzima u obzir ograničene resurse. Pročišćavanje Malthusovog modela može biti logistički model, koji je opisan Verhulstovom diferencijalnom jednadžbom

gdje je xs "ravnotežna" veličina populacije, pri kojoj je stopa rađanja točno kompenzirana stopom mortaliteta. Veličina populacije u takvom modelu teži ravnotežnoj vrijednosti xs, a to je ponašanje strukturno stabilno.

Pretpostavimo da na određenom području žive dvije vrste životinja: zečevi i lisice. Neka je broj zečeva x, a broj lisica y. Koristeći Malthusov model uz potrebne korekcije, uzimajući u obzir jedenje zečeva od strane lisica, dolazimo do sljedećeg sustava koji nosi naziv Lotka-Volterra model:

Ovaj sustav ima stanje ravnoteže kada je broj zečeva i lisica konstantan. Odstupanje od ovog stanja dovodi do fluktuacija u broju zečeva i lisica, slično fluktuacijama u harmonijskom oscilatoru. Kao iu slučaju harmonijskog oscilatora, ovo ponašanje nije strukturno stabilno: mala promjena u modelu može dovesti do kvalitativne promjene u ponašanju. Na primjer, stanje ravnoteže može postati stabilno, a fluktuacije stanovništva će nestati. Moguća je i suprotna situacija, kada će svako malo odstupanje od položaja ravnoteže dovesti do katastrofalnih posljedica, sve do potpunog izumiranja jedne od vrsta. Na pitanje koji se od ovih scenarija ostvaruje, model Volterra-Lotka ne daje odgovor: ovdje su potrebna dodatna istraživanja.

Vrste matematičkih modela. Razni načini izgradnje matematičkog modela

Klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modela

Klasifikacija prema načinu predstavljanja predmeta

Sadržajni i formalni modeli

Smislena klasifikacija modela

Tip 2: Fenomenološki model (ponašati se kao da…)

Tip 3: Približavanje (nešto se smatra vrlo velikim ili vrlo malim)

Tip 8: Demonstracija mogućnosti (glavno je pokazati unutarnju dosljednost mogućnosti)

Primjer

Tvrdi i meki modeli

Univerzalnost modela

Izravni i inverzni problemi matematičkog modeliranja

Računalni simulacijski sustavi

Dodatni primjeri

Malthusov model

sustav predator-plijen

Bilješke

Matematičko modeliranje

1. Što je matematičko modeliranje?

2. Glavne faze matematičkog modeliranja

3. Klasifikacija modela

4. Primjeri matematičkih modela

1.1.2 2. Glavne faze matematičkog modeliranja

1.1.3 3. Klasifikacija modela

1.2 Klasifikacija modela

1.2.1
Klasifikacija uzimajući u obzir faktor vremena i područje uporabe (Makarova N.A.)

1.2.2 Klasifikacija prema području uporabe (Makarova N.A.)

1.2.3 Klasifikacija prema načinu prezentacije Makarova N.A.)

1.2.4 Klasifikacija modela data u knjizi "Zemlja informatike" (Gein A.G.))

1.2.5 Klasifikacija modela data u priručniku A.I. Bochkina

Nastanak i razvoj pisma – sažetak

Skladatelj Raimonds Pauls: biografija, osobni život, kreativnost Raimonds Pauls - biografija

Vrste matematičkih modela. Razni načini izgradnje matematičkog modela

Klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modela

Klasifikacija prema načinu predstavljanja predmeta

Sadržajni i formalni modeli

Smislena klasifikacija modela

Tip 2: Fenomenološki model (ponašati se kao da…)

Tip 3: Približavanje (nešto se smatra vrlo velikim ili vrlo malim)

Tip 8: Demonstracija mogućnosti (glavno je pokazati unutarnju dosljednost mogućnosti)

Primjer

Tvrdi i meki modeli

Univerzalnost modela

Izravni i inverzni problemi matematičkog modeliranja

Računalni simulacijski sustavi

Dodatni primjeri

Malthusov model

sustav predator-plijen

Bilješke

Matematičko modeliranje

1. Što je matematičko modeliranje?

2. Glavne faze matematičkog modeliranja

3. Klasifikacija modela

4. Primjeri matematičkih modela

1.1.2 2. Glavne faze matematičkog modeliranja

1.1.3 3. Klasifikacija modela

1.2 Klasifikacija modela

1.2.1 Klasifikacija uzimajući u obzir faktor vremena i područje uporabe (Makarova N.A.)

1.2.2 Klasifikacija prema području uporabe (Makarova N.A.)

1.2.3 Klasifikacija prema načinu prezentacije Makarova N.A.)

1.2.4 Klasifikacija modela data u knjizi "Zemlja informatike" (Gein A.G.))

1.2.5 Klasifikacija modela data u priručniku A.I. Bochkina

Nastanak i razvoj pisma – sažetak

Skladatelj Raimonds Pauls: biografija, osobni život, kreativnost Raimonds Pauls - biografija

1.2.1
Klasifikacija uzimajući u obzir faktor vremena i područje uporabe (Makarova N.A.)