כבר למדנו איך לפתור משוואות ריבועיות. כעת נרחיב את השיטות הנלמדות למשוואות רציונליות.

מהו ביטוי רציונלי? כבר נתקלנו במושג הזה. ביטויים רציונלייםהם ביטויים המורכבים ממספרים, משתנים, כוחותיהם וסמלים של פעולות מתמטיות.

בהתאם לכך, משוואות רציונליות הן משוואות בצורה: , איפה - ביטויים רציונליים.

בעבר, שקלנו רק את המשוואות הרציונליות שניתן לצמצם ללינאריות. עכשיו בואו נסתכל על אותן משוואות רציונליות שניתן לצמצם למשוואות ריבועיות.

דוגמה 1

פתור את המשוואה: .

פִּתָרוֹן:

שבר שווה ל-0 אם ורק אם המונה שלו שווה ל-0 והמכנה שלו לא שווה ל-0.

אנחנו מקבלים את המערכת הבאה:

המשוואה הראשונה של המערכת היא משוואה ריבועית. לפני שנפתור אותו, נחלק את כל המקדמים שלו ב-3. נקבל:

נקבל שני שורשים: ; .

מכיוון ש-2 לעולם אינו שווה ל-0, יש לעמוד בשני תנאים: . מכיוון שאף אחד משורשי המשוואה שהתקבלה לעיל אינו תואם את הערכים הפסולים של המשתנה שהתקבלו בעת פתרון אי השוויון השני, שניהם פתרונות למשוואה זו.

תשובה:.

אז בואו ננסח אלגוריתם לפתרון משוואות רציונליות:

1. העבר את כל האיברים לצד שמאל כך שהצד הימני יסתיים ב-0.

2. להפוך ולפשט את הצד השמאלי, להביא את כל השברים למכנה משותף.

3. השווה את השבר המתקבל ל-0 באמצעות האלגוריתם הבא: .

4. רשמו את השורשים שהתקבלו במשוואה הראשונה ומספקים את אי השוויון השני בתשובה.

בואו נסתכל על דוגמה נוספת.

דוגמה 2

פתור את המשוואה: .

פִּתָרוֹן

ממש בהתחלה, נעביר את כל האיברים שמאלה כך ש-0 יישאר בצד ימין. נקבל:

כעת נביא את הצד השמאלי של המשוואה למכנה משותף:

משוואה זו מקבילה למערכת:

המשוואה הראשונה של המערכת היא משוואה ריבועית.

מקדמים של משוואה זו: . אנו מחשבים את המבחין:

נקבל שני שורשים: ; .

כעת נפתור את אי השוויון השני: מכפלת הגורמים אינה שווה ל-0 אם ורק אם אף אחד מהגורמים אינו שווה ל-0.

יש לעמוד בשני תנאים: . אנו מוצאים שמבין שני השורשים של המשוואה הראשונה, רק אחד מתאים - 3.

תשובה:.

בשיעור הזה נזכרנו מהו ביטוי רציונלי, וגם למדנו איך לפתור משוואות רציונליות, שמצטמצמות למשוואות ריבועיות.

בשיעור הבא נסתכל על משוואות רציונליות כמודלים של מצבים אמיתיים, ונסתכל גם על בעיות תנועה.

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה

1. בשמקוב מ.י. אלגברה, כיתה ח'. - מ.: חינוך, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovic E.A. ואחרים. אלגברה, 8. מהדורה 5. - מ.: חינוך, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. אלגברה, כיתה ח'. ספר לימוד למוסדות חינוך כלליים. - מ.: חינוך, 2006.

1. פֶסטִיבָל רעיונות פדגוגיים "שיעור ציבורי" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

שיעורי בית

בואו להכיר משוואות רציונליות רציונליות ושבריות, לתת את ההגדרה שלהן, לתת דוגמאות וגם לנתח את סוגי הבעיות הנפוצים ביותר.

Yandex.RTB R-A-339285-1

משוואה רציונלית: הגדרה ודוגמאות

היכרות עם ביטויים רציונליים מתחילה בכיתה ח' של בית הספר. בשלב זה, בשיעורי אלגברה, תלמידים מתחילים יותר ויותר להיתקל במטלות עם משוואות המכילות ביטויים רציונליים בהערותיהם. בואו נרענן את הזיכרון שלנו במה מדובר.

הגדרה 1

משוואה רציונליתהיא משוואה שבה שני הצדדים מכילים ביטויים רציונליים.

במדריכים שונים ניתן למצוא ניסוח אחר.

הגדרה 2

משוואה רציונלית- זוהי משוואה, שהצד השמאלי שלה מכיל ביטוי רציונלי, והצד הימני מכיל אפס.

ההגדרות שנתנו למשוואות רציונליות שוות ערך, מכיוון שהן מדברות על אותו דבר. נכונות דברינו מאושרת על ידי העובדה שלכל ביטויים רציונליים פו שמשוואות P = Qו P − Q = 0יהיו ביטויים שווים.

עכשיו בואו נסתכל על הדוגמאות.

דוגמה 1

משוואות רציונליות:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

משוואות רציונליות, בדיוק כמו משוואות מסוגים אחרים, יכולות להכיל כל מספר משתנים מ-1 עד כמה. ראשית נסתכל על דוגמאות פשוטות, שבו המשוואות יכללו רק משתנה אחד. ואז נתחיל לסבך את המשימה בהדרגה.

משוואות רציונליות מחולקות לשניים קבוצות גדולות: מספרים שלמים ושברים. בואו נראה אילו משוואות יחולו על כל אחת מהקבוצות.

הגדרה 3

משוואה רציונלית תהיה מספר שלם אם הצד השמאלי והימני שלה מכילים ביטויים רציונליים שלמים.

הגדרה 4

משוואה רציונלית תהיה שברית אם אחד מחלקיה או שניהם מכילים שבר.

משוואות רציונליות שבריות ב חובהמכילים חלוקה במשתנה או שהמשתנה נמצא במכנה. אין חלוקה כזו בכתיבת משוואות שלמות.

דוגמה 2

3 x + 2 = 0ו (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5- משוואות רציונליות שלמות. כאן שני הצדדים של המשוואה מיוצגים על ידי ביטויים שלמים.

1 x - 1 = x 3 ו x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x - 1) : 5הן משוואות רציונליות חלקיות.

משוואות רציונליות שלמות כוללות משוואות ליניאריות וריבועיות.

פתרון משוואות שלמות

פתרון משוואות כאלה מסתכם בדרך כלל בהמרתן למשוואות אלגבריות שוות. ניתן להשיג זאת על ידי ביצוע טרנספורמציות שוות של משוואות בהתאם לאלגוריתם הבא:

• ראשית נקבל אפס בצד ימין של המשוואה; לשם כך, עלינו להעביר את הביטוי שנמצא בצד ימין של המשוואה לצד השמאלי שלו ולשנות את הסימן;
• לאחר מכן אנו הופכים את הביטוי בצד שמאל של המשוואה לפולינום בעל צורה סטנדרטית.

אנחנו חייבים לקבל משוואה אלגברית. משוואה זו תהיה שווה ערך למשוואה המקורית. מקרים קלים מאפשרים לנו לצמצם את כל המשוואה ללינארית או ריבועית כדי לפתור את הבעיה. באופן כללי, אנו פותרים משוואת תואר אלגברית נ.

דוגמה 3

יש צורך למצוא את השורשים של המשוואה כולה 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

פִּתָרוֹן

הבה נמיר את הביטוי המקורי כדי לקבל משוואה אלגברית שווה ערך. לשם כך נעביר את הביטוי הכלול בצד ימין של המשוואה לצד שמאל ונחליף את הסימן בהפוך. כתוצאה מכך אנו מקבלים: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

עכשיו בואו נהפוך את הביטוי שנמצא בצד שמאל לפולינום של הצורה הסטנדרטית וניצור פעולות הכרחיותעם הפולינום הזה:

3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

הצלחנו לצמצם את הפתרון למשוואה המקורית לפתרון משוואה ריבועיתסוג x 2 − 5 x − 6 = 0. ההבחנה של משוואה זו היא חיובית: D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 .זה אומר שיהיו שני שורשים אמיתיים. בוא נמצא אותם באמצעות הנוסחה של השורשים של משוואה ריבועית:

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 או x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 או x 2 = - 1

נבדוק את נכונות שורשי המשוואה שמצאנו במהלך הפתרון. לשם כך, נחליף את המספרים שקיבלנו במשוואה המקורית: 3 (6 + 1) (6 - 3) = 6 (2 6 - 1) - 3ו 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2​· (− 1) − 1) − 3. במקרה הראשון 63 = 63 , בשנייה 0 = 0 . שורשים x=6ו x = − 1הם אכן שורשי המשוואה שניתנה בתנאי לדוגמה.

תשובה: 6 , − 1 .

בואו נסתכל על המשמעות של "דרגה של משוואה שלמה". לעתים קרובות נפגוש את המונח הזה במקרים שבהם עלינו לייצג משוואה שלמה בצורה אלגברית. בואו נגדיר את המושג.

הגדרה 5

דרגת המשוואה כולההיא מידת המשוואה האלגברית המקבילה למשוואת המספרים השלמים המקורית.

אם אתה מסתכל על המשוואות מהדוגמה למעלה, אתה יכול לקבוע: המידה של כל המשוואה הזו היא שנייה.

אם הקורס שלנו היה מוגבל לפתרון משוואות מהדרג השני, אז הדיון בנושא יכול היה להסתיים שם. אבל זה לא כל כך פשוט. פתרון משוואות מדרגה שלישית טומן בחובו קשיים. ולמשוואות מעל המעלה הרביעית אין כלל נוסחאות שורש כלליות. בהקשר זה, פתרון משוואות שלמות מהדרג השלישי, הרביעי ואחרות מחייב אותנו להשתמש במספר טכניקות ושיטות אחרות.

הגישה הנפוצה ביותר לפתרון משוואות רציונליות שלמות מבוססת על שיטת הפירוק לגורמים. אלגוריתם הפעולות במקרה זה הוא כדלקמן:

• נעביר את הביטוי מצד ימין לשמאל כך שאפס יישאר בצד ימין של הרשומה;
• אנו מייצגים את הביטוי בצד שמאל כמכפלה של גורמים, ולאחר מכן עוברים לקבוצה של מספר משוואות פשוטות יותר.

דוגמה 4

מצא את הפתרון למשוואה (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) .

פִּתָרוֹן

נעביר את הביטוי מהצד הימני של הרשומה לשמאל עם הסימן ההפוך: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. המרת הצד השמאלי לפולינום של הצורה הסטנדרטית אינה מתאימה בגלל העובדה שזה ייתן לנו משוואה אלגברית מהמעלה הרביעית: x 4 - 12 x 3 + 32 x 2 - 16 x - 13 = 0. קלות ההמרה אינה מצדיקה את כל הקשיים בפתרון משוואה כזו.

הרבה יותר קל ללכת בדרך אחרת: בואו נוציא את הגורם המשותף מסוגריים x 2 - 10 x + 13 .אז אנחנו מגיעים למשוואה של הצורה (x 2 - 10 x + 13) (x 2 - 2 x - 1) = 0. כעת נחליף את המשוואה המתקבלת בקבוצה של שתי משוואות ריבועיות x 2 − 10 x + 13 = 0ו x 2 − 2 x − 1 = 0ולמצוא את השורשים שלהם דרך המבחין: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

תשובה: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

באותו אופן, נוכל להשתמש בשיטה של ​​הכנסת משתנה חדש. שיטה זו מאפשרת לנו לעבור למשוואות מקבילות עם מעלות נמוכות מהמעלות במשוואת המספרים השלמים המקורית.

דוגמה 5

האם למשוואה יש שורשים? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x - 4)?

פִּתָרוֹן

אם ננסה כעת לצמצם משוואה רציונלית שלמה לאלגברית, נקבל משוואה של דרגה 4, שאין לה שורשים רציונליים. לכן, יהיה לנו קל יותר ללכת בדרך אחרת: הכנס משתנה חדש y, שיחליף את הביטוי במשוואה x 2 + 3 x.

כעת נעבוד עם כל המשוואה (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y - 4). בואו נקבע מחדש צד ימיןמשוואות שמאלה עם הסימן ההפוך ולבצע את התמורות הדרושות. אנחנו מקבלים: y 2 + 4 y + 3 = 0. בואו נמצא את השורשים של המשוואה הריבועית: y = − 1ו y = − 3.

עכשיו בוא נעשה את ההחלפה ההפוכה. נקבל שתי משוואות x 2 + 3 x = − 1ו x 2 + 3 · x = − 3 .בואו נשכתב אותם כ-x 2 + 3 x + 1 = 0 ו x 2 + 3 x + 3 = 0. אנו משתמשים בנוסחה של השורשים של משוואה ריבועית כדי למצוא את השורשים של המשוואה הראשונה מאלה שהתקבלו: - 3 ± 5 2. ההבחנה של המשוואה השנייה היא שלילית. זה אומר שלמשוואה השנייה אין שורשים אמיתיים.

תשובה:- 3 ± 5 2

משוואות שלמות מעלות גבוהותנתקלים במשימות לעתים קרובות למדי. אין צורך לפחד מהם. אתה צריך להיות מוכן להשתמש בשיטה לא סטנדרטית לפתרון אותם, כולל מספר טרנספורמציות מלאכותיות.

פתרון משוואות רציונליות שברים

נתחיל את השיקול שלנו בתת-נושא זה באלגוריתם לפתרון משוואות רציונליות שבריות בצורה p (x) q (x) = 0, כאשר p(x)ו q(x)– ביטויים רציונליים שלמים. תמיד ניתן לצמצם את הפתרון של משוואות רציונליות שבריריות אחרות לפתרון של משוואות מהסוג המצוין.

השיטה הנפוצה ביותר לפתרון המשוואות p (x) q (x) = 0 מבוססת על המשפט הבא: שבר מספרי u v, איפה v- זהו מספר השונה מאפס, שווה לאפס רק במקרים שבהם המונה של השבר שווה לאפס. בעקבות ההיגיון של המשפט לעיל, אנו יכולים לטעון שניתן לצמצם את הפתרון למשוואה p (x) q (x) = 0 למילוי שני תנאים: p(x)=0ו q(x) ≠ 0. זהו הבסיס לבניית אלגוריתם לפתרון משוואות רציונליות שבריות בצורת p (x) q (x) = 0:

• למצוא את הפתרון לכל המשוואה הרציונלית p(x)=0;
• אנו בודקים אם התנאי מתקיים עבור השורשים שנמצאו במהלך הפתרון q(x) ≠ 0.

אם תנאי זה מתקיים, אז השורש שנמצא, אם לא, אז השורש אינו פתרון לבעיה.

דוגמה 6

בוא נמצא את השורשים של המשוואה 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

פִּתָרוֹן

עסקינן במשוואה רציונלית שברית בצורת p (x) q (x) = 0, שבה p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0. בואו נתחיל לפתור את המשוואה הליניארית 3 x − 2 = 0. השורש של המשוואה הזו יהיה x = 2 3.

בואו נבדוק את השורש שנמצא כדי לראות אם הוא עומד בתנאי 5 x 2 − 2 ≠ 0. לשם כך, החלף ערך מספרי בביטוי. נקבל: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

התנאי מתקיים. זה אומר ש x = 2 3הוא השורש של המשוואה המקורית.

תשובה: 2 3 .

ישנה אפשרות נוספת לפתרון משוואות רציונליות שבריות p (x) q (x) = 0. נזכיר שמשוואה זו מקבילה לכל המשוואה p(x)=0באזור ערכים מקובליםמשתנה x של המשוואה המקורית. זה מאפשר לנו להשתמש באלגוריתם הבא בפתרון המשוואות p (x) q (x) = 0:

• פתור את המשוואה p(x)=0;
• מצא את טווח הערכים המותרים של המשתנה x;
• אנו לוקחים את השורשים שנמצאים בטווח הערכים המותרים של המשתנה x בתור השורשים הרצויים של המשוואה הרציונלית השברית המקורית.

דוגמה 7

פתרו את המשוואה x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.

פִּתָרוֹן

ראשית, בואו נפתור את המשוואה הריבועית x 2 − 2 x − 11 = 0. כדי לחשב את השורשים שלו, אנו משתמשים בנוסחת השורשים עבור המקדם השני הזוגי. אנחנו מקבלים D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12, ו-x = 1 ± 2 3.

כעת נוכל למצוא את ה-ODZ של המשתנה x עבור המשוואה המקורית. אלה כל המספרים שעבורם x 2 + 3 x ≠ 0. זה אותו דבר כמו x (x + 3) ≠ 0, משם x ≠ 0, x ≠ − 3.

כעת נבדוק האם השורשים x = 1 ± 2 3 שהתקבלו בשלב הראשון של הפתרון נמצאים בטווח הערכים המותרים של המשתנה x. אנחנו רואים אותם נכנסים. משמעות הדבר היא שלמשוואה הרציונלית השברית המקורית יש שני שורשים x = 1 ± 2 3.

תשובה: x = 1 ± 2 3

שיטת הפתרון השנייה שתוארה פשוטה יותר מהראשונה במקרים שבהם טווח הערכים המותרים של המשתנה x נמצא בקלות, ושורשי המשוואה p(x)=0לא הגיוני. לדוגמה, 7 ± 4 · 26 9. השורשים יכולים להיות רציונליים, אבל עם מונה או מכנה גדול. לדוגמה, 127 1101 ו − 31 59 . זה חוסך זמן בבדיקת המצב q(x) ≠ 0: הרבה יותר קל להוציא שורשים שאינם מתאימים לפי האו"ד.

במקרים בהם שורשי המשוואה p(x)=0הם מספרים שלמים, כדאי יותר להשתמש באלגוריתמים הראשון המתוארים לפתרון משוואות בצורה p (x) q (x) = 0. מצא את השורשים של משוואה שלמה מהר יותר p(x)=0, ולאחר מכן בדוק אם התנאי מתקיים עבורם q(x) ≠ 0, במקום למצוא את ה-ODZ, ואז לפתור את המשוואה p(x)=0על ה-ODZ הזה. זאת בשל העובדה שבמקרים כאלה בדרך כלל קל יותר לבדוק מאשר למצוא DZ.

דוגמה 8

מצא את שורשי המשוואה (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

פִּתָרוֹן

נתחיל בהסתכלות על המשוואה כולה (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0ולמצוא את שורשיו. לשם כך, אנו מיישמים את השיטה של ​​פתרון משוואות באמצעות פירוק לגורמים. מסתבר שהמשוואה המקורית שקולה לקבוצה של ארבע משוואות 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, מתוכן שלוש ליניאריות ו אחד הוא ריבועי. מציאת שורשים: מהמשוואה הראשונה x = 1 2, מהשנייה - x=6, מהשלישי - x = 7 , x = − 2 , מהרביעי - x = − 1.

בואו נבדוק את השורשים שהושגו. קשה לנו לקבוע את ה-ODZ במקרה זה, שכן לשם כך נצטרך לפתור משוואה אלגברית מהמעלה החמישית. יהיה קל יותר לבדוק את התנאי לפיו המכנה של השבר, שנמצא בצד שמאל של המשוואה, לא צריך להגיע לאפס.

הבה נחליף את השורשים במשתנה x בביטוי x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112וחשב את ערכו:

1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .

האימות שבוצע מאפשר לנו לקבוע שהשורשים של המשוואה הרציונלית השברית המקורית הם 1 2, 6 ו − 2 .

תשובה: 1 2 , 6 , - 2

דוגמה 9

מצא את השורשים של המשוואה הרציונלית השברית 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0.

פִּתָרוֹן

נתחיל לעבוד עם המשוואה (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. בואו נמצא את השורשים שלו. קל לנו יותר לדמיין את המשוואה הזו כקבוצה של משוואות ריבועיות וליניאריות 5 x 2 − 7 x − 1 = 0ו x − 2 = 0.

אנו משתמשים בנוסחה של השורשים של משוואה ריבועית כדי למצוא את השורשים. נקבל מהמשוואה הראשונה שני שורשים x = 7 ± 69 10, ומהשנייה x = 2.

יהיה לנו די קשה להחליף את ערך השורשים במשוואה המקורית כדי לבדוק את התנאים. יהיה קל יותר לקבוע את ה-ODZ של המשתנה x. במקרה זה, ה-ODZ של המשתנה x הוא כל המספרים מלבד אלו שעבורם מתקיים התנאי x 2 + 5 x - 14 = 0. נקבל: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

כעת נבדוק האם השורשים שמצאנו שייכים לטווח הערכים המותרים של המשתנה x.

השורשים x = 7 ± 69 10 שייכים, לכן, הם השורשים של המשוואה המקורית, ו x = 2- אינו שייך, לכן, הוא שורש חיצוני.

תשובה: x = 7 ± 69 10 .

הבה נבחן בנפרד את המקרים שבהם המונה של משוואה רציונלית שברית בצורת p (x) q (x) = 0 מכיל מספר. במקרים כאלה, אם המונה מכיל מספר שאינו אפס, אז למשוואה לא יהיו שורשים. אם מספר זה שווה לאפס, אז שורש המשוואה יהיה כל מספר מה-ODZ.

דוגמה 10

פתרו את המשוואה הרציונלית השברית - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

פִּתָרוֹן

למשוואה זו לא יהיו שורשים, שכן המונה של השבר בצד שמאל של המשוואה מכיל מספר שאינו אפס. המשמעות היא שבשום ערך של x לא יהיה ערך השבר שניתן בהצהרת הבעיה שווה לאפס.

תשובה:ללא שורשים.

דוגמה 11

פתרו את המשוואה 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

פִּתָרוֹן

מכיוון שהמונה של השבר מכיל אפס, הפתרון למשוואה יהיה כל ערך x מה-ODZ של המשתנה x.

עכשיו בואו נגדיר את ה-ODZ. זה יכלול את כל הערכים של x שעבורם x 4 + 5 x 3 ≠ 0. פתרונות למשוואה x 4 + 5 x 3 = 0הם 0 ו − 5 , שכן משוואה זו שווה ערך למשוואה x 3 (x + 5) = 0, וזה בתורו שווה ערך לשילוב של שתי משוואות x 3 = 0 ו x + 5 = 0, שבו השורשים הללו גלויים. אנו מגיעים למסקנה שהטווח הרצוי של ערכים מקובלים הוא כל x למעט x = 0ו x = − 5.

מסתבר שלמשוואה הרציונלית השברית 0 x 4 + 5 x 3 = 0 יש מספר אינסופי של פתרונות, שהם כל מספר מלבד אפס ו-5.

תשובה: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

עכשיו בואו נדבר על משוואות רציונליות שבריות של צורה שרירותית ושיטות לפתרונן. אפשר לכתוב אותם בתור r(x) = s(x), איפה r(x)ו s(x)– ביטויים רציונליים, ולפחות אחד מהם הוא חלקי. פתרון משוואות כאלה מצטמצם לפתרון משוואות בצורה p (x) q (x) = 0.

אנחנו כבר יודעים שאנחנו יכולים להשיג משוואה שווה על ידי העברת ביטוי מצד ימין של המשוואה לשמאל עם הסימן ההפוך. זה אומר שהמשוואה r(x) = s(x)שווה ערך למשוואה r (x) − s (x) = 0. כבר דנו בדרכים להמיר ביטוי רציונלי לשבר רציונלי. הודות לכך, אנו יכולים להפוך את המשוואה בקלות r (x) − s (x) = 0לשבר רציונלי זהה מהצורה p (x) q (x) .

אז אנחנו עוברים מהמשוואה הרציונלית השברית המקורית r(x) = s(x)למשוואה בצורה p (x) q (x) = 0, שכבר למדנו לפתור.

יש לקחת בחשבון כי בעת ביצוע מעברים מ r (x) − s (x) = 0ל-p(x)q(x) = 0 ולאחר מכן ל p(x)=0ייתכן שלא ניקח בחשבון את הרחבת טווח הערכים המותרים של המשתנה x.

בהחלט ייתכן שהמשוואה המקורית r(x) = s(x)ומשוואה p(x)=0כתוצאה מהשינויים הם יפסיקו להיות שוות ערך. ואז הפתרון למשוואה p(x)=0יכול לתת לנו שורשים שיהיו זרים להם r(x) = s(x). בהקשר זה, בכל מקרה יש צורך לבצע אימות בכל אחת מהשיטות שתוארו לעיל.

כדי להקל עליך ללמוד את הנושא, ריכזנו את כל המידע לאלגוריתם לפתרון משוואה רציונלית שברית של הצורה r(x) = s(x):

• אנו מעבירים את הביטוי מצד ימין עם הסימן ההפוך ומקבלים אפס בצד ימין;
• להפוך את הביטוי המקורי לשבר רציונלי p (x) q (x), תוך ביצוע פעולות ברצף עם שברים ופולינומים;
• פתור את המשוואה p(x)=0;
• אנו מזהים שורשים זרים על ידי בדיקת השתייכותם ל-ODZ או על ידי החלפה במשוואה המקורית.

מבחינה ויזואלית, שרשרת הפעולות תיראה כך:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → חיסול שורשים חיצוניים

דוגמה 12

פתרו את המשוואה הרציונלית השברית x x + 1 = 1 x + 1.

פִּתָרוֹן

נעבור למשוואה x x + 1 - 1 x + 1 = 0. הבה נהפוך את הביטוי הרציונלי השבר בצד שמאל של המשוואה לצורה p (x) q (x) .

לשם כך, נצטרך לצמצם שברים רציונליים למכנה משותף ולפשט את הביטוי:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

כדי למצוא את שורשי המשוואה - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, עלינו לפתור את המשוואה − 2 x − 1 = 0. אנחנו מקבלים שורש אחד x = - 1 2.

כל שעלינו לעשות הוא לבדוק באמצעות כל אחת מהשיטות. בואו נסתכל על שניהם.

הבה נחליף את הערך המתקבל במשוואה המקורית. נקבל - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. הגענו לשוויון המספרי הנכון − 1 = − 1 . זה אומר ש x = − 1 2הוא השורש של המשוואה המקורית.

עכשיו בואו נבדוק דרך ה-ODZ. הבה נקבע את טווח הערכים המותרים של המשתנה x. זו תהיה כל קבוצת המספרים, למעט − 1 ו-0 (ב-x = − 1 ו-x = 0, המכנים של השברים נעלמים). השורש שהשגנו x = − 1 2שייך ל-ODZ. זה אומר שזה השורש של המשוואה המקורית.

תשובה: − 1 2 .

דוגמה 13

מצא את השורשים של המשוואה x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x.

פִּתָרוֹן

אנו עוסקים במשוואה רציונלית שברית. לכן, נפעל לפי האלגוריתם.

נעביר את הביטוי מצד ימין לשמאל עם הסימן ההפוך: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

הבה נבצע את התמורות הדרושות: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

אנחנו מגיעים למשוואה x = 0. השורש של משוואה זו הוא אפס.

הבה נבדוק אם השורש הזה זר למשוואה המקורית. בואו נחליף את הערך במשוואה המקורית: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. כפי שאתה יכול לראות, המשוואה המתקבלת אינה הגיונית. המשמעות היא ש-0 הוא שורש חיצוני, ולמשוואה הרציונלית השברית המקורית אין שורשים.

תשובה:ללא שורשים.

אם לא כללנו טרנספורמציות מקבילות אחרות באלגוריתם, זה לא אומר שלא ניתן להשתמש בהן. האלגוריתם הוא אוניברסלי, אבל הוא נועד לעזור, לא להגביל.

דוגמה 14

פתרו את המשוואה 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

פִּתָרוֹן

הדרך הקלה ביותר היא לפתור את המשוואה הרציונלית השברית הנתונה לפי האלגוריתם. אבל יש דרך אחרת. בואו נשקול את זה.

נחסר 7 מצד ימין ושמאל, נקבל: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

מכאן נוכל להסיק שהביטוי במכנה בצד שמאל חייב להיות שווה להדדיות של המספר בצד ימין, כלומר 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.

הורידו 3 משני הצדדים: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. באנלוגיה, 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, משם 1 5 - x 2 = 1 3, ולאחר מכן 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

הבה נבצע בדיקה כדי לקבוע אם השורשים שנמצאו הם השורשים של המשוואה המקורית.

תשובה: x = ± 2

אם אתה מבחין בשגיאה בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

מצגת ושיעור בנושא: "משוואות רציונליות. אלגוריתם ודוגמאות לפתרון משוואות רציונליות"

חומרים נוספים
משתמשים יקרים, אל תשכחו להשאיר הערות, ביקורות, משאלות! כל החומרים נבדקו על ידי תוכנת אנטי וירוס.

עזרים חינוכיים וסימולטורים בחנות המקוונת אינטגרל לכיתה ח'
מדריך לספר הלימוד מאת Makarychev Yu.N. מדריך לספר הלימוד מאת מורדקוביץ' א.ג.

מבוא למשוואות אי-רציונליות

חבר'ה, למדנו איך לפתור משוואות ריבועיות. אבל המתמטיקה אינה מוגבלת רק אליהם. היום נלמד איך לפתור משוואות רציונליות. המושג של משוואות רציונליות דומה במובנים רבים למושג המספרים הרציונליים. רק בנוסף למספרים, עכשיו הצגנו איזה משתנה $x$. וכך אנו מקבלים ביטוי בו קיימות פעולות החיבור, החיסור, הכפל, החלוקה וההעלאה לחזקה שלמה.

תן $r(x)$ להיות ביטוי רציונלי. ביטוי כזה יכול להיות פולינום פשוט במשתנה $x$ או יחס של פולינומים (מוכנסת פעולת חלוקה, כמו למספרים רציונליים).
המשוואה $r(x)=0$ נקראת משוואה רציונלית.
כל משוואה בצורה $p(x)=q(x)$, שבה $p(x)$ ו-$q(x)$ הם ביטויים רציונליים, תהיה גם משוואה רציונלית.

בואו נסתכל על דוגמאות לפתרון משוואות רציונליות.

דוגמה 1.
פתרו את המשוואה: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

פִּתָרוֹן.
הבה נעביר את כל הביטויים לצד שמאל: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
אם הצד השמאלי של המשוואה היה מיוצג על ידי מספרים רגילים, אז היינו מצמצמים את שני השברים למכנה משותף.
בוא נעשה זאת: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
קיבלנו את המשוואה: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

שבר שווה לאפס אם ורק אם המונה של השבר הוא אפס והמכנה אינו אפס. לאחר מכן נשווה בנפרד את המונה לאפס ונמצא את שורשי המונה.
$3(x^2+2x-3)=0$ או $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
כעת נבדוק את המכנה של השבר: $(x-3)*x≠0$.
המכפלה של שני מספרים שווה לאפס כאשר לפחות אחד מהמספרים האלה שווה לאפס. לאחר מכן: $x≠0$ או $x-3≠0$.
$x≠0$ או $x≠3$.
השורשים המתקבלים במונה ובמכנה אינם חופפים. אז אנחנו רושמים את שני השורשים של המונה בתשובה.
תשובה: $x=1$ או $x=-3$.

אם פתאום אחד משורשי המונה עולה בקנה אחד עם שורש המכנה, אזי יש לשלול אותו. שורשים כאלה נקראים זרים!

אלגוריתם לפתרון משוואות רציונליות:

1. העבר את כל הביטויים הכלולים במשוואה לצד שמאל של סימן השוויון.
2. המר חלק זה של המשוואה ל שבר אלגברי: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. השוו את המונה המתקבל לאפס, כלומר פתרו את המשוואה $p(x)=0$.
4. השוו את המכנה לאפס ופתרו את המשוואה שהתקבלה. אם שורשי המכנה עולים בקנה אחד עם שורשי המונה, אזי יש להוציאם מהתשובה.

דוגמה 2.
פתרו את המשוואה: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

פִּתָרוֹן.
בואו נפתור לפי נקודות האלגוריתם.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. השווה את המונה לאפס: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. השווה את המכנה לאפס:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ ו-$x=-1$.
אחד השורשים $x=1$ חופף לשורש המונה, אז אנחנו לא רושמים אותו בתשובה.
תשובה: $x=-1$.

נוח לפתור משוואות רציונליות בשיטת שינוי המשתנים. בואו נדגים זאת.

דוגמה 3.
פתרו את המשוואה: $x^4+12x^2-64=0$.

פִּתָרוֹן.
בואו נציג את התחליף: $t=x^2$.
אז המשוואה שלנו תלבש את הצורה:
$t^2+12t-64=0$ - משוואה ריבועית רגילה.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4.
בואו נציג את ההחלפה ההפוכה: $x^2=4$ או $x^2=-16$.
השורשים של המשוואה הראשונה הם זוג מספרים $x=±2$. הדבר השני הוא שאין לו שורשים.
תשובה: $x=±2$.

דוגמה 4.
פתרו את המשוואה: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
פִּתָרוֹן.
בואו נציג משתנה חדש: $t=x^2+x+1$.
לאחר מכן המשוואה תקבל את הצורה: $t=\frac(15)(t+2)$.
בשלב הבא נמשיך לפי האלגוריתם.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - השורשים אינם חופפים.
בואו נציג החלפה הפוכה.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
בואו נפתור כל משוואה בנפרד:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - לא שורשים.
והמשוואה השנייה: $x^2+x-2=0$.
השורשים של משוואה זו יהיו המספרים $x=-2$ ו-$x=1$.
תשובה: $x=-2$ ו-$x=1$.

דוגמה 5.
פתרו את המשוואה: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

פִּתָרוֹן.
בואו נציג את התחליף: $t=x+\frac(1)(x)$.
לאחר מכן:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ או $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
קיבלנו את המשוואה: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
השורשים של משוואה זו הם הזוג:
$t=-3$ ו-$t=2$.
בואו נציג את ההחלפה ההפוכה:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
נחליט בנפרד.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
בואו נפתור את המשוואה השנייה:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
השורש של משוואה זו הוא המספר $x=1$.
תשובה: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

בעיות לפתרון עצמאי

לפתור משוואות:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

בואו נמשיך לדבר על פתרון משוואות. במאמר זה נפרט על משוואות רציונליותועקרונות של פתרון משוואות רציונליות עם משתנה אחד. ראשית, בואו נבין איזה סוג של משוואות נקראות רציונליות, ניתן הגדרה של משוואות רציונליות שלמות ושבריות, וניתן דוגמאות. לאחר מכן, נשיג אלגוריתמים לפתרון משוואות רציונליות, וכמובן נשקול פתרונות לדוגמאות טיפוסיות עם כל ההסברים הנדרשים.

ניווט בדף.

בהתבסס על ההגדרות המוצהרות, אנו נותנים מספר דוגמאות של משוואות רציונליות. לדוגמה, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , הן כולן משוואות רציונליות.

מהדוגמאות המוצגות ברור שמשוואות רציונליות, כמו גם משוואות מסוגים אחרים, יכולות להיות עם משתנה אחד, או עם שניים, שלושה וכו'. משתנים. בפסקאות הבאות נדבר על פתרון משוואות רציונליות עם משתנה אחד. פתרון משוואות בשני משתניםוהם מספר גדולראוי לתשומת לב מיוחדת.

בנוסף לחלוקת המשוואות הרציונליות במספר המשתנים הלא ידועים, הן מחולקות גם למספרים שלמים ושברים. הבה ניתן את ההגדרות המתאימות.

הַגדָרָה.

המשוואה הרציונלית נקראת כֹּל, אם גם הצד השמאלי והימני שלו הם ביטויים רציונליים שלמים.

הַגדָרָה.

אם לפחות אחד מהחלקים של משוואה רציונלית הוא ביטוי שבר, אז משוואה כזו נקראת רציונלי באופן חלקי(או רציונל חלקי).

ברור שמשוואות שלמות אינן מכילות חלוקה במשתנה, להיפך, משוואות רציונליות שבריות מכילות בהכרח חלוקה במשתנה (או משתנה במכנה). אז 3 x+2=0 ו (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0.5– אלו הן משוואות רציונליות שלמות, שני חלקיהן הם ביטויים שלמים. A ו-x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 הן דוגמאות למשוואות רציונליות שבריות.

לסיום נקודה זו, הבה נשים לב לעובדה שהמשוואות הליניאריות והמשוואות הריבועיות המוכרות עד לנקודה זו הן משוואות רציונליות שלמות.

פתרון משוואות שלמות

אחת הגישות העיקריות לפתרון משוואות שלמות היא צמצום למשוואות שוות משוואות אלגבריות. זה תמיד יכול להיעשות על ידי ביצוע הטרנספורמציות השקולות הבאות של המשוואה:

• ראשית, הביטוי מהצד הימני של משוואת המספרים השלמים המקורית מועבר לצד השמאלי עם הסימן ההפוך כדי לקבל אפס בצד ימין;
• לאחר מכן, בצד שמאל של המשוואה הצורה הסטנדרטית המתקבלת.

התוצאה היא משוואה אלגברית המקבילה למשוואת המספרים השלמים המקורית. כך, במקרים הפשוטים ביותר, פתרון משוואות שלמות מצטמצם לפתרון משוואות ליניאריות או ריבועיות, ובמקרה הכללי, לפתרון משוואה אלגברית בדרגה n. למען הבהירות, בואו נסתכל על הפתרון לדוגמא.

דוגמא.

מצא את השורשים של המשוואה כולה 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

פִּתָרוֹן.

הבה נצמצם את הפתרון של כל המשוואה הזו לפתרון של משוואה אלגברית שווה ערך. לשם כך, ראשית, נעביר את הביטוי מצד ימין לשמאל, וכתוצאה מכך אנו מגיעים למשוואה 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. ושנית, אנו הופכים את הביטוי שנוצר בצד שמאל לפולינום בצורה סטנדרטית על ידי השלמת הדרוש: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. לפיכך, פתרון המשוואה השלם המקורית מצטמצם לפתרון המשוואה הריבועית x 2 −5·x−6=0.

אנו מחשבים את המבחין שלו D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, הוא חיובי, כלומר למשוואה יש שני שורשים ממשיים, אותם אנו מוצאים באמצעות הנוסחה לשורשים של משוואה ריבועית:

כדי להיות בטוחים לגמרי, בואו נעשה את זה בדיקת השורשים שנמצאו של המשוואה. ראשית בודקים את השורש 6, מחליפים אותו במקום המשתנה x במשוואת השלם המקורית: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, שהוא זהה, 63=63. זוהי משוואה מספרית תקפה, לכן x=6 הוא אכן שורש המשוואה. עכשיו אנחנו בודקים את השורש −1, יש לנו 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, מאיפה, 0=0 . כאשר x=−1, המשוואה המקורית הופכת גם היא לשוויון מספרי נכון, לכן, x=−1 הוא גם שורש המשוואה.

תשובה:

6 , −1 .

כאן יש לציין גם שהמונח "דרגת המשוואה כולה" קשור לייצוג של משוואה שלמה בצורה של משוואה אלגברית. הבה ניתן את ההגדרה המתאימה:

הַגדָרָה.

כוחה של המשוואה כולהנקרא דרגת משוואה אלגברית שווה ערך.

לפי הגדרה זו, לכל המשוואה מהדוגמה הקודמת יש את התואר השני.

זה יכול היה להיות הסוף של פתרון משוואות רציונליות שלמות, אם לא דבר אחד... כידוע, פתרון משוואות אלגבריות של מעלות מעל השנייה קשור בקשיים משמעותיים, ולמשוואות מעלות מעל הרביעית אין כלל נוסחאות שורש כלליות. לכן, כדי לפתור משוואות שלמות מהמעלה השלישית, הרביעית והגבוהה יותר, יש צורך לעתים קרובות להיעזר בשיטות פתרון אחרות.

במקרים כאלה, גישה לפתרון משוואות רציונליות שלמות על בסיס שיטת הפירוק לגורמים. במקרה זה, האלגוריתם הבא מוקפד:

• ראשית, הם מבטיחים שיש אפס בצד ימין של המשוואה, כדי לעשות זאת, הם מעבירים את הביטוי מהצד הימני של המשוואה כולה לשמאל;
• לאחר מכן, הביטוי המתקבל בצד שמאל מוצג כמכפלה של מספר גורמים, מה שמאפשר לנו לעבור לקבוצה של כמה משוואות פשוטות יותר.

האלגוריתם הנתון לפתרון משוואה שלמה באמצעות פירוק לגורמים דורש הסבר מפורט באמצעות דוגמה.

דוגמא.

פתור את כל המשוואה (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 -10 x+13) .

פִּתָרוֹן.

ראשית, כרגיל, אנו מעבירים את הביטוי מצד ימין לצד שמאל של המשוואה, לא שוכחים לשנות את הסימן, נקבל (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 -10 x+13)=0 . כאן זה די ברור שלא כדאי להפוך את הצד השמאלי של המשוואה המתקבלת לפולינום של הצורה הסטנדרטית, שכן זה ייתן משוואה אלגברית מהמעלה הרביעית של הצורה. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, שהפתרון שלו קשה.

מצד שני, ברור שבצד שמאל של המשוואה המתקבלת נוכל x 2 −10 x+13, ובכך להציג אותה כמכפלה. יש לנו (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. המשוואה המתקבלת שוות ערך למשוואה כולה המקורית, והיא, בתורה, יכולה להיות מוחלפת בקבוצה של שתי משוואות ריבועיות x 2 −10·x+13=0 ו-x 2 −2·x−1=0. לא קשה למצוא את השורשים שלהם באמצעות נוסחאות שורש ידועות באמצעות אבחנה; השורשים שווים. הם השורשים הרצויים של המשוואה המקורית.

תשובה:

שימושי גם לפתרון משוואות רציונליות שלמות שיטה להכנסת משתנה חדש. במקרים מסוימים היא מאפשרת לעבור למשוואות שהדרגה שלהן נמוכה מהדרגה של המשוואה כולה המקורית.

דוגמא.

מצא את השורשים האמיתיים של משוואה רציונלית (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

פִּתָרוֹן.

לצמצם את כל המשוואה הרציונלית הזו למשוואה אלגברית זה, בלשון המעטה, לא רעיון טוב במיוחד, שכן במקרה זה נגיע לצורך לפתור משוואה מדרגה רביעית שאין לה שורשים רציונליים. לכן, תצטרך לחפש פתרון אחר.

כאן קל לראות שניתן להציג משתנה חדש y ולהחליף בו את הביטוי x 2 +3·x. החלפה זו מובילה אותנו למשוואה כולה (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , אשר לאחר הזזת הביטוי −2·(y−4) לצד שמאל ולאחר מכן טרנספורמציה של הביטוי נוצר שם, מצטמצם למשוואה ריבועית y 2 +4·y+3=0. שורשי המשוואה הזו y=−1 ו-y=−3 קלים למצוא, למשל, ניתן לבחור אותם על סמך המשפט ההפוך למשפט של וייטה.

כעת נעבור לחלק השני של השיטה של ​​הכנסת משתנה חדש, כלומר לביצוע החלפה הפוכה. לאחר ביצוע ההחלפה ההפוכה, נקבל שתי משוואות x 2 +3 x=−1 ו-x 2 +3 x=−3, אותן ניתן לכתוב מחדש כ-x 2 +3 x+1=0 ו-x 2 +3 x+3 =0 . בעזרת הנוסחה של השורשים של משוואה ריבועית, נמצא את השורשים של המשוואה הראשונה. ולמשוואה הריבועית השנייה אין שורשים ממשיים, שכן המבחין שלה הוא שלילי (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

תשובה:

באופן כללי, כאשר אנו עוסקים במשוואות שלמות בדרגות גבוהות, עלינו להיות מוכנים תמיד לחפש שיטה לא סטנדרטית או טכניקה מלאכותית לפתרונן.

פתרון משוואות רציונליות שברים

ראשית, זה יהיה שימושי להבין כיצד לפתור משוואות רציונליות שבריות של הצורה, כאשר p(x) ו-q(x) הם ביטויים רציונליים שלמים. ואז נראה כיצד לצמצם את הפתרון של משוואות רציונליות שבריריות אחרות לפתרון של משוואות מהסוג המצוין.

גישה אחת לפתרון המשוואה מבוססת על המשפט הבא: השבר המספרי u/v, שבו v הוא מספר שאינו אפס (אחרת נפגוש , שאינו מוגדר), שווה לאפס אם ורק אם המונה שלו הוא שווה לאפס, אז הוא, אם ורק אם u=0 . מכוח משפט זה, פתרון המשוואה מצטמצם למילוי שני תנאים p(x)=0 ו-q(x)≠0.

מסקנה זו תואמת את הדברים הבאים אלגוריתם לפתרון משוואה רציונלית שברית. כדי לפתור משוואה רציונלית שברית של הצורה , אתה צריך

• לפתור את כל המשוואה הרציונלית p(x)=0;
• ולבדוק האם התנאי q(x)≠0 מתקיים עבור כל שורש שנמצא, בעוד
• אם זה נכון, אז השורש הזה הוא השורש של המשוואה המקורית;
• אם הוא לא מרוצה, אז השורש הזה הוא חוץ, כלומר, הוא לא השורש של המשוואה המקורית.

בואו נסתכל על דוגמה לשימוש באלגוריתם המוכרז בעת פתרון משוואה רציונלית שברית.

דוגמא.

מצא את שורשי המשוואה.

פִּתָרוֹן.

זוהי משוואה רציונלית שברית, ובצורה , שבה p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

לפי האלגוריתם לפתרון משוואות רציונליות שבריות מסוג זה, עלינו לפתור תחילה את המשוואה 3 x−2=0. זֶה משוואה לינארית, שהשורש שלו הוא x=2/3.

נותר לבדוק את השורש הזה, כלומר לבדוק האם הוא עומד בתנאי 5 x 2 −2≠0. נחליף את המספר 2/3 בביטוי 5 x 2 −2 במקום x, ונקבל . התנאי מתקיים, אז x=2/3 הוא השורש של המשוואה המקורית.

תשובה:

2/3 .

אתה יכול לגשת לפתרון משוואה רציונלית שברית ממיקום קצת שונה. משוואה זו מקבילה למשוואת המספרים השלם p(x)=0 על המשתנה x של המשוואה המקורית. כלומר, אתה יכול לדבוק בזה אלגוריתם לפתרון משוואה רציונלית שברית :

• לפתור את המשוואה p(x)=0 ;
• מצא את ה-ODZ של המשתנה x;
• שורשים השייכים לאזור הערכים המקובלים - הם השורשים הרצויים של המשוואה הרציונלית השברית המקורית.

לדוגמה, בואו נפתור משוואה רציונלית שברית באמצעות אלגוריתם זה.

דוגמא.

פתור את המשוואה.

פִּתָרוֹן.

ראשית, נפתור את המשוואה הריבועית x 2 −2·x−11=0. ניתן לחשב את השורשים שלו באמצעות נוסחת השורש עבור המקדם השני הזוגי, יש לנו D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, ו .

שנית, אנו מוצאים את ה-ODZ של המשתנה x עבור המשוואה המקורית. הוא מורכב מכל המספרים שעבורם x 2 +3·x≠0, שהוא זהה ל-x·(x+3)≠0, ומכאן x≠0, x≠−3.

נותר לבדוק האם השורשים שנמצאו בשלב הראשון כלולים ב-ODZ. כמובן שכן. לכן, למשוואה הרציונלית השברית המקורית יש שני שורשים.

תשובה:

שימו לב שגישה זו רווחית יותר מהראשונה אם קל למצוא את ה-ODZ, והיא מועילה במיוחד אם שורשי המשוואה p(x) = 0 הם אי-רציונליים, למשל, או רציונליים, אך עם מונה די גדול ו /או מכנה, לדוגמה, 127/1101 ו-31/59. זאת בשל העובדה שבמקרים כאלה, בדיקת התנאי q(x)≠0 תדרוש מאמץ חישובי משמעותי, וקל יותר להוציא שורשים זרים באמצעות ה-ODZ.

במקרים אחרים, כאשר פותרים את המשוואה, במיוחד כאשר שורשי המשוואה p(x) = 0 הם מספרים שלמים, כדאי יותר להשתמש באלגוריתמים הראשון מבין הנתונים. כלומר, רצוי למצוא מיד את השורשים של כל המשוואה p(x)=0, ולאחר מכן לבדוק האם התנאי q(x)≠0 מתקיים עבורם, במקום למצוא את ה-ODZ, ואז לפתור את המשוואה. p(x)=0 ב-ODZ הזה. זאת בשל העובדה שבמקרים כאלה בדרך כלל קל יותר לבדוק מאשר למצוא DZ.

הבה נבחן את הפתרון של שתי דוגמאות כדי להמחיש את הניואנסים שצוינו.

דוגמא.

מצא את שורשי המשוואה.

פִּתָרוֹן.

ראשית, בואו נמצא את השורשים של המשוואה כולה (2 x-1) (x-6) (x 2 -5 x+14) (x+1)=0, מורכב באמצעות המונה של השבר. צד שמאלשל משוואה זו היא מכפלה, ויד ימין היא אפס, לכן, לפי שיטת פתרון משוואות באמצעות פירוק לגורמים, משוואה זו שווה ערך לקבוצה של ארבע משוואות 2 x−1=0 , x−6=0 , x 2 −5 x+14= 0 , x+1=0 . שלוש מהמשוואות הללו הן ליניאריות ואחת היא ריבועית; אנחנו יכולים לפתור אותן. מהמשוואה הראשונה נמצא x=1/2, מהשנייה - x=6, מהשלישית - x=7, x=−2, מהרביעית - x=−1.

עם השורשים שנמצאו, די קל לבדוק אם המכנה של השבר בצד שמאל של המשוואה המקורית נעלם, אבל קביעת ה-ODZ, להיפך, אינה כל כך פשוטה, שכן לשם כך תצטרך לפתור משוואה אלגברית מהמעלה החמישית. לכן, נוותר על מציאת ה-ODZ לטובת בדיקת השורשים. לשם כך, נחליף אותם אחד אחד במקום המשתנה x בביטוי x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, מתקבלים לאחר החלפה, והשוו אותם לאפס: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

לפיכך, 1/2, 6 ו-2 הם השורשים הרצויים של המשוואה הרציונלית השברית המקורית, ו-7 ו-1 הם שורשים זרים.

תשובה:

1/2 , 6 , −2 .

דוגמא.

מצא את השורשים של משוואה רציונלית שברית.

פִּתָרוֹן.

ראשית, בואו נמצא את שורשי המשוואה (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. משוואה זו מקבילה לקבוצה של שתי משוואות: ריבוע 5 x 2 −7 x−1=0 וליניארי x−2=0. באמצעות הנוסחה לשורשים של משוואה ריבועית, נמצא שני שורשים, ומהמשוואה השנייה יש לנו x=2.

בדיקה אם המכנה עובר לאפס בערכים שנמצאו של x היא די לא נעימה. וקביעת טווח הערכים המותרים של המשתנה x במשוואה המקורית היא די פשוטה. לכן, נפעל באמצעות ODZ.

במקרה שלנו, ה-ODZ של המשתנה x של המשוואה הרציונלית השברית המקורית מורכבת מכל המספרים מלבד אלו שעבורם מתקיים התנאי x 2 +5·x−14=0. השורשים של המשוואה הריבועית הזו הם x=−7 ו-x=2, שממנה אנו מסיקים מסקנה לגבי ה-ODZ: הוא מורכב מכל x כך ש.

נותר לבדוק האם השורשים שנמצאו ו-x=2 שייכים לטווח הערכים המקובלים. השורשים שייכים, לכן, הם שורשים של המשוואה המקורית, ו-x=2 אינו שייך, לכן, זהו שורש חיצוני.

תשובה:

זה יהיה שימושי גם להתעכב בנפרד על המקרים שבהם במשוואה רציונלית שברית של הצורה יש מספר במונה, כלומר, כאשר p(x) מיוצג על ידי מספר כלשהו. איפה

• אם מספר זה אינו אפס, אז למשוואה אין שורשים, שכן שבר שווה לאפס אם ורק אם המונה שלו שווה לאפס;
• אם המספר הזה הוא אפס, אז השורש של המשוואה הוא כל מספר מה-ODZ.

דוגמא.

פִּתָרוֹן.

מכיוון שהמונה של השבר בצד שמאל של המשוואה מכיל מספר שאינו אפס, אז עבור כל x הערך של השבר הזה לא יכול להיות שווה לאפס. לכן, למשוואה זו אין שורשים.

תשובה:

ללא שורשים.

דוגמא.

פתור את המשוואה.

פִּתָרוֹן.

המונה של השבר בצד שמאל של המשוואה הרציונלית השברית הזו מכיל אפס, ולכן הערך של השבר הזה הוא אפס עבור כל x שהוא הגיוני עבורו. במילים אחרות, הפתרון למשוואה זו הוא כל ערך של x מה-ODZ של משתנה זה.

נותר לקבוע טווח זה של ערכים מקובלים. הוא כולל את כל הערכים של x שעבורם x 4 +5 x 3 ≠0. הפתרונות למשוואה x 4 +5 x 3 =0 הם 0 ו-5, מכיוון שמשוואה זו מקבילה למשוואה x 3 (x+5)=0, והיא בתורה שווה ערך לשילוב של שתי משוואות x 3 =0 ו-x +5=0, מהמקום שבו השורשים הללו נראים. לכן, הטווח הרצוי של ערכים מקובלים הוא כל x למעט x=0 ו-x=−5.

לפיכך, למשוואה רציונלית שברית יש אינסוף פתרונות, שהם כל מספר מלבד אפס ומינוס חמש.

תשובה:

לבסוף, הגיע הזמן לדבר על פתרון משוואות רציונליות שבריריות של צורה שרירותית. ניתן לכתוב אותם כ-r(x)=s(x), כאשר r(x) ו-s(x) הם ביטויים רציונליים, ולפחות אחד מהם הוא חלקי. במבט קדימה, נניח שהפתרון שלהם מסתכם בפתרון משוואות מהצורה שכבר מוכרת לנו.

ידוע שהעברת איבר מחלק אחד של המשוואה לאחר עם הסימן ההפוך מובילה למשוואה שוות ערך, לכן המשוואה r(x)=s(x) שווה ערך למשוואה r(x)−s(x) )=0.

אנו גם יודעים שכל , שווה ערך לביטוי זה, אפשרי. לפיכך, אנו תמיד יכולים להפוך את הביטוי הרציונלי בצד השמאלי של המשוואה r(x)−s(x)=0 לשבר רציונלי שווה זהה של הצורה.

אז אנחנו עוברים מהמשוואה הרציונלית השברית המקורית r(x)=s(x) למשוואה, והפתרון שלה, כפי שגילינו למעלה, מצטמצם לפתרון המשוואה p(x)=0.

אבל כאן יש צורך לקחת בחשבון את העובדה שכאשר מחליפים את r(x)−s(x)=0 ב-, ולאחר מכן ב-p(x)=0, טווח הערכים המותרים של המשתנה x עשוי להתרחב .

כתוצאה מכך, המשוואה המקורית r(x)=s(x) והמשוואה p(x)=0 שאליה הגענו עשויות להתברר כלא שוות, ועל ידי פתרון המשוואה p(x)=0, נוכל לקבל שורשים שיהיו שורשים זרים של המשוואה המקורית r(x)=s(x) . ניתן לזהות ולא לכלול שורשים זרים בתשובה על ידי ביצוע בדיקה או על ידי בדיקה שהם שייכים ל-ODZ של המשוואה המקורית.

בואו נסכם את המידע הזה ב אלגוריתם לפתרון משוואה רציונלית שברית r(x)=s(x). כדי לפתור את המשוואה הרציונלית השברית r(x)=s(x), אתה צריך

• קבל אפס מימין על ידי הזזת הביטוי מצד ימין עם הסימן ההפוך.
• בצע פעולות עם שברים ופולינומים בצד שמאל של המשוואה, ובכך להפוך אותה לשבר רציונלי של הצורה.
• פתרו את המשוואה p(x)=0.
• זיהוי וביטול שורשים זרים, דבר הנעשה על ידי החלפתם במשוואה המקורית או על ידי בדיקת השתייכותם ל-ODZ של המשוואה המקורית.

לבהירות רבה יותר, נציג את כל השרשרת של פתרון משוואות רציונליות שברים:
.

הבה נסתכל על הפתרונות של מספר דוגמאות עם הסבר מפורט על תהליך הפתרון על מנת להבהיר את גוש המידע הנתון.

דוגמא.

פתור משוואה רציונלית שברית.

פִּתָרוֹן.

אנו נפעל בהתאם לאלגוריתם הפתרון שהושג זה עתה. ותחילה נעביר את האיברים מהצד הימני של המשוואה לשמאל, כתוצאה מכך נעבור למשוואה.

בשלב השני, עלינו להמיר את הביטוי הרציונלי השבר בצד שמאל של המשוואה המתקבלת לצורה של שבר. לשם כך, אנו מבצעים גבס שברים רציונלייםלמכנה משותף ולפשט את הביטוי המתקבל:. אז אנחנו מגיעים למשוואה.

בשלב הבא, עלינו לפתור את המשוואה −2·x−1=0. נמצא x=−1/2.

נותר לבדוק אם המספר שנמצא −1/2 אינו שורש חיצוני של המשוואה המקורית. כדי לעשות זאת, אתה יכול לבדוק או למצוא את ה-VA של המשתנה x של המשוואה המקורית. בואו נדגים את שתי הגישות.

נתחיל בבדיקה. נחליף את המספר −1/2 במשוואה המקורית במקום המשתנה x, ונקבל את אותו הדבר, −1=−1. ההחלפה נותנת את השוויון המספרי הנכון, כך ש-x=−1/2 הוא השורש של המשוואה המקורית.

כעת נראה כיצד מתבצעת הנקודה האחרונה של האלגוריתם דרך ODZ. טווח הערכים המותרים של המשוואה המקורית הוא קבוצת כל המספרים מלבד −1 ו-0 (ב-x=−1 ו-x=0 נעלמים המכנים של השברים). השורש x=−1/2 שנמצא בשלב הקודם שייך ל-ODZ, לכן, x=−1/2 הוא השורש של המשוואה המקורית.

תשובה:

−1/2 .

בואו נסתכל על דוגמה נוספת.

דוגמא.

מצא את שורשי המשוואה.

פִּתָרוֹן.

אנחנו צריכים לפתור משוואה רציונלית שברית, בואו נעבור על כל שלבי האלגוריתם.

ראשית, נעביר את המונח מצד ימין לשמאל, נקבל .

שנית, אנו הופכים את הביטוי שנוצר בצד שמאל: . כתוצאה מכך, אנו מגיעים למשוואה x=0.

השורש שלו ברור - הוא אפס.

בשלב הרביעי, נותר לברר אם השורש שנמצא הוא חוץ למשוואה הרציונלית השברית המקורית. כאשר הוא מוחלף לתוך המשוואה המקורית, הביטוי מתקבל. ברור שזה לא הגיוני כי הוא מכיל חלוקה באפס. מכאן אנו מסיקים ש-0 הוא שורש חיצוני. לכן, למשוואה המקורית אין שורשים.

7, שמוביל ל-Eq. מכאן נוכל להסיק שהביטוי במכנה של צד שמאל חייב להיות שווה לזה של צד ימין, כלומר. כעת נחסר משני הצדדים של השלשה:. באנלוגיה, מאיפה והלאה.

הבדיקה מראה ששני השורשים שנמצאו הם שורשים של המשוואה הרציונלית השברית המקורית.

תשובה:

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה.

• אַלגֶבּרָה:ספר לימוד לכיתה ח'. חינוך כללי מוסדות / [יו. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; נערך על ידי ש"א טליקובסקי. - מהדורה 16. - מ.: חינוך, 2008. - 271 עמ'. : חולה. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• מורדקוביץ' א.ג.אַלגֶבּרָה. כיתה ח'. בעוד שעתיים חלק א' ספר לימוד לתלמידי מוסדות חינוך כללי / א.ג. מורדקוביץ'. - מהדורה 11, נמחקה. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 עמ': ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• אַלגֶבּרָה:כיתה ט': חינוכית. לחינוך כללי מוסדות / [יו. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; נערך על ידי ש"א טליקובסקי. - מהדורה 16. - מ.: חינוך, 2009. - 271 עמ'. : חולה. - ISBN 978-5-09-021134-5.

"משוואות רציונליות עם פולינומים" הוא אחד הנושאים הנפוצים ביותר ב משימות בדיקהבחינת מדינה מאוחדת במתמטיקה. מסיבה זו, כדאי לחזור עליהם תשומת - לב מיוחדת. תלמידים רבים מתמודדים עם הבעיה של מציאת המבדיל, העברת אינדיקטורים מצד ימין לשמאל והבאת המשוואה למכנה משותף, ולכן ביצוע מטלות כאלה מעורר קשיים. פתרון משוואות רציונליות כהכנה לבחינת המדינה המאוחדת באתר שלנו יעזור לך להתמודד במהירות עם בעיות מכל סוג שהוא ולעבור את המבחן בצבעים עמוסים.

בחר בפורטל החינוכי של שקולקובו כדי להתכונן בהצלחה לבחינה המאוחדת במתמטיקה!

כדי להכיר את הכללים לחישוב לא ידועים ולקבל בקלות תוצאות נכונות, השתמש בשירות המקוון שלנו. פורטל שקולקובו הוא פלטפורמה מיוחדת במינה המכילה את כל מה שצריך להתכונן אליו חומרים לבחינת המדינה המאוחדת. המורים שלנו ערכו שיטתיות והציגו בצורה מובנת את כל הכללים המתמטיים. בנוסף, אנו מזמינים את תלמידי בית הספר לנסות את כוחם בפתרון משוואות רציונליות סטנדרטיות, שבסיסן מתעדכן ומתרחב כל הזמן.

להכנה יעילה יותר לבדיקה, אנו ממליצים לפעול לפי השיטה המיוחדת שלנו ולהתחיל בחזרה על הכללים והפתרונות משימות פשוטות, עוברים בהדרגה למורכבים יותר. כך יוכל הבוגר לזהות לעצמו את הנושאים הקשים ביותר ולהתמקד בלימודם.

התחילו להתכונן למבחן האחרון עם שקולקובו עוד היום, והתוצאות לא יאחרו להגיע! בחר את הדוגמה הקלה ביותר מבין אלה שניתנו. אם אתה שולט בביטוי במהירות, המשך למשימה קשה יותר. כך תוכלו לשפר את הידע שלכם עד לנקודת פתרון משימות USE במתמטיקה ברמה מתמחה.

הכשרה זמינה לא רק לבוגרים ממוסקבה, אלא גם לתלמידי בתי ספר מערים אחרות. הקדישו כמה שעות ביום ללימוד בפורטל שלנו, למשל, ובקרוב מאוד תוכלו להתמודד עם משוואות בכל מורכבות!