Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo določena oseba ali povezanost z njim.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
• Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Po potrebi – v skladu z zakonom, sodnim postopkom, pravnim postopkom in/ali na podlagi javnih pozivov oz. vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je tako razkritje potrebno ali primerno zaradi varnosti, kazenskega pregona ali drugih javno pomembnih namenov.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.

pogosto vzamejo številko e = 2,718281828 . Logaritmi, ki temeljijo na tej osnovi, se imenujejo naravno. Pri izračunih z naravnimi logaritmi je običajno delovati z znakom ln, vendar ne dnevnik; medtem ko število 2,718281828 , ki določajo osnovo, niso navedeni.

Z drugimi besedami, formulacija bo videti takole: naravni logaritemštevilke X- to je eksponent, na katerega je treba povečati število e, Za pridobitev x.

Torej, V (7.389 ...)= 2, saj e 2 =7,389... . Naravni logaritem samega števila e= 1 ker e 1 =e, in naravni logaritem enote je nič, saj e 0 = 1.

Sama številka e določa limit monotonega omejenega zaporedja

izračunal, da e = 2,7182818284... .

Precej pogosto, da bi popravili številko v pomnilniku, so števke zahtevane številke povezane z nekim izjemnim datumom. Hitrost pomnjenja prvih devetih števk številke e za decimalno vejico se bo povečalo, če opazite, da je 1828 leto rojstva Leva Tolstoja!

Danes jih je dovolj polne mize naravni logaritmi.

Urnik naravni logaritem (funkcije y =v x) je posledica eksponentnega grafa zrcalna slika relativno naravnost y = x in ima obliko:

Naravni logaritem je mogoče najti za vsako pozitivno realno število a kot površina pod krivuljo l = 1/x od 1 prej a.

Elementarna narava te formulacije, ki je skladna s številnimi drugimi formulami, v katerih je vključen naravni logaritem, je bila razlog za nastanek imena "naravni".

Če analizirate naravni logaritem, kot realna funkcija realne spremenljivke, potem deluje inverzna funkcija Za eksponentna funkcija, ki se spušča v identitete:

e ln(a) =a (a>0)

ln(e a) =a

Po analogiji z vsemi logaritmi naravni logaritem pretvori množenje v seštevanje, deljenje v odštevanje:

ln(xy) = ln(x) + ln(l)

ln(x/y)= lnx - lny

Logaritem je mogoče najti za vsako pozitivno osnovo, ki ni enaka ena, ne samo za e, vendar se logaritmi za druge baze razlikujejo od naravnega logaritma samo s konstantnim faktorjem in so običajno definirani z naravnim logaritmom.

Po analizi graf naravnega logaritma, ugotovimo, da obstaja za pozitivne vrednosti spremenljivke x. V svoji definicijski domeni monotono narašča.

pri x → 0 meja naravnega logaritma je minus neskončnost ( -∞ ).Pri x → +∞ meja naravnega logaritma je plus neskončnost ( + ∞ ). Na prostosti x Logaritem narašča precej počasi. Vsaka funkcija moči xa s pozitivnim eksponentom a narašča hitreje kot logaritem. Naravni logaritem je monotono naraščajoča funkcija, zato nima ekstremov.

Uporaba naravni logaritmi zelo racionalno pri podajanju višja matematika. Zato je uporaba logaritma priročna za iskanje odgovora na enačbe, v katerih se neznanke pojavljajo kot eksponenti. Uporaba naravnih logaritmov pri izračunih omogoča močno poenostavitev veliko število matematične formule. Logaritmi na osnovo e so prisotni pri reševanju velikega števila fizikalnih problemov in so seveda vključeni v matematični opis posameznih kemijskih, bioloških in drugih procesov. Tako se logaritmi uporabljajo za izračun konstante razpada za znano razpolovno dobo ali za izračun časa razpada pri reševanju problemov radioaktivnosti. Imajo vodilno vlogo na številnih področjih matematike in praktičnih ved; na področju financ se k njim zatekajo za reševanje veliko število naloge, vključno z izračunom obrestnih obresti.

To je lahko na primer kalkulator iz osnovni set programi operacijski sistem Windows. Povezava za zagon je skrita v glavnem meniju operacijskega sistema - odprite ga s klikom na gumb »Start«, nato odprite razdelek »Programi«, pojdite na pododdelek »Standard« in nato na »Pripomočki« in na koncu kliknite element »Kalkulator« Namesto uporabe miške in krmarjenja po menijih lahko uporabite tipkovnico in pogovorno okno za zagon programa - pritisnite kombinacijo tipk WIN + R, vnesite calc (to je ime izvršljive datoteke kalkulatorja) in pritisnite Enter.

Preklopite vmesnik kalkulatorja v napredni način, ki vam omogoča... Privzeto se odpre v »običajnem« pogledu, vendar potrebujete »inženiring« ali » « (odvisno od različice OS, ki jo uporabljate). Razširite razdelek »Pogled« v meniju in izberite ustrezno vrstico.

Vnesite argument, katerega naravno vrednost želite ovrednotiti. To lahko storite s tipkovnico ali s klikom na ustrezne gumbe v vmesniku kalkulatorja na zaslonu.

Kliknite gumb z oznako ln - program bo izračunal logaritem na osnovi e in prikazal rezultat.

Kot alternativo za izračun vrednosti naravnega logaritma uporabite enega od -kalkulatorjev. Na primer, tisti, ki se nahaja na http://calc.org.ua. Njegov vmesnik je izjemno preprost - obstaja eno samo vnosno polje, kjer morate vnesti vrednost števila, katerega logaritem morate izračunati. Med gumbi poiščite in kliknite tistega z napisom ln. Skript tega kalkulatorja ne zahteva pošiljanja podatkov strežniku in odgovora, zato boste rezultat izračuna prejeli skoraj takoj. Upoštevati je treba le to, da mora biti ločilo med ulomkom in celim delom vnesenega števila pika in ne .

Izraz " logaritem" izhaja iz dveh grških besed, ena pomeni "število" in druga "razmerje". Označuje matematično operacijo izračunavanja spremenljive količine (eksponenta), na katero jo je treba dvigniti konstantna vrednost(osnova), da dobite številko, navedeno pod znakom logaritem A. Če je osnova enaka matematični konstanti, imenovani število "e", potem logaritem imenovano "naravno".

Boste potrebovali

• Dostop do interneta, Microsoft Office Excel ali kalkulator.

Navodila

Uporabite številne kalkulatorje, ki so na voljo na internetu - to je morda preprost način za izračun naravnega a. Ni vam treba iskati ustrezne storitve, saj je veliko Iskalniki in sami imajo vgrajene kalkulatorje, ki so zelo primerni za delo logaritem ami. Na primer, pojdite na domača stran največji spletni iskalnik – Google. Tukaj niso potrebni nobeni gumbi za vnos vrednosti ali izbiro funkcij, samo vnesite želeno v polje za vnos zahteve matematična operacija. Recimo, izračunati logaritem in številko 457 v osnovi "e", vnesite ln 457 - to bo dovolj, da Google prikaže z natančnostjo osem decimalnih mest (6,12468339) tudi brez pritiska na gumb za pošiljanje zahteve strežniku.

Uporabite ustrezno vgrajeno funkcijo, če morate izračunati vrednost naravnega logaritem in se pojavi pri delu s podatki v priljubljenem urejevalniku preglednic Microsoft Office Excel. Ta funkcija se tukaj kliče z uporabo običajnega zapisa logaritem in z velikimi črkami - LN. Izberite celico, v kateri naj bo prikazan rezultat izračuna, in vnesite znak enakovrednosti - tako se morajo zapisi v tem urejevalniku preglednic začeti v celicah, ki vsebujejo pododdelek »Standardno« v razdelku »Vsi programi« glavnega menija. Preklopite kalkulator v bolj funkcionalen način s pritiskom na Alt + 2. Nato vnesite vrednost, naravno logaritem ki ga želite izračunati, in v programskem vmesniku kliknite gumb, označen s simboli ln. Aplikacija bo izvedla izračun in prikazala rezultat.

Video na temo

Logaritem števila b na osnovo a je eksponent, na katerega je treba dvigniti število a, da dobimo število b.

Če, potem.

Logaritem - ekstrem pomembna matematična količina, saj logaritemski račun omogoča ne samo reševanje eksponentne enačbe, ampak tudi delujejo z indikatorji, razlikujejo eksponentne in logaritemske funkcije, jih integrirajo in vodijo do bolj sprejemljive oblike za izračun.

V stiku z

Vse lastnosti logaritmov so neposredno povezane z lastnostmi eksponentne funkcije. Na primer dejstvo, da pomeni, da:

Upoštevati je treba, da se lahko pri reševanju specifičnih problemov lastnosti logaritmov izkažejo za pomembnejše in uporabnejše od pravil za delo s potencami.

Predstavimo nekaj identitet:

Tukaj so osnovni algebraični izrazi:

;

.

Pozor! lahko obstaja samo za x>0, x≠1, y>0.

Poskusimo razumeti vprašanje, kaj so naravni logaritmi. Posebno zanimanje za matematiko predstavljajo dve vrsti- prvi ima za osnovo številko "10" in se imenuje "decimalni logaritem". Drugi se imenuje naravni. Osnova naravnega logaritma je število "e". O tem bomo podrobneje govorili v tem članku.

Oznake:

• lg x - decimalno;
• ln x - naravno.

Z uporabo identitete lahko vidimo, da je ln e = 1, kot tudi dejstvo, da je lg 10=1.

Graf naravnega logaritma

Zgradimo graf naravnega logaritma z uporabo standarda na klasičen način po točkah. Če želite, lahko s pregledom funkcije preverite, ali funkcijo konstruiramo pravilno. Vendar se je smiselno naučiti, kako ga zgraditi "ročno", da bi znali pravilno izračunati logaritem.

Funkcija: y = ln x. Zapišimo tabelo točk, skozi katere bo šel graf:

Naj pojasnimo, zakaj smo izbrali te posebne vrednosti argumenta x. Vse je v identiteti: . Za naravni logaritem bo ta identiteta videti takole:

Za udobje lahko vzamemo pet referenčnih točk:

;

;

.

;

.

Tako je računanje naravnih logaritmov dokaj preprosto opravilo, poleg tega pa poenostavlja izračune operacij s potencami in jih spreminja v navadno množenje.

Če izrišemo graf točko za točko, dobimo približen graf:

Domena definicije naravnega logaritma (tj. vse veljavne vrednosti argument X) - vsa števila so večja od nič.

Pozor! Področje definicije naravnega logaritma vključuje samo pozitivna števila! Obseg definicije ne vključuje x=0. To je nemogoče glede na pogoje za obstoj logaritma.

Razpon vrednosti (tj. vse veljavne vrednosti funkcije y = ln x) so vsa števila v intervalu.

Omejitev naravnega dnevnika

Ob preučevanju grafa se postavlja vprašanje - kako se funkcija obnaša pri y<0.

Očitno je, da graf funkcije teži k prečkanju osi y, vendar tega ne bo mogel storiti, saj je naravni logaritem x<0 не существует.

Meja naravnega dnevnik lahko zapišemo takole:

Formula za zamenjavo osnove logaritma

Ukvarjanje z naravnim logaritmom je veliko lažje kot obravnavanje logaritma s poljubno osnovo. Zato se bomo poskušali naučiti, kako poljuben logaritem zreducirati na naravnega ali pa ga preko naravnih logaritmov izraziti na poljubno osnovo.

Začnimo z logaritemsko identiteto:

Potem lahko poljubno število ali spremenljivko y predstavimo kot:

kjer je x poljubno število (pozitivno glede na lastnosti logaritma).

Ta izraz lahko vzamemo logaritemsko na obeh straneh. Naredimo to s poljubno osnovo z:

Uporabimo lastnost (samo namesto "c" imamo izraz):

Od tu dobimo univerzalno formulo:

.

Zlasti, če je z=e, potem:

.

Logaritem smo lahko predstavili na poljubno osnovo z razmerjem dveh naravnih logaritmov.

Rešujemo probleme

Da bi bolje razumeli naravne logaritme, si poglejmo primere več problemov.

Problem 1. Rešiti je treba enačbo ln x = 3.

rešitev: Z uporabo definicije logaritma: če , potem , dobimo:

Problem 2. Rešite enačbo (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Rešitev: Z uporabo definicije logaritma: če , potem , dobimo:

.

Ponovno uporabimo definicijo logaritma:

.

Torej:

.

Odgovor lahko približno izračunate ali pa ga pustite v tem obrazcu.

Naloga 3. Reši enačbo.

rešitev: Naredimo zamenjavo: t = ln x. Potem bo enačba dobila naslednjo obliko:

.

Imamo kvadratno enačbo. Poiščimo njegovo diskriminanco:

Prvi koren enačbe:

.

Drugi koren enačbe:

.

Če se spomnimo, da smo naredili zamenjavo t = ln x, dobimo:

V statistiki in teoriji verjetnosti se logaritemske količine zelo pogosto pojavljajo. To ni presenetljivo, saj število e pogosto odraža stopnjo rasti eksponentnih količin.

V računalništvu, programiranju in računalniški teoriji se logaritmi pogosto srečujejo, na primer, da bi v pomnilnik shranili N bitov.

V teorijah fraktalov in dimenzij se nenehno uporabljajo logaritmi, saj se le z njihovo pomočjo določajo dimenzije fraktalov.

V mehaniki in fiziki Ni razdelka, kjer ne bi uporabljali logaritmov. Barometrična porazdelitev, vsi principi statistične termodinamike, enačba Ciolkovskega itd. so procesi, ki jih je mogoče matematično opisati samo z logaritmi.

V kemiji se logaritmi uporabljajo v Nernstovih enačbah in opisih redoks procesov.

Presenetljivo je, da se tudi v glasbi, da bi ugotovili število delov oktave, uporabljajo logaritmi.

Naravni logaritem Funkcija y=ln x njene lastnosti

Dokaz glavne lastnosti naravnega logaritma

Torej, imamo moči dvojke. Če vzamete številko iz spodnje vrstice, zlahka najdete moč, na katero boste morali dvigniti dve, da dobite to številko. Na primer, če želite dobiti 16, morate dvigniti dve na četrto potenco. In da bi dobili 64, morate dve dvigniti na šesto potenco. To je razvidno iz tabele.

In zdaj - pravzaprav definicija logaritma:

Osnovni a logaritem x je potenca, na katero je treba dvigniti a, da dobimo x.

Oznaka: log a x = b, kjer je a osnova, x je argument, b je tisto, čemur je dejansko enak logaritem.

Na primer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (osnovni logaritem 2 od 8 je tri, ker je 2 3 = 8). Z enakim uspehom zabeležite 2 64 = 6, saj je 2 6 = 64.

Operacija iskanja logaritma števila na dano osnovo se imenuje logaritmiranje. Torej, dodajmo novo vrstico v našo tabelo:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	dnevnik 2 4 = 2	dnevnik 2 8 = 3	dnevnik 2 16 = 4	dnevnik 2 32 = 5	dnevnik 2 64 = 6

Na žalost ni vseh logaritmov mogoče izračunati tako preprosto. Na primer, poskusite najti dnevnik 2 5 . Številke 5 ni v tabeli, vendar logika narekuje, da bo logaritem ležal nekje na odseku. Ker 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takšna števila imenujemo iracionalna: števila za decimalno vejico lahko pišemo ad infinitum in se nikoli ne ponavljajo. Če se izkaže, da je logaritem iracionalen, ga je bolje pustiti tako: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Pomembno je razumeti, da je logaritem izraz z dvema spremenljivkama (osnova in argument). Marsikdo sprva zamenjuje, kje je osnova in kje argument. Da bi se izognili nadležnim nesporazumom, samo poglejte sliko:

Pred nami ni nič drugega kot definicija logaritma. Ne pozabite: logaritem je potenca, v katerega je treba vgraditi osnovo, da dobimo argument. To je osnova, ki je dvignjena na potenco - na sliki je označena z rdečo. Izkazalo se je, da je osnova vedno na dnu! Svojim učencem povem to čudovito pravilo že na prvi lekciji - in ne pride do zmede.

Ugotovili smo definicijo - ostalo je le, da se naučimo šteti logaritme, tj. znebite se znaka "hlod". Za začetek opozorimo, da iz definicije izhajata dve pomembni dejstvi:

1. Argument in osnova morata biti vedno večja od nič. To izhaja iz definicije stopnje z racionalnim eksponentom, na katerega se reducira definicija logaritma.
2. Osnova mora biti drugačna od ene, saj eno v kateri koli meri še vedno ostaja eno. Zaradi tega je vprašanje, »na kakšno moč se je treba povzdigniti, da dobiš dva«, nesmiselno. Te diplome ni!

Takšne omejitve se imenujejo razpon sprejemljivih vrednosti(ODZ). Izkazalo se je, da je ODZ logaritma videti takole: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Upoštevajte, da ni nobenih omejitev za število b (vrednost logaritma). Na primer, logaritem je lahko negativen: log 2 0,5 = −1, ker 0,5 = 2 −1.

Vendar zdaj samo razmišljamo številski izrazi, kjer ni potrebno poznati CVD logaritma. Vse omejitve so avtorji problemov že upoštevali. Ko pa gredo logaritemske enačbe in neenakosti bodo zahteve DHS postale obvezne. Navsezadnje lahko osnova in argument vsebujeta zelo močne konstrukcije, ki ne ustrezajo nujno zgornjim omejitvam.

Zdaj pa razmislimo splošna shema računanje logaritmov. Sestavljen je iz treh korakov:

1. Izrazite osnovo a in argument x kot potenco z najmanjšo možno osnovo, večjo od ena. Spotoma se je bolje znebiti decimalk;
2. Rešite enačbo za spremenljivko b: x = a b ;
3. Dobljeno število b bo odgovor.

To je vse! Če se izkaže, da je logaritem iracionalen, bo to vidno že v prvem koraku. Zahteva, da je osnova večja od ena, je zelo pomembna: to zmanjša verjetnost napake in močno poenostavi izračune. Enako z decimalke: če jih takoj pretvoriš v običajne, bo veliko manj napak.

Oglejmo si, kako ta shema deluje na konkretnih primerih:

Naloga. Izračunajte logaritem: log 5 25

1. Predstavljajmo si osnovo in argument kot potenco števila pet: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Sestavimo in rešimo enačbo:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Prejeli smo odgovor: 2.

Naloga. Izračunajte logaritem:

Naloga. Izračunaj logaritem: log 4 64

1. Predstavljajmo si osnovo in argument kot potenco dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Sestavimo in rešimo enačbo:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Prejeli smo odgovor: 3.

Naloga. Izračunajte logaritem: log 16 1

1. Predstavljajmo si osnovo in argument kot potenco dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
2. Sestavimo in rešimo enačbo:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Prejeli smo odgovor: 0.

Naloga. Izračunaj logaritem: log 7 14

1. Predstavljajmo si osnovo in argument kot potenco števila sedem: 7 = 7 1 ; 14 ni mogoče predstaviti kot potenco števila sedem, saj je 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Iz prejšnjega odstavka sledi, da logaritem ne šteje;
3. Odgovor je brez sprememb: dnevnik 7 14.

Majhna opomba k zadnjemu primeru. Kako ste lahko prepričani, da število ni natančna potenca drugega števila? Zelo preprosto je - samo faktorizirajte ga na prafaktorje. Če ima razširitev vsaj dva različna faktorja, število ni natančna potenca.

Naloga. Ugotovi, ali so števila točne potence: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - natančna stopnja, ker obstaja samo en množitelj;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ni natančna potenca, saj sta faktorja dva: 3 in 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - natančna stopnja;
35 = 7 · 5 - spet ni natančna potenca;
14 = 7 · 2 - spet ni natančna stopnja;

Naj še opozorimo, da smo sami praštevila so vedno natančne stopnje zase.

Decimalni logaritem

Nekateri logaritmi so tako pogosti, da imajo posebno ime in simbol.

Decimalni logaritem x je logaritem z osnovo 10, tj. Potenca, na katero je treba dvigniti število 10, da dobimo število x. Oznaka: lg x.

Na primer, dnevnik 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Ko se odslej v učbeniku pojavi stavek, kot je "Najdi lg 0,01", vedite, da to ni tipkarska napaka. To je decimalni logaritem. Če pa niste seznanjeni s tem zapisom, ga lahko vedno prepišete:
log x = log 10 x

Vse, kar velja za navadne logaritme, velja tudi za decimalne logaritme.

Naravni logaritem

Obstaja še en logaritem, ki ima svojo oznako. Na nek način je celo pomembnejši od decimalke. To je približno o naravnem logaritmu.

Naravni logaritem x je logaritem z osnovo e, tj. potenco, na katero je treba dvigniti število e, da dobimo število x. Oznaka: ln x .

Mnogi se bodo vprašali: kaj je število e? To je iracionalno število, njegovo točna vrednost nemogoče najti in zabeležiti. Navedel bom le prve številke:
e = 2,718281828459...

Ne bomo se spuščali v podrobnosti o tem, kaj je ta številka in zakaj je potrebna. Samo zapomnite si, da je e osnova naravnega logaritma:
ln x = log e x

Tako je ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - itd. Po drugi strani pa je ln 2 iracionalno število. Na splošno je naravni logaritem katerega koli racionalno število neracionalno. Razen seveda enega: ln 1 = 0.

Za naravne logaritme veljajo vsa pravila, ki veljajo za navadne logaritme.