Šolarji dobijo veliko nalog pri matematiki. Med njimi so zelo pogosto težave z naslednjo formulacijo: obstajata dva pomena. Kako najti najmanjši skupni večkratnik danih števil? Takšne naloge je treba znati opravljati, saj se pridobljene veščine uporabljajo za delo z ulomki, ko različne imenovalce. V tem članku si bomo ogledali, kako najti LOC in osnovne pojme.

Preden najdete odgovor na vprašanje, kako najti LCM, morate definirati izraz večkratnik. Najpogosteje se formulacija tega koncepta sliši takole: večkratnik določene vrednosti A je naravno število, ki bo brez ostanka deljivo z A. Torej, za 4 bodo večkratniki 8, 12, 16, 20, in tako naprej do zahtevane meje.

V tem primeru je lahko število deliteljev za določeno vrednost omejeno, večkratnikov pa je neskončno veliko. Enaka vrednost je tudi za naravne vrednote. To je indikator, ki je razdeljen nanje brez ostanka. Ko smo razumeli koncept najmanjše vrednosti za določene kazalnike, pojdimo na to, kako jo najti.

Iskanje NOC

Najmanjši večkratnik dveh ali več eksponentov je najmanjše naravno število, ki je v celoti deljivo z vsemi določenimi števili.

Obstaja več načinov, kako najti takšno vrednost, razmislite o naslednjih metodah:

1. Če so števila majhna, zapiši na črto vsa tista, ki so z njim deljiva. To počnite, dokler ne najdete nekaj skupnega med njimi. V pisni obliki jih označujemo s črko K. Na primer, za 4 in 3 je najmanjši večkratnik 12.
2. Če so te velike ali morate najti večkratnik 3 ali več vrednosti, potem uporabite drugo tehniko, ki vključuje razgradnjo števil na prafaktorje. Najprej postavite največjega na seznamu, nato vse ostale. Vsak od njih ima svoje število množiteljev. Kot primer razčlenimo 20 (2*2*5) in 50 (5*5*2). Pri manjšem podčrtaj faktorje in jih prištej največjemu. Rezultat bo 100, ki bo najmanjši skupni večkratnik zgornjih števil.
3. Pri iskanju 3 števil (16, 24 in 36) so principi enaki kot pri drugih dveh. Razširimo vsakega od njih: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. V razširitvi največjega nista bili vključeni samo dve dvojki iz razširitve števila 16. Seštejemo ju in dobimo 144, kar je najmanjši rezultat za prej navedene številske vrednosti.

Zdaj vemo, kakšna je splošna tehnika za iskanje najmanjše vrednosti za dve, tri ali več vrednosti. Vendar pa obstajajo tudi zasebne metode, pomoč pri iskanju NOC, če prejšnji ne pomagajo.

Kako najti GCD in NOC.

Zasebne metode iskanja

Kot pri vsakem matematičnem delu obstajajo posebni primeri iskanja LCM, ki pomagajo v posebnih situacijah:

• če je eno od števil deljivo z drugimi brez ostanka, potem mu je najmanjši večkratnik teh števil enak (NKM 60 in 15 je 15);
• medsebojno praštevila nimajo skupnih prafaktorjev. Njihova najmanjša vrednost je enaka produktu teh števil. Tako bo za številki 7 in 8 56;
• isto pravilo velja za druge primere, vključno s posebnimi, o katerih lahko preberete v strokovni literaturi. Sem spadajo tudi primeri razgradnje sestavljenih števil, ki so tema posameznih člankov in celo kandidatskih disertacij.

Posebni primeri so manj pogosti kot standardni primeri. Toda zahvaljujoč njim se lahko naučite delati z ulomki različnih stopenj kompleksnosti. To še posebej velja za ulomke, kjer so neenaki imenovalci.

Nekaj ​​primerov

Oglejmo si nekaj primerov, ki vam bodo pomagali razumeti načelo iskanja najmanjšega večkratnika:

1. Poiščite LOC (35; 40). Najprej razstavimo 35 = 5*7, nato 40 = 5*8. Najmanjšemu številu dodajte 8 in dobite LOC 280.
2. NOC (45; 54). Vsakega od njih razstavimo: 45 = 3*3*5 in 54 = 3*3*6. Število 6 dodamo 45. Dobimo LCM, ki je enak 270.
3. No, zadnji primer. Obstajata 5 in 4. Njunih pramkratnikov ni, zato bo najmanjši skupni večkratnik v tem primeru njihov produkt, ki je enak 20.

Zahvaljujoč primerom lahko razumete, kako se nahaja NOC, kakšne so nianse in kakšen je pomen takšnih manipulacij.

Iskanje NOC je veliko lažje, kot se sprva zdi. Za to se uporablja tako preprosto širjenje kot množenje preproste vrednote Drug drugega. Sposobnost dela s tem delom matematike pomaga pri nadaljnjem študiju matematičnih tem, zlasti ulomkov različne stopnje težave.

Ne pozabi občasno reševati primerov različne metode, to razvija logični aparat in vam omogoča, da si zapomnite številne izraze. Naučite se poiskati takšen eksponent in dobro se boste odrezali pri ostalih delih matematike. Srečno učenje matematike!

Video

Ta videoposnetek vam bo pomagal razumeti in si zapomniti, kako najti najmanjši skupni večkratnik.

Razmislimo o rešitvi naslednjega problema. Korak fantka je 75 cm, korak deklice pa 60 cm.Treba je najti najmanjšo razdaljo, na kateri oba naredita celo število korakov.

rešitev. Celotna pot, ki jo bodo prehodili fantje, mora biti deljiva s 60 in 70, saj mora vsak narediti celo število korakov. Z drugimi besedami, odgovor mora biti večkratnik 75 in 60.

Najprej bomo zapisali vse večkratnike števila 75. Dobimo:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Zdaj pa zapišimo števila, ki bodo večkratnika 60. Dobimo:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Zdaj poiščemo številke, ki so v obeh vrsticah.

• Navadni večkratniki števil bi bili 300, 600 itd.

Najmanjše med njimi je število 300. V tem primeru se bo imenovalo najmanjši skupni večkratnik števil 75 in 60.

Če se vrnemo k pogoju problema, bo najmanjša razdalja, na kateri bodo fantje naredili celo število korakov, 300 cm.Fant bo to pot premagal v 4 korakih, deklica pa bo morala narediti 5 korakov.

Določanje najmanjšega skupnega večkratnika

• Najmanjši skupni večkratnik dveh naravnih števil a in b je najmanjše naravno število, ki je večkratnik obeh a in b.

Da bi našli najmanjši skupni večkratnik dveh števil, ni treba zapisati vseh večkratnikov teh števil po vrsti.

Uporabite lahko naslednjo metodo.

Kako najti najmanjši skupni večkratnik

Najprej morate ta števila razdeliti na prafaktorje.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Sedaj pa zapišimo vse faktorje, ki so v razširitvi prvega števila (2,2,3,5) in ji prištejmo vse manjkajoče faktorje iz razširitve drugega števila (5).

Kot rezultat dobimo vrsto praštevil: 2,2,3,5,5. Zmnožek teh števil bo najmanjši skupni faktor za ta števila. 2*2*3*5*5 = 300.

Splošna shema za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika

• 1. Razdelite števila na prafaktorje.
• 2. Zapišite prafaktorje, ki so del enega od njih.
• 3. Tem dejavnikom prištejte vse tiste, ki so v razširitvi drugih, ne pa tudi v izbranem.
• 4. Poišči zmnožek vseh zapisanih faktorjev.

Ta metoda je univerzalna. Uporablja se lahko za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika poljubnega števila naravnih števil.

Opredelitev. Največje naravno število, s katerim delimo števili a in b brez ostanka, imenujemo Največji skupni delilnik(KIMAJ) te številke.

Poiščimo največji skupni delitelj števil 24 in 35.
Delitelji števila 24 so števila 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, delitelji števila 35 pa števila 1, 5, 7, 35.
Vidimo, da imata števili 24 in 35 le en skupni delitelj - število 1. Takšni števili se imenujeta medsebojno prime.

Opredelitev. Naravna števila imenujemo medsebojno prime, če je njihov največji skupni delitelj (GCD) 1.

Največji skupni delitelj (GCD) lahko najdete, ne da bi izpisali vse delitelje danih števil.

Če števili 48 in 36 faktoriziramo, dobimo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Izmed dejavnikov, vključenih v razširitev prvega od teh števil, prečrtamo tiste, ki niso vključeni v razširitev drugega števila (tj. dve dvojki).
Preostala faktorja sta 2 * 2 * 3. Njun produkt je enak 12. To število je največji skupni delitelj števil 48 in 36. Najden je tudi največji skupni delitelj treh ali več števil.

Najti največji skupni delitelj

2) izmed dejavnikov, vključenih v razširitev enega od teh števil, prečrtajte tiste, ki niso vključeni v razširitev drugih številk;
3) poiščite produkt preostalih faktorjev.

Če so vsa dana števila deljiva z enim od njih, potem je to število deljivo največji skupni delitelj podane številke.
Na primer, največji skupni delitelj števil 15, 45, 75 in 180 je število 15, saj so z njim deljiva vsa druga števila: 45, 75 in 180.

Najmanjši skupni večkratnik (LCM)

Opredelitev. Najmanjši skupni večkratnik (LCM) naravni števili a in b je najmanjše naravno število, ki je večkratnik obeh a in b. Najmanjši skupni večkratnik (LCM) števil 75 in 60 je mogoče najti, ne da bi zaporedoma zapisali večkratnike teh števil. Da bi to naredili, faktorizirajmo 75 in 60 na prafaktorje: 75 = 3 * 5 * 5 in 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Zapišimo faktorje, vključene v razširitev prvega od teh števil, in jim prištejmo manjkajoča faktorja 2 in 2 iz razširitve drugega števila (torej faktorje združimo).
Dobimo pet faktorjev 2 * 2 * 3 * 5 * 5, katerih produkt je 300. To število je najmanjši skupni večkratnik števil 75 in 60.

Poiščejo tudi najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil.

Za poiščite najmanjši skupni večkratnik več naravnih števil, potrebujete:
1) jih razložite na prafaktorje;
2) zapišite faktorje, vključene v razširitev enega od števil;
3) dodajte jim manjkajoče faktorje iz razširitev preostalih števil;
4) poiščite produkt nastalih faktorjev.

Upoštevajte, da če je eno od teh števil deljivo z vsemi drugimi števili, potem je to število najmanjši skupni večkratnik teh števil.
Na primer, najmanjši skupni večkratnik števil 12, 15, 20 in 60 je 60, ker je deljivo z vsemi temi števili.

Pitagora (VI. stol. pr. n. št.) in njegovi učenci so preučevali vprašanje deljivosti števil. številka, enaka vsoti Vse njegove delitelje (brez samega števila) so imenovali popolno število. Na primer, številke 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) so ​​popolne. Naslednja popolna števila so 496, 8128, 33 550 336. Pitagorejci so poznali le prva tri popolna števila. Četrti - 8128 - je postal znan v 1. stoletju. n. e. Petega - 33.550.336 - so našli v 15. stoletju. Do leta 1983 je bilo znanih že 27 popolnih števil. Toda znanstveniki še vedno ne vedo, ali obstajajo liha popolna števila ali obstaja največje popolno število.
Zanimanje starodavnih matematikov za praštevila je posledica dejstva, da je vsako število praštevilo ali pa ga je mogoče predstaviti kot produkt praštevil, tj. praštevila so kot opeke, iz katerih so zgrajena ostala cela števila.
Verjetno ste opazili, da se praštevila v nizu naravnih števil pojavljajo neenakomerno - v nekaterih delih niza jih je več, v drugih - manj. Toda dlje kot se premikamo po številski vrsti, manj pogosta so praštevila. Postavlja se vprašanje: ali obstaja zadnje (največje) praštevilo? Starogrški matematik Evklid (3. stoletje pr. n. št.) je v svoji knjigi Elementi, ki je bila dva tisoč let glavni učbenik matematike, dokazal, da je praštevil neskončno veliko, tj. za vsakim praštevilom stoji še večje praštevilo. število.
Da bi našli praštevila, je drug grški matematik iz istega časa, Eratosten, prišel do te metode. Zapisal je vsa števila od 1 do nekega števila, nato pa eno prečrtal, ki ni niti pra, niti sestavljeno število, nato prečrtal vse številke za 2 (števila, ki so večkratniki 2, tj. 4, 6, 8 itd.). Prva preostala številka po 2 je bila 3. Nato so bile po dve prečrtane vse številke za 3 (števila, ki so bila večkratnika 3, tj. 6, 9, 12 itd.). na koncu so ostala samo praštevila neprečrtana.

Tema "Mnogi" se preučuje v 5. razredu Srednja šola. Njegov cilj je izboljšati pisne in ustne sposobnosti matematičnega računanja. V tej lekciji se uvajajo novi koncepti - "več števil" in "delilniki", tehnika iskanja deliteljev in večkratnikov naravnega števila ter sposobnost iskanja LCM na različne načine.

Ta tema je zelo pomembna. Znanje le-te lahko uporabimo pri reševanju primerov z ulomki. Če želite to narediti, morate poiskati skupni imenovalec z izračunom najmanjšega skupnega večkratnika (LCM).

Večkratnik A je celo število, ki je deljivo z A brez ostanka.

Vsako naravno število ima neskončno število večkratnikov. Sam velja za najmanjšega. Večkratnik ne more biti manjši od števila samega.

Dokazati morate, da je število 125 večkratnik števila 5. Če želite to narediti, morate prvo število deliti z drugim. Če je 125 deljivo s 5 brez ostanka, potem je odgovor pritrdilen.

Ta metoda je uporabna za majhne številke.

Pri izračunu LOC obstajajo posebni primeri.

1. Če morate najti skupni večkratnik dveh števil (na primer 80 in 20), kjer je eno od njiju (80) deljivo z drugim (20), potem je to število (80) najmanjši večkratnik teh dve številki.

LCM(80, 20) = 80.

2. Če dve nimata skupnega delitelja, potem lahko rečemo, da je njun LCM produkt teh dveh števil.

LCM(6, 7) = 42.

Poglejmo zadnji primer. 6 in 7 glede na 42 sta delitelja. Delijo večkratnik števila brez ostanka.

V tem primeru sta 6 in 7 faktorja v paru. Njihov produkt je enak največkratnemu številu (42).

Število imenujemo praštevilo, če je deljivo samo s seboj ali z 1 (3:1=3; 3:3=1). Ostali se imenujejo sestavljeni.

Drug primer vključuje ugotavljanje, ali je 9 delitelj 42.

42:9=4 (ostanek 6)

Odgovor: 9 ni delitelj 42, ker ima odgovor ostanek.

Delitelj se od večkratnika razlikuje po tem, da je delitelj število, s katerim delimo naravna števila, sam večkratnik pa je s tem številom deljiv.

Največji skupni delitelj števil a in b, pomnožen z njihovim najmanjšim večkratnikom, bo dal produkt samih števil a in b.

In sicer: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Skupni večkratniki za več kompleksna števila našli na naslednji način.

Na primer, poiščite LCM za 168, 180, 3024.

Ta števila razdelimo na prafaktorje in jih zapišemo kot produkt potenc:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.

Večkratnik je število, ki je deljivo z danim številom brez ostanka. Najmanjši skupni večkratnik (LCM) skupine števil je najmanjše število, ki je deljivo z vsakim številom v skupini brez ostanka. Če želite najti najmanjši skupni večkratnik, morate najti prafaktorje danih števil. LCM je mogoče izračunati tudi z uporabo številnih drugih metod, ki veljajo za skupine dveh ali več števil.

Koraki

Serija večkratnikov

Poglej te številke. Tukaj opisano metodo je najbolje uporabiti, če imate dve števili, od katerih je vsako manjše od 10. Če so podana večja števila, uporabite drugo metodo.

• Na primer, poiščite najmanjši skupni večkratnik 5 in 8. To so majhne številke, zato lahko uporabite to metodo.

1. Večkratnik je število, ki je deljivo z danim številom brez ostanka. Večkratnike najdete v tabeli množenja.

   • Na primer, števila, ki so večkratnika števila 5, so: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Zapišite niz števil, ki so večkratniki prvega števila. Naredite to pod večkratniki prvega števila, da primerjate dva niza števil.

   • Na primer, števila, ki so večkratnika števila 8, so: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 in 64.

3. Poiščite najmanjše število, ki je prisotno v obeh nizih mnogokratnikov. Za iskanje boste morda morali napisati dolg niz večkratnikov skupno število. Najmanjše število, ki je prisotno v obeh nizih večkratnikov, je najmanjši skupni večkratnik.

   • na primer najmanjše število, ki je prisoten v nizu večkratnikov 5 in 8, je število 40. Zato je 40 najmanjši skupni večkratnik 5 in 8.

   Prafaktorizacija

   1. Poglej te številke. Tukaj opisano metodo je najbolje uporabiti, če imate dve števili, od katerih je vsako večje od 10. Če so podane manjše številke, uporabite drugo metodo.

      • Na primer, poiščite najmanjši skupni večkratnik števil 20 in 84. Vsako število je večje od 10, zato lahko uporabite to metodo.

   2. Prvo število razčlenimo na prafaktorje. To pomeni, da morate najti takšna praštevila, ki bodo pomnožena z danim številom. Ko najdete prafaktorje, jih zapišite kot enačbe.

      • na primer 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\krat 10=20) in 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\krat (\mathbf (5) )=10). Tako so prafaktorji števila 20 števila 2, 2 in 5. Zapiši jih kot izraz: .

   3. Drugo število razčlenite na prafaktorje. Naredite to na enak način, kot ste faktorizirali prvo število, torej poiščite taka praštevila, ki bodo pri množenju dala dano število.

      • na primer 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\krat 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\krat 6=42) in 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\krat (\mathbf (2) )=6). Tako so prafaktorji števila 84 števila 2, 7, 3 in 2. Zapiši jih kot izraz: .

   4. Zapišite faktorje, ki so skupni obema številoma. Takšne faktorje zapišite kot operacijo množenja. Ko pišete vsak faktor, ga prečrtajte v obeh izrazih (izrazih, ki opisujejo faktorizacijo števil na prafaktorje).

      • Na primer, obe števili imata skupni faktor 2, zato zapiši 2 × (\displaystyle 2\krat ) in prečrtaj 2 v obeh izrazih.
      • Obema številoma je skupen še faktor 2, zato zapiši 2 × 2 (\displaystyle 2\krat 2) in prečrtaj drugi 2 v obeh izrazih.

   5. Operaciji množenja dodajte preostale faktorje. To so faktorji, ki v obeh izrazih niso prečrtani, torej faktorji, ki obema številoma niso skupni.

      • Na primer v izrazu 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\krat 2\krat 5) Oba dvojca (2) sta prečrtana, ker sta skupna faktorja. Faktor 5 ni prečrtan, zato operacijo množenja zapiši takole: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\krat 2\krat 5)
      • V izrazu 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\krat 7\krat 3\krat 2) oba dva (2) sta tudi prečrtana. Faktorja 7 in 3 nista prečrtana, zato operacijo množenja zapiši takole: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\krat 2\krat 5\krat 7\krat 3).

   6. Izračunaj najmanjši skupni večkratnik.Če želite to narediti, pomnožite števila v operaciji pisnega množenja.

      • na primer 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\krat 2\krat 5\krat 7\krat 3=420). Torej je najmanjši skupni večkratnik 20 in 84 420.

   Iskanje skupnih dejavnikov

   1. Narišite mrežo kot za igro tic-tac-toe. Takšna mreža je sestavljena iz dveh vzporednih črt, ki se sekata (pod pravim kotom) z drugima dvema vzporednima črtama. Tako boste dobili tri vrstice in tri stolpce (mreža je zelo podobna ikoni #). Napišite prvo številko v prvo vrstico in drugi stolpec. Drugo številko zapišite v prvo vrstico in tretji stolpec.

      • Na primer, poiščite najmanjši skupni večkratnik števil 18 in 30. V prvo vrstico in drugi stolpec zapišite število 18, v prvo vrstico in tretji stolpec pa število 30.

   2. Poišči delitelj, ki je skupen obema številoma. Zapišite v prvo vrstico in prvi stolpec. Bolje je iskati prafaktorje, vendar to ni pogoj.

      • Na primer, 18 in 30 sta sodi števili, zato je njun skupni faktor 2. Zato zapišite 2 v prvo vrstico in prvi stolpec.

   3. Vsako število delite s prvim deliteljem. Vsak količnik zapiši pod ustrezno številko. Količnik je rezultat deljenja dveh števil.

      • na primer 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), torej pod 18 napišite 9.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), torej zapišite 15 pod 30.

   4. Poiščite delitelj, ki je skupen obema količnikoma.Če takega delitelja ni, preskočite naslednja dva koraka. V nasprotnem primeru delitelj vpiši v drugo vrstico in prvi stolpec.

      • Na primer, 9 in 15 sta deljiva s 3, zato zapišite 3 v drugo vrstico in prvi stolpec.

   5. Vsak količnik delite z njegovim drugim deliteljem. Vsak rezultat deljenja zapišite pod pripadajoči količnik.

      • na primer 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), torej pod 9 napišite 3.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), torej pod 15 napišite 5.

   6. Po potrebi dodajte dodatne celice v mrežo. Ponavljaj opisane korake, dokler imata količnika skupni delitelj.

   7. Obkroži številke v prvem stolpcu in zadnji vrstici mreže. Nato izbrana števila zapiši kot operacijo množenja.

      • Na primer, števili 2 in 3 sta v prvem stolpcu, števili 3 in 5 pa v zadnji vrstici, zato operacijo množenja zapišite takole: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\krat 3\krat 3\krat 5).

   8. Poiščite rezultat množenja števil. To bo izračunalo najmanjši skupni večkratnik dveh danih števil.

      • na primer 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\krat 3\krat 3\krat 5=90). Torej je najmanjši skupni večkratnik 18 in 30 90.

   Evklidov algoritem

   1. Zapomnite si terminologijo, povezano z operacijo deljenja. Dividenda je število, ki se deli. Delitelj je število, s katerim se deli. Količnik je rezultat deljenja dveh števil. Ostanek je število, ki ostane, ko dve števili delimo.

      • Na primer v izrazu 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 je dividenda
        6 je delitelj
        2 je količnik
        3 je ostanek.