Когато започват да говорят за средни стойности, хората най-често си спомнят как са завършили училище и са постъпили в учебно заведение. След това средният резултат се изчислява въз основа на сертификата: всички оценки (както добри, така и не толкова добри) се сумират, получената сума се разделя на техния брой. Така се изчислява най-простият тип средна стойност, която се нарича проста средна аритметична. На практика се използва статистика различни видовесредни: аритметични, хармонични, геометрични, квадратични, структурни средни. Използва се един или друг вид в зависимост от характера на данните и целите на изследването.

средна стойносте най-разпространеният статистически показател, с помощта на който се дава обща характеристика на съвкупност от подобни явления по един от вариращите признаци. Показва нивото на дадена характеристика за единица население. С помощта на средни стойности се сравняват различни популации по различни характеристики и се изучават закономерностите на развитие на явленията и процесите на социалния живот.

В статистиката се използват два класа средни стойности: степенни (аналитични) и структурни. Последните се използват за характеризиране на структурата на вариационните серии и ще бъдат обсъдени по-нататък в гл. 8.

Групата на степенните средни включва средните аритметични, хармонични, геометрични и квадратични средни. Индивидуалните формули за тяхното изчисляване могат да бъдат сведени до форма, обща за всички средни мощности, а именно

където m е показателят на средната степен: при m = 1 получаваме формулата за изчисляване на средното аритметично, при m = 0 - средното геометрично, m = -1 - средното хармонично, при m = 2 - средното квадратично ;

x i - опции (стойности, които атрибутът приема);

f i - честоти.

Основното условие, при което степенните средни стойности могат да се използват в статистическия анализ, е хомогенността на съвкупността, която не трябва да съдържа изходни данни, които се различават рязко по своята количествена стойност (в литературата те се наричат ​​аномални наблюдения).

Нека демонстрираме важността на това условие със следния пример.

Пример 6.1. Нека изчислим средната стойност заплатислужители на малко предприятие.

Таблица 6.1. Заплатите на служителите

Не.	Заплата, търкайте.	Не.	Заплата, търкайте.
1	5 950	11	7 000
2	6 790	12	5 950
3	6 790	13	6 790
4	5 950	14	5 950
5	7 000	5	6 790
6	6 790	16	7 000
7	5 950	17	6 790
8	7 000	18	7 000
9	6 790	19	7 000
10	6 790	20	5 950

За да се изчисли средната заплата, е необходимо да се сумират заплатите, начислени на всички служители на предприятието (т.е. да се намери фондът за заплати) и да се раздели на броя на служителите:

Сега нека добавим към нашата сума само един човек (директорът на това предприятие), но със заплата от 50 000 рубли. В този случай изчислената средна стойност ще бъде напълно различна:

Както виждаме, тя надхвърля 7000 рубли и т.н. той е по-голям от всички стойности на атрибута с изключение на едно единствено наблюдение.

За да се гарантира, че такива случаи не се срещат на практика и средната стойност не губи значението си (в пример 6.1 тя вече не играе ролята на обобщаваща характеристика на съвкупността, която трябва да бъде), при изчисляване на средната, аномална, рязко открояващите се наблюдения трябва да бъдат изключени от анализа и темите правят популацията хомогенна или разделете популацията на хомогенни групи и изчислете средните стойности за всяка група и анализирайте не общата средна стойност, а средните стойности на групата.

6.1. Средно аритметично и неговите свойства

Средната аритметична стойност се изчислява като проста или като претеглена стойност.

При изчисляване на средната заплата според данните в таблица пример 6.1, ние сумирахме всички стойности на атрибута и разделихме на техния брой. Ще запишем напредъка на нашите изчисления под формата на проста формула за средно аритметично

където x i - опции (индивидуални стойности на характеристиката);

n е броят на единиците в съвкупността.

Пример 6.2. Сега нека групираме нашите данни от таблицата в пример 6.1 и т.н. Нека изградим дискретна вариационна серия на разпределението на работниците по ниво на заплатите. Резултатите от групирането са представени в таблицата.

Нека напишем израза за изчисляване на нивото на средната заплата в по-компактна форма:

В пример 6.2 е приложена формулата за средноаритметично претеглено

където f i са честоти, показващи колко пъти стойността на атрибута x i y се среща в единици съвкупност.

Удобно е да се изчисли средноаритметичното претеглено в таблица, както е показано по-долу (Таблица 6.3):

Таблица 6.3. Изчисляване на средно аритметично в дискретна серия

Изходни данни	Приблизителен индикатор
заплата, търкайте.	брой служители, души	фонд за заплати, руб.
x i	f i	x i f i
5 950	6	35 760
6 790	8	54 320
7 000	6	42 000
Обща сума	20	132 080

Трябва да се отбележи, че простата средна аритметична стойност се използва в случаите, когато данните не са групирани или групирани, но всички честоти са равни.

Често резултатите от наблюдението се представят под формата на серия с интервално разпределение (виж таблицата в пример 6.4). След това, когато се изчислява средната стойност, средните точки на интервалите се приемат като x i. Ако първият и последният интервал са отворени (нямат една от границите), тогава те са условно „затворени“, като се приема стойността на съседния интервал като стойност на този интервал и т.н. първият се затваря въз основа на стойността на втория, а последният - според стойността на предпоследния.

Пример 6.3. Въз основа на резултатите от извадково изследване на една от групите от населението ще изчислим размера на средния паричен доход на глава от населението.

В горната таблица средата на първия интервал е 500. Наистина, стойността на втория интервал е 1000 (2000-1000); тогава долната граница на първия е 0 (1000-1000), а средата му е 500. Правим същото и с последния интервал. Приемаме 25 000 като негова среда: стойността на предпоследния интервал е 10 000 (20 000-10 000), тогава горната му граница е 30 000 (20 000 + 10 000), а средната съответно е 25 000.

Таблица 6.4. Изчисляване на средно аритметично в интервална серия

Среден паричен доход на глава от населението, rub. на месец	Население спрямо общо, % f i	Средни точки на интервали x i	x i f i
До 1000	4,1	500	2 050
1 000-2 000	8,6	1 500	12 900
2 000-4 000	12,9	3 000	38 700
4 000-6 000	13,0	5 000	65 000
6 000-8 000	10,5	7 000	73 500
8 000-10 000	27,8	9 000	250 200
10 000-20 000	12,7	15 000	190 500
20 000 и повече	10,4	25 000	260 000
Обща сума	100,0	-	892 850

Тогава средният месечен доход на глава от населението ще бъде

Сега нека поговорим за как да броим средна стойност .
В своята класическа форма общата теория на статистиката ни предлага една версия на правилата за избор на средна стойност.
Първо, трябва да създадете правилната логическа формула за изчисляване на средната стойност (AFV). За всяка средна стойност винаги има само една логическа формула за изчисляването й, така че тук е трудно да се направи грешка. Но винаги трябва да помним, че в числителя (това е в горната част на дробта) сумата от всички явления, а в знаменателя (това е в долната част на дробта) обща сумаелементи.

След като логическата формула е съставена, можете да използвате правилата (за по-лесно разбиране ще ги опростим и съкратим):
1. Ако изходните данни (определени от честотата) съдържат знаменателя на логическа формула, тогава изчислението се извършва с помощта на формулата за средноаритметично претеглено.
2. Ако числителят на логическа формула е представен в изходните данни, тогава изчислението се извършва с помощта на формулата за претеглена хармонична средна стойност.
3. Ако проблемът представя както числителя, така и знаменателя на логическа формула (това се случва рядко), тогава извършваме изчислението, използвайки тази формула или простата формула за средно аритметично.
Това е класическата идея за избор на правилната формула за изчисляване на средната стойност. След това представяме последователността от действия при решаване на задачи за изчисляване на средната стойност.

Алгоритъм за решаване на задачи за изчисляване на средната стойност

A. Определете метода за изчисляване на средната стойност - прости или претеглени . Ако данните са представени в таблица, тогава използваме претеглен метод, ако данните са представени чрез просто изброяване, тогава използваме прост метод на изчисление.

B. Определете или подредете символи – х – опция, f - честота . Опцията е за кое явление искате да намерите средната стойност. Останалите данни в таблицата ще бъдат честотата.

Б. Определяме формата за изчисляване на средната стойност - аритметичен или хармоничен . Определянето се извършва с помощта на честотната колона. Аритметичната форма се използва, ако честотите са определени с изрично количество (условно можете да замените думата парчета, броя на елементите „парчета“). Хармоничната форма се използва, ако честотите са определени не чрез изрично количество, а чрез сложен показател (произведението на осредненото количество и честотата).

Най-трудно е да се познае къде и какво количество се дава, особено за студент без опит в подобни въпроси. В такава ситуация можете да използвате един от следните методи. За някои задачи (икономически) е подходящо изявление, разработено в продължение на години практика (точка B.1). В други ситуации ще трябва да използвате точка B.2.

B.1 Ако честотата е дадена в парични единици (в рубли), тогава хармоничната средна стойност се използва за изчисление, това твърдение винаги е вярно, ако идентифицираната честота е дадена в пари, в други ситуации това правило не се прилага.

B.2 Използвайте правилата за избор на средната стойност, посочени по-горе в тази статия. Ако честотата е дадена от знаменателя на логическата формула за изчисляване на средната стойност, тогава изчисляваме с помощта на средноаритметичната форма; ако честотата е дадена с числителя на логическата формула за изчисляване на средната стойност, тогава изчисляваме с помощта на средна хармонична форма.

Нека да разгледаме примери за използване на този алгоритъм.

A. Тъй като данните са представени в ред, ние използваме прост метод за изчисление.

Б. В. Имаме данни само за размера на пенсиите и те ще ни бъдат вариант - х. Данните са представени като просто число (12 души), за изчисление използваме просто средно аритметично.

Средната пенсия на пенсионер е 9208,3 рубли.

B. Тъй като трябва да намерим средното плащане на дете, опциите са в първата колона, поставяме обозначението x там, втората колона автоматично става честотата f.

Б. Честотата (брой деца) се дава с изрично количество (можете да замените думата парчета деца, от гледна точка на руския език това е неправилна фраза, но всъщност е много удобно да проверка), което означава, че среднопретеглената аритметична стойност се използва за изчислението.

Същият проблем може да бъде решен не чрез формулен метод, а чрез табличен метод, тоест въвеждане на всички данни от междинните изчисления в таблица.

В резултат на това всичко, което трябва да се направи сега, е да се разделят двете суми в правилния ред.

Средното плащане на дете на месец е 1910 рубли.

A. Тъй като данните са представени в таблицата, ние използваме претеглена форма за изчисление.

Б. Честотата (производствените разходи) се дава от имплицитно количество (честотата е дадена в рубли точка на алгоритъм B1), което означава, че за изчислението се използва среднопретеглената хармонична стойност. Като цяло, по същество себестойността на продукцията е комплексен показател, който се получава чрез умножаване на себестойността на единица продукт по броя на такива продукти, това е същността на хармоничната средна стойност.

За да се реши този проблем с помощта на формулата за средно аритметично е необходимо вместо себестойността на продукцията да има броя на продуктите със съответната себестойност.

Моля, обърнете внимание, че получената след изчисленията сума в знаменателя е 410 (120+80+210) това е общият брой произведени продукти.

Средната цена на единица продукт е 314,4 рубли.

A. Тъй като данните са представени в таблицата, ние използваме претеглена форма за изчисление.

B. Тъй като трябва да намерим средната цена на единица продукт, опциите са в първата колона, там поставяме обозначението x, втората колона автоматично става честотата f.

Б. Честотата (общ брой отсъствия) се дава чрез имплицитно количество (това е произведението на два показателя за броя на отсъствията и броя на учениците с този брой отсъствия), което означава, че се използва претеглената хармонична средна стойност за изчислението. Ще използваме точка от алгоритъм B2.

За да се реши тази задача с помощта на формулата за средно аритметично, е необходимо вместо това общ бройлипсваше броят на учениците.

Създаваме логическа формула за изчисляване на средния брой отсъствия на ученик.

Честота по условие на задачата Общ брой пропуски. В логическата формула този показател е в числителя, което означава, че използваме формулата за хармонична средна стойност.

Обърнете внимание, че сумата в знаменателя, получена след изчисления 31 (18+8+5), е общият брой ученици.

Средният брой отсъствия на ученик е 13,8 дни.

Темата за средно аритметично и средно геометрично е включена в програмата по математика за 6-7 клас. Тъй като параграфът е доста лесен за разбиране, той бързо се подминава и до края на учебната година учениците го забравят. Но са необходими познания по основни статистики полагане на Единния държавен изпит, а също и за международни изпити SAT. Да и за Ежедневиеторазвитото аналитично мислене никога не вреди.

Как се изчислява средно аритметично и средно геометрично на числа

Да кажем, че има поредица от числа: 11, 4 и 3. Средната аритметична стойност е сумата от всички числа, разделена на броя на дадените числа. Тоест в случай на числата 11, 4, 3 отговорът ще бъде 6. Как се получава 6?

Решение: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Знаменателят трябва да съдържа число, равно на броя на числата, чиято средна стойност трябва да се намери. Сборът се дели на 3, тъй като има три члена.

Сега трябва да намерим средното геометрично. Да кажем, че има поредица от числа: 4, 2 и 8.

Средната геометрична стойност на числата е произведението на всички дадени числа, намиращи се под корена със степен, равна на броя на дадените числа.Тоест в случая на числата 4, 2 и 8 отговорът ще бъде 4. Ето как оказа се:

Решение: ∛(4 × 2 × 8) = 4

И в двата варианта получихме цели отговори, тъй като за примера бяха взети специални числа. Това не винаги се случва. В повечето случаи отговорът трябва да бъде закръглен или оставен в основата. Например за числата 11, 7 и 20 средноаритметичното е ≈ 12,67, а средното геометрично е ∛1540. А за числата 6 и 5 отговорите ще бъдат съответно 5,5 и √30.

Възможно ли е средноаритметичното да стане равно на средното геометрично?

Разбира се, че може. Но само в два случая. Ако има поредица от числа, състояща се само от единици или нули. Прави впечатление също, че отговорът не зависи от броя им.

Доказателство с единици: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (средно аритметично).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(средногеометрично).

Доказателство с нули: (0 + 0) / 2=0 (средно аритметично).

√(0 × 0) = 0 (средно геометрично).

Друг вариант няма и не може да има.

Този термин има и други значения, вижте средно значение.

Средно аритметично(в математиката и статистиката) набори от числа - сборът от всички числа, разделен на техния брой. Това е една от най-често срещаните мерки за централна тенденция.

Той е предложен (заедно със средното геометрично и средното хармонично) от питагорейците.

Специални случаи на средноаритметичната стойност са средната (генерална съвкупност) и средната извадка (извадка).

Въведение

Нека обозначим набора от данни х = (х 1 , х 2 , …, х н), тогава средната стойност на извадката обикновено се обозначава с хоризонтална лента над променливата (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))), произнася се " хс линия").

Гръцката буква μ се използва за означаване на средноаритметичното на цялата съвкупност. За случайна променлива, за която се определя средната стойност, μ е вероятностна среднаили математическото очакване на случайна променлива. Ако наборът хе колекция от случайни числа с вероятностна средна стойност μ, тогава за всяка извадка х азот този набор μ = E( х аз) е математическото очакване на тази извадка.

На практика разликата между μ и x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) е, че μ е типична променлива, защото можете да видите извадка, а не цялата популация. Следователно, ако извадката е представена произволно (от гледна точка на теорията на вероятностите), тогава x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (но не μ) може да се третира като случайна променлива, имаща вероятностно разпределение в извадката ( вероятностното разпределение на средната стойност).

И двете количества се изчисляват по същия начин:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Ако хе случайна променлива, тогава математическото очакване хможе да се разглежда като средноаритметично на стойностите при многократни измервания на количество х. Това е проявление на закона големи числа. Следователно средната стойност на извадката се използва за оценка на неизвестната очаквана стойност.

В елементарната алгебра е доказано, че средната н+ 1 число над средното нчисла, ако и само ако новото число е по-голямо от старото средно, по-малко, ако и само ако новото число е по-малко от средното, и не се променя, ако и само ако новото число е равно на средното. Колкото повече н, толкова по-малка е разликата между новата и старата средна стойност.

Обърнете внимание, че има няколко други налични „средни стойности“, включително средната степен, средната на Колмогоров, средната хармонична, средната аритметично-геометрична и различни средни претеглени (напр. среднопретеглена аритметична, средна претеглена геометрична, средна претеглена хармонична).

Примери

• За три числа трябва да ги съберете и разделите на 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• За четири числа трябва да ги съберете и разделите на 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Или по-просто 5+5=10, 10:2. Тъй като събирахме 2 числа, което означава, че колко числа добавяме, делим на толкова.

Непрекъсната случайна променлива

За непрекъснато разпределена величина f (x) (\displaystyle f(x)), средното аритметично в интервала [ a ; b ] (\displaystyle ) се определя чрез определен интеграл:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Някои проблеми при използването на средната стойност

Липса на здравина

Основна статия: Устойчивост в статистиката

Въпреки че средните аритметични стойности често се използват като средни стойности или централни тенденции, тази концепция не е стабилна статистика, което означава, че средната аритметична стойност е силно повлияна от „големи отклонения“. Трябва да се отбележи, че за разпределения с голям коефициент на асиметрия, средната аритметична стойност може да не съответства на концепцията за „средна стойност“, а стойностите на средната стойност от стабилна статистика (например медианата) може по-добре да опишат централната тенденция.

Класически пример е изчисляването на средния доход. Средната аритметична стойност може да се тълкува погрешно като медиана, което може да доведе до извода, че има повече хора с по-високи доходи, отколкото в действителност. „Средният“ доход се тълкува като означаващ, че повечето хора имат доходи около това число. Този „среден“ (в смисъла на средноаритметичния) доход е по-висок от доходите на повечето хора, тъй като високият доход с голямо отклонение от средния прави средноаритметичното силно изкривено (за разлика от това средният доход при медианата „съпротивлява“ на такова изкривяване). Въпреки това, този „среден“ доход не казва нищо за броя на хората близо до средния доход (и не казва нищо за броя на хората близо до модалния доход). Въпреки това, ако приемете с лека ръка понятията „среден“ и „повечето хора“, можете да направите неправилното заключение, че повечето хора имат доходи, по-високи, отколкото са в действителност. Например, доклад за "средния" нетен доход в Медина, Вашингтон, изчислен като средната аритметична стойност на всички годишни нетни доходи на жителите, би дал изненадващо голямо число благодарение на Бил Гейтс. Разгледайте извадката (1, 2, 2, 2, 3, 9). Средната аритметична стойност е 3,17, но пет от шест стойности са под тази средна стойност.

Сложна лихва

Основна статия: Възвръщаемост на инвестициите

Ако числата умножават се, но не гънка, трябва да използвате средното геометрично, а не средното аритметично. Най-често този инцидент се случва при изчисляване на възвръщаемостта на инвестициите във финансите.

Например, ако дадена акция падне с 10% през първата година и се повиши с 30% през втората, тогава е неправилно да се изчисли „средното“ увеличение през тези две години като средно аритметично (−10% + 30%) / 2 = 10%; правилната средна стойност в този случай е дадена от комбинирания годишен темп на растеж, който дава годишен темп на растеж от само около 8,16653826392% ≈ 8,2%.

Причината за това е, че процентите имат нова начална точка всеки път: 30% са 30% от число, по-малко от цената в началото на първата година:ако една акция е започнала от $30 и е паднала с 10%, тя струва $27 в началото на втората година. Ако акциите се покачат с 30%, ще струват $35,1 в края на втората година. Средната аритметична стойност на този растеж е 10%, но тъй като акциите са се повишили само с $5,1 за 2 години, средният растеж от 8,2% дава краен резултат от $35,1:

[$30 (1 - 0,1) (1 + 0,3) = $30 (1 + 0,082) (1 + 0,082) = $35,1]. Ако използваме средната стойност по същия начин аритметична стойност 10%, няма да получим действителната стойност: [$30 (1 + 0,1) (1 + 0,1) = $36,3].

Сложна лихва в края на 2 години: 90% * 130% = 117%, т.е. общото увеличение е 17%, а средната годишна сложна лихва е 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\% ))\приблизително 108,2\%) , тоест средногодишно увеличение от 8,2%.

Упътвания

Основна статия: Статистика на дестинацията

Когато се изчислява средноаритметичното на някаква променлива, която се променя циклично (като фаза или ъгъл), трябва да се обърне специално внимание. Например средната стойност от 1° и 359° би била 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Този номер е неправилен по две причини.

• Първо, ъгловите мерки са определени само за диапазона от 0° до 360° (или от 0 до 2π, когато се измерват в радиани). Така че същата двойка числа може да бъде записана като (1° и −1°) или като (1° и 719°). Средните стойности на всяка двойка ще бъдат различни: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ кръг )).
• Второ, в този случай стойност от 0° (еквивалентна на 360°) ще бъде геометрично по-добра средна стойност, тъй като числата се отклоняват по-малко от 0°, отколкото от всяка друга стойност (стойността 0° има най-малката дисперсия). Сравнете:
  • числото 1° се отклонява от 0° само с 1°;
  • числото 1° се отклонява от изчислената средна стойност от 180° със 179°.

Средната стойност за циклична променлива, изчислена с помощта на горната формула, ще бъде изкуствено изместена спрямо реалната средна стойност към средата на числения диапазон. Поради това средната стойност се изчислява по различен начин, а именно числото с най-малка дисперсия ( Централна точка). Освен това вместо изваждане се използва модулното разстояние (т.е. периферното разстояние). Например, модулното разстояние между 1° и 359° е 2°, а не 358° (на окръжността между 359° и 360°==0° - един градус, между 0° и 1° - също 1°, общо - 2 °).

4.3. Средни стойности. Същност и значение на средните стойности

Среден размерв статистиката е общ показател, който характеризира типичното ниво на явление в конкретни условия на място и време, отразяващ стойността на варираща характеристика на единица от качествено хомогенна съвкупност. В икономическата практика се използват широк набор от показатели, изчислени като средни стойности.

Например общ показател за доходите на работниците акционерно дружество(АД) е средният доход на един работник, определен от съотношението на фонда за работна заплата и социалните плащания за разглеждания период (година, тримесечие, месец) към броя на работниците в АД.

Изчисляването на средната стойност е една от често срещаните техники за обобщение; средният показател отразява общото (типично) за всички единици от изследваната съвкупност, като в същото време пренебрегва различията на отделните единици. Във всяко явление и неговото развитие има комбинация инцидентиИ необходимо.При изчисляване на средните стойности, поради действието на закона за големите числа, случайността се компенсира и балансира, така че е възможно да се абстрахираме от маловажните характеристики на явлението, от количествените стойности на характеристиката във всеки конкретен случай. . Способността да се абстрахирате от случайността на индивидуалните стойности, колебанията се крие в научната стойност на средните стойности като обобщаващхарактеристики на популациите.

Когато възникне необходимост от обобщение, изчисляването на такива характеристики води до замяна на много различни индивидуални стойности на атрибута средно аритметичноиндикатор, който характеризира цялата съвкупност от явления, което позволява да се идентифицират модели, присъщи на масовите социални явления, които са невидими в отделните явления.

Средната стойност отразява характерното, типично, реално ниво на изучаваните явления, характеризира тези нива и техните изменения във времето и пространството.

Средната е обобщена характеристика на закономерностите на процеса в условията, в които протича.

4.4. Видове средни стойности и методи за изчисляването им

Изборът на вида средна стойност се определя от икономическото съдържание на даден показател и изходните данни. Във всеки конкретен случай се използва една от средните стойности: аритметика, гармоничен, геометричен, квадратичен, кубичени т.н. Изброените средни стойности принадлежат към класа успокоенсредно аритметично.

Освен средните по мощност в статистическата практика се използват структурни средни, които се считат за мода и медиана.

Нека се спрем по-подробно на средните мощности.

Средноаритметично

Най-често срещаният тип средно е средно аритметично аритметика.Използва се в случаите, когато обемът на различна характеристика за цялата съвкупност е сумата от стойностите на характеристиките на нейните отделни единици. Социалните явления се характеризират с адитивност (обобщение) на обемите на различна характеристика; това определя обхвата на приложение на средноаритметичното и обяснява разпространението му като общ показател, например: общият фонд за заплати е сумата от заплатите на всички работници, брутната реколта е сумата от продуктите, произведени от целия сеитбен сезон.площ.

За да изчислите средната аритметична стойност, трябва да разделите сумата от всички стойности на характеристиките на техния брой.

Във формуляра се използва средноаритметичното проста средна и среднопретеглена.Първоначалната, определяща форма е простата средна стойност.

Средно просто аритметичноравна на простата сума на отделните стойности на осреднената характеристика, разделена на общия брой на тези стойности (използва се в случаите, когато има негрупирани индивидуални стойности на характеристиката):

Където
- индивидуални стойности на променливата (варианти); м - броят на единиците в съвкупността.

Освен това границите на сумиране няма да бъдат посочени във формулите. Например, трябва да намерите средната производителност на един работник (механик), ако знаете колко части е произвел всеки от 15 работници, т.е. дадени са редица индивидуални стойности на характеристиката, бр.:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Простата средна аритметична стойност се изчислява по формула (4.1), 1 бр.:

Средната стойност на опциите, които се повтарят различен брой пъти или, както се казва, имат различна тежест, се нарича претеглени.Теглата са броят единици в различни групиагрегати (идентични опции се комбинират в група).

Средно аритметично претеглено- средна стойност на групираните стойности, - се изчислява по формулата:

, (4.2)

Където
- тегло (честота на повторение на еднакви знаци);

- сумата от произведенията на големината на характеристиките и техните честоти;

- общият брой единици на съвкупността.

Ние илюстрираме техниката за изчисляване на среднопретеглената аритметична стойност, като използваме примера, обсъден по-горе. За целта ще групираме изходните данни и ще ги поставим в таблица. 4.1.

Таблица 4.1

Разпределяне на работници за производство на части

Съгласно формула (4.2) среднопретеглената аритметична е равна на, бр.:

В някои случаи теглата могат да бъдат представени не като абсолютни стойности, а като относителни (в проценти или части от единица). Тогава формулата за среднопретеглената аритметична стойност ще изглежда така:

Където
- особеност, т.е. делът на всяка честота в общата сума на всички

Ако честотите се броят в дроби (коефициенти), тогава
= 1, а формулата за средноаритметично претеглената има формата:

Изчисляване на среднопретеглената аритметична стойност от групови средни извършва се по формулата:

,

Където f-брой единици във всяка група.

Резултатите от изчисляването на средната аритметична от груповите средни са представени в табл. 4.2.

Таблица 4.2

Разпределение на работниците по среден трудов стаж

В този пример опциите не са индивидуални данни за трудовия стаж на отделните работници, а средната стойност за всеки цех. Везни fса броят на работниците в цеховете. Следователно средният трудов стаж на работниците в предприятието ще бъде години:

.

Изчисляване на средна аритметична стойност в редове на разпределение

Ако стойностите на усреднената характеристика са посочени под формата на интервали („от - до“), т.е. интервална серия на разпределението, тогава при изчисляване на средната аритметична стойност средните точки на тези интервали се приемат като стойности на характеристиките в групите, което води до образуването на дискретна серия. Разгледайте следния пример (Таблица 4.3).

Нека преминем от интервална серия към дискретна серия, като заменим интервалните стойности с техните средни стойности/(обикновена средна

Таблица 4.3

Разпределение на работещите в АД по ниво на месечната заплата

Групи работници	Брой работници	Средата на интервала
заплати, търкайте.	хора, f	търкайте, х
900 или повече

стойностите на отворените интервали (първи и последни) са условно приравнени към интервалите, съседни на тях (втори и предпоследен).

При това изчисляване на средната стойност се допуска известна неточност, тъй като се прави предположение за равномерното разпределение на единиците на характеристиката в групата. Въпреки това, колкото по-тесен е интервалът и колкото повече единици са в него, толкова по-малка е грешката.

След като се намерят средните точки на интервалите, изчисленията се правят по същия начин, както при дискретна серия - опциите се умножават по честотите (теглата) и сумата от продуктите се разделя на сумата от честотите (теглата) , хиляди рубли:

.

Така, средно нивовъзнаграждението на служителите на АД е 729 рубли. на месец.

Изчисляването на средната аритметична стойност често изисква много време и труд. Въпреки това, в редица случаи процедурата за изчисляване на средната стойност може да бъде опростена и улеснена, ако използвате нейните свойства. Нека представим (без доказателство) някои основни свойства на средното аритметично.

Имот 1. Ако всички отделни стойности на характеристика (т.е. всички опции) намалете или увеличете азпъти, след това средната стойност новата характеристика съответно ще намалее или се увеличи азведнъж.

Имот 2. Ако се редуцират всички варианти на характеристиката, която се осреднявашият или увеличават с числото А, тогава съответства средното аритметичновсъщност ще намалее или се увеличи със същото число А.

Имот 3. Ако се намалят теглата на всички осреднени опции или увеличаване с Да се пъти, тогава средното аритметично няма да се промени.

Като средни тегла, вместо абсолютни показатели, можете да използвате конкретни тегла в общата сума (дялове или проценти). Това опростява изчисленията на средната стойност.

За да се опростят изчисленията на средната стойност, те следват пътя на намаляване на стойностите на опциите и честотите. Най-голямо опростяване се постига, когато, т.к Астойността на една от централните опции, която има най-висока честота, се избира като / - стойността на интервала (за серии с равни интервали). Количеството А се нарича референтна точка, следователно този метод за изчисляване на средната стойност се нарича „метод на броене от условна нула“ или „по пътя на моментите“.

Да приемем, че всички опции хпърво намалява със същото число A, а след това намалява с азведнъж. Получаваме нова вариационна серия от разпределение на нови опции .

Тогава нови опциище се изрази:

,

и новото им средно аритметично , -момент на първа поръчка-формула:

.

Тя е равна на средната стойност на оригиналните опции, първо намалена с а,и след това в азведнъж.

За да се получи реалната средна стойност, е необходим момент от първи ред м 1 , умножете по ази добавете A:

.

Този методизчисляване на средното аритметично от вариационна серия се нарича „по пътя на моментите“.Този метод се използва в редове на равни интервали.

Изчисляването на средноаритметичната стойност по метода на моментите е илюстрирано с данните в табл. 4.4.

Таблица 4.4

Разпределение на малките предприятия в региона по стойност на дълготрайните производствени фондове (ДФФ) през 2000г.

Групи предприятия по стойност на OPF, хиляди рубли.	Брой предприятия f	Средни точки на интервали х
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

Намиране на първия момент на поръчка

.

След това, като вземем A = 19 и знаем това аз= 2, изчисли Х,хиляди рубли:

Видове средни стойности и методи за тяхното изчисляване

На сцената статистическа обработкаМогат да се поставят различни изследователски задачи, за чието решение е необходимо да се избере подходящата средна стойност. В този случай е необходимо да се ръководи от следното правило: количествата, които представляват числителя и знаменателя на средната стойност, трябва да бъдат логически свързани помежду си.

• средни мощности;
• структурни средни.

Нека въведем следните конвенции:

Количествата, за които се изчислява средната стойност;

Средно, където горната лента показва, че се извършва осредняване на индивидуалните стойности;

Честота (повторяемост на индивидуалните характерни стойности).

Различни средни стойности се извличат от общата формула за средна мощност:

(5.1)

когато k = 1 - средно аритметично; k = -1 - средна хармонична; k = 0 - средно геометрично; k = -2 - средноквадратичен корен.

Средните стойности могат да бъдат прости или претеглени. Среднопретеглени стойностиТова са стойности, които отчитат, че някои варианти на стойностите на атрибути могат да имат различни числа и следователно всяка опция трябва да бъде умножена по това число. С други думи, „скалите“ са броят на сборните единици в различни групи, т.е. Всяка опция е „претеглена“ по своята честота. Честотата f се нарича статистическо теглоили средно тегло.

Средноаритметично- най-често срещаният тип средно. Използва се, когато изчислението се извършва върху негрупирани статистически данни, където трябва да получите средния срок. Средно аритметичното е средната стойност на характеристика, при получаването на която общият обем на характеристиката в съвкупността остава непроменен.

Формула за средно аритметично ( просто) има формата

където n е размерът на популацията.

Например, средната заплата на служителите на предприятието се изчислява като средно аритметично:

Определящите показатели тук са заплатата на всеки служител и броят на служителите в предприятието. При изчисляване на средната общата сума на заплатите остава същата, но разпределена поравно между всички служители. Например, трябва да изчислите средната заплата на работниците в малка компания, в която работят 8 души:

При изчисляване на средни стойности отделните стойности на осреднената характеристика могат да се повторят, така че средната стойност се изчислява с помощта на групирани данни. В такъв случай ние говорим заотносно употребата средно аритметично претеглено, който има формата

(5.3)

И така, трябва да изчислим средната цена на акциите на акционерно дружество при борсова търговия. Известно е, че сделките са извършени в рамките на 5 дни (5 сделки), броят на продадените акции по курса на продажба е разпределен, както следва:

1 - 800 ак. - 1010 рубли.

2 - 650 ак. - 990 рубли.

3 - 700 ак. - 1015 рубли.

4 - 550 ак. - 900 рубли.

5 - 850 ак. - 1150 рубли.

Първоначалният коефициент за определяне на средната цена на акциите е съотношението на общата сума на сделките (TVA) към броя на продадените акции (KPA).

5.1. Понятието средно

Средна стойност -Това е общ показател, характеризиращ типичното ниво на явлението. Той изразява стойността на дадена характеристика за единица от съвкупността.

Средната стойност винаги обобщава количествената вариация на даден признак, т.е. в средните стойности се елиминират индивидуалните различия между единиците в популацията, дължащи се на случайни обстоятелства. За разлика от средната, абсолютната стойност, характеризираща нивото на характеристика на отделна единица от популация, не позволява да се сравняват стойностите на характеристика между единици, принадлежащи към различни популации. Така че, ако трябва да сравните нивата на заплащане на работниците в две предприятия, тогава не можете да сравните тази характеристикадвама работници от различни фирми. Възнаграждението на избраните за сравнение работници може да не е типично за тези предприятия. Ако сравним размера на фонда за заплати в разглежданите предприятия, броят на заетите не се взема предвид и следователно е невъзможно да се определи къде нивото на заплатите е по-високо. В крайна сметка могат да се сравняват само средни показатели, т.е. Колко печели средно един служител във всяко предприятие? Следователно е необходимо да се изчисли средната стойност като обобщаваща характеристика на съвкупността.

Изчисляването на средната стойност е една от често срещаните техники за обобщение; средният показател отрича общото (типично) за всички единици от изследваната съвкупност, като в същото време игнорира различията на отделните единици. Във всяко явление и неговото развитие има комбинация от случайност и необходимост. При изчисляване на средните стойности, поради действието на закона за големите числа, случайността се компенсира и балансира, така че е възможно да се абстрахираме от маловажните характеристики на явлението, от количествените стойности на характеристиката във всеки конкретен случай. . Способността да се абстрахират от случайността на индивидуалните стойности и колебания е научната стойност на средните като обобщаващи характеристики на агрегатите.

За да бъде средната стойност наистина представителна, тя трябва да бъде изчислена, като се вземат предвид определени принципи.

Нека разгледаме някои основни принципиприлагане на средни стойности.
1. Средната стойност трябва да се определи за популации, състоящи се от качествено хомогенни единици.
2. Средната стойност трябва да се изчисли за популация, състояща се от достатъчно голямо числоединици.
3. Средната стойност трябва да се изчисли за популация, чиито единици са в нормално естествено състояние.
4. Средната стойност трябва да се изчисли, като се вземе предвид икономическото съдържание на изследвания показател.

5.2. Видове средни стойности и методи за изчисляването им

Нека сега разгледаме видовете средни стойности, характеристиките на тяхното изчисляване и областите на приложение. Средните стойности са разделени на два големи класа: средни мощности, средни структурни стойности.

ДА СЕ средна мощностТе включват най-известните и често използвани типове, като средно геометрично, средно аритметично и средно квадратично.

Като структурни среднисе вземат предвид модата и медианата.

Нека се съсредоточим върху средните мощности. Средните мощности, в зависимост от представянето на изходните данни, могат да бъдат прости или претеглени. Обикновено средноИзчислява се въз основа на негрупирани данни и има следния общ вид:

където X i е вариантът (стойността) на осреднената характеристика;

n – числова опция.

Среднопретеглена стойностсе изчислява въз основа на групирани данни и има общ вид

,

където X i е вариантът (стойността) на осреднената характеристика или средната стойност на интервала, в който е измерен вариантът;
m – индекс на средна степен;
f i – честота, показваща колко пъти се появява i-e стойностосредняваща характеристика.

Нека дадем като пример изчисляването на средната възраст на учениците в група от 20 души:

Ние изчисляваме средната възраст, като използваме простата средна формула:

Нека групираме изходните данни. Получаваме следната серия за разпространение:

В резултат на групирането получаваме нов показател - честота, показващ броя на учениците на възраст X години. Следователно средната възраст на учениците в групата ще бъде изчислена по формулата за среднопретеглена стойност:

Общите формули за изчисляване на средните мощности имат показател (m). В зависимост от стойността, която приема, се разграничават следните видове средни мощности:
средна хармонична стойност, ако m = -1;
средно геометрично, ако m –> 0;
средно аритметично, ако m = 1;
средна квадратична стойност, ако m = 2;
среден кубичен, ако m = 3.

Формулите за средните мощности са дадени в табл. 4.4.

Ако изчислите всички видове средни стойности за едни и същи първоначални данни, тогава техните стойности ще се окажат различни. Тук се прилага правилото за мнозинството от средните стойности: с нарастването на показателя m, съответната средна стойност също се увеличава:

В статистическата практика средните аритметични и хармоничните средни претеглени се използват по-често от другите видове средни претеглени.

Таблица 5.1

Видове силови средства

Вид власт средно аритметично	Индекс степен (m)	Формула за изчисление
		просто	Претеглени
Хармоничен	-1
Геометричен	0
Аритметика	1
Квадратичен	2
Кубичен	3

Средната хармонична има повече сложен дизайнотколкото средната аритметична. Хармоничната средна стойност се използва за изчисления, когато не единиците на съвкупността - носителите на характеристиката - се използват като тегла, а произведението на тези единици по стойностите на характеристиката (т.е. m = Xf). Към средната хармонична проста трябва да се прибягва в случаите на определяне например на средната цена на труд, време, материали за единица продукция, за една част за две (три, четири и т.н.) предприятия, работници, ангажирани в производството от същия тип продукт, същата част, продукт.

Основното изискване към формулата за изчисляване на средната стойност е, че всички етапи на изчислението имат реална смислена обосновка; получената средна стойност трябва да замени индивидуалните стойности на атрибута за всеки обект, без да нарушава връзката между индивидуалните и обобщените индикатори. С други думи, средната стойност трябва да бъде изчислена по такъв начин, че когато всяка отделна стойност на осреднения показател се замени с неговата средна стойност, някакъв краен обобщен показател, свързан по един или друг начин с осреднената стойност, остава непроменен. Това общо се нарича определянетъй като естеството на връзката му с индивидуалните стойности определя специфичната формула за изчисляване на средната стойност. Нека демонстрираме това правило, използвайки примера на средното геометрично.

Формула за средна геометрична

използва се най-често при изчисляване на средната стойност въз основа на индивидуалната относителна динамика.

Средната геометрична се използва, ако е дадена последователност от верижна относителна динамика, показваща например увеличение на производството спрямо нивото от предходната година: i 1, i 2, i 3,..., i n. Очевидно е, че обемът на производството в миналата годинасе определя от първоначалното му ниво (q 0) и последващо нарастване през годините:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×...×i n .

Вземайки q n като определящ показател и заменяйки отделните стойности на динамичните показатели със средни, достигаме до връзката

Оттук

5.3. Структурни средни

За изследване се използва специален вид средни - структурни средни вътрешна структурасерия от разпределение на стойностите на атрибута, както и за оценка на средната стойност (тип мощност), ако нейното изчисление не може да се извърши според наличните статистически данни (например, ако в разглеждания пример няма данни както за обема, така и за на продукцията и размера на разходите за групи предприятия) .

Индикаторите най-често се използват като структурни средни мода –най-често повтарящата се стойност на атрибута – и медиани –стойността на характеристика, която разделя подредената последователност от нейните стойности на две равни части. В резултат на това за половината от единиците в съвкупността стойността на признака не надвишава медианното ниво, а за другата половина е не по-малко от него.

Ако изследваната характеристика има дискретни стойности, тогава няма особени затруднения при изчисляването на модата и медианата. Ако данните за стойностите на атрибута X са представени под формата на подредени интервали на неговата промяна (серия от интервали), изчисляването на режима и медианата става малко по-сложно. Тъй като средната стойност разделя цялата генерална съвкупност на две равни части, тя завършва в един от интервалите на характеристиката X. Използвайки интерполация, стойността на медианата се намира в този среден интервал:

,

където X Me е долната граница на средния интервал;
h Me – неговата стойност;
(Sum m)/2 – половината от общия брой наблюдения или половината от обема на показателя, който се използва като тежест във формулите за изчисляване на средната стойност (в абсолютно или относително изражение);
S Me-1 – сборът от наблюдения (или обемът на тегловния атрибут), натрупан преди началото на медианния интервал;
m Me – броят на наблюденията или обемът на тегловната характеристика в медианния интервал (също в абсолютно или относително изражение).

В нашия пример могат да се получат дори три средни стойности - въз основа на броя на предприятията, обема на производството и общите производствени разходи:

По този начин в половината от предприятията разходите за единица продукция надвишават 125,19 хил. Рубли, половината от общия обем продукти се произвеждат с цена на продукт над 124,79 хил. Рубли. и 50% от общите разходи се формират, когато цената на един продукт е над 125,07 хиляди рубли. Имайте предвид също, че има известна тенденция към увеличаване на разходите, тъй като Me 2 = 124,79 хиляди рубли, а средното ниво е 123,15 хиляди рубли.

При изчисляване на модалната стойност на характеристика въз основа на данните от интервална серия е необходимо да се обърне внимание на факта, че интервалите са идентични, тъй като индикаторът за повторяемост на стойностите на характеристиката X зависи от това. интервална серия с равни интервали, величината на модата се определя като

където X Mo е долната стойност на модалния интервал;
m Mo – брой наблюдения или обем на тегловната характеристика в модалния интервал (в абсолютно или относително изражение);
m Mo -1 – същото за интервала, предхождащ модалния;
m Mo+1 – същото за интервала, следващ модалния;
h – стойността на интервала на изменение на характеристиката в групи.

За нашия пример можем да изчислим три модални стойности въз основа на характеристиките на броя на предприятията, обема на продуктите и размера на разходите. И в трите случая модалният интервал е един и същ, тъй като за същия интервал броят на предприятията, обемът на производството и общият размер на производствените разходи са най-големи:

Така най-често има предприятия с ниво на разходите от 126,75 хиляди рубли, най-често се произвеждат продукти с ниво на разходи от 126,69 хиляди рубли, а най-често производствените разходи се обясняват с ниво на разходите от 123,73 хиляди рубли.

5.4. Вариационни индикатори

Конкретните условия, в които се намира всеки от изследваните обекти, както и особеностите на собственото им развитие (социално, икономическо и др.) се изразяват чрез съответните числени нива на статистически показатели. По този начин, вариация,тези. несъответствието между нивата на един и същи показател в различни обекти има обективен характер и помага да се разбере същността на изследваното явление.

Има няколко метода, използвани за измерване на вариациите в статистиката.

Най-простият е да се изчисли индикаторът диапазон на вариация H като разликата между максималните (X max) и минималните (X min) наблюдавани стойности на характеристиката:

H=X max - X min.

Диапазонът на вариация обаче показва само екстремните стойности на признака. Тук не се взема предвид повторяемостта на междинните стойности.

По-строгите характеристики са индикатори за променливост спрямо средното ниво на атрибута. Най-простият индикатор от този тип е средно линейно отклонение L като средно аритметично на абсолютните отклонения на характеристика от нейното средно ниво:

Когато отделните стойности на X са повторими, използвайте формулата за претеглена средна аритметична стойност:

(Не забравяйте, че алгебрична сумаотклоненията от средното ниво са нула.)

Показателят за средно линейно отклонение се използва широко в практиката. С негова помощ се анализират например съставът на работниците, ритъмът на производство, равномерността на доставките на материали и се разработват системи за материални стимули. Но, за съжаление, този индикатор усложнява вероятностните изчисления и усложнява използването на методите на математическата статистика. Следователно в статистиката научно изследванеиндикаторът, който най-често се използва за измерване на вариацията, е вариации.

Дисперсията на характеристиката (s 2) се определя въз основа на квадратичната средна мощност:

.

Индикаторът s равен на се нарича средно аритметично квадратно отклонение.

В общата теория на статистиката индикаторът на дисперсията е оценка на едноименния индикатор на теорията на вероятностите и (като сума от квадратни отклонения) оценка на дисперсията в математическата статистика, което прави възможно използването на разпоредбите на тези теоретични дисциплини за анализ на социално-икономическите процеси.

Ако вариацията се оценява от малък брой наблюдения, взети от неограничена популация, тогава средната стойност на характеристиката се определя с известна грешка. Изчислената стойност на дисперсията се оказва изместена към намаление. За да се получи безпристрастна оценка, дисперсията на извадката, получена с помощта на предварително дадените формули, трябва да бъде умножена по стойността n / (n - 1). В резултат на това с малък брой наблюдения (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Обикновено вече при n > (15÷20) несъответствието между пристрастните и непредубедените оценки става незначително. По същата причина отклонението обикновено не се взема предвид във формулата за добавяне на отклонения.

Ако се вземат няколко проби от генералната съвкупност и всеки път се определя средната стойност на дадена характеристика, тогава възниква проблемът с оценката на променливостта на средните стойности. Приблизителна дисперсия средна стойноствъзможно е въз основа само на едно примерно наблюдение, използвайки формулата

,

където n е размерът на извадката; s 2 – дисперсия на характеристиката, изчислена от извадковите данни.

величина е наречен средна извадкова грешкаи е характеристика на отклонението на извадковата средна стойност на атрибут X от истинската му средна стойност. Индикаторът за средна грешка се използва за оценка на надеждността на резултатите от извадковото наблюдение.

Показатели за относителна дисперсия.За да се характеризира мярката за променливост на изследваната характеристика, показателите за променливост се изчисляват в относителни стойности. Те позволяват да се сравни естеството на дисперсията в различни разпределения (различни единици на наблюдение на една и съща характеристика в две популации, с различни значениясредни стойности, когато сравнявате различни популации). Изчисляването на показателите на относителната мярка на дисперсия се извършва като съотношение абсолютен показателдисперсия към средната аритметична стойност, умножена по 100%.

1. Коефициент на трептенеотразява относителната флуктуация на екстремните стойности на характеристиката около средната

.

2. Относителното линейно изключване характеризира съотношението на средната стойност на знака на абсолютните отклонения от средната стойност

.

3. Коефициент на вариация:

е най-честата мярка за променливост, използвана за оценка на типичността на средните стойности.

В статистиката популациите с коефициент на вариация над 30–35% се считат за хетерогенни.

Този метод за оценка на вариацията също има значителен недостатък. Наистина, нека, например, първоначалната популация от работници със среден опит от 15 години, със стандартно отклонение от s = 10 години, „остарява“ с още 15 години. Сега = 30 години, а стандартното отклонение все още е 10. Предишната хетерогенна популация (10/15 × 100 = 66,7%), като по този начин се оказва доста хомогенен във времето (10/30 × 100 = 33,3%).

Боярски А.Я. Теоретични изследвания по статистика: сб. Научен Трудов – М.: Статистика, 1974. стр. 19–57.

Предишен