средна стойност- това е общ показател, който характеризира качествено хомогенна съвкупност по определена количествена характеристика. Например средната възраст на лицата, осъдени за кражби.

В съдебната статистика се използват средни стойности за характеризиране на:

Средно време за разглеждане на дела от тази категория;

Среден размер на иска;

Среден брой ответници по дело;

Средна щета;

Средна натовареност на съдиите и др.

Средната стойност винаги е назована стойност и има същото измерение като характеристиката на отделна единица от съвкупността. Всяка средна стойност характеризира съвкупността, която се изследва, според която и да е различна характеристика, следователно зад всяка средна стойност се крие поредица от разпределение на единици от тази съвкупност според изследваната характеристика. Изборът на вида на средната се определя от съдържанието на показателя и изходните данни за изчисляване на средната стойност.

Всички видове средни стойности, използвани в статистическите изследвания, се разделят на две категории:

1) средни мощности;

2) структурни средни.

Първата категория средни стойности включва: средно аритметично, средно хармонично, средно геометрично И корен квадратен . Втората категория е модаИ Медиана. Освен това всеки от изброените типове средни мощности може да има две форми: просто И претеглени . Проста формаСредната стойност се използва за получаване на средната стойност на изследваната характеристика, когато изчислението се извършва с помощта на негрупирани статистически данни или когато всяка опция в съвкупността се среща само веднъж. Среднопретеглените стойности са стойности, които вземат предвид, че вариантите на стойностите на атрибута могат да имат различни числа и следователно всеки вариант трябва да бъде умножен по съответната честота. С други думи, всяка опция е „претеглена“ по своята честота. Честотата се нарича статистическо тегло.

Средно просто аритметично- най-често срещаният тип средно. Той е равен на сумата от отделните стойности на атрибута, разделена на общия брой на тези стойности:

Където x 1 ,x 2 , … ,x Nса индивидуалните стойности на вариращия признак (варианти), а N е броят на единиците в популацията.

Средно аритметично претегленоизползвани в случаите, когато данните са представени под формата на серии на разпределение или групи. Изчислява се като сумата от произведенията на опциите и съответните им честоти, разделена на сумата от честотите на всички опции:

Където x i- значение азти варианти на характеристиката; f i- честота азта опции.

Така всяка стойност на варианта се претегля по своята честота, поради което честотите понякога се наричат ​​статистически тегла.

Коментирайте.Кога ние говорим заза средното аритметично без посочване на вида му, средното аритметично е просто.

Таблица 12.

Решение.За да изчислим, използваме формулата за среднопретеглена аритметична стойност:

Така на едно наказателно дело има средно по двама обвиняеми.

Ако изчисляването на средната стойност се извършва с помощта на данни, групирани под формата на серия от интервално разпределение, тогава първо трябва да определите средните стойности на всеки интервал x"i и след това да изчислите средната стойност, като използвате средноаритметичното претеглено формула, в която x"i се замества вместо xi.

Пример.Данните за възрастта на престъпниците, осъдени за кражби, са представени в таблицата:

Таблица 13.

Определете средната възраст на престъпниците, осъдени за кражба.

Решение.За да се определи средната възраст на престъпниците въз основа на серия от интервални вариации, е необходимо първо да се намерят средните стойности на интервалите. Тъй като ни е дадена интервална серия с отвори първои последните интервали, тогава стойностите на тези интервали се приемат равни на стойностите на съседните затворени интервали. В нашия случай стойностите на първия и последния интервал са равни на 10.

Сега намираме средната възраст на престъпниците, използвайки формулата за средноаритметично претеглено:

Така средната възраст на престъпниците, осъдени за кражба, е приблизително 27 години.

Средно хармонично просто представлява реципрочната стойност на средната аритметична стойност на обратните стойности на характеристиката:

където 1/ x iса обратните стойности на опциите, а N е броят на единиците в популацията.

Пример.За определяне на средногодишната натовареност на съдиите от районен съд при разглеждане на наказателни дела е проведено изследване на натовареността на 5 съдии от този съд. Средното време, прекарано по едно наказателно дело за всеки от анкетираните съдии се оказа равно (в дни): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Намерете средните разходи по едно наказателно дело и средногодишната натовареност на съдиите от даден районен съд при разглеждане на наказателни дела.

Решение.За да определим средното време, прекарано по едно наказателно дело, използваме хармоничната средна формула:

За да опростим изчисленията, в примера приемаме броя на дните в годината 365, включително почивните дни (това не засяга методологията на изчисление и при изчисляване на подобен показател на практика е необходимо да се замени броят на работещите дни в определена година вместо 365 дни). Тогава средната годишна натовареност на съдиите от даден районен съд при разглеждане на наказателни дела ще бъде: 365 (дни) : 5,56 ≈ 65,6 (дела).

Ако използваме простата формула за средна аритметична стойност, за да определим средното време, прекарано в едно наказателно дело, ще получим:

365 (дни): 5,64 ≈ 64,7 (случаи), т.е. средната натовареност на съдиите се оказва по-малка.

Нека проверим валидността на този подход. За целта ще използваме данни за времето, прекарано по едно наказателно дело за всеки съдия, и ще изчислим броя на наказателните дела, разгледани от всеки от тях на година.

Получаваме съответно:

365 (дни) : 6 ≈ 61 (случаи), 365 (дни) : 5,6 ≈ 65,2 (случаи), 365 (дни) : 6,3 ≈ 58 (случаи),

365 (дни) : 4,9 ≈ 74,5 (случаи), 365 (дни) : 5,4 ≈ 68 (случаи).

Сега нека изчислим средната годишна натовареност на съдиите от даден районен съд при разглеждане на наказателни дела:

Тези. средногодишното натоварване е същото като при използване на хармоничното средно.

Следователно използването на средно аритметично в този случай е неправомерно.

В случаите, когато вариантите на дадена характеристика и техните обемни стойности (произведението на варианти и честота) са известни, но самите честоти са неизвестни, се използва формулата за претеглена хармонична средна стойност:

,

Където x iса стойностите на опциите на атрибута, а w i са обемните стойности на опциите ( w i = x i f i).

Пример.Данните за цената на единица от един и същи вид продукт, произвеждан от различни институции на наказателната система, и за обема на продажбите му са дадени в таблица 14.

Таблица 14

Намерете средната продажна цена на продукта.

Решение.Когато изчисляваме средната цена, трябва да използваме съотношението на обема на продажбите към броя на продадените единици. Не знаем броя на продадените единици, но знаем сумата на продажбите на стоки. Следователно, за да намерим средната цена на продадените стоки, ще използваме формулата за среднопретеглена хармонична стойност. Получаваме

Ако използвате формулата за средно аритметично тук, можете да получите средна цена, която ще бъде нереалистична:

Средна геометричнасе изчислява чрез извличане на корена на степен N от произведението на всички стойности на вариантите на атрибута:

,

Където x 1 ,x 2 , … ,x N- индивидуални стойности на вариращата характеристика (варианти) и

н- броят на единиците в съвкупността.

Този тип средна стойност се използва за изчисляване на средните темпове на растеж на динамичните редове.

Среден квадратизползвани за изчисляване на средната стойност квадратно отклонение, което е индикатор за вариация и ще бъде обсъдено по-долу.

За определяне структурата на населението се използват специални средни показатели, които включват Медиана И мода , или така наречените структурни средни. Ако средноаритметичната стойност се изчислява въз основа на използването на всички варианти на стойностите на атрибута, тогава медианата и модата характеризират стойността на варианта, който заема определена средна позиция в класираната (подредена) серия. Единиците от статистическа съвкупност могат да бъдат подредени във възходящ или низходящ ред на вариантите на изследваната характеристика.

Медиана (аз)- това е стойността, която съответства на опцията, разположена в средата на класираната серия. По този начин медианата е тази версия на класираната серия, от двете страни на която трябва да има в тази серия равен бройединици от населението.

За да намерите медианата, първо трябва да я определите сериен номерв класирана серия по формулата:

където N е обемът на серията (броят единици в съвкупността).

Ако серията се състои от нечетен брой членове, тогава медианата е равна на опцията с номер N Me. Ако серията се състои от четен брой термини, тогава медианата се определя като средноаритметично на две съседни опции, разположени в средата.

Пример.Дадена е класирана серия 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Обемът на серията е N = 9, което означава N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Следователно, Me = 6, т.е. пети вариант. Ако на реда са дадени 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, т.е. серия с четен брой членове (N = 8), тогава N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Това означава, че медианата е равна на половината от сумата на четвъртия и петия вариант, т.е. Аз = (9 + 11) / 2 = 10.

В серия от дискретни вариации медианата се определя от натрупаните честоти. Честотите на опцията, започвайки от първата, се сумират до надвишаване на средното число. Стойността на последните сумирани опции ще бъде медианата.

Пример.Намерете средния брой обвиняеми по наказателно дело, като използвате данните в Таблица 12.

Решение.В този случай обемът на вариационната серия е N = 154, следователно N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. След като обобщим честотите на първата и втората опция, получаваме: 75 + 43 = 118, т.е. надхвърлихме средното число. Значи аз = 2.

В серия от интервални вариации разпределението първо показва интервала, в който ще се намира медианата. Наричат ​​го Медиана . Това е първият интервал, чиято натрупана честота надвишава половината от обема на интервалните вариационни серии. Тогава числова стойностМедианата се определя по формулата:

Където x Аз- долна граница на медианния интервал; i е стойността на средния интервал; S Me-1- натрупана честота на интервала, който предхожда медианата; е аз- честота на средния интервал.

Пример.Намерете средната възраст на нарушителите, осъдени за кражба, въз основа на статистическите данни, представени в таблица 13.

Решение.Статистическите данни се представят чрез серия от интервални вариации, което означава, че първо определяме средния интервал. Обемът на популацията е N = 162, следователно средният интервал е интервалът 18-28, т.к. това е първият интервал, чиято натрупана честота (15 + 90 = 105) надвишава половината от обема (162: 2 = 81) на серията интервални вариации. Сега определяме числената стойност на медианата, използвайки горната формула:

Така половината от осъдените за кражби са под 25 години.

Мода (Mo)Те наричат ​​стойността на характеристика, която най-често се среща в единици от съвкупността. Модата се използва за идентифициране на стойността на характеристика, която е най-разпространена. За дискретна серия режимът ще бъде опцията с най-висока честота. Например за дискретните серии, представени в таблица 3 мо= 1, тъй като тази стойност съответства на най-високата честота - 75. За да определите режима на интервалната серия, първо определете модален интервал (интервалът с най-висока честота). След това в рамките на този интервал се намира стойността на характеристиката, която може да бъде режим.

Стойността му се намира по формулата:

Където xMo- долна граница на модалния интервал; i е стойността на модалния интервал; f Mo- честота на модалния интервал; f Mo-1- честота на интервала, предхождащ модалния; f Mo+1- честота на интервала, следващ модалния.

Пример.Намерете възрастта на престъпниците, осъдени за кражби, данните за които са представени в таблица 13.

Решение.Най-високата честота съответства на интервала 18-28, следователно режимът трябва да бъде в този интервал. Стойността му се определя по горната формула:

По този начин, най-голямото числоосъдените за кражби са на 24 години.

Средната стойност дава обща характеристика на цялото изследвано явление. Въпреки това две популации, които имат еднакви средни стойности, могат да се различават значително една от друга в степента на флуктуация (вариация) в стойността на изследваната характеристика. Например в един съд назначиха следващите датилишаване от свобода: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 години, а в друго - 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8 години. И в двата случая средноаритметичното е 6,7 години. Въпреки това, тези популации се различават значително една от друга в разпространението на индивидуалните стойности на определения срок на лишаване от свобода спрямо средната стойност.

А за първия съд, където това разпространение е доста голямо, средният срок на лишаване от свобода не отразява цялото население. По този начин, ако отделните стойности на дадена характеристика се различават малко една от друга, тогава средноаритметичната стойност ще бъде доста показателна характеристика на свойствата на дадена популация. В противен случай средноаритметичната стойност ще бъде ненадеждна характеристика на тази съвкупност и нейното използване на практика ще бъде неефективно. Следователно е необходимо да се вземе предвид вариацията в стойностите на изследваната характеристика.

Вариация- това са разлики в стойностите на всяка характеристика между различни единици от дадена съвкупност в един и същи период или момент от време. Терминът "вариация" е от латински произход - variatio, което означава разлика, промяна, колебание. Възниква в резултат на това, че индивидуалните стойности на дадена характеристика се формират под комбинираното въздействие на различни фактори (условия), които се комбинират по различен начин във всеки отделен случай. Различни абсолютни и относителни показатели.

Основните показатели за вариация включват следното:

1) обхват на вариация;

2) средно линейно отклонение;

3) дисперсия;

4) стандартно отклонение;

5) коефициент на вариация.

Нека разгледаме накратко всеки от тях.

Диапазон на вариация R е най-достъпният абсолютен показател по отношение на лекотата на изчисление, който се определя като разликата между най-големите и най-малките стойности на характеристика за единици от дадена популация:

Диапазон на вариация (диапазон на колебания) - важен показателпроменливостта на знака, но дава възможност да се видят само екстремни отклонения, което ограничава обхвата на неговото приложение. За по-точно характеризиране на вариацията на даден признак въз основа на неговата променливост се използват други показатели.

Средно линейно отклонениепредставлява средноаритметичното на абсолютни стойностиотклонения на индивидуалните стойности на характеристика от средната и се определя по формулите:

1) За негрупирани данни

2) За вариационна серия

Въпреки това, най-широко използваната мярка за вариация е дисперсия . Той характеризира мярката за дисперсия на стойностите на изследваната характеристика спрямо нейната средна стойност. Дисперсията се определя като средната стойност на отклоненията на квадрат.

Проста вариацияза негрупирани данни:

.

Претеглена дисперсияза вариационната серия:

Коментирайте.На практика е по-добре да използвате следните формули за изчисляване на дисперсията:

За проста вариация

.

За претеглена дисперсия

Стандартно отклонениее корен квадратен от дисперсията:

Стандартното отклонение е мярка за надеждността на средната стойност. Колкото по-малко е стандартното отклонение, толкова по-хомогенна е популацията и толкова по-добре средното аритметично отразява цялата популация.

Обсъдените по-горе мерки за дисперсия (диапазон на вариация, дисперсия, стандартно отклонение) са в абсолютно изражение, по които не винаги е възможно да се прецени степента на променливост на даден признак. В някои задачи е необходимо да се използват относителни индекси на разсейване, един от които е коефициентът на вариация.

Коефициентът на вариация- отношението на стандартното отклонение към средноаритметичното, изразено като процент:

Коефициентът на вариация се използва не само за сравнителна оценкавариации на различни характеристики или една и съща характеристика в различни популации, но и за характеризиране на хомогенността на популацията. Статистическа съвкупност се счита за количествено хомогенна, ако коефициентът на вариация не надвишава 33% (за разпределения, близки до нормалното разпределение).

Пример.Съществуват следните данни за сроковете на лишаване от свобода на 50 осъдени, изпратени за изтърпяване на наложено от съда наказание в поправителен дом от системата на наказанията: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 бр. , 5, 6, 4, 3 , 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1 , 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Конструирайте поредица от разпределения по условия на лишаване от свобода.

2. Намерете средната стойност, дисперсията и стандартното отклонение.

3. Изчислете коефициента на вариация и направете заключение за хомогенността или хетерогенността на изследваната популация.

Решение.За да се изгради дискретна серия на разпределение, е необходимо да се определят опции и честоти. Вариантът в тази задача е срокът на лишаване от свобода, а честотата е броят на отделните варианти. След като изчислим честотите, получаваме следната дискретна серия на разпределение:

Нека намерим средната стойност и дисперсията. Тъй като статистическите данни са представени чрез дискретни вариационни серии, ние ще използваме формулите за претеглената средна аритметична стойност и дисперсията, за да ги изчислим. Получаваме:

= = 4,1;

= 5,21.

Сега изчисляваме стандартното отклонение:

Намиране на коефициента на вариация:

Следователно статистическата съвкупност е количествено хетерогенна.

Сега нека поговорим за как да изчислим средно.
В своята класическа форма общата теория на статистиката ни предлага една версия на правилата за избор на средна стойност.
Първо, трябва да създадете правилната логическа формула за изчисляване на средната стойност (AFV). За всяка средна стойност винаги има само една логическа формула за изчисляването й, така че тук е трудно да се направи грешка. Но винаги трябва да помним, че в числителя (това е в горната част на дробта) сумата от всички явления, а в знаменателя (това е в долната част на дробта) обща сумаелементи.

След като логическата формула е съставена, можете да използвате правилата (за по-лесно разбиране ще ги опростим и съкратим):
1. Ако изходните данни (определени от честотата) съдържат знаменателя на логическа формула, тогава изчислението се извършва с помощта на формулата за средноаритметично претеглено.
2. Ако числителят на логическа формула е представен в изходните данни, тогава изчислението се извършва с помощта на формулата за претеглена хармонична средна стойност.
3. Ако проблемът представя както числителя, така и знаменателя на логическа формула (това се случва рядко), тогава извършваме изчислението, използвайки тази формула или простата формула за средно аритметично.
Това е класическата идея за избор на правилната формула за изчисляване на средната стойност. След това представяме последователността от действия при решаване на задачи за изчисляване на средната стойност.

Алгоритъм за решаване на задачи за изчисляване на средната стойност

A. Определете метода за изчисляване на средната стойност - прости или претеглени . Ако данните са представени в таблица, тогава използваме претеглен метод, ако данните са представени чрез просто изброяване, тогава използваме прост метод на изчисление.

B. Определете или подредете символи – х – опция, f - честота . Опцията е за кое явление искате да намерите средната стойност. Останалите данни в таблицата ще бъдат честотата.

Б. Определяме формата за изчисляване на средната стойност - аритметичен или хармоничен . Определянето се извършва с помощта на честотната колона. Аритметичната форма се използва, ако честотите са определени с изрично количество (условно можете да замените думата парчета, броя на елементите „парчета“). Хармоничната форма се използва, ако честотите са определени не чрез изрично количество, а чрез сложен показател (произведението на осредненото количество и честотата).

Най-трудно е да се познае къде и какво количество се дава, особено за студент без опит в подобни въпроси. В такава ситуация можете да използвате един от следните методи. За някои задачи (икономически) е подходящо изявление, разработено в продължение на години практика (точка B.1). В други ситуации ще трябва да използвате точка B.2.

B.1 Ако честотата е дадена в парични единици (в рубли), тогава хармоничната средна стойност се използва за изчисление, това твърдение винаги е вярно, ако идентифицираната честота е дадена в пари, в други ситуации това правило не се прилага.

B.2 Използвайте правилата за избор на средната стойност, посочени по-горе в тази статия. Ако честотата е дадена от знаменателя на логическата формула за изчисляване на средната стойност, тогава изчисляваме с помощта на средноаритметичната форма; ако честотата е дадена с числителя на логическата формула за изчисляване на средната стойност, тогава изчисляваме с помощта на средна хармонична форма.

Нека да разгледаме примери за използване на този алгоритъм.

A. Тъй като данните са представени в ред, ние използваме прост метод за изчисление.

Б. В. Имаме данни само за размера на пенсиите и те ще ни бъдат вариант - х. Данните са представени като просто число (12 души), за изчисление използваме просто средно аритметично.

Средната пенсия на пенсионер е 9208,3 рубли.

B. Тъй като трябва да намерим средното плащане на дете, опциите са в първата колона, поставяме обозначението x там, втората колона автоматично става честотата f.

Б. Честотата (брой деца) се дава с изрично количество (можете да замените думата парчета деца, от гледна точка на руския език това е неправилна фраза, но всъщност е много удобно да проверка), което означава, че среднопретеглената аритметична стойност се използва за изчислението.

Същият проблем може да бъде решен не чрез формулен метод, а чрез табличен метод, тоест въвеждане на всички данни от междинните изчисления в таблица.

В резултат на това всичко, което трябва да се направи сега, е да се разделят двете суми в правилния ред.

Средното плащане на дете на месец е 1910 рубли.

A. Тъй като данните са представени в таблицата, ние използваме претеглена форма за изчисление.

Б. Честотата (производствените разходи) се дава от имплицитно количество (честотата е дадена в рубли точка на алгоритъм B1), което означава, че за изчислението се използва среднопретеглената хармонична стойност. Като цяло, по същество себестойността на продукцията е комплексен показател, който се получава чрез умножаване на себестойността на единица продукт по броя на такива продукти, това е същността на хармоничната средна стойност.

За да се реши този проблем с помощта на формулата за средно аритметично е необходимо вместо себестойността на продукцията да има броя на продуктите със съответната себестойност.

Моля, обърнете внимание, че получената след изчисленията сума в знаменателя е 410 (120+80+210) това е общият брой произведени продукти.

Средната цена на единица продукт е 314,4 рубли.

A. Тъй като данните са представени в таблицата, ние използваме претеглена форма за изчисление.

B. Тъй като трябва да намерим средната цена на единица продукт, опциите са в първата колона, там поставяме обозначението x, втората колона автоматично става честотата f.

Б. Честотата (общ брой отсъствия) се дава чрез имплицитно количество (това е произведението на два показателя за броя на отсъствията и броя на учениците с този брой отсъствия), което означава, че се използва претеглената хармонична средна стойност за изчислението. Ще използваме точка от алгоритъм B2.

За да се реши тази задача по формулата за средно аритметично е необходимо вместо общия брой отсъствия да има броя на учениците.

Създаваме логическа формула за изчисляване на средния брой отсъствия на ученик.

Честота според условията на задачата Общ бройпреминава. В логическата формула този показател е в числителя, което означава, че използваме формулата за хармонична средна стойност.

Обърнете внимание, че сумата в знаменателя, получена след изчисления 31 (18+8+5), е общият брой ученици.

Средният брой отсъствия на ученик е 13,8 дни.

Средните стойности се използват широко в статистиката. Средните стойности характеризират качествените показатели на търговската дейност: разходи за дистрибуция, печалба, рентабилност и др.

Средно аритметично - Това е една от често срещаните техники за обобщение. Правилното разбиране на същността на средното определя особеното му значение в условията пазарна икономика, когато средното чрез индивидуално и произволно ни позволява да идентифицираме общото и необходимо, да идентифицираме тенденцията на моделите на икономическо развитие.

средна стойност - това са общи показатели, в които се изразяват действията Общи условия, модели на изучаваното явление.

Средните статистически стойности се изчисляват на базата на масови данни от правилно статистически организирано масово наблюдение (непрекъснато и избирателно). Статистическата средна стойност обаче ще бъде обективна и типична, ако се изчислява от масови данни за качествено хомогенна популация (масови явления). Например, ако изчислите средната работна заплата в кооперациите и държавните предприятия и разширите резултата върху цялото население, тогава средната стойност е фиктивна, тъй като се изчислява за разнородно население и такава средна губи всякакъв смисъл.

С помощта на средната стойност се изглаждат разликите в стойността на дадена характеристика, които възникват по една или друга причина в отделните единици на наблюдение.

Например средната производителност на продавача зависи от много причини: квалификация, трудов стаж, възраст, форма на обслужване, здравословно състояние и др.

Средният резултат отразява общото свойство на цялата съвкупност.

Средната стойност е отражение на стойностите на изследваната характеристика, следователно тя се измерва в същото измерение като тази характеристика.

Всяка средна стойност характеризира изследваната популация според всяка една характеристика. За да се получи пълно и изчерпателно разбиране на изследваната популация според редица основни характеристики, като цяло е необходимо да има система от средни стойности, които могат да опишат явлението от различни ъгли.

Има различни средни стойности:

средноаритметично;

средно геометрично;

хармонично средно;

среден квадрат;

средно хронологичен.

Нека да разгледаме някои видове средни стойности, които най-често се използват в статистиката.

Средноаритметично

Простата средна аритметична (непретеглена) е равна на сумата от отделните стойности на атрибута, разделена на броя на тези стойности.

Индивидуалните стойности на характеристика се наричат ​​варианти и се означават с x(); броят на единиците от съвкупността е означен с n, средната стойност на признака е означена с . Следователно средноаритметичното просто е равно на:

Според данните от сериите на дискретно разпределение е ясно, че едни и същи характерни стойности (варианти) се повтарят няколко пъти. Така опция x се среща общо 2 пъти, а опция x 16 пъти и т.н.

Броят на еднаквите стойности на характеристика в серията на разпределение се нарича честота или тегло и се обозначава със символа n.

Нека изчислим средната заплата на един работник в рубли:

фонд заплатиза всяка група работници е равна на произведението от опциите и честотата, а сумата от тези произведения дава общия фонд работна заплата за всички работници.

В съответствие с това изчисленията могат да бъдат представени в общ вид:

Получената формула се нарича среднопретеглена аритметична стойност.

В резултат на обработката статистическият материал може да бъде представен не само под формата на дискретни разпределителни серии, но и под формата на интервални вариационни серии със затворени или отворени интервали.

Средната стойност за групирани данни се изчислява с помощта на формулата за претеглена средна аритметична стойност:

В практиката на икономическата статистика понякога е необходимо да се изчисли средната стойност, като се използват групови средни стойности или средни стойности на отделни части от съвкупността (частични средни стойности). В такива случаи като опции (x) се приемат групови или частни средни стойности, въз основа на които общата средна стойност се изчислява като обикновена среднопретеглена аритметична стойност.

Основни свойства на средноаритметичното .

Средната аритметична стойност има редица свойства:

1. Стойността на средноаритметичната стойност няма да се промени от намаляване или увеличаване на честотата на всяка стойност на характеристиката x с n пъти.

Ако всички честоти се разделят или умножат по произволно число, средната стойност няма да се промени.

2. Общият множител на отделните стойности на дадена характеристика може да бъде взет отвъд знака на средната стойност:

3. Средно количество(разликата) на две или повече величини е равна на сумата (разликата) на техните средни стойности:

4. Ако x = c, където c е постоянна стойност, тогава
.

5. Сумата от отклоненията на стойностите на атрибута X от средното аритметично x е равна на нула:

Средно хармонично.

Заедно със средното аритметично, статистиката използва средното хармонично, обратното на средното аритметично на обратните стойности на атрибута. Подобно на средното аритметично, то може да бъде просто и претеглено.

Характеристиките на вариационните серии, заедно със средните стойности, са режим и медиана.

Мода - това е стойността на характеристика (вариант), която най-често се повтаря в изследваната популация. За серии с дискретно разпределение режимът ще бъде стойността на варианта с най-висока честота.

За интервални разпределителни серии с равни интервали режимът се определя по формулата:

Където
- начална стойност на интервала, съдържащ режима;

- стойността на модалния интервал;

- честота на модалния интервал;

- честота на интервала, предхождащ модалния;

- честота на интервала, следващ модалния.

Медиана - това е опция, разположена в средата на вариационната серия. Ако серията на разпределение е дискретна и има нечетен брой членове, тогава медианата ще бъде опцията, разположена в средата на подредената серия (подредената серия е подреждането на единици съвкупност във възходящ или низходящ ред).

Средноаритметичното е статистически показател, който показва средната стойност на даден масив от данни. Този показател се изчислява като дроб, чийто числител е сумата от всички стойности в масива, а знаменателят е техният брой. Средната аритметична стойност е важен коефициент, който се използва в ежедневните изчисления.

Значението на коеф

Средната аритметична стойност е елементарен показател за сравняване на данни и изчисляване на приемлива стойност. Например, различни магазини продават кутия бира от определен производител. Но в един магазин струва 67 рубли, в друг - 70 рубли, в трети - 65 рубли, а в последния - 62 рубли. Има доста широк диапазон от цени, така че купувачът ще се интересува от средната цена на кутията, така че при закупуване на продукт да може да сравни разходите си. Средната цена за кутия бира в града е:

Средна цена = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 рубли.

Познавайки средната цена, лесно е да определите къде е изгодно да закупите продукт и къде ще трябва да надплатите.

Средната аритметична стойност се използва постоянно в статистическите изчисления в случаите, когато се анализира хомогенен набор от данни. В горния пример това е цената на кутия бира от същата марка. Не можем обаче да сравняваме цената на бирата от различни производители или цените на бирата и лимонадата, тъй като в този случай разпространението на стойностите ще бъде по-голямо, средната цена ще бъде замъглена и ненадеждна, а самият смисъл на изчисленията ще бъде изкривена в карикатура на „средната температура в болницата“. За изчисляване на хетерогенни набори от данни се използва среднопретеглена аритметична стойност, когато всяка стойност получава свой собствен тегловен коефициент.

Изчисляване на средно аритметично

Формулата за изчисление е изключително проста:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

където an е стойността на количеството, n е общият брой стойности.

За какво може да се използва този индикатор? Първата и очевидна употреба е в статистиката. В почти всяка статистически изследванияИзползва се средно аритметично. Това може да бъде средната възраст за женитба в Русия, средната оценка по предмет за ученик или средните разходи за хранителни стоки на ден. Както бе споменато по-горе, без да се вземат предвид теглата, изчисляването на средни стойности може да доведе до странни или абсурдни стойности.

Например президентът Руска федерациянаправи изявление, че според статистиката средната заплата на руснак е 27 000 рубли. За повечето жители на Русия това ниво на заплата изглеждаше абсурдно. Не е изненадващо, ако при изчисляването вземем предвид доходите на олигарси, ръководители на промишлени предприятия, големи банкери, от една страна, и заплатите на учители, чистачи и продавачи, от друга. Дори средните заплати в една специалност, например счетоводител, ще имат сериозни разлики в Москва, Кострома и Екатеринбург.

Как да изчислим средни стойности за разнородни данни

В ситуации на заплати е важно да се вземе предвид тежестта на всяка стойност. Това означава, че заплатите на олигарсите и банкерите биха получили тежест например 0,00001, а заплатите на продавачите - 0,12. Това са неочаквани цифри, но те грубо илюстрират преобладаването на олигарсите и продажниците в руското общество.

По този начин, за да се изчисли средната стойност на средните стойности или средните стойности в разнороден набор от данни, е необходимо да се използва средноаритметично претеглено. В противен случай ще получите средна заплата в Русия от 27 000 рубли. Ако искате да разберете средната си оценка по математика или средния брой отбелязани голове от избран хокеист, тогава калкулаторът за средна аритметична стойност е подходящ за вас.

Нашата програма е прост и удобен калкулатор за изчисляване на средната аритметична стойност. За да извършите изчисленията, трябва само да въведете стойностите на параметрите.

Нека да разгледаме няколко примера

Изчисляване на среден резултат

Много учители използват средноаритметичния метод за определяне на годишната оценка по даден предмет. Да си представим, че детето е получило следните четвърти точки по математика: 3, 3, 5, 4. Каква годишна оценка ще му постави учителят? Нека използваме калкулатор и изчислим средноаритметичното. За да започнете, изберете подходящия брой полета и въведете стойностите на рейтинга в появилите се клетки:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Учителят ще закръгли стойността в полза на ученика, а ученикът ще получи солидно B за годината.

Изчисляване на изядените бонбони

Нека да илюстрираме част от абсурда на средното аритметично. Нека си представим, че Маша и Вова са имали 10 бонбона. Маша изяде 8 бонбона, а Вова само 2. Колко бонбона изяде средно всяко дете? С помощта на калкулатор е лесно да се изчисли, че средно децата са изяли по 5 бонбона, което е напълно невярно и здрав разум. Този пример показва, че средната аритметична стойност е важна за смислени набори от данни.

Заключение

Изчисляването на средноаритметичната стойност се използва широко в много научни области. Този показател е популярен не само в статистическите изчисления, но и във физиката, механиката, икономиката, медицината или финансите. Използвайте нашите калкулатори като помощник за решаване на задачи, включващи изчисляване на средната аритметична стойност.

Темата за средно аритметично и средно геометрично е включена в програмата по математика за 6-7 клас. Тъй като параграфът е доста лесен за разбиране, той бързо се подминава и до края на учебната година учениците го забравят. Но са необходими познания по основни статистики полагане на Единния държавен изпит, а също и за международни изпити SAT. Да и за Ежедневиеторазвитото аналитично мислене никога не вреди.

Как се изчислява средно аритметично и средно геометрично на числа

Да кажем, че има поредица от числа: 11, 4 и 3. Средната аритметична стойност е сумата от всички числа, разделена на броя на дадените числа. Тоест в случай на числата 11, 4, 3 отговорът ще бъде 6. Как се получава 6?

Решение: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Знаменателят трябва да съдържа число, равно на броя на числата, чиято средна стойност трябва да се намери. Сборът се дели на 3, тъй като има три члена.

Сега трябва да намерим средното геометрично. Да кажем, че има поредица от числа: 4, 2 и 8.

Средната геометрична стойност на числата е произведението на всички дадени числа, намиращи се под корена със степен, равна на броя на дадените числа.Тоест в случая на числата 4, 2 и 8 отговорът ще бъде 4. Ето как оказа се:

Решение: ∛(4 × 2 × 8) = 4

И в двата варианта получихме цели отговори, тъй като за примера бяха взети специални числа. Това не винаги се случва. В повечето случаи отговорът трябва да бъде закръглен или оставен в основата. Например за числата 11, 7 и 20 средноаритметичното е ≈ 12,67, а средното геометрично е ∛1540. А за числата 6 и 5 отговорите ще бъдат съответно 5,5 и √30.

Възможно ли е средноаритметичното да стане равно на средното геометрично?

Разбира се, че може. Но само в два случая. Ако има поредица от числа, състояща се само от единици или нули. Прави впечатление също, че отговорът не зависи от броя им.

Доказателство с единици: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (средно аритметично).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(средногеометрично).

Доказателство с нули: (0 + 0) / 2=0 (средно аритметично).

√(0 × 0) = 0 (средно геометрично).

Друг вариант няма и не може да има.