Online-laskin.
Ratkaisu aritmeettinen progressio.
Annettu: a n , d, n
Etsi: 1

Tämä matemaattinen ohjelma löytää \(a_1\) aritmeettisesta progressiosta käyttäjän määrittämien lukujen \(a_n, d \) ja \(n \) perusteella.
Numerot \(a_n\) ja \(d \) voidaan määrittää paitsi kokonaislukuina myös murtolukuina. Lisäksi, murtoluku voidaan syöttää desimaalina (\(2,5 \)) ja muodossa murtoluku(\(-5\frac(2)(7) \)).

Ohjelma ei vain anna vastausta ongelmaan, vaan näyttää myös ratkaisun löytämisprosessin.

Tämä online-laskin voi olla hyödyllinen lukiolaisille valmistautuessaan valvoa työtä ja tentit, kun testataan tietoja ennen tenttiä, vanhemmat hallitsevat monien matematiikan ja algebran ongelmien ratkaisua. Tai ehkä sinulle on liian kallista palkata tutor tai ostaa uusia oppikirjoja? Vai haluatko vain saada matematiikan tai algebran kotitehtäväsi valmiiksi mahdollisimman nopeasti? Tässä tapauksessa voit myös käyttää ohjelmiamme yksityiskohtaisen ratkaisun kanssa.

Tällä tavalla voit suorittaa oman harjoittelusi ja/tai kouluttaa omasi nuoremmat veljet tai sisaruksia, kun taas koulutustaso ratkaistavien tehtävien alalla nousee.

Jos et tunne numeroiden syöttämistä koskevia sääntöjä, suosittelemme, että tutustut niihin.

Säännöt numeroiden syöttämiseen

Numerot \(a_n\) ja \(d \) voidaan määrittää paitsi kokonaislukuina myös murtolukuina.
Luku \(n\) voi olla vain positiivinen kokonaisluku.

Desimaalilukujen syöttämistä koskevat säännöt.
Desimaalimurtolukujen kokonaisluku- ja murto-osat voidaan erottaa joko pisteellä tai pilkulla.
Voit esimerkiksi syöttää desimaalit siis 2,5 tai niin 2,5

Tavallisten murtolukujen syöttämistä koskevat säännöt.
Vain kokonaisluku voi toimia murtoluvun osoittajana, nimittäjänä ja kokonaislukuosana.

Nimittäjä ei voi olla negatiivinen.

Kun astut sisään numeerinen murto-osa Osoittaja erotetaan nimittäjästä jakomerkillä: /
Syöte:
Tulos: \(-\frac(2)(3) \)

Kokonaislukuosa erotetaan murtoluvusta et-merkillä: &
Syöte:
Tulos: \(-1\frac(2)(3) \)

Syötä numerot a n , d, n

Etsi 1

Havaittiin, että joitain tämän tehtävän ratkaisemiseen tarvittavia komentosarjoja ei ladattu, eikä ohjelma välttämättä toimi.
AdBlock voi olla käytössä.
Tässä tapauksessa poista se käytöstä ja päivitä sivu.

JavaScript on poistettu käytöstä selaimessasi.
JavaScriptin on oltava käytössä, jotta ratkaisu tulee näkyviin.
Tässä on ohjeet JavaScriptin käyttöönottoon selaimessasi.

Koska On paljon ihmisiä, jotka haluavat ratkaista ongelman, pyyntösi on jonossa.
Muutaman sekunnin kuluttua ratkaisu tulee näkyviin alle.
Odota sek...

Jos sinä huomasi ratkaisussa virheen, voit kirjoittaa siitä palautelomakkeeseen.
Älä unohda ilmoittaa mikä tehtävä sinä päätät mitä syötä kenttiin.

Pelimme, palapelimme, emulaattorimme:

Vähän teoriaa.

Numerosarja

Arkikäytännössä eri kohteiden numerointia käytetään usein osoittamaan järjestystä, jossa ne sijaitsevat. Esimerkiksi jokaisen kadun talot on numeroitu. Kirjastossa lukijatilaukset numeroidaan ja järjestetään annettujen numeroiden mukaiseen järjestykseen erityisiin arkistokaappeihin.

Säästöpankissa tallettajan henkilökohtaisen tilin numeron perusteella löydät tämän tilin helposti ja näet millainen talletus sillä on. Olkoon a1 ruplan talletus tilille nro 1, a2 ruplan talletus tilille nro 2 jne. Se käy ilmi numeerinen sekvenssi
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
missä N on kaikkien tilien lukumäärä. Tässä jokaiselle luonnolliselle luvulle n välillä 1 - N on annettu luku a n .

Opiskelee myös matematiikkaa äärettömät lukujonot:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Numeroa a 1 kutsutaan sekvenssin ensimmäinen jäsen, numero a 2 - sekvenssin toinen jäsen, numero a 3 - sekvenssin kolmas jäsen jne.
Numeroa a n kutsutaan sekvenssin n:s (n:s) jäsen, ja luonnollinen luku n on sen määrä.

Esimerkiksi neliöiden sarjassa luonnolliset luvut 1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, (n + 1) 2, ... ja 1 = 1 on sekvenssin ensimmäinen jäsen; ja n = n2 on n:s jäsen sekvenssit; a n+1 = (n + 1) 2 on sekvenssin (n + 1):s (en plus ensimmäinen) jäsen. Usein jono voidaan määrittää sen n:nnen termin kaavalla. Esimerkiksi kaava \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) antaa sekvenssin \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3) , \; \frac(1)(4) , \pisteet,\frac(1)(n) , \pisteet \)

Aritmeettinen progressio

Vuoden pituus on noin 365 päivää. Lisää tarkka arvo vastaa \(365\frac(1)(4) \) päivää, joten joka neljäs vuosi kertyy yhden päivän virhe.

Tämän virheen selittämiseksi joka neljänteen vuoteen lisätään päivä, ja pidennettyä vuotta kutsutaan karkausvuodeksi.

Esimerkiksi kolmannella vuosituhannella karkausvuodet vuodet ovat 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

Tässä sekvenssissä jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, joka on lisätty samalla numerolla 4. Tällaisia ​​​​sarjoja kutsutaan aritmeettiset progressiot.

Määritelmä.
Numeerista sekvenssiä a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... kutsutaan aritmeettinen progressio, jos kaikki luonnolliset n tasa-arvo
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
missä d on jokin luku.

Tästä kaavasta seuraa, että a n+1 - a n = d. Lukua d kutsutaan erotukseksi aritmeettinen progressio.

Aritmeettisen progression määritelmän mukaan meillä on:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
missä
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), missä \(n>1 \)

Siten jokainen aritmeettisen progression jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin kahden viereisen jäsenen aritmeettinen keskiarvo. Tämä selittää nimen "aritmeettinen" progressio.

Huomaa, että jos a 1 ja d on annettu, niin aritmeettisen etenemisen jäljellä olevat termit voidaan laskea käyttämällä rekursiivista kaavaa a n+1 = a n + d. Tällä tavalla etenemisen ensimmäisten termien laskeminen ei ole vaikeaa, mutta esimerkiksi 100:lle tarvitaan jo paljon laskelmia. Yleensä tähän käytetään n:nnen termin kaavaa. Aritmeettisen progression määritelmän mukaan
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d\)
jne.
Ollenkaan,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
koska n:s jäsen aritmeettinen progressio saadaan ensimmäisestä termistä lisäämällä (n-1) kertaa luku d.
Tätä kaavaa kutsutaan aritmeettisen progression n:nnen jäsenen kaava.

Aritmeettisen progression ensimmäisen n ehdon summa

Etsitään kaikkien luonnollisten lukujen summa välillä 1-100.
Kirjoitamme tämän summan kahdella tavalla:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Lisäämme nämä tasa-arvot termeiltä:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Tässä summassa on 100 termiä.
Siksi 2S = 101 * 100, josta S = 101 * 50 = 5050.

Harkitse nyt mielivaltaista aritmeettista progressiota
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Olkoon S n tämän etenemisen ensimmäisen n ehdon summa:
S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
Sitten aritmeettisen progression ensimmäisen n ehdon summa on
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Koska \(a_n=a_1+(n-1)d \), korvaamalla n tässä kaavassa, saamme toisen kaavan etsimiseen aritmeettisen progression n ensimmäisen ehdon summat:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Kirjat (oppikirjat) Yhtenäisen valtiontutkinnon tiivistelmät ja OGE-testit verkossa Pelit, palapelit Toimintokaavioiden rakentaminen Oikeinkirjoitus Venäjän kielen sanakirja Nuorten slangin sanakirja Venäläisten koulujen luettelo Venäjän toisen asteen koulujen luettelo Venäjän yliopistojen luettelo Tehtäväluettelo

Tai aritmetiikka - tämä on eräänlainen järjestetyn numeerisen sekvenssin tyyppi, jonka ominaisuuksia tutkitaan koulun algebran kurssilla. Tässä artikkelissa käsitellään yksityiskohtaisesti kysymystä aritmeettisen progression summan löytämisestä.

Mikä tämä eteneminen on?

Ennen kuin siirryt kysymyksen (miten löytää aritmeettisen progression summa) tarkastelemiseen, on syytä ymmärtää, mistä keskustellaan.

Mitä tahansa reaalilukujen sarjaa, joka saadaan lisäämällä (vähentämällä) jokin arvo jokaisesta edellisestä numerosta, kutsutaan algebralliseksi (aritmeettiseksi) progressioksi. Tämä matematiikan kielelle käännetty määritelmä saa muotonsa:

Täällä minä - sarjanumero sarjan a i elementti. Näin ollen, kun tiedät vain yhden alkunumeron, voit helposti palauttaa koko sarjan. Kaavan parametria d kutsutaan etenemiseroksi.

Voidaan helposti osoittaa, että seuraava yhtälö pätee tarkasteltavalle lukusarjalle:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Eli saadaksesi n:nnen alkion arvon järjestyksessä, lisää ero d ensimmäiseen elementtiin a 1 n-1 kertaa.

Mikä on aritmeettisen progression summa: kaava

Ennen kuin annat ilmoitetun määrän kaavan, on syytä harkita yksinkertaista erikoistapaus. Kun otetaan huomioon luonnollisten lukujen eteneminen 1:stä 10:een, sinun on löydettävä niiden summa. Koska etenemisessä (10) on vähän termejä, on mahdollista ratkaista ongelma suoraan, eli summata kaikki elementit järjestyksessä.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

On syytä harkita yhtä mielenkiintoista asiaa: koska jokainen termi eroaa seuraavasta samalla arvolla d \u003d 1, niin ensimmäisen parillinen summaus kymmenesellä, toinen yhdeksännellä ja niin edelleen antaa saman tuloksen . Todella:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kuten näette, näitä summia on vain 5, eli tasan kaksi kertaa vähemmän kuin sarjan elementtien lukumäärä. Sitten kertomalla summien lukumäärä (5) kunkin summan (11) tuloksella, pääset ensimmäisessä esimerkissä saatuun tulokseen.

Jos yleistämme nämä argumentit, voimme kirjoittaa seuraavan lausekkeen:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Tämä lauseke osoittaa, että kaikkia rivin elementtejä ei tarvitse laskea yhteen, riittää kun tietää ensimmäisen a 1:n ja viimeisen a n:n arvo ja myös kokonaismäärä termit n.

Uskotaan, että Gauss ajatteli ensimmäisen kerran tätä yhtälöä etsiessään ratkaisua annettuun yhtälöön. koulun opettaja tehtävä: summaa ensimmäiset 100 kokonaislukua.

Alkioiden summa m:stä n:ään: kaava

Edellisessä kappaleessa annettu kaava vastaa kysymykseen, kuinka aritmeettisen progression (ensimmäisten alkioiden) summa saadaan selville, mutta usein tehtävissä joudutaan summaamaan numerosarja etenemisen keskellä. Kuinka tehdä se?

Helpoin tapa vastata tähän kysymykseen on tarkastella seuraavaa esimerkkiä: olkoon tarpeen löytää termien summa m:nnestä n:nneen. Ongelman ratkaisemiseksi etenemisen tietty segmentti m:stä n:ään tulee esittää uutena lukusarjana. Tällaisessa esittelyssä mth termi a m on ensimmäinen, ja a n on numeroitu n-(m-1). Tässä tapauksessa summan vakiokaavaa käyttämällä saadaan seuraava lauseke:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Esimerkki kaavojen käytöstä

Tietäen kuinka löytää aritmeettisen progression summa, kannattaa harkita yksinkertaista esimerkkiä yllä olevien kaavojen käytöstä.

Alla on numeerinen sarja, jonka jäsenten summa alkaa 5:stä ja päättyy 12:een:

Annetut numerot osoittavat, että ero d on yhtä suuri kuin 3. Käyttämällä n:nnen elementin lauseketta voit löytää etenemisen 5. ja 12. jäsenen arvot. Se käy ilmi:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 \u003d 8;

a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Tarkastelun päissä olevien numeroiden arvojen tunteminen algebrallinen eteneminen, ja myös tietäen, mitkä rivin numerot ne vievät, voit käyttää kaavaa edellisessä kappaleessa saadulle summalle. Saada:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

On syytä huomata, että tämä arvo voidaan saada eri tavalla: etsi ensin 12 ensimmäisen elementin summa vakiokaavalla, laske sitten neljän ensimmäisen elementin summa samalla kaavalla ja vähennä sitten toinen ensimmäisestä summasta .

Numeerisen sekvenssin käsite tarkoittaa, että jokainen luonnollinen luku vastaa jotakin todellista arvoa. Tällainen numerosarja voi olla sekä mielivaltainen että sillä voi olla tiettyjä ominaisuuksia - etenemistä. Jälkimmäisessä tapauksessa jokainen seuraava sekvenssin elementti (jäsen) voidaan laskea käyttämällä edellistä.

Aritmeettinen progressio on numeeristen arvojen sarja, jossa sen vierekkäiset jäsenet eroavat toisistaan ​​saman numeron verran (kaikilla sarjan elementeillä, alkaen 2., on samanlainen ominaisuus). Tämä luku - edellisen ja seuraavan jäsenen välinen ero - on vakio ja sitä kutsutaan etenemiseroksi.

Etenemisero: määritelmä

Tarkastellaan jonoa, joka koostuu j-arvoista A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon N. Aritmeettinen progressio, määritelmänsä mukaan sekvenssi , jossa a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - a(j-1) = d. Arvo d on tämän etenemisen haluttu ero.

d = a(j) - a(j-1).

Varaa:

• Kasvava eteneminen, jolloin d > 0. Esimerkki: 4, 8, 12, 16, 20, …
• hidastava eteneminen, sitten d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Etenemisen ero ja sen mielivaltaiset elementit

Jos tunnetaan etenemisen 2 mielivaltaista jäsentä (i-th, k-th), tämän sekvenssin ero voidaan määrittää suhteen perusteella:

a(i) = a(k) + (i - k)*d, joten d = (a(i) - a(k))/(i-k).

Etenemisero ja sen ensimmäinen termi

Tämä lauseke auttaa määrittämään tuntemattoman arvon vain tapauksissa, joissa sekvenssielementin numero tunnetaan.

Etenemisero ja sen summa

Progression summa on sen jäsenten summa. Käytä vastaavaa kaavaa laskeaksesi sen ensimmäisen j-elementin kokonaisarvon:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, mutta koska a(j) = a(1) + d(j – 1), sitten S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(–1))/2)*j.

Kun opiskelet algebraa yleissivistävä koulu(luokka 9) yksi tärkeitä aiheita on tutkimus numerosarjoja, jotka sisältävät progressioiden - geometrisen ja aritmeettisen. Tässä artikkelissa tarkastelemme aritmeettista etenemistä ja esimerkkejä ratkaisuineen.

Mikä on aritmeettinen progressio?

Tämän ymmärtämiseksi on tarpeen antaa tarkasteltavan etenemisen määritelmä sekä antaa peruskaavat, joita käytetään edelleen ongelmien ratkaisemisessa.

Tiedetään, että jossain algebrallisessa etenemisessä 1. termi on 6 ja 7. termi on 18. On tarpeen löytää ero ja palauttaa tämä sekvenssi 7. termiin.

Määritetään tuntematon termi kaavalla: a n = (n - 1) * d + a 1 . Korvaamme siihen ehdosta tunnetut tiedot, eli luvut a 1 ja a 7, meillä on: 18 \u003d 6 + 6 * d. Tästä lausekkeesta voit helposti laskea eron: d = (18 - 6) / 6 = 2. Siten tehtävän ensimmäinen osa on vastattu.

Jos haluat palauttaa sekvenssin 7. jäseneen, sinun tulee käyttää algebrallisen etenemisen määritelmää, eli a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d ja niin edelleen. Tämän seurauksena palautamme koko sekvenssin: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 ja 7 = 18.

Esimerkki 3: edistyminen

Monimutkaistakaamme ongelman tilaa entisestään. Nyt sinun on vastattava kysymykseen, kuinka löytää aritmeettinen progressio. Voimme antaa seuraavan esimerkin: annetaan kaksi lukua, esimerkiksi 4 ja 5. On tarpeen tehdä algebrallinen progressio, jotta näiden väliin mahtuu vielä kolme termiä.

Ennen kuin aloitat tämän ongelman ratkaisemisen, on ymmärrettävä, minkä paikan annetut numerot vievät tulevassa etenemisessä. Koska niiden välillä on vielä kolme termiä, sitten 1 \u003d -4 ja 5 \u003d 5. Kun tämä on selvitetty, siirrymme tehtävään, joka on samanlainen kuin edellinen. Jälleen n:nnelle termille käytämme kaavaa, saamme: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Alkaen: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Tässä emme saaneet eron kokonaislukua, mutta se on rationaalinen luku, joten algebrallisen etenemisen kaavat pysyvät samoina.

Lisätään nyt löydetty ero 1:een ja palautetaan etenemisen puuttuvat jäsenet. Saamme: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003 d mikä osui yhteen ongelman tilan kanssa.

Esimerkki 4: Jakson ensimmäinen jäsen

Jatkamme esimerkkien antamista aritmeettisesta etenemisestä ratkaisun kanssa. Kaikissa aiemmissa tehtävissä tunnettiin algebrallisen etenemisen ensimmäinen numero. Tarkastellaan nyt erityyppistä tehtävää: annetaan kaksi lukua, joissa 15 = 50 ja 43 = 37. On selvitettävä, mistä luvusta tämä sarja alkaa.

Tähän asti käytetyissä kaavoissa oletetaan a 1:n ja d:n tuntemista. Näistä numeroista ei tiedetä ongelman tilassa mitään. Kirjoitetaan kuitenkin lausekkeet jokaiselle termille, josta meillä on tietoa: a 15 = a 1 + 14 * d ja a 43 = a 1 + 42 * d. Saimme kaksi yhtälöä, joissa on 2 tuntematonta määrää (a 1 ja d). Tämä tarkoittaa, että ongelma rajoittuu lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseen.

Määritetty järjestelmä on helpoin ratkaista, jos ilmaiset 1:n jokaisessa yhtälössä ja vertaat sitten saatuja lausekkeita. Ensimmäinen yhtälö: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; toinen yhtälö: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Yhtälöimällä nämä lausekkeet, saamme: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, josta ero d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (vain 3 desimaalin tarkkuutta annetaan).

Kun tiedät d:n, voit käyttää mitä tahansa yllä olevista kahdesta lausekkeesta 1:lle. Esimerkiksi ensin: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Jos tuloksesta on epäilyksiä, voit tarkistaa sen, esimerkiksi määrittää etenemisen 43. jäsenen, joka on määritelty ehdossa. Saamme: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Pieni virhe johtuu siitä, että laskelmissa käytettiin pyöristystä tuhannesosaan.

Esimerkki #5: Summa

Katsotaanpa nyt joitain esimerkkejä ratkaisuista aritmeettisen progression summalle.

Olkoon seuraava numeerinen eteneminen: 1, 2, 3, 4, ...,. Kuinka laskea näiden lukujen 100 summa?

Tietotekniikan kehityksen ansiosta tämä ongelma voidaan ratkaista, eli laskea peräkkäin kaikki numerot, minkä tietokone tekee heti, kun henkilö painaa Enter-näppäintä. Ongelma voidaan kuitenkin ratkaista henkisesti, jos huomioi, että esitetty lukusarja on algebrallinen progressio ja sen erotus on 1. Summan kaavaa soveltamalla saadaan: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

On mielenkiintoista huomata, että tätä ongelmaa kutsutaan "Gaussiseksi", koska 1700-luvun alussa kuuluisa saksalainen, vielä vain 10-vuotiaana, pystyi ratkaisemaan sen mielessään muutamassa sekunnissa. Poika ei tiennyt algebrallisen progression summan kaavaa, mutta hän huomasi, että jos lisäät sarjan reunoilla sijaitsevia lukupareja, saat aina saman tuloksen, eli 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., ja koska nämä summat ovat täsmälleen 50 (100 / 2), niin oikean vastauksen saamiseksi riittää kertoa 50 101: llä.

Esimerkki #6: termien summa n:stä m:ään

Toinen tyypillinen esimerkki aritmeettisen progression summasta on seuraava: annettuna numerosarja: 3, 7, 11, 15, ..., sinun on löydettävä, mikä on sen ehtojen summa 8 - 14.

Ongelma ratkaistaan ​​kahdella tavalla. Ensimmäinen niistä sisältää tuntemattomien termien etsimisen 8-14 ja sitten niiden yhteenvedon peräkkäin. Koska termejä on vähän, tämä menetelmä ei ole tarpeeksi työläs. Tästä huolimatta ehdotetaan tämän ongelman ratkaisemista toisella menetelmällä, joka on yleismaailmallisempi.

Ideana on saada kaava termien m ja n välisen algebrallisen etenemisen summalle, missä n > m ovat kokonaislukuja. Molemmissa tapauksissa kirjoitamme summalle kaksi lauseketta:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Koska n > m, on selvää, että 2 summa sisältää ensimmäisen. Viimeinen johtopäätös tarkoittaa, että jos otetaan näiden summien välinen erotus ja lisätään siihen termi a m (eron ottamisen tapauksessa se vähennetään summasta S n), niin saadaan tarvittava vastaus ongelmaan. Meillä on: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1 - m / 2). On välttämätöntä korvata kaavat n:n ja m:n kohdalla tähän lausekkeeseen. Sitten saadaan: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Tuloksena oleva kaava on hieman hankala, mutta summa S mn riippuu vain arvoista n, m, a 1 ja d. Meidän tapauksessamme a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Korvaamalla nämä luvut saadaan: S mn = 301.

Kuten yllä olevista ratkaisuista voidaan nähdä, kaikki tehtävät perustuvat n:nnen termin lausekkeen ja ensimmäisten termien summan kaavan tuntemiseen. Ennen kuin aloitat näiden ongelmien ratkaisemisen, on suositeltavaa lukea ehto huolellisesti, ymmärtää selvästi, mitä haluat löytää, ja vasta sitten jatkaa ratkaisua.

Toinen vinkki on pyrkiä yksinkertaisuuteen, eli jos voit vastata kysymykseen käyttämättä monimutkaisia ​​matemaattisia laskelmia, sinun on tehtävä juuri niin, koska tässä tapauksessa virheen todennäköisyys on pienempi. Esimerkiksi esimerkissä aritmeettisesta progressiosta ratkaisulla nro 6 voitaisiin pysähtyä kaavaan S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, ja jakaa yhteinen tehtävä erillisiin osatehtäviin (etsi tässä tapauksessa ensin termit a n ja a m).

Jos saavutetun tuloksen suhteen on epäilyksiä, on suositeltavaa tarkistaa se, kuten joissakin annetuissa esimerkeissä tehtiin. Kuinka löytää aritmeettinen progressio, selvisi. Kun sen tajuaa, se ei ole niin vaikeaa.

Aritmeettinen progressio nimeä numerosarja (etenemisen jäseniä)

Jossa jokainen seuraava termi eroaa edellisestä terästermillä, jota myös kutsutaan askel tai etenemisero.

Siten asettamalla etenemisen askel ja sen ensimmäinen termi, voit löytää minkä tahansa sen elementin kaavan avulla

Aritmeettisen progression ominaisuudet

1) Jokainen aritmeettisen progression jäsen toisesta numerosta alkaen on etenemisen edellisen ja seuraavan jäsenen aritmeettinen keskiarvo

Päinvastoin on myös totta. Jos progression vierekkäisten parittomien (parillisten) jäsenten aritmeettinen keskiarvo on yhtä suuri kuin niiden välissä oleva jäsen, tämä lukusarja on aritmeettinen progressio. Tämän väitteen perusteella on erittäin helppo tarkistaa mikä tahansa järjestys.

Myös aritmeettisen etenemisen ominaisuuden perusteella yllä oleva kaava voidaan yleistää seuraavaan

Tämä on helppo tarkistaa, jos kirjoitamme termit yhtäläisyysmerkin oikealle puolelle

Sitä käytetään usein käytännössä yksinkertaistamaan laskutoimituksia tehtävissä.

2) Aritmeettisen progression n ensimmäisen jäsenen summa lasketaan kaavalla

Muista hyvin aritmeettisen progression summan kaava, se on välttämätön laskelmissa ja on melko yleinen yksinkertaisissa elämäntilanteissa.

3) Jos sinun ei tarvitse löytää koko summaa, vaan osa sekvenssistä alkaen sen k:nnestä jäsenestä, niin seuraava summakaava on hyödyllinen sinulle

4) Käytännön mielenkiintoista on löytää k:nnestä luvusta alkavan aritmeettisen progression n jäsenen summa. Käytä tätä varten kaavaa

Tähän loppuu teoreettinen materiaali ja siirrytään käytännössä yleisten ongelmien ratkaisemiseen.

Esimerkki 1. Etsi aritmeettisen progression neljäskymmenes termi 4;7;...

Ratkaisu:

Tilanteen mukaan meillä on

Määritä etenemisvaihe

Tunnetun kaavan mukaan löydämme etenemisen neljäskymmenes termin

Esimerkki2. Aritmeettinen progressio annetaan sen kolmannella ja seitsemällä jäsenellä. Etsi progression ensimmäinen termi ja kymmenen summa.

Ratkaisu:

Kirjoitamme annetut etenemisen elementit kaavojen mukaan

Vähennämme ensimmäisen yhtälön toisesta yhtälöstä, minkä tuloksena löydämme etenemisaskeleen

Löytynyt arvo korvataan mihin tahansa yhtälöihin aritmeettisen etenemisen ensimmäisen termin löytämiseksi

Laske edistymisen kymmenen ensimmäisen ehdon summa

Ilman hakemista monimutkaiset laskelmat löysimme kaikki tarvittavat arvot.

Esimerkki 3. Aritmeettinen progressio annetaan nimittäjästä ja yhdestä sen jäsenistä. Etsi progression ensimmäinen termi, sen 50 termin summa alkaen 50 ja ensimmäisten 100 summa.

Ratkaisu:

Kirjoitetaan kaava etenemisen sadasosalle

ja löytää ensimmäinen

Ensimmäisen perusteella löydämme etenemisen 50. termin

Etenemisen osan summan löytäminen

ja ensimmäisen 100 summa

Jakson summa on 250.

Esimerkki 4

Etsi aritmeettisen progression jäsenten lukumäärä, jos:

a3-a1 = 8, a2 + a4 = 14, Sn = 111.

Ratkaisu:

Kirjoitamme yhtälöt etenemisen ensimmäisen termin ja askeleen mukaan ja määrittelemme ne

Korvaamme saadut arvot summakaavaan määrittääksemme termien lukumäärän summassa

Yksinkertaistusten tekeminen

ja ratkaise toisen asteen yhtälö

Kahdesta löydetystä arvosta vain numero 8 sopii ongelman tilaan. Näin ollen etenemisen kahdeksan ensimmäisen ehdon summa on 111.

Esimerkki 5

ratkaise yhtälö

1+3+5+...+x=307.

Ratkaisu: Tämä yhtälö on aritmeettisen progression summa. Kirjoitamme sen ensimmäisen termin ja löydämme etenemisen eron