Analysoimme kahden tyyppisiä yhtälöjärjestelmiä:

1. Järjestelmän ratkaisu korvausmenetelmällä.
2. Järjestelmän ratkaisu järjestelmän yhtälöiden termittäin yhteenlaskemalla (vähennyksellä).

Yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi korvausmenetelmä sinun on noudatettava yksinkertaista algoritmia:
1. ilmaisemme. Mistä tahansa yhtälöstä ilmaisemme yhden muuttujan.
2. Korvaava. Korvaamme saadun arvon toisella yhtälöllä ilmaistun muuttujan sijaan.
3. Ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön yhdellä muuttujalla. Löydämme ratkaisun järjestelmään.

Ratkaista järjestelmä termi kerrallaan lisäämällä (vähennyslasku) tarvitsee:
1. Valitse muuttuja, jolle teemme samat kertoimet.
2. Lisäämme tai vähennämme yhtälöt, jolloin saamme yhtälön, jossa on yksi muuttuja.
3. Ratkaisemme tuloksena olevan lineaarisen yhtälön. Löydämme ratkaisun järjestelmään.

Järjestelmän ratkaisu on funktion kuvaajien leikkauspisteet.

Tarkastellaan yksityiskohtaisesti järjestelmien ratkaisua esimerkkien avulla.

Esimerkki 1:

Ratkaistaan ​​korvausmenetelmällä

Yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen korvausmenetelmällä

2x+5y=1 (1 yhtälö)
x-10y = 3 (2. yhtälö)

1. Express
Voidaan nähdä, että toisessa yhtälössä on muuttuja x, jonka kerroin on 1, joten käy ilmi, että muuttuja x on helpoin ilmaista toisesta yhtälöstä.
x=3+10v

2. Ilmaisemisen jälkeen korvaamme ensimmäisessä yhtälössä muuttujan x sijasta 3 + 10y.
2(3+10v)+5v=1

3. Ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön yhdellä muuttujalla.
2(3+10v)+5v=1 (avoimet sulut)
6+20v+5v=1
25v = 1-6
25v = -5 |: (25)
y = -5:25
y = -0,2

Yhtälöjärjestelmän ratkaisu on graafien leikkauspisteet, joten meidän on löydettävä x ja y, koska leikkauspiste koostuu x:stä ja y:stä. Etsitään x, ensimmäisessä kappaleessa, jossa ilmaisimme, korvaamme y:n.
x=3+10v
x=3+10*(-0,2)=1

On tapana kirjoittaa ensin pisteet, kirjoitetaan muuttuja x ja toiseksi muuttuja y.
Vastaus: (1; -0,2)

Esimerkki 2:

Ratkaistaan ​​termi kerrallaan yhteenlaskemalla (vähennyslasku).

Yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen summausmenetelmällä

3x-2y=1 (1 yhtälö)
2x-3y = -10 (2. yhtälö)

1. Valitse muuttuja, oletetaan, että valitsemme x. Ensimmäisessä yhtälössä muuttujan x kerroin on 3, toisessa - 2. Meidän on tehtävä kertoimet samat, tätä varten meillä on oikeus kertoa yhtälöt tai jakaa millä tahansa luvulla. Kerromme ensimmäisen yhtälön 2:lla ja toisen 3:lla ja saamme kokonaiskertoimen 6.

3x-2v=1 |*2
6x-4v = 2

2x-3v = -10 |*3
6x-9v=-30

2. Vähennä ensimmäisestä yhtälöstä toinen päästäksesi eroon muuttujasta x. Ratkaise lineaarinen yhtälö.
__6x-4y=2

5v=32 | :5
y = 6,4

3. Etsi x. Korvaamme löydetyn y:n missä tahansa yhtälössä, vaikkapa ensimmäisessä yhtälössä.
3x-2v=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8 = 1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x = 4,6

Leikkauspiste on x=4,6; y = 6,4
Vastaus: (4.6; 6.4)

Haluatko valmistautua kokeisiin ilmaiseksi? Tutor verkossa ilmaiseksi. Ihan totta.

Lineaaristen järjestelmien ratkaisu algebralliset yhtälöt(SLAE) on epäilemättä lineaarialgebran kurssin tärkein aihe. Valtava määrä ongelmia kaikilta matematiikan aloilta rajoittuu järjestelmien ratkaisemiseen lineaariset yhtälöt. Nämä tekijät selittävät syyn tämän artikkelin luomiseen. Artikkelin materiaali on valittu ja jäsennelty niin, että sen avulla voit

• noukkia paras tapa lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen,
• opiskella valitun menetelmän teoriaa,
• ratkaise lineaariyhtälöjärjestelmäsi harkittuaan yksityiskohtaisesti tyypillisten esimerkkien ja ongelmien ratkaisuja.

Lyhyt kuvaus artikkelin materiaalista.

Annetaan kaikki ensin tarvittavat määritelmät, käsitteitä ja esittele merkintätapa.

Seuraavaksi tarkastellaan menetelmiä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaisemiseksi, joissa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä ja joilla on ainutlaatuinen ratkaisu. Ensinnäkin keskitytään Cramer-menetelmään, toiseksi näytämme matriisimenetelmän tällaisten yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi, ja kolmanneksi analysoimme Gaussin menetelmää (tuntemattomien muuttujien peräkkäisen eliminoinnin menetelmä). Teorian vahvistamiseksi ratkaisemme varmasti useita SLAE-ratkaisuja eri tavoilla.

Sen jälkeen siirrytään lineaaristen algebrallisten yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen yleisnäkymä, jossa yhtälöiden lukumäärä ei ole sama kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä tai järjestelmän päämatriisi on rappeutunut. Muotoilkaamme Kronecker - Capelli -lause, jonka avulla voimme todeta SLAE:n yhteensopivuuden. Analysoidaan järjestelmien ratkaisua (niiden yhteensopivuuden tapauksessa) konseptin avulla alaikäinen matriiseja. Tarkastellaan myös Gaussin menetelmää ja kuvataan yksityiskohtaisesti esimerkkien ratkaisut.

Muista keskittyä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden homogeenisten ja epähomogeenisten järjestelmien yleisen ratkaisun rakenteeseen. Esitetään perusratkaisujärjestelmän käsite ja osoitetaan, kuinka SLAE:n yleinen ratkaisu kirjoitetaan käyttämällä perusratkaisujärjestelmän vektoreita. Paremman ymmärtämisen vuoksi katsotaanpa muutama esimerkki.

Lopuksi tarkastelemme yhtälöjärjestelmiä, jotka on pelkistetty lineaarisiin, sekä erilaisia ​​​​ongelmia, joiden ratkaisussa SLAE syntyy.

Sivulla navigointi.

Määritelmät, käsitteet, nimitykset.

Tarkastellaan p lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmiä, joissa on n tuntematonta muuttujaa (p voi olla yhtä suuri kuin n ) muotoa

Tuntemattomat muuttujat, - kertoimet (jotkut reaali- tai kompleksiluvut), - vapaat jäsenet (myös reaali- tai kompleksiluvut).

Tätä SLAE-muotoa kutsutaan koordinoida.

SISÄÄN matriisimuoto tällä yhtälöjärjestelmällä on muoto,
Missä - järjestelmän päämatriisi, - tuntemattomien muuttujien matriisisarake, - vapaiden jäsenten matriisisarake.

Jos lisäämme matriisiin A sarakkeena (n + 1) vapaiden termien matriisisarakkeen, niin saadaan ns. laajennettu matriisi lineaariset yhtälöt. Yleensä laajennettu matriisi merkitään kirjaimella T, ja vapaiden jäsenten sarake on erotettu pystyviivalla muista sarakkeista, eli

Ratkaisemalla lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän kutsutaan joukoksi tuntemattomien muuttujien arvoja, joka muuttaa kaikki järjestelmän yhtälöt identiteeteiksi. Myös matriisiyhtälö tuntemattomien muuttujien annetuille arvoille muuttuu identiteetiksi.

Jos yhtälöjärjestelmällä on vähintään yksi ratkaisu, sitä kutsutaan liitos.

Jos yhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisuja, sitä kutsutaan yhteensopimaton.

Jos SLAE:llä on ainutlaatuinen ratkaisu, sitä kutsutaan varma; jos ratkaisuja on useampi kuin yksi, niin - epävarma.

Jos järjestelmän kaikkien yhtälöiden vapaat ehdot ovat nolla , niin järjestelmä kutsutaan homogeeninen, muuten - heterogeeninen.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden alkeisjärjestelmien ratkaisu.

Jos järjestelmäyhtälöiden määrä on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien määrä ja sen päämatriisin determinantti ei ole nolla, kutsumme tällaisia ​​SLAE:itä perus. Tällaisilla yhtälöjärjestelmillä on ainutlaatuinen ratkaisu, ja tapauksessa homogeeninen järjestelmä kaikki tuntemattomat muuttujat ovat nollia.

Aloimme opiskella tällaista SLAE:tä lukiossa. Niitä ratkottaessa otimme yhden yhtälön, ilmaisimme yhden tuntemattoman muuttujan muilla ja korvasimme sen jäljellä olevilla yhtälöillä, otimme sitten seuraavan yhtälön, ilmaisimme seuraavan tuntemattoman muuttujan ja substituoimme sen muilla yhtälöillä ja niin edelleen. Tai he käyttivät summausmenetelmää, eli he lisäsivät kaksi tai useampia yhtälöitä joidenkin tuntemattomien muuttujien poistamiseksi. Emme käsittele näitä menetelmiä yksityiskohtaisesti, koska ne ovat olennaisesti Gaussin menetelmän muunnelmia.

Tärkeimmät menetelmät lineaaristen yhtälöiden alkeisjärjestelmien ratkaisemiseksi ovat Cramer-menetelmä, matriisimenetelmä ja Gaussin menetelmä. Selvitetään ne.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen Cramerin menetelmällä.

Meidän on ratkaistava lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä

jossa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä ja järjestelmän päämatriisin determinantti on eri kuin nolla, eli .

Antaa olla determinantti päämatriisin järjestelmän, ja ovat determinantteja matriisien, jotka saadaan A:sta korvaamalla 1., 2., …, n:s sarake vastaavasti vapaiden jäsenten sarakkeeseen:

Tällaisella merkinnällä tuntemattomat muuttujat lasketaan Cramerin menetelmän kaavoilla as . Näin Cramer-menetelmällä löydetään lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisu.

Esimerkki.

Cramer menetelmä .

Ratkaisu.

Järjestelmän päämatriisilla on muoto . Laske sen determinantti (katso tarvittaessa artikkeli):

Koska järjestelmän päämatriisin determinantti ei ole nolla, järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka voidaan löytää Cramerin menetelmällä.

Laadi ja laske tarvittavat determinantit (determinantti saadaan korvaamalla matriisin A ensimmäinen sarake vapaiden jäsenten sarakkeella, determinantti - korvaamalla toinen sarake vapaiden jäsenten sarakkeella, - korvaamalla matriisin A kolmas sarake vapaiden jäsenten sarakkeella ):

Tuntemattomien muuttujien etsiminen kaavoilla :

Vastaus:

Cramerin menetelmän suurin haitta (jos sitä voidaan kutsua haitaksi) on determinanttien laskemisen monimutkaisuus, kun järjestelmäyhtälöitä on enemmän kuin kolme.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaiseminen matriisimenetelmällä (käyttäen käänteismatriisia).

Olkoon lineaarinen algebrallinen yhtälöjärjestelmä matriisimuodossa , jossa matriisin A mitat ovat n x n ja sen determinantti on nollasta poikkeava.

Koska , niin matriisi A on käänteinen, eli on olemassa käänteimatriisi . Jos kerromme yhtälön molemmat osat vasemmalla, saadaan kaava tuntemattomien muuttujien sarakematriisin löytämiseksi. Joten saimme lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisun matriisimenetelmällä.

Esimerkki.

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä matriisimenetelmä.

Ratkaisu.

Kirjoitamme yhtälöjärjestelmän uudelleen matriisimuotoon:

Koska

silloin SLAE voidaan ratkaista matriisimenetelmällä. Käänteismatriisia käyttämällä ratkaisu tähän järjestelmään voidaan löytää seuraavasti .

Muodostetaan käänteismatriisi käyttämällä matriisia kohteesta algebralliset lisäykset matriisin A elementit (katso tarvittaessa artikkeli):

Jää vielä laskea - tuntemattomien muuttujien matriisi kertomalla käänteinen matriisi ilmaisten jäsenten matriisisarakkeessa (katso tarvittaessa artikkeli):

Vastaus:

tai toisessa merkinnässä x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Suurin ongelma ratkaisujen löytämisessä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmiin matriisimenetelmällä on käänteismatriisin löytämisen monimutkaisuus, erityisesti neliömatriisien kohdalla, joiden kertaluku on korkeampi kuin kolmas.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen Gaussin menetelmällä.

Oletetaan, että meidän on löydettävä ratkaisu n lineaarisen yhtälön järjestelmälle, jossa on n tuntematonta muuttujaa
jonka päämatriisin determinantti on eri kuin nolla.

Gaussin menetelmän ydin koostuu tuntemattomien muuttujien peräkkäisestä poissulkemisesta: ensin x 1 jätetään pois kaikista järjestelmän yhtälöistä alkaen toisesta, sitten x 2 jätetään pois kaikista yhtälöistä alkaen kolmannesta ja niin edelleen, kunnes vain tuntematon muuttuja x n jää viimeiseen yhtälöön. Tällaista prosessia järjestelmän yhtälöiden muuntamiseksi tuntemattomien muuttujien peräkkäiseksi eliminoimiseksi kutsutaan ns. suora Gaussin menetelmä. Kun Gaussin menetelmän eteenpäinajo on suoritettu loppuun, x n löydetään viimeisestä yhtälöstä, x n-1 lasketaan toiseksi viimeisestä yhtälöstä tätä arvoa käyttäen ja niin edelleen, x 1 löydetään ensimmäisestä yhtälöstä. Tuntemattomien muuttujien laskentaprosessi siirryttäessä järjestelmän viimeisestä yhtälöstä ensimmäiseen on ns. käänteinen Gaussin menetelmä.

Kuvataanpa lyhyesti algoritmi tuntemattomien muuttujien eliminoimiseksi.

Oletetaan, että , koska voimme aina saavuttaa tämän järjestämällä järjestelmän yhtälöitä uudelleen. Jätetään tuntematon muuttuja x 1 pois kaikista järjestelmän yhtälöistä toisesta alkaen. Tätä varten lisää ensimmäinen yhtälö kerrottuna järjestelmän toiseen yhtälöön, lisää ensimmäinen kerrottuna kolmanteen yhtälöön ja niin edelleen, lisää ensimmäinen kerrottuna n:nteen yhtälöön. Yhtälöjärjestelmä tällaisten muunnosten jälkeen saa muodon

missä .

Pääsisimme samaan tulokseen, jos ilmaisimme x 1:n muilla tuntemattomilla muuttujilla järjestelmän ensimmäisessä yhtälössä ja korvaamme tuloksena olevan lausekkeen kaikilla muilla yhtälöillä. Siten muuttuja x 1 jätetään pois kaikista yhtälöistä toisesta alkaen.

Seuraavaksi toimimme samalla tavalla, mutta vain osan kanssa tuloksena olevasta järjestelmästä, joka on merkitty kuvaan

Tee tämä lisäämällä toinen kerrottuna järjestelmän kolmanteen yhtälöön, lisäämällä toinen kerrottuna neljänteen yhtälöön ja niin edelleen, lisäämällä toinen kerrottuna n:nteen yhtälöön. Yhtälöjärjestelmä tällaisten muunnosten jälkeen saa muodon

missä . Siten muuttuja x 2 jätetään pois kaikista yhtälöistä kolmannesta alkaen.

Seuraavaksi edetään tuntemattoman x 3:n eliminointiin samalla tavalla toimien kuvassa merkityn järjestelmän osan kanssa

Jatkamme siis Gaussin menetelmän suoraa kulkua, kunnes järjestelmä saa muodon

Tästä hetkestä lähtien aloitamme Gaussin menetelmän käänteisen kulkun: laskemme x n viimeisestä yhtälöstä kuten , käyttämällä saatua arvoa x n löydämme toiseksi viimeisestä yhtälöstä x n-1 ja niin edelleen, löydämme x 1 ensimmäisestä yhtälö.

Esimerkki.

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmä.

Ratkaisu.

Jätetään tuntematon muuttuja x 1 pois järjestelmän toisesta ja kolmannesta yhtälöstä. Tätä varten lisäämme toisen ja kolmannen yhtälön molempiin osiin ensimmäisen yhtälön vastaavat osat kerrottuna ja vastaavasti:

Nyt jätetään x 2 pois kolmannesta yhtälöstä lisäämällä sen vasempaan ja oikeaan osaan toisen yhtälön vasen ja oikea osa kerrottuna:

Tällä Gaussin menetelmän eteenpäin suuntautuva kurssi on valmis, aloitamme käänteisen kurssin.

Tuloksena olevan yhtälöjärjestelmän viimeisestä yhtälöstä löydämme x 3:

Toisesta yhtälöstä saamme .

Ensimmäisestä yhtälöstä löydämme jäljellä olevan tuntemattoman muuttujan ja tämä täydentää Gaussin menetelmän käänteisen kurssin.

Vastaus:

X 1 \u003d 4, x 2 = 0, x 3 \u003d -1.

Yleismuotoisten lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaiseminen.

Yleisessä tapauksessa järjestelmän p yhtälöiden lukumäärä ei ole sama kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä n:

Tällaisilla SLAE-ratkaisuilla ei voi olla ratkaisuja, niillä voi olla yksi ratkaisu tai niillä voi olla äärettömän monta ratkaisua. Tämä väite koskee myös yhtälöjärjestelmiä, joiden päämatriisi on neliömäinen ja degeneroitunut.

Kronecker-Capellin lause.

Ennen kuin löytää ratkaisun lineaariyhtälöjärjestelmälle, on tarpeen selvittää sen yhteensopivuus. Vastaus kysymykseen, milloin SLAE on yhteensopiva ja milloin se ei ole yhteensopiva, antaa Kronecker-Capellin lause:
jotta p-yhtälöjärjestelmä, jossa on n tuntematonta (p voi olla yhtä suuri kuin n ), olisi johdonmukainen, on välttämätöntä ja riittävää, että järjestelmän päämatriisin järjestys on yhtä suuri kuin laajennetun matriisin järjestys, eli Rank( A) = Sijoitus(T) .

Tarkastellaan esimerkkinä Kronecker-Cappelli-lauseen soveltamista lineaarisen yhtälöjärjestelmän yhteensopivuuden määrittämiseen.

Esimerkki.

Selvitä, onko lineaarisella yhtälöjärjestelmällä ratkaisuja.

Ratkaisu.

. Käytetään alaikäisten rajaamista. Toisen asteen alaikäinen eroaa nollasta. Käydään läpi sitä ympäröivät kolmannen asteen alaikäiset:

Koska kaikki vierekkäiset kolmannen asteen alaikäiset ovat yhtä suuria kuin nolla, päämatriisin arvo on kaksi.

Puolestaan ​​lisätyn matriisin sijoitus on yhtä suuri kuin kolme, koska kolmannen asteen molli

eroaa nollasta.

Täten, Alue(A) , joten Kronecker-Capellin lauseen mukaan voimme päätellä, että alkuperäinen lineaariyhtälöjärjestelmä on epäjohdonmukainen.

Vastaus:

Ratkaisujärjestelmää ei ole.

Olemme siis oppineet määrittämään järjestelmän epäjohdonmukaisuuden Kronecker-Capellin lauseen avulla.

Mutta kuinka löytää SLAE:n ratkaisu, jos sen yhteensopivuus on vahvistettu?

Tätä varten tarvitsemme matriisin kanta-mollin käsitteen ja matriisin asteen lauseen.

Kutsutaan matriisin A korkeimman asteen molliarvoa, joka on muu kuin nolla perus.

Perusmollin määritelmästä seuraa, että sen järjestys on yhtä suuri kuin matriisin järjestys. Nollasta poikkeavassa matriisissa A voi olla useita perusmolleja, aina yksi perusmolli.

Harkitse esimerkiksi matriisia .

Kaikki tämän matriisin kolmannen kertaluvun alamerkit ovat nollia, koska tämän matriisin kolmannen rivin elementit ovat ensimmäisen ja toisen rivin vastaavien elementtien summa.

Seuraavat toisen asteen alamerkit ovat perusasioita, koska ne ovat nollasta poikkeavia

Alaikäiset eivät ole perus, koska ne ovat yhtä kuin nolla.

Matriisirank-lause.

Jos matriisin, jonka kertaluku on p:llä n, on r, niin kaikki matriisin rivien (ja sarakkeiden) alkiot, jotka eivät muodosta valittua kanta-mollia, ilmaistaan ​​lineaarisesti rivien (ja sarakkeiden) vastaavilla elementeillä. ), jotka muodostavat perustan molli.

Mitä matriisiarvolause antaa meille?

Jos olemme Kronecker-Capellin lauseella todenneet järjestelmän yhteensopivuuden, valitsemme minkä tahansa järjestelmän päämatriisin perusmollin (sen järjestys on yhtä suuri kuin r) ja suljemme pois järjestelmästä kaikki yhtälöt, jotka eivät muodostavat valitun sivuaineen. Tällä tavalla saatu SLAE on ekvivalentti alkuperäisen kanssa, koska hylätyt yhtälöt ovat edelleen redundantteja (matriisiarvolauseen mukaan ne ovat lineaarinen yhdistelmä jäljellä olevista yhtälöistä).

Tämän seurauksena järjestelmän liiallisten yhtälöiden hylkäämisen jälkeen kaksi tapausta on mahdollista.

Jos yhtälöiden lukumäärä r tuloksena olevassa järjestelmässä on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien määrä, niin se on määrätty ja ainoa ratkaisu löytyy Cramer-menetelmällä, matriisimenetelmällä tai Gaussin menetelmällä.

Esimerkki.

.

Ratkaisu.

Järjestelmän päämatriisin sijoitus on yhtä suuri kuin kaksi, koska toisen asteen molli eroaa nollasta. Laajennettu matriisiarvo on myös yhtä kuin kaksi, koska kolmannen asteen ainoa molli on yhtä suuri kuin nolla

ja edellä tarkasteltu toisen asteen molli on eri kuin nolla. Kronecker-Capelli-lauseen perusteella voidaan väittää alkuperäisen lineaariyhtälöjärjestelmän yhteensopivuus, koska Rank(A)=Rank(T)=2 .

Otamme lähtökohtana sivuaineen . Se muodostuu ensimmäisen ja toisen yhtälön kertoimista:


Järjestelmän kolmas yhtälö ei osallistu perusmollin muodostukseen, joten jätämme sen pois järjestelmästä matriisirank-lauseen perusteella:


Siten olemme saaneet lineaaristen algebrallisten yhtälöiden alkeisjärjestelmän. Ratkaistaan ​​se Cramerin menetelmällä:


Vastaus:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Jos yhtälöiden lukumäärä r tuloksena olevassa SLAE:ssä pienempi kuin numero tuntemattomia muuttujia n, niin yhtälöiden vasemmalle puolelle jätetään perus-mollin muodostavat termit ja siirretään loput termit vastakkaisen merkin yhtälöiden oikealle puolelle.

Yhtälöiden vasemmalle puolelle jääviä tuntemattomia muuttujia (niitä on r) kutsutaan ns. pää.

Tuntemattomia muuttujia (niitä on n - r), jotka päätyivät oikealle puolelle kutsutaan vapaa.

Nyt oletetaan, että vapaat tuntemattomat muuttujat voivat saada mielivaltaisia ​​arvoja, kun taas r tärkeintä tuntematonta muuttujaa ilmaistaan ​​vapailla tuntemattomilla muuttujilla ainutlaatuisella tavalla. Niiden ilmaisu voidaan löytää ratkaisemalla tuloksena oleva SLAE Cramer-, matriisi- tai Gauss-menetelmällä.

Otetaan esimerkki.

Esimerkki.

Ratkaise lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä .

Ratkaisu.

Etsi järjestelmän päämatriisin sijoitus rajaavien alaikäisten menetelmällä. Otetaan 1 1 = 1 nollasta poikkeava ensimmäisen asteen molli. Aloitetaan etsimään nollasta poikkeavaa toisen asteen mollia, joka ympäröi tätä mollia:


Joten löysimme nollasta poikkeavan toisen asteen mollin. Aloitetaan kolmannen asteen nollasta poikkeavan reunustavan molli etsiminen:


Siten päämatriisin sijoitus on kolme. Lisätyn matriisin sijoitus on myös kolme, eli järjestelmä on johdonmukainen.

Kolmannen kertaluvun löydetty nollasta poikkeava molli otetaan perusyksiköksi.

Selvyyden vuoksi näytämme elementit, jotka muodostavat perustan minor:


Jätämme perusmolliin osallistuvat termit järjestelmän yhtälöiden vasemmalle puolelle ja siirrämme loput vastakkaisilla etumerkeillä oikealle:


Annamme vapaat tuntemattomat muuttujat x 2 ja x 5 mielivaltaiset arvot, eli otamme , missä on mielivaltaisia ​​lukuja. Tässä tapauksessa SLAE ottaa muodon


Ratkaisemme saadun lineaaristen algebrallisten yhtälöiden alkeisjärjestelmän Cramer-menetelmällä:


Siksi,.

Älä unohda ilmoittaa vastauksessa ilmaisia ​​tuntemattomia muuttujia.

Vastaus:

Missä on mielivaltaisia ​​numeroita.

Tee yhteenveto.

Yleisen muodon lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän ratkaisemiseksi selvitetään ensin sen yhteensopivuus Kronecker-Capelli-lauseen avulla. Jos päämatriisin sijoitus ei ole sama kuin laajennetun matriisin sijoitus, päätämme, että järjestelmä on epäjohdonmukainen.

Jos päämatriisin arvo on yhtä suuri kuin laajennetun matriisin arvo, valitsemme perusmollin ja hylkäämme järjestelmän yhtälöt, jotka eivät osallistu valitun perusmollin muodostukseen.

Jos järjestyksessä perustan alaikäinen on yhtä suuri kuin luku tuntemattomia muuttujia, niin SLAE:llä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka voidaan löytää millä tahansa tuntemallamme menetelmällä.

Jos kantamollin järjestys on pienempi kuin tuntemattomien muuttujien määrä, niin jätämme termit tärkeimpien tuntemattomien muuttujien kanssa järjestelmän yhtälöiden vasemmalle puolelle, siirremme loput termit oikealle puolelle ja annamme mielivaltaiset arvot ​vapaille tuntemattomille muuttujille. Tuloksena olevasta lineaariyhtälöjärjestelmästä löydämme tärkeimmät tuntemattomat muuttujat Cramer-menetelmällä, matriisimenetelmällä tai Gaussin menetelmällä.

Gaussin menetelmä yleismuotoisten lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmien ratkaisemiseen.

Gaussin menetelmällä voidaan ratkaista kaikenlaisia ​​lineaarisia algebrallisia yhtälöjärjestelmiä ilman niiden yhteensopivuuden alustavaa tutkimusta. Tuntemattomien muuttujien peräkkäinen eliminointiprosessi mahdollistaa johtopäätöksen sekä SLAE:n yhteensopivuudesta että epäjohdonmukaisuudesta, ja jos ratkaisu on olemassa, se mahdollistaa sen löytämisen.

Laskennallisen työn kannalta Gaussin menetelmä on parempi.

Katso sitä Yksityiskohtainen kuvaus ja analysoinut esimerkkejä artikkelissa Gaussin menetelmä yleismuotoisten lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmien ratkaisemiseksi.

Homogeenisten ja epähomogeenisten lineaaristen algebrallisten järjestelmien yleisratkaisun kirjaaminen perusratkaisujärjestelmän vektoreilla.

Tässä osiossa keskitymme lineaaristen algebrallisten yhtälöiden homogeenisiin ja epähomogeenisiin yhteisiin järjestelmiin, joilla on ääretön määrä ratkaisuja.

Käsittelemme ensin homogeenisia järjestelmiä.

Peruspäätösjärjestelmä P lineaaristen algebrallisten yhtälöiden homogeeninen järjestelmä, jossa on n tuntematonta muuttujaa, on joukko (n – r) tämän järjestelmän lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja, missä r on järjestelmän päämatriisin kantamollin järjestys.

Jos merkitsemme lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja homogeeninen SLAE koska X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) ovat n x 1 sarakematriiseja), niin tämän homogeenisen järjestelmän yleinen ratkaisu esitetään muodossa lineaarinen yhdistelmä ratkaisujen perusjärjestelmän vektorit mielivaltaisilla vakiokertoimilla С 1 , С 2 , …, С (n-r) , eli .

Mitä termi homogeenisen lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu (oroslau) tarkoittaa?

Merkitys on yksinkertainen: kaava määrittää kaikki mahdolliset ratkaisut alkuperäiseen SLAE:hen, toisin sanoen ottamalla minkä tahansa mielivaltaisten vakioiden C 1 , C 2 , ..., C (n-r) arvojoukon kaavan me mukaan. saa yhden alkuperäisen homogeenisen SLAE:n ratkaisuista.

Siten, jos löydämme perustavanlaatuisen ratkaisujärjestelmän, voimme asettaa tämän homogeenisen SLAE:n kaikki ratkaisut muotoon .

Esitetään prosessi, jossa rakennetaan perusratkaisujärjestelmä homogeeniselle SLAE:lle.

Valitaan alkuperäisen lineaariyhtälöjärjestelmän perusmolli, jätetään kaikki muut yhtälöt pois järjestelmästä ja siirretään järjestelmän yhtälöiden oikealle puolelle vastakkaisilla etumerkeillä kaikki termit, jotka sisältävät vapaita tuntemattomia muuttujia. Annetaan tuntemattomia ilmaiseksi muuttuvat arvot 1,0,0,…,0 ja laske tärkeimmät tuntemattomat ratkaisemalla tuloksena oleva lineaariyhtälön alkeisjärjestelmä millä tahansa tavalla, esimerkiksi Cramer-menetelmällä. Siten saadaan X (1) - perusjärjestelmän ensimmäinen ratkaisu. Jos annamme vapaille tuntemattomille arvot 0,1,0,0,…,0 ja laskemme tärkeimmät tuntemattomat, saadaan X (2) . Ja niin edelleen. Jos annamme vapaille tuntemattomille muuttujille arvot 0,0,…,0,1 ja laskemme tärkeimmät tuntemattomat, saadaan X (n-r) . Näin rakennetaan homogeenisen SLAE:n perusratkaisujärjestelmä ja sen yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa muotoon .

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden epähomogeenisille järjestelmille yleinen ratkaisu esitetään muodossa

Katsotaanpa esimerkkejä.

Esimerkki.

Etsi perusratkaisujärjestelmä ja homogeenisen lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu .

Ratkaisu.

Homogeenisten lineaaristen yhtälöjärjestelmien päämatriisin järjestys on aina yhtä suuri kuin laajennetun matriisin arvo. Etsitään päämatriisin sijoitus alaikäisten fringing-menetelmällä. Ensimmäisen kertaluvun nollasta poikkeavaksi molliksi otetaan järjestelmän päämatriisin alkio a 1 1 = 9. Etsi toisen kertaluvun reunustava nollasta poikkeava molli:

Toisen asteen molli, joka eroaa nollasta, löytyy. Käydään läpi sitä rajaavat kolmannen asteen alaikäiset etsimään nollasta poikkeavaa ykköstä:

Kaikki kolmannen asteen rajaavat alaikäiset ovat yhtä suuria kuin nolla, joten pää- ja laajennetun matriisin arvo on kaksi. Otetaan perus-molli. Selvyyden vuoksi panemme merkille sen muodostavat järjestelmän elementit:

Alkuperäisen SLAE:n kolmas yhtälö ei osallistu perusmollin muodostukseen, joten se voidaan sulkea pois:

Jätetään tärkeimmät tuntemattomat sisältävät termit yhtälöiden oikealle puolelle ja siirretään termit vapailla tuntemattomilla oikealle:

Rakentakaamme perusratkaisujärjestelmä alkuperäiselle homogeeniselle lineaariyhtälöjärjestelmälle. Tämän SLAE:n perusratkaisujärjestelmä koostuu kahdesta ratkaisusta, koska alkuperäinen SLAE sisältää neljä tuntematonta muuttujaa ja sen perusmollin järjestys on kaksi. Löytääksemme X (1) annamme vapaille tuntemattomille muuttujille arvot x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, sitten löydämme tärkeimmät tuntemattomat yhtälöjärjestelmästä
.

Yhtälöjärjestelmiä käytetään laajasti talousteollisuudessa matemaattinen mallinnus erilaisia ​​prosesseja. Esimerkiksi tuotannon hallinnan ja suunnittelun, logistiikkareittien (kuljetusongelma) tai laitteiden sijoittamisen ongelmia ratkaistaessa.

Yhtälöjärjestelmiä ei käytetä vain matematiikan alalla, vaan myös fysiikassa, kemiassa ja biologiassa populaation koon selvittämiseen liittyviä ongelmia ratkaistaessa.

Lineaarinen yhtälöjärjestelmä on termi kahdelle tai useammalle yhtälölle, joissa on useita muuttujia, joille on tarpeen löytää yhteinen ratkaisu. Sellainen lukujono, jonka kaikista yhtälöistä tulee todellisia yhtäläisyyksiä tai todistetaan, että sarjaa ei ole olemassa.

Lineaarinen yhtälö

Yhtälöitä, joiden muoto on ax+by=c, kutsutaan lineaariseksi. Nimet x, y ovat tuntemattomia, joiden arvo on löydettävä, b, a ovat muuttujien kertoimet, c on yhtälön vapaa termi.
Yhtälön ratkaiseminen piirtämällä sen kaavio näyttää suoralta, jonka kaikki pisteet ovat polynomin ratkaisuja.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien tyypit

Yksinkertaisimmat ovat esimerkkejä lineaarisista yhtälöjärjestelmistä, joissa on kaksi muuttujaa X ja Y.

F1(x, y) = 0 ja F2(x, y) = 0, missä F1,2 ovat funktioita ja (x, y) ovat funktiomuuttujia.

Ratkaise yhtälöjärjestelmä - se tarkoittaa sellaisten arvojen (x, y) löytämistä, joille järjestelmästä tulee todellinen yhtäläisyys, tai sen toteamista, ettei x:n ja y:n ole sopivia arvoja.

Pistekoordinaateiksi kirjoitettua arvoparia (x, y) kutsutaan lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisuksi.

Jos järjestelmillä on yksi yhteinen ratkaisu tai ratkaisua ei ole, niitä kutsutaan vastaaviksi.

Homogeeniset lineaariyhtälöjärjestelmät ovat järjestelmiä oikea osa joka on yhtä kuin nolla. Jos "yhtäsuuruus"-merkin jälkeisellä oikealla osalla on arvo tai se ilmaistaan ​​funktiolla, tällainen järjestelmä ei ole homogeeninen.

Muuttujien lukumäärä voi olla paljon enemmän kuin kaksi, silloin meidän pitäisi puhua esimerkistä lineaarisesta yhtälöjärjestelmästä, jossa on kolme muuttujaa tai enemmän.

Järjestelmien edessä koululaiset olettavat, että yhtälöiden lukumäärän on välttämättä oltava sama kuin tuntemattomien lukumäärä, mutta näin ei ole. Yhtälöiden määrä järjestelmässä ei riipu muuttujista, niitä voi olla mielivaltaisen paljon.

Yksinkertaisia ​​ja monimutkaisia ​​menetelmiä yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen

Ei ole olemassa yleistä analyyttistä tapaa ratkaista tällaisia ​​järjestelmiä, kaikki menetelmät perustuvat numeerisiin ratkaisuihin. Koulun matematiikan kurssilla kuvataan yksityiskohtaisesti sellaiset menetelmät kuin permutaatio, algebrallinen yhteenlasku, substituutio sekä graafinen ja matriisimenetelmä, ratkaisu Gaussin menetelmällä.

Ratkaisumenetelmien opetuksen päätehtävänä on opettaa analysoimaan järjestelmää oikein ja löytämään kullekin esimerkille optimaalinen ratkaisualgoritmi. Tärkeintä ei ole muistaa kunkin menetelmän sääntö- ja toimintajärjestelmää, vaan ymmärtää tietyn menetelmän soveltamisen periaatteet.

Esimerkkejä ohjelman 7. luokan lineaariyhtälöjärjestelmistä yläaste melko yksinkertainen ja hyvin yksityiskohtaisesti selitetty. Kaikissa matematiikan oppikirjoissa tähän osioon on kiinnitetty riittävästi huomiota. Lineaaristen yhtälöjärjestelmien esimerkkien ratkaisua Gaussin ja Cramerin menetelmällä tutkitaan tarkemmin korkeakoulujen ensimmäisillä kursseilla.

Järjestelmien ratkaisu korvausmenetelmällä

Korvausmenetelmän toiminnot tähtäävät yhden muuttujan arvon ilmaisemiseen toiseen. Lauseke korvataan jäljellä olevalla yhtälöllä, jonka jälkeen se pelkistetään yhdeksi muuttujaksi. Toiminto toistetaan riippuen järjestelmän tuntemattomien määrästä

Otetaan esimerkki 7. luokan lineaarisesta yhtälöjärjestelmästä korvausmenetelmällä:

Kuten esimerkistä voidaan nähdä, muuttuja x ilmaistiin kaavalla F(X) = 7 + Y. Tuloksena oleva lauseke, joka korvattiin järjestelmän 2. yhtälöllä X:n tilalla, auttoi saamaan yhden muuttujan Y 2. yhtälöön . Tämän esimerkin ratkaisu ei aiheuta vaikeuksia ja antaa sinun saada Y-arvon. Viimeinen askel tämä on vastaanotettujen arvojen testi.

Aina ei ole mahdollista ratkaista esimerkkiä lineaarisesta yhtälöjärjestelmästä korvaamalla. Yhtälöt voivat olla monimutkaisia ​​ja muuttujan ilmaisu toiseksi tuntemattomaksi tulee olemaan liian hankalaa jatkolaskutoimille. Kun järjestelmässä on enemmän kuin 3 tuntematonta, korvausratkaisu on myös epäkäytännöllinen.

Lineaarisen epähomogeenisen yhtälöjärjestelmän esimerkin ratkaisu:

Ratkaisu käyttämällä algebrallista summaa

Kun haetaan ratkaisua järjestelmiin summausmenetelmällä, suoritetaan termi kerrallaan yhtälöiden yhteenlasku ja kertominen eri luvuilla. lopullinen päämäärä matemaattisia operaatioita on yhtälö, jossa on yksi muuttuja.

Sovelluksia varten tätä menetelmää vaatii harjoittelua ja tarkkailua. Ei ole helppoa ratkaista lineaarista yhtälöjärjestelmää summausmenetelmällä, jossa muuttujia on 3 tai enemmän. Algebrallinen yhteenlasku on hyödyllinen, kun yhtälöt sisältävät murto- ja desimaalilukuja.

Ratkaisun toimintoalgoritmi:

1. Kerro yhtälön molemmat puolet jollakin luvulla. Aritmeettisen operaation seurauksena muuttujan yhden kertoimen tulee olla yhtä suuri kuin 1.
2. Lisää tuloksena oleva lauseke termi kerrallaan ja etsi yksi tuntemattomista.
3. Korvaa tuloksena oleva arvo järjestelmän 2. yhtälöön löytääksesi jäljellä olevan muuttujan.

Ratkaisumenetelmä ottamalla käyttöön uusi muuttuja

Uusi muuttuja voidaan ottaa käyttöön, jos järjestelmän on löydettävä ratkaisu enintään kahdelle yhtälölle, myös tuntemattomien lukumäärä saa olla enintään kaksi.

Menetelmää käytetään yksinkertaistamaan yhtä yhtälöistä ottamalla käyttöön uusi muuttuja. Uusi yhtälö ratkaistaan ​​syötetyn tuntemattoman suhteen ja saatua arvoa käytetään alkuperäisen muuttujan määrittämiseen.

Esimerkistä voidaan nähdä, että ottamalla käyttöön uusi muuttuja t oli mahdollista pelkistää järjestelmän 1. yhtälö standardineliötrinomiksi. Voit ratkaista polynomin etsimällä diskriminantin.

Diskriminantin arvo on löydettävä hyvin tunnetulla kaavalla: D = b2 - 4*a*c, missä D on haluttu diskriminantti, b, a, c ovat polynomin kertoimet. Annetussa esimerkissä a=1, b=16, c=39, joten D=100. Jos diskriminantti on suurempi kuin nolla, on olemassa kaksi ratkaisua: t = -b±√D / 2*a, jos diskriminantti alle nolla, silloin on vain yksi ratkaisu: x= -b / 2*a.

Ratkaisu syntyneille järjestelmille löydetään summausmenetelmällä.

Visuaalinen menetelmä järjestelmien ratkaisemiseen

Sopii järjestelmiin, joissa on 3 yhtälöä. Menetelmä koostuu kunkin järjestelmään sisältyvän yhtälön kuvaajien piirtämisestä koordinaattiakselille. Käyrien ja tulee leikkauspisteiden koordinaatit yhteinen ratkaisu järjestelmät.

Graafisessa menetelmässä on useita vivahteita. Harkitse useita esimerkkejä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisesta visuaalisella tavalla.

Kuten esimerkistä voidaan nähdä, kullekin riville rakennettiin kaksi pistettä, muuttujan x arvot valittiin mielivaltaisesti: 0 ja 3. X:n arvojen perusteella löydettiin y:n arvot: 3 ja 0. Pisteet koordinaatilla (0, 3) ja (3, 0) merkittiin kuvaajaan ja yhdistettiin viivalla.

Vaiheet on toistettava toiselle yhtälölle. Viivojen leikkauspiste on järjestelmän ratkaisu.

Seuraavassa esimerkissä täytyy löytää graafinen ratkaisu lineaariyhtälöjärjestelmälle: 0.5x-y+2=0 ja 0.5x-y-1=0.

Kuten esimerkistä voidaan nähdä, järjestelmällä ei ole ratkaisua, koska kuvaajat ovat yhdensuuntaisia ​​eivätkä leikkaa koko pituudeltaan.

Esimerkkien 2 ja 3 järjestelmät ovat samankaltaisia, mutta rakennettaessa käy ilmi, että niiden ratkaisut ovat erilaisia. On syytä muistaa, että aina ei voida sanoa, onko järjestelmällä ratkaisu vai ei, aina on tarpeen rakentaa graafi.

Matrix ja sen lajikkeet

Matriiseja käytetään lyhyesti lineaarisen yhtälöjärjestelmän kirjoittamiseen. Taulukkoa kutsutaan matriisiksi. erikoislaatuinen täynnä numeroita. n*m:ssä on n - riviä ja m - saraketta.

Matriisi on neliö, kun sarakkeiden ja rivien määrä on yhtä suuri. Matriisivektori on yksisarakkeinen matriisi, jossa on äärettömän mahdollinen määrä rivejä. Matriisia, jossa on yksiköitä pitkin diagonaalia ja muita nollaelementtejä, kutsutaan identiteetiksi.

Käänteismatriisi on sellainen matriisi, jolla kerrottuna alkuperäinen muuttuu yksikkömatriisiksi, tällainen matriisi on olemassa vain alkuperäiselle neliömäiselle.

Säännöt yhtälöjärjestelmän muuntamiseksi matriisiksi

Mitä tulee yhtälöjärjestelmiin, yhtälöiden kertoimet ja vapaat jäsenet kirjoitetaan matriisin numeroina, yksi yhtälö on yksi matriisin rivi.

Matriisiriviä kutsutaan nollasta poikkeavaksi, jos vähintään yksi rivin elementti ei ole yhtä suuri kuin nolla. Siksi, jos jossakin yhtälössä muuttujien lukumäärä vaihtelee, puuttuvan tuntemattoman tilalle on syötettävä nolla.

Matriisin sarakkeiden on vastattava tarkasti muuttujia. Tämä tarkoittaa, että muuttujan x kertoimet voidaan kirjoittaa vain yhteen sarakkeeseen, esimerkiksi ensimmäinen, tuntemattoman y:n kerroin - vain toiseen.

Kun matriisia kerrotaan, kaikki matriisin elementit kerrotaan peräkkäin luvulla.

Vaihtoehdot käänteismatriisin löytämiseksi

Käänteimatriisin löytämisen kaava on melko yksinkertainen: K -1 = 1 / |K|, missä K -1 on käänteimatriisi ja |K| - matriisideterminantti. |K| ei saa olla nolla, niin järjestelmällä on ratkaisu.

Determinantti on helppo laskea kaksi kertaa kaksi matriisille, tarvitsee vain kertoa alkiot diagonaalisesti toisillaan. "Kolme kertaa kolme" -vaihtoehdolle on kaava |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Voit käyttää kaavaa tai muistaa, että jokaiselta riviltä ja sarakkeelta on otettava yksi elementti, jotta elementtien sarake- ja rivinumerot eivät toistu tuotteessa.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien esimerkkien ratkaisu matriisimenetelmällä

Ratkaisun matriisimenetelmän avulla voidaan vähentää hankalia syötteitä ratkaistaessa järjestelmiä, joissa on suuri määrä muuttujia ja yhtälöitä.

Esimerkissä a nm ovat yhtälöiden kertoimet, matriisi on vektori x n ovat muuttujat ja b n ovat vapaita termejä.

Systeemien ratkaisu Gaussin menetelmällä

SISÄÄN korkeampi matematiikka Gauss-menetelmää tutkitaan yhdessä Cramer-menetelmän kanssa ja ratkaisun löytämistä järjestelmiin kutsutaan Gauss-Cramer-ratkaisumenetelmäksi. Näitä menetelmiä käytetään sellaisten järjestelmien muuttujien etsimiseen, joissa on suuri määrä lineaarisia yhtälöitä.

Gaussin menetelmä on hyvin samanlainen kuin substituutio- ja algebrallinen summausratkaisu, mutta on systemaattisempi. Koulukurssilla Gaussin ratkaisua käytetään 3 ja 4 yhtälöjärjestelmille. Menetelmän tarkoituksena on saada järjestelmä käänteisen puolisuunnikkaan muotoon. Algebrallisilla muunnoksilla ja substituutioilla löydetään yhden muuttujan arvo jostakin järjestelmän yhtälöistä. Toinen yhtälö on lauseke, jossa on 2 tuntematonta ja 3 ja 4 - vastaavasti 3 ja 4 muuttujaa.

Kun järjestelmä on saatettu kuvattuun muotoon, jatkoratkaisu pelkistetään tunnettujen muuttujien peräkkäiseen korvaamiseen järjestelmän yhtälöihin.

7. luokan oppikirjoissa esimerkki Gaussin ratkaisusta on kuvattu seuraavasti:

Kuten esimerkistä voidaan nähdä, vaiheessa (3) saatiin kaksi yhtälöä 3x3 -2x4 =11 ja 3x3 +2x4 =7. Minkä tahansa yhtälön ratkaisu antaa sinun selvittää yhden muuttujista x n.

Lause 5, joka tekstissä mainitaan, sanoo, että jos jokin järjestelmän yhtälöistä korvataan vastaavalla, niin tuloksena oleva järjestelmä on myös ekvivalentti alkuperäisen kanssa.

Gaussin menetelmää on opiskelijoiden vaikea ymmärtää lukio, mutta on yksi suurimmista mielenkiintoisia tapoja kehittää ohjelmaan ilmoittautuneiden lasten kekseliäisyyttä syvällinen tutkimus matematiikan ja fysiikan tunneilla.

Tallennuslaskelmien helpottamiseksi on tapana tehdä seuraavaa:

Yhtälökertoimet ja vapaat termit kirjoitetaan matriisin muotoon, jossa jokainen matriisin rivi vastaa yhtä järjestelmän yhtälöistä. erottaa vasen puoli yhtälöt oikealta. Roomalaiset numerot osoittavat yhtälöiden numeroita järjestelmässä.

Ensin he kirjoittavat muistiin matriisin, jonka kanssa työskentelevät, ja sitten kaikki toiminnot, jotka suoritetaan yhdellä rivistä. Tuloksena oleva matriisi kirjoitetaan "nuoli" -merkin jälkeen ja jatka tarvittavien algebrallisten toimintojen suorittamista, kunnes tulos saavutetaan.

Tämän seurauksena tulisi saada matriisi, jossa yksi diagonaaleista on 1 ja kaikki muut kertoimet ovat nolla, eli matriisi pelkistetään yhteen muotoon. Emme saa unohtaa tehdä laskelmia yhtälön kummankin puolen luvuilla.

Tämä merkintä on vähemmän hankala ja sallii lukuisten tuntemattomien luetteloimisen välttää häiritsevän huomion.

Minkä tahansa ratkaisumenetelmän ilmainen soveltaminen vaatii huolellisuutta ja jonkin verran kokemusta. Kaikkia menetelmiä ei käytetä. Jotkut tavat löytää ratkaisuja ovat parempia tietyllä ihmisen toiminnan alueella, kun taas toiset ovat olemassa oppimista varten.

Tällä videolla aloitan oppituntien sarjan yhtälöjärjestelmistä. Tänään puhumme lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisesta lisäysmenetelmä- on yksi eniten yksinkertaisia ​​tapoja mutta myös yksi tehokkaimmista.

Lisäysmenetelmä koostuu kolme yksinkertaista askeleet:

1. Katso järjestelmää ja valitse muuttuja, jolla on samat (tai vastakkaiset) kertoimet jokaisessa yhtälössä;
2. Suorita yhtälöiden algebrallinen vähennys (vastakkaisille luvuille - yhteenlasku) ja tuo sitten samanlaiset termit;
3. Ratkaise toisen vaiheen jälkeen saatu uusi yhtälö.

Jos kaikki on tehty oikein, niin lähdössä saamme yhden yhtälön yhdellä muuttujalla- Se ei ole vaikea ratkaista. Sitten jää vain korvata löydetty juuri alkuperäisessä järjestelmässä ja saada lopullinen vastaus.

Käytännössä se ei kuitenkaan ole niin yksinkertaista. Tähän on useita syitä:

• Yhtälöiden ratkaiseminen yhteenlaskemalla tarkoittaa, että kaikilla riveillä on oltava muuttujat, joilla on samat/vastakkaiset kertoimet. Entä jos tämä vaatimus ei täyty?
• Ei aina, kun yhtälöitä on lisätty / vähennetty tällä tavalla, saamme kauniin rakenteen, joka on helposti ratkaistava. Onko mahdollista jotenkin yksinkertaistaa laskelmia ja nopeuttaa laskelmia?

Saadaksesi vastauksen näihin kysymyksiin ja samalla käsitelläksesi muutamia muita hienouksia, joihin monet opiskelijat "katoavat", katso opetusvideoni:

Tällä oppitunnilla aloitamme luentosarjan yhtälöjärjestelmistä. Ja aloitamme niistä yksinkertaisimmista, nimittäin niistä, jotka sisältävät kaksi yhtälöä ja kaksi muuttujaa. Jokainen niistä on lineaarinen.

Systems on 7. luokan materiaali, mutta tämä oppitunti on hyödyllinen myös lukiolaisille, jotka haluavat päivittää tietojaan tästä aiheesta.

Yleensä tällaisten järjestelmien ratkaisemiseen on kaksi tapaa:

1. Lisäysmenetelmä;
2. Menetelmä ilmaista yksi muuttuja toisella.

Tänään käsittelemme ensimmäistä menetelmää - käytämme vähennys- ja yhteenlaskumenetelmää. Mutta tätä varten sinun on ymmärrettävä seuraava tosiasia: kun sinulla on kaksi tai useampi yhtälö, voit ottaa mitkä tahansa kaksi niistä ja lisätä ne yhteen. Ne lisätään termi kerrallaan, ts. "X" lisätään "X:ihin" ja annetaan samankaltaisia;

Tällaisten masinaatioiden tulokset ovat uusi yhtälö, jolla, jos sillä on juuret, ne ovat varmasti alkuperäisen yhtälön juurien joukossa. Tehtävämme on siis tehdä vähennys- tai yhteenlasku niin, että joko $x$ tai $y$ katoaa.

Kuinka saavuttaa tämä ja mitä työkalua tähän käytetään - puhumme tästä nyt.

Helppojen ongelmien ratkaiseminen lisäysmenetelmällä

Opimme siis käyttämään summausmenetelmää kahden yksinkertaisen lausekkeen esimerkillä.

Tehtävä 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Huomaa, että $y$:n kerroin on $-4$ ensimmäisessä yhtälössä ja $+4$ toisessa. Ne ovat toistensa vastakohtaisia, joten on loogista olettaa, että jos laskemme ne yhteen, niin tuloksena olevan määrän "pelit" tuhoavat toisensa. Lisäämme ja saamme:

Ratkaisemme yksinkertaisimman rakentamisen:

Hienoa, löysimme X:n. Mitä hänen kanssaan nyt tehdä? Voimme korvata sen mihin tahansa yhtälöihin. Laitetaan se ensimmäiseen:

\[-4y=12\left| :\vasen(-4 \oikea) \oikea.\]

Vastaus: $\left(2;-3\right)$.

Tehtävä #2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

Täällä tilanne on täysin samanlainen, vain X:iden kanssa. Laitetaan ne yhteen:

Saimme yksinkertaisin lineaarisen yhtälön, ratkaistaan ​​se:

Etsitään nyt $x$:

Vastaus: $\left(-3;3\right)$.

Tärkeitä kohtia

Joten olemme juuri ratkaisseet kaksi yksinkertaista lineaariyhtälöjärjestelmää summausmenetelmällä. Jälleen kerran pääkohdat:

1. Jos jollekin muuttujalle on päinvastaiset kertoimet, on tarpeen lisätä kaikki yhtälön muuttujat. Tässä tapauksessa yksi niistä tuhoutuu.
2. Korvaamme löydetyn muuttujan mihin tahansa järjestelmän yhtälöön löytääksemme toisen.
3. Vastauksen lopullinen tallenne voidaan esittää eri tavoin. Esimerkiksi näin - $x=...,y=...$ tai pisteiden koordinaattien muodossa - $\left(...;... \right)$. Toinen vaihtoehto on parempi. Tärkeintä on muistaa, että ensimmäinen koordinaatti on $x$ ja toinen on $y$.
4. Sääntöä vastauksen kirjoittamisesta pistekoordinaattien muodossa ei aina voida soveltaa. Sitä ei voi esimerkiksi käyttää, kun muuttujien rooli ei ole $x$ ja $y$, vaan esimerkiksi $a$ ja $b$.

Seuraavissa tehtävissä tarkastellaan vähennystekniikkaa, kun kertoimet eivät ole vastakkaisia.

Helppojen ongelmien ratkaiseminen vähennyslaskumenetelmällä

Tehtävä 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Huomaa, että tässä ei ole vastakkaisia ​​kertoimia, mutta on identtisiä. Siksi vähennämme toisen yhtälön ensimmäisestä yhtälöstä:

Nyt korvaamme $x$:n arvon mihin tahansa järjestelmän yhtälöön. Mennään ensin:

Vastaus: $\left(2;5\right)$.

Tehtävä #2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Näemme jälleen saman kertoimen $5$ arvolle $x$ ensimmäisessä ja toisessa yhtälössä. Siksi on loogista olettaa, että sinun on vähennettävä toinen ensimmäisestä yhtälöstä:

Olemme laskeneet yhden muuttujan. Etsitään nyt toinen esimerkiksi korvaamalla $y$:n arvo toisella konstruktilla:

Vastaus: $\left(-3;-2 \right)$.

Ratkaisun vivahteet

Joten mitä me näemme? Pohjimmiltaan järjestelmä ei eroa aikaisempien järjestelmien ratkaisusta. Ainoa ero on, että emme lisää yhtälöitä, vaan vähennämme ne. Teemme algebrallista vähennyslaskua.

Toisin sanoen heti kun näet järjestelmän, joka koostuu kahdesta yhtälöstä, joissa on kaksi tuntematonta, ensimmäinen asia, joka sinun on tarkasteltava, on kertoimet. Jos ne ovat samat missä tahansa, yhtälöt vähennetään, ja jos ne ovat vastakkaisia, käytetään summausmenetelmää. Tämä tehdään aina niin, että yksi niistä katoaa, ja vähennyksen jälkeen jäljelle jäävään loppuyhtälöön jäisi vain yksi muuttuja.

Siinä ei tietenkään vielä kaikki. Nyt tarkastelemme järjestelmiä, joissa yhtälöt ovat yleensä epäjohdonmukaisia. Nuo. niissä ei ole sellaisia ​​muuttujia, jotka olisivat joko samat tai vastakkaiset. Tässä tapauksessa tällaisten järjestelmien ratkaisemiseksi lisävastaanotto, eli kunkin yhtälön kertominen erityisellä kertoimella. Kuinka löytää se ja kuinka ratkaista tällaiset järjestelmät yleensä, puhumme nyt tästä.

Ongelman ratkaiseminen kertoimella

Esimerkki #1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Näemme, että $x$:n ja $y$:n kertoimet eivät ole vain keskenään vastakkaisia, vaan yleensä ne eivät korreloi millään tavalla toisen yhtälön kanssa. Nämä kertoimet eivät katoa millään tavalla, vaikka lisäämme tai vähennämme yhtälöt toisistaan. Siksi on tarpeen soveltaa kertolaskua. Yritetään päästä eroon muuttujasta $y$. Tätä varten kerromme ensimmäisen yhtälön kertoimella $y$ toisesta yhtälöstä ja toisen yhtälön kertoimella $y$ ensimmäisestä yhtälöstä etumerkkiä muuttamatta. Kerromme ja saamme uuden järjestelmän:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Katsotaanpa sitä: $y$:lle vastakkaiset kertoimet. Tällaisessa tilanteessa on käytettävä lisäysmenetelmää. Lisätään:

Nyt meidän on löydettävä $y$. Voit tehdä tämän korvaamalla $x$ ensimmäisessä lausekkeessa:

\[-9y=18\left| :\vasen(-9 \oikea) \oikea.\]

Vastaus: $\left(4;-2\right)$.

Esimerkki #2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Jälleen kerran, minkään muuttujan kertoimet eivät ole yhdenmukaisia. Kerrotaan $y$:n kertoimilla:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Meidän uusi järjestelmä on sama kuin edellinen, mutta $y$:n kertoimet ovat keskenään päinvastaisia, joten summausmenetelmää on helppo käyttää tässä:

Etsi nyt $y$ korvaamalla $x$ ensimmäiseen yhtälöön:

Vastaus: $\left(-2;1\right)$.

Ratkaisun vivahteet

Keskeinen sääntö tässä on seuraava: kerro aina vain positiivisilla luvuilla - tämä säästää sinua typeriltä ja loukkaavilta virheiltä, ​​jotka liittyvät merkkien vaihtamiseen. Yleensä ratkaisukaavio on melko yksinkertainen:

1. Katsomme järjestelmää ja analysoimme jokaisen yhtälön.
2. Jos näemme, että $y$ ja $x$ eivät kertoimet ole yhdenmukaisia, ts. ne eivät ole yhtä suuria eivätkä vastakkaisia, teemme seuraavaa: valitse muuttuja, josta päästään eroon, ja katso sitten näiden yhtälöiden kertoimia. Jos kerromme ensimmäisen yhtälön kertoimella toisesta ja kerromme toisen vastaavan kertoimella ensimmäisestä, niin loppujen lopuksi saadaan järjestelmä, joka on täysin ekvivalentti edellisen kanssa, ja kertoimet kohdassa $y $ on johdonmukainen. Kaikki toimintamme tai muunnokset tähtäävät vain yhden muuttujan saamiseen yhteen yhtälöön.
3. Löydämme yhden muuttujan.
4. Korvaamme löydetyn muuttujan jompaankumpaan järjestelmän kahdesta yhtälöstä ja etsimme toisen.
5. Kirjoitamme vastauksen pisteiden koordinaattien muodossa, jos meillä on muuttujat $x$ ja $y$.

Mutta jopa sellaisella yksinkertaisella algoritmilla on omat hienovaraisuutensa, esimerkiksi $x$ tai $y$ kertoimet voivat olla murtolukuja ja muita "rumia" lukuja. Käsittelemme nyt näitä tapauksia erikseen, koska niissä voit toimia hieman eri tavalla kuin vakioalgoritmin mukaan.

Tehtävän ratkaiseminen murtoluvuilla

Esimerkki #1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Ensinnäkin huomaa, että toinen yhtälö sisältää murto-osia. Huomaa kuitenkin, että voit jakaa 4 dollaria 0,8 dollarilla. Saamme 5 dollaria. Kerrotaan toinen yhtälö $5$:lla:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Vähennämme yhtälöt toisistaan:

$n$ löysimme, nyt laskemme $m$:

Vastaus: $n=-4;m=5$

Esimerkki #2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ oikein.\]

Tässä, kuten edellisessä järjestelmässä, on murtokertoimia, mutta minkään muuttujan kertoimet eivät sovi toisiinsa kokonaislukumäärän verran. Siksi käytämme vakioalgoritmia. Päästä eroon $p$:sta:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(align) \right.\]

Käytetään vähennysmenetelmää:

Etsitään $p$ korvaamalla $k$ toiseen konstruktiin:

Vastaus: $p=-4;k=-2$.

Ratkaisun vivahteet

Siinä kaikki optimointi. Ensimmäisessä yhtälössä emme kertoneet millään, ja toinen yhtälö kerrottiin $5 $:lla. Tämän seurauksena olemme saaneet johdonmukaisen ja jopa saman yhtälön ensimmäiselle muuttujalle. Toisessa järjestelmässä toimimme vakioalgoritmin mukaan.

Mutta kuinka löytää numerot, joilla sinun on kerrottava yhtälöt? Loppujen lopuksi, jos kerrot murtolukuja, saamme uusia murtolukuja. Siksi murtoluvut on kerrottava luvulla, joka antaisi uuden kokonaisluvun, ja sen jälkeen muuttujat tulee kertoa kertoimilla vakioalgoritmia noudattaen.

Lopuksi haluan kiinnittää huomionne vastaustietueen muotoon. Kuten jo sanoin, koska täällä ei ole $x$ ja $y$, vaan muita arvoja, käytämme muodon epätyypillistä merkintää:

Monimutkaisten yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen

Viimeisenä silauksena tämän päivän video-opetusohjelmaan, katsotaanpa pari todella monimutkaista järjestelmää. Niiden monimutkaisuus koostuu siitä, että ne sisältävät muuttujia sekä vasemmalla että oikealla. Siksi meidän on käytettävä esikäsittelyä niiden ratkaisemiseksi.

Järjestelmä #1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \oikea )-1=5\vasen(2x-1 \oikea)+8 \\\end(tasaa) \oikea.\]

Jokaisella yhtälöllä on tietty monimutkaisuus. Siksi jokaisella lausekkeella tehdään kuten normaalilla lineaarisella konstruktiolla.

Yhteensä saamme lopullisen järjestelmän, joka vastaa alkuperäistä:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Katsotaanpa $y$:n kertoimia: $3$ sopii $6$:iin kahdesti, joten kerromme ensimmäisen yhtälön $2$:lla:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

$y$:n kertoimet ovat nyt yhtä suuret, joten vähennämme toisen ensimmäisestä yhtälöstä: $$

Etsitään nyt $y$:

Vastaus: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Järjestelmä #2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(tasaa) \oikea.\]

Muunnetaan ensimmäinen lauseke:

Käsitellään toista:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Alkuperäinen järjestelmämme on kokonaisuudessaan seuraavanlainen:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Tarkasteltaessa $a$:n kertoimia, näemme, että ensimmäinen yhtälö on kerrottava $2$:lla:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Vähennämme toisen ensimmäisestä rakenteesta:

Etsi nyt $a$:

Vastaus: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Siinä kaikki. Toivon, että tämä video-opetusohjelma auttaa sinua ymmärtämään tämän vaikean aiheen, nimittäin yksinkertaisten lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisen. Tästä aiheesta tulee vielä monia oppitunteja: analysoimme lisää monimutkaisia ​​esimerkkejä, jossa on enemmän muuttujia ja yhtälöt ovat jo epälineaarisia. Nähdään pian!

1. Korvausmenetelmä: mistä tahansa järjestelmän yhtälöstä ilmaistamme yhden tuntemattoman toisella ja korvaamme sen järjestelmän toisella yhtälöllä.

Tehtävä. Ratkaise yhtälöjärjestelmä:

Ratkaisu. Ilmaisemme järjestelmän ensimmäisestä yhtälöstä klo kautta X ja korvaa järjestelmän toiseen yhtälöön. Otetaan systeemi vastaava kuin alkuperäinen.

Tällaisten ehtojen käyttöönoton jälkeen järjestelmä saa muodon:

Toisesta yhtälöstä löydämme: . Korvaa tämä arvo yhtälöön klo = 2 - 2X, saamme klo= 3. Siksi tämän järjestelmän ratkaisu on lukupari .

2. Algebrallinen lisäysmenetelmä: lisäämällä kaksi yhtälöä saadaan yhtälö, jossa on yksi muuttuja.

Tehtävä. Ratkaise systeemiyhtälö:

Ratkaisu. Kerrotaan toisen yhtälön molemmat puolet kahdella, saadaan järjestelmä vastaava kuin alkuperäinen. Lisäämällä tämän järjestelmän kaksi yhtälöä pääsemme järjestelmään

Kun vastaavia termejä on vähennetty, tämä järjestelmä on seuraavanlainen: Toisesta yhtälöstä löydämme . Korvaa tämä arvo yhtälöön 3 X + 4klo= 5, saamme , missä . Siksi tämän järjestelmän ratkaisu on numeropari .

3. Menetelmä uusien muuttujien käyttöön ottamiseksi: etsimme järjestelmästä joitain toistuvia lausekkeita, jotka merkitään uusilla muuttujilla, mikä yksinkertaistaa järjestelmän muotoa.

Tehtävä. Ratkaise yhtälöjärjestelmä:

Ratkaisu. Kirjoitetaan tämä järjestelmä toisin:

Antaa x + y = u, hu = v. Sitten hankimme järjestelmän

Ratkaistaan ​​se korvausmenetelmällä. Ilmaisemme järjestelmän ensimmäisestä yhtälöstä u kautta v ja korvaa järjestelmän toiseen yhtälöön. Otetaan systeemi nuo.

Järjestelmän toisesta yhtälöstä löydämme v 1 = 2, v 2 = 3.

Korvaa nämä arvot yhtälöön u = 5 - v, saamme u 1 = 3,
u 2 = 2. Sitten meillä on kaksi järjestelmää

Ratkaisemalla ensimmäisen järjestelmän saamme kaksi lukuparia (1; 2), (2; 1). Toisessa järjestelmässä ei ole ratkaisuja.

Harjoituksia itsenäiseen työskentelyyn

1. Ratkaise yhtälöjärjestelmät korvausmenetelmällä.