keskiarvo- tämä on yleinen indikaattori, joka luonnehtii laadullisesti homogeenista populaatiota tietyn määrällisen ominaisuuden mukaan. Esimerkiksi varkauksista tuomittujen keski-ikä.

Oikeustilastoissa keskiarvoja käytetään kuvaamaan:

Keskimääräinen aika tämän luokan tapausten käsittelyyn;

Vaatimuksen keskimääräinen koko;

Syytettyjen keskimääräinen lukumäärä tapausta kohti;

Keskimääräinen vahinko;

Tuomareiden keskimääräinen työmäärä jne.

Keskiarvo on aina nimetty arvo ja sillä on sama ulottuvuus kuin populaation yksittäisen yksikön ominaisuus. Jokainen keskiarvo luonnehtii tutkittavaa populaatiota minkä tahansa muuttuvan ominaisuuden mukaan, joten jokaisen keskiarvon takana on sarja tämän populaation yksiköiden jakautumista tutkittavan ominaisuuden mukaan. Keskiarvon tyypin valinnan määrää indikaattorin sisältö ja keskiarvon laskemisen lähtötiedot.

Kaikki tyypit keskiarvot Tilastotutkimuksessa käytetyt, jaetaan kahteen luokkaan:

1) tehon keskiarvot;

2) rakenteelliset keskiarvot.

Ensimmäinen keskiarvoluokka sisältää: aritmeettinen keskiarvo, harmoninen keskiarvo, geometrinen keskiarvo Ja juuri tarkoittaa neliötä . Toinen luokka on muoti Ja mediaani. Lisäksi jokaisella luetelluista tehokeskiarvotyypeistä voi olla kaksi muotoa: yksinkertainen Ja painotettu . yksinkertainen muoto Keskiarvoa käytetään tutkittavan ominaisuuden keskiarvon saamiseksi, kun laskenta suoritetaan ryhmittämättömillä tilastotiedoilla tai kun kukin vaihtoehto aggregaatissa esiintyy vain kerran. Painotetut keskiarvot ovat arvoja, joissa otetaan huomioon, että attribuuttiarvojen muunnelmilla voi olla eri numeroita, ja siksi jokainen variantti on kerrottava vastaavalla taajuudella. Toisin sanoen jokainen vaihtoehto on "painotettu" sen taajuudella. Taajuutta kutsutaan tilastolliseksi painoksi.

Yksinkertainen aritmeettinen keskiarvo- yleisin keskiarvotyyppi. Se on yhtä kuin attribuutin yksittäisten arvojen summa jaettuna näiden arvojen kokonaismäärällä:

Missä x 1 ,x 2 , … ,x N ovat vaihtelevan ominaisuuden (muunnelmien) yksittäisiä arvoja ja N on yksiköiden lukumäärä populaatiossa.

Aritmeettinen painotettu keskiarvo käytetään tapauksissa, joissa tiedot esitetään jakelusarjojen tai ryhmittelyn muodossa. Se lasketaan optioiden tulojen ja niitä vastaavien taajuuksien summana jaettuna kaikkien optioiden taajuuksien summalla:

Missä x i- merkitys i ominaisuuden th muunnelmat; f i-taajuus i vaihtoehdot.

Siten jokainen varianttiarvo on painotettu sen taajuudella, minkä vuoksi taajuuksia kutsutaan joskus tilastollisiksi painoiksi.

Kommentti. Kun me puhumme noin aritmeettinen keskiarvo ilmoittamatta sen tyyppiä, aritmeettinen keskiarvo on yksinkertainen.

Taulukko 12.

Ratkaisu. Laskemiseen käytämme painotetun aritmeettisen keskiarvon kaavaa:

Näin ollen rikosasiassa on keskimäärin kaksi syytettyä.

Jos keskiarvon laskenta suoritetaan käyttämällä dataa, joka on ryhmitelty intervallijakaumasarjojen muodossa, sinun on ensin määritettävä kunkin intervallin x"i keskiarvot ja laskettava sitten keskiarvo käyttämällä aritmeettista painotettua keskiarvoa. kaava, jossa x"i on korvattu xi:n sijaan.

Esimerkki. Varkaudesta tuomittujen rikollisten iät on esitetty taulukossa:

Taulukko 13.

Määritä varkauksista tuomittujen rikollisten keski-ikä.

Ratkaisu. Jotta voit määrittää rikollisten keski-iän intervallivaihtelusarjan perusteella, sinun on ensin löydettävä välien mediaaniarvot. Koska meille annetaan intervallisarja avaa ensin ja viimeiset intervallit, sitten näiden välien arvot ovat yhtä suuret kuin vierekkäisten suljettujen välien arvot. Meidän tapauksessamme ensimmäisen ja viimeisen intervallin arvot ovat 10.

Nyt selvitetään rikollisten keski-ikä käyttämällä painotettua aritmeettista keskiarvoa:

Näin ollen varkauksista tuomittujen rikollisten keski-ikä on noin 27 vuotta.

Tarkoittaa harmonista yksinkertaista on attribuutin käänteisarvojen aritmeettisen keskiarvon käänteisluku:

missä 1/ x i ovat vaihtoehtojen käänteisiä arvoja ja N on yksiköiden lukumäärä populaatiossa.

Esimerkki. Käräjäoikeuden tuomareiden keskimääräisen vuosittaisen työmäärän selvittämiseksi rikosasioita käsiteltäessä tehtiin kysely tämän tuomioistuimen 5 tuomarin työmäärästä. Keskimääräinen yhden rikosasian käsittelyyn käytetty aika jokaiselle tutkitulle tuomarille osoittautui yhtä suureksi (päivissä): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Selvitä yhden rikosoikeuden keskimääräiset kustannukset. rikosasioita ja tietyn käräjäoikeuden tuomareiden keskimääräistä vuotuista työmäärää rikosasioita käsiteltäessä.

Ratkaisu. Määrittääksemme keskimääräisen rikosasian käsittelyyn käytetyn ajan käytämme harmonista yksinkertaista kaavaa:

Laskelmien yksinkertaistamiseksi esimerkissä otamme vuoden päivien lukumääräksi 365, mukaan lukien viikonloput (tämä ei vaikuta laskentamenetelmään ja laskettaessa vastaavaa indikaattoria käytännössä, on välttämätöntä korvata työmäärä päivää tietyssä vuodessa 365 päivän sijaan). Tällöin tietyn käräjäoikeuden tuomareiden keskimääräinen vuotuinen työmäärä rikosasioita käsiteltäessä on: 365 (päivää) : 5,56 ≈ 65,6 (asiat).

Jos käyttäisimme yksinkertaista aritmeettista keskiarvokaavaa määrittääksemme keskimääräisen rikosasian käsittelyyn käytetyn ajan, saisimme:

365 (päivää): 5,64 ≈ 64,7 (tapaukset), so. Tuomareiden keskimääräinen työmäärä osoittautui pienemmäksi.

Tarkastellaan tämän lähestymistavan oikeellisuutta. Tätä varten käytämme tietoja kunkin tuomarin yhden rikosasian käsittelyyn käytetystä ajasta ja laskemme kunkin heistä käsiteltävien rikosasioiden lukumäärän vuodessa.

Saamme sen mukaisesti:

365 (päivää): 6 ≈ 61 (tapaukset), 365 (päivää): 5,6 ≈ 65,2 (tapaukset), 365 (päivää): 6,3 ≈ 58 (tapaukset),

365 (päivää): 4,9 ≈ 74,5 (tapaukset), 365 (päivää): 5,4 ≈ 68 (tapaukset).

Lasketaan nyt tietyn käräjäoikeuden tuomareiden keskimääräinen vuotuinen työmäärä rikosasioita käsiteltäessä:

Nuo. keskimääräinen vuosikuorma on sama kuin harmonista keskiarvoa käytettäessä.

Näin ollen aritmeettisen keskiarvon käyttö on tässä tapauksessa laitonta.

Tapauksissa, joissa ominaisuuden muunnelmat ja niiden tilavuusarvot (muunnelmien ja taajuuden tulo) tunnetaan, mutta itse taajuudet eivät ole tiedossa, käytetään painotettua harmonista keskiarvokaavaa:

,

Missä x i ovat attribuuttien arvot, ja w i ovat vaihtoehtojen tilavuusarvot ( w i = x i f i).

Esimerkki. Tiedot rangaistuslaitoksen eri laitosten tuottaman samantyyppisen tuotteen yksikön hinnasta ja sen myynnin määrästä on esitetty taulukossa 14.

Taulukko 14

Etsi tuotteen keskimääräinen myyntihinta.

Ratkaisu. Keskihintaa laskettaessa on käytettävä myyntimäärän suhdetta myytyjen kappaleiden määrään. Emme tiedä myytyjen yksiköiden määrää, mutta tiedämme tavaroiden myynnin määrän. Siksi myytyjen tavaroiden keskihinnan löytämiseksi käytämme painotetun harmonisen keskiarvon kaavaa. Saamme

Jos käytät aritmeettista keskiarvokaavaa tässä, voit saada keskihinnan, joka on epärealistinen:

Geometrinen keskiarvo lasketaan erottamalla N-asteen juuri attribuuttimuunnelmien kaikkien arvojen tulosta:

,

Missä x 1 ,x 2 , … ,x N- vaihtelevan ominaisuuden yksittäiset arvot (muunnelmat) ja

N- yksiköiden lukumäärä väestössä.

Tämän tyyppistä keskiarvoa käytetään aikasarjojen keskimääräisten kasvunopeuksien laskemiseen.

Keskimääräinen neliö käytetään keskiarvon laskemiseen neliöpoikkeama, joka on vaihtelun indikaattori, ja sitä käsitellään jäljempänä.

Väestön rakenteen määrittämiseksi käytetään erityisiä keskiarvoja, jotka sisältävät mediaani Ja muoti , tai niin sanotut rakenteelliset keskiarvot. Jos aritmeettinen keskiarvo lasketaan attribuuttiarvojen kaikkien muunnelmien käytön perusteella, mediaani ja moodi kuvaavat sen muunnelman arvoa, joka on tietyllä keskimääräisellä sijalla järjestetyssä (järjestetyssä) sarjassa. Tilastollisen perusjoukon yksiköt voidaan järjestää tutkittavan ominaisuuden muunnelmien nousevaan tai laskevaan järjestykseen.

Mediaani (minä)- tämä on arvo, joka vastaa sijoitetun sarjan keskellä olevaa vaihtoehtoa. Mediaani on siis se versio ranking-sarjasta, jonka molemmilla puolilla tässä sarjassa pitäisi olla yhtä suuri määrä väestön yksiköitä.

Mediaanin löytämiseksi sinun on ensin määritettävä se sarjanumero järjestetyssä sarjassa kaavan mukaan:

missä N on sarjan tilavuus (yksiköiden lukumäärä perusjoukossa).

Jos sarja koostuu parittomasta määrästä termejä, mediaani on yhtä suuri kuin optio, jonka numero on N Me. Jos sarja koostuu parillisesta määrästä termejä, niin mediaani määritellään kahden keskellä olevan vierekkäisen vaihtoehdon aritmeettiseksi keskiarvoksi.

Esimerkki. Annettu rankattu sarja 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Sarjan tilavuus on N = 9, mikä tarkoittaa N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Siksi Me = 6, eli . viides vaihtoehto. Jos riville annetaan 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, ts. sarja, jossa on parillinen määrä termejä (N = 8), sitten N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Tämä tarkoittaa, että mediaani on puolet neljännen ja viidennen vaihtoehdon summasta, ts. Minä = (9 + 11) / 2 = 10.

Diskreetissä variaatiosarjassa mediaani määräytyy kumuloituneiden taajuuksien mukaan. Option taajuudet ensimmäisestä alkaen summataan, kunnes mediaaniluku ylittyy. Viimeisten summattujen optioiden arvo on mediaani.

Esimerkki. Selvitä syytettyjen mediaanimäärä rikostapausta kohti käyttämällä taulukon 12 tietoja.

Ratkaisu. Tässä tapauksessa vaihtelusarjan tilavuus on N = 154, joten N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Kun ensimmäisen ja toisen vaihtoehdon taajuudet on laskettu yhteen, saadaan: 75 + 43 = 118, ts. olemme ylittäneet mediaaniluvun. Joten minä = 2.

Intervallivaihtelusarjassa jakauma osoittaa ensin intervallin, jossa mediaani sijoittuu. Häntä kutsutaan mediaani . Tämä on ensimmäinen intervalli, jonka kertynyt taajuus ylittää puolet intervallivaihtelusarjan tilavuudesta. Sitten numeerinen arvo Mediaani määritetään kaavalla:

Missä x Minä- mediaanivälin alaraja; i on mediaanivälin arvo; S Me-1- mediaania edeltävän aikavälin kumuloitunut taajuus; f Minä- mediaanivälin taajuus.

Esimerkki. Selvitä varkaudesta tuomittujen rikoksentekijöiden mediaani-ikä taulukon 13 tilastojen perusteella.

Ratkaisu. Tilastotiedot esitetään intervallivaihtelusarjana, mikä tarkoittaa, että määritetään ensin mediaaniväli. Perusjoukon tilavuus on N = 162, joten mediaaniväli on väli 18-28, koska tämä on ensimmäinen intervalli, jonka kumuloitu taajuus (15 + 90 = 105) ylittää puolet intervallivaihtelusarjan tilavuudesta (162: 2 = 81). Nyt määritämme mediaanin numeerisen arvon käyttämällä yllä olevaa kaavaa:

Näin ollen varkaudesta tuomituista puolet on alle 25-vuotiaita.

Muoti (mo) He kutsuvat ominaisuuden arvoa, joka löytyy useimmiten väestön yksiköistä. Muotia käytetään määrittämään yleisimmän ominaisuuden arvo. Erillisissä sarjoissa tila on vaihtoehto, jolla on korkein taajuus. Esimerkiksi taulukossa 3 esitetyille erillisille sarjoille Mo= 1, koska tämä arvo vastaa suurinta taajuutta - 75. Määrittääksesi intervallisarjan tilan, määritä ensin modaalinen intervalli (väli, jolla on korkein taajuus). Sitten tämän aikavälin sisällä löydetään ominaisuuden arvo, joka voi olla tila.

Sen arvo saadaan kaavalla:

Missä x Mo- modaalivälin alaraja; i on modaalivälin arvo; f Mo- modaalivälin taajuus; f Mo-1- modaalia edeltävän intervallin taajuus; f Mo+1- modaalin jälkeisen intervallin taajuus.

Esimerkki. Selvitä varkaudesta tuomittujen rikollisten ikä, jonka tiedot on esitetty taulukossa 13.

Ratkaisu. Korkein taajuus vastaa väliä 18-28, joten tilan tulisi olla tällä välillä. Sen arvo määritetään yllä olevalla kaavalla:

Täten, suurin luku varkaudesta tuomittu rikollinen on 24-vuotias.

Keskiarvo antaa yleisen ominaisuuden tutkittavan ilmiön kokonaisuudesta. Kaksi populaatiota, joilla on samat keskiarvot, voivat kuitenkin poiketa toisistaan ​​merkittävästi tutkittavan ominaisuuden arvon vaihteluasteella (variaatiolla). Esimerkiksi yhdessä tuomioistuimessa nimitettiin seuraavat päivämäärät vankeus: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 vuotta ja toisessa - 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8 vuotta. Molemmissa tapauksissa aritmeettinen keskiarvo on 6,7 vuotta. Nämä populaatiot eroavat kuitenkin merkittävästi toisistaan ​​määrätyn vankeusajan yksittäisten arvojen leviämisen suhteen keskiarvoon.

Ja ensimmäisessä tuomioistuimessa, jossa tämä hajautus on melko suuri, keskimääräinen vankeusaika ei heijasta koko väestöä. Siten, jos ominaisuuden yksittäiset arvot eroavat vähän toisistaan, aritmeettinen keskiarvo on melko suuntaa-antava ominaisuus tietyn populaation ominaisuuksille. Muuten aritmeettinen keskiarvo on tämän populaation epäluotettava ominaisuus ja sen käyttö käytännössä on tehotonta. Siksi on tarpeen ottaa huomioon tutkitun ominaisuuden arvojen vaihtelu.

Variaatio- Nämä ovat eroja minkä tahansa ominaisuuden arvoissa tietyn populaation eri yksiköiden välillä samalla ajanjaksolla tai ajankohtana. Sana "variaatio" on latinaa - variatio, joka tarkoittaa eroa, muutosta, vaihtelua. Se syntyy siitä, että ominaisuuden yksittäiset arvot muodostuvat eri tekijöiden (olosuhteiden) yhteisvaikutuksen alaisena, jotka yhdistetään eri tavalla kussakin yksittäisessä tapauksessa. Ominaisuuden vaihtelun mittaamiseksi erilaisia ​​absoluuttisia ja suhteelliset indikaattorit.

Tärkeimmät vaihtelun indikaattorit ovat seuraavat:

1) vaihtelun laajuus;

2) keskimääräinen lineaarinen poikkeama;

3) dispersio;

4) keskihajonta;

5) variaatiokerroin.

Tarkastellaanpa lyhyesti jokaista niistä.

Vaihtelualue R on laskennan helppouden kannalta helpoin absoluuttinen indikaattori, joka määritellään ominaisuuden suurimman ja pienimmän arvojen välisenä erona tietyn populaation yksiköille:

Vaihteluväli (vaihteluväli) - tärkeä indikaattori merkin vaihtelevuus, mutta se mahdollistaa vain äärimmäisten poikkeamien näkemisen, mikä rajoittaa sen soveltamisalaa. Ominaisuuden vaihtelun kuvaamiseksi tarkemmin sen vaihtelevuuden perusteella käytetään muita indikaattoreita.

Keskimääräinen lineaarinen poikkeama edustaa aritmeettista keskiarvoa absoluuttiset arvot ominaisuuden yksittäisten arvojen poikkeamat keskiarvosta ja määritetään kaavoilla:

1) varten ryhmittämättömät tiedot

2) varten variaatiosarja

Yleisimmin käytetty vaihtelumittari on kuitenkin dispersio . Se kuvaa tutkitun ominaisuuden arvojen leviämisen mittaa suhteessa sen keskiarvoon. Dispersio määritellään poikkeamien keskiarvona neliöitynä.

Yksinkertainen varianssi ryhmittelemättömille tiedoille:

.

Varianssipainotettu variaatiosarjalle:

Kommentti. Käytännössä varianssin laskemiseen on parempi käyttää seuraavia kaavoja:

Yksinkertaiselle varianssille

.

Painotetulle varianssille

Standardipoikkeama on varianssin neliöjuuri:

Keskihajonta on keskiarvon luotettavuuden mitta. Mitä pienempi keskihajonta, sitä homogeenisempi perusjoukko ja sitä paremmin aritmeettinen keskiarvo heijastaa koko populaatiota.

Edellä käsitellyt hajontamitat (vaihteluväli, varianssi, standardipoikkeama) ovat absoluuttisesti mitattuna, jonka perusteella ei aina ole mahdollista arvioida ominaisuuden vaihteluastetta. Joissakin ongelmissa on tarpeen käyttää suhteellisia sirontaindeksejä, joista yksi on variaatiokerroin.

Variaatiokerroin- ilmaistuna prosentteina keskihajonnan suhteesta aritmeettiseen keskiarvoon:

Variaatiokerrointa ei käytetä vain vertaileva arviointi eri ominaisuuksien vaihtelut tai sama piirre eri populaatioissa, mutta myös populaation homogeenisuuden karakterisoimiseksi. Tilastojoukko katsotaan kvantitatiivisesti homogeeniseksi, jos variaatiokerroin ei ylitä 33 % (lähellä normaalijakaumaa).

Esimerkki. Tuomioistuimen vankeuslaitoksen vankeuslaitoksessa rangaistusta suorittamaan toimitettujen 50 tuomitun vankeusajoista on seuraavat tiedot: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3 , 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Muodosta sarja jakaumia vankeusrangaistusten mukaan.

2. Laske keskiarvo, varianssi ja keskihajonna.

3. Laske variaatiokerroin ja tee johtopäätös tutkitun populaation homogeenisuudesta tai heterogeenisyydestä.

Ratkaisu. Diskreetin jakaumasarjan muodostamiseksi on tarpeen määrittää muunnelmat ja taajuudet. Vaihtoehtona tässä ongelmassa on vankeusrangaistus ja taajuus on yksittäisten vaihtoehtojen lukumäärä. Kun taajuudet on laskettu, saadaan seuraavat diskreetit jakaumasarjat:

Etsitään keskiarvo ja varianssi. Koska tilastotiedot esitetään diskreetillä variaatiosarjalla, käytämme niiden laskemiseen painotetun aritmeettisen keskiarvon ja dispersion kaavoja. Saamme:

= = 4,1;

= 5,21.

Nyt laskemme keskihajonnan:

Variaatiokertoimen löytäminen:

Näin ollen tilastollinen perusjoukko on kvantitatiivisesti heterogeeninen.

Nyt puhutaan miten lasketaan keskiarvo.
Klassisessa muodossaan yleinen tilastoteoria tarjoaa meille yhden version keskiarvon valinnan säännöistä.
Ensin sinun on luotava oikea looginen kaava keskiarvon (AFV) laskemiseksi. Jokaiselle keskiarvolle on aina vain yksi looginen kaava sen laskemiseksi, joten tässä on vaikea tehdä virhettä. Mutta meidän on aina muistettava, että osoittajassa (tämä on murtoluvun päällä) kaikkien ilmiöiden summa ja nimittäjässä (tämä on murtoluvun alaosassa) kaikki yhteensä elementtejä.

Kun looginen kaava on koottu, voit käyttää sääntöjä (ymmärtämisen helpottamiseksi yksinkertaistamme ja lyhennämme niitä):
1. Jos lähdetieto (taajuudella määritetty) sisältää loogisen kaavan nimittäjä, niin laskenta suoritetaan painotetun aritmeettisen keskiarvon kaavalla.
2. Jos lähdetiedoissa on esitetty loogisen kaavan osoittaja, niin laskenta suoritetaan painotetun harmonisen keskiarvon kaavalla.
3. Jos tehtävässä on sekä loogisen kaavan osoittaja että nimittäjä (tätä tapahtuu harvoin), suoritetaan laskelma käyttämällä tätä kaavaa tai yksinkertaista aritmeettista keskiarvokaavaa.
Tämä on klassinen ajatus oikean kaavan valitsemisesta keskiarvon laskemiseen. Seuraavaksi esittelemme toimintosarjan, kun ratkaistaan ​​keskiarvon laskentaan liittyviä tehtäviä.

Algoritmi keskiarvon laskemiseen liittyvien ongelmien ratkaisemiseksi

A. Määritä menetelmä keskiarvon laskemiseksi - yksinkertainen tai painotettu . Jos tiedot esitetään taulukossa, käytämme painotettua menetelmää, jos tiedot esitetään yksinkertaisella luettelolla, niin käytämme yksinkertaista laskentamenetelmää.

B. Päätä tai järjestä symboleja – x - vaihtoehto, f – taajuus . Vaihtoehtona on, mille ilmiölle haluat löytää keskiarvon. Taulukossa jäljellä olevat tiedot ovat taajuus.

B. Määritämme muodon keskiarvon laskemiseksi - aritmeettinen tai harmoninen . Määritys suoritetaan käyttämällä taajuussaraketta. Aritmeettista muotoa käytetään, jos taajuudet on määritelty eksplisiittisellä suurella (ehdollisesti voit korvata sanan kappaleet, elementtien lukumäärän "kappaleet"). Harmonista muotoa käytetään, jos taajuuksia ei määritellä eksplisiittisellä suurella, vaan kompleksisella indikaattorilla (keskiarvotetun suuren ja taajuuden tulo).

Vaikeinta on arvata, missä ja mikä määrä annetaan, varsinkin kokemattomalle opiskelijalle. Tällaisessa tilanteessa voit käyttää jotakin seuraavista tavoista. Joihinkin (taloudellisiin) tehtäviin sopii vuosien käytännön aikana kehitetty lausunto (kohta B.1). Muissa tilanteissa sinun on käytettävä kohtaa B.2.

B.1 Jos taajuus on annettu rahayksiköissä (ruplissa), niin laskennassa käytetään harmonista keskiarvoa, tämä väite on aina totta, jos tunnistettu taajuus on annettu rahassa, muissa tilanteissa tämä sääntö ei päde.

B.2 Käytä edellä tässä artikkelissa mainitun keskiarvon valitsemiseen liittyviä sääntöjä. Jos taajuuden antaa keskiarvon laskemisen loogisen kaavan nimittäjä, laskemme käyttämällä aritmeettisen keskiarvon muotoa; jos taajuus annetaan keskiarvon laskentakaavan osoittajalla, laskemme käyttämällä harmoninen keskimuoto.

Katsotaanpa esimerkkejä tämän algoritmin käytöstä.

V. Koska tiedot esitetään rivillä, käytämme yksinkertaista laskentamenetelmää.

B.V. Meillä on tiedot vain eläkkeiden määrästä, ja ne ovat meidän vaihtoehtomme - x. Tiedot esitetään yksinkertaisena lukuna (12 henkilöä), laskennassa käytetään yksinkertaista aritmeettista keskiarvoa.

Eläkkeensaajan keskimääräinen eläke on 9208,3 ruplaa.

B. Koska meidän on löydettävä keskimääräinen maksu per lapsi, vaihtoehdot ovat ensimmäisessä sarakkeessa, laitamme siihen merkinnän x, toisesta sarakkeesta tulee automaattisesti taajuus f.

B. Taajuus (lasten lukumäärä) annetaan selkeällä suurella (voit korvata sanan palaset lapsia, venäjän kielen kannalta tämä on virheellinen lause, mutta itse asiassa se on erittäin kätevää check), mikä tarkoittaa, että laskennassa käytetään painotettua aritmeettista keskiarvoa.

Samaa ongelmaa ei voida ratkaista kaavamenetelmällä, vaan taulukkomenetelmällä, eli syöttämällä kaikki välilaskutoimien tiedot taulukkoon.

Tämän seurauksena kaikki, mitä nyt tarvitsee tehdä, on erottaa kaksi summaa oikeassa järjestyksessä.

Keskimääräinen maksu lasta kohden kuukaudessa oli 1 910 ruplaa.

V. Koska tiedot on esitetty taulukossa, käytämme laskennassa painotettua muotoa.

B. Taajuus (tuotantokustannus) saadaan implisiittisellä suurella (taajuus on annettu in ruplaa Algoritmin piste B1), mikä tarkoittaa, että laskennassa käytetään painotettua harmonista keskiarvoa. Yleisesti ottaen tuotantokustannukset ovat pohjimmiltaan monimutkainen indikaattori, joka saadaan kertomalla tuotteen yksikön hinta tällaisten tuotteiden lukumäärällä, tämä on harmonisen keskiarvon ydin.

Jotta tämä ongelma voitaisiin ratkaista aritmeettisen keskiarvon kaavalla, on välttämätöntä, että tuotantokustannusten sijasta tulisi olla tuotteiden lukumäärä, joilla on vastaava hinta.

Huomaa, että laskelmien jälkeen saatu summa nimittäjässä on 410 (120+80+210) tämä on valmistettujen tuotteiden kokonaismäärä.

Keskimääräinen hinta tuoteyksikköä kohti oli 314,4 ruplaa.

V. Koska tiedot on esitetty taulukossa, käytämme laskennassa painotettua muotoa.

B. Koska meidän on löydettävä keskihinta tuoteyksikköä kohden, vaihtoehdot ovat ensimmäisessä sarakkeessa, laitamme siihen merkinnän x, toisesta sarakkeesta tulee automaattisesti taajuus f.

B. Taajuus (poissaolojen kokonaismäärä) saadaan implisiittisellä suureella (tämä on kahden poissaolojen ja poissaolojen lukumäärän indikaattorin tulo), mikä tarkoittaa, että käytetään painotettua harmonista keskiarvoa. laskentaa varten. Käytämme algoritmia B2.

Jotta tämä ongelma voitaisiin ratkaista aritmeettisen keskiarvon kaavalla, on välttämätöntä, että poissaolojen kokonaismäärän sijasta tulee oppilaiden lukumäärä.

Luomme loogisen kaavan keskimääräisen poissaolojen määrän laskemiseksi opiskelijaa kohden.

Taajuus tehtävän ehtojen mukaan Kokonaismäärä kulkee. Loogisessa kaavassa tämä indikaattori on osoittajassa, mikä tarkoittaa, että käytämme harmonisen keskiarvon kaavaa.

Huomaa, että nimittäjässä laskelmien 31 (18+8+5) jälkeen saatu summa on opiskelijoiden kokonaismäärä.

Keskimääräinen poissaolojen määrä opiskelijaa kohden on 13,8 päivää.

Keskiarvoja käytetään laajasti tilastoissa. Keskiarvot kuvaavat kaupallisen toiminnan laadullisia indikaattoreita: jakelukustannukset, voitto, kannattavuus jne.

Keskiverto - Tämä on yksi yleisimmistä yleistystekniikoista. Oikea ymmärrys keskiarvon olemuksesta määrittää sen erityisen merkityksen olosuhteissa markkinatalous, kun keskiarvo yksittäisten ja satunnaisten avulla voimme tunnistaa yleisen ja tarpeellisen, tunnistaa taloudellisen kehityksen mallien suuntauksen.

keskiarvo - Nämä ovat yleisiä indikaattoreita, joissa toimet ilmaistaan yleiset ehdot, tutkittavan ilmiön malleja.

Tilastolliset keskiarvot lasketaan oikein tilastollisesti organisoidun massahavainnon (jatkuvan ja valikoivan) massatietojen perusteella. Tilastollinen keskiarvo on kuitenkin objektiivinen ja tyypillinen, jos se lasketaan laadullisesti homogeenisen populaation massatiedoista (massailmiöt). Jos esimerkiksi lasketaan osuuskuntien ja valtionyritysten keskipalkka ja laajennetaan tulos koko väestöön, niin keskiarvo on fiktiivinen, koska se lasketaan heterogeeniselle väestölle, ja tällainen keskiarvo menettää merkityksensä.

Keskiarvon avulla tasoitetaan yksittäisissä havaintoyksiköissä syystä tai toisesta syntyneet ominaisuuden arvon erot.

Esimerkiksi myyjän keskimääräinen tuottavuus riippuu monista syistä: pätevyydestä, palvelusajasta, iästä, palvelumuodosta, terveydestä jne.

Keskimääräinen tuotanto heijastaa koko väestön yleistä omaisuutta.

Keskiarvo heijastaa tutkittavan ominaisuuden arvoja, joten se mitataan samassa ulottuvuudessa kuin tämä ominaisuus.

Jokainen keskiarvo luonnehtii tutkittavaa populaatiota minkä tahansa ominaisuuden mukaan. Täydellisen ja kattavan käsityksen saamiseksi tutkittavasta populaatiosta useiden olennaisten ominaisuuksien perusteella, yleensä tarvitaan keskiarvojen järjestelmä, joka voi kuvata ilmiötä eri näkökulmista.

Keskiarvoja on erilaisia:

aritmeettinen keskiarvo;

geometrinen keskiarvo;

harmoninen keskiarvo;

keskimääräinen neliö;

keskimääräinen kronologinen.

Katsotaanpa joitain tilastoissa useimmin käytettyjä keskiarvotyyppejä.

Aritmeettinen keskiarvo

Yksinkertainen aritmeettinen keskiarvo (painottamaton) on yhtä suuri kuin attribuutin yksittäisten arvojen summa jaettuna näiden arvojen lukumäärällä.

Ominaisuuden yksittäisiä arvoja kutsutaan varianteiksi ja niitä merkitään x(); populaatioyksiköiden lukumäärää merkitään n:llä, ominaisuuden keskiarvoa merkitään . Siksi aritmeettinen yksinkertainen keskiarvo on yhtä suuri kuin:

Diskreettien jakaumasarjojen tietojen mukaan on selvää, että samat ominaisarvot (variantit) toistuvat useita kertoja. Näin ollen vaihtoehto x esiintyy yhteensä 2 kertaa ja vaihtoehto x 16 kertaa jne.

Jakaumasarjassa olevan ominaisuuden identtisten arvojen lukumäärää kutsutaan taajuudella tai painolla ja sitä merkitään symbolilla n.

Lasketaanpa yhden työntekijän keskipalkka hieroessa.:

Rahoittaa palkat jokaiselle työntekijäryhmälle on yhtä suuri kuin optioiden ja taajuuden tulo, ja näiden tulojen summa antaa kaikkien työntekijöiden kokonaispalkkarahaston.

Tämän mukaisesti laskelmat voidaan esittää yleisessä muodossa:

Tuloksena olevaa kaavaa kutsutaan painotetuksi aritmeettiseksi keskiarvoksi.

Käsittelyn tuloksena tilastollinen aineisto voidaan esittää diskreettien jakaumasarjojen lisäksi myös suljetuilla tai avoimilla intervalleilla varustettuina intervallivaihtelusarjoina.

Ryhmitettyjen tietojen keskiarvo lasketaan painotetun aritmeettisen keskiarvon kaavalla:

Taloustilastokäytännössä joskus on tarpeen laskea keskiarvo käyttämällä ryhmien keskiarvoja tai yksittäisten väestönosien keskiarvoja (osittaiskeskiarvoja). Tällaisissa tapauksissa optioina (x) otetaan konsernin tai yksityiset keskiarvot, joiden perusteella kokonaiskeskiarvo lasketaan tavallisena painotettuna aritmeettisena keskiarvona.

Aritmeettisen keskiarvon perusominaisuudet .

Aritmeettisella keskiarvolla on useita ominaisuuksia:

1. Aritmeettisen keskiarvon arvo ei muutu ominaisuuden x:n kunkin arvon taajuuden pienentämisestä tai suurentamisesta n kertaa.

Jos kaikki taajuudet jaetaan tai kerrotaan millä tahansa luvulla, keskiarvo ei muutu.

2. Ominaisuuden yksittäisten arvojen yhteinen kerroin voidaan viedä keskiarvon merkin ulkopuolelle:

3. Keskimääräinen määrä Kahden tai useamman suuren (ero) on yhtä suuri kuin niiden keskiarvojen summa (ero):

4. Jos x = c, missä c on vakioarvo, niin
.

5. Attribuutin X arvojen poikkeamien summa aritmeettisesta keskiarvosta x on yhtä suuri kuin nolla:

Harmoninen keskiarvo.

Aritmeettisen keskiarvon ohella tilastot käyttävät harmonista keskiarvoa, attribuutin käänteisarvojen aritmeettisen keskiarvon käänteistä. Kuten aritmeettinen keskiarvo, se voi olla yksinkertainen ja painotettu.

Variaatiosarjojen ominaisuudet yhdessä keskiarvojen kanssa ovat moodi ja mediaani.

Muoti - tämä on ominaisuuden (muunnelman) arvo, joka toistuu useimmiten tutkittavassa populaatiossa. Diskreettien jakaumasarjojen tila on korkeimman taajuuden omaavan muunnelman arvo.

Intervallijakaumasarjoille, joissa on yhtäläiset intervallit, tila määritetään kaavalla:

Missä
- tilan sisältävän aikavälin alkuarvo;

- modaalivälin arvo;

- modaalivälin taajuus;

- modaalia edeltävän intervallin taajuus;

- modaalin jälkeisen intervallin taajuus.

Mediaani - tämä on vaihtoehto, joka sijaitsee variaatiosarjan keskellä. Jos jakaumasarja on diskreetti ja siinä on pariton määrä jäseniä, niin mediaani on järjestetyn sarjan keskellä oleva vaihtoehto (järjestetty sarja on populaatioyksiköiden järjestys nousevaan tai laskevaan järjestykseen).

Aritmeettinen keskiarvo on tilastollinen indikaattori, joka osoittaa tietyn datataulukon keskiarvon. Tämä indikaattori lasketaan murtolukuna, jonka osoittaja on taulukon kaikkien arvojen summa ja nimittäjä on niiden numero. Aritmeettinen keskiarvo on tärkeä kerroin, jota käytetään jokapäiväisissä laskelmissa.

Kertoimen merkitys

Aritmeettinen keskiarvo on perusindikaattori tietojen vertailuun ja hyväksyttävän arvon laskemiseen. Esimerkiksi eri kaupat myyvät tietyn valmistajan oluttölkkiä. Mutta yhdessä kaupassa se maksaa 67 ruplaa, toisessa - 70 ruplaa, kolmannessa - 65 ruplaa ja viimeisessä - 62 ruplaa. Hintahaitari on melko laaja, joten ostajaa kiinnostaa tölkin keskihinta, jotta hän voi tuotetta ostaessaan vertailla kustannuksiaan. Oluttölkin keskihinta kaupungissa on:

Keskihinta = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 ruplaa.

Kun tiedät keskihinnan, on helppo määrittää, missä tuotteen ostaminen on kannattavaa ja missä joudut maksamaan liikaa.

Aritmeettista keskiarvoa käytetään jatkuvasti tilastolaskelmissa tapauksissa, joissa analysoidaan homogeeninen tietojoukko. Yllä olevassa esimerkissä tämä on saman merkin oluttölkin hinta. Emme kuitenkaan voi verrata eri valmistajien oluen hintoja tai oluen ja limonadin hintoja, koska tällöin arvojen leviäminen on suurempi, keskihinta on hämärtynyt ja epäluotettava sekä laskelmien tarkoitus. Vääristyy karikatyyriksi "sairaalan keskilämpötilasta". Heterogeenisten tietojoukkojen laskemiseen käytetään painotettua aritmeettista keskiarvoa, jolloin jokainen arvo saa oman painokertoimensa.

Aritmeettisen keskiarvon laskeminen

Laskentakaava on erittäin yksinkertainen:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

missä an on suuren arvo, n on arvojen kokonaismäärä.

Mihin tätä indikaattoria voidaan käyttää? Ensimmäinen ja ilmeinen käyttö on tilastoissa. Melkein jokaisessa tilastollinen tutkimus Käytetään aritmeettista keskiarvoa. Tämä voi olla keskimääräinen avioliitto-ikä Venäjällä, koululaisen aineen keskiarvosana tai päivittäistavaroiden keskimääräinen kulutus. Kuten edellä mainittiin, ilman painojen huomioimista keskiarvojen laskeminen voi tuottaa outoja tai absurdeja arvoja.

Esimerkiksi presidentti Venäjän federaatio antoi lausunnon, että tilastojen mukaan venäläisen keskipalkka on 27 000 ruplaa. Suurimmalle osalle Venäjän asukkaista tämä palkkataso vaikutti absurdilta. Ei ole yllättävää, jos otamme laskennassa huomioon toisaalta oligarkkien, teollisuusyritysten johtajien, suurten pankkiirien tulot ja toisaalta opettajien, siivoajien ja myyjien palkat. Jopa yhden erikoisalan, esimerkiksi kirjanpitäjän, keskipalkoissa on suuria eroja Moskovassa, Kostromassa ja Jekaterinburgissa.

Kuinka laskea keskiarvot heterogeenisille tiedoille

Palkanlaskentatilanteissa on tärkeää ottaa huomioon kunkin arvon paino. Tämä tarkoittaa, että oligarkkien ja pankkiirien palkat saisivat painon esimerkiksi 0,00001 ja myyjien palkat - 0,12. Nämä ovat numeroita tyhjästä, mutta ne kuvaavat karkeasti oligarkkien ja myyntimiesten yleisyyttä venäläisessä yhteiskunnassa.

Siten keskiarvojen tai keskiarvojen keskiarvon laskemiseksi heterogeenisessa tietojoukossa on käytettävä aritmeettista painotettua keskiarvoa. Muuten saat Venäjällä keskipalkan 27 000 ruplaa. Jos haluat saada selville matematiikan keskiarvosanasi tai valitun jääkiekkoilijan tekemien maalien määrän, aritmeettinen keskiarvolaskin sopii sinulle.

Ohjelmamme on yksinkertainen ja kätevä laskin aritmeettisen keskiarvon laskemiseen. Laskelmien suorittamista varten sinun tarvitsee vain syöttää parametrien arvot.

Katsotaanpa pari esimerkkiä

Keskimääräisen pistemäärän laskeminen

Monet opettajat käyttävät aritmeettista keskiarvomenetelmää oppiaineen vuosiarvosanan määrittämiseen. Kuvitellaan, että lapsi sai seuraavat neljännesarvosanat matematiikasta: 3, 3, 5, 4. Minkä vuosiarvosanan opettaja antaa hänelle? Käytetään laskinta ja lasketaan aritmeettinen keskiarvo. Aloita valitsemalla sopiva määrä kenttiä ja kirjoittamalla luokitusarvot näkyviin tuleviin soluihin:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Opettaja pyöristää arvon opiskelijan hyväksi, ja opiskelija saa vuodelle kiinteän B:n.

Syötyjen karkkien laskeminen

Havainnollistetaan aritmeettisen keskiarvon absurdiutta. Kuvitellaan, että Mashalla ja Vovalla oli 10 karkkia. Masha söi 8 karkkia ja Vova vain 2. Kuinka monta karkkia kukin lapsi söi keskimäärin? Laskurilla on helppo laskea, että lapset söivät keskimäärin 5 karkkia, mikä on täysin väärin ja maalaisjärkeä. Tämä esimerkki osoittaa, että aritmeettinen keskiarvo on tärkeä merkityksellisille tietojoukoille.

Johtopäätös

Aritmeettisen keskiarvon laskentaa käytetään laajasti monilla tieteenaloilla. Tämä indikaattori on suosittu paitsi tilastolaskelmissa, myös fysiikassa, mekaniikassa, taloustieteessä, lääketieteessä tai rahoituksessa. Käytä laskimiamme avustajana aritmeettisen keskiarvon laskemiseen liittyvien ongelmien ratkaisemisessa.

Aritmeettinen keskiarvo ja geometrinen keskiarvo sisältyvät 6-7 luokkien matematiikan ohjelmaan. Koska kappale on melko helppo ymmärtää, se ohitetaan nopeasti, ja kouluvuoden loppuun mennessä oppilaat ovat unohtaneet sen. Mutta perustilastojen tuntemusta tarvitaan yhtenäisen valtionkokeen läpäiseminen, ja myös varten kansainväliset kokeet SAT. Kyllä ja puolesta Jokapäiväinen elämä kehittynyt analyyttinen ajattelu ei koskaan satuta.

Kuinka laskea numeroiden aritmeettinen keskiarvo ja geometrinen keskiarvo

Oletetaan, että on sarja lukuja: 11, 4 ja 3. Aritmeettinen keskiarvo on kaikkien lukujen summa jaettuna annettujen lukujen määrällä. Eli lukujen 11, 4, 3 tapauksessa vastaus on 6. Miten saat 6?

Ratkaisu: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Nimittäjässä on oltava luku, joka on yhtä suuri kuin lukujen lukumäärä, joiden keskiarvo on löydettävä. Summa on jaollinen kolmella, koska termejä on kolme.

Nyt meidän on käsiteltävä geometristä keskiarvoa. Oletetaan, että on sarja numeroita: 4, 2 ja 8.

Lukujen geometrinen keskiarvo on kaikkien annettujen lukujen tulo, jotka sijaitsevat juuren alla potenssilla, joka on yhtä suuri kuin annettujen lukujen määrä. Eli lukujen 4, 2 ja 8 tapauksessa vastaus on 4. Näin kävi ilmi:

Ratkaisu: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Molemmissa vaihtoehdoissa saimme kokonaisia ​​vastauksia, koska esimerkkinä otettiin erikoisnumerot. Näin ei aina ole. Useimmissa tapauksissa vastaus on pyöristettävä tai jätettävä juureen. Esimerkiksi lukujen 11, 7 ja 20 aritmeettinen keskiarvo on ≈ 12,67 ja geometrinen keskiarvo ∛1540. Ja numeroiden 6 ja 5 vastaukset ovat vastaavasti 5,5 ja √30.

Voiko aritmeettinen keskiarvo olla yhtä suuri kuin geometrinen keskiarvo?

Tietysti voi. Mutta vain kahdessa tapauksessa. Jos on lukusarja, joka koostuu vain joko ykkösistä tai nollista. On myös huomionarvoista, että vastaus ei riipu heidän lukumäärästään.

Todistus yksiköillä: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmeettinen keskiarvo).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrinen keskiarvo).

Todistus nollalla: (0 + 0) / 2=0 (aritmeettinen keskiarvo).

√(0 × 0) = 0 (geometrinen keskiarvo).

Muuta vaihtoehtoa ei ole eikä voi olla.