הערך הגדול (הקטן ביותר) של פונקציה הוא הערך המקובל הגדול (הקטן ביותר) של הסמטה במרווח הנחשב.

כדי למצוא את הערך הגדול או הקטן ביותר של פונקציה, עליך:

1. בדוק אילו נקודות נייחות כלולות בקטע נתון.
2. חשב את ערך הפונקציה בקצות הקטע ובנקודות נייחות משלב 3
3. בחר את הערך הגדול או הקטן ביותר מהתוצאות שהתקבלו.

כדי למצוא את נקודות המקסימום או המינימום עליך:

1. מצא את הנגזרת של הפונקציה $f"(x)$
2. מצא נקודות נייחות על ידי פתרון המשוואה $f"(x)=0$
3. חשב את הנגזרת של פונקציה.
4. צייר קו קואורדינטות, הצב עליו נקודות נייחות וקבע את הסימנים של הנגזרת במרווחים המתקבלים, תוך שימוש בסימון בשלב 3.
5. מצא את נקודות המקסימום או המינימום לפי הכלל: אם בנקודה הנגזרת משנה סימן מפלוס למינוס, אז זו תהיה נקודת המקסימום (אם מינוס לפלוס, אז זו תהיה נקודת המינימום). בפועל, נוח להשתמש בתמונה של חצים על מרווחים: במרווח שבו הנגזרת חיובית, החץ נמשך כלפי מעלה ולהיפך.

טבלת נגזרות של כמה פונקציות אלמנטריות:

פוּנקצִיָה	נגזר
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

כללים בסיסיים של בידול

1. הנגזרת של הסכום וההפרש שווה לנגזרת של כל איבר

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

מצא את הנגזרת של הפונקציה $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

הנגזרת של הסכום וההפרש שווה לנגזרת של כל איבר

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. נגזרת של המוצר.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

מצא את הנגזרת $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. נגזרת של המנה

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

מצא את הנגזרת $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. נגזרת פונקציה מורכבתשווה למכפלת הנגזרת פונקציה חיצוניתלנגזרת של הפונקציה הפנימית

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

מצא את נקודת המינימום של הפונקציה $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. מצא את ה-ODZ של הפונקציה: $x+11>0; x>-11$

2. מצא את הנגזרת של הפונקציה $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. מצא נקודות נייחות על ידי השוואת הנגזרת לאפס

$(2x+21)/(x+11)=0$

שבר שווה לאפס אם המונה הוא אפס והמכנה אינו אפס.

$2x+21=0; x≠-11$

4. נצייר קו קואורדינטות, נניח עליו נקודות נייחות ונקבע את סימני הנגזרת במרווחים המתקבלים. לשם כך, החלף כל מספר מהאזור הימני ביותר בנגזרת, למשל, אפס.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. בנקודת המינימום, הנגזרת משנה סימן ממינוס לפלוס, לכן, הנקודה $-10.5$ היא נקודת המינימום.

תשובה: $-10.5$

מצא את הערך הגדול ביותר של הפונקציה $y=6x^5-90x^3-5$ בקטע $[-5;1]$

1. מצא את הנגזרת של הפונקציה $y′=30x^4-270x^2$

2. השוו את הנגזרת לאפס ומצאו נקודות נייחות

$30x^4-270x^2=0$

בוא ניקח את הפקטור הכולל $30x^2$ מתוך סוגריים

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

בואו נשווה כל גורם לאפס

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. בחר נקודות נייחות השייכות לקטע הנתון $[-5;1]$

הנקודות הנייחות $x=0$ ו-$x=-3$ מתאימות לנו

4. חשב את ערך הפונקציה בקצות הקטע ובנקודות נייחות משלב 3

קטנטן ויפה משימה פשוטהמקטגוריית אלו המשמשים כמציל חיים לתלמיד צף. זה אמצע יולי בטבע, אז זה הזמן להתמקם עם המחשב הנייד על החוף. בשעת בוקר מוקדמת החלה להתנגן קרן השמש של התיאוריה, כדי להתמקד במהרה בתרגול, שלמרות הקלות המוצהרת מכיל רסיסי זכוכית בחול. בהקשר זה, אני ממליץ לך לשקול באופן מצפוני את הדוגמאות המעטות של דף זה. כדי לפתור בעיות מעשיות אתה חייב להיות מסוגל למצוא נגזרותולהבין את החומר של המאמר מרווחי מונוטוניות וקיצוניות של הפונקציה.

ראשית, בקצרה על העיקר. בשיעור על המשכיות של תפקודנתתי את ההגדרה של המשכיות בנקודה והמשכיות במרווח. ההתנהגות המופתית של פונקציה על קטע מנוסחת באופן דומה. פונקציה היא רציפה במרווח אם:

1) הוא רציף על המרווח;
2) רציף בנקודה בצד ימיןובנקודה שמאלה.

בפסקה השנייה דיברנו על מה שנקרא המשכיות חד צדדיתמתפקד בנקודה מסוימת. יש כמה גישות להגדרתו, אבל אני אצמד לקו שהתחלתי קודם:

הפונקציה רציפה בנקודה בצד ימין, אם הוא מוגדר בנקודה נתונה והגבול הימני שלו עולה בקנה אחד עם הערך של הפונקציה בנקודה נתונה: . זה רציף בנקודה שמאלה, אם מוגדר בנקודה נתונה וגבול הצד השמאלי שלה שווה לערךבנקודה זו:

תארו לעצמכם שהנקודות הירוקות הן ציפורניים עם רצועת אלסטית קסומה המחוברת אליהן:

קח נפשית את הקו האדום בידיים שלך. ברור שלא משנה כמה רחוק נמתח את הגרף למעלה ולמטה (לאורך הציר), הפונקציה עדיין תישאר מוגבל– גדר למעלה, גדר למטה, והמוצר שלנו רועה במכלאה. לכן, פונקציה רציפה על מרווח מוגבלת עליה. במהלך הניתוח המתמטי, עובדה פשוטה לכאורה זו מוצהרת ומוכחת בקפדנות. המשפט הראשון של ויירשטראס....אנשים רבים מתרגזים מכך שהצהרות יסודיות מבוססות בצורה מייגעת במתמטיקה, אבל יש לכך משמעות חשובה. נניח שתושב מסוים מימי הביניים הטרי משך גרף לשמים מעבר לגבולות הראות, זה הוכנס. לפני המצאת הטלסקופ, התפקוד המוגבל בחלל לא היה ברור כלל! באמת, איך אתה יודע מה מצפה לנו באופק? אחרי הכל, כדור הארץ נחשב פעם שטוח, אז היום אפילו טלפורטציה רגילה דורשת הוכחה =)

לפי המשפט השני של ויירשטראס, רציף על קטעהפונקציה מגיעה אליה גבול עליון מדויקושלך קצה תחתון מדויק .

המספר נקרא גם הערך המקסימלי של הפונקציה בקטעומסומנים ב, והמספר הוא הערך המינימלי של הפונקציה בקטעמסומן .

במקרה שלנו:

הערה : בתיאוריה, הקלטות נפוצות .

באופן גס, הערך הגדול ביותר הוא היכן הכי הרבה נקודה גבוההגרפיקה, והקטן ביותר הוא המקום בו נמצאת הנקודה הנמוכה ביותר.

חָשׁוּב!כפי שכבר הודגש במאמר על קיצוניות של הפונקציה, ערך הפונקציה הגדול ביותרו ערך הפונקציה הקטן ביותר – לא אותו הדבר, מה תפקוד מקסימליו מינימום פונקציה. אז, בדוגמה הנבדקת, המספר הוא המינימום של הפונקציה, אך לא הערך המינימלי.

אגב, מה קורה מחוץ לקטע? כן, אפילו שיטפון, בהקשר של הבעיה הנבדקת, זה לא מעניין אותנו כלל. המשימה כוללת רק מציאת שני מספרים וזה הכל!

יתר על כן, הפתרון הוא אנליטי בלבד, לפיכך אין צורך לעשות ציור!

האלגוריתם מונח על פני השטח ומציע את עצמו מהאיור שלמעלה:

1) מצא את ערכי הפונקציה ב נקודות קריטיות, השייכים לפלח הזה.

תפסו בונוס נוסף: כאן אין צורך לבדוק את התנאי המספיק לקיצוניות, שכן, כפי שהוצג זה עתה, נוכחות של מינימום או מקסימום עדיין לא מבטיח, מהו הערך המינימלי או המקסימלי. פונקציית ההדגמה מגיעה למקסימום ולפי רצון הגורל, אותו מספר הוא הערך הגדול ביותר של הפונקציה בקטע. אבל, כמובן, צירוף מקרים כזה לא תמיד מתרחש.

לכן, בשלב הראשון, מהיר יותר וקל יותר לחשב את ערכי הפונקציה בנקודות קריטיות השייכות למקטע, מבלי להטריד אם יש בהן קיצוניות או לא.

2) אנו מחשבים את ערכי הפונקציה בקצות הקטע.

3) מבין ערכי הפונקציות שנמצאו בפסקה הראשונה והשנייה, בחר את הקטן והכי גדול מספר גדול, רשום את התשובה.

אנחנו מתיישבים על החוף ים כחולולהכות במים הרדודים עם העקבים:

דוגמה 1

מצא את הגדול ביותר ו הערך הקטן ביותרמתפקד על מרווח

פִּתָרוֹן:
1) בואו נחשב את ערכי הפונקציה בנקודות קריטיות השייכות למקטע הזה:

בוא נחשב את ערך הפונקציה בנקודה הקריטית השנייה:

2) בוא נחשב את ערכי הפונקציה בקצות הקטע:

3) התקבלו תוצאות "מודגשות" עם אקספוננטים ולוגריתמים, מה שמקשה באופן משמעותי על ההשוואה ביניהם. מסיבה זו, בואו נתחמש במחשבון או באקסל ונחשב ערכים משוערים, בלי לשכוח את זה:

עכשיו הכל ברור.

תשובה:

דוגמה שברית-רציונלית לפתרון עצמאי:

דוגמה 6

מצא את הערכים המקסימליים והמינימליים של פונקציה בקטע

תן לתפקד y =ו(איקס)הוא רציף במרווח [ א, ב]. כידוע, פונקציה כזו מגיעה לערכים המקסימליים והמינימליים שלה בקטע זה. הפונקציה יכולה לקחת את הערכים האלה גם בנקודה הפנימית של הקטע [ א, ב], או על גבול הקטע.

כדי למצוא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה בקטע [ א, ב] נחוץ:

1) למצוא נקודות קריטיותפונקציות במרווח ( א, ב);

2) חשב את ערכי הפונקציה בנקודות הקריטיות שנמצאו;

3) חשב את ערכי הפונקציה בקצות הקטע, כלומר מתי איקס=או-x = ב;

4) מכל הערכים המחושבים של הפונקציה, בחר את הגדול והקטן ביותר.

דוגמא.מצא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה

על הקטע.

מציאת נקודות קריטיות:

נקודות אלו נמצאות בתוך הקטע; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

בנקודה איקס= 3 ובנקודה איקס= 0.

לימוד פונקציה של קמור ונקודת פיתול.

פוּנקצִיָה y = ו (איקס) שקוראים לו קמורבין לבין (א, ב) , אם הגרף שלו נמצא מתחת למשיק המצייר בכל נקודה במרווח זה, ונקרא קמור למטה (קעור), אם הגרף שלו נמצא מעל המשיק.

הנקודה שדרכה קמורות מוחלפת בקיעור או להיפך נקראת נקודת פיתול.

אלגוריתם לבחינת קמור ונקודת פיתול:

1. מצא נקודות קריטיות מהסוג השני, כלומר נקודות שבהן הנגזרת השנייה שווה לאפס או לא קיימת.

2. ציירו נקודות קריטיות על קו המספרים, חלקו אותו למרווחים. מצא את הסימן של הנגזרת השנייה בכל מרווח; אם , אז הפונקציה קמורה כלפי מעלה, אם, אז הפונקציה קמורה כלפי מטה.

3. אם במעבר בנקודה קריטית מהסוג השני, הסימן משתנה ובנקודה זו הנגזרת השנייה שווה לאפס, אזי נקודה זו היא האבססיס של נקודת הפיתול. מצא את הסידור שלו.

אסימפטוטים של הגרף של פונקציה. חקר פונקציה לאסימפטוטים.

הַגדָרָה.האסימפטוטה של ​​הגרף של פונקציה נקראת יָשָׁר, בעל התכונה שהמרחק מכל נקודה בגרף לקו זה שואף לאפס כאשר הנקודה בגרף נעה ללא הגבלה מהמקור.

ישנם שלושה סוגים של אסימפטוטות: אנכי, אופקי ומשופע.

הַגדָרָה.הקו הישר נקרא אסימפטוטה אנכיתגרפיקת פונקציות y = f(x), אם לפחות אחד מהגבולות החד-צדדיים של הפונקציה בנקודה זו שווה לאינסוף, כלומר

היכן היא נקודת האי-רציפות של הפונקציה, כלומר, היא אינה שייכת לתחום ההגדרה.

דוגמא.

ד ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

איקס= 2 - נקודת שבירה.

הַגדָרָה.יָשָׁר y =אשקוראים לו אסימפטוטה אופקיתגרפיקת פונקציות y = f(x)ב, אם

דוגמא.

איקס
y

הַגדָרָה.יָשָׁר y =קx +ב (ק≠ 0) נקרא אסימפטוטה אלכסוניתגרפיקת פונקציות y = f(x)איפה

תכנית כללית ללימוד פונקציות ובניית גרפים.

אלגוריתם מחקר פונקציותy = f(x) :

1. מצא את התחום של הפונקציה ד (y).

2. מצא (אם אפשר) את נקודות החיתוך של הגרף עם צירי הקואורדינטות (אם איקס= 0 ובשעה y = 0).

3. בדקו את השחידות והמוזרות של הפונקציה ( y (‒ איקס) = y (איקס) ‒ שִׁוּוּי; y(‒ איקס) = ‒ y (איקס) ‒ מוזר).

4. מצא את האסימפטוטים של גרף הפונקציה.

5. מצא את מרווחי המונוטוניות של הפונקציה.

6. מצא את הקיצוניות של הפונקציה.

7. מצא את מרווחי הקמורות (קיעור) ונקודות הפיתול של גרף הפונקציות.

8. על סמך המחקר שנערך, בנה גרף של הפונקציה.

דוגמא.חקור את הפונקציה ובנה את הגרף שלה.

1) ד (y) =

איקס= 4 - נקודת שבירה.

2) מתי איקס = 0,

(0; ‒ 5) - נקודת חיתוך עם הו.

בְּ y = 0,

3) y(‒ איקס)= פוּנקצִיָה השקפה כללית(לא זוגי ולא מוזר).

4) אנו בודקים אסימפטוטות.

א) אנכי

ב) אופקי

ג) מצא את האסימפטוטות האלכסוניות היכן

משוואת אסימפטוטה אלכסונית

5) במשוואה זו אין צורך למצוא מרווחים של מונוטוניות של הפונקציה.

6)

נקודות קריטיות אלו מחלקות את כל תחום ההגדרה של הפונקציה למרווח (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ו-(10; +∞). נוח להציג את התוצאות שהתקבלו בצורה של הטבלה הבאה.

וכדי לפתור את זה תצטרך ידע מינימלי בנושא. עוד שנת לימודים מסתיימת, כולם רוצים לצאת לחופשה, וכדי לקרב את הרגע הזה, מיד אגיע לנקודה:

נתחיל מהאזור. השטח הנזכר בתנאי הוא מוגבל סָגוּר סט נקודות במטוס. לדוגמה, קבוצת הנקודות התחום במשולש, כולל המשולש השלם (אם מ גבולות"דקור" לפחות נקודה אחת, ואז האזור לא ייסגר יותר). בפועל, ישנם גם אזורים של צורות מלבניות, עגולות ומעט יותר מורכבות. יש לציין שבתורת הניתוח המתמטי ניתנות הגדרות קפדניות מגבלות, בידוד, גבולות וכו'., אבל אני חושב שכולם מודעים למושגים האלה ברמה אינטואיטיבית, ועכשיו אין צורך יותר.

אזור שטוח מסומן באופן סטנדרטי באות , וככלל, מצוין בצורה אנליטית - על ידי מספר משוואות (לא בהכרח ליניארי); לעתים רחוקות יותר אי שוויון. מילים אופייניות: "אזור סגור, תחום בקווים ».

חלק בלתי נפרד מהמשימה הנבדקת הוא בניית שטח בשרטוט. איך לעשות את זה? עליך לצייר את כל הקווים הרשומים (במקרה זה 3 יָשָׁר) ולנתח מה קרה. אזור החיפושים מוצל בדרך כלל קלות, והגבול שלו מסומן בקו עבה:


ניתן גם להגדיר את אותו אזור אי שוויון ליניארי: , אשר מסיבה כלשהי כתובים לעתים קרובות כרשימה מנויה במקום מערכת.
מכיוון שהגבול שייך לאזור, אז כל אי השוויון, כמובן, רָפֶה.

ועכשיו מהות המשימה. דמיינו שהציר יוצא ישר אליכם מהמקור. קחו בחשבון פונקציה ש רָצִיף בכל אחדנקודת שטח. הגרף של פונקציה זו מייצג חלק משטח, והאושר הקטן הוא שכדי לפתור את הבעיה של היום אנחנו לא צריכים לדעת איך המשטח הזה נראה. זה יכול להיות ממוקם גבוה יותר, נמוך יותר, לחצות את המטוס - כל זה לא משנה. וחשוב להלן: לפי משפטי ויירשטראס, רָצִיף V מוגבל סגורשטח הפונקציה מגיעה לערכה הגדול ביותר (הגבוה ביותר")והכי פחות (הנמוך ביותר")ערכים שצריך למצוא. ערכים כאלה מושגים אוֹ V נקודות נייחות, השייכים לאזורד , אוֹבנקודות השוכנות על גבול אזור זה. זה מוביל לאלגוריתם פתרון פשוט ושקוף:

דוגמה 1

בשטח סגור מוגבל

פִּתָרוֹן: קודם כל, אתה צריך לתאר את האזור בציור. לצערי, טכנית קשה לי ליצור מודל אינטראקטיבי של הבעיה, ולכן מיד אציג את ההמחשה הסופית, שמציגה את כל הנקודות ה"חשודות" שנמצאו במהלך המחקר. הם בדרך כלל רשומים בזה אחר זה כשהם מתגלים:

בהתבסס על ההקדמה, ניתן לחלק את ההחלטה בנוחות לשתי נקודות:

ט) מצא נקודות נייחות. זוהי פעולה סטנדרטית שביצענו שוב ושוב בכיתה. בערך קיצוניות של מספר משתנים:

נמצא נקודה נייחת שייךאזורים: (סמן את זה בציור), כלומר עלינו לחשב את הערך של הפונקציה בנקודה נתונה:

- כמו בכתבה הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה בקטע, אדגיש תוצאות חשובות בהדגשה. זה נוח לעקוב אחריהם במחברת עם עיפרון.

שימו לב לאושר השני שלנו – אין טעם לבדוק תנאי מספיק לקיצוניות. למה? גם אם בשלב מסוים הפונקציה מגיעה, למשל, מינימום מקומי, אז זה לא אומר שהערך המתקבל יהיה מִינִימָלִיבכל האזור (ראה תחילת השיעור על קיצוניות ללא תנאי) .

מה לעשות אם הנקודה הנייחת לא שייכת לאזור? כמעט כלום! יש לציין כי ולעבור לנקודה הבאה.

II) אנו חוקרים את גבול האזור.

מכיוון שהגבול מורכב מצלעות של משולש, נוח לחלק את המחקר ל-3 תת-סעיפים. אבל עדיף לא לעשות את זה בכל מקרה. מנקודת המבט שלי, קודם כל יתרון יותר להתייחס לקטעים המקבילים לצירי הקואורדינטות, וקודם כל, את אלו השוכבים על הצירים עצמם. כדי לתפוס את כל הרצף וההיגיון של הפעולות, נסה ללמוד את הסוף "בנשימה אחת":

1) נעסוק בצד התחתון של המשולש. כדי לעשות זאת, החלף ישירות לתוך הפונקציה:

לחלופין, אתה יכול לעשות זאת כך:

מבחינה גיאומטרית, זה אומר מישור הקואורדינטות (שניתן גם על ידי המשוואה)"גולף" מתוך משטחיםפרבולה "מרחבית", שהחלק העליון שלה מגיע מיד לחשוד. בוא נגלה איפה היא ממוקמת:

– הערך המתקבל "נפל" לתוך השטח, ויתכן בהחלט כי בשלב זה (מסומן על הציור)הפונקציה מגיעה לערך הגדול ביותר או הקטן ביותר בכל האזור. כך או אחרת, בואו נעשה את החישובים:

שאר ה"מועמדים" הם, כמובן, הקצוות של הקטע. בואו נחשב את ערכי הפונקציה בנקודות (מסומן על הציור):

כאן, אגב, אתה יכול לבצע מיני צ'ק בעל פה באמצעות גרסה "מופשטת":

2) למחקר צד ימיןנחליף את המשולש בפונקציה ו"מסדרים דברים":

כאן נבצע מיד בדיקה גסה, "נצלצל" לקצה שכבר מעובד של הקטע:
, גדול.

המצב הגיאומטרי קשור לנקודה הקודמת:

- הערך המתקבל גם "נכנס לתחום האינטרסים שלנו", כלומר עלינו לחשב למה שווה הפונקציה בנקודה המופיעה:

הבה נבחן את הקצה השני של הקטע:

שימוש בפונקציה , בואו נבצע בדיקת בקרה:

3) כנראה שכולם יכולים לנחש איך לחקור את הצד הנותר. אנו מחליפים אותו בפונקציה ומבצעים הפשטות:

קצוות הקטע כבר נחקרו, אבל בטיוטה אנחנו עדיין בודקים אם מצאנו את הפונקציה בצורה נכונה :
- עלה בקנה אחד עם התוצאה של סעיף משנה 1;
– עלה בקנה אחד עם התוצאה של סעיף משנה 2.

נותר לברר אם יש משהו מעניין בקטע:

- יש! החלפת הקו הישר במשוואה, נקבל את האורדינאטה של ​​"המעניינות" הזו:

אנו מסמנים נקודה על הציור ומוצאים את הערך המתאים של הפונקציה:

בואו נבדוק את החישובים באמצעות גרסת "תקציב". :
, להזמין.

והשלב האחרון: אנחנו מסתכלים בקפידה על כל המספרים ה"מודגשים", אני ממליץ למתחילים אפילו לעשות רשימה בודדת:

מתוכם אנו בוחרים את הערכים הגדולים והקטנים ביותר. תשובהנרשום בסגנון בעיית המציאה הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה בקטע:

ליתר בטחון, אני אגיב שוב משמעות גיאומטריתתוֹצָאָה:
- כאן נמצאת הנקודה הגבוהה ביותר של פני השטח באזור;
– הנה הנקודה הנמוכה ביותר של פני השטח באזור.

במשימה המנותחת זיהינו 7 נקודות "חשודות", אך מספרן משתנה ממשימה למשימה. עבור אזור משולש, המינימום "סט מחקר" מורכב שלוש נקודות. זה קורה כאשר הפונקציה, למשל, מציינת מָטוֹס– ברור לחלוטין שאין נקודות נייחות, והפונקציה יכולה להגיע לערכים המרביים/הקטנים ביותר שלה רק בקודקודי המשולש. אבל יש רק דוגמה אחת או שתיים דומות - בדרך כלל אתה צריך להתמודד עם כמה משטח מסדר 2.

אם תנסה לפתור קצת משימות כאלה, אז המשולשים יכולים לסובב לך את הראש, ובגלל זה הכנתי לך דוגמאות חריגותכדי שזה יהפוך למרובע :))

דוגמה 2

מצא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה באזור סגור תחום בקווים

דוגמה 3

מצא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה באזור סגור מוגבל.

תשומת - לב מיוחדתשימו לב לסדר ולטכניקה הרציונלית של לימוד גבול האזור, כמו גם לשרשרת בדיקות הביניים, שימנעו כמעט לחלוטין טעויות חישוביות. באופן כללי, אתה יכול לפתור את זה איך שאתה רוצה, אבל בבעיות מסוימות, למשל, בדוגמה 2, יש כל סיכוי לעשות את החיים שלך הרבה יותר קשים. מדגם משוערסיום מטלות בסוף השיעור.

בואו נעשה שיטתיות של אלגוריתם הפתרון, אחרת, עם חריצותי כעכביש, הוא איכשהו הלך לאיבוד בשרשור הארוך של הערות של הדוגמה הראשונה:

– בשלב הראשון בונים שטח, רצוי להצללו ולהדגיש את הגבול בקו מודגש. במהלך הפתרון יופיעו נקודות שצריך לסמן על הציור.

- מצא נקודות נייחות וחשב את ערכי הפונקציה רק באלו מהםששייכים לאזור. אנו מדגישים את הערכים המתקבלים בטקסט (לדוגמה, הקיפו אותם בעיפרון). אם נקודה נייחת אינה שייכת לאזור, אנו מסמנים עובדה זו באמצעות סמל או מילולית. אם אין נקודות נייחות בכלל, אז נסיק מסקנה כתובה שהן נעדרות. בכל מקרה, לא ניתן לדלג על נקודה זו!

- אנחנו בוחנים את הגבול של האזור. ראשית, כדאי להבין את הקווים הישרים המקבילים לצירי הקואורדינטות (אם יש כאלה בכלל). אנו גם מדגישים את ערכי הפונקציה המחושבים בנקודות "חשודות". הרבה נאמר למעלה על טכניקת הפתרון ומשהו אחר ייאמר להלן - קרא, קרא שוב, התעמק בזה!

- מתוך המספרים שנבחרו, בחר את הערכים הגדולים והקטנים ביותר ותן את התשובה. לפעמים קורה שפונקציה מגיעה לערכים כאלה בכמה נקודות בבת אחת - במקרה זה, כל הנקודות הללו צריכות לבוא לידי ביטוי בתשובה. תן, למשל, והתברר שזה הערך הקטן ביותר. ואז נכתוב את זה

הדוגמאות האחרונות מכסות רעיונות שימושיים נוספים שיועילו בפועל:

דוגמה 4

מצא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה באזור סגור .

שמרתי על הניסוח של המחבר, שבו השטח ניתן בצורת אי שוויון כפול. מצב זה יכול להיכתב על ידי מערכת מקבילה או בצורה מסורתית יותר עבור בעיה זו:

אני מזכיר לך שעם לֹא קָוִינתקלנו באי-שוויון, ואם אינכם מבינים את המשמעות הגיאומטרית של הסימון, נא לא להתעכב ולהבהיר את המצב כבר עכשיו;-)

פִּתָרוֹן, כמו תמיד, מתחיל בבניית אזור המייצג סוג של "סוליה":

הממ, לפעמים צריך ללעוס לא רק את הגרניט של המדע...

I) מצא נקודות נייחות:

המערכת היא חלום של אידיוט :)

נקודה נייחת שייכת לאזור, כלומר שוכנת על גבולו.

אז זה בסדר... השיעור עבר בסדר - זה מה שזה אומר לשתות את התה הנכון =)

II) אנו חוקרים את גבול האזור. בלי להכביר מילים, נתחיל עם ציר ה-x:

1) אם, אז

בואו נמצא היכן נמצא קודקוד הפרבולה:
- מעריך רגעים כאלה - "פגעת" עד לנקודה שממנה הכל כבר ברור. אבל אנחנו עדיין לא שוכחים לבדוק:

בוא נחשב את ערכי הפונקציה בקצות הקטע:

2) נעסוק בחלק התחתון של ה"סוליה" "בישיבה אחת" - ללא כל קומפלקסים אנו מחליפים אותו בפונקציה, ונתעניין רק בקטע:

לִשְׁלוֹט:

זה כבר מביא קצת התרגשות לנהיגה המונוטונית לאורך המסלול המפותל. בואו למצוא נקודות קריטיות:

בואו נחליט משוואה ריבועית, האם אתה זוכר עוד משהו על זה? ...עם זאת, זכרו, כמובן, אחרת לא היית קורא שורות אלו =) אם בשתי הדוגמאות הקודמות חישובים ב עשרונים(וזה, אגב, נדיר), אז הרגילים מחכים לנו כאן שברים נפוצים. אנו מוצאים את שורשי ה"X" ומשתמשים במשוואה כדי לקבוע את הקואורדינטות המתאימות ל"משחק" של נקודות ה"מועמד":


בואו נחשב את ערכי הפונקציה בנקודות שנמצאו:

בדוק את הפונקציה בעצמך.

כעת אנו לומדים בקפידה את הגביעים שזכו ורושמים תשובה:

אלו "מועמדים", אלו "מועמדים"!

כדי לפתור את זה בעצמך:

דוגמה 5

מצא את הקטן ביותר ו הערך הגבוה ביותרפונקציות באזור סגור

ערך עם פלטה מסולסלת כתוב כך: "קבוצה של נקודות כזו."

לפעמים בדוגמאות כאלה הם משתמשים שיטת מכפיל לגראנז', אבל לא סביר שיהיה צורך אמיתי להשתמש בו. כך, למשל, אם ניתנת פונקציה עם אותו שטח "דה", אז לאחר ההחלפה לתוכה - עם הנגזרת מאין קשיים; יתר על כן, הכל מצויר ב"שורה אחת" (עם סימנים) ללא צורך לשקול את חצאי העיגולים העליונים והתחתונים בנפרד. אבל, כמובן, יש גם מקרים מורכבים יותר, שבהם ללא פונקציית לגרנז' (כאשר, למשל, היא אותה משוואה של מעגל)קשה להסתדר - כמו שקשה להסתדר בלי מנוחה טובה!

תהנו לכולם ונתראה בקרוב בעונה הבאה!

פתרונות ותשובות:

דוגמה 2: פִּתָרוֹן: בואו נתאר את האזור בציור:

מנקודת מבט מעשית, העניין הגדול ביותר הוא בשימוש בנגזרת כדי למצוא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה. למה זה קשור? מקסום רווחים, מזעור עלויות, קביעת עומס אופטימלי של ציוד... במילים אחרות, בתחומי חיים רבים עלינו לפתור בעיות של ייעול כמה פרמטרים. ואלה המשימות של מציאת הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה.

יש לציין שהערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה בדרך כלל מחפשים במרווח X מסוים, שהוא או כל התחום של הפונקציה או חלק מתחום ההגדרה. המרווח X עצמו יכול להיות קטע, מרווח פתוח , מרווח אינסופי.

במאמר זה נדבר על מציאת הערכים הגדולים והקטנים ביותר במפורש פונקציה נתונהמשתנה אחד y=f(x) .

ניווט בדף.

הערך הגדול והקטן ביותר של פונקציה - הגדרות, איורים.

בואו נסתכל בקצרה על ההגדרות העיקריות.

הערך הגדול ביותר של הפונקציה זה עבור כל אחד אי השוויון נכון.

הערך הקטן ביותר של הפונקציה y=f(x) במרווח X נקרא ערך כזה זה עבור כל אחד אי השוויון נכון.

הגדרות אלו אינטואיטיביות: הערך הגדול ביותר (הקטן ביותר) של פונקציה הוא הערך המקובל הגדול ביותר (הקטן ביותר) במרווח הנדון באבססיס.

נקודות נייחות– אלו הם הערכים של הארגומנט שבו הנגזרת של הפונקציה הופכת לאפס.

מדוע אנו זקוקים לנקודות נייחות כאשר אנו מוצאים את הערכים הגדולים והקטנים ביותר? התשובה לשאלה זו ניתנת על ידי משפט פרמה. ממשפט זה עולה שאם לפונקציה הניתנת להבדלה יש קיצון (מינימום מקומי או מקסימום מקומי) בשלב מסוים, אזי נקודה זו היא נייחת. לפיכך, הפונקציה לוקחת לעתים קרובות את הערך הגדול ביותר (הקטן ביותר) שלה במרווח X באחת הנקודות הנייחות מהמרווח הזה.

כמו כן, פונקציה יכולה לעתים קרובות לקבל את הערכים הגדולים והקטנים ביותר שלה בנקודות שבהן הנגזרת הראשונה של פונקציה זו אינה קיימת, והפונקציה עצמה מוגדרת.

הבה נענה מיד על אחת השאלות הנפוצות ביותר בנושא זה: "האם תמיד ניתן לקבוע את הערך הגדול (הקטן) ביותר של פונקציה"? לא לא תמיד. לפעמים הגבולות של המרווח X חופפים לגבולות תחום ההגדרה של הפונקציה, או שהמרווח X הוא אינסופי. וכמה פונקציות באינסוף ובגבולות של תחום ההגדרה יכולות לקבל ערכים גדולים לאין שיעור וגם ערכים קטנים לאין שיעור. במקרים אלה, לא ניתן לומר דבר על הערך הגדול והקטן ביותר של הפונקציה.

לצורך הבהירות, ניתן איור גרפי. תסתכל בתמונות והרבה יתבהר.

על הקטע

באיור הראשון, הפונקציה לוקחת את הערכים הגדולים ביותר (מקסימום y) והקטנים ביותר (מינימום y) בנקודות נייחות הממוקמות בתוך הקטע [-6;6].

שקול את המקרה המתואר באיור השני. בואו נשנה את הקטע ל- . בדוגמה זו, הערך הקטן ביותר של הפונקציה מושג בנקודה נייחת, והגדול ביותר בנקודה שבה האבשיסה תואמת ל גבול ימיןהַפסָקָה.

באיור 3, נקודות הגבול של הקטע [-3;2] הן האבססיס של הנקודות המקבילות לערך הגדול והקטן ביותר של הפונקציה.

במרווח פתוח

באיור הרביעי, הפונקציה לוקחת את הערכים הגדולים ביותר (מקסימום y) והקטנים ביותר (מינימום y) בנקודות נייחות הממוקמות בתוך המרווח הפתוח (-6;6).

על המרווח, לא ניתן להסיק מסקנות לגבי הערך הגדול ביותר.

באינסוף

בדוגמה המוצגת באיור השביעי, הפונקציה לוקחת את הערך הגדול ביותר (מקסימום y) בנקודה נייחת עם abscissa x=1, והערך הקטן ביותר (min y) מושג על הגבול הימני של המרווח. במינוס אינסוף, ערכי הפונקציה מתקרבים באופן אסימפטוטי ל-y=3.

במהלך המרווח, הפונקציה לא מגיעה לא לערך הקטן ביותר ולא לערך הגדול ביותר. כאשר x=2 מתקרב מימין, ערכי הפונקציה נוטים למינוס אינסוף (הקו הישר x=2 הוא אסימפטוטה אנכית), וכאשר האבשיסה נוטה לפלוס אינסוף, ערכי הפונקציה מתקרבים באופן אסימפטוטי ל-y=3. איור גרפי של דוגמה זו מוצג באיור 8.

אלגוריתם למציאת הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה רציפה בקטע.

הבה נכתוב אלגוריתם המאפשר לנו למצוא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה בקטע.

1. אנו מוצאים את תחום ההגדרה של הפונקציה ובודקים האם היא מכילה את כל הקטע.
2. אנו מוצאים את כל הנקודות שבהן הנגזרת הראשונה אינה קיימת ושנכללות בקטע (בדרך כלל נקודות כאלה נמצאות בפונקציות עם ארגומנט מתחת לסימן המודולוס וב פונקציות כוחעם מעריך שברי-רציונלי). אם אין נקודות כאלה, עברו לנקודה הבאה.
3. אנו קובעים את כל הנקודות הנייחות הנופלות בתוך הקטע. לשם כך, נשווה אותו לאפס, פותרים את המשוואה המתקבלת ובוחרים שורשים מתאימים. אם אין נקודות נייחות או שאף אחת מהן לא נופלת לתוך הקטע, אז עברו לנקודה הבאה.
4. אנו מחשבים את ערכי הפונקציה בנקודות נייחות נבחרות (אם יש), בנקודות שבהן הנגזרת הראשונה לא קיימת (אם בכלל), וכן ב-x=a ו-x=b.
5. מתוך הערכים המתקבלים של הפונקציה, אנו בוחרים את הגדול והקטן ביותר - הם יהיו הערכים הגדולים והקטנים ביותר הנדרשים של הפונקציה, בהתאמה.

בואו ננתח את האלגוריתם לפתרון דוגמה כדי למצוא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה בקטע.

דוגמא.

מצא את הערך הגדול והקטן ביותר של פונקציה

• על הקטע;
• על הקטע [-4;-1] .

פִּתָרוֹן.

תחום ההגדרה של פונקציה הוא כל קבוצת המספרים הממשיים, למעט אפס, כלומר. שני המקטעים נכנסים לתחום ההגדרה.

מצא את הנגזרת של הפונקציה ביחס ל:

ברור שהנגזרת של הפונקציה קיימת בכל הנקודות של המקטעים ו-[-4;-1].

אנו קובעים נקודות נייחות מהמשוואה. השורש האמיתי היחיד הוא x=2. נקודה נייחת זו נופלת לקטע הראשון.

במקרה הראשון, אנו מחשבים את ערכי הפונקציה בקצות הקטע ובנקודה הנייחת, כלומר עבור x=1, x=2 ו-x=4:

לכן, הערך הגדול ביותר של הפונקציה מושגת ב-x=1, והערך הקטן ביותר – ב-x=2.

במקרה השני, אנו מחשבים את ערכי הפונקציה רק ​​בקצות הקטע [-4;-1] (מכיוון שהוא אינו מכיל נקודה נייחת אחת):