מידת הזווית בין מישורים היא הזווית החדה שנוצרת על ידי שני קווים ישרים השוכנים במישורים הללו ומצוירים בניצב לקו החיתוך שלהם.

אלגוריתם בנייה

1. מנקודה שרירותית K, נמשכים אנכים לכל אחד מהמישורים הנתונים.
2. על ידי סיבוב סביב קו המפלס, זווית γ° עם הקודקוד בנקודה K נקבעת.
3. חשב את הזווית בין המישורים ϕ° = 180 – γ°, בתנאי ש- γ° > 90°. אם γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

האיור מציג את המקרה כאשר המישורים α ו-β ניתנים על ידי עקבות. כל הקונסטרוקציות הדרושות בוצעו על פי האלגוריתם ומתוארות להלן.

פִּתָרוֹן

1. במקום שרירותי בשרטוט, מסמנים את הנקודה K. ממנה מורידים אנכים m ו-n, בהתאמה, למישורים α ו-β. כיוון ההקרנות m ו-n הוא כדלקמן: m""⊥f 0α , m"⊥h 0α , n""⊥f 0β , n"⊥h 0β .
2. אנו קובעים את הגודל האמיתי ∠γ° בין הקווים m ו-n. לשם כך, מסביב ל-f הקדמי אנו מסובבים את מישור הזווית עם קודקוד K למיקום מקביל למישור ההקרנה הקדמי. רדיוס הסיבוב R של נקודה K שווה לגודל התחתון של משולש ישר זווית O""K""K 0, שצלעתו היא K""K 0 = y K – y O .
3. הזווית הרצויה היא ϕ° = ∠γ°, שכן ∠γ° היא חדה.

האיור שלהלן מציג את הפתרון לבעיה שבה נדרש למצוא את הזווית γ° בין המישורים α ו-β, הניתנת על ידי קווים מקבילים וחותכים, בהתאמה.

פִּתָרוֹן

1. אנו קובעים את כיוון ההקרנות של האופקיים h 1, h 2 והחזיתות f 1, f 2 השייכות למישורים α ו- β, בסדר המצוין על ידי החצים. מנקודה שרירותית K על הריבוע. α ו-β נשמיט את הניצבים e ו-k. במקרה זה, e""⊥f"" 1 , e"⊥h" 1 ו-k""⊥f"" 2 , k"⊥h" 2 .
2. אנו מגדירים ∠γ° בין הקווים e ו-k. לשם כך, צייר קו אופקי h 3 ומסביבו נסובב את הנקודה K למיקום K 1, שבו △CKD יהפוך מקביל למישור האופקי וישתקף עליו בגודל טבעי - △C"K" 1 D ". ההקרנה של מרכז הסיבוב O" ממוקמת על המצויר ל-h" 3 בניצב ל-K"O. הרדיוס R נקבע מהמשולש הישר O"K"K 0, שצלעו K"K 0 = Z O – Z K.
3. הערך של הערך הרצוי הוא ∠ϕ° = ∠γ°, מכיוון שהזווית γ° חדה.

כאשר פותרים בעיות גיאומטריות במרחב, אנו נתקלים לעתים קרובות באלה שבהן יש צורך לחשב את הזוויות בין עצמים מרחביים שונים. במאמר זה נשקול את נושא מציאת זוויות בין מישורים ובינם לבין קו ישר.

קו ישר בחלל

זה ידוע שבאופן מוחלט כל קו ישר במישור יכול להיות מוגדר על ידי השוויון הבא:

כאן a ו-b הם כמה מספרים. אם נדמיין קו ישר במרחב באמצעות אותו ביטוי, נקבל מישור מקביל לציר z. ל הגדרה מתמטיתקו ישר מרחבי, נעשה שימוש בשיטת פתרון שונה מאשר במקרה הדו-ממדי. זה מורכב משימוש במושג "וקטור כיוון".

דוגמאות לפתרון בעיות בקביעת זווית החיתוך של מישורים

בידיעה כיצד למצוא את הזווית בין מישורים, נפתור את הבעיה הבאה. בהינתן שני מישורים, שלמשוואותיהם יש את הצורה:

3 * x + 4 * y - z + 3 = 0;

X - 2 * y + 5 * z +1 = 0

מהי הזווית בין המישורים?

כדי לענות על שאלת הבעיה, זכור שהמקדמים הקשורים למשתנים במשוואת המישור הכללית הם הקואורדינטות של וקטור המדריך. עבור המטוסים האלה יש לנו את הקואורדינטות הבאות של הנורמליות שלהם:

n 1 ¯(3; 4; -1);

n 2 ¯(-1; -2; 5)

כעת אנו מוצאים את המכפלה הסקלרית של הוקטורים הללו והמודולים שלהם, יש לנו:

(n 1 ¯ * n 2 ¯) = -3 -8 -5 = -16;

|n 1 ¯| = √(9 + 16 + 1) = √26;

|n 2 ¯| = √(1 + 4 + 25) = √30

כעת אתה יכול להחליף את המספרים שנמצאו בנוסחה שניתנה בפסקה הקודמת. אנחנו מקבלים:

α = arccos(|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55.05 o

הערך המתקבל מתאים לזווית החיתוך החדה של המישורים המצוינים בהצהרת הבעיה.

עכשיו בואו נסתכל על דוגמה נוספת. שני מטוסים ניתנים:

האם הם מצטלבים? בואו נרשום את ערכי הקואורדינטות של וקטורי הכיוון שלהם, נחשב את התוצר הסקלרי והמודולים שלהם:

n 1 ¯(1; 1; 0);

n 2 ¯(3; 3; 0);

(n 1 ¯ * n 2 ¯) = 3 + 3 + 0 = 6;

|n 1 ¯| = √2;

|n 2 ¯| = √18

אז זווית החיתוך היא:

α = arccos(|6| / (√2 * √18) =0 o .

זווית זו מצביעה על כך שהמישורים אינם מצטלבים, אלא מקבילים. קל לבדוק את העובדה שהם אינם חופפים זה לזה. לשם כך, קח נקודה שרירותית השייכת לנקודה הראשונה שבהן, למשל, P(0; 3; 2). החלפת הקואורדינטות שלו במשוואה השנייה, נקבל:

3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0

כלומר, נקודה P שייכת רק למישור הראשון.

לפיכך, שני מישורים מקבילים כאשר הנורמליות שלהם כך.

שטוח וישר

במקרה של תמורה מיקום יחסייש מעט יותר אפשרויות בין מישור לקו ישר מאשר עם שני מישורים. עובדה זו נובעת מכך שקו ישר הוא עצם חד-ממדי. קו ישר ומישור יכולים להיות:

• מקבילים הדדיים, במקרה זה המטוס אינו חוצה את הקו;
• זה האחרון עשוי להשתייך למטוס, בעוד שהוא גם יהיה מקביל לו;
• שני העצמים יכולים להצטלב בזווית כלשהי.

הבה נבחן תחילה את המקרה האחרון, שכן הוא מצריך הצגת מושג זווית ההצטלבות.

קו ישר ומישור, ערך הזווית ביניהם

אם מישור חוצה קו ישר, אז הוא נקרא נוטה ביחס אליו. נקודת החיתוך נקראת בדרך כלל בסיס הקו המשופע. כדי לקבוע את הזווית בין העצמים הגיאומטריים הללו, יש צורך להוריד מאונך ישר מכל נקודה אל המישור. ואז נקודת החיתוך של הניצב עם המישור והחתך של הקו המשופע איתו יוצרים קו ישר. זה האחרון נקרא הקרנה של הקו המקורי על המטוס הנדון. שארפ וההקרנה שלו היא הרצויה.

ההגדרה המבלבלת במקצת של הזווית בין מישור למישור משופע תובהר באיור שלהלן.

כאן זווית ABO היא הזווית בין הישר AB למישור a.

כדי לרשום את הנוסחה עבורו, שקול דוגמה. שיהיה קו ישר ומישור, המתוארים במשוואות:

(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + λ * (a; b; c);

A * x + B * x + C * x + D = 0

אתה יכול בקלות לחשב את הזווית הרצויה עבור עצמים אלה אם אתה מוצא את המכפלה הסקלרית בין וקטורי הכיוון של הקו הישר והמישור. יש להפחית את הזווית החדה המתקבלת מ-90 o, ואז היא מתקבלת בין הקו הישר למישור.

האיור שלמעלה מדגים את האלגוריתם המתואר למציאת הזווית המדוברת. כאן β היא הזווית בין הנורמלי לישר, ו-α היא בין הישר להשלכתו על המישור. ניתן לראות שהסכום שלהם הוא 90 o.

למעלה הוצגה נוסחה שעונה על השאלה איך למצוא זווית בין מישורים. כעת אנו נותנים את הביטוי המתאים למקרה של קו ישר ומישור:

α = arcsin(|a * A + b * B + c * C| / (√(a 2 + b 2 + c 2) * √(A 2 + B 2 + C 2)))

המודול בנוסחה מאפשר לחשב זוויות חדות בלבד. הפונקציה arcsine הופיעה במקום arccosine הודות לשימוש בנוסחת ההפחתה המתאימה בין פונקציות טריגונומטריות(cos(β) = sin(90 o-β) = sin(α)).

בעיה: מטוס חוצה קו

כעת נראה כיצד לעבוד עם הנוסחה הנתונה. בואו נפתור את הבעיה: עלינו לחשב את הזווית בין ציר ה-y למישור הנתונה במשוואה:

מישור זה מוצג באיור.

ניתן לראות שהוא חותך את צירי y ו-z בנקודות (0; -12; 0) ו-(0; 0; 12), בהתאמה, ומקביל לציר x.

לוקטור הכיוון של הישר y יש קואורדינטות (0; 1; 0). וקטור מאונך מטוס נתון, מאופיין בקואורדינטות (0; 1; -1). אנו מיישמים את הנוסחה לזווית החיתוך של קו ישר ומישור, נקבל:

α = arcsin(|1| / (√1 * √2)) = arcsin(1 / √2) = 45 o

בעיה: קו מקביל למישור

כעת נפתור בעיה דומה לקודמתה, שהשאלה עליה נשאלת אחרת. המשוואות של מישור וקו ידועות:

x + y - z - 3 = 0;

(x; y; z) = (1; 0; 0) + λ * (0; 2; 2)

יש צורך לברר אם העצמים הגיאומטריים הללו מקבילים זה לזה.

יש לנו שני וקטורים: קו הכיוון שווה ל- (0; 2; 2) ומישור הכיוון שווה ל- (1; 1; -1). אנו מוצאים את המוצר הסקלרי שלהם:

0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0

האפס המתקבל מציין שהזווית בין הוקטורים הללו היא 90 o, מה שמוכיח את ההקבלה של הישר והמישור.

עכשיו בואו נבדוק אם הקו הזה הוא רק מקביל או גם נמצא במישור. לשם כך, בחרו נקודה שרירותית על קו ובדקו האם היא שייכת למישור. לדוגמה, ניקח את λ = 0, אז הנקודה P(1; 0; 0) שייכת לקו. נחליף את המישור P במשוואה:

נקודה P אינה שייכת למישור, ולכן כל הקו אינו מונח בה.

היכן חשוב לדעת את הזוויות בין העצמים הגיאומטריים הנחשבים?

הנוסחאות והדוגמאות שלעיל לפתרון בעיות הן לא רק בעלות עניין תיאורטי. הם משמשים לעתים קרובות כדי לקבוע חשוב כמויות פיזיותדמויות נפח אמיתיות, כגון מנסרות או פירמידות. חשוב להיות מסוגל לקבוע את הזווית בין מישורים בעת חישוב נפחי הדמויות ושטחי המשטחים שלהן. יתר על כן, אם במקרה של פריזמה ישרה ניתן לא להשתמש בנוסחאות אלו כדי לקבוע את הכמויות המצוינות, אז עבור כל סוג של פירמידה השימוש בהן מתברר כבלתי נמנע.

להלן נשקול דוגמה לשימוש בתיאוריה המוצהרת לקביעת פינותיה של פירמידה בעלת בסיס מרובע.

פירמידה ופינותיה

האיור שלהלן מציג פירמידה שבבסיסה נמצא ריבוע עם צלע a. גובה הדמות הוא h. אתה צריך למצוא שתי זוויות:

• בין משטח הצד לבסיס;
• בין הצלע הצדדית לבסיס.

כדי לפתור את הבעיה, תחילה עליך להציג מערכת קואורדינטות ולקבוע את הפרמטרים של הקודקודים המתאימים. האיור מראה שהמקור חופף לנקודה במרכז הבסיס הריבועי. במקרה זה, מישור הבסיס מתואר על ידי המשוואה:

כלומר, עבור כל x ו-y, הערך של הקואורדינטה השלישית הוא תמיד אפס. המישור הרוחבי ABC חוצה את ציר z בנקודה B(0; 0; h), ואת ציר y בנקודה עם קואורדינטות (0; a/2; 0). הוא אינו חוצה את ציר ה-x. משמעות הדבר היא שניתן לכתוב את המשוואה של מישור ABC כך:

y/(a/2) + z/h = 1 או

2 * h * y + a * z - a * h = 0

וקטור AB¯ הוא קצה צדדי. הקואורדינטות של ההתחלה והסוף שלו שוות: A(a/2; a/2; 0) ו-B(0; 0; h). ואז הקואורדינטות של הווקטור עצמו:

מצאנו את כל המשוואות והווקטורים הדרושים. כעת נותר להשתמש בנוסחאות הנחשבות.

תחילה נחשב את הזווית בפירמידה בין מישורי הבסיס לצלע. הוקטורים הנורמליים המתאימים שווים: n 1 ¯(0; 0; 1) ו-n 2 ¯(0; 2*h; a). ואז הזווית תהיה:

α = arccos(a / √(4 * h 2 + a 2))

הזווית בין המישור לקצה AB תהיה שווה ל:

β = arcsin(h / √(a 2 / 2 + h 2))

נותר להחליף את הערכים הספציפיים בצד של הבסיס a ואת הגובה h כדי לקבל את הזוויות הנדרשות.

שימוש בשיטת הקואורדינטות בעת חישוב זווית

בין מטוסים

רוב שיטה כלליתלמצוא את הזוויתבין מישורים - שיטת הקואורדינטות (לעיתים באמצעות וקטורים). ניתן להשתמש בו כאשר כל האחרים נוסו. אבל יש מצבים שבהם יש טעם לשיטת הקואורדינטות ליישם מיד, כלומר כאשר מערכת הקואורדינטות קשורה באופן טבעי לפוליהדרון שצוין בהצהרת הבעיה, כלומר. שלושה קווים בניצב זוג נראים בבירור, שעליהם ניתן לציין צירי קואורדינטות. פוליהדרות כאלה הן מקבילית מלבני ופירמידה מרובעת רגילה. במקרה הראשון, ניתן לציין את מערכת הקואורדינטות על ידי קצוות המשתרעים מקודקוד אחד (איור 1), במקרה השני - לפי הגובה והאלכסונים של הבסיס (איור 2).

היישום של שיטת הקואורדינטות הוא כדלקמן.

מוצגת מערכת קואורדינטות מלבנית במרחב. רצוי להציג אותו בצורה "טבעית" - "לקשר" אותו לשלישיית קווים מאונכים בזוגיות שיש להם נקודה משותפת.

לכל אחד מהמישורים, את הזווית שביניהם מחפשים משוואה. הדרך הקלה ביותר ליצור משוואה כזו היא לדעת את הקואורדינטות של שלוש נקודות במישור שאינן שוכנות על אותו קו.

משוואת המטוס ב השקפה כלליתנראה כמו Axe + By + Cz + D = 0.

מקדמים A,B, ה-Cs במשוואה זו הן הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי של המישור (הווקטור המאונך למישור). לאחר מכן אנו קובעים את האורכים והמכפלה הסקלרית של וקטורים נורמליים למישורים, שביניהם מחפשים את הזווית. אם הקואורדינטות של הוקטורים הללו(A 1, B 1; C 1) ו-(A 2; B 2; C 2 ), ואז את הזווית הרצויהמחושב לפי הנוסחה

תגובה. יש לזכור שהזווית בין וקטורים (בניגוד לזווית בין מישורים) יכולה להיות קהה, וכדי למנוע אי ודאות אפשרית, המונה בצד ימין של הנוסחה מכיל מודולוס.

פתור בעיה זו באמצעות שיטת הקואורדינטות.

בעיה 1. נתונה קובייה ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . נקודה K היא אמצע קצה AD, נקודה L היא אמצע קצה CD. מהי הזווית בין מישורים A? 1 KL ו-A 1 AD?

פִּתָרוֹן . תן למקור מערכת הקואורדינטות להיות בנקודהא, וצירי הקואורדינטות הולכים לאורך הקרניים AD, AB, AA 1 (איור 3). בואו ניקח את קצה הקוביה להיות שווה ל-2 (נוח לחלק אותו לשניים). ואז הקואורדינטות של הנקודות A 1, K, L הם כדלקמן: A 1 (0; 0; 2), K(1; 0; 0), L(2; 1; 0).

אורז. 3

נרשום את משוואת המישור A 1 K L בכללי. ואז נחליף את הקואורדינטות של הנקודות הנבחרות של המישור הזה לתוכו. נקבל מערכת של שלוש משוואות עם ארבעה לא ידועים:

בוא נבטא את המקדמיםא', ב', ג' עד ד' ואנו מגיעים למשוואה

חלוקת שני החלקים ל D (למה D = 0?) ולאחר מכן כפול ב-2, נקבל את משוואת המישור A 1 KL: 2x - 2 y + z - 2 = 0. אז לוקטור הנורמלי למישור הזה יש קואורדינטות (2: -2; 1). משוואת מישור AD 1 הוא: y=0, ואת הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי אליו, למשל, (0; 2: 0). על פי הנוסחה לעיל עבור הקוסינוס של הזווית בין מישורים, אנו מקבלים:

קורס הווידאו "קבל א'" כולל את כל הנושאים הדרושים להצלחה לעבור את מבחן המדינה המאוחדתבמתמטיקה עבור 60-65 נקודות. מלא את כל המשימות 1-13 של בחינת המדינה המאוחדת בפרופיל במתמטיקה. מתאים גם למעבר בבחינת המדינה המאוחדת הבסיסית במתמטיקה. אם אתה רוצה לעבור את מבחן המדינה המאוחדת עם 90-100 נקודות, אתה צריך לפתור את חלק 1 תוך 30 דקות וללא טעויות!

קורס הכנה לבחינת המדינה המאוחדת לכיתות י'-י"א וכן למורים. כל מה שאתה צריך כדי לפתור את חלק 1 של בחינת המדינה המאוחדת במתמטיקה (12 הבעיות הראשונות) ואת בעיה 13 (טריגונומטריה). וזה יותר מ-70 נקודות בבחינת המדינה המאוחדת, וגם סטודנט של 100 נקודות וגם סטודנט למדעי הרוח לא יכולים בלעדיהם.

כל התיאוריה הדרושה. דרכים מהירותפתרונות, מלכודות וסודות של בחינת המדינה המאוחדת. כל המשימות הנוכחיות של חלק 1 מבנק המשימות של FIPI נותחו. הקורס עומד במלואו בדרישות של בחינת המדינה המאוחדת 2018.

הקורס מכיל 5 נושאים גדולים, 2.5 שעות כל אחד. כל נושא ניתן מאפס, פשוט וברור.

מאות משימות בחינות המדינה המאוחדת. בעיות מילים ותורת ההסתברות. אלגוריתמים פשוטים וקלים לזיכרון לפתרון בעיות. גֵאוֹמֶטרִיָה. תיאוריה, חומר עזר, ניתוח של כל סוגי משימות בחינות המדינה המאוחדת. סטריאומטריה. פתרונות מסובכים, דפי רמאות שימושיים, פיתוח דמיון מרחבי. טריגונומטריה מאפס לבעיה 13. הבנה במקום לדחוס. הסבר ויזואלי מושגים מורכבים. אַלגֶבּרָה. שורשים, חזקות ולוגריתמים, פונקציה ונגזרת. בסיס לפתרון בעיות מורכבות של חלק 2 של בחינת המדינה המאוחדת.

סוג המשרה: 14
נושא: זווית בין מישורים

מַצָב

בהינתן פריזמה רגילה ABCDA_1B_1C_1D_1, M ו-N הם נקודות האמצע של הקצוות AB ו-BC, בהתאמה, נקודה K היא נקודת האמצע של MN.

א)הוכח שהקווים KD_1 ו-MN מאונכים.

ב)מצא את הזווית בין המישורים MND_1 ו-ABC if AB=8, AA_1=6\sqrt 2.

פִּתָרוֹן

א)ב-\triangle DCN ו-\triangle MAD יש לנו: \angle C=\angle A=90^(\circ), CN=AM=\frac12AB, CD=DA.

מכאן \triangle DCN=\triangle MAD על שתי רגליים. לאחר מכן MD=DN, \משולש DMNשְׁוֵה שׁוֹקַיִם. זה אומר שהחציון DK הוא גם הגובה. לכן, DK \perp MN.

DD_1 \perp MND לפי תנאי, D_1K - אלכסוני, KD - השלכה, DK \perp MN.

מכאן, לפי המשפט על שלושה ניצבים MN\perp D_1K.

ב)כפי שהוכח ב א), DK \perp MN ו-MN \perp D_1K, אבל MN הוא קו החיתוך של המישורים MND_1 ו-ABC, כלומר \זווית DKD_1 היא הזווית הליניארית של הזווית הדו-הדרלית בין המישורים MND_1 ו-ABC.

ב\משולש DAM לפי משפט פיתגורס DM= \sqrt (DA^2+AM^2)= \sqrt (64+16)= 4\sqrt 5, MN= \sqrt (MB^2+BN^2)= \sqrt (16+16)= 4\sqrt 2.לכן, במשולש DKM לפי משפט פיתגורס DK= \sqrt (DM^2-KM^2)= \sqrt (80-8)= 6\sqrt 2.ואז ב-\triangle DKD_1, tg\angle DKD_1=\frac(DD_1)(DK)=\frac(6\sqrt 2)(6\sqrt 2)=1.

זה אומר \angle DKD_1=45^(\circ).

תשובה

45^(\circ).

סוג המשרה: 14
נושא: זווית בין מישורים

מַצָב

במנסרה מרובעת רגילה ABCDA_1B_1C_1D_1 צלעות הבסיס שוות ל-4, קצוות הצד שווים ל-6. נקודה M היא אמצע הקצה CC_1, נקודה N מסומנת בקצה BB_1, כך ש-BN:NB_1=1:2.

א)באיזה יחס מישור AMN מחלק את הקצה DD_1?

ב)מצא את הזווית בין המישורים ABC ו-AMN.

פִּתָרוֹן

א)מישור AMN חוצה את קצה DD_1 בנקודה K, שהיא הקודקוד הרביעי של החתך של פריזמה נתונה במישור זה. החתך הוא מקבילית ANMK מכיוון שהפנים הנגדיות של פריזמה נתונה מקבילים.

BN =\frac13BB_1=2.נצייר KL \מקביל CD, ואז משולשים ABN ו-KLM שווים, כלומר ML=BN=2, LC=MC-ML=3-2=1, KD=LC=1.לאחר מכן KD_1=6-1=5. כעת אתה יכול למצוא את היחס KD:KD_1=1:5.

ב) F היא נקודת החיתוך של קווים ישרים CD ו-KM. מטוסים ABC ו-AMN מצטלבים לאורך קו ישר AF. זווית \angle KHD =\alpha היא הזווית הליניארית של הזווית הדו-הדרלית (HD\perp AF, אז לפי המשפט, הפוך למשפטכשלושה ניצבים, KH \perp AF ), והוא זוית חדהמשולש ישר KHD, רגל KD=1.

משולשים FKD ו-FMC דומים (KD \parallel MC), לכן FD:FC=KD:MC, בפתרון הפרופורציה FD:(FD+4)=1:3, נקבל FD=2. IN משולש ישר זווית AFD (\angle D=90^(\circ)) עם רגליים 2 ו-4 חשב את התחתון AF=\sqrt (4^2+2^2)=2\sqrt 5, DH= AD\cdot FD:AF= \frac(4\cdot 2)(2\sqrt 5)= \frac4(\sqrt 5).

במשולש ישר זווית KHD אנו מוצאים tg \alpha =\frac(KD)(DH)=\frac(\sqrt 5)4,זה אומר הזווית הרצויה \alpha =arctg\frac(\sqrt 5)4.

תשובה

א) 1:5;

ב) arctg\frac(\sqrt 5)4.

מקור: "מתמטיקה. הכנה לבחינת המדינה המאוחדת 2017. רמת פרופיל." אד. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

סוג המשרה: 14
נושא: זווית בין מישורים

מַצָב

דנה צודקת פירמידה מרובעת KMNPQ עם צד בסיס MNPQ שווה ל-6 וצלע צד 3\sqrt (26).

א)בנה קטע מהפירמידה עם מישור העובר דרך הישר NF במקביל לאלכסון MP, אם נקודה F היא אמצע הקצה MK.

ב)מצא את הזווית בין מישור החתך למישור KMP.

פִּתָרוֹן

א)תן ל-KO להיות גובה הפירמידה, F נקודת האמצע של MK; FE \parallel MP (במישור PKM) . מאז FE הוא קו אמצעי\triangle PKM, אם כן FE=\frac(MP)2.

הבה נבנה קטע מהפירמידה עם מישור העובר דרך NF ומקביל ל-MP, כלומר המישור NFE. L היא נקודת החיתוך של EF ו-KO. מכיוון שנקודות L ו-N שייכות לקטע הרצוי ונמצאות במישור KQN, אזי נקודה T, המתקבלת כנקודת החיתוך של LN ו-KQ, היא גם נקודת החיתוך של הקטע הרצוי והקצה KQ. NETF הוא הסעיף הנדרש.

ב)מטוסים NFE ו-MPK מצטלבים לאורך הקו הישר FE. זה אומר שהזווית בין המישורים האלה שווה לזווית הליניארית של הזווית הדו-הדרלית OFEN, בואו נבנה אותה: LO\perpMP, MP\מקביל FE,לָכֵן, LO\perpFE;\triangle NFE הוא שווה שוקיים (NE=NF כחציוניים המתאימים של משולשים שווים KPN ו-KMN), NL הוא החציון שלו (EL=LF, שכן PO=OM, ו \משולש KEF \sim \משולש KPM). מכאן ש-NL \perp FE ו-\angle NLO הם הרצויים.

ON=\frac12QN=\frac12MN\sqrt 2=3\sqrt 2.

\triangle KON - מלבני.

רגל KO לפי משפט פיתגורס שווה ל KO=\sqrt (KN^2-ON^2).

OL= \frac12KO= \frac12\sqrt(KN^2-ON^2)= \frac12\sqrt (9\cdot 26-9\cdot 2)= \frac12\sqrt(9(26-2))= \frac32\sqrt (24)= \frac32\cdot 2\sqrt 6= 3\sqrt 6.

tg\angle NLO =\frac(ON)(OL)=\frac(3\sqrt 2)(3\sqrt 6)=\frac1(\sqrt 3),

\angle NLO=30^(\circ).

תשובה

מקור: "מתמטיקה. הכנה לבחינת המדינה המאוחדת 2017. רמת פרופיל." אד. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

סוג המשרה: 14
נושא: זווית בין מישורים

מַצָב

כל הצלעות נכונות מנסרה משולשת ABCA_(1)B_(1)C_(1) שווים ל-6 . מישור חיתוך נמשך דרך נקודות האמצע של הקצוות AC ו-BB_(1) והקודקוד A_(1).

א)הוכיחו שהקצה BC מחולק במישור החיתוך ביחס 2:1, בספירת הקודקוד C.

ב)מצא את הזווית בין מישור החיתוך למישור הבסיס.

פִּתָרוֹן

א)תנו ל-D ו-E להיות נקודות האמצע של הקצוות AC ו-BB_(1), בהתאמה.

במישור AA_(1)C_(1) נשרטט ישר A_(1)D, החותך את הישר CC_(1) בנקודה K, במישור BB_(1)C_(1) - ישר KE, שחותך את הקצה BC בנקודה F. חיבור נקודות A_(1) ו-E, השוכנות במישור AA_(1)B_(1), וכן D ו-F, השוכנות במישור ABC, נקבל סעיף A_(1)EFD.

\bigtriangleup AA_(1)D=\bigtriangleup CDKלאורך רגל AD=DC וזווית חדה.

\angle ADA_(1)=\angle CDK - כמו אנכיים, יוצא ש-AA_(1)=CK=6. \bigtriangleup CKF ו-\bigtriangleup BFE דומים בשתי זוויות \angle FBE=\angle KCF=90^\circ,\angle BFE=\angle CFK - כמו אנכיים.

\frac(CK)(BE)=\frac(6)(3)=2,כלומר, מקדם הדמיון הוא 2, כלומר CF:FB=2:1.

ב)בואו נבצע AH \perp DF. זווית בין מישור החתך למישור הבסיס שווה לזווית AHA_(1). אכן, הקטע AH \perp DF (DF הוא קו החיתוך של המישורים הללו) הוא ההשלכה של הקטע A_(1)H על מישור הבסיס, לכן, לפי משפט שלושת הניצבים, A_(1)H \perp DF. \angle AHA_(1)=arctg\frac(AA_(1))(AH). AA_(1)=6.

בוא נמצא את AH. \angle ADH =\angle FDC (זהה לאנכי).

לפי משפט הקוסינוס ב-\bigtriangleup DFC:

DF^2=FC^2+DC^2- 2FC \cdot DC \cdot \cos 60^\circ,

DF^2=4^2+3^2-2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac(1)(2)=13.

FC^2=DF^2+DC^2- 2DF\cdot DC\cdot\cos\angle FDC,

4^2=13+9-2\sqrt(13) \cdot 3 \cdot \cos \angle FDC,

\cos \angle FDC=\frac(6)(2\sqrt(13) \cdot 3)=\frac(1)(\sqrt(13)).

בעקבות הזהות הטריגונומטרית הבסיסית

\sin \angle FDC=\sqrt(1-\left (\frac(1)(\sqrt(13))\right)^2)=\frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13)) .מתוך \bigtriangleup ADH אנו מוצאים את AH :

AH=AD \cdot \sin \angle ADH, (\angle FDC=\angle ADH). AH=3 \cdot \frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13))=\frac(6\sqrt(13))(\sqrt(13)).

\angle AHA_(1)= arctg\frac(AA_(1))(AH)= arctg\frac(6 \cdot \sqrt(13))(6\sqrt(3))= arctg\frac(\sqrt(39))(3).

תשובה

arctg\frac(\sqrt(39))(3).

מקור: "מתמטיקה. הכנה לבחינת המדינה המאוחדת 2017. רמת פרופיל." אד. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

סוג המשרה: 14
נושא: זווית בין מישורים

מַצָב

הבסיס של פריזמה ישרה ABCDA_(1)B_(1)C_(1)D_(1) הוא מעוין עם זווית קהה B שווה ל-120^\circ. כל הקצוות של פריזמה זו שווים ל-10. נקודות P ו-K הן נקודות האמצע של הקצוות CC_(1) ו-CD, בהתאמה.

א)הוכח שהקווים PK ו-PB_(1) מאונכים.

ב)מצא את הזווית בין המישורים PKB_(1) ו-C_(1)B_(1)B.

פִּתָרוֹן

א)נשתמש בשיטת הקואורדינטות. בוא נמצא את המכפלה הסקלרית של הוקטורים \vec(PK) ו-\vec(PB_(1)), ולאחר מכן את הקוסינוס של הזווית בין הוקטורים הללו. בואו נכוון את ציר Oy לאורך CD, את ציר Oz לאורך CC_(1), ואת ציר Ox \perp CD. C הוא המקור.

ואז C (0;0;0); C_(1)(0;0;10); P(0;0;5); K(0;5;0); B(BC \cos 30^\circ; BC\sin 30^\circ; 0),זה B(5\sqrt(3); 5;0), B_(1)(5\sqrt(3); 5;10).

בוא נמצא את הקואורדינטות של הוקטורים: \vec(PK)=\(0;5;-5\); \vec(PB_(1))=\(5\sqrt(3); 5;5\).

תן לזווית בין \vec(PK) ל-\vec(PB_(1)) להיות שווה ל-\alpha.

אנחנו מקבלים \cos \alpha=\frac(\vec(PK) \cdot \vec(PB_(1)))(|\vec(PK)| \cdot |\vec(PB_(1))|)= \frac(0 \cdot 5\sqrt(3) + 5 \cdot 5-5 \cdot 5)(|\vec(PK)| \cdot |\vec(PB_(1))|)=0.

\cos \alpha =0, ​​שפירושו \vec(PK) \perp \vec(PB_(1)) והקווים PK ו-PB_(1) מאונכים.

ב)הזווית בין מישורים שווה לזווית בין וקטורים שאינם אפס המאונכים למישורים אלו (או, אם הזווית קהה, לזווית הסמוכה לה). וקטורים כאלה נקראים נורמלים למישורים. בואו נמצא אותם.

תנו ל-\vec(n_(1))=\(x; y; z\) להיות מאונך למישור PKB_(1). בוא נמצא את זה על ידי פתרון המערכת \begin(cases) \vec(n_(1)) \perp \vec(PK), \\ \vec(n_(1)) \perp \vec(PB_(1)). \end(מקרים)

\begin(cases) \vec(n_(1)) \cdot \vec(PK)=0, \\ \vec(n_(1)) \cdot \vec(PB_(1))=0; \end(מקרים)

\begin(cases) 0x+5y-5z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+5z=0; \end(מקרים)

\begin(cases)y=z, \\ x=\frac(-y-z)(\sqrt(3)). \end(מקרים)

בוא ניקח y=1; z=1; x=\frac(-2)(\sqrt(3)), \vec(n_(1))=\left \( \frac(-2)(\sqrt(3)); 1;1 \right \).

תנו ל-\vec(n_(2))=\(x; y; z\) להיות מאונך למישור C_(1)B_(1)B. בוא נמצא את זה על ידי פתרון המערכת \begin(cases) \vec(n_(2)) \perp \vec(CC_(1)), \\ \vec(n_(2)) \perp \vec(CB). \end(מקרים)

\vec(CC_(1))=\(0;0;10\), \vec(CB)=\(5\sqrt(3); 5; 0\).

\begin(cases) \vec(n_(2)) \cdot \vec(CC_(1))=0, \\ \vec(n_(2)) \cdot \vec(CB)=0; \end(מקרים)

\begin(cases) 0x+0y+10z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+0z=0; \end(מקרים)

\begin(cases)z=0, \\ y=-\sqrt(3)x. \end(מקרים)

בוא ניקח x=1; y=-\sqrt(3); z=0, \vec(n_(2))=\(1; -\sqrt(3);0\).

בוא נמצא את הקוסינוס של הזווית הרצויה \beta (הוא שווה למודול הקוסינוס של הזווית בין \vec(n_(1)) ל-\vec(n_(2)) ).

\cos \beta= \frac(|\vec(n_(1)) \cdot \vec(n_(2))|)(|\vec(n_(1))| \cdot |\vec(n_(2))|)= \frac(\left |-\dfrac(2)(\sqrt(3))\cdot 1+1 \cdot (-\sqrt(3))+1 \cdot 0 \right |)(\sqrt(\dfrac( 4)(3)+1+1) \cdot \sqrt(1+3+0))= \frac(\dfrac(5)(\sqrt(3)))(2\sqrt(\dfrac(10)(3)))= \frac(\sqrt(10))(4).

\cos \beta =\frac(\sqrt(10))(4), \beta=\arccos\frac(\sqrt(10))(4).

תשובה

\arccos\frac(\sqrt(10))(4)

מקור: "מתמטיקה. הכנה לבחינת המדינה המאוחדת 2017. רמת פרופיל." אד. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

ABCD הוא ריבוע ו פני צד- מלבנים שווים.

מכיוון שמישור החתך עובר דרך נקודות M ו-D במקביל לאלכסון AC, אז כדי לבנות אותו במישור A_(1)AC דרך נקודה M אנו מציירים קטע MN במקביל ל-AC. אנו מקבלים AC \parallel (MDN) בהתבסס על ההקבלה של הקו והמישור.

המישור MDN חוצה את המישורים המקבילים A_(1)AD ו-B_(1)BC, לאחר מכן, לפי תכונה מישורים מקבילים, קווי החיתוך של הפנים A_(1)ADD_(1) ו-B_(1)BCC_(1) עם מישור MDN מקבילים.

נצייר קטע NE במקביל לקטע MD.

מרובע DMEN הוא הקטע הנדרש.

ב)בוא נמצא את הזווית בין מישור החתך למישור הבסיס. תן למישור החתך לחצות את מישור הבסיס לאורך איזה קו ישר p העובר דרך נקודה D. AC \parallel MN, לפיכך, AC \parallel p (אם מישור עובר דרך קו מקביל למישור אחר וחוצה מישור זה, אז קו החיתוך של המישורים מקביל לישר זה). BD \perp AC כאלכסונים של ריבוע, כלומר BD \perp p. BD היא ההשלכה של ED על המישור ABC, ואז לפי המשפט של שלושה אנכים ED \perp p, לכן, \angle EDB היא הזווית הליניארית של הזווית הדו-הדרלית בין מישור החתך למישור הבסיס.

הגדר את סוג ה-DMEN מרובע. MD \parallel EN, בדומה ל-ME \parallel DN, כלומר DMEN היא מקבילה, ומכיוון ש-MD=DN (משולשים ישרים MAD ו-NCD שווים על שתי רגליים: AD=DC כצלעות הריבוע, AM=CN כמו המרחקים בין קווים מקבילים AC ו-MN), לכן DMEN הוא מעוין. לפיכך, F היא נקודת האמצע של MN.

לפי תנאי AM:MA_(1)=2:3, אם כן AM=\frac(2)(5)AA_(1)=\frac(2)(5) \cdot 5\sqrt(6)=2\sqrt(6).

AMNC הוא מלבן, F הוא האמצע של MN, O הוא האמצע של AC. אומר, FO\מקביל MA, FO\perp AC, FO=MA=2\sqrt(6).

לדעת שהאלכסון של ריבוע הוא a\sqrt(2),כאשר a הוא צלע הריבוע, נקבל BD=4\sqrt(2). OD=\frac(1)(2)BD=\frac(1)(2) \cdot 4\sqrt(2)=2\sqrt(2).

במשולש ישר זווית FOD\enspace tg \angle FDO=\frac(FO)(OD)=\frac(2\sqrt(6))(2\sqrt(2))=\sqrt(3).לכן, \angle FDO=60^\circ.