דוגמה 1.5.1.

תנו לאזור כלכלי מסוים לייצר מספר (n) סוגי מוצרים אך ורק בכוחות עצמו ורק עבור אוכלוסיית האזור הזה. ההנחה היא שהתהליך הטכנולוגי עובד, ונבדקה ביקוש האוכלוסייה לסחורות אלו. יש צורך לקבוע את הנפח השנתי של תפוקת המוצר, תוך התחשבות בעובדה שנפח זה חייב לספק צריכה סופית ותעשייתית כאחד.

בואו ניצור מודל מתמטי של בעיה זו. על פי תנאיו ניתנים: סוגי מוצרים, הביקוש אליהם והתהליך הטכנולוגי; אתה צריך למצוא את נפח הפלט של כל סוג של מוצר.

הבה נסמן את הכמויות הידועות:

ג אני– ביקוש האוכלוסייה עבור אניהמוצר ה' ( אני=1,...,נ); א ij- כמות אניהמוצר הדרוש לייצור יחידה של המוצר J באמצעות טכנולוגיה נתונה ( אני=1,...,נ ; י=1,...,נ);

איקס אני - נפח פלט אניהמוצר ה-( אני=1,...,נ); מִכלוֹל עם =(ג 1 ,..., ג נ ) נקרא וקטור הביקוש, מספרים א ij– מקדמים טכנולוגיים, והמכלול איקס =(איקס 1 ,..., איקס נ ) - וקטור שחרור.

לפי תנאי הבעיה, הווקטור איקס מחולק לשני חלקים: לצריכה סופית (וקטור עם ) ולרבייה (וקטור x-s ). בוא נחשב את החלק הזה של הווקטור איקס שנכנס לרבייה. על פי הייעודים שלנו לייצור איקס יכמות המוצר ה-j שסופק א ij · איקס יכמיות אניהמוצר -ה.

ואז הסכום א i1 · איקס 1 +...+ א ב · איקס נמראה את הערך הזה אנימוצר -ה, הדרוש עבור הגרסה כולה איקס =(איקס 1 ,..., איקס נ ).

לפיכך, יש לקיים את השוויון:

בהרחבת הנמקה זו לכל סוגי המוצרים, אנו מגיעים לדגם הרצוי:

פתרון מערכת זו של n משוואות לינאריות עבור איקס 1 ,...,איקס נומצא את וקטור השחרור הנדרש.

על מנת לכתוב מודל זה בצורה קומפקטית יותר (וקטורית), אנו מציגים את הסימון הבא:

כיכר (
) -מטריקס אנקראת מטריצת הטכנולוגיה. קל לבדוק שהדגם שלנו ייכתב כעת כך: x-s=אהאוֹ

(1.6)

קיבלנו את הדגם הקלאסי" פלט קלט ", מחברו הוא הכלכלן האמריקאי המפורסם V. Leontiev.

דוגמה 1.5.2.

לבית הזיקוק לנפט יש שתי דרגות נפט: כיתה אבכמות של 10 יחידות, ציון IN- 15 יחידות. בעת זיקוק נפט מתקבלים שני חומרים: בנזין (נסמן ב) ומזוט ( M). ישנן שלוש אפשרויות לתהליך טכנולוגיית העיבוד:

אני: יחידה 1 א+ 2 יחידות INנותן 3 יחידות. ב+ 2 יחידות M

II: 2 יחידות. א+ 1 יחידה INנותן 1 יחידה. ב+ 5 יחידות M

III: 2 יחידות א+ 2 יחידות INנותן 1 יחידה. ב+ 2 יחידות M

מחיר הבנזין הוא 10$ ליחידה, מזוט 1$ ליחידה.

יש צורך לקבוע את השילוב המועיל ביותר של תהליכים טכנולוגיים לעיבוד כמות הנפט הזמינה.

לפני הדוגמנות, הבה נבהיר את הנקודות הבאות. מתנאי הבעיה עולה כי יש להבין את "הרווחיות" של התהליך הטכנולוגי למפעל במובן של השגת הכנסה מרבית ממכירת מוצריו המוגמרים (בנזין ומזווט). בהקשר זה, ברור ש"ההחלטה (הבחירה)" של המפעל מורכבת בקביעה איזו טכנולוגיה ליישם וכמה פעמים. ברור שיש די הרבה אפשרויות אפשריות כאלה.

הבה נסמן את הכמויות הלא ידועות:

איקס אני- כמות השימוש אניהתהליך הטכנולוגי (i=1,2,3). פרמטרים אחרים של הדגם (מאגרי נפט, מחירי בנזין ומזווט) ידוע.

כעת החלטה צמח ספציפית מסתכמת בבחירת וקטור אחד איקס =(x 1 ,איקס 2 ,איקס 3 ) , שעבורו שווה פדיון המפעל (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) דולר. כאן, 32 דולר הם ההכנסה המתקבלת מיישום אחד של התהליך הטכנולוגי הראשון ($10 3 יחידות. ב+ 1 דולר ·2 יחידות. M= $32). למקדמים 15 ו-12 עבור התהליכים הטכנולוגיים השני והשלישי, בהתאמה, משמעות דומה. ניהול עתודות נפט מוביל לתנאים הבאים:

למגוון א:

למגוון IN:,

כאשר במקדמי אי השוויון הראשונים 1, 2, 2 נמצאים שיעורי הצריכה של שמן דרגה A לשימוש חד פעמי בתהליכים טכנולוגיים אני,II,IIIבהתאמה. למקדמי אי השוויון השני יש משמעות דומה לשמן דרגה B.

למודל המתמטי בכללותו יש את הצורה:

מצא וקטור כזה x = (x 1 ,איקס 2 ,איקס 3 ) למקסם

f(x) =32х 1 +15x 2 +12x 3

בכפוף לתנאים הבאים:

הצורה המקוצרת של ערך זה היא:

תחת הגבלות

(1.7)

קיבלנו את מה שנקרא בעיית תכנות ליניארית.

מודל (1.7.) הוא דוגמה למודל אופטימיזציה מסוג דטרמיניסטי (עם אלמנטים מוגדרים היטב).

דוגמה 1.5.3.

משקיע צריך לקבוע את התמהיל הטוב ביותר של מניות, אג"ח וניירות ערך אחרים לרכישה בסכום מסוים על מנת להשיג רווח מסוים במינימום סיכון לעצמו. רווח לדולר מושקע בנייר ערך י- סוג, מאופיין בשני אינדיקטורים: רווח צפוי ורווח בפועל. עבור משקיע, רצוי שהרווח הצפוי לדולר השקעה לא יהיה נמוך מערך נתון עבור כל מערך ניירות הערך. ב.

שימו לב שכדי ליצור מודל נכון של בעיה זו, מתמטיקאי נדרש להיות בעל ידע בסיסי מסוים בתחום תורת התיקים של ניירות ערך.

הבה נסמן את הפרמטרים הידועים של הבעיה:

נ- מספר סוגי ניירות ערך; א י- רווח בפועל (מספר אקראי) מהסוג ה-j של נייר ערך; – רווח צפוי מ י-סוג אבטחה.

הבה נסמן את הכמויות הלא ידועות :

y י - כספים שהוקצו לרכישת ניירות ערך מהסוג י.

באמצעות הסימון שלנו, כל הסכום המושקע מבוטא כ . כדי לפשט את המודל, אנו מציגים כמויות חדשות

.

לכן, איקס אני- זהו החלק של כל הכספים שהוקצו לרכישת ניירות ערך מהסוג י.

זה ברור

מתנאי הבעיה ברור שמטרת המשקיע היא להשיג רמת רווח מסוימת במינימום סיכון. בעצם, סיכון הוא מדד לסטייה של הרווח בפועל מהצפוי. לכן, ניתן לזהות אותו עם השונות של הרווחים עבור ניירות ערך מסוג i וסוג j. כאן M הוא הכינוי של תוחלת מתמטית.

למודל המתמטי של הבעיה המקורית יש את הצורה:

תחת הגבלות

,
,
,
. (1.8)

השגנו את מודל מרקוביץ המוכר לאופטימיזציה של מבנה תיק ניירות ערך.

מודל (1.8.) הוא דוגמה למודל אופטימיזציה מהסוג הסטוכסטי (עם אלמנטים של אקראיות).

דוגמה 1.5.4.

על בסיס ארגון סחר ישנם n סוגים של אחד ממוצרי המבחר המינימלי. יש להכניס לחנות רק סוג אחד של מוצר נתון. צריך לבחור את סוג המוצר שמתאים להכניס לחנות. אם סוג המוצר יתהיה מבוקשת, החנות תרוויח ממכירתה ר י, אם זה לא מבוקש - הפסד ש י .

לפני הדוגמנות, נדון בכמה נקודות יסוד. בבעיה זו, מקבל ההחלטות (DM) הוא החנות. עם זאת, התוצאה (הרווח המקסימלי) תלויה לא רק בהחלטתו, אלא גם אם המוצר המיובא יהיה מבוקש, כלומר האם הוא יירכש על ידי האוכלוסייה (ההנחה היא שמסיבה כלשהי החנות לא יש הזדמנות ללמוד את הביקוש של האוכלוסייה). לכן, האוכלוסייה יכולה להיחשב כמקבל החלטות שני, הבוחר את סוג המוצר בהתאם להעדפותיה. ה"החלטה" הגרועה ביותר של האוכלוסייה לגבי חנות היא: "הסחורה המיובאת אינה מבוקשה". לכן, כדי לקחת בחשבון את כל המצבים האפשריים, החנות צריכה להתייחס לאוכלוסיה כ"אויבת" שלה (בתנאי), ולרדוף אחר המטרה ההפוכה - למזער את הרווח של החנות.

אז יש לנו בעיה של קבלת החלטות עם שני משתתפים שחותרים אחר מטרות מנוגדות. נבהיר שהחנות בוחרת באחד מסוגי הסחורה למכירה (ישנן n אפשרויות החלטה), והאוכלוסייה בוחרת באחד מסוגי הסחורה המבוקשים ביותר ( נאפשרויות פתרון).

להידור מודל מתמטיבואו נצייר טבלה עם נקווים ו נעמודות (סה"כ נ 2 תאים) ומסכים שהשורות מתאימות לבחירת החנות, והעמודות לבחירת האוכלוסייה. ואז התא (אני, י)מתאים למצב שבו החנות בוחרת אניסוג המוצר ( אני-הקו), והאוכלוסייה בוחרת יסוג המוצר ( j-העמודה ה'). בכל תא אנו רושמים הערכה מספרית (רווח או הפסד) של המצב המתאים מנקודת המבט של החנות:

מספרים ש אניכתוב עם מינוס כדי לשקף את הפסד החנות; בכל מצב, "הרווח" של האוכלוסייה (בתנאי) שווה ל"רווח" של החנות, בסימן ההפוך.

צורה מקוצרת של מודל זה היא:

(1.9)

קיבלנו את מה שנקרא משחק מטריקס. מודל (1.9.) הוא דוגמה למודלים של קבלת החלטות במשחק.

כדי לבנות מודל מתמטי אתה צריך:

1. לנתח בקפידה אובייקט או תהליך אמיתי;
2. להדגיש את המאפיינים והמאפיינים המשמעותיים ביותר שלו;
3. להגדיר משתנים, כלומר. פרמטרים שהערכים שלהם משפיעים על התכונות והמאפיינים העיקריים של האובייקט;
4. לתאר את התלות של המאפיינים הבסיסיים של אובייקט, תהליך או מערכת בערכי משתנים תוך שימוש ביחסים לוגיים-מתמטיים (משוואות, שוויון, אי-שוויון, מבנים לוגיים-מתמטיים);
5. להדגיש את הקשרים הפנימיים של אובייקט, תהליך או מערכת באמצעות הגבלות, משוואות, שוויון, אי-שוויון, מבנים לוגיים ומתמטיים;
6. לְהַגדִיר יחסי חוץותאר אותם באמצעות הגבלות, משוואות, שוויון, אי-שוויון, מבנים לוגיים ומתמטיים.

מידול מתמטי, בנוסף ללימוד אובייקט, תהליך או מערכת ויצירת תיאור מתמטי שלו, כולל גם:

1. בניית אלגוריתם המדגים התנהגות של אובייקט, תהליך או מערכת;
2. בדיקת נאותות המודל והאובייקט, התהליך או המערכת בהתבסס על ניסויים חישוביים ובקנה מידה מלא;
3. התאמת דגם;
4. באמצעות המודל.

התיאור המתמטי של התהליכים והמערכות הנחקרים תלוי ב:

1. טבעו של תהליך או מערכת אמיתיים והוא מורכב על בסיס חוקי הפיזיקה, הכימיה, המכניקה, התרמודינמיקה, ההידרודינמיקה, הנדסת החשמל, תורת הפלסטיות, תורת האלסטיות וכו'.
2. את המהימנות והדיוק הנדרשים של מחקר ומחקר של תהליכים ומערכות אמיתיות.

בניית מודל מתמטי מתחילה בדרך כלל בבנייה וניתוח של המודל המתמטי הפשוט והגס ביותר של האובייקט, התהליך או המערכת הנבדקים. בעתיד, במידת הצורך, המודל משוכלל וההתאמה שלו לאובייקט הופכת לשלמה יותר.

ניקח דוגמה פשוטה. יש צורך לקבוע את שטח הפנים של השולחן. בדרך כלל, זה נעשה על ידי מדידת האורך והרוחב שלו, ולאחר מכן הכפלת המספרים המתקבלים. הליך אלמנטרי זה אומר למעשה את הדבר הבא: אובייקט אמיתי (משטח שולחן) מוחלף במודל מתמטי מופשט - מלבן. הממדים המתקבלים על ידי מדידת אורך ורוחב משטח השולחן מוקצים למלבן, ושטחו של מלבן כזה נחשב בערך לשטח הנדרש של השולחן. עם זאת, דגם המלבן לשולחן עבודה הוא הדגם הפשוט והגס ביותר. אם אתה נוקט בגישה רצינית יותר לבעיה, לפני השימוש במודל מלבן כדי לקבוע את שטח הטבלה, יש לבדוק את המודל הזה. ניתן לבצע את הבדיקות באופן הבא: למדוד את האורכים צדדים הפוכיםטבלה, כמו גם את אורכי האלכסונים שלה ולהשוות אותם זה עם זה. אם, במידת הדיוק הנדרשת, אורכי הצלעות הנגדיות ואורכי האלכסונים שווים בזוגות, אז פני השטח של הטבלה באמת יכולים להיחשב כמלבן. אחרת, יהיה צורך לדחות את מודל המלבן ולהחליף אותו במודל מרובע השקפה כללית. עם דרישה גבוהה יותר לדיוק, ייתכן שיהיה צורך לחדד את המודל עוד יותר, למשל, כדי לקחת בחשבון את עיגול פינות השולחן.

בעזרת זה דוגמה פשוטההוכח שהמודל המתמטי אינו נקבע באופן ייחודי על ידי האובייקט, התהליך או מערכת.

או (יובהר מחר)

דרכים לפתור מתמטיקה. דגמים:

1, בניית מודל המבוסס על חוקי הטבע (שיטה אנליטית)

2. הדרך הפורמלית באמצעות שיטות סטטיסטיות. עיבוד תוצאות מדידה (גישה סטטיסטית)

3. בניית מודל המבוסס על מודל של אלמנטים (מערכות מורכבות)

1, אנליטי - שימוש עם מחקר מספיק. הדפוס הכללי ידוע. דגמים.

2. ניסוי. בהיעדר מידע.

3. חיקוי מ' - חוקר את תכונות האובייקט. בדרך כלל.

דוגמה לבניית מודל מתמטי.

מודל מתמטיהוא ייצוג מתמטי של המציאות.

דוגמנות במתמטיקההוא תהליך של בנייה ולימוד מודלים מתמטיים.

כל מדעי הטבע והחברה המשתמשים במתמטיקה עוסקים בעיקרם במודלים מתמטיים: הם מחליפים אובייקט במודל המתמטי שלו ואז לומדים את האחרון. החיבור בין מודל מתמטי למציאות מתבצע באמצעות שרשרת של השערות, אידיאליזציות והפשטות. באמצעות שיטות מתמטיות, ככלל, מתואר אובייקט אידיאלי שנבנה בשלב של מידול משמעותי.

למה צריך דגמים?

לעתים קרובות מאוד, כאשר לומדים כל אובייקט, מתעוררים קשיים. המקור עצמו לפעמים אינו זמין, או שהשימוש בו אינו מומלץ, או משיכת המקור היא יקרה. את כל הבעיות הללו ניתן לפתור באמצעות סימולציה. במובן מסוים, מודל יכול להחליף את האובייקט הנחקר.

הדוגמאות הפשוטות ביותר של דגמים

§ ניתן לקרוא לצילום דגם של אדם. כדי לזהות אדם, מספיק לראות את הצילום שלו.

§ האדריכל יצר דגם של אזור מגורים חדש. הוא יכול להעביר בניין רב קומות מחלק אחד למשנהו בתנועת ידו. במציאות זה לא יהיה אפשרי.

סוגי דגמים

ניתן לחלק דגמים ל חוֹמֶר"ו מושלם. הדוגמאות לעיל הן מודלים של חומרים. לדגמים אידיאליים יש לרוב צורות איקוניות. מושגים אמיתיים מוחלפים בכמה סימנים, אותם ניתן להקליט בקלות על נייר, בזיכרון המחשב וכו'.

דוגמנות במתמטיקה

מידול מתמטי שייך למעמד של מידול סימבולי. יתרה מכך, ניתן ליצור מודלים מכל אובייקט מתמטי: מספרים, פונקציות, משוואות וכו'.

בניית מודל מתמטי

§ ניתן לציין מספר שלבים של בניית מודל מתמטי:

1. הבנת הבעיה, זיהוי התכונות, התכונות, הכמויות והפרמטרים החשובים ביותר עבורנו.

2. הקדמת סימון.

3. עריכת מערכת הגבלות שעל הערכים שהוזנו לעמוד בהן.

4. ניסוח ורישום של תנאים שחייבים לעמוד בהם בפתרון האופטימלי הרצוי.

תהליך המידול אינו מסתיים ביצירת מודל, אלא רק מתחיל בו. לאחר עריכת מודל, הם בוחרים שיטה למציאת התשובה ופותרים את הבעיה. לאחר שנמצאה התשובה, היא מושווה למציאות. וייתכן שהתשובה אינה מספקת, ובמקרה זה משתנה הדגם או אפילו נבחר דגם אחר לגמרי.

דוגמה למודל מתמטי

מְשִׁימָה

התאחדות הייצור, הכוללת שני מפעלי רהיטים, צריכה לעדכן את פארק המכונות שלה. יתר על כן, מפעל הרהיטים הראשון צריך להחליף שלוש מכונות, והשני - שבע. ניתן לבצע הזמנות בשני מפעלי מכונות. המפעל הראשון יכול לייצר לא יותר מ-6 מכונות, והמפעל השני יקבל הזמנה אם יהיו לפחות שלוש מהן. עליך לקבוע כיצד לבצע הזמנות.

מודל מתמטי - ייצוג של תופעה או תהליך הנלמד בידע מדעי קונקרטי בשפת המושגים המתמטיים. במקרה זה, מספר מאפיינים של התופעה הנחקרת צפויים להתקבל באמצעות חקר המאפיינים המתמטיים בפועל של המודל. בניית מ.מ. לרוב מוכתב על ידי הצורך בניתוח כמותי של התופעות והתהליכים הנחקרים, שבלעדיו, בתורו, אי אפשר לבצע תחזיות הניתנות לאימות ניסיוני לגבי מהלכם.

תהליך המודלים המתמטיים, ככלל, עובר את השלבים הבאים. בשלב הראשון מזוהים קשרים בין הפרמטרים העיקריים של המ"מ העתידי. זה בערךקודם כל על ניתוח איכותיהתופעות הנחקרות וגיבוש דפוסים המחברים בין מושאי המחקר העיקריים. על בסיס זה מזהים אובייקטים שניתן לתאר בצורה כמותית. השלב מסתיים בבניית מודל היפותטי, כלומר רישום בשפת המושגים המתמטיים רעיונות איכותיים לגבי היחסים בין האובייקטים העיקריים של המודל, אותם ניתן לאפיין באופן כמותי.

בשלב השני נלמדות הבעיות המתמטיות בפועל שאליהן מוביל המודל ההיפותטי שנבנה. העיקר בשלב זה הוא להשיג השלכות תיאורטיות הניתנות לאימות אמפירית (פתרון הבעיה הישירה) כתוצאה מניתוח מתמטי של המודל. יחד עם זאת, לא פעם ישנם מקרים שבהם, על מנת לבנות וללמוד מ.מ. בתחומים שונים במיוחד ידע מדעינעשה שימוש באותו מנגנון מתמטי (לדוגמה, משוואות דיפרנציאליות) ומתעוררות בעיות מתמטיות מאותו סוג, אם כי מאוד לא טריוויאליות בכל מקרה ספציפי. בנוסף, בשלב זה, השימוש במחשבים מהירים (מחשבים) מקבל חשיבות רבה, המאפשר לקבל פתרונות מקורבים לבעיות, לרוב בלתי אפשריים במסגרת המתמטיקה הטהורה, במידת דיוק שלא הייתה נגישה עד כה ( ללא שימוש במחשב).

השלב השלישי מאופיין בפעילויות לזיהוי מידת ההתאמה של ה-M.M ההיפותטי הנבנה. אותם תופעות ותהליכים שלשמם נועד לחקור. כלומר, אם כל הפרמטרים של המודל צוינו, החוקרים מנסים לברר באיזו מידה, בגבולות הדיוק התצפיתי, תוצאותיהם תואמות את ההשלכות התיאורטיות של המודל. סטיות מעבר לגבולות הדיוק התצפיתי מעידות על חוסר ההתאמה של המודל. עם זאת, לעיתים קרובות ישנם מקרים שבהם, בעת בניית מודל, נותרו מספר פרמטרים שלו

לֹא בָּטוּחַ. בעיות שבהן המאפיינים הפרמטריים של המודל נקבעים באופן שההשלכות התיאורטיות ניתנות להשוואה, בגבולות הדיוק התצפיתי, לתוצאות של מבחנים אמפיריים נקראות בעיות הפוכות.

בשלב הרביעי, תוך התחשבות בזיהוי מידת ההתאמה של המודל ההיפותטי שנבנה והופעתם של נתונים ניסויים חדשים על התופעות הנחקרות, מתרחשים ניתוח ושינוי של המודל לאחר מכן. כאן ההחלטה שהתקבלה משתנה מדחייה ללא תנאי של הכלים המתמטיים המיושמים ועד לקבלת המודל שנבנה כבסיס לבניית תיאוריה מדעית חדשה ביסודה.

ראשון מ.מ. הופיע במדע העתיק. לפיכך, כדי לדגמן את מערכת השמש, המתמטיקאי והאסטרונום היווני יודוקסוס נתן לכל כוכב לכת ארבע כדורים, ששילוב תנועותיהם יצר היפופדוס - עקומה מתמטית הדומה לתנועה הנצפית של כוכב הלכת. אולם, מכיוון שמודל זה לא יכול היה להסביר את כל החריגות שנצפו בתנועת כוכבי הלכת, הוא הוחלף מאוחר יותר במודל האפיציקלי של אפולוניוס מפרגה. המודל האחרון שימש במחקריו על ידי היפרכוס, ולאחר מכן, לאחר שהעביר אותו לשינוי מסוים, על ידי תלמי. דגם זה, כמו קודמיו, התבסס על האמונה שכוכבי הלכת נעים במדים תנועות מעגליות, שחפיפתם הסבירה את האי-סדרים הנראים לעין. יש לציין שהמודל הקופרניקאי היה חדש ביסודו רק במובן האיכותי (אך לא כ-M.M.). ורק קפלר, על סמך תצפיותיו של טיכו ברהה, בנה מ.מ.מ חדש. מערכת השמש, מוכיחה שכוכבי הלכת נעים לא במעגלים, אלא במסלולים אליפטיים.

נכון לעכשיו, המתאימים ביותר נחשבים לאלו שנבנו לתיאור מכאני ו תופעות פיזיקליות. על הלימות מ.מ. מחוץ לפיזיקה אפשר, למעט כמה חריגים, לדבר בזהירות רבה. אף על פי כן, תיקון האופי ההיפותטי, ולעתים קרובות פשוט חוסר ההתאמה של מ.מ. בתחומי ידע שונים, אין לזלזל בתפקידם בהתפתחות המדע. לעתים קרובות ישנם מקרים שבהם אפילו מודלים שרחוקים מלהיות מספקים ארגנו באופן משמעותי ועוררו מחקר נוסף, יחד עם מסקנות שגויות שהכילו גם גרגירי אמת שהצדיקו באופן מלא את המאמצים שהושקעו בפיתוח המודלים הללו.

סִפְרוּת:

דוגמנות במתמטיקה. מ', 1979;

Ruzavin G.I. מתמטיזציה של ידע מדעי. מ', 1984;

Tutubalin V.N., Barabasheva Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. משוואות דיפרנציאליות באקולוגיה: השתקפות היסטורית ומתודולוגית // שאלות של ההיסטוריה של מדעי הטבע והטכנולוגיה. 1997. מס' 3.

מילון מונחים פילוסופיים. מהדורה מדעית של פרופסור V.G. קוזנצובה. M., INFRA-M, 2007, p. 310-311.

מודלים מתמטיים

מודל מתמטי - אופי משוערהמשמעות של אובייקט הדוגמנות, לידי ביטוי באמצעותשל סמליות מתמטית.

מודלים מתמטיים הופיעו יחד עם המתמטיקה לפני מאות שנים. הופעת המחשבים נתנה תנופה עצומה לפיתוח המודלים המתמטיים. השימוש במחשבים איפשר לנתח וליישם בפועל מודלים מתמטיים רבים שבעבר לא היו נגישים מחקר אנליטי. מיושם במחשב באופן מתמטידגם שמייםשקוראים לו מודל מתמטי ממוחשב, א ביצוע חישובים ממוקדים באמצעות מודל ממוחשבשקוראים לו ניסוי חישובי.

שלבי מדעי המחשב המתמטייםחֲלוּקָהמוצגים באיור. ראשוןשלב - הגדרת יעדי דוגמנות.מטרות אלו יכולות להיות שונות:

1. יש צורך במודל על מנת להבין כיצד פועל אובייקט ספציפי, מהו המבנה שלו, תכונותיו הבסיסיות, חוקי ההתפתחות והאינטראקציה
   עם העולם החיצון (הבנה);
2. יש צורך במודל כדי ללמוד כיצד לשלוט באובייקט (או בתהליך) ולקבוע הדרכים הטובות ביותרניהול עם יעדים וקריטריונים נתונים (ניהול);
3. המודל נחוץ כדי לחזות את ההשלכות הישירות והעקיפות של היישום שיטות נתונותוצורות השפעה על האובייקט (חיזוי).

בואו נסביר עם דוגמאות. תן מושא המחקר להיות האינטראקציה של זרימת נוזל או גז עם גוף המהווה מכשול לזרימה זו. הניסיון מלמד שכוח ההתנגדות לזרימה מצד הגוף עולה עם עליית מהירות הזרימה, אך במהירות גבוהה מספיק כוח זה פוחת בפתאומיות כדי לעלות שוב עם עלייה נוספת במהירות. מה גרם לירידה בכוח ההתנגדות? מידול מתמטי מאפשר לנו לקבל תשובה ברורה: ברגע של ירידה פתאומית בהתנגדות, המערבולות הנוצרות בזרימת הנוזל או הגז מאחורי הגוף המתייעל מתחילות להתנתק ממנו ונסחפות בזרימה.

דוגמה מאזור אחר לגמרי: אוכלוסיות של שני מיני פרטים שהתקיימו בשלום עם מספרים יציבים והיו להם אספקת מזון משותפת, מתחילות "פתאום" לשנות את מספרן בחדות. וכאן מודל מתמטי מאפשר (במידה מסוימת של מהימנות) לקבוע את הסיבה (או לפחותלהפריך השערה מסוימת).

פיתוח קונספט לניהול אובייקט הוא מטרה אפשרית נוספת של מידול. באיזה מצב טיסה במטוס עלי לבחור כדי להבטיח שהטיסה תהיה בטוחה והרווחית ביותר מבחינה כלכלית? כיצד לתזמן מאות סוגי עבודות בבניית מתקן גדול כך שתסתיים כמה שיותר מהר טווח קצר? בעיות רבות כאלה עולות באופן שיטתי בפני כלכלנים, מעצבים ומדענים.

לבסוף, חיזוי ההשלכות של השפעות מסוימות על אובייקט יכול להיות גם עניין פשוט יחסית במערכות פיזיקליות פשוטות, וגם מורכב ביותר - על סף היתכנות - במערכות ביולוגיות, כלכליות וחברתיות. אם קל יחסית לענות על השאלה לגבי שינויים במצב חלוקת החום במוט דק עקב שינויים בסגסוגת המרכיבה אותו, אז קל יחסית להתחקות אחר (לחזות) את ההשלכות הסביבתיות והאקלימיות של בניית מבנה גדול תחנת כוח הידרואלקטרית או השלכות חברתיותשינויים בחקיקת המס קשים לאין ערוך. אולי גם כאן, שיטות מידול מתמטיות יתנו סיוע משמעותי יותר בעתיד.

שלב שני:קביעת פרמטרי קלט ופלט של המודל; חלוקת פרמטרי קלט לפי מידת החשיבות של השפעת השינויים שלהם על הפלט. תהליך זה נקרא דירוג, או הפרדה לפי דרגה (ראה. "פוֹרמָלִיזָצִיָהתכונה ודוגמנות").

שלב שלישי:בניית מודל מתמטי. בשלב זה חל מעבר מניסוח מופשט של המודל לניסוח בעל ייצוג מתמטי ספציפי. מודל מתמטי הוא משוואות, מערכות משוואות, מערכות אי-שוויון, משוואות דיפרנציאליות או מערכות של משוואות כאלה וכו'.

שלב רביעי:בחירת שיטה ללימוד מודל מתמטי. לרוב, נעשה שימוש כאן בשיטות מספריות, אשר מתאימות עצמן לתכנות. ככלל, מספר שיטות מתאימות לפתרון אותה בעיה, שונות ברמת דיוק, יציבות וכו'. הצלחתו של תהליך הדוגמנות כולו תלויה לרוב בבחירה הנכונה של השיטה.

שלב חמישי:פיתוח אלגוריתם, קומפילציה וניפוי באגים של תוכנת מחשב הוא תהליך קשה לפורמליזציה. מבין שפות התכנות, אנשי מקצוע רבים מעדיפים את FORTRAN למידול מתמטי: הן בשל המסורת והן בשל היעילות הבלתי נדלית של המהדרים (לעבודת חישוב) וזמינותן של ספריות ענק, מנופות בקפידה ומוטבות של תוכנות סטנדרטיות לשיטות מתמטיות הכתובות בה. . גם שפות כמו PASCAL, BASIC, C נמצאות בשימוש, בהתאם לאופי המשימה ולנטיות המתכנת.

שלב שישי:בדיקת תוכנית. פעולת התוכנית נבדקת על בעיית בדיקה עם תשובה ידועה בעבר. זוהי רק תחילתו של הליך בדיקה שקשה לתאר בצורה פורמלית מקיפה. הבדיקה מסתיימת בדרך כלל כאשר המשתמש, בדרכו שלו, מאפיינים מקצועייםמוצא את התוכנית נכונה.

שלב שביעי:הניסוי החישובי בפועל, שבמהלכו נקבע האם המודל מתאים לאובייקט אמיתי (תהליך). המודל מספיק מתאים לתהליך האמיתי אם כמה מאפיינים של התהליך המתקבלים במחשב חופפים למאפיינים שהושגו בניסוי בדרגת דיוק נתונה. אם המודל אינו תואם את התהליך האמיתי, נחזור לאחד השלבים הקודמים.

סיווג מודלים מתמטיים

הסיווג של מודלים מתמטיים יכול להתבסס על עקרונות שונים. ניתן לסווג מודלים לפי ענפי מדע (מודלים מתמטיים בפיזיקה, ביולוגיה, סוציולוגיה וכו'). ניתן לסווג לפי המנגנון המתמטי בו נעשה שימוש (מודלים המבוססים על שימוש במשוואות דיפרנציאליות רגילות, משוואות דיפרנציאליות חלקיות, שיטות סטוכסטיות, טרנספורמציות אלגבריות בדידות וכו'). לבסוף, מבוסס על משימות נפוצותדוגמנות במדעים שונים, ללא קשר למנגנון המתמטי, הסיווג הטבעי ביותר הוא:

• מודלים תיאוריים (תיאוריים);
• מודלי אופטימיזציה;
• מודלים רב קריטריונים;
• דגמי משחק.

בואו נסביר זאת בעזרת דוגמאות.

מודלים תיאוריים (תיאוריים).. לדוגמה, דוגמנות תנועת שביט פולש מערכת השמש, נעשה לצורך חיזוי מסלול הטיסה שלו, המרחק בו יעבור מכדור הארץ וכו'. במקרה זה, מטרות הדוגמנות הן תיאוריות בטבען, שכן אין דרך להשפיע על תנועת השביט או לשנות משהו בו.

מודלים של אופטימיזציהמשמשים לתיאור תהליכים שניתן להשפיע עליהם בניסיון להשיג מטרה נתונה. במקרה זה, המודל כולל פרמטר אחד או יותר שניתן להשפיע עליו. לדוגמה, כאשר משנים את המשטר התרמי באסם, ניתן להגדיר את המטרה של בחירת משטר שישיג בטיחות דגנים מירבית, כלומר. לייעל את תהליך האחסון.

מודלים רב קריטריונים. לעתים קרובות יש צורך לבצע אופטימיזציה של תהליך לאורך מספר פרמטרים בו זמנית, והמטרות יכולות להיות די סותרות. לדוגמה, לדעת את מחירי המזון ואת הצורך של אדם באוכל, אתה צריך לארגן ארוחות קבוצות גדולותאנשים (בצבא, קייטנה לילדים וכו') נכון מבחינה פיזיולוגית ובו בזמן הכי זול שאפשר. ברור שהמטרות הללו אינן חופפות כלל, כלומר. בעת המודלים ייעשה שימוש במספר קריטריונים, ביניהם יש לחפש איזון.

דגמי משחקעשוי להתייחס לא רק ל משחקי מחשב, אבל גם לדברים חמורים מאוד. לדוגמה, לפני קרב, מפקד, אם יש מידע חלקי על הצבא היריב, חייב לפתח תוכנית: באיזה סדר להכניס יחידות מסוימות לקרב וכו', תוך התחשבות ו תגובה אפשריתאוֹיֵב. ישנו ענף מיוחד במתמטיקה המודרנית - תורת המשחקים - החוקר שיטות קבלת החלטות בתנאים של מידע לא שלם.

בקורס מדעי המחשב בבית הספר מקבלים התלמידים הבנה ראשונית של מידול מתמטי ממוחשב במסגרת הקורס הבסיסי. בתיכון ניתן ללמוד מודלים מתמטיים לעומק בקורס חינוך כללי לשיעורי פיזיקה ומתמטיקה וכן במסגרת קורס בחירה ייעודי.

הצורות העיקריות של הוראת מידול מתמטי ממוחשב בתיכון הן הרצאות, שיעורי מעבדה ומבחנים. בדרך כלל, עבודת היצירה וההכנה ללימוד כל דגם חדש אורכת 3-4 שיעורים. במהלך הצגת החומר נקבעות משימות שחייבים לפתור על ידי התלמידים באופן עצמאי בעתיד. קווי מתאר כללייםמתוארות דרכים לפתור אותן. מנוסחות שאלות שאת התשובות עליהן יש לקבל בעת ביצוע משימות. מסומן ספרות נוספת, המאפשר לך לקבל מידע עזר לביצוע מוצלח יותר של משימות.

צורת הארגון של השיעורים בעת לימוד חומר חדש היא בדרך כלל הרצאה. לאחר השלמת הדיון בדגם הבא תלמידיםלרשותם המידע התיאורטי הדרוש ומערך משימות לעבודה נוספת. לקראת השלמת משימה, התלמידים בוחרים שיטת פתרון מתאימה ובודקים את התוכנית שפותחה באמצעות פתרון פרטי ידוע. במקרה של קשיים אפשריים בעת השלמת משימות, ניתן התייעצות, ומוצעת הצעה ללמוד חלקים אלה ביתר פירוט במקורות ספרותיים.

המתאים ביותר לחלק המעשי בהוראת מודלים ממוחשבים היא שיטת הפרויקט. המשימה מנוסחת עבור התלמיד בצורת פרויקט חינוכי ומתבצעת על פני מספר שיעורים, והצורה הארגונית העיקרית היא מחשב עבודות מעבדה. הוראת מידול בשיטת הפרויקט החינוכי ניתנת ליישום ברמות שונות. הראשונה היא הצגה בעייתית של תהליך השלמת הפרויקט, אותה מוביל המורה. השני הוא יישום הפרויקט על ידי תלמידים בהנחיית מורה. השלישי הוא לסטודנטים להשלים באופן עצמאי פרויקט מחקר חינוכי.

יש להציג את תוצאות העבודה בצורה מספרית, בצורה של גרפים ודיאגרמות. במידת האפשר, התהליך מוצג על מסך המחשב בדינמיקה. עם השלמת החישובים וקבלת התוצאות, הן מנותחות והשוואה איתן עובדות ידועותמתוך תיאוריה, מהימנות מאושרת ומתבצעת פרשנות משמעותית, הבאה לידי ביטוי בדוח כתוב.

אם התוצאות מספקות את התלמיד והמורה, אז העבודה נחשבהושלם, והשלב האחרון שלו הוא הכנת דוח. הדוח כולל מידע תיאורטי קצר על הנושא הנלמד, ניסוח מתמטי של הבעיה, אלגוריתם פתרון והצדקתו, תוכנת מחשב, תוצאות התכנית, ניתוח התוצאות והמסקנות ורשימת הפניות.

לאחר עריכת כל הדוחות, התלמידים מציגים את שלהם הודעות קצרותעל העבודה שנעשתה, הגן על הפרויקט שלהם. זוהי צורת דיווח יעילה מקבוצת המבצעת את הפרויקט לכיתה הכוללת הגדרת הבעיה, בניית מודל פורמלי, בחירת שיטות עבודה עם המודל, הטמעת המודל במחשב, עבודה עם המודל המוגמר, פרשנות. התוצאות, וביצוע תחזיות. כתוצאה מכך התלמידים יכולים לקבל שני ציונים: הראשון - על עיבוד הפרויקט והצלחת הגנתו, השני - על התכנית, אופטימליות האלגוריתם, הממשק שלה וכו'. התלמידים מקבלים גם ציונים במהלך חידוני תיאוריה.

שאלה מהותית- באילו כלים יש להשתמש בקורס מדעי המחשב בבית הספר למידול מתמטי? ניתן לבצע יישום מחשב של מודלים:

• באמצעות מעבד גיליונות אלקטרוניים (בדרך כלל MS Excel);
• על ידי יצירת תוכניות בשפות תכנות מסורתיות (פסקל, BASIC וכו'), כמו גם בגרסאות המודרניות שלהן (Delphi, Visual
  בסיסי ליישום וכו');
• שימוש בחבילות יישומים מיוחדות לפתרון בעיות מתמטיות (MathCAD וכו').

ברמת בית הספר הבסיסית, נראה שהשיטה הראשונה עדיפה יותר. עם זאת, בתיכון, כאשר תכנות הוא, יחד עם דוגמנות, נושא מרכזי במדעי המחשב, רצוי להשתמש בו ככלי מידול. במהלך תהליך התכנות, פרטים של נהלים מתמטיים הופכים לרשות התלמידים; יתרה מכך, הם פשוט נאלצים לשלוט בהם, וזה גם תורם לחינוך מתמטי. באשר לשימוש בחבילות תוכנה מיוחדות, הדבר מתאים בקורס מדעי המחשב ייעודי כהשלמה לכלים אחרים.

תרגיל :

• ערכו תרשים של מושגי מפתח.

הרצאה 1.

יסודות מתודולוגיים של מודלינג

המצב הנוכחי של הבעיה של דוגמנות המערכת

מושגי מידול וסימולציה

דוּגמָנוּתיכול להיחשב כהחלפה של האובייקט הנחקר (המקורי) בתמונה, תיאור או אובייקט אחר הנקרא דֶגֶםומתן התנהגות קרובה למקור במסגרת הנחות מסוימות וטעויות מקובלות. מידול מבוצע בדרך כלל במטרה להבין את תכונות המקור על ידי לימוד המודל שלו, ולא האובייקט עצמו. כמובן, דוגמנות מוצדקת כאשר זה קל יותר ליצורהמקור עצמו או כאשר מסיבה כלשהי עדיף לא ליצור את האחרון בכלל.

תַחַת דֶגֶםמובן כאובייקט פיזי או מופשט, שתכונותיו דומות במובן מסוים לתכונותיו של האובייקט הנחקר.במקרה זה, הדרישות למודל נקבעות על פי הבעיה הנפתרת והאמצעים הזמינים. ישנן מספר דרישות כלליות לדגמים:

2) שלמות – מתן כל המידע הדרוש לנמען

על החפץ;

3) גמישות - היכולת לשחזר מצבים שונים בכל דבר

מגוון שינויים בתנאים ובפרמטרים;

4) מורכבות הפיתוח חייבת להיות מקובלת על הקיים

זמן ותוכנה.

דוּגמָנוּתהוא תהליך של בניית מודל של עצם וחקר תכונותיו על ידי בחינת המודל.

לפיכך, דוגמנות כוללת 2 שלבים עיקריים:

1) פיתוח מודל;

2) לימוד המודל והסקת מסקנות.

במקביל, בכל שלב נפתרות משימות שונות ו

שיטות ואמצעים שונים במהות.

בפועל הם משתמשים שיטות שונותדוּגמָנוּת. בהתאם לשיטת היישום, ניתן לחלק את כל המודלים לשתי מחלקות גדולות: פיזית ומתמטית.

דוגמנות במתמטיקהזה נחשב בדרך כלל כאמצעי לחקר תהליכים או תופעות באמצעות המודלים המתמטיים שלהם.

תַחַת דוגמנות פיזיתהכוונה לחקר אובייקטים ותופעות במודלים פיסיקליים, כאשר התהליך הנחקר משוחזר תוך שמירה על אופיו הפיזי או שנעשה שימוש בתופעה פיזיקלית אחרת הדומה לזו הנחקרת. איפה מודלים פיזייםככלל, ההנחה היא התגלמות אמיתיתאותם מאפיינים פיזיים של המקור שמשמעותיים במצב מסוים, למשל, בעת תכנון מטוס חדש, נוצר דגם בעל אותן תכונות אווירודינמיות; בעת תכנון פיתוח, אדריכלים מכינים מודל המשקף את הסידור המרחבי של האלמנטים שלו. בהקשר זה, דוגמנות פיזית נקראת גם אב טיפוס.

דוגמנות למחצית חייםהוא מחקר של מערכות ניתנות לשליטה על מתחמי מידול עם הכללת ציוד אמיתי במודל. לצד ציוד אמיתי, המודל הסגור כולל סימולטורים של השפעות והפרעות, מודלים מתמטיים של הסביבה החיצונית ותהליכים שלא ידוע להם תיאור מתמטי מדויק מספיק. הכללת ציוד אמיתי או מערכות אמיתיות במעגל של מידול תהליכים מורכבים מאפשרת לצמצם את אי הוודאות אפריורית ולחקור תהליכים שאין להם תיאור מתמטי מדויק. באמצעות מודלים טבעיים למחצה, מחקר מתבצע תוך התחשבות בקבועי זמן קטנים וליניאריות הגלומים בציוד אמיתי. כאשר לומדים מודלים באמצעות ציוד אמיתי, נעשה שימוש בקונספט סימולציה דינמית, כאשר לומדים מערכות ותופעות מורכבות - אֵבוֹלוּצִיוֹנִי, חיקויו דוגמנות קיברנטית.

ברור, את התועלת האמיתית של דוגמנות ניתן להשיג רק אם מתקיימים שני תנאים:

1) המודל מספק תצוגה נכונה (המתאימה) של מאפיינים

המקורי, המשמעותי מנקודת המבט של המבצע הנחקר;

2) המודל מאפשר לך לחסל את הבעיות המפורטות לעיל הטבועות

ביצוע מחקר על חפצים אמיתיים.

2. מושגי יסוד של מידול מתמטי

פתרון בעיות מעשיות באמצעות שיטות מתמטיות מתבצע באופן עקבי על ידי ניסוח הבעיה (פיתוח מודל מתמטי), בחירת שיטה ללימוד המודל המתמטי המתקבל וניתוח התוצאה המתמטית המתקבלת. הניסוח המתמטי של הבעיה מוצג בדרך כלל בצורה של תמונות גיאומטריות, פונקציות, מערכות משוואות וכו'. ניתן לייצג את התיאור של אובייקט (תופעה) באמצעות צורות מתמטיות רציפות או דיסקרטיות, דטרמיניסטיות או סטוכסטיות.

תורת המודלים המתמטייםמבטיחה זיהוי של דפוסי התרחשות של תופעות שונות בעולם הסובב או פעולת מערכות והתקנים באמצעות תיאורם המתמטי והמודלים שלהם מבלי לבצע בדיקות בקנה מידה מלא. במקרה זה, נעשה שימוש בהוראות וחוקי המתמטיקה המתארים את התופעות, המערכות או המכשירים המדומים ברמה מסוימת של האידיאליזציה שלהם.

מודל מתמטי (MM)הוא תיאור פורמלי של מערכת (או פעולה) בשפה מופשטת כלשהי, למשל, בצורה של קבוצה של קשרים מתמטיים או דיאגרמת אלגוריתם, כלומר. כלומר תיאור מתמטי כזה המספק סימולציה של פעולת מערכות או מכשירים ברמה הקרובה מספיק להתנהגותם האמיתית המתקבלת במהלך בדיקה בקנה מידה מלא של מערכות או מכשירים.

כל MM מתאר אובייקט, תופעה או תהליך אמיתיים עם מידה מסוימת של קירוב למציאות. סוג המ"מ תלוי הן באופי האובייקט האמיתי והן במטרות המחקר.

דוגמנות במתמטיקהתופעות חברתיות, כלכליות, ביולוגיות ופיזיות, חפצים, מערכות והתקנים שונים הם אחד האמצעים החשובים ביותר להבנת הטבע ולעיצוב מגוון רחב של מערכות והתקנים. ישנן דוגמאות ידועות לשימוש יעיל במודלים ביצירת טכנולוגיות גרעיניות, מערכות תעופה וחלל, בחיזוי תופעות אטמוספריות ואוקיאניות, מזג אוויר וכו'.

עם זאת, תחומים כה רציניים של דוגמנות דורשים לעתים קרובות מחשבי-על ושנים של עבודה של צוותים גדולים של מדענים כדי להכין נתונים למידול ולניפוי הבאגים שלו. עם זאת, במקרה זה, מידול מתמטי של מערכות ומכשירים מורכבים לא רק חוסך כסף על מחקר ובדיקות, אלא יכול גם לחסל אסונות סביבתיים - למשל, הוא מאפשר לך לנטוש את הניסויים של נשק גרעיני ותרמו-גרעיני לטובת המודלים המתמטיים שלהם. או בדיקה של מערכות תעופה וחלל לפני טיסותיהן בפועל. בין לכן, מידול מתמטי ברמת פתרון בעיות פשוטות יותר, למשל, מתחום המכניקה, הנדסת החשמל, האלקטרוניקה, הנדסת רדיו ותחומים רבים אחרים של מדע וטכנולוגיה הפך כעת זמין לביצוע במחשבים מודרניים. וכאשר משתמשים במודלים מוכללים, ניתן לדמות מערכות מורכבות למדי, למשל, מערכות ורשתות תקשורת, מכ"ם או מערכות ניווט רדיו.

מטרת המודלים המתמטייםהוא ניתוח של תהליכים אמיתיים (בטבע או בטכנולוגיה) תוך שימוש בשיטות מתמטיות. בתורו, זה מצריך את הפורמליזציה של תהליך ה-MM כדי לחקור. המודל יכול להיות ביטוי מתמטי המכיל משתנים שהתנהגותם דומה להתנהגות של מערכת אמיתית. המודל יכול לכלול אלמנטים של אקראיות הלוקחים בחשבון את ההסתברויות של פעולות אפשריות של שניים או יותר"שחקנים", כמו בתורת המשחקים; או שהוא עשוי לייצג משתנים אמיתיים של חלקים מחוברים זה לזה של מערכת ההפעלה.

ניתן לחלק מודלים מתמטיים לחקר המאפיינים של מערכות לניתוח, סימולציה ומשולב. בתורו, MMs מחולקים לסימולציה וניתוח.

דוגמנות אנליטית

ל דוגמנות אנליטיתאופייני שתהליכי התפקוד של המערכת נכתבים בצורה של קשרים פונקציונליים מסוימים (משוואות אלגבריות, דיפרנציאליות, אינטגרליות). ניתן ללמוד את המודל האנליטי באמצעות השיטות הבאות:

1) אנליטיים, כאשר הם שואפים להשיג, בצורה כללית, תלות מפורשת עבור מאפייני מערכות;

2) מספרי, כאשר לא ניתן למצוא פתרון למשוואות בצורה כללית והן נפתרות עבור נתונים ראשוניים ספציפיים;

3) איכותי, כאשר בהיעדר פתרון נמצאות חלק מתכונותיו.

מודלים אנליטיים ניתן להשיג רק עבור מערכות פשוטות יחסית. עבור מערכות מורכבות, לעתים קרובות מתעוררות בעיות מתמטיות גדולות. כדי ליישם את השיטה האנליטית, הם הולכים לפישוט משמעותי של המודל המקורי. עם זאת, מחקר באמצעות מודל מפושט עוזר להשיג רק תוצאות אינדיקטיביות. מודלים אנליטיים משקפים בצורה מתמטית נכונה את הקשר בין משתנים ופרמטרים של קלט ופלט. אבל המבנה שלהם אינו משקף את המבנה הפנימי של האובייקט.

במהלך דוגמנות אנליטית, תוצאותיו מוצגות בצורה של ביטויים אנליטיים. למשל, על ידי חיבור R.C.- מעגל למקור מתח קבוע ה(ר, גו ה- מרכיבים של מודל זה), נוכל ליצור ביטוי אנליטי לתלות הזמן של המתח u(ט) על הקבל ג:

משוואת דיפרנציאלית לינארית זו (DE) היא המודל האנליטי של מעגל ליניארי פשוט זה. הפתרון האנליטי שלו, בתנאי ההתחלה u(0) = 0, כלומר קבל פרוק גבתחילת הדוגמנות, מאפשר לך למצוא את התלות הרצויה - בצורה של נוסחה:

u(ט) = ה(1− לְשֶׁעָבַרע(- ט/RC)). (2)

עם זאת, אפילו בדוגמה הפשוטה ביותר הזו, נדרשים מאמצים מסוימים כדי לפתור DE (1) או ליישם מערכות מתמטיקה ממוחשבות(SCM) עם חישובים סימבוליים – מערכות אלגברה ממוחשבות. עבור מקרה טריוויאלי לחלוטין זה, פתרון הבעיה של דוגמנות ליניארי R.C.-מעגל נותן ביטוי אנליטי (2) בצורה כללית למדי - הוא מתאים לתיאור פעולת המעגל עבור כל דירוגי רכיבים ר, גו ה, ומתאר את המטען האקספוננציאלי של הקבל גדרך נגד רממקור מתח קבוע ה.

כמובן שמציאת פתרונות אנליטיים במהלך מידול אנליטי מתברר כבעל ערך רב לזיהוי תבניות תיאורטיות כלליות של מעגלים, מערכות והתקנים ליניאריים פשוטים. עם זאת, מורכבותו עולה בחדות ככל שההשפעות על המודל הופכות מורכבות יותר והסדר והמספר של משוואות מצבים המתארות את עליית האובייקט המודגם. אתה יכול לקבל תוצאות נראות פחות או יותר בעת מודלים של אובייקטים מהסדר השני או השלישי, אבל עם סדר גבוה יותר, ביטויים אנליטיים הופכים למסורבלים מדי, מורכבים וקשים להבנה. למשל, אפילו מגבר אלקטרוני פשוט מכיל לרוב עשרות רכיבים. עם זאת, SCMs מודרניים רבים, למשל, מערכות של מתמטיקה סמלית מייפל, מתמטיקהאו סביבה MATLAB, מסוגלים להפוך במידה רבה לאוטומציה של פתרון בעיות דוגמנות אנליטיות מורכבות.

סוג אחד של דוגמנות הוא דוגמנות מספרית,אשר מורכב מהשגת הנתונים הכמותיים הדרושים על התנהגות מערכות או מכשירים בכל שיטה מספרית מתאימה, כגון שיטות אוילר או רונגה-קוטה. בפועל, מידול מערכות והתקנים לא ליניאריים באמצעות שיטות מספריות מתברר כיעיל הרבה יותר מאשר מידול אנליטי של מעגלים, מערכות או התקנים ליניאריים פרטיים. לדוגמה, לפתרון מערכות DE (1) או DE במקרים מורכבים יותר, לא ניתן להשיג פתרון בצורה אנליטית, אך באמצעות נתוני סימולציה מספריים, ניתן לקבל נתונים די מלאים על התנהגות המערכות והמכשירים המדומים, גם כן. כמו בניית גרפים של תלות המתארים התנהגות זו.

דוגמנות סימולציה

בְּ חיקוי 10ומודלים, האלגוריתם שמיישם את המודל משחזר את תהליך תפקוד המערכת לאורך זמן. התופעות האלמנטריות המרכיבות את התהליך מודמות, תוך שמירה על המבנה הלוגי שלהן ורצף האירועים לאורך זמן.

היתרון העיקרי של מודלים סימולציה בהשוואה לאנליטיים הוא היכולת לפתור בעיות מורכבות יותר.

מודלים של סימולציה מקלים לקחת בחשבון את נוכחותם של אלמנטים בדידים או רציפים, מאפיינים לא ליניאריים, השפעות אקראיות וכו'. לכן, שיטה זו נמצאת בשימוש נרחב בשלב התכנון של מערכות מורכבות. האמצעי העיקרי להטמעת מידול סימולציה הוא מחשב, המאפשר מידול דיגיטלי של מערכות ואותות.

בהקשר זה, הבה נגדיר את הביטוי " דוגמנות מחשב", אשר נמצא בשימוש יותר ויותר בספרות. בוא נניח את זה דוגמנות מחשבהוא מידול מתמטי באמצעות טכנולוגיית מחשב. בהתאם לכך, טכנולוגיית מודלים ממוחשבים כרוכה בביצוע הפעולות הבאות:

1) קביעת מטרת המידול;

2) פיתוח מודל רעיוני;

3) פורמליזציה של המודל;

4) יישום תוכנה של המודל;

5) תכנון ניסויי מודל;

6) יישום תכנית הניסוי;

7) ניתוח ופרשנות של תוצאות המידול.

בְּ דוגמנות סימולציהה-MM המשמש משחזר את האלגוריתם ("ההיגיון") של תפקוד המערכת הנחקרת לאורך זמן עבור שילובים שונים של ערכים של פרמטרי מערכת והסביבה החיצונית.

דוגמה למודל האנליטי הפשוט ביותר היא המשוואה של תנועה אחידה ישר. כאשר לומדים תהליך כזה באמצעות מודל סימולציה, יש ליישם צפייה בשינויים בנתיב שעבר לאורך זמן. ברור שבמקרים מסוימים מודל אנליטי עדיף יותר, באחרים - סימולציה (או שילוב של שניהם). כדי לבצע בחירה מוצלחת, עליך לענות על שתי שאלות.

מה מטרת הדוגמנות?

לאיזה מחלקה ניתן לסווג את התופעה המודגם?

ניתן לקבל תשובות לשתי השאלות הללו במהלך שני השלבים הראשונים של הדוגמנות.

מודלים של סימולציה לא רק במאפיינים, אלא גם במבנה תואמים לאובייקט המעוצב. במקרה זה, קיימת התאמה חד משמעית וברורה בין התהליכים המתקבלים במודל לבין התהליכים המתרחשים באובייקט. החיסרון בסימולציה הוא שלוקח הרבה זמן לפתור את הבעיה כדי להשיג דיוק טוב.

התוצאות של מודל סימולציה של פעולת מערכת סטוכסטית הן מימושים של משתנים או תהליכים אקראיים. לכן, כדי למצוא את מאפייני המערכת, נדרשות חזרות מרובות ועיבוד נתונים לאחר מכן. לרוב במקרה זה, נעשה שימוש בסוג של סימולציה - סטָטִיסטִי

דוּגמָנוּת(או שיטת מונטה קרלו), כלומר. שכפול של גורמים אקראיים, אירועים, כמויות, תהליכים, שדות במודלים.

בהתבסס על תוצאות המודלים הסטטיסטיים נקבעות אומדנים של קריטריוני איכות הסתברותיים, כלליים וספציפיים, המאפיינים את תפקוד ויעילות המערכת המנוהלת. מודלים סטטיסטיים נמצאים בשימוש נרחב לפתרון בעיות מדעיות ויישומיות בתחומים שונים של מדע וטכנולוגיה. שיטות מידול סטטיסטי נמצאות בשימוש נרחב בחקר מערכות דינמיות מורכבות, תוך הערכת תפקודן ויעילותן.

השלב האחרון של המודל הסטטיסטי מבוסס על עיבוד מתמטי של התוצאות שהתקבלו. כאן נעשה שימוש בשיטות של סטטיסטיקה מתמטית (הערכה פרמטרית ולא פרמטרית, בדיקת השערות). דוגמה לאומד פרמטרי היא ממוצע המדגם של מדד ביצועים. בין שיטות לא פרמטריות, נפוץ שיטת היסטוגרמה.

הסכימה הנחשבת מבוססת על מבחנים סטטיסטיים חוזרים ונשנים של המערכת ושיטות הסטטיסטיקה של משתנים אקראיים בלתי תלויים, סכימה זו אינה תמיד טבעית בפועל ואופטימלית מבחינת עלויות. ניתן להשיג צמצום זמן בדיקת המערכת באמצעות שימוש בשיטות הערכה מדויקות יותר. כידוע מסטטיסטיקה מתמטית, לאומדנים יעילים יש את הדיוק הגדול ביותר עבור גודל מדגם נתון. סינון אופטימלי ושיטת סבירות מקסימלית נותנים שיטה כלליתהשגת אומדנים כאלה בבעיות מודלים סטטיסטיים, עיבוד יישומי תהליכים אקראיים נחוץ לא רק לניתוח תהליכי פלט.

שליטה במאפיינים של השפעות אקראיות קלט חשובה מאוד. הבקרה מורכבת מבדיקת התאימות של ההפצות של תהליכים שנוצרו עם ההפצות הנתונות. בעיה זו מנוסחת לעתים קרובות כ בעיה בבדיקת השערות.

המגמה הכללית במידול ממוחשב של מערכות מבוקרות מורכבות היא הרצון לצמצם את זמן המידול, כמו גם לבצע מחקר בזמן אמת. נוח לייצג אלגוריתמים חישוביים בצורה חוזרת, המאפשרת הטמעתם בקצב קבלת המידע העדכני.

עקרונות גישת מערכת במודלינג

עקרונות בסיסיים של תורת המערכות

העקרונות הבסיסיים של תורת המערכות התעוררו במהלך חקר המערכות הדינמיות והאלמנטים התפקודיים שלהן. מערכת מובנת כקבוצה של אלמנטים מחוברים זה לזה הפועלים יחד כדי לבצע משימה שנקבעה מראש. ניתוח מערכות מאפשר לך לקבוע את המרב דרכים אמיתיותמילוי המשימה שהוטלה, הבטחת שביעות רצון מירבית מהדרישות המוצהרות.

היסודות המהווים את הבסיס לתורת המערכות אינם נוצרים באמצעות השערות, אלא מתגלים בניסוי. על מנת להתחיל לבנות מערכת, יש צורך במאפיינים כלליים של תהליכים טכנולוגיים. כך גם לגבי עקרונות יצירת קריטריונים מנוסחים מתמטית שעל תהליך או תיאור תיאורטי שלו לעמוד בהם. דוגמנות היא אחת מהן שיטות חשובותמחקר וניסויים מדעיים.

בעת בניית מודלים של אובייקטים משתמשים בגישת מערכת שהיא מתודולוגיה לפתרון בעיות מורכבות, המבוססת על התייחסות לאובייקט כמערכת הפועלת בסביבה מסוימת. גישה שיטתית כוללת חשיפת שלמותו של אובייקט, זיהוי ולימוד המבנה הפנימי שלו, כמו גם קשרים עם הסביבה החיצונית. במקרה זה, האובייקט מוצג כחלק מהעולם האמיתי, המבודד ונחקר בקשר לבעיית בניית המודל. בנוסף, גישת המערכות כרוכה במעבר עקבי מהכלל לספציפי, כאשר המטרה התכנונית היא בסיס השיקול, והאובייקט נחשב ביחס לסביבה.

ניתן לחלק אובייקט מורכב לתת-מערכות, שהן חלקים מהאובייקט העומדים בדרישות הבאות:

1) תת-מערכת היא חלק בלתי תלוי מבחינה תפקודית של אובייקט. הוא מחובר עם תת-מערכות אחרות, מחליף איתן מידע ואנרגיה;

2) לכל תת-מערכת ניתן להגדיר פונקציות או מאפיינים שאינם עולים בקנה אחד עם המאפיינים של המערכת כולה;

3) כל אחת מתתי המערכות יכולה להיות נתונה לחלוקה נוספת לרמת האלמנטים.

במקרה זה, אלמנט מובן כתת-מערכת ברמה נמוכה יותר, שהחלוקה הנוספת שלה אינה הולמת מנקודת המבט של הבעיה הנפתרת.

לפיכך, ניתן להגדיר מערכת כייצוג של אובייקט בצורה של קבוצה של תת-מערכות, אלמנטים וקשרים לצורך יצירתו, מחקרו או שיפורו. במקרה זה, ייצוג מוגדל של המערכת, כולל תת-המערכות העיקריות והקשרים ביניהן, נקרא מקרו-מבנה, וחשיפה מפורטת של המבנה הפנימי של המערכת עד לרמת האלמנטים נקראת מיקרו-מבנה.

יחד עם המערכת קיימת בדרך כלל מערכת-על - מערכת ברמה גבוהה יותר, הכוללת את האובייקט המדובר, וניתן לקבוע את תפקידה של כל מערכת רק באמצעות מערכת העל.

יש צורך להדגיש את מושג הסביבה כמכלול אובייקטים של העולם החיצוני המשפיעים באופן משמעותי על יעילות המערכת, אך אינם חלק מהמערכת וממערכת העל שלה.

בהקשר לגישת המערכות לבניית מודלים נעשה שימוש במושג תשתית המתאר את מערכת היחסים של המערכת עם הסביבה (הסביבה) במקרה זה, זיהוי, תיאור ולימוד של תכונותיו של אובייקט חיוניות במסגרת משימה ספציפית נקרא ריבוד של האובייקט, וכל מודל של האובייקט הוא התיאור השכבתי שלו.

לגישה מערכתית, חשוב לקבוע את מבנה המערכת, כלומר. אוסף של קשרים בין אלמנטים של המערכת, המשקפים את האינטראקציה ביניהם. לשם כך, ראשית נבחן את הגישות המבניות והפונקציונליות למידול.

בגישה מבנית מתגלה ההרכב של מרכיבי המערכת הנבחרים והקשרים ביניהם. מכלול האלמנטים והקשרים מאפשר לנו לשפוט את מבנה המערכת. התיאור הכללי ביותר של מבנה הוא תיאור טופולוגי. זה מאפשר לך לקבוע את מרכיבי המערכת והקשרים ביניהם באמצעות גרפים. פחות כללי הוא התיאור הפונקציונלי, כאשר מתחשבים בפונקציות בודדות, כלומר, אלגוריתמים להתנהגות המערכת. במקרה זה מיושמת גישה פונקציונלית המגדירה את הפונקציות שהמערכת מבצעת.

בהתבסס על גישת המערכות, ניתן להציע רצף של פיתוח מודלים, כאשר מבחינים בשני שלבי תכנון עיקריים: מקרו-עיצוב ומיקרו-עיצוב.

בשלב תכנון המאקרו נבנה מודל של הסביבה החיצונית, זיהוי משאבים ומגבלות, נבחר מודל מערכת וקריטריונים להערכת הלימות.

שלב המיקרו-עיצוב תלוי במידה רבה בסוג הדגם הספציפי שנבחר. באופן כללי, זה כרוך ביצירת מערכות מידע, מתמטיות, טכניות ותוכנה. בשלב זה נקבעים המאפיינים הטכניים העיקריים של המודל שנוצר, משך הזמן הנדרש לעבוד איתו ועלות המשאבים להשגת האיכות המצוינת של המודל נאמדים.

ללא קשר לסוג המודל, בעת בנייתו, יש צורך להיות מונחה על ידי מספר עקרונות של גישה שיטתית:

1) התקדמות עקבית בשלבי יצירת מודל;

2) תיאום מידע, משאב, מהימנות ומאפיינים אחרים;

3) היחס הנכון בין הרמות השונות של בניית המודל;

4) שלמות השלבים האישיים של עיצוב המודל.