Príklady:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Ako riešiť exponenciálne rovnice

Pri riešení akejkoľvek exponenciálnej rovnice sa ju snažíme dostať do tvaru \(a^(f(x))=a^(g(x))\) a potom prejsť na rovnosť exponentov, teda:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Napríklad:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Dôležité! Z rovnakej logiky vyplývajú dve požiadavky na takýto prechod:
- číslo v ľavá a pravá strana by mali byť rovnaké;
- stupne vľavo a vpravo musia byť „čisté“, to znamená, že by nemalo dochádzať k násobeniu, deleniu atď.

Napríklad:

Na zmenšenie rovnice do tvaru \(a^(f(x))=a^(g(x))\) a sa používajú.

Príklad . Vyriešte exponenciálnu rovnicu \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Riešenie:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Vieme, že \(27 = 3^3\). Berúc toto do úvahy, transformujeme rovnicu.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Vlastnosťou koreňa \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) dostaneme, že \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Ďalej pomocou vlastnosti stupňa \((a^b)^c=a^(bc)\ získame \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Vieme tiež, že \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Aplikovaním tohto na ľavú stranu dostaneme: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Teraz si zapamätajte, že: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Tento vzorec je možné použiť aj v opačná strana: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Potom \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Aplikovaním vlastnosti \((a^b)^c=a^(bc)\) na pravú stranu dostaneme: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) = 3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		A teraz sú naše základy rovnaké a neexistujú žiadne rušivé koeficienty atď. Takže môžeme urobiť prechod.
		Príklad . Vyriešte exponenciálnu rovnicu \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Riešenie: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Opačným smerom opäť použijeme mocninnú vlastnosť \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\). \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Teraz si zapamätajte, že \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\) Pomocou vlastností stupňov transformujeme: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) Pozorne sa pozrieme na rovnicu a vidíme, že náhrada \(t=2^x\) sa sama navrhuje. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Našli sme však hodnoty \(t\) a potrebujeme \(x\). Vraciame sa k X a robíme opačnú výmenu. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Druhú rovnicu transformujeme pomocou vlastnosti negatívny stupeň… \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...a rozhodujeme sa až do odpovede. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Odpoveď : \(-1; 1\). Otázkou zostáva - ako pochopiť, kedy použiť ktorú metódu? Toto prichádza so skúsenosťami. Kým ho nedostanete, používajte ho všeobecné odporúčanie riešiť zložité problémy – „ak nevieš, čo máš robiť, rob, čo môžeš“. To znamená, hľadajte, ako môžete v princípe transformovať rovnicu, a skúste to urobiť - čo ak sa stane, čo? Hlavná vec je robiť iba matematicky založené transformácie. Exponenciálne rovnice bez riešení Pozrime sa na ďalšie dve situácie, ktoré študentov často mätú: - kladné číslo na mocninu sa rovná nule, napríklad \(2^x=0\); - kladné číslo na mocninu sa rovná záporné číslo, napríklad \(2^x=-4\). Skúsme to vyriešiť hrubou silou. Ak je x kladné číslo, potom ako x rastie, celá mocnina \(2^x\) sa bude len zvyšovať: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Tiež podľa. Zostávajú záporné X. Zapamätajúc si vlastnosť \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\) skontrolujeme: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Napriek tomu, že sa číslo každým krokom zmenšuje, nikdy nedosiahne nulu. Negatívny stupeň nás teda nezachránil. Dostávame sa k logickému záveru: Kladné číslo v akomkoľvek stupni zostane kladným číslom. Obidve vyššie uvedené rovnice teda nemajú riešenia. Exponenciálne rovnice s rôznymi bázami V praxi sa niekedy stretávame s exponenciálnymi rovnicami s z rôznych dôvodov, navzájom neredukovateľné a zároveň s rovnakými exponentmi. Vyzerajú takto: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), kde \(a\) a \(b\) sú kladné čísla. Napríklad: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Takéto rovnice sa dajú ľahko vyriešiť delením ktoroukoľvek stranou rovnice (zvyčajne delenou pravá strana, teda na \(b^(f(x))\). Môžete deliť týmto spôsobom, pretože kladné číslo je kladné na akúkoľvek mocninu (to znamená, že nedelíme nulou). Dostaneme: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Príklad . Vyriešte exponenciálnu rovnicu \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Riešenie: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Tu nebudeme môcť premeniť päťku na trojku a ani naopak (podľa najmenej, bez použitia). To znamená, že nemôžeme prísť do tvaru \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Ukazovatele sú však rovnaké. Rozdeľme rovnicu pravou stranou, teda \(3^(x+7)\) (môžeme to urobiť, pretože vieme, že trojka v žiadnom prípade nebude nula). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Teraz si zapamätajte vlastnosť \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) a použite ju zľava v opačnom smere. Vpravo jednoducho znížime zlomok. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Zdalo by sa, že veci sa nezlepšili. Pamätajte si však ešte jednu vlastnosť mocniny: \(a^0=1\), inými slovami: „akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná \(1\).“ Platí to aj naopak: „jednička môže byť vyjadrená ako akékoľvek číslo s nulovou mocninou“. Využime to tak, že základňu spravíme rovnako ako vľavo. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Zbavme sa základov. Píšeme odpoveď. Odpoveď : \(-7\). Niekedy nie je „rovnakosť“ exponentov zrejmá, ale zručné využitie vlastností exponentov tento problém rieši. Príklad . Vyriešte exponenciálnu rovnicu \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Riešenie: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Rovnica vyzerá veľmi smutne... Nielenže sa nedajú zredukovať základy na rovnaké číslo (sedem sa v žiadnom prípade nebude rovnať \(\frac(1)(3)\)), ale aj exponenty sú rôzne. .. Použijme však ľavú exponentnú dvojku. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Pamätajúc na vlastnosť \((a^b)^c=a^(b·c)\) , transformujeme zľava: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Teraz, keď si pamätáme vlastnosť záporného stupňa \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), transformujeme sprava: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Aleluja! Ukazovatele sú rovnaké! Konajúc podľa nám už známej schémy riešime pred odpoveďou. Odpoveď : \(2\).

Toto je názov pre rovnice tvaru, kde neznáma je v exponente aj v základe mocniny.

Môžete zadať úplne jasný algoritmus na riešenie rovnice formulára. Aby ste to urobili, musíte venovať pozornosť skutočnosti, že kedy oh) nerovná sa nula, jedna a mínus jedna rovnosť právomocí s z rovnakých dôvodov(či už kladné alebo záporné) je možné len vtedy, ak sú exponenty rovnaké. To znamená, že všetky korene rovnice budú koreňmi rovnice f(x) = g(x) Opačné tvrdenie nie je pravdivé, keď oh)< 0 a zlomkové hodnoty f(x) A g(x) výrazov oh) f(x) A

oh) g(x) strácajú zmysel. Teda pri prechode z do f(x) = g(x)(môžu sa objaviť pre a cudzie korene, ktoré treba vylúčiť porovnaním s pôvodnou rovnicou. A prípady a = 0, a = 1, a = -1 je potrebné posudzovať samostatne.

Tak pre úplné riešenie rovnice uvažujeme o prípadoch:

a(x) = O f(x) A g(x) budú kladné čísla, potom je toto riešenie. Inak nie

a(x) = 1. Korene tejto rovnice sú zároveň koreňmi pôvodnej rovnice.

a(x) = -1. Ak pre hodnotu x, ktorá spĺňa túto rovnicu, f(x) A g(x) sú celé čísla rovnakej parity (buď obe párne alebo obidve nepárne), potom je toto riešenie. Inak nie

Kedy a riešime rovnicu f(x)= g(x) a dosadením získaných výsledkov do pôvodnej rovnice sme odrezali cudzie korene.

Príklady riešenia exponenciálno-mocninových rovníc.

Príklad č.1.

1) x - 3 = 0, x = 3. pretože 3 > 0 a 3 2 > 0, potom x 1 = 3 je riešením.

2) x - 3 = 1, x 2 = 4.

3) x - 3 = -1, x = 2. Oba ukazovatele sú párne. Toto riešenie je x 3 = 1.

4) x - 3? 0 a x? ± 1. x = x 2, x = 0 alebo x = 1. Pre x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 - toto riešenie je správne: x 4 = 0. Pre x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 - toto riešenie je správne x 5 = 1.

Odpoveď: 0, 1, 2, 3, 4.

Príklad č.2.

Podľa definície aritmetiky odmocnina: x - 1 ? 0, x? 1.

1) x - 1 = 0 alebo x = 1, = 0, 0 0 nie je riešenie.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 = -1 x 2 = 0 sa nezmestí do ODZ.

D = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - neexistujú žiadne korene.

1º. Exponenciálne rovnice sa nazývajú rovnice obsahujúce premennú v exponente.

Riešenie exponenciálne rovnice na základe vlastnosti stupňa: dve mocniny s rovnakým základom sú rovnaké vtedy a len vtedy, ak sú ich exponenty rovnaké.

2º. Základné metódy riešenia exponenciálnych rovníc:

1) najjednoduchšia rovnica má riešenie;

2) rovnica v logaritmickom tvare so základňou a zredukovať do formy;

3) rovnica tvaru je ekvivalentná rovnici ;

4) rovnica tvaru je ekvivalentná rovnici.

5) rovnica tvaru sa redukuje substitúciou na rovnicu a potom sa rieši súbor jednoduchých exponenciálnych rovníc;

6) rovnica s recipročným recipročné substitúciou redukujú na rovnicu a potom riešia sústavu rovníc;

7) rovnice homogénne vzhľadom na a g(x) A b g(x) vzhľadom na to milý nahradením sa zredukujú na rovnicu a potom sa vyrieši množina rovníc.

Klasifikácia exponenciálnych rovníc.

1. Rovnice vyriešené prechodom na jeden základ.

Príklad 18. Vyriešte rovnicu .

Riešenie: Využime skutočnosť, že všetky základy mocniny sú mocniny čísla 5: .

2. Rovnice riešené prechodom na jeden exponent.

Tieto rovnice sa riešia transformáciou pôvodnej rovnice do tvaru , ktorá je redukovaná na najjednoduchšiu pomocou vlastnosti proporcie.

Príklad 19. Vyriešte rovnicu:

3. Rovnice vyriešené odstránením spoločného činiteľa zo zátvoriek.

Ak sa každý exponent v rovnici líši od druhého o určité číslo, potom sa rovnice vyriešia umiestnením exponentu s najmenším exponentom zo zátvoriek.

Príklad 20. Vyriešte rovnicu.

Riešenie: Vyberme stupeň s najmenším exponentom zo zátvoriek na ľavej strane rovnice:

Príklad 21. Vyriešte rovnicu

Riešenie: Zoskupme oddelene na ľavej strane rovnice členy obsahujúce mocniny so základom 4, na pravej strane so základom 3 a potom zo zátvoriek dáme mocniny s najmenším exponentom:

4. Rovnice, ktoré sa redukujú na kvadratické (alebo kubické) rovnice.

TO kvadratická rovnica vzhľadom na novú premennú y sa zredukujú nasledujúce rovnice:

a) v tomto prípade typ náhrady;

b) typ substitúcie a .

Príklad 22. Vyriešte rovnicu .

Riešenie: Urobme zmenu premennej a vyriešme kvadratickú rovnicu:

.

Odpoveď: 0; 1.

5. Rovnice, ktoré sú homogénne vzhľadom na exponenciálne funkcie.

Rovnica tvaru je homogénna rovnica druhého stupňa vo vzťahu k neznámym a x A b x. Takéto rovnice sa redukujú tak, že sa obe strany najprv vydelia a potom sa dosadia do kvadratických rovníc.

Príklad 23. Vyriešte rovnicu.

Riešenie: Vydeľte obe strany rovnice takto:

Uvedením dostaneme kvadratickú rovnicu s koreňmi.

Teraz je problém vyriešiť sadu rovníc . Z prvej rovnice zistíme, že . Druhá rovnica nemá korene, pretože pre akúkoľvek hodnotu X.

Odpoveď: -1/2.

6. Racionálne rovnice s ohľadom na exponenciálne funkcie.

Príklad 24. Vyriešte rovnicu.

Riešenie: Čitateľ a menovateľ zlomku vydeľte 3 x a namiesto dvoch dostaneme jednu exponenciálnu funkciu:

7. Rovnice formulára .

Takéto rovnice so súborom prípustných hodnôt (APV), určenými podmienkou, pomocou logaritmu oboch strán rovnice, sa redukujú na ekvivalentnú rovnicu, ktorá je zase ekvivalentná skupine dvoch rovníc alebo.

Príklad 25. Riešte rovnicu: .

.

Didaktický materiál.

Riešte rovnice:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Nájdite súčin koreňov rovnice .

27. Nájdite súčet koreňov rovnice .

Nájdite význam výrazu:

28. , kde x 0- koreň rovnice;

29. , kde x 0– celý koreň rovnice .

Vyriešte rovnicu:

31. ; 32. .

Odpovede: 10; 2. -2/9; 3. 1/36; 4,0, 0,5; 50; 6,0; 7, -2; 8,2; 9,1, 3; 10,8; 11,5; 12,1; 13. ¼; 14,2; 15, -2, -1; 16, -2, 1; 17,0; 18,1; 19,0; 20,-1,0; 21,-2, 2; 22, -2, 2; 23,4; 24,-1,2; 25, -2, -1, 3; 26,-0,3; 27,3; 28,11; 29,54; 30, -1, 0, 2, 3; 31.; 32.

Téma č.8.

Exponenciálne nerovnosti.

1º. Volá sa nerovnosť obsahujúca premennú v exponente exponenciálna nerovnosť.

2º. Riešenie exponenciálnych nerovností tvaru je založené na nasledujúcich tvrdeniach:

ak , potom nerovnosť je ekvivalentná ;

ak , potom sa nerovnosť rovná .

Pri riešení exponenciálnych nerovníc sa používajú rovnaké techniky ako pri riešení exponenciálnych rovníc.

Príklad 26. Riešte nerovnosť (spôsob prechodu na jednu základňu).

Riešenie: Od , potom možno danú nerovnosť zapísať ako: . Od , potom je táto nerovnosť ekvivalentná nerovnosti .

Vyriešením poslednej nerovnosti dostaneme .

Príklad 27. Vyriešte nerovnosť: ( odstránením spoločného činiteľa zo zátvoriek).

Riešenie: Vyberieme zo zátvoriek na ľavej strane nerovnosti , na pravej strane nerovnosti a vydelíme obe strany nerovnosti (-2), pričom zmeníme znamienko nerovnosti na opak:

Od , potom pri prechode na nerovnosť ukazovateľov sa znamienko nerovnosti opäť zmení na opačné. Dostaneme. Množinou všetkých riešení tejto nerovnosti je teda interval.

Príklad 28. Riešte nerovnosť ( zavedením novej premennej).

Riešenie: Nechajte . Potom bude mať táto nerovnosť podobu: alebo , ktorého riešením je interval .

Odtiaľ. Keďže sa funkcia zvyšuje, potom .

Didaktický materiál.

Zadajte množinu riešení nerovnosti:

1. ; 2. ; 3. ;

6. Pri akých hodnotách X Ležia body na funkčnom grafe pod priamkou?

7. Pri akých hodnotách X Ležia body na grafe funkcie aspoň tak ďaleko ako priamka?

Vyriešte nerovnosť:

8. ; 9. ; 10. ;

13. Zadajte najväčšie celočíselné riešenie nerovnosti .

14. Nájdite súčin najväčšieho celého čísla a najmenších celočíselných riešení nerovnice .

Vyriešte nerovnosť:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Nájdite doménu funkcie:

27. ; 28. .

29. Nájdite množinu hodnôt argumentov, pre ktoré sú hodnoty každej funkcie väčšie ako 3:

A .

Odpovede: 11,3; 12,3; 13, -3; 14,1; 15, (0; 0,5); 16.; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19, (0; +∞); 20, (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23, (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3,5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. )