Mierou uhla medzi rovinami je ostrý uhol tvorený dvoma priamkami ležiacimi v týchto rovinách a vedenými kolmo na priamku ich priesečníka.

Konštrukčný algoritmus

1. Z ľubovoľného bodu K sa ku každej z daných rovín vedú kolmice.
2. Otočenie okolo čiary hladiny určuje hodnotu uhla γ° s vrcholom v bode K.
3. Vypočítajte uhol medzi rovinami ϕ° = 180 - γ° za predpokladu, že γ° > 90°. Ak γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

Na obrázku je znázornený prípad, keď sú roviny α a β dané stopami. Všetky potrebné konštrukcie sú vyrobené podľa algoritmu a sú popísané nižšie.

Riešenie

1. Na ľubovoľnom mieste výkresu označíme bod K. Z neho spustíme kolmice m a n na roviny α a β. Smer projekcií m a n je nasledujúci: m""⊥f 0α, m"⊥h 0α, n""⊥f 0β, n"⊥h 0β.
2. Skutočnú veľkosť ∠γ° určíme medzi priamkami m a n. Za týmto účelom otočte uhlovú rovinu s vrcholom K okolo frontálnej f do polohy rovnobežnej s rovinou frontálnej projekcie. Polomer otáčania R bodu K sa rovná hodnote prepony pravouhlého trojuholníka O""K""K 0, ktorého rameno je K""K 0 = y K – y O .
3. Požadovaný uhol je ϕ° = ∠γ°, pretože ∠γ° je ostrý.

Na obrázku nižšie je znázornené riešenie úlohy, v ktorej je potrebné nájsť uhol γ° medzi rovinami α a β daný rovnobežkami a pretínajúcimi sa priamkami.

Riešenie

1. Smer priemetov horizontál h 1, h 2 a frontál f 1, f 2 prislúchajúcich rovinám α a β určíme v poradí označenom šípkami. Z ľubovoľného bodu K na námestí. α a β zhodíme kolmice e a k. V tomto prípade e""⊥f""1, e"⊥h"1 a k""⊥f""2, k"⊥h"2.
2. Určíme ∠γ° medzi priamkami e a k. Aby sme to urobili, nakreslíme horizontálu h 3 a otočíme okolo nej bod K do polohy K 1, v ktorej sa △CKD stane rovnobežným s horizontálnou rovinou a bude sa na nej odrážať v plnej veľkosti - △C "K" 1 D". Priemet stredu otáčania O" je nakreslený na h "3 kolmice K "O". Polomer R je určený z pravouhlého trojuholníka O "K" K 0, ktorého strana je K "K 0 \u003d Z O - Z K.
3. Požadovaná hodnota je ∠ϕ° = ∠γ°, pretože uhol γ° je ostrý.

Pri riešení geometrických úloh v priestore sa často vyskytujú také, kde je potrebné vypočítať uhly medzi rôznymi priestorovými objektmi. V tomto článku sa budeme zaoberať otázkou hľadania uhlov medzi rovinami a medzi nimi a priamkou.

Rovná čiara v priestore

Je známe, že absolútne akúkoľvek priamku v rovine možno definovať nasledujúcou rovnosťou:

Tu a a b sú niektoré čísla. Ak rovnakým výrazom znázorníme priamku v priestore, tak dostaneme rovinu rovnobežnú s osou z. Pre matematická definícia priestorová priamka sa používa iný spôsob riešenia ako v dvojrozmernom prípade. Spočíva vo využití konceptu „riadiaceho vektora“.

Príklady riešenia úloh na určenie uhla priesečníka rovín

Vedieť, ako nájsť uhol medzi rovinami, vyriešime nasledujúci problém. Sú uvedené dve roviny, ktorých rovnice majú tvar:

3* x + 4 * y - z + 3 = 0;

X - 2 * y + 5 * z + 1 = 0

Aký je uhol medzi rovinami?

Aby sme odpovedali na otázku problému, pripomeňme, že koeficienty, ktoré stoja pri premenných vo všeobecnej rovnici roviny, sú súradnicami vodiaceho vektora. Pre tieto roviny máme tieto súradnice ich normál:

n1¯(3; 4; -1);

n 2 ¯ (-1; -2; 5)

Teraz nájdeme skalárny súčin týchto vektorov a ich modulov, máme:

(n 1 ¯ * n 2 ¯) \u003d -3 -8 -5 \u003d -16;

|n 1 ¯| = √(9 + 16 + 1) = √26;

|n 2 ¯| = √(1 + 4 + 25) = √30

Teraz môžete nájdené čísla nahradiť vzorcom uvedeným v predchádzajúcom odseku. Dostaneme:

α = arccos(|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55,05 o

Výsledná hodnota zodpovedá ostrému uhlu priesečníka rovín špecifikovanému v podmienke úlohy.

Teraz sa pozrime na ďalší príklad. Dané dve roviny:

Pretínajú sa? Zapíšme si hodnoty súradníc ich smerových vektorov, vypočítajme ich skalárny súčin a moduly:

n1°(1; 1; 0);

n2°(3; 3; 0);

(n1¯ * n2¯) = 3 + 3 + 0 = 6;

|n 1 ¯| = √2;

|n 2 ¯| = √18

Potom je uhol priesečníka:

α = arccos(|6| / (√2 * √18) =0 o .

Tento uhol naznačuje, že roviny sa nepretínajú, ale sú rovnobežné. Skutočnosť, že sa navzájom nezhodujú, je ľahké skontrolovať. Vezmime si na to ľubovoľný bod patriaci prvému z nich, napríklad P(0; 3; 2). Nahradením jeho súradníc do druhej rovnice dostaneme:

3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0

To znamená, že bod P patrí len do prvej roviny.

Dve roviny sú teda rovnobežné, keď sú ich normály.

Rovina a čiara

V prípade zváženia relatívnu polohu medzi rovinou a priamkou je o niečo viac možností ako pri dvoch rovinách. Tento fakt súvisí s tým, že priamka je jednorozmerný objekt. Čiara a rovina môžu byť:

• vzájomne rovnobežné, v tomto prípade rovina nepretína priamku;
• druhá môže patriť do roviny, pričom bude s ňou tiež rovnobežná;
• oba objekty sa môžu pretínať pod určitým uhlom.

Najprv zvážte posledný prípad, pretože si vyžaduje zavedenie konceptu uhla priesečníka.

Čiara a rovina, hodnota uhla medzi nimi

Ak priamka pretína rovinu, nazýva sa vzhľadom k nej naklonená. Priesečník sa nazýva základňa svahu. Na určenie uhla medzi týmito geometrickými objektmi je potrebné spustiť z akéhokoľvek bodu priamku kolmicu na rovinu. Potom priesečník kolmice s rovinou a miesto priesečníka naklonenej priamky s ňou tvoria priamku. Ten sa nazýva projekcia pôvodnej priamky na uvažovanú rovinu. Akútna a jej projekcia je žiaduca.

Trochu mätúca definícia uhla medzi rovinou a šikmou rovinou bude objasnená na obrázku nižšie.

Tu je uhol ABO uhol medzi priamkou AB a rovinou a.

Ak chcete napísať vzorec, zvážte príklad. Nech existuje priamka a rovina, ktoré sú opísané rovnicami:

(x; y; z) = (xo; yo; zo) + X* (a; b; c);

A * x + B * x + C * x + D = 0

Je ľahké vypočítať požadovaný uhol pre tieto objekty, ak nájdete skalárny súčin medzi smerovými vektormi priamky a roviny. Výsledný ostrý uhol by sa mal odpočítať od 90 o, potom sa získa medzi priamkou a rovinou.

Obrázok vyššie ukazuje opísaný algoritmus na nájdenie uvažovaného uhla. Tu β je uhol medzi normálou a priamkou a α je medzi priamkou a jej priemetom do roviny. Je vidieť, že ich súčet sa rovná 90 o.

Vyššie bol uvedený vzorec, ktorý odpovedá na otázku, ako nájsť uhol medzi rovinami. Teraz dáme zodpovedajúci výraz pre prípad priamky a roviny:

α = arcsin(|a * A + b * B + c * C| / (√(a 2 + b 2 + c 2) * √ (A 2 + B 2 + C 2)))

Modul vo vzorci umožňuje vypočítať iba ostré uhly. Funkcia arcsínus sa objavila namiesto arkozínu vďaka použitiu zodpovedajúceho redukčného vzorca medzi goniometrické funkcie(cos(β) = sin(90 o-β) = sin(α)).

Problém: Rovina pretína priamku

Teraz si ukážeme, ako pracovať s vyššie uvedeným vzorcom. Poďme vyriešiť problém: je potrebné vypočítať uhol medzi osou y a rovinou danou rovnicou:

Táto rovina je znázornená na obrázku.

Je vidieť, že pretína osi y a z v bodoch (0; -12; 0) a (0; 0; 12) a je rovnobežná s osou x.

Smerový vektor priamky y má súradnice (0; 1; 0). Vektorová kolmica danej rovine, je charakterizovaná súradnicami (0; 1; -1). Aplikujeme vzorec pre uhol priesečníka priamky a roviny, dostaneme:

α = arcsin(|1| / (√1 * √2)) = arcsin(1 / √2) = 45o

Problém: priamka rovnobežná s rovinou

Teraz vyriešme problém podobný predchádzajúcemu, ktorého otázka je položená inak. Známe sú rovnice roviny a priamky:

x + y - z - 3 = 0;

(x; y; z) = (1; 0; 0) + λ* (0; 2; 2)

Je potrebné zistiť, či sú tieto geometrické objekty navzájom rovnobežné.

Máme dva vektory: smerová čiara je (0; 2; 2) a smerná rovina je (1; 1; -1). Nájdeme ich skalárny súčin:

0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0

Výsledná nula udáva, že uhol medzi týmito vektormi je 90 o, čo dokazuje rovnobežnosť priamky a roviny.

Teraz skontrolujeme, či je táto priamka iba rovnobežná alebo leží aj v rovine. Ak to chcete urobiť, vyberte ľubovoľný bod na priamke a skontrolujte, či patrí do roviny. Zoberme si napríklad λ = 0, potom bod P(1; 0; 0) patrí do priamky. Do rovnice roviny P dosadíme:

Bod P nepatrí do roviny, a preto v nej neleží celá čiara.

Kde je dôležité poznať uhly medzi uvažovanými geometrickými objektmi?

Vyššie uvedené vzorce a príklady riešenia problémov nie sú len teoretického záujmu. Často sa používajú na identifikáciu dôležitých vecí fyzikálnych veličín skutočné trojrozmerné postavy, ako sú hranoly alebo pyramídy. Pri výpočte objemov figúr a plôch ich plôch je dôležité vedieť určiť uhol medzi rovinami. Navyše, ak v prípade priameho hranola nie je možné tieto vzorce použiť na určenie uvedených veličín, potom je ich použitie pre akýkoľvek typ pyramídy nevyhnutné.

Nižšie zvážime príklad použitia uvedenej teórie na určenie uhlov pyramídy so štvorcovou základňou.

Pyramída a jej rohy

Na obrázku nižšie je znázornená pyramída, na základni ktorej leží štvorec so stranou a. Výška postavy je h. Musíte nájsť dva rohy:

• medzi bočným povrchom a základňou;
• medzi bočným okrajom a základňou.

Ak chcete problém vyriešiť, musíte najskôr zadať súradnicový systém a určiť parametre zodpovedajúcich vrcholov. Obrázok ukazuje, že počiatok súradníc sa zhoduje s bodom v strede štvorcovej základne. V tomto prípade je základná rovina opísaná rovnicou:

To znamená, že pre ľubovoľné x a y je hodnota tretej súradnice vždy nula. Bočná rovina ABC pretína os z v bode B(0; 0; h) a os y v bode so súradnicami (0; a/2; 0). Nepretína os x. To znamená, že rovnicu roviny ABC možno zapísať takto:

y / (a ​​​​/ 2) + z / h = 1 alebo

2 * h * y + a * z - a * h = 0

Vektor AB¯ je bočná hrana. Jeho počiatočné a koncové súradnice sú: A(a/2; a/2; 0) a B(0; 0; h). Potom súradnice samotného vektora:

Našli sme všetky potrebné rovnice a vektory. Teraz zostáva použiť uvažované vzorce.

Najprv v pyramíde vypočítame uhol medzi rovinami základne a strany. Zodpovedajúce normálové vektory sú: n 1 ¯ (0; 0; 1) an 2 ¯ (0; 2*h; a). Potom bude uhol:

α = arccos(a / √(4 * h 2 + a 2))

Uhol medzi rovinou a hranou AB sa bude rovnať:

β = arcsin(h / √(a 2 / 2 + h 2))

Zostáva nahradiť špecifické hodnoty strany základne a a výšky h, aby ste získali požadované uhly.

Použitie súradnicovej metódy pri výpočte uhla

medzi lietadlami

Väčšina všeobecná metóda nájdenie uhlamedzi rovinami - metóda súradníc (niekedy - so zapojením vektorov). Dá sa použiť, keď už boli vyskúšané všetky ostatné. Sú však situácie, v ktorých má zmysel použiť súradnicovú metódu okamžite, a to vtedy, keď súradnicový systém prirodzene súvisí s mnohostenom uvedeným v probléme, t.j. sú dobre viditeľné tri párové kolmé čiary, na ktorých je možné nastaviť súradnicové osi. Takéto mnohosteny sú pravouhlý rovnobežnosten a pravidelná štvoruholníková pyramída. V prvom prípade môže byť súradnicový systém nastavený okrajmi vychádzajúcimi z jedného vrcholu (obr. 1), v druhom - výškou a uhlopriečkami základne (obr. 2)

Aplikácia súradnicovej metódy je nasledovná.

V priestore je zavedený pravouhlý súradnicový systém. Je žiaduce zaviesť ho "prirodzeným" spôsobom - "pripevniť" ho na trio párových kolmých čiar, ktoré majú spoločný bod.

Pre každú z rovín, medzi ktorými sa hľadá uhol, sa zostaví rovnica. Najjednoduchší spôsob, ako napísať takúto rovnicu, je poznať súradnice troch bodov v rovine, ktoré neležia na jednej priamke.

Rovinná rovnica v všeobecný pohľad má formu Ax + By + Cz + D = 0.

Koeficienty A, B, C v tejto rovnici sú súradnice normálového vektora roviny (vektor kolmý na rovinu). Potom určíme dĺžky a skalárny súčin normálových vektorov k rovinám, medzi ktorými sa hľadá uhol. Ak sú súradnice týchto vektorov(A1, B1; C1) a (A2; B2; C2 ), potom požadovaný uholvypočítané podľa vzorca

Komentujte. Treba mať na pamäti, že uhol medzi vektormi (na rozdiel od uhla medzi rovinami) môže byť tupý a aby sa predišlo možnej neistote, modul je v čitateli na pravej strane vzorca.

Vyriešte nasledujúci problém pomocou súradnicovej metódy.

Úloha 1. Je daná kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Bod K je stredom hrany AD, bod L je stredom hrany CD. Aký je uhol medzi rovinami A 1 KL a A 1 AD?

Riešenie . Nech je počiatok súradnicového systému v bode A, a súradnicové osi idú pozdĺž lúčov AD, AB, AA 1 (obr. 3). Vezmeme okraj kocky rovný 2 (je vhodné rozdeliť na polovicu). Potom súradnice bodov Ai, K, L sú: Ai (0; 0; 2), K(1; 0; 0), L(2; 1; 0).

Ryža. 3

Napíšeme rovnicu roviny A 1 K L všeobecne. Potom do nej dosadíme súradnice vybraných bodov tejto roviny. Získame systém troch rovníc so štyrmi neznámymi:

Vyjadríme koeficienty A, B, C až D a príde na rovnicu

Rozdelenie oboch častí na D (prečo D= 0?) a potom vynásobením -2 dostaneme rovnicu roviny A1KL: 2x - 2 y + z - 2 = 0. Potom má normálový vektor k tejto rovine súradnice (2: -2; 1) . Rovinná rovnica A 1 AD je: y=0, a súradnice normálneho vektora k nemu, napríklad (0; 2: 0) . Podľa vyššie uvedeného vzorca pre kosínus uhla medzi rovinami dostaneme:

Video kurz „Get an A“ obsahuje všetky témy potrebné pre úspech absolvovanie skúšky v matematike za 60-65 bodov. Kompletne všetky úlohy 1-13 profilu POUŽÍVAJTE v matematike. Vhodné aj na absolvovanie Základného USE v matematike. Ak chcete skúšku zvládnuť s 90-100 bodmi, musíte 1. časť vyriešiť za 30 minút a bezchybne!

Prípravný kurz na skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a bez nich sa nezaobíde ani stobodový študent, ani humanista.

Všetka potrebná teória. Rýchle spôsoby riešenia, pasce a tajomstvá skúšky. Všetky relevantné úlohy časti 1 z úloh Banky FIPI boli analyzované. Kurz plne vyhovuje požiadavkám USE-2018.

Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.

Stovky skúšobných úloh. Textové úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov USE úloh. Stereometria. Prefíkané triky na riešenie, užitočné cheaty, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly - k úlohe 13. Pochopenie namiesto napchávania sa. Vizuálne vysvetlenie komplexné koncepty. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklady pre riešenie zložitých úloh 2. časti skúšky.

Typ práce: 14
Predmet: Uhol medzi rovinami

Podmienka

Daný pravidelný hranol ABCDA_1B_1C_1D_1, M a N sú stredy hrán AB a BC, bod K je stredom MN .

A) Dokážte, že čiary KD_1 a MN sú kolmé.

b) Nájdite uhol medzi rovinami MND_1 a ABC, ak AB=8, AA_1=6\sqrt 2.

Riešenie

A) V \triangle DCN a \triangle MAD máme: \uhol C=\uhol A=90^(\circ), CN=AM=\frac12AB, CD = DA.

Preto \triangle DCN=\triangle MAD na dvoch nohách. Potom MD=DN, \trojuholník DMN rovnoramenné. Medián DK je teda aj výška. Preto DK \perp MN.

DD_1 \perp MND podľa podmienky, D_1K — šikmé, KD — projekcia, DK \perp MN.

Preto podľa vety o troch kolmičkách MN\perp D_1K.

b) Ako bolo dokázané v A), DK \perp MN a MN \perp D_1K, ale MN je priesečník rovín MND_1 a ABC , takže \angle DKD_1 je lineárny uhol medzi rovinami MND_1 a ABC .

V \triangle DAM podľa Pytagorovej vety DM= \sqrt (DA^2+AM^2)= \sqrt(64+16)= 4\sqrt 5, MN= \sqrt (MB^2+BN^2)= \sqrt(16+16)= 4\štvorec 2. Preto v \triangle DKM podľa Pytagorovej vety nevie = \sqrt (DM^2-KM^2)= \sqrt(80-8)= 6\štvorec 2. Potom v \triangle DKD_1, tg\uhol DKD_1=\frac(DD_1)(DK)=\frac(6\sqrt 2)(6\sqrt 2)=1.

Takže \uhol DKD_1=45^(\circ).

Odpoveď

45^(\circ).

Typ práce: 14
Predmet: Uhol medzi rovinami

Podmienka

V pravidelnom štvorhrannom hranole ABCDA_1B_1C_1D_1 sú strany podstavy 4 , bočné hrany 6 . Bod M je stredom hrany CC_1, bod N je označený na hrane BB_1 tak, že BN:NB_1=1:2.

A) V akom pomere delí rovina AMN hranu DD_1?

b) Nájdite uhol medzi rovinami ABC a AMN.

Riešenie

A) Rovina AMN pretína hranu DD_1 v bode K , ktorý je štvrtým vrcholom rezu daného hranola touto rovinou. Rez je rovnobežník ANMK, pretože protiľahlé strany tohto hranolu sú rovnobežné.

BN=\frac13BB_1=2. Nakreslite KL \paralelné CD, potom sú trojuholníky ABN a KLM rovnaké, takže ML=BN=2, LC=MC-ML=3-2=1, KD = LC = 1. Potom KD_1=6-1=5. Teraz môžeme nájsť pomer KD:KD_1=1:5.

b) F je priesečník priamok CD a KM . Roviny ABC a AMN sa pretínajú pozdĺž čiary AF. Uhol \uhol KHD =\alpha je lineárny uhol dihedrálneho uhla (HD\perp AF, potom podľa vety, konverzná veta asi tri kolmice, KH \perp AF ) , a je ostrý uhol pravouhlý trojuholník KHD , noha KD=1.

Trojuholníky FKD a FMC sú podobné (KD \parallel MC), takže FD:FC=KD:MC, keď vyriešime pomer FD:(FD+4)=1:3, dostaneme FD=2. IN správny trojuholník AFD (\uhol D=90^(\circ)) s nohami 2 a 4 vypočíta preponu AF=\sqrt (4^2+2^2)=2\sqrt 5, DH= AD\cdot FD:AF= \frac(4\cdot 2)(2\sqrt 5)= \frac4(\sqrt 5).

V pravouhlom trojuholníku KHD nájdeme tg \alpha =\frac(KD)(DH)=\frac(\sqrt 5)4, takže požadovaný uhol \alpha =arctg\frac(\sqrt 5)4.

Odpoveď

A) 1:5;

b) arctg\frac(\sqrt 5)4.

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 14
Predmet: Uhol medzi rovinami

Podmienka

Dana má pravdu štvorhranná pyramída KMNPQ so základnou stranou MNPQ rovnajúcou sa 6 a bočným okrajom 3\sqrt(26).

A) Zostrojte rez ihlanom rovinou prechádzajúcou priamkou NF rovnobežnou s uhlopriečkou MP, ak bod F je stredom hrany MK.

b) Nájdite uhol medzi rovinou rezu a rovinou KMP.

Riešenie

A) Nech KO je výška pyramídy, F je stred MK ; FE \parallel MP (v rovine PKM) . Od FE- stredná čiara\trojuholník PKM teda FE=\frac(MP)2.

Zostrojme rez pyramídy rovinou prechádzajúcou cez NF a rovnobežnou s MP , teda rovinou NFE . L je priesečník EF a KO . Keďže body L a N patria do požadovaného rezu a ležia v rovine KQN, bod T získaný ako priesečník LN a KQ je tiež priesečníkom požadovaného rezu a hrany KQ. NETF je požadovaná sekcia.

b) Roviny NFE a MPK sa pretínajú pozdĺž priamky FE. To znamená, že uhol medzi týmito rovinami sa rovná lineárnemu uhlu dihedrálneho uhla OFEN , zostrojme ho: LO \perp MP, MP\paralelný FE, teda, LO\perpFE;\triangle NFE je rovnoramenný (NE=NF ako zodpovedajúce mediány rovnakých trojuholníkov KPN a KMN ), NL je jeho medián (EL=LF, keďže PO=OM, a \triangle KEF \sim \triangle KPM). Preto NL \perp FE a \angle NLO sú požadované.

ON=\frac12QN=\frac12MN\sqrt 2=3\sqrt 2.

\triangle KON - obdĺžnikový.

Noha KO podľa Pytagorovej vety sa rovná KO=\sqrt(KN^2-ON^2).

OL= \frac12KO= \frac12\sqrt(KN^2-ON^2)= \frac12\sqrt (9\cdot 26-9\cdot 2)= \frac12\sqrt(9(26-2))= \frac32\sqrt(24)= \frac32\cdot 2\sqrt 6= 3\sqrt 6.

tg\uhol NLO =\frac(ON)(OL)=\frac(3\sqrt 2)(3\sqrt 6)=\frac1(\sqrt 3),

\uhol NLO=30^(\circ).

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 14
Predmet: Uhol medzi rovinami

Podmienka

Všetky okraje sú správne trojboký hranol ABCA_(1)B_(1)C_(1) je 6. Cez stredy hrán AC a BB_(1) a vrchol A_(1) je nakreslená rovina rezu.

A) Dokážte, že hrana BC je deliteľná sečnou rovinou v pomere 2:1, počítajúc od vrcholu C .

b) Nájdite uhol medzi rovinou rezu a základnou rovinou.

Riešenie

A) Nech D a E sú stredy hrán AC a BB_(1).

V rovine AA_(1)C_(1) nakreslíme priamku A_(1)D, ktorá pretína priamku CC_(1) v bode K , v rovine BB_(1)C_(1) - priamku KE , ktorý pretína hranu BC v bode F . Spojením bodov A_(1) a E , ležiacich v rovine AA_(1)B_(1), ako aj D a F , ležiacich v rovine ABC , dostaneme rez A_(1)EFD.

\bigtriangleup AA_(1)D=\bigtriangleup CDK pozdĺž nohy AD=DC a ostrý uhol.

\uhol ADA_(1)=\uhol CDK — ako vertikálne, z toho vyplýva, že AA_(1)=CK=6. \bigtriangleup CKF a \bigtriangleup BFE sú podobné v dvoch uhloch \uhol FBE=\uhol KCF=90^\circ,\uhol BFE=\uhol CFK — ako zvislý.

\frac(CK)(BE)=\frac(6)(3)=2, to znamená, že koeficient podobnosti je 2, čo znamená, že CF:FB=2:1.

b) Urobme AH \perp DF. Uhol medzi rovinou rezu a základnou rovinou rovný uhlu AHA_(1). Úsečka AH \perp DF (DF je priesečník týchto rovín) je v skutočnosti priemetom úsečky A_(1)H na základnú rovinu, a preto podľa vety o troch kolmičkách A_(1)H \perp DF. \uhol AHA_(1)=arctg\frac(AA_(1))(AH). AA_(1)=6.

Poďme nájsť AH. \uhol ADH =\uhol FDC (ako vertikálne).

Podľa kosínusovej vety v \bigtriangleup DFC:

DF^2=FC^2+DC^2- 2FC \cdot DC \cdot \cos 60^\circ,

DF^2=4^2+3^2-2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac(1)(2)=13.

FC^2=DF^2+DC^2- 2DF \cdot DC \cdot \cos \uhol FDC,

4^2=13+9-2\sqrt(13) \cdot 3 \cdot \cos \uhol FDC,

\cos \uhol FDC=\frac(6)(2\sqrt(13) \cdot 3)=\frac(1)(\sqrt(13)).

Dôsledkom základnej goniometrickej identity

\sin \uhol FDC=\sqrt(1-\left (\frac(1)(\sqrt(13)\right)^2)=\frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13)) . Z \bigtriangleup ADH nájdeme AH :

AH=AD \cdot \sin \uhol ADH, (\uhol FDC=\uhol ADH). AH=3 \cdot \frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13))=\frac(6\sqrt(13))(\sqrt(13)).

\uhol AHA_(1)= arctg\frac(AA_(1))(AH)= arctg\frac(6 \cdot \sqrt(13))(6\sqrt(3))= arctg\frac(\sqrt(39))(3).

Odpoveď

arctg\frac(\sqrt(39))(3).

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 14
Predmet: Uhol medzi rovinami

Podmienka

Základňa pravého hranola ABCDA_(1)B_(1)C_(1)D_(1) je kosoštvorec s tupým uhlom B rovným 120^\circ. Všetky hrany tohto hranolu sú 10 . Body P a K sú stredy hrán CC_(1) a CD.

A) Dokážte, že priamky PK a PB_(1) sú kolmé.

b) Nájdite uhol medzi rovinami PKB_(1) a C_(1)B_(1)B.

Riešenie

A) Použijeme súradnicovú metódu. Nájdite skalárny súčin vektorov \vec(PK) a \vec(PB_(1)) a potom kosínus uhla medzi týmito vektormi. Nasmerujme os Oy pozdĺž CD , os Oz pozdĺž CC_(1) a os Ox \perp CD . C je pôvod.

Potom C (0;0;0); C_(1)(0;0;10); P(0;0;5); K(0;5;0); B(BC \cos 30^\circ; BC\sin 30^\circ; 0), to jest B(5\sqrt(3); 5;0), B_(1)(5\sqrt(3); 5;10).

Nájdite súradnice vektorov: \vec(PK)=\(0;5;-5\); \vec(PB_(1))=\(5\sqrt(3); 5;5\).

Nech je uhol medzi \vec(PK) a \vec(PB_(1)) \alpha.

Dostaneme \cos \alpha=\frac(\vec(PK) \cdot \vec(PB_(1)))(|\vec(PK)| \cdot |\vec(PB_(1))|)= \frac(0 \cdot 5\sqrt(3) + 5 \cdot 5-5 \cdot 5)(|\vec(PK)| \cdot |\vec(PB_(1))|)=0.

\cos \alpha =0, ​​takže \vec(PK) \perp \vec(PB_(1)) a čiary PK a PB_(1) sú kolmé.

b) Uhol medzi rovinami sa rovná uhlu medzi nenulovými vektormi kolmými na tieto roviny (alebo, ak je uhol tupý, uhol, ktorý k nemu susedí). Takéto vektory sa nazývajú normály k rovinám. Poďme ich nájsť.

Nech \vec(n_(1))=\(x; y; z\) je kolmé na rovinu PKB_(1). Nájdeme to riešením systému \begin(cases) \vec(n_(1)) \perp \vec(PK), \\ \vec(n_(1)) \perp \vec(PB_(1)). \end(cases)

\begin(cases) \vec(n_(1)) \cdot \vec(PK)=0, \\ \vec(n_(1)) \cdot \vec(PB_(1))=0; \end(cases)

\begin(cases) 0x+5y-5z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+5z=0; \end(cases)

\begin(cases)y=z, \\ x=\frac(-y-z)(\sqrt(3)). \end(cases)

Vezmime y = 1; z = 1; x=\frac(-2)(\sqrt(3)), \vec(n_(1))=\vľavo \( \frac(-2)(\sqrt(3)); 1;1 \vpravo \).

Nech \vec(n_(2))=\(x; y; z\) je kolmé na rovinu C_(1)B_(1)B. Nájdeme to riešením systému \begin(cases) \vec(n_(2)) \perp \vec(CC_(1)), \\ \vec(n_(2)) \perp \vec(CB). \end(cases)

\vec(CC_(1))=\(0;0;10\), \vec(CB)=\(5\sqrt(3); 5; 0\).

\begin(cases) \vec(n_(2)) \cdot \vec(CC_(1))=0, \\ \vec(n_(2)) \cdot \vec(CB)=0; \end(cases)

\begin(cases) 0x+0y+10z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+0z=0; \end(cases)

\begin(cases)z=0, \\y=-\sqrt(3)x. \end(cases)

Vezmime x = 1; y=-\sqrt(3); z=0, \vec(n_(2))=\(1; -\sqrt(3);0\).

Nájdite kosínus požadovaného uhla \beta (rovná sa kosínusovému modulu uhla medzi \vec(n_(1)) a \vec(n_(2)) ).

\cos\beta= \frac(|\vec(n_(1)) \cdot \vec(n_(2))|)(|\vec(n_(1))| \cdot |\vec(n_(2))|)= \frac(\left |-\dfrac(2)(\sqrt(3))\cdot 1+1 \cdot (-\sqrt(3))+1 \cdot 0 \right |)(\sqrt(\dfrac( 4)(3)+1+1) \cdot \sqrt(1+3+0))= \frac(\dfrac(5)(\sqrt(3)))(2\sqrt(\dfrac(10)(3)))= \frac(\sqrt(10))(4).

\cos \beta =\frac(\sqrt(10))(4), \beta=\arccos\frac(\sqrt(10))(4).

Odpoveď

\arccos\frac(\sqrt(10))(4)

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

ABCD je štvorec a bočné steny sú rovnaké obdĺžniky.

Keďže rovina rezu prechádza bodmi M a D rovnobežnými s uhlopriečkou AC , potom na jej zostrojenie v rovine A_(1)AC cez bod M nakreslíme úsečku MN rovnobežnú s AC . Dostaňme AC \paralelný (MDN) na základe rovnobežnosti priamky a roviny.

Rovina MDN pretína rovnobežné roviny A_(1)AD a B_(1)BC, potom podľa vlastnosti rovnobežné roviny Priesečníky plôch A_(1)ADD_(1) a B_(1)BCC_(1) rovinou MDN sú rovnobežné.

Nakreslite segment NE rovnobežne so segmentom MD.

Požadovaný úsek je štvoruholník DMEN.

b) Nájdite uhol medzi rovinou rezu a základnou rovinou. Nech rovina rezu pretína základnú rovinu pozdĺž priamky p prechádzajúcej bodom D. AC \parallel MN, teda AC \parallel p (ak rovina prechádza priamkou rovnobežnou s inou rovinou a pretína túto rovinu, potom je priesečnica rovín rovnobežná s touto priamkou). BD \perp AC ako uhlopriečky štvorca, takže BD \perp str. BD je priemet ED do roviny ABC , potom pomocou vety o troch kolmičkách ED \perp p, teda \uhol EDB je lineárny uhol klinového uhla medzi rovinou rezu a základnou rovinou.

Nastavte štvoruholníkový pohľad na DMEN . MD \parallel EN, podobne ako ME \parallel DN, potom DMEN je rovnobežník, a keďže MD=DN (pravoúhlé trojuholníky MAD a NCD sú rovnaké v dvoch ramenách: AD=DC ako strany štvorca, AM=CN ako vzdialenosti medzi rovnobežné čiary AC a MN ), preto DMEN je kosoštvorec. Preto je F stredom MN.

Potom podľa podmienky AM:MA_(1)=2:3 AM=\frac(2)(5)AA_(1)=\frac(2)(5) \cdot 5\sqrt(6)=2\sqrt(6).

AMNC je obdĺžnik, F je stred MN, O je stred AC. znamená, FO\paralelná MA, FO \perp AC, FO=MA=2\sqrt(6).

Vedieť, že uhlopriečka štvorca je a\sqrt(2), kde a je strana štvorca, dostaneme BD=4\sqrt(2). OD=\frac(1)(2)BD=\frac(1)(2) \cdot 4\sqrt(2)=2\sqrt(2).

V pravouhlom trojuholníku FOD\enspace tg \uhol FDO=\frac(FO)(OD)=\frac(2\sqrt(6))(2\sqrt(2))=\sqrt(3). Preto \uhol FDO=60^\circ.