متوسط ​​القيمة- هذا مؤشر عام يميز السكان المتجانسين نوعياً وفقاً لخاصية كمية معينة. على سبيل المثال، متوسط ​​عمر الأشخاص المدانين بالسرقة.

في الإحصاءات القضائية، يتم استخدام القيم المتوسطة لوصف:

متوسط ​​الوقت اللازم للنظر في قضايا هذه الفئة؛

متوسط ​​حجم المطالبة؛

متوسط ​​عدد المدعى عليهم في كل قضية؛

متوسط ​​الضرر

متوسط ​​عبء عمل القضاة، وما إلى ذلك.

يكون المتوسط ​​دائمًا قيمة مسماة وله نفس البعد الخاص بوحدة فردية من السكان. تميز كل قيمة متوسطة المجموعة السكانية التي تتم دراستها وفقًا لأي خاصية مختلفة، وبالتالي، خلف كل قيمة متوسطة تكمن سلسلة توزيع وحدات هذه المجموعة السكانية وفقًا للخاصية قيد الدراسة. يتم تحديد اختيار نوع المتوسط ​​من خلال محتوى المؤشر والبيانات الأولية لحساب القيمة المتوسطة.

كل الانواع متوسط ​​القيمالمستخدمة في البحث الإحصائي، وتنقسم إلى فئتين:

1) متوسطات الطاقة.

2) المتوسطات الهيكلية.

الفئة الأولى من المتوسطات تشمل: الوسط الحسابي، الوسط التوافقي، الوسط الهندسي و معدل الجذر التربيعي . الفئة الثانية هي موضةو الوسيط. علاوة على ذلك، يمكن أن يكون لكل نوع من أنواع متوسطات القدرة المدرجة شكلين: بسيط و موزون . نموذج بسيطيتم استخدام متوسط ​​القيمة للحصول على متوسط ​​قيمة الخاصية محل الدراسة، عندما يتم الحساب باستخدام بيانات إحصائية غير مجمعة، أو عندما يحدث كل خيار في المجموع مرة واحدة فقط. المتوسطات المرجحة هي قيم تأخذ في الاعتبار أن متغيرات قيم السمات قد تحتوي على أرقام مختلفة، وبالتالي يجب ضرب كل متغير بالتكرار المقابل. وبعبارة أخرى، يتم "ترجيح" كل خيار حسب تردده. التردد يسمى الوزن الإحصائي.

الوسط الحسابي البسيط- النوع الأكثر شيوعا من المتوسط. وهو يساوي مجموع القيم الفردية للسمة مقسومًا على العدد الإجمالي لهذه القيم:

أين × 1، × 2، …، × نهي القيم الفردية للخاصية المتغيرة (المتغيرات)، و N هو عدد الوحدات في السكان.

المتوسط ​​الحسابي المرجحتستخدم في الحالات التي يتم فيها تقديم البيانات في شكل سلسلة توزيع أو مجموعات. يتم حسابه على أنه مجموع منتجات الخيارات وتكراراتها المقابلة، مقسومًا على مجموع ترددات جميع الخيارات:

أين × ط- معنى أناالمتغيرات ال مميزة؛ و أنا- تكرار أناالخيارات.

وبالتالي، يتم وزن كل قيمة متغيرة حسب ترددها، ولهذا السبب تسمى الترددات أحيانًا بالأوزان الإحصائية.

تعليق.متى نحن نتحدث عنوعن الوسط الحسابي دون الإشارة إلى نوعه، فالوسط الحسابي بسيط.

الجدول 12.

حل.للحساب، نستخدم صيغة المتوسط ​​الحسابي المرجح:

وبالتالي، يوجد في المتوسط ​​متهمان في كل قضية جنائية.

إذا تم حساب القيمة المتوسطة باستخدام بيانات مجمعة في شكل سلسلة توزيع فاصلة، فأنت بحاجة أولاً إلى تحديد القيم الوسطى لكل فاصل x"i، ثم حساب القيمة المتوسطة باستخدام المتوسط ​​المرجح الحسابي الصيغة، حيث يتم استبدال x"i بدلاً من xi.

مثال.ويعرض الجدول بيانات عن عمر المجرمين المدانين بالسرقة:

الجدول 13.

تحديد متوسط ​​أعمار المجرمين المدانين بالسرقة.

حل.من أجل تحديد متوسط ​​عمر المجرمين بناءً على سلسلة تباين الفواصل الزمنية، من الضروري أولاً العثور على القيم المتوسطة للفواصل الزمنية. بما أننا حصلنا على سلسلة فاصلة مع فتح أولاوالفترات الأخيرة، فتؤخذ قيم هذه الفترات مساوية لقيم الفترات المغلقة المجاورة. في حالتنا، قيم الفترات الأولى والأخيرة تساوي 10.

الآن نجد متوسط ​​عمر المجرمين باستخدام صيغة المتوسط ​​الحسابي المرجح:

وبذلك، يبلغ متوسط ​​عمر المجرمين المدانين بالسرقة حوالي 27 عامًا.

يعني توافقي بسيط يمثل معكوس الوسط الحسابي للقيم العكسية للخاصية:

حيث 1/ × طهي القيم العكسية للخيارات، وN هو عدد الوحدات في السكان.

مثال.لتحديد متوسط ​​عبء العمل السنوي على قضاة محكمة المقاطعة عند النظر في القضايا الجنائية، تم إجراء دراسة لعبء العمل على 5 قضاة في هذه المحكمة. تبين أن متوسط ​​الوقت الذي يقضيه كل من القضاة الذين شملهم الاستطلاع في قضية جنائية واحدة متساوٍ (بالأيام): 6، 0، 5، 6، 6، 3، 4، 9، 5، 4. أوجد متوسط ​​التكاليف في قضية جنائية واحدة. قضية جنائية ومتوسط ​​عبء العمل السنوي على قضاة محكمة مقاطعة معينة عند النظر في القضايا الجنائية.

حل.لتحديد متوسط ​​الوقت المنقضي في قضية جنائية واحدة، نستخدم صيغة المتوسط ​​التوافقي:

لتبسيط الحسابات، في المثال نأخذ عدد أيام السنة ليكون 365، بما في ذلك عطلات نهاية الأسبوع (وهذا لا يؤثر على منهجية الحساب، وعند حساب مؤشر مماثل في الممارسة العملية، من الضروري استبدال عدد أيام العمل يومًا في سنة معينة بدلاً من 365 يومًا). عندها سيكون متوسط ​​عبء العمل السنوي لقضاة محكمة محلية معينة عند النظر في القضايا الجنائية: 365 (يومًا) : 5.56 ≈ 65.6 (قضايا).

إذا أردنا استخدام صيغة المتوسط ​​الحسابي البسيطة لتحديد متوسط ​​الوقت المنقضي في قضية جنائية واحدة، فسنحصل على:

365 (أيام): 5.64 ≈ 64.7 (حالات)، أي تبين أن متوسط ​​عبء العمل على القضاة أقل.

دعونا نتحقق من صحة هذا النهج. وللقيام بذلك، سنستخدم بيانات عن الوقت الذي يقضيه كل قاض في قضية جنائية واحدة ونحسب عدد القضايا الجنائية التي ينظر فيها كل منهم سنويًا.

نحصل وفقا لذلك:

365 (أيام) : 6 ≈ 61 (حالات)، 365 (أيام) : 5.6 ≈ 65.2 (حالات)، 365 (أيام) : 6.3 ≈ 58 (حالات)،

365 (أيام) : 4.9 ≈ 74.5 (حالات)، 365 (أيام) : 5.4 ≈ 68 (حالات).

الآن دعونا نحسب متوسط ​​عبء العمل السنوي لقضاة محكمة محلية معينة عند النظر في القضايا الجنائية:

أولئك. متوسط ​​الحمل السنوي هو نفسه عند استخدام المتوسط ​​التوافقي.

وبالتالي فإن استخدام المتوسط ​​الحسابي في هذه الحالة غير قانوني.

في الحالات التي تكون فيها متغيرات الخاصية وقيمها الحجمية معروفة، ولكن الترددات نفسها غير معروفة، يتم استخدام صيغة المتوسط ​​التوافقي المرجح:

,

أين × طهي قيم خيارات السمة، و هي القيم الحجمية للخيارات ( ث أنا = س أنا و أنا).

مثال.وترد في الجدول 14 بيانات عن سعر الوحدة من نفس النوع من المنتجات التي تنتجها مؤسسات مختلفة تابعة للنظام الجزائي وعن حجم مبيعاتها.

الجدول 14

أوجد متوسط ​​سعر البيع للمنتج.

حل.عند حساب متوسط ​​السعر، يجب علينا استخدام نسبة كمية المبيعات إلى عدد الوحدات المباعة. نحن لا نعرف عدد الوحدات المباعة، ولكننا نعرف مقدار مبيعات البضائع. ولذلك، لإيجاد متوسط ​​سعر البضائع المباعة، سوف نستخدم صيغة المتوسط ​​التوافقي المرجح. نحن نحصل

إذا استخدمت صيغة المتوسط ​​الحسابي هنا، فيمكنك الحصول على متوسط ​​سعر سيكون غير واقعي:

المتوسط ​​الهندسييتم حسابه عن طريق استخراج جذر الدرجة N من منتج جميع قيم متغيرات السمة:

,

أين × 1، × 2، …، × ن- القيم الفردية للخصائص المتغيرة (المتغيرات)، و

ن- عدد الوحدات في السكان.

ويستخدم هذا النوع من المتوسطات لحساب متوسط ​​معدلات النمو للسلاسل الزمنية.

يعني مربعتستخدم لحساب المتوسط انحراف مربعوهو مؤشر على التباين، وسيتم مناقشته أدناه.

لتحديد هيكل السكان، يتم استخدام مؤشرات متوسطة خاصة، والتي تشمل الوسيط و موضة أو ما يسمى بالمتوسطات الهيكلية. إذا تم حساب المتوسط ​​الحسابي بناءً على استخدام جميع متغيرات قيم السمات، فإن الوسيط والوضع يميزان قيمة المتغير الذي يحتل موضعًا متوسطًا معينًا في السلسلة المرتبة (المرتبة). يمكن ترتيب وحدات المجتمع الإحصائي بترتيب تصاعدي أو تنازلي لمتغيرات الخاصية التي تتم دراستها.

المتوسط ​​(أنا)- هذه هي القيمة المقابلة للخيار الموجود في منتصف السلسلة المرتبة. وبالتالي، فإن الوسيط هو تلك النسخة من السلسلة المرتبة، والتي يجب أن تكون على جانبيها في هذه السلسلة رقم متساويوحدات من السكان.

للعثور على الوسيط، عليك أولاً تحديده رقم سريفي سلسلة مرتبة حسب الصيغة:

حيث N هو حجم السلسلة (عدد الوحدات في السكان).

إذا كانت المتسلسلة مكونة من عدد فردي من الحدود، فإن الوسيط يساوي الخيار ذو الرقم N Me. إذا كانت السلسلة تتكون من عدد زوجي من الحدود، فسيتم تعريف الوسيط على أنه الوسط الحسابي لخيارين متجاورين يقعان في المنتصف.

مثال.بالنظر إلى سلسلة مرتبة 1، 2، 3، 3، 6، 7، 9، 9، 10. حجم السلسلة هو N = 9، مما يعني N Me = (9 + 1) / 2 = 5. لذلك، أنا = 6، أي . الخيار الخامس. إذا كان الصف معطى 1، 5، 7، 9، 11، 14، 15، 16، أي. متسلسلة ذات عدد زوجي من الحدود (N = 8)، ثم N Me = (8 + 1) / 2 = 4.5. وهذا يعني أن الوسيط يساوي نصف مجموع الخيارين الرابع والخامس، أي. أنا = (9 + 11) / 2 = 10.

في سلسلة التباين المنفصلة، ​​يتم تحديد الوسيط بواسطة الترددات المتراكمة. يتم جمع ترددات الخيار، بدءًا من الأول، حتى يتم تجاوز الرقم المتوسط. ستكون قيمة الخيارات المجمعة الأخيرة هي الوسيط.

مثال.أوجد متوسط ​​عدد المتهمين في كل قضية جنائية باستخدام البيانات الواردة في الجدول 12.

حل.في هذه الحالة، يكون حجم سلسلة التغاير N = 154، وبالتالي N Me = (154 + 1) / 2 = 77.5. وبجمع ترددات الخيارين الأول والثاني نحصل على: 75 + 43 = 118، أي. لقد تجاوزنا الرقم المتوسط. إذن أنا = 2.

في سلسلة تباين الفاصل الزمني، يشير التوزيع أولاً إلى الفاصل الزمني الذي سيتم تحديد موقع الوسيط فيه. يسمى الوسيط . هذه هي الفترة الأولى التي يتجاوز ترددها المتراكم نصف حجم سلسلة تباين الفترة. ثم القيمة العدديةيتم تحديد الوسيط بواسطة الصيغة:

أين × أنا- الحد الأدنى للفاصل الزمني المتوسط؛ i هي قيمة الفاصل الزمني المتوسط؛ إس مي-1- التكرار المتراكم للفاصل الزمني الذي يسبق الوسيط؛ و أنا- تردد الفاصل الزمني المتوسط.

مثال.أوجد متوسط ​​عمر المجرمين المدانين بالسرقة بناءً على الإحصائيات الواردة في الجدول 13.

حل.يتم تقديم البيانات الإحصائية من خلال سلسلة تباين الفاصل الزمني، مما يعني أننا نحدد أولاً الفاصل الزمني المتوسط. حجم السكان هو N = 162، وبالتالي فإن الفاصل الزمني المتوسط ​​هو الفاصل 18-28، لأن هذه هي الفترة الأولى التي يتجاوز ترددها المتراكم (15 + 90 = 105) نصف حجم (162: 2 = 81) لسلسلة تباين الفاصل الزمني. الآن نحدد القيمة العددية للوسيط باستخدام الصيغة أعلاه:

وبذلك فإن نصف المدانين بالسرقة تقل أعمارهم عن 25 عامًا.

الموضة (مو)يسمون قيمة السمة التي توجد غالبًا في وحدات السكان. تُستخدم الموضة لتحديد قيمة السمة الأكثر انتشارًا. بالنسبة للسلسلة المنفصلة، ​​سيكون الوضع هو الخيار ذو التردد الأعلى. على سبيل المثال، بالنسبة للسلسلة المنفصلة المعروضة في الجدول 3 شهر= 1، لأن هذه القيمة تتوافق مع أعلى تردد - 75. لتحديد وضع سلسلة الفاصل الزمني، حدد أولاً مشروط الفاصل الزمني (الفاصل الزمني الذي له أعلى تردد). ثم، خلال هذه الفترة، يتم العثور على قيمة الميزة، والتي يمكن أن تكون نمطًا.

تم العثور على قيمته باستخدام الصيغة:

أين xMo- الحد الأدنى للفاصل الزمني المشروط؛ i هي قيمة الفاصل المشروط؛ و مو- تردد الفاصل الزمني المشروط؛ و مو-1- تردد الفاصل الزمني الذي يسبق الفاصل المشروط؛ و مو+1- تردد الفاصل الزمني الذي يلي الفترة المشروطة.

مثال.ابحث عن أعمار المجرمين المدانين بالسرقة، والتي ترد بياناتها في الجدول 13.

حل.أعلى تردد يتوافق مع الفاصل الزمني 18-28، لذلك يجب أن يكون الوضع في هذا الفاصل الزمني. يتم تحديد قيمتها من خلال الصيغة أعلاه:

هكذا، أكبر عدديبلغ عمر المجرمين المدانين بالسرقة 24 عامًا.

توفر القيمة المتوسطة خاصية عامة لكامل الظاهرة قيد الدراسة. ومع ذلك، فإن مجموعتين من السكان لهما نفس القيم المتوسطة قد تختلفان بشكل كبير عن بعضهما البعض في درجة التقلب (التباين) في قيمة الخاصية قيد الدراسة. على سبيل المثال، في محكمة واحدة تم تعيينهم التواريخ التاليةالسجن: 3، 3، 3، 4، 5، 5، 5، 12، 12، 15 سنة، وفي أخرى - 5، 5، 6، 6، 7، 7، 7، 8، 8، 8 سنوات. وفي كلتا الحالتين، فإن المتوسط ​​الحسابي هو 6.7 سنة. ومع ذلك، تختلف هذه المجموعات بشكل كبير عن بعضها البعض في انتشار القيم الفردية لمدة السجن المخصصة مقارنة بالقيمة المتوسطة.

وبالنسبة للمحكمة الأولى، حيث يكون هذا الانتشار كبيرًا جدًا، فإن متوسط ​​مدة السجن لا يعكس إجمالي عدد السكان. وبالتالي، إذا كانت القيم الفردية للخاصية تختلف قليلاً عن بعضها البعض، فإن الوسط الحسابي سيكون خاصية إرشادية إلى حد ما لخصائص مجموعة معينة من السكان. وبخلاف ذلك، فإن الوسط الحسابي سيكون سمة غير موثوقة لهؤلاء السكان وسيكون استخدامه عمليًا غير فعال. ولذلك لا بد من مراعاة التباين في قيم الخاصية محل الدراسة.

تفاوت- هذه هي الاختلافات في قيم أي خاصية بين الوحدات المختلفة لمجتمع معين في نفس الفترة أو نقطة زمنية. مصطلح "الاختلاف" له أصل لاتيني - variatio، ويعني الاختلاف والتغيير والتقلب. ينشأ نتيجة لحقيقة أن القيم الفردية للخاصية تتشكل تحت التأثير المشترك لعوامل (شروط) مختلفة، والتي يتم دمجها بشكل مختلف في كل حالة على حدة. مختلف المطلقة و المؤشرات النسبية.

تشمل المؤشرات الرئيسية للتباين ما يلي:

1) نطاق الاختلاف؛

2) متوسط ​​الانحراف الخطي.

3) التشتت.

4) الانحراف المعياري.

5) معامل الاختلاف.

دعونا ننظر بإيجاز إلى كل واحد منهم.

نطاق الاختلاف R هو المؤشر المطلق الأكثر سهولة في الوصول إليه من حيث سهولة الحساب، والذي يتم تعريفه على أنه الفرق بين أكبر وأصغر قيم لخاصية ما لوحدات مجموعة سكانية معينة:

نطاق الاختلاف (نطاق التقلبات) - مؤشر مهمتقلب العلامة، لكنه يجعل من الممكن رؤية الانحرافات الشديدة فقط، مما يحد من نطاق تطبيقه. لتوصيف تباين السمة بشكل أكثر دقة بناءً على تباينها، يتم استخدام مؤشرات أخرى.

متوسط ​​الانحراف الخطييمثل الوسط الحسابي ل القيم المطلقةانحرافات القيم الفردية للخاصية عن المتوسط ​​ويتم تحديدها بواسطة الصيغ:

1) ل البيانات غير المجمعة

2) ل سلسلة الاختلاف

ومع ذلك، فإن مقياس التباين الأكثر استخدامًا هو تشتت . وهو يميز مقياس تشتت قيم الخاصية محل الدراسة بالنسبة إلى قيمتها المتوسطة. يتم تعريف التشتت على أنه متوسط ​​مربع الانحرافات.

تباين بسيطللبيانات غير المجمعة:

.

التباين المرجحلسلسلة الاختلاف:

تعليق.من الناحية العملية، من الأفضل استخدام الصيغ التالية لحساب التباين:

لاختلاف بسيط

.

للتباين المرجح

الانحراف المعياريهو الجذر التربيعي للتباين:

الانحراف المعياري هو مقياس لموثوقية المتوسط. كلما كان الانحراف المعياري أصغر، كلما كان السكان أكثر تجانسًا وكان المتوسط ​​الحسابي يعكس إجمالي السكان بشكل أفضل.

مقاييس التشتت التي تمت مناقشتها أعلاه (نطاق التباين والتشتت والانحراف المعياري) هي بالأرقام المطلقة، حيث لا يمكن دائمًا الحكم على درجة تباين الخاصية. في بعض المسائل، من الضروري استخدام مؤشرات التشتت النسبية، أحدها معامل الاختلاف.

معامل الاختلاف- نسبة الانحراف المعياري إلى الوسط الحسابي معبرا عنها بنسبة مئوية:

يتم استخدام معامل الاختلاف ليس فقط ل التقييم المقارناختلافات في الخصائص المختلفة أو نفس الخاصية في مجموعات سكانية مختلفة، ولكن أيضًا لتوصيف تجانس السكان. يعتبر المجتمع الإحصائي متجانسًا كميًا إذا كان معامل الاختلاف لا يتجاوز 33٪ (للتوزيعات القريبة من التوزيع الطبيعي).

مثال.تتوفر البيانات التالية عن فترات سجن 50 مدانًا تم تسليمهم لقضاء عقوبة فرضتها المحكمة في مؤسسة إصلاحية تابعة للنظام الجزائي: 5، 4، 2، 1، 6، 3، 4، 3، 2، 2 , 5, 6, 4, 3, 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. بناء سلسلة من التوزيعات حسب فترات السجن.

2. أوجد المتوسط ​​والتباين والانحراف المعياري.

3. احسب معامل التباين واستنتج حول تجانس أو عدم تجانس المجتمع قيد الدراسة.

حل.لبناء سلسلة توزيع منفصلة، ​​من الضروري تحديد الخيارات والترددات. والخيار في هذه المشكلة هو مدة السجن، والتكرار هو عدد الخيارات الفردية. وبعد حساب الترددات نحصل على سلسلة التوزيع المنفصلة التالية:

دعونا نجد المتوسط ​​والتباين. وبما أن البيانات الإحصائية ممثلة بسلسلة تباين منفصلة، ​​فسوف نستخدم صيغ المتوسط ​​الحسابي المرجح والتشتت لحسابها. نحن نحصل:

= = 4,1;

= 5,21.

الآن نحسب الانحراف المعياري:

إيجاد معامل الاختلاف:

وبالتالي، فإن المجتمع الإحصائي غير متجانس من الناحية الكمية.

الآن دعونا نتحدث عن كيفية حساب المتوسط.
في شكلها الكلاسيكي، تقدم لنا النظرية العامة للإحصاء نسخة واحدة من قواعد اختيار القيمة المتوسطة.
أولاً، تحتاج إلى إنشاء الصيغة المنطقية الصحيحة لحساب القيمة المتوسطة (AFV). لكل قيمة متوسطة توجد دائمًا صيغة منطقية واحدة لحسابها، لذلك من الصعب ارتكاب خطأ هنا. لكن يجب أن نتذكر دائمًا أنه في البسط (هذا ما يوجد أعلى الكسر) مجموع كل الظواهر، وفي المقام (هذا ما يوجد أسفل الكسر) المجموععناصر.

بعد تجميع الصيغة المنطقية، يمكنك استخدام القواعد (لسهولة الفهم، سنقوم بتبسيطها واختصارها):
1. إذا كانت البيانات المصدر (المحددة بالتكرار) تحتوي على مقام صيغة منطقية، فسيتم إجراء الحساب باستخدام صيغة المتوسط ​​الحسابي المرجح.
2. إذا تم تقديم بسط الصيغة المنطقية في البيانات المصدر، فسيتم إجراء الحساب باستخدام صيغة المتوسط ​​التوافقي المرجح.
3. إذا كانت المشكلة تمثل كلاً من البسط والمقام في صيغة منطقية (نادرًا ما يحدث هذا)، فإننا نجري العملية الحسابية باستخدام هذه الصيغة أو صيغة المتوسط ​​الحسابي البسيط.
هذه هي الفكرة الكلاسيكية لاختيار الصيغة الصحيحة لحساب المتوسط. بعد ذلك، نقدم تسلسل الإجراءات عند حل المشكلات لحساب القيمة المتوسطة.

خوارزمية لحل المسائل المتعلقة بحساب القيمة المتوسطة

أ. تحديد طريقة حساب القيمة المتوسطة - بسيطة أو مرجحة . إذا تم عرض البيانات في جدول نستخدم الطريقة الموزونة، وإذا تم عرض البيانات عن طريق التعداد البسيط فإننا نستخدم طريقة حسابية بسيطة.

ب. تحديد أو ترتيب حرف او رمز – س - خيار، F - تكرار . الخيار هو للظاهرة التي تريد العثور على القيمة المتوسطة لها. البيانات المتبقية في الجدول ستكون التكرار.

ب. نحدد نموذج حساب القيمة المتوسطة - حسابية أو توافقية . ويتم التحديد باستخدام عمود التردد. يتم استخدام النموذج الحسابي إذا تم تحديد التكرارات بكمية صريحة (مشروط، يمكنك استبدال قطع الكلمة، وعدد العناصر "قطع"). يتم استخدام النموذج التوافقي إذا لم يتم تحديد الترددات بكمية واضحة، ولكن بمؤشر مركب (حاصل ضرب متوسط ​​الكمية والتكرار).

أصعب شيء هو تخمين أين وما هي الكمية المقدمة، خاصة للطالب عديم الخبرة في مثل هذه الأمور. في مثل هذه الحالة، يمكنك استخدام إحدى الطرق التالية. بالنسبة لبعض المهام (الاقتصادية)، يكون البيان الذي تم تطويره على مدار سنوات من الممارسة مناسبًا (النقطة ب.1). وفي مواقف أخرى، سيتعين عليك استخدام النقطة ب.2.

B.1 إذا تم إعطاء التردد بالوحدات النقدية (بالروبل)، فسيتم استخدام المتوسط ​​التوافقي للحساب، ويكون هذا البيان صحيحًا دائمًا، إذا تم إعطاء التردد المحدد بالمال، وفي مواقف أخرى لا تنطبق هذه القاعدة.

ب.2 استخدم قواعد اختيار متوسط ​​القيمة المشار إليها أعلاه في هذه المقالة. إذا كان التكرار معطى من مقام الصيغة المنطقية لحساب القيمة المتوسطة، فإننا نحسب باستخدام صيغة الوسط الحسابي، وإذا كان التكرار معطى من بسط الصيغة المنطقية لحساب القيمة المتوسطة، فإننا نحسب باستخدام شكل الوسط التوافقي.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة لاستخدام هذه الخوارزمية.

أ. بما أن البيانات مقدمة في سطر، فإننا نستخدم طريقة حسابية بسيطة.

B. V. لدينا فقط بيانات عن مقدار المعاشات التقاعدية، وسوف يكون خيارنا - x. يتم تقديم البيانات كرقم بسيط (12 شخصًا)، وللحساب نستخدم المتوسط ​​الحسابي البسيط.

متوسط ​​المعاش التقاعدي للمتقاعد هو 9208.3 روبل.

ب. نظرًا لأننا نحتاج إلى العثور على متوسط ​​الدفع لكل طفل، فإن الخيارات موجودة في العمود الأول، ونضع التعيين x هناك، ويصبح العمود الثاني تلقائيًا هو التكرار f.

ب. يتم إعطاء التكرار (عدد الأطفال) بكمية واضحة (يمكنك استبدال قطع الكلمات للأطفال، من وجهة نظر اللغة الروسية، هذه عبارة غير صحيحة، ولكنها في الواقع مريحة للغاية check) مما يعني أنه يتم استخدام الوسط الحسابي المرجح لإجراء الحساب.

لا يمكن حل نفس المشكلة بطريقة صيغية، ولكن بطريقة جدولية، أي إدخال جميع بيانات الحسابات الوسيطة في الجدول.

ونتيجة لذلك، كل ما يجب فعله الآن هو الفصل بين المجموعين بالترتيب الصحيح.

وكان متوسط ​​الدفع لكل طفل شهريا 1910 روبل.

أ. بما أن البيانات معروضة في الجدول، فإننا نستخدم نموذجًا مرجحًا للحساب.

ب. يتم إعطاء التردد (تكلفة الإنتاج) بكمية ضمنية (يتم إعطاء التردد في روبل نقطة الخوارزمية B1)، مما يعني أنه يتم استخدام المتوسط ​​التوافقي المرجح للحساب. بشكل عام، تعتبر تكلفة الإنتاج في جوهرها مؤشرًا معقدًا، يتم الحصول عليه عن طريق ضرب تكلفة وحدة المنتج بعدد هذه المنتجات، وهذا هو جوهر القيمة المتوسطة التوافقية.

من أجل حل هذه المشكلة باستخدام صيغة المتوسط ​​الحسابي، من الضروري أن يكون هناك عدد المنتجات ذات التكلفة المقابلة بدلاً من تكلفة الإنتاج.

يرجى ملاحظة أن مجموع المقام الذي تم الحصول عليه بعد الحسابات هو 410 (120+80+210) وهذا هو إجمالي عدد المنتجات المنتجة.

وكان متوسط ​​التكلفة لكل وحدة من المنتج 314.4 روبل.

أ. بما أن البيانات معروضة في الجدول، فإننا نستخدم نموذجًا مرجحًا للحساب.

ب. نظرًا لأننا نحتاج إلى العثور على متوسط ​​التكلفة لكل وحدة من المنتج، فإن الخيارات موجودة في العمود الأول، ونضع التعيين x هناك، ويصبح العمود الثاني تلقائيًا هو التكرار f.

ب. يتم إعطاء التكرار (إجمالي عدد الغيابات) بكمية ضمنية (هذا هو حاصل ضرب مؤشرين لعدد الغيابات وعدد الطلاب الذين لديهم هذا العدد من الغيابات)، مما يعني أنه يتم استخدام المتوسط ​​التوافقي المرجح للحساب. سوف نستخدم نقطة الخوارزمية B2.

من أجل حل هذه المشكلة باستخدام صيغة المتوسط ​​الحسابي، من الضروري أن يكون عدد الطلاب بدلاً من إجمالي عدد الغيابات.

نقوم بإنشاء صيغة منطقية لحساب متوسط ​​عدد مرات الغياب لكل طالب.

التكرار حسب ظروف المهمة الرقم الإجمالييمر، يمرر، اجتاز بنجاح. في الصيغة المنطقية، هذا المؤشر موجود في البسط، مما يعني أننا نستخدم صيغة المتوسط ​​التوافقي.

يرجى ملاحظة أن مجموع المقام الناتج بعد العمليات الحسابية 31 (18+8+5) هو إجمالي عدد الطلاب.

متوسط ​​عدد أيام الغياب لكل طالب هو 13.8 يومًا.

تستخدم القيم المتوسطة على نطاق واسع في الإحصائيات. تمثل القيم المتوسطة المؤشرات النوعية للنشاط التجاري: تكاليف التوزيع، الربح، الربحية، إلخ.

متوسط - هذه إحدى تقنيات التعميم الشائعة. الفهم الصحيح لجوهر المتوسط ​​يحدد أهميته الخاصة في الظروف إقتصاد السوق، عندما يكون المتوسط ​​من خلال الفرد والعشوائي يسمح لنا بالتعرف على العام والضروري، للتعرف على اتجاه أنماط التنمية الاقتصادية.

متوسط ​​القيمة - هذه مؤشرات عامة يتم من خلالها التعبير عن الإجراءات شروط عامة- أنماط الظاهرة محل الدراسة.

يتم حساب المتوسطات الإحصائية على أساس البيانات الجماعية من المراقبة الجماعية المنظمة إحصائيا بشكل صحيح (المستمرة والانتقائية). ومع ذلك، فإن المتوسط ​​الإحصائي سيكون موضوعيا ونموذجيا إذا تم حسابه من البيانات الجماعية لسكان متجانسين نوعيا (الظواهر الجماعية). على سبيل المثال، إذا قمت بحساب متوسط ​​الأجر في التعاونيات والمؤسسات المملوكة للدولة، وقمت بتوسيع النتيجة لتشمل جميع السكان، فإن المتوسط ​​يكون وهميا، لأنه يتم حسابه لمجموعة سكانية غير متجانسة، وهذا المتوسط ​​يفقد كل معناه.

بمساعدة المتوسط، يتم تسوية الاختلافات في قيمة الخاصية التي تنشأ لسبب أو لآخر في وحدات المراقبة الفردية.

على سبيل المثال، يعتمد متوسط ​​إنتاجية مندوب المبيعات على عدة أسباب: المؤهلات، ومدة الخدمة، والعمر، وشكل الخدمة، والصحة، وما إلى ذلك.

يعكس متوسط ​​الإنتاج الخاصية العامة لجميع السكان.

إن القيمة المتوسطة هي إنعكاس لقيم الصفة محل الدراسة، لذلك يتم قياسها بنفس بعد هذه الصفة.

وتميز كل قيمة متوسطة السكان قيد الدراسة وفقًا لخاصية واحدة. ومن أجل الحصول على فهم كامل وشامل للسكان الذين تتم دراستهم وفقا لعدد من الخصائص الأساسية، بشكل عام، من الضروري وجود نظام من القيم المتوسطة التي يمكن أن تصف الظاهرة من زوايا مختلفة.

هناك متوسطات مختلفة:

المتوسط ​​الحسابي؛

الوسط الهندسي

الوسط التوافقي؛

يعني مربع؛

متوسط ​​زمني.

دعونا نلقي نظرة على بعض أنواع المتوسطات التي تستخدم غالبًا في الإحصائيات.

المتوسط ​​الحسابي

الوسط الحسابي البسيط (غير الموزون) يساوي مجموع القيم الفردية للسمة مقسوما على عدد هذه القيم.

تسمى القيم الفردية للخاصية المتغيرات ويشار إليها بـ x () ؛ يُشار إلى عدد الوحدات السكانية بالرمز n، ويُشار إلى متوسط ​​قيمة الخاصية بالرمز n . وبالتالي فإن الوسط الحسابي البسيط يساوي:

وفقا لبيانات سلسلة التوزيع المنفصلة، ​​فمن الواضح أن نفس القيم المميزة (المتغيرات) تتكرر عدة مرات. وبالتالي، فإن الخيار x يتكرر مرتين إجمالاً، والخيار x 16 مرة، وهكذا.

ويسمى عدد القيم المتطابقة لخاصية ما في سلسلة التوزيع بالتردد أو الوزن ويشار إليه بالرمز n.

دعونا نحسب متوسط ​​​​راتب عامل واحد في فرك.:

تمويل أجورلكل مجموعة من العمال يساوي ناتج الخيارات والتكرار، ومجموع هذه المنتجات يعطي صندوق الأجور الإجمالي لجميع العمال.

وفقًا لهذا، يمكن تقديم الحسابات بشكل عام:

تسمى الصيغة الناتجة الوسط الحسابي المرجح.

ونتيجة للمعالجة، يمكن تقديم المواد الإحصائية ليس فقط في شكل سلسلة توزيع منفصلة، ​​ولكن أيضًا في شكل سلسلة متغيرة بفواصل زمنية مغلقة أو مفتوحة.

يتم حساب متوسط ​​البيانات المجمعة باستخدام صيغة المتوسط ​​الحسابي المرجح:

في ممارسة الإحصاءات الاقتصادية، يكون من الضروري أحيانًا حساب المتوسط ​​باستخدام متوسطات المجموعة أو متوسطات الأجزاء الفردية من السكان (المتوسطات الجزئية). في مثل هذه الحالات، يتم أخذ المتوسطات الجماعية أو الخاصة كخيارات (x)، والتي على أساسها يتم حساب المتوسط ​​الإجمالي كمتوسط ​​حسابي مرجح عادي.

الخصائص الأساسية للوسط الحسابي .

للوسط الحسابي عدة خصائص:

1. لن تتغير قيمة الوسط الحسابي من نقصان أو زيادة في تكرار كل قيمة للخاصية x بمقدار n مرة.

إذا تم قسمة جميع التكرارات أو ضربها بأي رقم، فلن تتغير القيمة المتوسطة.

2. يمكن أخذ المضاعف المشترك للقيم الفردية للخاصية خارج علامة المتوسط:

3. متوسط ​​المبلغ(الفرق) بين كميتين أو أكثر يساوي مجموع (الفرق) متوسطاتها:

4. إذا كانت x = c، حيث c قيمة ثابتة، إذن
.

5. مجموع انحرافات قيم السمة X عن الوسط الحسابي x يساوي صفر:

الوسط التوافقي.

إلى جانب الوسط الحسابي، تستخدم الإحصائيات الوسط التوافقي، وهو معكوس الوسط الحسابي للقيم العكسية للسمة. مثل الوسط الحسابي، يمكن أن يكون بسيطًا ومرجحًا.

خصائص سلسلة التباين، إلى جانب المتوسطات، هي الوضع والوسيط.

موضة - هذه هي قيمة الخاصية (المتغير) التي تتكرر غالبًا بين السكان قيد الدراسة. بالنسبة لسلسلة التوزيع المنفصلة، ​​سيكون الوضع هو قيمة المتغير ذو التردد الأعلى.

بالنسبة لسلسلة التوزيع بفواصل زمنية متساوية، يتم تحديد الوضع بواسطة الصيغة:

أين
- القيمة الأولية للفاصل الزمني الذي يحتوي على الوضع؛

- قيمة الفاصل الزمني المشروط؛

- تردد الفاصل الزمني المشروط؛

- تردد الفاصل الزمني الذي يسبق الفاصل المشروط؛

- تردد الفاصل الزمني الذي يلي الفترة المشروطة.

الوسيط - هذا خيار يقع في منتصف سلسلة الأشكال. إذا كانت سلسلة التوزيع منفصلة ولها عدد فردي من الأعضاء، فسيكون الوسيط هو الخيار الموجود في منتصف السلسلة المرتبة (السلسلة المرتبة هي ترتيب الوحدات السكانية بترتيب تصاعدي أو تنازلي).

المتوسط ​​الحسابي هو مؤشر إحصائي يوضح القيمة المتوسطة لمصفوفة بيانات معينة. يتم حساب هذا المؤشر ككسر، بسطه هو مجموع كل القيم في المصفوفة، والمقام هو رقمها. الوسط الحسابي هو معامل مهم يستخدم في العمليات الحسابية اليومية.

معنى المعامل

الوسط الحسابي هو مؤشر أولي لمقارنة البيانات وحساب قيمة مقبولة. على سبيل المثال، تبيع المتاجر المختلفة علبة من البيرة من شركة تصنيع معينة. لكن في أحد المتاجر يكلف 67 روبل، وفي متجر آخر - 70 روبل، وفي الثالث - 65 روبل، وفي الأخير - 62 روبل. هناك مجموعة واسعة جدًا من الأسعار، لذلك سيكون المشتري مهتمًا بمتوسط ​​تكلفة العلبة حتى يتمكن من مقارنة تكاليفه عند شراء المنتج. متوسط ​​سعر علبة البيرة في المدينة هو:

متوسط ​​السعر = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 روبل.

من خلال معرفة متوسط ​​السعر، من السهل تحديد المكان الذي يكون فيه شراء منتج مربحًا، وأين سيتعين عليك دفع مبالغ زائدة.

يستخدم الوسط الحسابي باستمرار في الحسابات الإحصائية في الحالات التي يتم فيها تحليل مجموعة متجانسة من البيانات. في المثال أعلاه، هذا هو سعر علبة البيرة من نفس العلامة التجارية. ومع ذلك، لا يمكننا مقارنة سعر البيرة من مختلف الشركات المصنعة أو أسعار البيرة وعصير الليمون، لأنه في هذه الحالة سيكون انتشار القيم أكبر، وسيكون متوسط ​​السعر غير واضح وغير موثوق به، ومعنى الحسابات ذاته سيتم تشويهها إلى صورة كاريكاتورية لـ "متوسط ​​درجة الحرارة في المستشفى". لحساب مجموعات البيانات غير المتجانسة، يتم استخدام متوسط ​​حسابي مرجح، عندما تتلقى كل قيمة معامل الترجيح الخاص بها.

حساب الوسط الحسابي

صيغة الحسابات بسيطة للغاية:

ف = (أ1 + أ2 + … أن) / ن،

حيث a هي قيمة الكمية، وn هو العدد الإجمالي للقيم.

ما الذي يمكن استخدامه لهذا المؤشر؟ الاستخدام الأول والواضح له هو في الإحصاء. في كل تقريبا البحوث الإحصائيةويستخدم المتوسط ​​الحسابي. يمكن أن يكون هذا هو متوسط ​​سن الزواج في روسيا، أو متوسط ​​الدرجات في المادة التي يحصل عليها تلميذ المدرسة، أو متوسط ​​الإنفاق على البقالة يوميًا. كما ذكرنا أعلاه، بدون أخذ الأوزان في الاعتبار، يمكن أن ينتج عن حساب المتوسطات قيم غريبة أو سخيفة.

على سبيل المثال، الرئيس الاتحاد الروسيأدلى ببيان أنه وفقا للإحصاءات، فإن متوسط ​​\u200b\u200bراتب الروسي هو 27000 روبل. بالنسبة لمعظم سكان روسيا، بدا هذا المستوى من الراتب سخيفا. ليس من المستغرب أن نأخذ في الاعتبار عند الحساب دخل القلة ورؤساء المؤسسات الصناعية وكبار المصرفيين من ناحية ورواتب المعلمين وعمال النظافة والبائعين من ناحية أخرى. حتى متوسط ​​\u200b\u200bالراتب في تخصص واحد، على سبيل المثال، محاسب، سيكون له اختلافات خطيرة في موسكو وكوستروما وإيكاترينبرغ.

كيفية حساب المتوسطات للبيانات غير المتجانسة

في حالات كشوف المرتبات، من المهم مراعاة وزن كل قيمة. وهذا يعني أن رواتب القلة والمصرفيين ستحصل على وزن، على سبيل المثال، 0.00001، ورواتب مندوبي المبيعات - 0.12. هذه أرقام غير متوقعة، لكنها توضح تقريبًا مدى انتشار القلة والبائعين في المجتمع الروسي.

وبالتالي، لحساب متوسط ​​المتوسطات أو القيم المتوسطة في مجموعة بيانات غير متجانسة، يلزم استخدام المتوسط ​​​​المرجح الحسابي. خلاف ذلك، سوف تحصل على متوسط ​​​​راتب في روسيا قدره 27000 روبل. إذا كنت ترغب في معرفة متوسط ​​درجاتك في الرياضيات أو متوسط ​​عدد الأهداف التي سجلها لاعب هوكي مختار، فإن حاسبة المتوسط ​​الحسابي مناسبة لك.

برنامجنا عبارة عن آلة حاسبة بسيطة ومريحة لحساب المتوسط ​​الحسابي. لإجراء الحسابات، ما عليك سوى إدخال قيم المعلمات.

دعونا نلقي نظرة على بضعة أمثلة

حساب متوسط ​​الدرجات

يستخدم العديد من المعلمين طريقة المتوسط ​​الحسابي لتحديد الدرجة السنوية للمادة. لنتخيل أن الطفل حصل على العلامات الربعية التالية في الرياضيات: 3، 3، 5، 4. ما هو التقدير السنوي الذي سيعطيه المعلم؟ دعونا نستخدم الآلة الحاسبة ونحسب الوسط الحسابي. للبدء، حدد العدد المناسب من الحقول وأدخل قيم التصنيف في الخلايا التي تظهر:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

سيقوم المعلم بتقريب القيمة لصالح الطالب، وسيحصل الطالب على درجة B ثابتة لهذا العام.

حساب الحلوى التي تؤكل

دعونا نوضح بعض سخافة المتوسط ​​الحسابي. لنتخيل أن ماشا وفوفا كان لديهما 10 قطع حلوى. أكلت ماشا 8 حلوى، وأكلت فوفا 2 فقط. ما عدد الحلوى التي يتناولها كل طفل في المتوسط؟ باستخدام الآلة الحاسبة، من السهل حساب أن الأطفال يأكلون في المتوسط ​​5 قطع حلوى، وهذا غير صحيح تمامًا الفطرة السليمة. يوضح هذا المثال أن المتوسط ​​الحسابي مهم لمجموعات البيانات ذات المعنى.

خاتمة

يستخدم حساب الوسط الحسابي على نطاق واسع في العديد من المجالات العلمية. هذا المؤشر شائع ليس فقط في الحسابات الإحصائية، ولكن أيضًا في الفيزياء أو الميكانيكا أو الاقتصاد أو الطب أو التمويل. استخدم الآلات الحاسبة لدينا كمساعد لحل المسائل التي تتضمن حساب الوسط الحسابي.

تم تضمين موضوع الوسط الحسابي والوسط الهندسي في برنامج الرياضيات للصفوف 6-7. نظرًا لأن الفقرة سهلة الفهم، فقد تم تجاوزها بسرعة، وبحلول نهاية العام الدراسي، نسيها الطلاب. ولكن هناك حاجة إلى معرفة الإحصاءات الأساسية اجتياز امتحان الدولة الموحدة، وأيضا ل الامتحانات الدوليةقعد. نعم ومن أجل الحياة اليوميةالتفكير التحليلي المتطور لا يضر أبدًا.

كيفية حساب الوسط الحسابي والوسط الهندسي للأرقام

لنفترض أن هناك سلسلة من الأرقام: 11 و4 و3. الوسط الحسابي هو مجموع كل الأرقام مقسومًا على عدد الأرقام المعطاة. أي أنه في حالة الأرقام 11، 4، 3 فإن الجواب سيكون 6. كيف تحصل على 6؟

الحل: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

يجب أن يحتوي المقام على رقم يساوي عدد الأرقام التي يجب العثور على متوسطها. المجموع يقبل القسمة على 3، لأن هناك ثلاثة حدود.

والآن علينا إيجاد الوسط الهندسي. لنفترض أن هناك سلسلة من الأرقام: 4 و2 و8.

المتوسط ​​الهندسي للأرقام هو حاصل ضرب جميع الأرقام المعطاة، الموجودة تحت الجذر بقوة تساوي عدد الأرقام المعطاة، أي أنه في حالة الأعداد 4 و2 و8، ستكون الإجابة 4. وإليك الطريقة اتضح أنه:

الحل: ∛(4 × 2 × 8) = 4

في كلا الخيارين، حصلنا على إجابات كاملة، حيث تم أخذ أرقام خاصة على سبيل المثال. هذا لايحصل غالبا. في معظم الحالات، يجب تقريب الإجابة أو تركها في الجذر. على سبيل المثال، بالنسبة للأرقام 11 و7 و20، الوسط الحسابي هو ≈ 12.67، والوسط الهندسي هو ∛1540. وبالنسبة للرقمين 6 و5، ستكون الإجابات 5.5 و√30 على التوالي.

هل يمكن أن يصبح الوسط الحسابي مساوياً للوسط الهندسي؟

بالطبع يمكن. ولكن في حالتين فقط. إذا كانت هناك سلسلة من الأرقام تتكون من الآحاد أو الأصفار فقط. ومن الجدير بالذكر أيضًا أن الإجابة لا تعتمد على عددهم.

البرهان بالوحدات: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (الوسط الحسابي).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(الوسط الهندسي).

البرهان بالأصفار: (0 + 0) / 2=0 (الوسط الحسابي).

√(0 × 0) = 0 (الوسط الهندسي).

لا يوجد خيار آخر ولا يمكن أن يكون.